Soit C le cercle circonscrit au triangle ABC. Déterminer

On considère les points (
)
(
)
(
)
(
⃗ ⃗)
Soit C le cercle circonscrit au triangle ABC.
Déterminer les coordonnées du centre D du cercle C.
Déterminer une équation du cercle C.
Méthode
On se souviendra que le centre d’un cercle est l’intersection des médiatrices des trois côtés de tout triangle inscrit
dans ce cercle.
Géométrie – Première – 1469 – Produit scalaire et équation de cercle – 16.03.12 http://www.soutienpedagogique.com
Déterminons l’équation de la médiatrice du segment [AB].
Soit I le milieu du segment [AB]. Soit un point M(
) appartenant à la médiatrice de [AB].
Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ étant perpendiculaire à la médiatrice, on a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
En utilisant l’expression analytique du produit scalaire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , on peut déterminer l’équation de la médiatrice
du segment [AB]. Avant cela, il nous faut déterminer les coordonnées de I.
(
)
(
(
)
(
Déduisons-en les coordonnées du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(
)
)
)
(
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(
)
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(
)
Déterminons les coordonnées du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
(
)
(
)
)
Une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB] est
Déterminons l’équation de la médiatrice du segment [BC].
Soit J le milieu du segment [BC]. Soit un point M(
) appartenant à la médiatrice de [BC].
Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ étant perpendiculaire à la médiatrice, on a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
En utilisant l’expression analytique du produit scalaire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , on peut déterminer l’équation de la médiatrice du
segment [BC]. Avant cela, il nous faut déterminer les coordonnées de J.
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
Déduisons-en les coordonnées du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
(
(
)
))
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(
)
Déterminons les coordonnées du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
(
(
))
(
))
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
)
Le centre D du cercle C est l’intersection de ces deux médiatrices :
{
{
{
(
)
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Soit R est le rayon du cercle C, alors le cercle C a pour équation
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
(
)
)
)
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
( )
(
)
(
)
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