GELE2511 Chapitre 7 : Transformée de Fourier discrète

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GELE2511 Chapitre 7 :
Transformée de Fourier discrète
Gabriel Cormier, Ph.D., ing.
Université de Moncton
Hiver 2013
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2511 Chapitre 7
Hiver 2013
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Introduction
Contenu
Contenu
Série de Fourier discrète
Applications
Transformée de Fourier rapide
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Introduction
Introduction
La transformée de Fourier discrète est une méthode qui permet de
décrire un signal discret en fonction de la fréquence.
On verra ici comment se servir de la transformée de Fourier discrète
(DFT) pour analyser le contenu fréquentiel d’un signal.
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Introduction
Introduction
Il existe plusieurs termes pour définir la transformée de Fourier de signaux
continus et discrets.
Transformée de Fourier : s’applique aux signaux continus
apériodiques. Produit un spectre apériodique.
Série de Fourier : s’applique aux signaux continus périodiques.
Produit un spectre discret.
Transformée de Fourier à temps discret (DTFT) : s’applique aux
signaux discrets apériodiques. Produit un spectre continu périodique.
Transformée de Fourier discrète (DFT) : s’applique aux signaux
discrets périodiques. Produit un spectre discret.
Série de Fourier discrète (DFS) : sert d’approximation aux
coefficients de la série de Fourier.
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Introduction
Introduction
La seule transformée qui s’applique aux problèmes de traitement de
signaux est la transformée de Fourier discrète (DFT).
Les transformées qui s’appliquent aux signaux continus ne peuvent
pas être utilisées pour des signaux discrets.
Quant à la DTFT, elle s’applique aux signaux de durée infinie : on ne
peut pas s’en servir pour des signaux réels (qui auront une durée
finie).
Même si les signaux discrets ne sont pas nécessairement périodiques,
la DFT est la seule transformée applicable.
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La série de Fourier discrète est très semblable à la série de Fourier.
Pour le cas discret, le nombre de sinusoı̈des qui constituent un signal
est fini.
On peut utiliser 3 formes, comme la série de Fourier : forme réelle,
forme complexe, forme polaire.
Tout comme le cas à temps continu, on utilise une minuscule pour
représenter un signal en fonction du temps (x[n]) et une majuscule
pour représenter un signal en fonction de la fréquence (X[n]).
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La série de Fourier discrète est obtenue à partir de la série de Fourier
continue :
∞
X
f (t) =
Cn ejnω0 t
n=−∞
où les coefficients de la série de Fourier sont :
Z
1 T
f (t)e−jnω0 t dt
Cn =
T 0
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On peut transformer les coefficients de la série de Fourier continue
aux coefficients de la série de Fourier discrète en faisant les
substitutions suivantes :
f (t) → x[n] (le signal est échantillonné)
ω0 → 2πf
t → nts
dt → ts
On obtient :
XDF S [k] =
N −1
1 X
x[n]e−j2πkn/N
N
n=0
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Exemple
Soit un signal continu x(t) = 4 cos(100πt), échantillonné à 2 fois le taux
de Nyquist, pour 3 périodes. Puisque f = 50Hz, fN = 100Hz, et donc
fs = 200Hz.
4
2
0
−2
−4
0
2
4
6
n
8
10
12
Le signal échantillonné est x[n] = {4, 0, −4, 0, 4, 0, −4, 0, 4, 0, −4, 0}.
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Exemple (2)
On applique l’équation de la DFS pour calculer le spectre.
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
k
Cependant, on a 2 pics dans le spectre, alors qu’il n’y a qu’un seul cosinus.
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Exemple (3)
On a un pic à k = 3 et k = 9.
À cause de 3 périodes
50
1
1 3
3
k
f
=
= = · =
=
F =
fs
200
4
4 3
12
N
Est-ce que ça implique qu’on a 2 cosinus dans le signal ?
Il faut considérer la composante négative :
2 cos(−2π50t) + 2 cos(2π50t) = 4 cos(2π50t)
La DFS a la propriété d’être symétrique conjugué :
X[k] = X ∗ [N − k]
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Exemple (4)
On réarrange l’abscisse pour identifier les composantes négatives.
2
1
0
−6
−4
−2
0
2
4
6
k
Les pics sont à k = −3 et k = 3, qui sont donc à la même fréquence.
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Exemple (5)
Les points de N/2 + 1 à N − 1 sont le conjugué des points de N/2 à
0.
Si on veut un graphe où il y a seulement des fréquences positives, il
faudra multiplier les amplitudes des coefficients 1 à N/2 (le DC est à
la bonne amplitude).
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Exemple (6)
Comment interpréter l’abscisse ?
L’abscisse fait seulement du sens en fonction du taux
d’échantillonnage.
Les points de k = 0 à N − 1 peuvent être remplacés par F = k/N ;
l’abscisse variera de 0 à 1.
Les points k = 0 à N − 1 peuvent être remplacés par f = (k/N )fs ;
l’abscisse variera de 0 à fs .
On peut aussi représenter les fréquences de façon radiale : on
multiplie par 2π.
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Exemple (7)
On peut retracer le spectre en fonction de F ou fs .
2
2
1
1
0
0
0
0.2
0.4
0
F
20
40
60
80
100
f (Hz)
Le pic est bien à la bonne fréquence : 50Hz.
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Fuite spectrale
Problèmes de la DFS
On verra qu’on peut avoir des erreurs dans le spectre si
l’échantillonnage n’est pas fait correctement.
On verra qu’il y a des erreurs si on n’échantillonne pas pour un
nombre entier de points par période.
On reprend l’exemple précédent, mais cette fois on échantillonne à
240Hz au lieu de 200Hz.
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Fuite spectrale
On échantillonne à 240Hz : on a 240/50 = 4.8 échantillons par période.
4
2
0
−2
−4
0
2
4
6
8
10
12
14
n
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Fuite spectrale
On calcule la DFS de ce signal.
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120
f (Hz)
Il y a erreur dans la fréquence : c’est 51.5 Hz environ, une erreur de 3%.
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Fuite spectrale
On peut aussi comprendre ce phénomène si on considère que de 0 à
120 Hz, il y a 8 points (incluant le DC). L’intervalle de 0 à 120 Hz est
divisé en 7 : 17.14 Hz par pas.
Le point le plus près de 50 Hz est 3×17.14, ou 51.4 Hz.
Dans ce cas-ci, on n’a pas assez de points pour représenter
correctement le 50 Hz.
L’intervalle entre les points est appelé l’espacement spectral, et
correspond à S/N .
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Fuite spectrale
Fuite spectrale
Si on n’échantillonne pas un signal pour un nombre entier de points
par période, il y aura une erreur dans les coefficients de la série de
Fourier.
On appelle ce phénomène la fuite spectrale.
La série de Fourier discrète calculée donnera des fréquences autres
que celles dans le signal (mais quand même près de la vraie valeur).
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Fuite spectrale
Effets de la fuite spectrale
La fuite spectrale est présente si on n’échantillonne pas pour un
nombre entier de points par période.
La transformée de Fourier aura des composantes non nulles à des
fréquences autres que celles du signal.
Il peut aussi avoir du repliement si le signal continu contient des
harmoniques de fréquence plus élevée que le taux d’échantillonnage.
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Fuite spectrale
Minimiser la fuite spectrale
On peut minimiser les effets de la fuite spectrale si on échantillonne à
un taux plus élevé que le taux de Nyquist.
De façon pratique, pour avoir une erreur plus petite que 5% dans les
M premières harmoniques, il faut échantillonner à fs = 8fM , où fM
est la fréquence de la M ieme harmonique.
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Fuite spectrale
Minimiser la fuite spectrale
On devrait idéalement échantillonner pour un nombre entier de points
par période.
Pratiquement, ceci est rarement possible, puisqu’on ne connaı̂t pas à
priori les fréquences d’un signal.
On doit donc échantillonner le plus longtemps possible, pour réduire
l’espacement spectral.
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Fuite spectrale
Exemple
Soit une onde carrée de 50 Hz échantillonnée à 1 kHz : 20 échantillons par
période.
1
0
−1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Temps (ms)
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Fuite spectrale
Exemple (2)
Le spectre :
0.6
0.4
0.2
0
0
100
200
300
400
500
Fréquence (Hz)
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Fuite spectrale
Exemple (3)
On compare les coefficients de la série de Fourier à ceux de la DFS :
DC
Fondamentale
2e harmonique
3e harmonique
4e harmonique
5e harmonique
|C(k)|
0
0.6366
0
0.212
0
0.1273
|X[k]|
0
0.6346
0
0.206
0
0.1169
Erreur
0
0.3%
0
2.9%
0
8.2%
La fondamentale et la 3e harmonique ont moins de 5% d’erreur :
S < 8(3f0 )
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On peut obtenir la transformée de Fourier discrète à partir de la série de
Fourier discrète.
XDF T [k] =
N
−1
X
x[n]e−j2πkn/N = N XDF S
n=0
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Transformée de Fourier discrète inverse
La transformée inverse (IDFT) est :
Transformée de Fourier discrète inverse
N −1
1 X
XDF T [k]ej2πkn/N
x[n] =
N
k=0
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Exemple
Calculer la DFT du signal suivant : x[n] = {1, 2, 1, 0}
Dans ce cas-ci, on a N = 4, et donc selon la définition de la DFT,
e−j2πkn/N = e−jπkn/2 . On calcule les valeurs :
k = 0 : XDF T [0] =
3
X
x[n]e0 = 1 + 2 + 1 + 0 = 4
n=0
k = 1 : XDF T [1] =
3
X
x[n]e−jπn/2 = 1 + 2e−jπ/2 + e−jπ + 0 = −j2
n=0
k = 2 : XDF T [2] =
3
X
x[n]e−jπn = 1 + 2e−jπ + e−j2π + 0 = 0
n=0
k = 3 : XDF T [3] =
3
X
x[n]e−j3πn/2 = 1 + 2e−j3π/2 + e−j3π + 0 = j2
n=0
XDF T = {4, −j2, 0, j2}
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Quelques propriétés
Quelques transformées utiles :
{1, 0, 0, 0, . . . , 0} impulsion ⇐⇒ {1, 1, 1, 1, . . . , 1} constante
{1, 1, 1, 1, . . . , 1} constante ⇐⇒ {N, 0, 0, 0, . . . , 0} impulsion
cos(2πnk0 /N ) sinusoı̈de ⇐⇒ 0.5N (δ[k − k0 ] + δ[k − (N − k0 )])
Remarquer qu’un signal qui est court dans le temps est long en fréquence,
et vice-versa.
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Applications
Applications
On verra quelques applications de la transformée de Fourier discrète :
Analyse spectrale d’un signal
Réponse en fréquence d’un système
Convolution
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Applications
Analyse spectrale
Analyse spectrale
Il existe plusieurs signaux dont l’information est codée dans des sinusoı̈des.
La voix est un bon exemple : les humains peuvent distinguer des sons
de 20Hz à 20kHz environ.
La musique n’est qu’une suite de notes de fréquence fixe (ex : A4 est
440Hz).
Les pales d’un sous-marin tournent à une fréquence qui peut être
détectée.
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Applications
Analyse spectrale
Exemple 1
Supposons qu’on veut caractériser les sons enregistrés dans l’océan.
On place un microphone dans l’eau pour enregistrer les sons, puis on
amplifie le signal.
On utilise un filtre passe-bas pour couper les sons au-dessus de 80Hz.
On échantillonne à 160Hz.
On procède ensuite à l’analyse du spectre.
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Applications
Analyse spectrale
Exemple 1
On observe le signal en fonction du temps pour voir si on peut déduire de
l’information.
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
0
0.5
1
1.5
temps (s)
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Applications
Analyse spectrale
Exemple 1
On observe maintenant le spectre.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
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60
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Applications
Analyse spectrale
Exemple 1
On analyse le contenu spectral :
Si on ignore les pics, on voit qu’entre 10Hz et 70Hz le spectre est
constant ; c’est le bruit blanc gaussien.
Le bruit blanc gaussien est appelé ainsi parce qu’il est constant sur
toutes les fréquences.
Le bruit blanc est causé par plusieurs choses : ici, ça peut être le
microphone, ou même l’océan.
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Applications
Analyse spectrale
Exemple 1
Analyse du contenu spectral (suite) :
Pour les fréquences très faibles, on remarque que le bruit augmente
très rapidement, avec une forme qui ressemble à 1/f : c’est le bruit
rose (flicker noise).
Ce type de bruit apparaı̂t dans pratiquement tous les systèmes
physiques, que ce soit électrique, mécanique, etc. Aucune théorie ne
permet d’expliquer tous les cas où se trouve ce type de bruit.
Pour les systèmes électriques courants, c’est généralement en-dessous
de 100Hz qu’on retrouve ce type de bruit.
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Applications
Analyse spectrale
Exemple 1
Analyse du contenu spectral (suite) : les pics
À 60Hz, il y a généralement pollution causée par l’équipement
électronique. On peut observer des harmoniques à 120Hz, 180Hz, etc.
Il y a souvent des pics entre 25kHz et 40kHz qui sont causés par
certains types d’alimentations à découpage.
Les appareils mécaniques rotatifs causent aussi des fréquences faibles :
un moteur qui tourne à 1800rpm cause des vibrations à 30Hz.
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Applications
Analyse spectrale
Exemple 1
Analyse du contenu spectral (suite) : les pics
Il y a un pic important à 13Hz, et un pic plus faible à 26Hz, qui est
probablement une harmonique de celui de 13Hz.
Ce signal pourrait être causé par les pâles triples d’un sous-marin qui
tournent à 4.33 tours/seconde.
Cette technique est la base du sonar passif.
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Obtention du spectre
Pour obtenir le spectre d’un signal à l’aide de la DFT, il suffit
d’appliquer l’équation de la DFT aux échantillons.
Cependant, il faut bien savoir interpréter les résultats.
On prend donc un exemple simple pour démontrer comment
interpréter correctement la DFT.
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Exemple
Le signal :
x(t) = 0.5 cos(2π44t) + 0.4 sin(2π232t) + 0.5 cos(2π415t)
On va ajouter du bruit blanc gaussien à ce signal en utilisant la commande
awgn dans Matlab.
Le signal sera échantillonné à 3kHz, et on utilisera 256 échantillons.
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Exemple
Le signal est le suivant :
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Code Matlab :
N
S
t
x
=
=
=
=
256;
3000;
0 : 1/S : (N-1)/S;
0.5*cos(2*pi*t*44)+0.4*sin(2*pi*t*322)+0.5*cos(2*pi*t*415);
x = awgn(x,15);
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Exemple
À l’aide de la DFT, on obtient le spectre suivant :
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
120
140
k
Code Matlab :
X = fft(x);
k = 1:N;
plot(k,abs(X));
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Exemple
Quelques remarques sur la figure précédente :
L’abscisse est en fonction de k, et pas en fonction de la fréquence.
Il faut transformer l’abscisse de sorte qu’elle soit en fonction de la
fréquence d’échantillonnage, si on veut que le graphe fasse du sens du
côté pratique.
Les points de 0 à 128 doivent en fait varier de 0 à 1500Hz (0 à fs /2).
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Exemple
En fonction de la fréquence :
60
50
40
30
20
10
0
0
500
1000
1500
f (Hz)
Code Matlab :
f = 0: S/N : 0.5*S;
stem(f,abs(X(0:129))); xlabel(’f (Hz)’);
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Exemple
Il y a peu d’information utile après 500Hz, donc on fait un zoom sur cette
partie du spectre à l’aide de la commande xlim.
60
40
20
0
0
50
100
150
200
250
f (Hz)
300
350
400
450
500
Cependant, la résolution spectrale (S/N ) est de 11.72Hz, ce qui ne permet
pas de bien déterminer les fréquences. Il faudrait utiliser plus de points.
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Exemple
Avec 1024 points, la résolution est bien meilleure.
300
200
100
0
0
50
100
150
200
250
f (Hz)
300
350
400
450
500
Cependant, plus on a de points, plus le temps de calcul est élevé.
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Fenêtre de Hamming
Un façon d’améliorer les pics sans utiliser plus de points est de
multiplier le signal en fonction du temps par une composante appelée
une fenêtre de Hamming.
La fenêtre de Hamming va atténuer les bouts du signal. En termes de
spectre, la fenêtre de Hamming va rendre les pics plus grands par
rapport au bruit, mais ça va aussi les élargir.
Il existe plusieurs autres fenêtres.
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Effet de la fenêtre de Hamming :
Fenêtre de Hamming
Signal multiplié par la fenêtre
1
2
0.8
1
0.6
0
0.4
−1
0.2
0
0
50
100
150
200
250
−2
0
n
0.02
0.04
t
0.06
0.08
Code Matlab :
x = x.*hamming(N)’;
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On peut voir l’effet de la fenêtre de Hamming sur le spectre.
Sans fenêtre de Hamming
Avec la fenêtre de Hamming
80
40
60
30
40
20
20
10
0
0
100
200
300
f (Hz)
400
500
0
0
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100
200
300
f (Hz)
400
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500
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Réponse en fréquence
Une autre application de la DFT est la réponse en fréquence d’un
système, qui permet de voir le comportement en termes de fréquence.
La réponse en fréquence d’un système est la transformée de Fourier
de la réponse impulsionnelle.
Dans certains cas, la réponse en fréquence donne beaucoup plus
d’information sur la fonction d’un système que sa réponse
impulsionnelle.
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Hiver 2013
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Exemple : réponse impulsionnelle d’un système quelconque. Il est difficile
de déterminer la fonction du système.
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
10
20
30
n
GELE2511 Chapitre 7
40
50
60
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En faisant la DFT de ce signal, la fonction est plus claire : c’est un filtre
passe-bande.
1.5
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
F
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Pour obtenir plus de résolution, on va effectuer la DFT avec plus de
points. On ajoute des zéros à la fin du signal.
signal additioné de zéros
DFT
0.4
1.5
0.2
1
0
0.5
−0.2
−0.4
0
100
200
300
400
500
0
0
n
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
F
On n’a pas augmenté la précision du spectre, seulement sa résolution.
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Convolution
Convolution par la DFT
Une autre application de la DFT est pour faire la convolution de deux
signaux.
Dans le domaine du temps, on utilise la convolution pour calculer la
sortie d’un système.
Dans le domaine de fréquence, on fait la multiplication.
x[n]h[n] ⇐⇒ X[k]H[k]
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Convolution
Bien qu’il y ait des étapes supplémentaires, c’est plus rapide de passer
par la DFT pour faire la convolution.
Étapes : DFT de x[n], DFT de h[n], multiplication, transformée
inverse.
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Convolution
Certains problèmes :
La longueur de la convolution n’est pas la même que la DFT.
Pour un signal x[n] de longueur N et h[n] de longueur M , la
longueur de la convolution est N + M − 1.
La longueur de la DFT est N (si N > M ).
Il manque des points.
Il faut donc ajouter des zéros aux signaux pour qu’ils soient de
longueur N + M − 1, avant de faire la DFT.
GELE2511 Chapitre 7
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Convolution
Exemple
Soit x[n] = {1, −3, 1, 5} et h[n] = {4, 3, 2, 1}. Effectuer la convolution par
la DFT.
La convolution serait de longueur 4 + 4 − 1 = 7. Il faut ajouter 3 zéros à
chaque séquence.
X[k] = {4.0, −5.60 − j0.80, 3.88 + j7.27, 3.21 − j2.79, 3.21 + j2.79,
3.88 − j7.27, −5.60 + j0.80}
H[k] = {10, 4.52 − j4.73, 2.15 − j1.28, 2.32 − j0.72, 2.32 + j0.72,
2.15 + j1.28, 4.52 + j4.73}
On multiplie point par point :
Y [k] = {40, −29.11 + j22.86, 17.63 + j10.72, 5.47 − j8.77, 5.47 + j8.77,
17.63 − j10.70, −29.11 − j22.86}
Puis la transformée inverse :
y[n] = {4, −9, −3, 18, 14, 11, 5}
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Convolution
Déconvolution
Si on connaı̂t la sortie d’un système et la réponse impulsionnelle, on peut
calculer l’entrée à l’aide de la déconvolution.
Déconvolution est beaucoup plus complexe que la convolution.
Beaucoup plus facile dans le domaine de fréquence.
Division simple dans le domaine de fréquence.
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Propriétés
Propriétés de la DFT
Si XDF T est la DFT d’un signal discret x[n], alors :
kx[n] ⇐⇒ kXDF T [k]
linéarité
x1 [n] + x2 [n] ⇐⇒ X1 [k] + X2 [k]
additivité
∗
XDF
T [k]
repliement
x[n − s] ⇐⇒ e
XDF T [k]
1
x[n]y[n] ⇐⇒ XDF T [k] ~ YDF T [k]
N
x[n] ~ y[n] ⇐⇒ XDF T [k]YDF T [k]
déphasage
x[−n] ⇐⇒ XDF T [−k] =
−j2πsk/N
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multiplication
convolution périodique
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Propriétés
Propriétés de la DFT
Si XDF T [k] est la DFT d’une séquence x[n], alors :
1
Si un signal est répété M fois, la DFT de ce signal est l’interpolation
zéro de XDF T et multipliée par M .
{x[n], x[n], x[n], . . . , x[n]} ⇐⇒ M XDF T [k/M ]
|
{z
}
M fois
2
Si un signal subit une interpolation zéro de M , alors la DFT est
répétée M fois :
x[n/M ] ⇐⇒ {XDF T [k], XDF T [k], XDF T [k], . . . , XDF T [k]}
|
{z
}
M fois
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Propriétés
Théorème de Parseval
Puisque le temps et la fréquence sont deux domaines équivalents pour
représenter un signal, ils doivent avoir la même énergie.
C’est le théorème de Parseval :
N
−1
X
x2 [n] =
i=0
1
N
N/2
X
|X[k]|2
k=−N/2
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Propriétés
Formulation matricielle
On peut exprimer la DFT sous forme matricielle. Soit WN = e−j2π/N ,
XDF T [k] =
N
−1
X
x[n]WNnk ,
k = 0, 1, . . . , N − 1
n=0
ce qui donne :
X = WN x
où
0
WN
0
 WN

W 0
N
=
 .
 .
 .
0
WN

WN
0
WN
1
WN
2
WN
..
.
N −1
WN
0
WN
2
WN
4
WN
..
.
2(N −1)
WN
GELE2511 Chapitre 7
···
···
···
..
.
···
0
WN
N −1
WN
2(N −1)
WN
..
.
(N −1)(N −1)








WN
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Détection de signaux
On peut utiliser la DFT pour détecter la fréquence de signaux.
On utilise les effets du repliement.
L’emplacement des composantes spectrales peut changer à cause du
repliement.
Si on peut échantillonner à des taux différents, on peut trouver les
composantes spectrales d’un signal.
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Pour S = 100, 200 et 500Hz, les pics changent de fréquence. Mais à
S = 1kHz, les pics sont au même endroit que S = 500Hz.
S = 100Hz
S = 200Hz
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
10
20
30
f (Hz)
S = 500Hz
40
50
0
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
50
100
150
f (Hz)
200
250
0
0
0
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50
f (Hz)
S = 1000Hz
100
200
300
f (Hz)
100
400
500
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DTFT
DTFT
La DTFT (Transformée de Fourier à temps discret) est une méthode
pour décrire un signal discret comme une somme d’exponentiels
complexes.
La DTFT produit un spectre continu.
La DFT est la version échantillonnée de la DTFT.
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DTFT
DFT
Par définition, la DTFT est :
∞
X
X(F ) =
x[m]e−j2πmF
m=−∞
où F est une variable continue.
La DTFT est périodique, avec une période de 1. L’intervalle
−0.5 < F < 0.5 est la période principale.
La DTFT inverse est :
Z
0.5
x[n] =
X(F )ej2πnF dF
−0.5
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DTFT
Exemple
Calculer la DTFT de la séquence x[n] = {1, 0, 3, −2}.
À partir de la définition,
∞
X
X(F ) =
x[m]e−j2πmF = 1 + 3e−j4πF − 2e−j6πF
m=−∞
L’amplitude du spectre est montré à la figure suivante.
8
Amplitude
6
4
2
0
−0.5
0
0.5
1
F
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Hiver 2013
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FFT
FFT
Il existe plusieurs méthodes pour calculer la DFT, mais la plus rapide
est la FFT.
Cet algorithme est très efficace, jusqu’à des centaines de fois plus
rapide que les méthodes conventionnelles.
Sans la FFT, plusieurs techniques de traitement de signal ne seraient
pas pratique.
GELE2511 Chapitre 7
Hiver 2013
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FFT
FFT
J.W. Cooley et J.W. Tukey sont les 2 ingénieurs crédités pour
l’invention de la FFT, dans un article paru en 1965.
Bien que la technique elle-même n’étaient pas récente, les auteurs
étaient les premiers à réaliser que les méthodes mathématiques de
Gauss pouvaient être utilisées avec des ordinateurs.
La FFT est comme le transistor du traitement de signal.
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FFT
Problèmes de la DFT
L’algorithme de la DFT a quelques problèmes :
Inefficace
N’utilise pas les propriétés de la DFT (symétrie conjuguée, etc.)
On optimise la DFT en exploitant certaines propriétés.
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Hiver 2013
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FFT
Optimiser la DFT
On peut exploiter la symétrie et périodicité de WN .
WNn+N = e−j2π(n+N )/N = e−j2πn/N e−j2πN/N = e−j2πn/N = WNn
n+N/2
WN
= e−j2π(n+N/2)/N = e−j2πn/N e−jπ = −e−j2π/N = −WNn
WNN k = e−j2πN k/N = e−j2πk = 1, où k est un entier
WN2 = e−j2π2/N = e−j2π/(N/2) = e−j2π/N = WN/2
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FFT
Optimiser la DFT
Choisir une valeur de N qui est le produit de plusieurs petits chiffres.
On veut que N = r1 r2 · · · rm . Il est utile de choisir la même valeur de
r, de sorte que N = rm . Le plus commun est r = 2.
Décimation des indices
On accélère le calcul si on sépare le signal en composantes paires et
impaires.
Utilisation efficace de la mémoire
Ce aspect touche plutôt le côté pratique : on enregistre les résultats des
calculs dans les mêmes adresses qui contenaient les données.
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FFT
Optimiser la DFT
Quelques résultats simples mais fondamentaux peuvent simplifier les
calculs :
La DFT d’un seul échantillon est l’échantillon lui-même :
XDF T [0] = x[0]W10 = x[0]
La DFT de deux échantillons est une opération simple :
X2 [0] = x[0]W20 + x[1]W20 = x[0] + x[1]
X2 [1] = x[0]W20 + x[1]W21 = x[0] − x[1]
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FFT
FFT
Le calcul de la DFT est une opération d’ordre N 2 . Selon l’équation de
la DFT,
N
−1
X
X[k] =
x[n]WNnk
n=0
on remarque qu’il faut :
N 2 multiplications complexes
N (N − 1) additions complexes
Il y a beaucoup d’opérations à effectuer.
GELE2511 Chapitre 7
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FFT
FFT
À l’aide des propriétés vues auparavant, on peut grandement accélérer
le calcul de la DFT.
On passe d’un calcul ayant N 2 multiplications à un calcul ayant
log2 (N ) multiplications.
Pour des signaux à plusieurs échantillons, la FFT est beaucoup plus
rapide.
GELE2511 Chapitre 7
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FFT
FFT
L’implantation pratique de la FFT nécessite un nombre de points qui
est une puissance de 2.
Si le nombre de points n’est pas une puissance de 2, on doit ajouter
des zéros à la fin de la séquence.
GELE2511 Chapitre 7
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FFT
IFFT
Pour calculer la transformée inverse, on utilise la formulation
matricielle :
−1
X = WM x ⇒ x = WM
X=
1
∗ T
[WM
] X
M
C’est pratiquement le même calcul que la FFT, sauf qu’on utilise le
conjugué de WM transposé.
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Conclusion
Conclusion
Les points clés de ce chapitre sont :
Calculer la DFT (FFT) d’un signal.
Savoir appliquer l’axe de fréquence à la DFT.
Utiliser la fenêtre de Hamming.
Utiliser la DFT pour faire la convolution, la détection de signaux et la
réponse en fréquence.
GELE2511 Chapitre 7
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GELE2511 Chapitre 7 : Transformée de Fourier discrète

Transcription

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