Le flocon de von Koch

Vincent Nolot
Leçons :
Dijon
Flocon de von Koch
27-33-34-35-36-37-38-39-40-54-55-56
Enoncé : Le ocon de von Koch se construit de manière récurrente. Partant d'un triangle équilatéral
F1 de côté 1, on divise chaque côté en trois et à partir de chaque segment du milieu (de longueur
1/3) on construit un triangle équilatéral de côté 1/3 en prenant le soin d'ôter le segment sur lequel
on s'est basé (de manière à ce que la gure reste connexe). On répète cela à chaque étape.
Le ocon de von Koch est le ocon obtenu à la limite de ces opérations. Le but est de calculer son
périmètre ainsi que son aire.
Fixons quelques notations : cn , ln , pn , an sont respectivement le nombre de côtés, la longueur d'un côté, le
périmètre, l'aire du ocon Fn .
Calcul du périmètre :
A l'étape 1, le ocon F1 est le triangle équilatéral de côté 1 donc on a c1 = 3, l1 = 1 et p1 = 3. Par dénition
du périmètre, on a pour tout n ≥ 1, pn = cn ln . Pour l'exprimer en fonction de n, on va donc étudier (cn )n et
(ln )n .
∗ Quelle que soit l'étape n, un côté donne 4 côtés à l'étape n + 1. Ainsi (cn )n est une suite géométrique de
raison 4 et cn = 4n−1 c1 = 3 × 4n−1 .
∗ Quelle que soit l'étape n, un côté voit sa longueur se diviser par 3 à l'étape n + 1. Ainsi (ln )n est une suite
1
1
géométrique de raison 31 et ln = 3n−1
l1 = 3n−1
.
Finalement on en déduit que pour tout n ≥ 1,
n−1
4
.
3
3 × 4n−1
pn =
=3
3n−1
Ainsi (pn )n est suite géométrique de raison 43 > 1 et cela implique que le périmètre tend vers l'inni quand
n → +∞. Le ocon de von Koch a donc un périmètre inni.
Calcul de l'aire :
Rappelons déjà l'aire d'un triangle est le produit de la base
Et comme dans un triangle
q par la hauteur.
√
3
l2
2
équilatéral de côté l, la hauteur vaut (théorème de Pythagore) l − 22 = 2 l, l'aire est alors égal à :
√
√
3
2 l
2
×l
=
3l2
.
4
Remarquons que l'aire de Fn croît au fur et à mesure que n grandit. A l'étape n chaque triangle nouvellement
apparu du ocon Fn a une aire égale à
√
3ln2
.
4
1
Pour obtenir l'aire supplémentaire de Fn (n ≥ 2) par rapport à l'aire de Fn−1 , il sut de comprendre qu'il y a
cn−1 triangles qui sont apparus entre l'étape n − 1 et l'étape n. Ainsi l'aire supplémentaire de Fn par rapport
à celle de Fn−1 vaut
√
√
√
cn−1
3ln2
3 1
3
=
= 3 × 4n−2
4
4 9n−1
12
n−2
4
.
9
Maintenant pour obtenir l'aire totale de Fn il faut sommer toutes ces aires allant de k = 2 à k = n :
a1 +
n
X
k=2
√ n−2
3 4
12 9
√
n
√
3
3 1 − 94
+
4
12 1 − 49
√
√ n 4
3 3 3
+
1−
4
20
9
=
=
Il reste à calculer la limite quand n → +∞. Puisque
vaut
√
√
< 1, on en déduit que l'aire du ocon de von Koch
√
2 3
3 3 3
+
=
.
4
20
5
4
9
Remarque : le ocon de von Koch est un exemple de fractal abordable en lycée avec un périmètre inni mais
une aire nie !
2