Curriculare Vorgaben für die Realschule Schuljahrgänge 5/6

Niedersächsisches
Kultusministerium
Curriculare Vorgaben
für die Realschule
Schuljahrgänge 5/6
Mathematik
Niedersachsen
An der Erarbeitung der Curricularen Vorgaben für das Unterrichtsfach Mathematik in den Schuljahrgängen 5/6 waren die nachstehend genannten Lehrkräfte beteiligt:
Manfred Härtel, Wolfsburg
Hanns-Jürgen Knaack, Hildesheim
Walter Kuchenbecker, Zeven
Dr. Norbert Sommer, Georgsmarienhütte
Herausgegeben vom Niedersächsischen Kultusministerium (2004)
30159 Hannover, Schiffgraben 12
Druck:
Niedersächsisches Landesamt für
Lehrerbildung und Schulentwicklung (NiLS)
Keßlerstraße 52
31134 Hildesheim
Die Curricularen Vorgaben können als „PDF-Datei“ vom Niedersächsischen Bildungsserver (NIBIS)
(http://nibis.ni.schule.de/nibis.phtml?menid=332) heruntergeladen werden.
Inhalt
Seite
1
Aufgaben und Ziele
4
2
Zur Arbeit mit den Themenbereichen
7
3
Themenbereiche
8
3.1
Leitidee Zahl
8
3.2
Leitidee Raum und Form
14
3.3
Leitidee Messen
16
3.4
Leitidee Funktionaler Zusammenhang
18
3.5
Leitidee Daten und Zufall
20
4
Leistungsfeststellung und -bewertung
22
1
Aufgaben und Ziele
Die Curricularen Vorgaben für den Mathematikunterricht in den Schuljahrgängen 5 und 6 an Real1)
schulen berücksichtigen das novellierte Niedersächsische Schulgesetz
und den Grundsatzerlass
2)
„Die Arbeit in der Realschule“ . Sie orientieren sich an den „Rahmenrichtlinien für die Realschule,
3)
4)
Mathematik“ und den „Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss“ .
Mathematikunterricht in der Realschule trägt zur Bildung der Schülerinnen und Schüler bei, indem er
ihnen insbesondere folgende Grunderfahrungen ermöglicht:
-
soziale, kulturelle, natürliche und technische Erscheinungen und Vorgänge mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen,
-
Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern, Formeln und spezifischen Arbeitsweisen in
der Bedeutung für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen,
-
in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit entwickeln,
-
mathematische Erkenntnisse und Verfahren als historisch gewachsen und durch technische
Entwicklungen beeinflusst erkennen.
Der Unterricht im Fach Mathematik ist so zu gestalten, dass diese Grunderfahrungen sich in einer
offenen, kommunikativen Situation entwickeln und zu einer Einstellung der Schülerinnen und Schüler
führen, die mathematische Erkenntnisse wertschätzt und mathematischen Fragestellungen Interesse
entgegenbringt. Selbsttätigkeit, die Erfahrung des eigenen Könnens und soziales Miteinander sind für
Motivation und Interesse prägend. Subjektive Zugänge sind herauszufordern, der Vergleich mit den
Ideen anderer ist anzuregen und die Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler sind in eine sachund fachgerechte Präzisierung zu überführen. Für das Fach Mathematik spielt der konstruktive Umgang mit Fehlern eine besondere Rolle.
Die Schülerinnen und Schüler sollen befähigt werden, Mathematik in einem breiten Spektrum unterschiedlicher Situationen anzuwenden. Mathematisches Denken entwickelt sich aber auch in der Reflektion über innermathematische Probleme. Zur Erreichung dieser Zielsetzungen müssen grundlegende Fähigkeiten und Fertigkeiten sicher beherrscht werden. Zurückliegende Inhalte müssen
durchgängig mit neuen Inhalten verknüpft werden, um kumulatives Lernen zu gewährleisten.
1)
2)
3)
4)
4
Niedersächsisches Schulgesetz (NSchG) in der Fassung vom 02. Juli 2003 (Nds. GVBl. S. 244).
„Die Arbeit in der Realschule“ (Erl. d. MK v. 03.02.2004 – SVBl. 3/2004, S. 100).
Niedersächsisches Kultusministerium (Hrsg.): Rahmenrichtlinien für die Realschule, Mathematik, Hannover 1992.
„Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss“ (KMK 04.12.2003).
Die Ziele des Mathematikunterrichts werden in Form verbindlicher allgemeiner und inhaltsbezogener
Kompetenzen beschrieben.
Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen bilden hierbei einen Rahmen, der durch spezifische
Leistungserwartungen (inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen) konkretisiert wird. Sie geben
Anhaltspunkte für die Gestaltung des Mathematikunterrichts, die an den Lernprozessen und Lernergebnissen der Schülerinnen und Schüler orientiert sind und nicht allein von der Fachsystematik der
mathematischen Lehrinhalte abhängen.
Im Einzelnen handelt es sich um folgende allgemeine Kompetenzen, die für alle Ebenen des Lehrens
1)
und Lernens von Mathematik in der Schule relevant sind :
(K1) Mathematisch argumentieren
Dazu gehört:
-
Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind („Gibt es … ?“, „Wie verändert
sich ... ?“, „Ist das immer so ...?“) und Vermutungen begründet äußern,
-
mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Begründungen, Beweise)
-
Lösungswege beschreiben und begründen.
(K2) Probleme mathematisch lösen
Dazu gehört:
-
vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten,
-
geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen auswählen
und anwenden,
-
die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren.
(K3) Mathematisch modellieren
Dazu gehört:
-
den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen,
-
in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten,
-
Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation interpretieren
und prüfen.
(K4) Mathematische Darstellungen verwenden
Dazu gehört:
-
verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden,
-
1)
Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen,
Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom
04.12.2003).
5
-
unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen
ihnen wechseln.
(K5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
Dazu gehört:
-
mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten,
-
symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt,
-
Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen,
-
mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software) sinnvoll und
verständig einsetzen.
(K6) Kommunizieren
Dazu gehört:
-
Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren, verständlich darstellen und
präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter Medien,
-
die Fachsprache adressatengerecht verwenden,
-
Äußerungen von anderen und Texte zu mathematischen Inhalten verstehen und überprüfen.
Die Strukturierung inhaltsbezogener mathematischer Kompetenzen nach mathematischen Leitideen
soll dazu anregen, bei der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten sachgebietsübergreifendes, vernetztes Denken und Verständnis grundlegender mathematischer Konzepte zu erreichen.
Die mathematischen Leitideen sind:
•
Zahl
•
Messen
•
Raum und Form
•
Funktionaler Zusammenhang
•
Daten und Zufall
Eine Leitidee vereinigt Inhalte verschiedener mathematischer Sachgebiete und durchzieht ein mathematisches Curriculum spiralförmig. Dadurch soll Erlerntes horizontal und vertikal vernetzt und seine
Nachhaltigkeit gewährleistet werden.
Der Mathematikunterricht in der Realschule bezieht sich auf lebensnahe und innermathematische
Problemstellungen, systematisiert und integriert die Erfahrungen der Schülerinnen und Schüler zu
einem vertieften Verständnis. Er leitet sie zu mathematischem Denken sowie sachlichem Argumentieren an und entwickelt ihre Fähigkeiten im Umgang mit mathematischen Werkzeugen und zur Modellierung von Sachzusammenhängen mit diesen Werkzeugen.
6
2
Zur Arbeit mit den Themenbereichen
Die Themenbereiche in den Schuljahrgängen 5 und 6 sind den fünf mathematischen Leitideen
zugeordnet.
Die Struktur der Themenbereiche wird durch allgemeine und inhaltsbezogene Kompetenzen, Intentionen und Inhalte bestimmt. Diese sind verbindlich und nehmen zwei Drittel der zur Verfügung stehenden Unterrichtszeit in Anspruch.
Die unter Didaktik/Methodik aufgeführten Hinweise sind Hilfen bei der unterrichtlichen Umsetzung. Sie
konkretisieren Unterrichtsinhalte und beziehen sich auf Fachbegriffe und Unterrichtsverfahren. Die
Verknüpfungen zeigen Möglichkeiten auf, wie der betreffende Themenbereich mit fachübergreifenden
Inhalten und anderen mathematischen Leitideen vernetzt werden kann und nennen mögliche innerfachliche Vertiefungen. Die Ausführungen zu den Themenbereichen werden jeweils abgeschlossen
durch Hinweise zur didaktischen und methodischen Einordnung.
Der Mathematikunterricht berücksichtigt in allen Themenbereichen die zuvor genannten allgemeinen
mathematischen Kompetenzen in unterschiedlicher Gewichtung.
Die Themenbereiche orientieren sich an den Leitideen und Kompetenzen, stellen aber keine Unterrichtseinheiten im herkömmlichen Sinne dar. Diese sind aus der Verknüpfung von Inhalten der Themenbereiche schulintern zu entwickeln.
Eine Unterrichtseinheit „Umfang und Flächeninhalt des Rechtecks“ verknüpft beispielsweise geometrische Formbetrachtungen, anwendungsorientiertes Üben von Rechenverfahren, den Umgang mit natürlichen Zahlen und Bruchzahlen, funktionale Überlegungen sowie den Umgang mit Termen. In einer
Unterrichtseinheit „Wahrscheinlichkeit“ sind Daten zu erheben und darzustellen, relative Häufigkeiten
durch Brüche zu beschreiben und geometrische Eigenschaften der Zufallsinstrumente zu betrachten.
Die Orientierung der Themenbereiche an Leitideen und Kompetenzen in Verbindung mit grundlegenden Begriffen des Faches gewährleistet die Durchlässigkeit zwischen den Schulformen.
7
3
Themenbereiche
Leitidee
3.1 Zahl
Schuljahrgang 5
Zeit/Std.
Schuljahrgang 6
Zeit/Std.
3.1.5 Rechnen mit
Bruchzahlen
32
3.1.1 Struktur der natürlichen Zahlen
10
3.1.2 Darstellung der
natürlichen Zahlen
10
3.1.3 Rechnen mit natürlichen Zahlen
20
3.1.4 Bruchzahlen und
erste Rechenoperationen
20
3.2 Raum und
Form
3.2.1 Struktur geometrischer Objekte
20
3.2.2 Symmetrie
16
3.3 Messen
3.3.1 Längen und
Flächeninhalte
20
3.3.2 Flächeninhalte und Volumina
20
3.4 Funktionaler
Zusammenhang
3.4.1 Variation und Abhängigkeit
10
3.4.2 Zuordnungen
20
3.5 Daten und
Zufall
3.5.1 Daten erheben und
auswerten
10
3.5.2 Zufallsexperimente planen und analysieren
12
3.1
Die Aspekte der Leitidee
„Funktionaler Zusammenhang“ in Schuljahrgang 5 sind in alle anderen Themenbereiche zu
integrieren.
Leitidee Zahl
Natürliche Zahlen
Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
-
Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen besitzen
-
Das dezimale Stellenwertsystem und Prinzip der Fortsetzbarkeit der dezimalen Zahldarstellungen
über den beherrschten Zahlraum hinaus verstehen
-
Mündliche und schriftliche Rechenoperationen im Bereich der natürlichen Zahlen beherrschen und
den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehroperationen erkennen
-
Kontrollverfahren für die rechnerische Richtigkeit kennen und anwenden
-
Variablen als Platzhalter für Zahlen verstehen und verwenden
8
Intentionen
Die Schülerinnen und Schüler kennen die Struktur der natürlichen Zahlen, haben Einsicht in ihre Darstellung, beherrschen Kopfrechentechniken und Rechenoperationen (halbschriftlich und schriftlich) in
altersangemessenen und alltagsrelevanten Zahlenräumen, setzen sie angemessen in Anwendungssituationen ein, nutzen Rechenvorteile und führen Überschlagsrechnungen und Proben als Kontrollverfahren im Zusammenhang mit Zahlenoperationen aus.
3.1.1
Zeitrichtwert: 10 Std.
Schuljahrgang: 5
Themenbereich
Struktur der natürlichen Zahlen
Inhalte
Hinweise
-
Menge der natürlichen Zahlen
Didaktik/Methodik
-
Vergleich und Ordnung natürlicher Zahlen
-
Zahlenraum bis 1 Milliarde
-
Klassifikation der natürlichen Zahlen
-
Zahlenstrahl
-
Primzahlen
-
Zahlen im Zahlenraum bis zu einer Milli-
-
Konkrete Vorstellungen von großen Zahlen
arde lesen (Zifferndarstellung, Zahlwort),
schreiben und an Hand der Zifferndarstellung ordnen
-
Gerade und ungerade Zahlen,
Quadratzahlen
-
Teiler und Vielfache (Teilermengen,
Vielfachenmengen)
-
Definition der Primzahlen über Zerlegbarkeit natürlicher Zahlen
-
Primzahlen bis 100 sicher
-
Prüfen auf Primzahleigenschaft
Verknüpfungen
-
Unendlichkeit
-
Kleinstes Element (besondere Rolle der
Null, historische Entwicklung)
-
Sieb des Eratosthenes
-
Besondere Primzahlsätze: Unendlichkeit
der Primzahlfolge, Primzahlzwillinge,
Goldbachsche Vermutung
9
3.1.2
Zeitrichtwert: 10 Std.
Schuljahrgang: 5
Themenbereich
Darstellung der natürlichen Zahlen
Inhalte
Hinweise
-
Verschiedene Zahldarstellungen
Didaktik/Methodik
-
Potenzdarstellung im Dezimalsystem
-
Bündelung, Zählen (Kilometerzähler)
-
Ein nicht dezimales Stellenwertsystem
-
Darstellung in der Stellenwerttafel
-
Runden
-
Sinnvolles Runden von Größen in Sachzusammenhängen
-
Vergleich dezimales-nichtdezimales Stellenwertsystem unter Strukturaspekten
Verknüpfungen
-
Zahldarstellung in den Naturwissenschaften
-
Leitidee Daten und Zufall: Daten erheben
und auswerten
-
Fortsetzbarkeit der Zahlwortbildung (Tausenderstruktur)
-
Römische Zahlen als Nichtstellenwertsystem und historischer Bezug; Einteilung
der Größe „Zeit“ (12er, 60er)
-
10
Dualsystem bei Computern
3.1.3
Inhalte
-
Zeitrichtwert: 20 Std.
Schuljahrgang: 5
Themenbereich
Rechnen mit natürlichen Zahlen
Hinweise
Mündliche und schriftliche Addition, Sub-
Didaktik/Methodik
traktion, Multiplikation und Division
-
Überschlagsrechnungen, Kontrollverfahren,
Einbettung in Anwendungen; Rechnen mit
Größen
Teilbarkeitsregeln, Umkehroperationen
-
Kopfrechnen
Fachbegriffe im Rahmen der Grundrechen-
-
Rechenvorteile
arten
-
Schriftliche Division mit zweistelligem Divi-
-
Zusammenhang der Rechenoperationen
sor
-
Hierarchie der Rechenoperationen
-
Klammern
-
Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distri-
-
Begründung der Rechengesetze an Bei-
butivgesetz
spielen
-
Zahlenterme
-
Umkehroperationen
-
Einfache Gleichungen
-
Lösen einfacher Gleichungen über Umkehroperationen
-
Modellierung von Sachaufgaben durch
Zahlenterme
-
Teilbarkeitsregeln für 2, 4, 8, 5, 10 (10n), 3, 9
-
Quersumme
Verknüpfungen
-
Rolle der 0 und 1
-
Teilbarkeitssätze und Entwicklung weiterer
Teilbarkeitsregeln
-
Allgemeine Darstellung von Rechengesetzen mit Variablen
Der Unterricht greift die Vorkenntnisse aus der Grundschule auf, vertieft das Verständnis für die Eigenschaften der natürlichen Zahlen und festigt die Fertigkeiten im Rechnen in variantenreichen Übungen, die
aus problem- und anwendungsorientierten Fragestellungen erwachsen. Kopfrechenfertigkeiten, auch in
Verbindung mit dem Notieren von Zwischenergebnissen (halbschriftliches Rechnen), sind dauernd zu
trainieren und haben gegenüber den schriftlichen Rechenverfahren im Zeitalter der Taschenrechnerpräsenz eher an Bedeutung zugenommen. Sachgerechtes Runden und Überschlagsrechnungen gehören
mit dazu. Teilbarkeitsbetrachtungen erweitern die Kenntnisse über natürliche Zahlen und bieten auf unterschiedlichem Niveau umfangreiche Möglichkeiten zur Beschreibung und Begründung von Zusammenhängen.
11
Bruchzahlen
Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
- Grundvorstellungen von gebrochenen Zahlen besitzen und diese auf verschiedene Weise an unterschiedlichen Repräsentanten der Einheit darstellen
-
Gewöhnliche Brüche ordnen und vergleichen
-
Die Grundrechenarten im Bereich der Brüche beherrschen
-
Gewöhnliche und dezimale Bruchdarstellungen ineinander umrechnen können und die Beziehung
für einfache Nenner auswendig wissen
-
Die Bedeutung der periodischen Darstellung bei Dezimalbrüchen kennen
Intentionen
Die Schülerinnen und Schüler haben sinntragende Vorstellungen von Brüchen und Einsicht in ihren
Aufbau und ihre Darstellung. Sie führen die Grundrechenarten mit gewöhnlichen Brüchen und endlichen Dezimalbrüchen sicher aus und wenden die Bruchrechnung zur Lösung von Sachproblemen an.
Verständnis des fachlichen Hintergrundes (Grundvorstellungen) und Sicherheit im Umgang mit Brüchen mit überschaubaren Nennern stehen im Vordergrund.
3.1.4
Inhalte
-
Zeitrichtwert: 20 Std.
Schuljahrgang: 5
Themenbereich
Bruchzahlen und erste Rechenoperationen
Hinweise
Brüche als Teil eines Ganzen und Teile
Didaktik/Methodik
mehrerer Ganzer
-
Größenkonzept von Brüchen: Kreis, Recht-
Brüche als Operatoren zur Bildung von
eck, Menge diskreter Objekte, Strecke, Zah-
Bruchteilen
lenstrahl
Bruchzahlen in unterschiedlicher Darstel-
-
lung
Handelnde, zeichnerische, formale Darstellung in wechselseitigem Bezug
-
Ordnen von Bruchzahlen
-
Operatoren zur Erzeugung von Brüchen
-
Dezimalbruchschreibweise gewöhnlicher
-
Multiplikation von Brüchen mit natürlichen
Zahlen auf Addition zurückführen
Brüche mit den Nennern 10 und 100
-
Einführung des Prozentbegriffes
-
-
Addition und Subtraktion von Brüchen mit
Verknüpfungen
gleichen Nennern
-
Messwerte in Physik, Chemie
Multiplikation von Brüchen mit natürlichen
-
Leitidee Messen
Zahlen
-
Leitidee Daten und Zufall
-
12
Erweiterung der Stellenwerttafel nach rechts
3.1.5
Zeitrichtwert: 32 Std.
Schuljahrgang: 6
Themenbereich
Rechnen mit Bruchzahlen
Inhalte
Hinweise
-
Brüche als Ergebnis einer Division
Didaktik/Methodik
-
Verhältnisbegriffe (Teil zum Ganzen; zwei
-
Grundvorstellungen über Brüche erweitern
Teile eines Ganzen zueinander)
-
Beziehungen zwischen einfachen Brüchen
-
Erweitern und Kürzen von Brüchen
mit den Nennern (1), 2, 3, 4, 5, 8, 9 , 10, 20,
-
Vergleichen und Ordnen von Brüchen mit
100 und ihren Dezimalbruchdarstellungen
gleichen und unterschiedlichen Nennern
(insbesondere Zähler 1) auswendig wissen
-
Einbetten der natürlichen Zahlen in die
-
schätzen
Bruchzahlen
-
Brüche in gemischter Schreibweise
-
Sicheres Beherrschen der Grundrechenarten mit überschaubaren Nennern
-
-
Division durch Bruch als Messvorgang (enthalten sein) verstehen
-
Typische Fehlvorstellungen (z.B. Produkt
immer größer als Faktoren) verbalisieren
Division zur Bestimmung von Dezimalbrüchen
Ergebnisse von Operationen mit Brüchen
-
Einbetten des Rechnens mit Bruchzahlen in
-
Periodische Dezimalbrüche
Anwendungszusammenhänge
-
Rechnen mit Dezimalbrüchen
Verknüpfungen
-
Rechnen mit einfachen Prozentsätzen
-
Leitidee Messen
-
Zahlenterme
-
Periodische Dezimalbrüche zur Ausführung
-
Einfache Gleichungen
von Operationen durch gewöhnliche Brüche
(Nenner 3 und 9) ersetzen
-
Wissen um die mögliche Ungenauigkeit der
Ergebnisse beim Rechnen mit periodischen
Dezimalbrüchen, sinnvolles Runden
Die Schülerinnen und Schüler bringen aus der Grundschule einen eingeschränkten Bruchzahlbegriff
mit, in dem Brüche an ganz konkrete, eng begrenzte Erscheinungen aus dem Alltag gebunden sind.
Aufgrund der Schwierigkeiten bei der Entwicklung eines umfassenden Bruchzahlbegriffs werden spiralförmig im Schuljahrgang 5 konkret und anschaulich Grundvorstellungen von Bruchzahlen entwickelt,
einfache Fälle der Bruchoperationen eingeführt und im Schuljahrgang 6 die Fälle behandelt, die einen
höheren formalen Aufwand erfordern. Auch hierbei sind bedeutungshaltige Vorstellungen von besonderer Wichtigkeit. Die Entwicklung der Rechenfertigkeit kann sich auf Operationen mit überwiegend
einstelligen Nennern beschränken.
13
3.2
Leitidee Raum und Form
Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
-
Flächen- und Körperformen unterscheiden, benennen und in ihrer Umwelt identifizieren
-
Körper in unterschiedlichen Darstellungen erkennen
-
Geometrische Figuren und Körperschrägbilder unter Verwendung angemessener Hilfsmittel zeichnen
-
Geometrische Figuren im Koordinatensystem (1. Quadrant) darstellen und Koordinaten von Punkten ablesen
-
Konkret handelnd und konstruierend Bilder von Figuren durch Parallelverschiebung und
Achsenspiegelung erzeugen
-
Winkel schätzen, messen, zeichnen, klassifizieren und berechnen
Intentionen
Die Schülerinnen und Schüler ordnen geometrische Erfahrungen und beschreiben sie durch Fachbegriffe. Sie operieren konkret und in der Vorstellung mit geometrischen Objekten und finden Lösungen für Sachprobleme mit geometrischen Inhalten.
3.2.1
Zeitrichtwert: 20 Std.
Schuljahrgang: 5
Themenbereich
Struktur geometrischer Objekte
Inhalte
Hinweise
-
Gerade, Strecke, Strahl
Didaktik/Methodik
-
Parallel, senkrecht
-
-
Rechteck, (Quadrat), Parallelogramm, Raute, Trapez, Drachen und ihre Eigenschaften
Fachbegriffe (z.B. Ecke, Kante; Seitenfläche)
-
Schnittpunktbilder zur Begriffsbildung (Ge-
-
Dreieck, Kreis
-
Quader (Würfel), Zylinder, Kegel, Pyramide,
-
Erstellung unterschiedlicher Quadermodelle
Kugel und ihre Eigenschaften
-
Ansichten
Darstellung von Quader (Würfel) in Model-
-
Arbeit an Würfel-, Quadernetzen (Hand-
-
rade)
len und als Schrägbild
lungsebene)
-
Anzahl der Würfelnetze (Systematisierung)
-
Teilstücke ebener Figuren zu vollständigen
Figuren ergänzen
-
Gedanklich mit Flächen und Körpern operie-
-
Würfelschnitte
ren
Verknüpfungen
-
Konstruktion einfacher Figuren
-
Beziehung Geradenzahl – Schnittpunktzahl,
Zahl der Gebiete (Fallunterscheidung)
-
Quader aus Quadern (Soma-Würfel,
Streichholzschachteln)
-
14
Eulerscher Polyedersatz
3.2.2
Zeitrichtwert: 16 Std.
Schuljahrgang: 6
Themenbereich
Symmetrie
Inhalte
Hinweise
-
Symmetrie in Natur und Technik
Didaktik/Methodik
-
Spiegelung und Parallelverschiebung
-
Figuren handelnd erzeugen
-
Winkelbegriff, Winkelarten
-
Punkte, Figuren, Abbildungen im 1. Quad-
-
Winkel messen und zeichnen
ranten des Koordinatensystems (Legespie-
-
Klassifizierung von Dreiecken und Vier-
le)
ecken über Seitenlängen, Winkel,
-
Vollkreiswinkelmesser (Grad-, Prozent-,
Bruchzahleinteilung) für die Einführung
Symmetrie
-
Begründung für Winkelgleichheit an Paralle-
-
Scheitel- und Nebenwinkel
-
Stufen- und Wechselwinkel
-
Koordinatensystem zur Kodierung der Lage
-
von Punkten
Verknüpfungen
len über Parallelverschiebung
-
Umgang mit Zirkel und Geodreieck
Auf dem Hintergrund der bekannten
geometrischen Abbildungen
Parkettierungen und Bandornamente
erstellen und analysieren
-
Deckabbildungen (Quadrat; gleichseitiges
Dreieck)
Die Arbeit mit geometrischen Objekten trägt in besonderer Weise zur Entwicklung des Raumvorstellungsvermögens bei. Dieses wird gefördert durch verschiedenartige Darstellungen von Körpern in Modellen, Schrägbildern und Ansichten sowie die wechselseitige Übersetzung dieser Darstellungen ineinander.
Auf die sachgemäße Verwendung von Schreib- und Zeichengeräten ist Wert zu legen.
Es bieten sich vielfältige Anlässe, probierende und systematisierende Verfahren zu verbinden.
15
3.3
Leitidee Messen
Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
-
Alltagsbezogene und schülerbezogene Repräsentanten von Längen, Flächeninhalten, Volumina
und Winkeln verwenden, eine Vorstellung von diesen Größen entwickeln und Größen schätzen
-
Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken (Quadrat) sowie Oberfläche und Volumen von Quadern (Würfel) in innermathematischen Kontexten und Alltagszusammenhängen berechnen
-
Anschauungsgestützt aus Umfang, Flächeninhalt oder Volumen sowie gegebenen Seiten- oder
Kantenlängen die fehlende Seiten- oder Kantenlänge bestimmen
-
Mit Längen, Flächen und Volumina rechnen und Einheiten dieser Größenbereiche in benachbarte Einheiten umwandeln
Intentionen
Die Schülerinnen und Schüler verfügen über einen tragfähigen Längen-, Flächeninhalts- und Volumenbegriff. Sie können die formelmäßige Berechnung von Flächeninhalten und Volumina auf sachgerechte Vorstellungen über die entsprechenden Messvorgänge zurückführen. Geläufige Einheiten von
Größen des Alltags werden flüssig und sicher ineinander umgerechnet.
3.3.1
Zeitrichtwert: 20 Std.
Schuljahrgang: 5
Themenbereich
Längen und Flächeninhalte
Inhalte
Hinweise
-
Umfang des Rechtecks (Quadrats)
Didaktik/Methodik
-
Flächeninhalt des Rechtecks (Quadrats)
-
-
Flächenmaße (mm , cm , dm , m )
scheiden, Bezug zu den Berechnungsfor-
-
Berechnung der fehlenden Seitenlänge aus
meln und -operationen
2
2
2
2
Umfang bzw. Flächeninhalt sowie gegebe-
-
Flächeninhalts- vom Umfangsbegriff unter-
Längen- und Flächenmaße am eigenen
ner Seitenlänge
Körper und im Klassenraum veranschauli-
Aufstellen von Berechnungstermen
chen
-
Flächenberechnung aus Messvorgang mit
Einheitsquadraten ableiten
-
Aus Rechtecken zusammengesetzte Flächen berechnen
-
Anwendung in Sachaufgaben
-
Kopfgeometrie und Kopfrechnen
Verknüpfungen
16
-
Leitidee Zahl
-
Leitidee Funktionaler Zusammenhang
3.3.2
Zeitrichtwert: 20 Std.
Schuljahrgang: 6
Themenbereich
Flächeninhalte und Volumina
Inhalte
Hinweise
2
-
Flächenmaße (a, ha, km )
-
Volumen des Quaders (Würfels)
-
Didaktik/Methodik
-
Arbeit im Schulgelände (Flächenmaße)
Volumeneinheiten (mm , cm /ml, dm /l, m ,
-
Quader (Alltagsgegenstände) ausmessen
hl)
-
Volumenberechnung aus Messvorgang ab-
3
3
3
3
leiten
Oberfläche des Quaders (Würfels)
-
Anwendung in Sachaufgaben
Verknüpfungen
-
Leitidee Zahl: Rechnen mit Bruchzahlen
(3.1.5)
-
Oberflächen- und Volumenberechnungen
von aus Quadern zusammengesetzten Körpern
An lebensnahen Sachverhalten werden konkrete Messungen mit geeigneten Instrumenten und Verfahren durchgeführt. Das Messen stellt die Beziehung zwischen der realen Welt und den Zahlen dar.
Die Verbindung leistet einen wesentlichen Beitrag zur Modellierungsfähigkeit, indem mathematische
Kenntnisse aus Arithmetik und Geometrie zur Lösung von Problemen eingesetzt werden, die Situationen aus der Erfahrungswelt entstammen.
17
3.4
Leitidee Funktionaler Zusammenhang
Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
-
Muster und Zusammenhänge zwischen vorkommenden Größen erkennen, Folgen fortsetzen und
eigene Folgen entwickeln
-
Informationen zu einfachen Sachzusammenhängen aus vorhandenen Tabellen und Diagrammen
entnehmen
-
Zusammenhänge zwischen Größen durch systematische Variation untersuchen, tabellarisch, grafisch und sprachlich darstellen
-
In Sachzusammenhängen Zuordnungen zwischen Größenbereichen erkennen
-
In proportionalen Zusammenhängen fehlende Größen berechnen
-
Sachprobleme rechnerisch bearbeiten und die Ergebnisse interpretieren und validieren
Intentionen
Die Schülerinnen und Schüler erkennen und erzeugen Zahlenfolgen und geometrische Muster, verändern Größen und untersuchen die Auswirkungen auf abhängige Größen, sie äußern Vermutungen
und prüfen sie. Sie entwickeln ein Verständnis für proportionale Zusammenhänge und die Grenzen
dieser Modellierung in Alltagssituationen.
3.4.1
Zeitrichtwert: 10 Std.
Schuljahrgang: 5
Themenbereich
Variation und Abhängigkeit
Inhalte
Hinweise
-
Zahlenfolgen
Didaktik/Methodik
-
Geometrische Zusammenhänge
-
-
Tabelle und Graf
Zahlenpunktbilder (Quadratzahlen, Dreieckszahlen)
-
Variation in Zahlenmauern
-
Abhängigkeit des Rechteckumfangs und
-flächeninhalts von der Veränderung der
Seitenlängen (Verdopplung, Halbierung, ...)
-
Zerschneiden gefärbter Würfel (Anzahl der
Würfel mit drei, zwei, einer und ohne gefärbte Seitenfläche(n) bestimmen)
Verknüpfungen
-
Leitideen Zahl, Raum und Form, Messen
-
Pascalsches Dreieck
-
Fibonacci-Folge und Auftreten in der Umwelt
18
3.4.2
Zeitrichtwert: 20 Std.
Schuljahrgang: 6
Themenbereich
Zuordnungen
Inhalte
Hinweise
-
Betrachtung funktionaler Zusammenhänge
Didaktik/Methodik
in zur Verfügung stehenden Themenberei-
-
Zahlenfolgen mit Brüchen
chen
-
Abhängigkeit der Volumina von der Verän-
-
Proportionale Zuordnung von Größenbereichen
-
derung der Kantenlängen
-
Berechnung fehlender Größen
Erstellung und Fortsetzung von
Zuordnungstabellen in
-
Darstellung
Sachzusammenhängen
in Tabellen und Diagrammen
-
Systematische Veränderung von Zählern
und Nennern von Brüchen
-
Minuten-Stundenanzeige und Winkelgröße
Verknüpfungen
-
Physik: Temperatur und Ausdehnungen
(2.3.1)
-
Leitidee Zahl
-
Leitidee Raum und Form
-
Leitidee Messen
Den Lernenden sind aus dem Alltag vielfältige Beispiele für Zuordnungen bekannt. Die diesen Beispielen zu Grunde liegenden Strukturen müssen der Altersstufe gemäß beschrieben und verglichen
werden. Der Einsatz unterschiedlicher Darstellungsformen für Zuordnungen ist dafür unabdingbar.
Insbesondere muss das Denken in Proportionen entwickelt und das Lösen entsprechender Anwendungsaufgaben sicher bewältigt werden.
19
3.5
Leitidee Daten und Zufall
Daten erheben und auswerten
Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
-
Statistische Erhebungen zu aufgeworfenen Fragestellungen planen
-
Daten systematisch sammeln, in Tabellen aufbereiten und grafisch darstellen
-
Grafische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen auswerten
-
Daten unter Verwendung von Kenngrößen interpretieren
Intentionen
Die Schülerinnen und Schüler planen statistische Erhebungen, führen diese durch, stellen die Ergebnisse in Tabellen und Grafiken dar und werten sie aus.
3.5.1
Zeitrichtwert: 10 Std.
Schuljahrgang: 5
Themenbereich
Daten erheben und auswerten
Inhalte
Hinweise
-
Daten systematisch erheben
Didaktik/Methodik
-
Daten auf unterschiedliche Weise darstellen
-
-
Daten auswerten, Kennwerte berechnen
-
Daten durch Experiment, Beobachtung oder
Befragung zielgerichtet gewinnen
und die Ergebnisse interpretieren
-
Tabelle, Streifen- und Balkendiagramm
Ergebnisse präsentieren
-
Anzahlen, relative Häufigkeit, Mittelwert
-
Beispiele für irreführende Darstellungen
-
Kurzreferat, Plakat
Verknüpfungen
-
Physik: Temperatur und Ausdehnungen
(2.3.1)
-
Leitidee Zahl (Prozentbegriff)
-
Leitidee Messen
Ergebnisse statistischer Erhebungen begegnen Schülerinnen und Schülern im Alltag. Ihre Interpretation setzt eigene Erfahrungen voraus, die an Fragestellungen aus dem Erfahrungs- und Interessenbereich der Lernenden gewonnen werden können. Die fächerübergreifende Zusammenarbeit bietet sich
bei diesem Themenbereich besonders an.
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Zufallsexperimente planen und analysieren
Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
-
Zufallserscheinungen aus dem Alltag beschreiben und qualitativ vergleichen
-
Zufallsexperimente durchführen und auswerten
-
Wahrscheinlichkeiten in klassischen Zufallsexperimenten aus dem Aufbau der Zufallsinstrumente
erschließen
-
Den Zusammenhang zwischen relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten erkennen
Intentionen
Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass sich Zufallserscheinungen mit mathematischen Mitteln
beschreiben lassen. Sie wissen, dass der einzelne Ausfall nicht vorhersagbar ist, wohl aber die relative Häufigkeit bei einer großen Anzahl von Versuchen.
3.5.2
Zeitrichtwert: 12 Std.
Schuljahrgang: 6
Themenbereich
Zufallsexperimente planen und analysieren
Inhalte
Hinweise
-
Zufallsexperimente durchführen und aus-
Didaktik/Methodik
werten
-
-
Begriff des unmöglichen, möglichen, siche-
Relative Häufigkeiten bestimmen und durch
ren Ereignisses mit Bezug auf Alltagssitua-
Brüche beschreiben
tionen
Erwartetete relative Häufigkeiten als Wahr-
-
Zufallsversuche mit Münze, Würfel, Urne,
scheinlichkeiten durch Bruchzahlen be-
Glücksrad
schreiben
(Streichholzschachtel, Heftzwecke...)
-
und
anderen
Gegenständen
Große Versuchszahlen in der Klasse zur
Vorbereitung des Gesetzes der großen Zahlen
Verknüpfungen
-
Leitidee Zahl
-
Leitidee Raum und Form: Symmetrie
-
Kombinatorische Fragestellungen
-
Mehrstufige Zufallsexperimente
-
Nutzung von Auswertungssoftware
Ausgangspunkt aller Überlegungen zur Leitidee Daten und Zufall sind eigene Erfahrungen der Schülerinnen und Schüler, die durch selbst durchgeführte Erhebungen und Experimente ergänzt bzw. gewonnen werden. Offenere projektartige Unterrichtsformen bieten sich daher in besonderer Weise an.
Der Leitidee Daten und Zufall sind zwei Themenbereiche zugeordnet, eine enge Verzahnung ist aber
unabdingbar.
Vor der Durchführung von Zufallsexperimenten ist es sinnvoll, dass die Schülerinnen und Schüler ihre
Erwartungen über den Ausgang formulieren und später mit dem tatsächlichen Ausgang vergleichen.
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4
Leistungsfeststellung und -bewertung
Leistungsüberprüfungen sind Bestandteil des Unterrichts; sie sind Kompetenz orientiert und beziehen sich schwerpunktmäßig auf die Ziele und Inhalte des vorangegangenen Unterrichts und die
dort erarbeiteten Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, umfassen aber auch Problemstellungen, die im Unterricht im Rahmen von inhaltlicher Vernetzung und kumulativem Lernen aufgegriffen und wiederholt wurden.
Die beobachteten Leistungen gestatten einerseits Rückschlüsse auf den Unterrichtserfolg und den
Leistungsstand der Lerngruppe insgesamt und sind somit auch Grundlage für die Planung des
weiteren Unterrichts; andererseits dienen sie zur Beurteilung der individuellen Leistungen der
Schülerinnen und Schüler.
Lernkontrollen, die ausschließlich der Gewinnung von Informationen über den individuellen oder
klassenspezifischen Lernfortschritt dienen und solche, die zur Bewertung von Schülerleistungen
eingesetzt werden, können vielfältige Formen haben (z.B. mündlich, schriftlich, Abfrage, vorbereitete Darstellung eines Themas, Portfolio). Zur Förderung des selbstständigen Lernens sind bei der
Lernstandsdiagnose auch solche Formen einzubeziehen, die von den Schülerinnen und Schülern
selbst ausgewertet werden.
Die Gesamtleistung der Schülerinnen und Schüler beinhaltet schriftliche sowie mündliche und andere fachspezifische Leistungen. Die Bewertung der mündlichen und anderen fachspezifischen
Leistungen wird durch intensive Beobachtung des gesamten Lernprozesses der Schülerinnen und
Schüler gewonnen.
Die Lernenden haben Anspruch auf Transparenz der Beurteilungskriterien und der Bewertung. Die
Erziehungsberechtigten sind nach § 96 (3) Niedersächsisches Schulgesetz über die Grundsätze
der Leistungsbewertung zu informieren. Die Fachkonferenz hat die Vergleichbarkeit des Anspruchsniveaus von Klassenarbeiten und die damit verbundene Zensurengerechtigkeit zwischen
Parallelklassen einer Schule zu gewährleisten.
Art und Inhalt der Aufgabenstellungen in den schriftlichen Arbeiten sind Kompetenz orientiert und
entsprechen dem unterrichtlichen Vorgehen. Sie spiegeln die Vielfalt der im Unterricht erarbeiten
Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten wider und beinhalten bei gestuftem Anspruchsniveau
sowohl eingeübte Verfahren als auch variantenreich gestaltete bekannte oder abgewandelte Problemstellungen. Die Kommunikations- und Argumentationsfähigkeit wird in Aufgabenstellungen erfasst, in denen dem kognitiven Entwicklungsstand angemessen Lösungswege zu beschreiben und
zu vergleichen sind oder Begründungen und Interpretationen gefordert werden.
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Bei der Bewertung der schriftlichen Lernkontrollen sind neben dem Ergebnis auch Zwischenschritte
und die Darstellung des Lösungsweges zu berücksichtigen.
Eine ausreichende oder bessere Leistung liegt in der Regel dann vor, wenn mehr als die Hälfte der
erwarteten Leistung erbracht wurde. Die Intervalle für die sehr guten bis ausreichenden Leistungen
und die Grenze zwischen mangelhafter und ungenügender Leistung bestimmt die Fachkonferenz
verbindlich für die Schule.
1)
Die Anzahl der schriftlichen Lernkontrollen regelt der Erlass „Die Arbeit in der Realschule“ .
Zur Beurteilung der mündlichen und anderen fachspezifischen Leistungen können u.a. dienen die
Beiträge im Unterricht mit den möglichen Bewertungsgesichtspunkten:
Einbringen kreativer Ideen
Einbinden der Lösungsideen
Finden von Beispielen, Gegenbeispielen
Verständliches und präzises Darstellen
Sinnvolles Umgehen mit technischen Hilfsmitteln
Zielgerichtetes Beschaffen von Informationen
Konstruktives Umgehen mit Fehlern
Fehlerfreie Anwendung geübter Fertigkeiten
Sachorientierte Kommunikationsfähigkeit
Zielgerichtete und kontinuierliche Auseinandersetzung mit Anforderungen in Stillarbeitsphasen
Planen und Koordinieren der Arbeit in einer Gruppe
Auf sonstige im Unterricht erbrachte Leistungen (z.B. Kurzreferate, Erstellung von Postern, Bau
von Körpermodellen) sind die Gesichtpunkte angemessen zu übertragen. Lösungsansätze bei
Schul- und vor allem Hausaufgaben sind zu würdigen. Den Schülerinnen und Schülern muss bewusst sein, dass auch das sachgerechte Umgehen mit eigenen Irrtümern und Fehlern eine positive
Leistung sein kann.
Mit der Veränderung von Unterrichtsformen oder der Einbeziehung neuer Medien werden die Gesichtspunkte zu modifizieren und zu erweitern sein.
Die Beobachtung im Unterricht soll kontinuierlich erfolgen und muss sich bei der Notengebung auf
mehr als eine punktuelle Leistungserfassung beziehen, damit die Lernenden sicher sein können,
dass ihre Lernprozesse in die Leistungsbewertung eingehen.
1)
„Die Arbeit in der Realschule“ (Erl. d. MK v. 03.02.2004 – SVBl. 3/2004, S. 100).
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