② TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE

ENSI Caen -
Informatique 1A
TRANSFORMEE
DE FOURIER DISCRETE : TFD
et
PRINCIPE des
ANALYSEURS DE SPECTRE
"numériques".
M.FRIKEL - G.BINET
2008 –2009
ENSI Caen -
Informatique 1A
I TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE. ................................................................................1
DEFINITION MATHEMATIQUE: .....................................................................................................1
Transformation directe: ....................................................................................................................1
Transformation inverse:....................................................................................................................1
Réalisation pratique:.........................................................................................................................1
II. ESTIMATION DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER DES SIGNAUX ................................2
II.1 PRINCIPE: ........................................................................................................................................2
II.2 CAS GENERAL :................................................................................................................................3
III SIGNAUX PERIODIQUES : TFD ET SERIE DE FOURIER.....................................................3
III.1 SIGNAUX PERIODIQUES, SIGNAUX DISCRETS : ................................................................................3
Signaux périodiques:.........................................................................................................................3
Signaux discrets: ...............................................................................................................................4
III.2 SIGNAUX ECHANTILLONNES ET PERIODIQUES : ..............................................................................4
Transformation de Fourier directe :.................................................................................................4
Transformation de Fourier inverse : ................................................................................................5
Conclusion : ......................................................................................................................................5
III.3 LIEN AVEC LA SERIE DE FOURIER: ..................................................................................................5
Application pratique: ........................................................................................................................6
IV QUELQUES APPLICATIONS DE LA TFD..................................................................................6
IV.1 AMELIORATION DE LA PRECISION FREQUENTIELLE: .......................................................................7
Problème:..........................................................................................................................................7
Interpolation fréquentielle ("zero padding"): ...................................................................................7
IV 2 INTERPOLATION TEMPORELLE:.......................................................................................................7
Problème:..........................................................................................................................................7
Propriétés de base: ...........................................................................................................................7
exemple: ............................................................................................................................................8
Interpolation temporelle: ..................................................................................................................9
Réalisation pratique:.......................................................................................................................10
Applications: ...................................................................................................................................10
V ANALYSEUR DE SPECTE - FENETRES DE PONDERATION...............................................11
V.1 ANALYSEUR DE SPECTRE "NUMERIQUE" (PRINCIPE):.....................................................................11
V.2 ELARGISSEMENT DES RAIES: .........................................................................................................11
Cas des sinusoïdes: .........................................................................................................................11
Explication:.....................................................................................................................................12
Cas général :...................................................................................................................................13
V.3 LIMITE DE RESOLUTION :...............................................................................................................13
V.4 UTILISATION D’UNE FENETRE :......................................................................................................14
Fenêtre rectangulaire : ...................................................................................................................14
Fenêtre de Hanning : ......................................................................................................................15
Fenêtre de Hamming : ....................................................................................................................15
Autres fenêtres : ..............................................................................................................................16
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2008 –2009
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- La transformée de Fourier discrète -
1
TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE (TFD).
APPLICATION aux
ANALYSEURS DE SPECTRE.
La transformée de Fourier discrète est la transformée de Fourier « exacte » d’un signal périodique et
discret. Elle est très simple à calculer à partir de séries mathématiques limitées et ce calcul s’implante
facilement sur calculateur ou circuit spécialisé (DSP) avec un algorithme FFT(Fast Fourier Transform)
permettant d’en accélérer le temps de calcul de plusieurs centaines de fois. Moyennant quelques précautions
d’emploi, elle permet d’approximer en un temps record la transformée de Fourier d’un signal continu à partir de
sa version échantillonnée d’où le grand intérêt de cette transformation pour les ingénieurs, scientifiques et
traiteurs de signaux.
I TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE.
DEFINITION MATHEMATIQUE:
Mathématiquement, la transformée de Fourier discrète est une transformation qui fait correspondre deux séries
de données de N points chacune:
{xk} ↔ {Xn} avec k,n entiers ≥0 ∉ [0 ; N-1]
Transformation directe:
Xn =
N −1
k =0
− j2π kn
N
xk e
Transformation inverse:
xk = 1
N
N −1
n =0
Xn e
j2π kn
N
Réalisation pratique:
Pour calculer ces séries il existe un algorithme de transformée de Fourier rapide ou FFT (Fast Fourier
Transform) qui dans le cas où N = 2M est particulièrement performant (en utilisant cet algorithme pour N= 1024,
le temps de calcul est divisé par un facteur environ 1000 par rapport à l'
utilisation directe de la définition.
Implanté sur des ordinateurs ou réalisations à base de processeurs actuels, il dure moins d'
une µs). Cet
algorithme très célèbre est largement étudié dans les cours d'
informatique et d'
algorithmique.
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SigTFD
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- La transformée de Fourier discrète -
II. ESTIMATION DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER DES SIGNAUX
II.1 Principe:
Echantillonnons à la période Ts un signal continu xc(t) pendant un temps d'
acquisition Ta. Ce temps
d'
acquisition dure N échantillons d'
où la relation : Ta = N.Ts
Le signal échantillonné est :
x(t) = xc(t)
+∞
δ(t − kTs) =
k = −∞
N −1
k =0
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x k δ(t − kTs)
x k = xc(kTs)
xc(t ≥ NTs) ≈ 0
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- La transformée de Fourier discrète -
En prenant la transformée de Fourier des deux membres :
TF[x(t) ] = Xc(f) ⊗ fs
+∞
δ(f − kfs) =
k = −∞
+∞
k = −∞
fs .Xc(f − kfs) =
N −1
k =0
x k e− j2πfkTs
Cette relation rappelle le fait que le spectre est continu et périodique. Si nous calculons N points de ce spectre
pour les fréquences f = n.fs/N avec n ∈ [0 ; N-1] en absence de repliement nous obtenons N points du spectre
fréquentiel tels que:
fs Xc(
− j 2πkn
nfs N −1
)=
x k e N = Xn
N
k =0
en remarquant que fs/N = 1/Ta, nous obtenons donc, si l’effet du repliement est négligeable une bonne
approximation de la transformée de Fourier du signal :
Xn ≈ fs.Xc(n/Ta)
•
1/Ta est l'
intervalle entre deux points fréquentiels ou pas fréquentiel.
•
1/Ts est la largeur de la bande [ 0 ; 1 ] sur laquelle est effectuée l'
estimation
•
Nous mesurons N points en temporel et estimons ainsi N points en fréquentiel.
II.2 Cas général :
+∞
2πkn
N −1
−j
fs Xc( n − kN n ) =
x k e N = Xn
T
T
a
a
k =0
k = −∞
fs Xc( n )
Ta
Xn =
+
k ≠0
terme "principal"
fs Xc( n − kN n )
Ta
Ta
terme de repliement
Il faut donc soigneusement éviter le repliement
III SIGNAUX PERIODIQUES : TFD ET SERIE DE FOURIER
III.1 Signaux périodiques, signaux discrets :
Signaux périodiques:
Un signal périodique possède une décomposition en série de Fourier à termes complexes:
x(t) =
+∞
Cn e j2πnf0t
n = −∞
TF[x(t)] =
+∞
avec Cn = 1
T0
[
]
Cn TF e j2πnf0t =
n = −∞
la transformée de Fourier d'
un signal périodique est discrète:
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x(t)e− j2πnf0tdt
(T0)
+∞
Cn δ(f − nf0)
n = −∞
Signal périodique
TF discrète
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- La transformée de Fourier discrète -
Signaux discrets:
Un signal échantillonné x(t) est obtenu à partir d'
un signal continu xc(t).
x(t) =
+∞
x k δ(t − kTs) = xc(t).
k = −∞
TF[x(t)] =
+∞
δ(t − kTs)
k = −∞
+∞
x k e− j2πkTsf = Xc(f) ⊗ fs
k = −∞
+∞
δ(f − nfs) = fs
n = −∞
+∞
Xc(f − nfs)
n = −∞
la transformée de Fourier d'
un signal discret est périodique:
Signal discret
TF périodique
III.2 Signaux échantillonnés et périodiques :
Hypothèse:
Le nombre N d’échantillons par période est supposé entier :T0 = N.Ts
Transformation de Fourier directe :
f0.Ts = 1/N.
Le signal périodique et échantillonné peut être modélisé par un motif discret de durée T0 = N.Ts périodisé:
0
Ts 2Ts
t
T0=N.Ts
xep(t) =
[
]
TF xep(t) = Xep(f) =
=
+∞
n = −∞
f0
N −1
k =0
N −1
k =0
+∞
xk e− j2πkfTs .f0
N −1
+∞
k =0
n = −∞
xk δ(t − kTs) ⊗
δ(t − nT0)
δ(f − nf0)
n = −∞
+∞
xk e− j2πknf0Ts δ(f − nf0) =
n = −∞
f0
N −1
k =0
− j2π kn
N
xk e
δ(f − nf0)
{xk} étant la série d'
échantillons du motif du signal échantillonné périodique, nous voyons apparaître sa
transformée de Fourier discrète {Xn} et:
Xn =
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N −1
k =0
− j2π kn
N
xk e
[
]
TF xep(t) = Xep(f) =
+∞
f0Xn
n = −∞
δ(f − nf0)
SigTFD
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- La transformée de Fourier discrète -
Remarques:
•
Xn est la transformée de Fourier du motif temporel échantillonné prise pour
la valeur
f = n.f0.
•
Xn+αN = Xn ∀α la TF est périodique de période fréquentielle N.f0 = fs soit la largeur de la bande de
Shannon. (propriété déjà vue, typique d'
un signal discret).
•
La TF est échantillonnée avec la périodicité fréquentielle f0 (propriété d'
un signal périodique).
Transformation de Fourier inverse :
La procédure est la même que pour la transformée directe puisque nous avons un spectre à la fois
discret et périodique. La transformée de Fourier Xep(f) est donc un motif fréquentiel de largeur fs échantillonné à
la cadence f0 et périodisé à la distance fs. Ceci peut s’écrire mathématiquement sous la forme :
Xn =
N −1
k =0
Xep(f) =
− j2π kn
N
xk e
+∞
f0Xn δ(f − nf0) =
n = −∞
N −1
+∞
n =0
k = −∞
f0Xn δ(f − nf0) ⊗
δ(f − kfs)
La transformation de Fourier inverse donne
[
]
N −1
TF−1 Xep(f) =
= f0Ts
+∞
δ(t − kTs)
k = −∞
N −1
+∞
k = −∞
= xep(t) =
n =0
f0Xne j2πnf0t .Ts
+∞
Xne j2πnf0kTs δ(t − kTs) = 1
N k = −∞
n =0
+∞
N −1
n =0
Xne
j2π nk
N
δ(t − kTs)
xk δ(t − kTs)
k = −∞
d'
où l'
expression de la transformée de Fourier discrète inverse (TFD-1) :
xk = 1
N
N −1
n =0
Xn e
j2π kn
N
Conclusion :
La transformée de Fourier Discrète (TFD) est la manière rigoureuse de calculer la transformée de
Fourier d'
un signal à la fois périodique et discret. La TFD et sa transformation inverse permettent de relier les
échantillons {xk} du motif du signal périodique aux échantillons {Xn} du motif de sa transformée de Fourier.
III.3 lien avec la série de Fourier:
Un signal périodique se décompose en série de Fourier et nous pouvons l'
échantillonner en prenant N
échantillons par période T0=NTs:
x p(t) =
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+∞
Cm e j2πmf0t
m = −∞
x k = x p(t = kTs) =
+∞
Cm e
j2π mk
N
m = −∞
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- La transformée de Fourier discrète -
Calculons la TFD:
N −1
Xn =
k =0
− j2π kn
N
N −1
=
xk e
+∞
Cm e
j2π mk
N
k = 0 m = −∞
− j2π kn
N
e
D'
où la relation:
Xn =
=
N −1
+∞
k = 0 m = −∞
+∞
m = −∞
(m − n)k
N
j2π
Cm e
− jπ
Cm e jπ(m − n)e
(m − n)
N
=
+∞
m = −∞
Xn =
+∞
N.Cn + αN =
α = −∞
N −1 j2π (m − n)k
N
e
k =0
sin 2π(m − n)
2π(m − n)
sin
N
Le coefficient de Cm est tel que:
d'
où:
Cm
0 pour m − n ≠ α N
sin 2π(m − n)
=
2π(m − n)
N pour m − n = α N
sin
N
N.Cn
+
terme "principal"
N.Cn + αN
α ≠0
terme de repliement
Dans certaines conditions liées à l’absence de repliement subsiste seul le terme principal correspondant à α=0
et on aura la relation :
Xn ≈ N.Cn
Application pratique:
La TFD des échantillons d'
un signal périodique est une évaluation du coefficient de décomposition en
série de Fourier à termes complexes de ce signal. Cette estimation sera rigoureuse si nous respectons lors de
l’échantillonnage la condition de Shannon. Par ailleurs il ne faut pas oublier la condition T0 = N.Ts c’est à dire un
nombre entier d’échantillons dans une période du signal (le non respect ,de cette condition est vu plus tard dans
le chapitre V)
Nous disposons ainsi d’une méthode numérique de calcul de la série de Fourier permettant de remplacer le
calcul d’une intégrale par celui d’une série de nombre finis de termes.
IV QUELQUES APPLICATIONS DE LA TFD
Une fois les acquisitions du signal réalisées, il n’est pas toujours possible de les recommencer. Pour
obtenir des "données" supplémentaires sur le signal, il n'
est pas théoriquement nécessaire de reprendre
l'
acquisition car, si l'
échantillonnage a été correctement effectué, le théorème de reconstruction prouve que le
signal échantillonné contient autant "d'
indications" que le signal continu d'
origine. Les "données" recherchées
peuvent ainsi être obtenues directement à partir du fichier. De nombreuse applications utilisent ce fait
cependant, elles sont déduites des deux grandes méthodes d'
interpolation permettant d'
augmenter soit la
précision fréquentielle soit la précision temporelle.
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IV.1 Amélioration de la précision fréquentielle:
Problème:
Un signal a été échantillonné en respectant la condition de Shannon. Nous avons acquis N points de ce
signal qui, grâce à la TFD, nous ont permis d'
obtenir une estimation de sa transformée de Fourier en N points
répartis dans la bande de fréquences de Shannon. Nous avons montré que l'
écart entre deux de ces points
adjacents est de f0 = fs/N. f0 constituera ainsi notre précision fréquentielle.
Cette précision ne nous convient pas et nous souhaitons l'
améliorer sans pour autant reprendre l'
expérience.
Est-ce possible?
Interpolation fréquentielle ("zero padding"):
Le problème précédent est possible et même trivial. Il suffit d'
avoir rempli une condition: éviter une
troncature temporelle lors de l'
acquisition du signal.
Le temps d'
acquisition du signal est T0 = N.Ts. Nous évitons la troncature si à t = T0 le signal est terminé
c'
est à dire supposé pratiquement nul. Pour augmenter la précision fréquentielle il faut diminuer f0 soit
augmenter T0. Si le signal n'
a pas été tronqué lors de la première acquisition, augmenter T0 revient à faire
l'
acquisition d'
échantillons supplémentaires de valeur nulle. Inutile de refaire une manipulation pour cela, il suffit
de les ajouter à la fin du fichier de données. Donc pour augmenter la précision fréquentielle, il suffit d'
ajouter
autant de zéros que souhaité en fin de fichier ("zéro padding") puis de traiter celui-ci.
•
premier fichier N points → précision fréquentielle fs/N.
•
deuxième fichier N points + M zéros → nouvelle précision fréquentielle fs/(N+M).
IV 2 Interpolation temporelle:
C'
est le même problème que précédemment mais en permutant le rôle du temps et des fréquences.
Cependant cela n'
est pas évident au premier abord et nous allons tenter de montrer ce résultat ainsi que les
dispositions pratiques qui permettent de l'
obtenir.
Problème:
Un signal a été échantillonné en respectant la condition de Shannon et nous avons acquis N points de
ce signal. En réalité ce nombre de points est insuffisant et nous voulons des points "intermédiaires". Pour
obtenir ce résultat, il faudrait recommencer l'
acquisition avec une période d'
échantillonnage plus faible
cependant, le signal échantillonné contenant toutes les informations du signal continu, il doit suffire pour
retrouver ces échantillons et éviter de refaire l'
expérience.
Propriétés de base:
acquisition T0 =
Nous avons un signal continu xc(t) échantillonné à une période Ts1 pendant un temps d'
N.Ts1 ce qui nous donne le signal x1(t).
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- La transformée de Fourier discrète -
Supposons le même signal xc(t) échantillonné à la période Ts2 pendant le même temps T0 = M.N.Ts2. Ceci
donne un autre signal x2(t) possédant M fois plus d'
échantillons que x1(t).
Quelles sont les points communs et les différences entre x1(t) et x2(t)?
•
Les deux signaux proviennent du même signal continu xc(t) et ont même durée T0
l'
intervalle entre
les échantillons fréquentiels est le même dans les deux cas = f0 = 1/T0.
•
Pour les deux la condition de Shannon est supposée respectée
Ts2<Ts1<1/(2 fmax), (fmax étant la plus
haute fréquence du spectre de xc(t)).
•
La largeur de la bande de Shannon pour x1(t) est 1/Ts1 = N/T0.
•
La largeur de la bande de Shannon pour x2(t) est 1/Ts2 = M.N/T0 soit M fois plus large que celle
associée à x1(t). Le théorème de Shannon étant respecté dans les deux cas, le spectre de x2(t) est
donc le même que celui de x1(t) mais sur une bande de Shannon plus large
le spectre de x2(t) est le
spectre de x1(t) complété par des zéros.
Nous retrouvons ici l'
analogie avec le "zéro padding": pour interpoler un signal temporel, il suffit de suréchantillonner à la période désirée et de faire en sorte que son spectre de fréquence soit complété par des
zéros.
exemple:
xc(t)=t2 exp(-3.t)
T0 = 3s.
Ce signal à la forme ci-contre:
En choisisant:
N = 20
Ts1 = 0,15s
Ts2 = 0,05s
M=3
Les spectres et bandes de Shannon associées sont les suivants:
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Interpolation temporelle:
Il faut donc changer de période d'
échantillonnage, la diminuer. La méthode est basée sur la propriété
que nous venons de voir et se fait en trois étapes illustrées par l'
exemple choisi:
étape 1: Echantillonnage du signal à la période Ts1 conformément au théorème de Shannon.
Etape 2:
Changement de période d'
échantillonnage, nous intercalons (M-1) zéros entre les échantillons du fichier
→ nouvelle période d'
échantillonnage Ts2 = Ts1/M et extension de la bande de fréquence de Shannon.
En effet, les données numériques sont inchangées (des zéros ne donnent rien dans la TFD).
Soit x(t) le signal échantillonné à la période Ts1 (N échantillons) et y(t) le signal obtenu avec des zéros intercalés
donc de période d'
échantillonnage Ts2 (M.N échantillons).
yp = xk pour p = M.k et yp = 0 pour p ≠ M.k
y(t) est tel que :
le calcul de la TFD nous donne :
Xn =
N −1
k =0
− j2π kn
N
n ∉[ 0 ; N - 1 ]
xk e
Yq =
M.N −1
p =0
yp e
− j2π
pq
M. N
q ∉[ 0 ; M.N - 1 ]
les seuls échantillons yp non nuls étant pour p = M.k nous pouvons effectuer le changement de variable et:
Yq =
N −1
k =0
− j 2π
yM.k e
M.kq
M. N
=
N −1
k =0
− j2π
xk e
kq
N
= Xq
q ∉[ 0 ; M.N - 1 ]
le nouveau signal ainsi obtenu a donc même transformée de Fourier que le précédent, seule la bande de
fréquence de Shannon est changée puisque multipliée par M. Nous représentons donc M bandes de Shannon
du signal x(t).
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Etape 3:
Nous effectuons un filtrage passe-bas de fréquence de coupure 1/(2.Ts1) = largeur de la bande de Shannon du
premier signal
nous mettons à zéro les échantillons fréquentiels ajoutés.
Réalisation pratique:
Signal
continu xc(t)
Filtre antirepliement
Ts1
Stockage x1(t)
échantillonné Ts1
Signal x1(t)
discret
Ts2
Filtre passe-bas
Signal x1(t)
discret
Zéros
intercalés
Zéros
Applications:
C'
est une méthode de compression du signal discret, il suffit de stocker juste les données nécessaires
échantillonnage critique. Si un besoin
correspondant à une période d'
échantillonnage Ts1 voisine de l'
d'
échantillons se fait ressentir, la technique ci-dessus permet de les retrouver en temps réel.
L'
un des domaines d'
utilisation de ce procédé est le CD audio. A l'
heure actuelle, un enregistrement
musical est effectué à la limite de la fréquence de Shannon mais cela est insuffisant pour obtenir une restitution
satisfaisante car il faut reconstruire un signal continu en temps réel. Pour cela, à la lecture du CD il est procédé
à une interpolation avec M = 8 pour fournir le signal de qualité satisfaisante. Le stockage sur le CD y a quand
même gagné ce facteur 8.
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V ANALYSEUR DE SPECTE - FENETRES DE PONDERATION.
V.1 Analyseur de spectre "numérique" (principe):
Au chapitre III nous avons montré que si nous calculons la TFD des échantillons d'
un signal continu
xc(t) de transformée de Fourier Xc(f) ,celle-ci nous donne:
Xn =
fsXc(nf0)
terme "principal"
+
k ≠0
fsXc(nf0 − kNf0)
terme de repliement
Si l’effet du repliement est négligeable, la TFD devient une bonne approximation de la transformée de Fourier
du signal :
Xn ≈ fs Xc(nf0)
Déjà discuté, le résultat précédent montre que:
•
La TFD appliquée à un signal quelconque permet d'
avoir une estimation de la valeur de sa transformée
de Fourier en N points distants de f0 = fs/N.
•
Pour cela, la TFD permet de remplacer une intégrale par une série à nombre fini de termes ce qui est
une méthode numérique qui s’implante très facilement sur calculateur, microprocesseur ou processeur
de signal (DSP).
•
Il a été développé des algorithmes mathématiques dits FFT (Fast Fourier Transform) qui accélèrent le
temps de calcul dans certains cas par des facteurs 100 voire 1000 et calculer une TFD sur 1024 points
peut être une opération qui ne prend que quelques µs. De ce fait, la TFD et FFT sont devenus des
outils puissants de traitement de signal.
Nous avons ici tous les ingrédients permettant de développer un appareil performant pour l'
analyse de Fourier:
analyseur de spectre.
V.2 Elargissement des raies:
Cas des sinusoïdes:
Le signal dont le spectre de fréquences est le plus simple est le signal sinusoïdal de période Tp. Son spectre ne
contient théoriquement que deux raies aux fréquences 1/Tp et –1/Tp. Ceci est montré sur la figure ci-dessous.
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- La transformée de Fourier discrète -
Pour obtenir ce résultat, nous avons utilisé un temps d'
acquisition Ta du signal égal à un nombre entier de fois
la période Tp de la sinusoïde. Si cette condition n'
est pas vérifiée nous obtenons le résultat suivant : nous ne
retrouvons plus deux raies mais un spectre dit élargi.
Explication:
L'
un des résultats fondamentaux de l'
analyse Fourier est le principe d'
incertitude. Si ∆T est l'
étalement
de la distribution d'
énergie dans le temps et ∆F l'
étalement associé dans le domaine fréquentiel nous savons
que:
∆T.∆F ≤ 41π
Nous pouvons traduire cette relation par : plus un signal est étendu dans le domaine temporel, moins il le sera
dans le domaine fréquentiel. L’utilisation de la TFD implique un nombre fini d’échantillons et donc un signal de
durée finie. Pour les signaux de longue durée (signaux tendant asymptotiquement vers une valeur non nulle,
signaux périodiques…) l’utilisation de la TFD introduira une troncature temporelle plus ou moins importante dont
l’effet peut être indésirable sur les raies du spectre du signal.
X(f)
Exemple d’une sinusoïde :
a/2
Ce type de signal très étendu dans le temps donne théoriquement
a/2
lieu à un spectre avec deux raies spectrales de largeur nulle
(étalement fréquentiel faible).
x(t) =
+∞
f
xkδ(t − kTs) xk = a cos(2πfpkTs)
k = −∞
[
TF[x(t)] = a δ(f − fp) + δ(f + fp)
2
-fs/2
-fp
fp
fs/2
]
Si nous estimons son spectre grâce à une TFD calculée sur N
aT0/2
|X(f)|
aT0/2
points, cela revient à effectuer une troncature sur l'
intervalle de
temps Ta = N.Ts ce qui limite l'
étalement temporel du signal et doit
conduire à un étalement fréquentiel.
Le signal réel et sa transformée de Fourier seront :
x(t, Ta ) = x(t). rect
t − Ta / 2
Ta
X(f, Ta ) = a Ta
2
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f
-fs/2
-fp
fp
fs/2
sin(πfTa )
TF[x(t, Ta )] = TF[x(t)] ⊗ Ta e − jπfTa
πfTa
sin(π(f − f p )Ta )
sin(π(f + f p )Ta )
+
π(f − f p )Ta
π(f + f p )Ta
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- La transformée de Fourier discrète -
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La troncature d'
un signal sinusoïdal a deux conséquences:
•
Plutôt que deux raies "fines", nous trouvons des raies "élargies" correspondant aux deux sinus cardinaux.
La largeur du lobe central (prise entre les deux premiers minima nuls) des raies est 2∆f = 2/Ta = 2/(NTs).
•
Outre ce phénomène d’élargissement de la raie, il apparaît des lobes latéraux que nous pourrions être
tentés d’interpréter comme d’autres raies présentes au pied de la raie principale (phénomène d’apodisation
des raies par troncature). Pour un sinus cardinal, le premier lobe secondaire a une amplitude relative
d'
environ 22% ce qui est loin d'
être négligeable.
Cas général :
Un signal quelconque est une superposition de signaux sinusoïdaux et l’utilisation de la TFD a deux
conséquence sur les raies spectrales :
•
Un élargissement d’autant plus grand que la troncature est importante. Cela nous limite dans la
séparation (la résolution) de raies voisines.
•
L’apparition de raies secondaires qui peuvent cacher des raies principales d’une autre composante du
signal.
•
V.3 Limite de résolution :
Si le signal est composé de deux sinusoïdes de fréquences voisines :
x(t)=a1 cos(2πf1t) + a2 cos(2πf2t)
Le spectre de ce signal doit comporter deux raies qui vont se trouver élargies par la troncature du signal. Quand
peut-on dissocier (séparer) ces deux raies ? Nous pouvons estimer cela en utilisant un critère correspondant à
un cas limite : c’est le critère de résolution de Rayleigh .
Critère : Deux raies d’un spectre sont considérées
comme séparables, si le maximum de l’une
correspond au premier minimum nul de l’autre.
En appelant 2 f la « largeur » d’une raie prise par
convention
comme
étant
l’écart
entre
les
fréquences correspondant aux deux premiers
minima nuls encadrant le maximum de la raie, la
limite
de résolution sera donc telle que |f2-f0|= f.
Ceci est illustré par les figures suivantes (elles correspondent à des raies avec fenêtre de Hamming étudiée
ensuite).
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V.4 Utilisation d’une fenêtre :
Pour éviter ces inconvénients, nous pouvons réaliser une troncature avec pondération des
échantillons : fenêtre de pondération. La fenêtre doit être choisie de manière à ce que sa transformée de
Fourier ait un lobe central le plus étroit possible et des lobes latéraux d’amplitude la plus faible possible. Le
compromis entre ces deux exigences est réalisé par un certain nombre de fenêtres : Hanning, Hamming, etc…
Fenêtre rectangulaire :
C’est la troncature simple, son lobe central est de largeur 2 f = 2/T0 = 2/NTs et l’amplitude du premier lobe de
l’ordre de 22%.
L’effet des lobes latéraux se met en évidence sur le
traitement d’un signal composé de deux raies
théoriquement résolues mais d’amplitudes de
rapport 10. La TFD donne le résultat ci contre où la
"petite" raie est non détectable.
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Fenêtre de Hanning :
Fenêtre dite en « cosinus », son lobe central est de largeur 2 f = 4/NTs et son premier lobe latéral d’amplitude
relative d’environ 3%
f(t) = 0,5 + 0,5 cos( 2πt ) rect( t )
T0
T0
TF[f(t)] = F(f) = 1 δ(f) + 1 δ(f − 1 ) + δ(f + 1 )
2
4
T0
T0
⊗ T0
sin(πfT0)
(πfT0 )
Nous perdons un facteur 2 en résolution spectrale
mais l’importance des lobes latéraux est moindre ce
qui permet par rapport à la troncature de mieux
séparer les raies d’amplitudes différentes. Ceci est
montré sur la figure ci-contre qui reprend le traitement
par TFD avec fenêtre de Hanning de l’exemple
précédent de deux raies théoriquement résolues et
d’amplitudes de rapport 10
Fenêtre de Hamming :
Dite en « cosinus rehaussé », son lobe central est de largeur 2 f = 4/NTs et ses lobes latéraux d’amplitude
relative inférieure à 1%.
f(t) = α + (1 − α) cos( 2πt ) rect( t )
T0
T0
le second => α=0,54 =>
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. Le paramètre α est ajusté pour minimiser les lobes latéraux en particulier
f(t) = 0,54 + 0,46 cos( 2πt ) rect( t )
T0
T0
.
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Tout en concédant toujours un facteur 2 sur la résolution
de la fenêtre rectangulaire, l’importance des lobes
latéraux est moindre ce qui améliore le résultat de la
fenêtre de Hanning pour la détection de raies
d'
amplitudes différentes. La figure ci-contre reprend le
traitement par TFD de l’exemple de deux raies
théoriquement résolues et d’amplitudes de rapport 10
avec une fenêtre de Hamming
Autres fenêtres :
De nombreuses autres fenêtres ont été développées. Elles sont aussi utilisées dans les méthodes de synthèse
des filtres RIF. Elles sont traitées à ce niveau, les analyseurs de spectre se contentant largement de celles que
nous venons d'
étudier.
Signalons une fenêtre dite à « toit plat » (flat top) utilisée dans les analyseurs de spectre travaillant par TFD.
Lors de la restitution du spectre, et donc des différentes raies, l’utilisation d’une fenêtre peut introduire une
incertitude sur la mesure de l’amplitude de la raie. Pour comparer avec précision les amplitudes des diverses
raies d’un spectre, il vaut mieux utiliser une fenêtre de pondération qui les préserve : c’est le rôle de cette
fenêtre à « toit plat ».
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