Zur Behandlung der Division

Zur Behandlung der Division
Klassifikationstypen und heuristische Strategien
Wiederholung: Erkennen der Operation und
des Klassifikationstypes
Am Inselsberg ist ein neuer Skilift in Betrieb genommen
worden. Es ist ein Sessellift mit 12 Gondeln. In jeder Gondel
haben 4 Personen Platz.
Wie viel Personen können damit transportiert werden?
Papa hat die Urlaubsstrecke in die Schweizer Alpen geplant
und die Gesamtstrecke von 1089 km in Abschnitte geteilt.
Am ersten Tag will die Familie die 378 km bis nach München
reisen und dort bei Tante Helga übernachten. Am zweiten
Tag geht es 247 km bis nach Basel. Welche Wegstrecke
muss die Familie dann noch zurücklegen?
Wiederholung: Erkennen der Operation und
des Klassifikationstypes
Am Inselsberg ist ein neuer Skilift in Betrieb genommen worden. Es
ist ein Sessellift mit 12 Gondeln. In jeder Gondel haben 4 Personen
Platz.
Wie viel Personen können damit transportiert werden?
Multiplikation: räumlich-simultaner (statischer) Aspekt
Papa hat die Urlaubsstrecke in die Schweizer Alpen geplant und die
Gesamtstrecke von 1089 km in Abschnitte geteilt. Am ersten Tag will
die Familie die 378 km bis nach München reisen und dort bei Tante
Helga übernachten. Am zweiten Tag geht es 247 km bis nach Basel.
Welche Wegstrecke muss die Familie dann noch zurücklegen?
Subtraktion: Vereinigen (Teilmenge gesucht)
Wiederholung: Erkennen der Operation und
des Klassifikationstypes
Lena hat im Sportgeschäft ein Paar Alpinskier für 149.- €
gesehen. Wenige Tage später werden die gleicher Skier im
Winterschlussverkauf für 129.99 € angeboten. Wie viel Geld
kann Lena sparen, wenn sie die Skier im
Winterschlussverkauf nimmt?
Paul wünscht sich neue Skier. Es hat im
Winterschlussverkauf ein Paar im Angebot für 149.- €
gesehen. Sein Geburtstagsgeld in Höhe von 85.- € reicht
dafür leider noch nicht. Wie viel Geld muss Paul noch von
seinem Spargeld hinzutun?
Wiederholung: Erkennen der Operation und
des Klassifikationstypes
Lena hat im Sportgeschäft ein Paar Alpinskier für 149.- €
gesehen. Wenige Tage später werden die gleicher Skier im
Winterschlussverkauf für 129.99 € angeboten. Wie viel Geld kann
Lena sparen, wenn sie die Skier im Winterschlussverkauf nimmt?
Addition/ Subtraktion: Vergleichen (Operator gesucht)
Paul wünscht sich neue Skier. Es hat im Winterschlussverkauf ein
Paar im Angebot für 149.- € gesehen. Sein Geburtstagsgeld in
Höhe von 85.- € reicht dafür leider noch nicht. Wie viel Geld muss
Paul noch von seinem Spargeld hinzutun?
Subtraktion: Ergänzen/ Addition: Ausgleichen
Lösungsstrategien zu Divisionsaufgaben
vor der Behandlung der Operation
Beispielaufgabe:
Mama hat eine Tüte Bonbons
mit
insgesamt 18 Stück geöffnet.
Jedes der 6 Kinder bekommt
gleich viele.
reine Schätzstrategie: das
Ergebnis wird geschätzt und
über eine wiederholte
Addition geprüft
Schätzen und Verteilen: das
Ergebnis wird geschätzt und
dabei wird ein Verteilen
gleich vorgenommen
Beispielaufgabe:
Mama hat eine Tüte mit 18 BonBons geöffnet. Jedes Kind bekommt 3 Bonbons.
Rückwärtsstrategie: es
werden Teilmengen in der
Größe des Divisors gebildet
Vorwärtsstrategie: es
werden so lange
Teilmengen in der Größe
des Divisors hingelegt, bis
die Gesamtzahl erreicht ist
Grundvorstellungen der Division
Was ist Dividieren?
es ist das Zerlegen einer endlichen Menge in
gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen
kann aus unterschiedlichen Sachkontexten
hergeleitet werden können
Aufteilen
Verteilen
Beispiele zum Aufteilen
In einer Kiste liegen 18 Mandarinen. Immer 6 werden in
einen Beutel verpackt. Wie viele Beutel können gefüllt
werden?
(zeitlich-sukzessiver Kontext)
In der Klasse 2 a lernen 24 Kinder. Die Lehrerin sagt:
Bildet Vierergruppen. Wie viele Gruppen entstehen?
(räumlich-simultaner Kontext)
Papa hat ein Brett von 3 m Länge im Baumarkt gekauft.
Um die Bretter anschrauben zu können, muss er 60 cm
lange Stücke abschneiden.
(Aufteilen bei Längen entspricht dem Messen)
Beispiele zum Verteilen
In einer Kiste liegen 18 Mandarinen. Sie sollen in 3
Beutel gleichmäßig verpackt werden. Wie viele
Mandarinen kommen in einen Beutel?
In der Klasse 2 a lernen 20 Kinder. Die Lehrerin sagt:
Wir wollen 4 gleich starke Gruppen bilden. Wie viele
Kinder gehören zu einer Gruppe?
20 Plättchen liegen geordnet auf dem Tisch. Sie liegen
in 5 Reihen, in jeder Reihe liegen gleich viele. Wie viele
Plättchen gehören zu einer Reihe?
Grundvorstellungen der Division
Aufteilen
Was charakterisiert das
Aufteilen?
gegeben ist die Gesamtmenge (entspricht in der
formalen Aufgabe dem
Dividenden) und die
Anzahl der Elemente in
der Teilmenge
gesucht ist die Anzahl
der Teilmengen
Verteilen
Was charakterisiert das
Verteilen?
gegeben ist die Gesamtmenge (entspricht in der
formalen Aufgabe dem
Dividenden) und die
Anzahl der Teilmengen
gesucht ist die Anzahl
der Elemente in der
Teilmenge
Weitere Grundvorstellungen zur Division,
die ergänzend zu behandeln sind
Division als Umkehrung der Multiplikation
eine Multiplikationsaufgabe wird genutzt, um die
Division zu begründen
Beispiel: 18 : 3 gesucht ist die Zahl, die mit 3
multipliziert 18 ergibt
Grund: Rechnen von Grundaufgaben
Division als wiederholte Subtraktion
formale Beziehung zur Subtraktion zur Einführung der
Division nutzen
Beispiel: 18 : 3 Wie oft können wir 3 von 18
abziehen, bis wir Null erhalten?
Grund: halbschriftliche und schriftliche Division
Weitere Grundvorstellungen zur Division,
die ergänzend zu behandeln sind
Division als multiplikativer Vergleich
Beispiel: Arne und Thomas sammeln Briefmarken. Arne
hat 3 mal soviel Marken mit Rennautos wie Thomas.
Arne kann 21 Marken in seinem Album finden. Wie viele
Briefmarken mit Rennautos hat Thomas?
Grund: Sachsituationen im täglichen Leben
Welchem Klassifikationstyp entspricht jede
Aufgabe?
Gr. A
Jonas hat eine
Schachtel mit 20
Murmeln gefunden. Die
5 Kinder beschließen
nun, damit zu spielen.
Maria sagt zu ihrem
Bruder, Mama und
Papa: Kommt, wir
spielen zusammen
„Mau, mau“. Dazu gibt
sie die 32 Karten
gleichmäßig aus.
Gr. B
Zu einem Memoryspiel
gehören 48 Kärtchen.
Jedes Kind bekommt
gleich viele Kärtchen,
nämlich immer 8.
Theo hat 15 Luftballons
aufgeblasen. Immer 5
Luftballons werden an
einer Girlande befestigt.
Mit den Girlanden wird
der Raum geschmückt.
Formulieren Sie die Aufgabe so um, dass der
jeweils andere Aspekt zum Ausdruck kommt.
Gr. A
Maria sagt zu ihrem
Bruder, Mama und
Papa: Kommt, wir
spielen zusammen
„Mau, mau“. Dazu gibt
sie die 32 Karten
gleichmäßig aus.
Gr. B
Theo hat 15 Luftballons
aufgeblasen. Immer 5
Luftballons werden an
einer Girlande befestigt.
Mit den Girlanden wird
der Raum geschmückt.
Welchem Klassifikationstyp entspricht jede
Aufgabe? Lösungen
Gr. A
Jonas hat eine Schachtel
mit 20 Murmeln gefunden.
Die 5 Kinder beschließen
nun, damit zu spielen.
Verteilen
Maria sagt zu ihrem
Bruder, Mama und Papa:
Kommt, wir spielen
zusammen „Mau, mau“.
Dazu gibt sie die 32 Karten
gleichmäßig aus.
Verteilen
Gr. B
Zu einem Memoryspiel
gehören 48 Kärtchen.
Jedes Kind bekommt gleich
viele Kärtchen, nämlich
immer 8.
Aufteilen
Theo hat 15 Luftballons
auf-geblasen. Immer 5
Luftballons werden an
einer Girlande befestigt. Mit
den Girlanden wird der
Raum geschmückt.
Aufteilen
Formulieren Sie die Aufgabe so um, dass der jeweils
andere Aspekt zum Ausdruck kommt.
Lösung
Gr. A
Maria sagt zu ihrem Bruder,
Mama und Papa: Kommt, wir
spielen zusammen „Mau,
mau“. Dazu gibt sie die 32
Karten gleichmäßig aus.
Aufteilen:
Es sind 32 „Mau-mauKarten“. Maria sagt: „Jeder
braucht 8 Karten, um
mitspielen zu können.“ Wie
viele Personen können
insgesamt mitspielen?
Gr. B
Theo hat 15 Luftballons aufgeblasen. Immer 5 Luftballons
werden an einer Girlande
befestigt. Mit den Girlanden
wird der Raum geschmückt.
Verteilen:
Theo hat 15 Luftballons
aufgeblasen. Sie sollen an
den 3 Girlanden gleichmäßig festgebunden werden. Wie viele Luftballons
kommen an jede Girlande?
Heuristische Strategien bei der Division
42 : 7
Nachbaraufgabe
49 : 7 = 7
42 : 7 = 6, 42 sind 1 x 7 weniger
Umkehraufgabe
6 * 7 = 42
also ist 42 : 7 = 6
Verdoppeln oder Halbieren
21 : 7 = 3
21 ist die Hälfte von 42, also ist Ergebnis
das Doppelte von 3
Heuristische Strategien bei der Division
42 : 7
schrittweises Rechnen
Dividend wird in eine Summe oder Differenz zerlegt und durch
den Divisor geteilt (Distributivgesetz)
42 : 7 = (35 + 7) : 7 = 5 + 1 oder 42 : 7 = (49 – 7) : 7 = 7 – 1
gleichsinniges Verändern von Dividend und Divisor
wenn Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder
durch dieselbe Zahl dividiert werden, bleibt das Ergebnis gleich
(Anwendung nur bei speziellen Zahlen möglich)
42 : 7
42 : 6
(42 : 6) : 2 = (42 : 2) : (6 : 2) = 21 : 3 = 7
Die besondere Zahl Null
Erklärung mit der Umkehroperation Multiplikation
8 : 2 = 4, denn 4 * 2 = 8
8 : 8 = 1, denn 1 * 8 = 8
0 : 8 = 0, denn 0 * 8 = 0
aber: 8 : 4 = 2, denn 2 * 4 = 8
8 : 1 = 8, denn 8 * 1 = 8
8 : 0 ist nicht definiert, denn * 0 = 8 hat keine Lösung
0 : 0 ist nicht definiert, denn für alle natürlichen Zahlen n gilt
n * 0 = 0 (also lässt sich 0 : 0 nicht eindeutig ein Ergebnis
zuordnen)
Die besondere Zahl Null
Erklärung über die wiederholte Subtraktion
0 : 8 Wie oft muss ich 8 von Null abziehen, um Null zu
erhalten? Null mal
8 : 0 Wie oft muss ich 0 von 8 abziehen, um Null zu
erhalten? Geht nicht, ist also nicht definiert