Correction TD7 - (paristech.institutoptique.fr) au

Cycle d’ingénieur 1
Optique Physique
V. Josse, A. Dobroc, E. Bimbard, J. Pellegrino
Année 2011-2012
Correction TD7 : Allure de la phase réfléchie
Rappel du principe de VIRGO
Le Michelson va mesurer les variations de la phase entre les deux bras, c’est à dire les
variations de la phase du champ réflechi φr .
Pour un Michelson classique (sans Fabry-Perot), cette phase est simplememt donné par le
déphasage acquis sur l aller retour, i.e φr = 2πpM ich = 2π(2L/λ).
Ainsi une détectivité δpMich
min correspond à une variation minimale de longueur mesurable :
δLmin =
λ Mich
δp
2 min
(1)
Si on ajoute un Fabry-Perot dans un bras, on va changer la relation entre φr et la longueur
d’un bras L et pouvoir ainsi augmenter la sensibilité.
1. Allure de la phase φr :
Le champ réfléchi ER est donné par :
ER =
−r1 + r2 eiφF P
E0
1 − r1 r2 eiφF P
avec
φF P = 2πpF P
(2)
avec ici r1 ≃ (1 − T1 /2) ≃ 1 et r2 ≃ (1 − T2 /2) ≃ 1.
Pour avoir une idée de l’allure de la phase de ER , considérons tout d’abord que
l’on peut remplacer r1 et r2 par 1 (ordre 0) dans l’expression 2. Dans ce cas on a
simplement :
ER =
−1 + eiφF P
= −E0
1 − eiφF P
d’où φr = (2k + 1)π
(3)
Toutefois on remarque que cette approximation n’est certainement pas valable proche
de résonance (eiφF P → 1) où le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux
vers 0.
fR
Phase pour un michelson
michelson
fR
=2pp
3p
2p
p
Pente locale
à résonance:
dfR/dpFP=2p(2F/p)
0
0
1/2
1
-p
Figure 1 – Allure de la phase réfléchie φr .
1
pFP
3/2
Il faut donc affiner les approximations lorsqu’on est proche d’une résonance où
la phase va varier très vite sur un intervalle correspondant à la largeur de cette
résonance (rappel : δpres = 1/F).
En particulier, pour des résonances exactes (pF P = k), on a :
ER =
−r1 + r2
E0
1 − r1 r2
avec
−r1 + r2
≥ 0 car
1 − r1 r2
r1 ≤ r2
donc φr = 2kπ
(4)
L’allure générale de φr est tracée sur la figure 1.
2. Calcul de la sensibilité δφr /δpF P
On a de manière générale :
φr = φ1 − φ2
avec


 tan φ1 =
r2 sin(φF P )
−r1 +r2 cos(φF P )
(5)

 tan φ = − r1 r2 sin(φF P )
2
1−r1 r2 cos(φF P )
On se place ici proche de la résonance correspondant à p = 0. Comme la résonance
est suffisamment fine, on utilise φr , φ1 , φ2 , φF P << 1.
On a donc

r 2 φF P
FP

≃ T2φ
≃ 2φTF1 P
 φ1 ≃ −r1 +r
2
1 −T2
2F
4
φF P =
φF P avec
(6)
φr ≃

T1
π
 φ ≃ − r1 r2 φF P ≃ 2φF P ≃ 2φF P
2
1−r1 r2
T1 +T2
T1
où l’on a gardé que les termes prédominants.
On a donc proche de résonance :
φr ≡ 2πpMich =
2F
2F
φF P = 2π(2L/λ))
π
π
(7)
Ce qui donne une sensibilité 2F/π fois plus grande au déplacement par rapport au
Michelson simple (voir Eq.(1)) :
δLmin =
λ π Mich
δp
2 2F min
(8)
Cela correspond à une sensibilité aux ondes gravitationnelles :
hmin =
π λδpMich
λδpMich
2δLmin
min
min
=
=
L
2F
L
Leff
avec
Leff =
2F
L
π
(9)
Finalement on retrouve la même expression que dans le cas d’un Michelson standard
(cf question A.1)) mais avec une longueur effective 2F/π ≃ F plus grande que la longueur réelle du bras, L. On retrouve ici l’interprétation physique de la finesse F qui
correspond au nombre d’aller-retours de la lumière à l’intérieur de la cavité (cf TD5).
3. Application numérique. Pour Virgo la finesse vaut F = 50 et L = 3 km. On a donc
Leff ≃ 100km ! Du coup la sensibilité minimale aux ondes gravitationnelles vaut en
−12 ) :
théorie (pour δpMich
min = 10
= 10−23
hVIRGO
min
(10)
Le rapport signal à bruit pour un pulsar vaudra donc 10, ce qui devrait permettre
leur détection.
2