Algorithmique Numérique - Présentation du langage (niveau L2/L1)

Transcription

Algorithmique Numérique
Présentation du langage (niveau L2/L1)
François Cuvelier
Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications
Institut Galilée
Université Paris XIII.
25 septembre 2013
Cuvelier F. (Energétique App.)
25 septembre 2013
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Plan
1
Polynômes d’interpolation de Lagrange
2
Dérivation numérique
3
Intégration numérique
Méthodes simplistes
Méthodes de Newton-Cotes
Méthodes composites
Autres méthodes
Intégrales multiples
4
Résolution de systèmes linéaires
Vecteurs
Matrices
Factorisation LU
25 septembre 2013
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Définition
Définition
Soient n P N et pxi , yi qi Pv0,nw avec pxi , yi q P R2 et les xi distincts deux à
deux. Le polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n 1
points pxi , yi qi Pv0,nw , noté Pn , est donné par
Pn px q ņ
yi Li px q,
x P R
(1)
i 0
avec
Li px q xj , i P v0, nw, x P R.
x xj
j 0 i
n
¹
x
(2)
j i
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Théorème
Théorème
Le polynôme d’interpolation de Lagrange, Pn , associé aux n 1
points pxi , yi qi Pv0,nw , est l’unique polynôme de degré au plus n, vérifiant
Pn pxi q yi ,
i P v0, nw.
(3)
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Exemple
A titre d’exemple, on représente, En figure 1, le polynôme
d’interpolation de Lagrange associé à 7 points donnés.
1.5
y=P6(x)
7 Points (xi,yi)
1
y
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
F IGURE: Polynôme d’interpolation de Lagrange avec 7 points donnés)
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Exercices
Exercice
Ecrire la fonction L AGRANGE permettant de calculer Pn (polynôme
d’interpolation de Lagrange associé aux n 1 points pxi , yi qi Pv0,nw ) au
point x P R.
Exercice
Soit Pn le polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n
points pxi , yi qi Pv0,nw et X un vecteur de Rm .
1
Ecrire la fonction L AGRANGE V EC permettant de calculer le
vecteur Y P Rm tel que
Yi
2
1
Pn pXi q, i P v1, mw.
Evaluer le coût arithmétique de la fonction L AGRANGE V EC en
fonction de n et m.
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Exercices
Exercice
Soient n P N et pa, b q P R2 avec a b. On note X pX1 , . . . , Xn 1 q la
dicrétisation régulière de l’intervalle ra, b s avec n 1 points et
Y P Rn 1 tel que Yi f pXi q, i P v1, n 1w.
Ecrire un programme permettant de représenter graphiquement f et
Pn (polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n 1 points
pXi , Yi qi Pv0,nw ) sur l’intervalle ra, bs.
On utilisera pour celà la fonction PLOT dont la syntaxe est P L O T (x,y)
où x et y sont des vecteurs de Rk . Cette fonction relie successivement
les points (x(j),y(j)), pour j allant de 1 à k, par des segments.
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Erreur de l’interpolation
Soit une fonction f : ra, b s ÝÑ R. On suppose que les yi sont donnés
par
yi f pxi q, i P v0, nw.
(4)
On cherche à évaluer l’erreur En px q f px q Pn px q.
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1.5
1
y=f(x)=sin(x)
y=P6(x)
0.8
7 Points (xi,yi)
1
0.6
0.4
0.5
y
y
0.2
0
0
−0.2
−0.5
−0.4
−0.6
y=f(x)=1/(1+x2)
y=P6(x)
−1
−0.8
−1.5
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
−1
−6
7 Points (xi,yi)
−4
−2
0
x
2
4
6
F IGURE: Erreurs d’interpolation avec n 6
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1
1
y=f(x)=sin(x)
y=P10(x)
0.8
11 Points (xi,yi)
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
y
y
0.8
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
−1
−6
y=f(x)=1/(1+x2)
y=P10(x)
11 Points (xi,yi)
−4
−2
0
x
2
4
6
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1
1
y=f(x)=sin(x)
y=P18(x)
0.8
19 Points (xi,yi)
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
y
y
0.8
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
−1
−6
y=f(x)=1/(1+x2)
y=P18(x)
19 Points (xi,yi)
−4
−2
0
x
2
4
6
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Théorème (Cauchy, 1840)
Soit f : ra, b s ÝÑ R, une fonction pn 1q-fois différentiable et soit Pn px q
le polynôme d’interpolation de degré n passant par
pxi , f pxi qq, i P v0, nw. Alors, x P ra, bs,
Dξx P pmini Pv0,nwpxi , x q, maxi Pv0,nw pxi , x qq,
f px q Pn px q Cuvelier F. (Energétique App.)
f pn
pn
1
n
q pξ x q ¹
1q!
px xi q
(5)
i 0
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Points de Chebyshev
Pour minimiser l’erreur commise lors de l’interpolation d’une fonction f
par un polynôme d’interpolation de Lagrange, on peut, pour un n
donné, "jouer" sur le choix des points xi :
Trouver px̄i qni0 , xi P ra, b s, distincts deux à deux, tels que
max
x
n
¹
Pra,bs i 0
|x x̄i | ¤ xmax
Pra,bs
n
¹
i 0
|x xi |, pxi qni0, xi P ra, bs, distincts 2 à 2
(6)
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Points de Chebyshev
Théorème
Les points réalisant (6) sont les points de Chebyshev donnés par
x̄i
a2b
p2i 1qπ q,
ba
cosp
2
2n 2
i P v0, nw.
25 septembre 2013
(7)
14 / 89
Points de Chebyshev
Points de Chebyshev
Points de Chebyshev
1.5
1
y=f(x)=sin(x)
y=P6(x)
0.8
7 Points (xi,yi)
1
0.6
0.4
0.5
y
y
0.2
0
0
−0.2
−0.5
−0.4
−0.6
y=f(x)=1/(1+x2)
y=P6(x)
−1
−0.8
−1.5
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
−1
−6
7 Points (xi,yi)
−4
−2
0
x
2
4
6
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15 / 89
Points de Chebyshev
Points de Chebyshev
Points de Chebyshev
1.5
1
y=f(x)=sin(x)
y=P10(x)
0.8
11 Points (xi,yi)
1
0.6
0.4
0.5
y
y
0.2
0
0
−0.2
−0.5
−0.4
−0.6
y=f(x)=1/(1+x2)
y=P10(x)
−1
−0.8
−1.5
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
−1
−6
11 Points (xi,yi)
−4
−2
0
x
2
4
6
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16 / 89
Points de Chebyshev
Points de Chebyshev
Points de Chebyshev
1
1
y=f(x)=sin(x)
y=P18(x)
0.8
19 Points (xi,yi)
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
y
y
0.8
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
−1
−6
y=f(x)=1/(1+x2)
y=P18(x)
19 Points (xi,yi)
−4
−2
0
x
2
4
6
25 septembre 2013
17 / 89
Plan
1
2
3
Autres méthodes
4
Vecteurs
Matrices
Factorisation LU
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Dérivée
On propose de chercher une approximation de la dérivée première de
f en un point x̄ Psa, b r.
Définition
Une fonction f définie sur un intervalle ra, b s est dérivable en un point
x̄ Psa, b r si la limite suivante existe et est finie
f 1 px̄ q limhÑ0
1
pf px̄
h
hq f px̄ q
(8)
25 septembre 2013
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Premières approximations
différence finie progressive :
f 1 px̄ q f px̄
hq f px̄ q
h
(9)
différence finie rétrograde :
f 1 px̄ q Cuvelier F. (Energétique App.)
f px̄ q f px̄
h
hq
(10)
25 septembre 2013
20 / 89
Estimation d’erreur
Théorème (Taylor-Lagrange)
On suppose que f P C n 1 sur I. Alors, pour tout h
appartienne à I, il existe θh Ps0, 1r tel que l’on ait
f px̄
hq ņ
k 0
h k pk q
f px̄ q
k!
hn 1 pn
pn 1q! f
P R tel que x̄
1
q px̄
θh h q
25 septembre 2013
h
(11)
21 / 89
Soit h ¡ 0. Si f
P C 2psa, brq, alors Dξ Psx̄ , x̄ hr, Dξ Psx̄ h, x̄ r,tel que
f px̄ hq f px̄ q
h p2q
f pξ q
f 1 px̄ q
(12)
h
2
f px̄ q f px̄ hq
f 1px̄ q h f p2qpξ q
(13)
h
2
25 septembre 2013
22 / 89
Soit h ¡ 0. Si f
f px̄ hq f px̄ q
h1 p2q
f 1 px̄ q
(12)
f pξ q
h
2
1
f px̄ q f px̄ hq
f 1px̄ q h f p2q pξ q
(13)
h
2
Ces formules sont des approximations d’ordre 1 de f 1 px̄ q par
rapport à h.
25 septembre 2013
22 / 89
Soit h ¡ 0. Si f
f px̄ hq f px̄ q
h1 p2q
f 1 px̄ q
(12)
f pξ q
h
2
1
f px̄ q f px̄ hq
f 1px̄ q h f p2q pξ q
(13)
h
2
Ces formules sont des approximations d’ordre 1 de f 1 px̄ q par
rapport à h.
On peut aussi obtenir ces formules en dérivant les polynômes
d’interpolation associés aux points tx̄ , x̄ hu et tx̄ h, x̄ u.
25 septembre 2013
22 / 89
Exercice 1
Exercice
On note xi a ih, i P v0, nw, une discrétisation régulière de
l’intervalle ra, b s. Soit une fonction f : ra, b s ÝÑ R suffisament
régulière. On suppose que les yi sont donnés par
yi
f pxi q, i P v0, nw.
(14)
Ecrire une fonction D ERIVE 1 permettant de calculer des
approximations d’ordre 1 de f 1 pxi q pour i P v0, nw.
25 septembre 2013
23 / 89
Ordre 2
Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 de f 1 px̄ q, on
suppose f P C 3 psa, b rq et on peut alors développer les formules de
Taylor de f px̄ hq et f px̄ hq jusqu’au troisième ordre.
25 septembre 2013
24 / 89
Ordre 2
On obtient alors
f 1 px̄ q Cuvelier F. (Energétique App.)
f px̄
hq f px̄
2h
hq
Oph2 q.
(15)
25 septembre 2013
24 / 89
Ordre 2
On obtient alors
f 1 px̄ q f px̄
hq f px̄
2h
hq
Oph2 q.
(15)
Cette approximation est la formule des différences finies
centrées.
25 septembre 2013
24 / 89
Ordre 2
On obtient alors
f 1 px̄ q f px̄
hq f px̄
2h
hq
Oph2 q.
(15)
Cette approximation est la formule des différences finies
centrées.
Cette approximation est d’ordre 2.
25 septembre 2013
24 / 89
Exercice 2
Exercice
yi
(16)
Ecrire une fonction D ERIVE 2 permettant de calculer des
approximations d’ordre 2 de f 1 pxi q pour i P v0, nw.
25 septembre 2013
25 / 89
Dérivée seconde
Si f
f px̄
P C 4 psa, brq, on peut alors développer les formules de Taylor de
hq et f px̄ hq jusqu’au quatrième ordre.
25 septembre 2013
26 / 89
Dérivée seconde
Si f P C 4 psa, b rq, on peut alors développer les formules de Taylor de
f px̄ hq et f px̄ hq jusqu’au quatrième ordre.
On obtient alors
f p2q px̄ q Cuvelier F. (Energétique App.)
f px̄
hq 2f px̄ q
h2
f px̄
hq
2
Oph q.
25 septembre 2013
(17)
26 / 89
Dérivée seconde
Si f P C 4 psa, b rq, on peut alors développer les formules de Taylor de
f px̄ hq et f px̄ hq jusqu’au quatrième ordre.
On obtient alors
f p2q px̄ q f px̄
hq 2f px̄ q
h2
f px̄
hq
2
Oph q.
(17)
Cette approximation est d’ordre 2.
25 septembre 2013
26 / 89
Exercice 3
Exercice
yi
(18)
Ecrire une fonction D ERIVE S ECONDE 2 permettant de calculer des
approximations d’ordre 2 de f p2q pxi q pour i P v0, nw.
25 septembre 2013
27 / 89
Plan
1
2
3
Autres méthodes
4
Vecteurs
Matrices
Factorisation LU
25 septembre 2013
28 / 89
Intégration
Soit f une fonction définie et intégrable sur un intervalle ra, b s donné.
On propose de chercher une approximation de
I
»b
a
f px qdx
f(x)
f(a)
f(b)
a
b
F IGURE: Représentation de la fonction f
25 septembre 2013
29 / 89
Intégration
Soit f une fonction définie et intégrable sur un intervalle ra, b s donné.
On propose de chercher une approximation de
I
»b
a
f px qdx
f(x)
f(a)
f(b)
a
b
F IGURE: Représentation de
³b
a
f px qdx
25 septembre 2013
29 / 89
On approche f par le polynôme constant P px q f paq.
f(x)
f(a)
f(b)
a
b
25 septembre 2013
30 / 89
f(x)
f(a)
f(b)
a
b
³b
a
P px qdx
25 septembre 2013
30 / 89
f(x)
f(a)
f(b)
a
b
»b
a
f px qdx
³b
a
P px qdx
pb aqf paq, formule du rectangle (à gauche)
25 septembre 2013
30 / 89
On approche f par le polynôme constant P px q f pb q.
f(x)
f(a)
f(b)
a
b
25 septembre 2013
31 / 89
f(x)
f(a)
f(b)
a
b
³b
a
P px qdx
25 septembre 2013
31 / 89
f(x)
f(a)
f(b)
a
b
»b
a
f px qdx
³b
a
P px qdx
pb aqf pbq, formule du rectangle (à droite)
25 septembre 2013
31 / 89
On approche f par le polynôme constant P px q f pc q, avec
c pa b q{2.
f(x)
f(a)
f(b)
a
b
25 septembre 2013
32 / 89
c pa b q{2.
f(x)
f(c)
f(a)
f(b)
a
c=(a+b)/2
b
³b
a
P px qdx
25 septembre 2013
32 / 89
c pa b q{2.
f(x)
f(c)
f(a)
f(b)
a
c=(a+b)/2
b
»b
a
f px qdx
³b
a
P px qdx
pb aqf p a 2 b q, formule du point milieu
25 septembre 2013
32 / 89
1
Discrétisation régulière de ra, b s : i
a
h b
n .
P v0, nw, xi a
ih avec
25 septembre 2013
33 / 89
1
2
Discrétisation régulière de ra, b s : i P v0, nw, xi a ih avec
a
h b
n .
On approche f par le polynôme d’interpolation de Lagrange Pn de
degré n tel que
Pn pxi q f pxi q, i P v0, nw.
25 septembre 2013
33 / 89
1
2
a
h b
n .
degré n tel que
Pn px q ņ
Li px qf pxi q
i 0
25 septembre 2013
33 / 89
1
2
a
h b
n .
degré n tel que
Pn px q ņ
Li px qf pxi q
i 0
3
On a alors
»b
a
f px qdx
»b
a
Pn px qdx
ņ
i 0
f pxi q
»b
a
Li px qdx.
25 septembre 2013
33 / 89
1
2
a
h b
n .
degré n tel que
Pn px q ņ
Li px qf pxi q
i 0
3
On a alors
»b
a
f px qdx
»b
a
Pn px qdx
ņ
f pxi q
i 0
»b
a
Li px qdx.
Les formules de Newton-Cotes génériques :
»b
a
f px qdx
ņ
αi f pxi q
i 0
25 septembre 2013
33 / 89
»b
a
En posant αi
f px qdx
ņ
αi f pxi q avec αi
i 0
Simpson :
a
a
Li px qdx
hAwi , on a
n
A
w0 w1 w2 w3 w4
1 1 {2
1
1
2 1 {3
1
4
1
3 3 {8
1
3
3
1
4 2{45 7 32 12 32 7
»b
»b
f px qdx
nom
ordre
trapèzes
1
Simpson
3
Simpson (3/8)
3
Villarceau
5
25 septembre 2013
34 / 89
»b
a
En posant αi
f px qdx
ņ
αi f pxi q avec αi
Simpson :
a
a
Li px qdx
hAwi , on a
n
A
w0 w1 w2 w3 w4
1 1 {2
1
1
2 1 {3
1
4
1
3 3 {8
1
3
3
1
4 2{45 7 32 12 32 7
»b
i 0
»b
ba
f px qdx 6
f paq
4f p
nom
ordre
trapèzes
1
Simpson
3
Simpson (3/8)
3
Villarceau
5
a
b
2
q
f pb q
25 septembre 2013
34 / 89
Définition
On dit qu’une formule d’intégration (ou formule de quadrature) est
d’ordre n si elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou
égal à n.
Théorème
Les formules de Newton-Cotes à n
impair et d’ordre n 1 sinon.
1 points sont d’ordre n si n est
25 septembre 2013
35 / 89
Définition
On dit qu’une formule d’intégration (ou formule de quadrature) est
d’ordre n si elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou
égal à n.
Théorème
Les formules de Newton-Cotes à n
impair et d’ordre n 1 sinon.
1 points sont d’ordre n si n est
Attention
Du au phénomène de Runge, ces formules ne sont pas "fiables" pour
des ordres élevés.
25 septembre 2013
35 / 89
Les méthodes composites sont basées sur la relation de Chasles.
Soit pxk qk Pv0,nw une discrétisation régulière de l’intervalle ra, b s :
xk a kh avec h pb aq{n. On a alors
»b
a
f px qdx
ņ
» xk
k 1 xk 1
f px qdx.
25 septembre 2013
36 / 89
Méthodes composites des points milieux
»b
a
On note mk
x 2
k
1
xk
f px qdx
» xk
k 1 xk 1
f px qdx.
.
» xk
xk 1
ņ
f px qdx
hf pmk q
25 septembre 2013
37 / 89
»b
a
On note mk
x 2
k
1
xk
f px qdx
ņ
» xk
k 1 xk 1
f px qdx.
.
» xk
xk 1
f px qdx
hf pmk q
Théorème
»b
a
f px qdx
h
ņ
f pmk q
Oph2 q.
k 1
25 septembre 2013
37 / 89
»b
a
On note mk
x 2
k
1
xk
f px qdx
ņ
» xk
k 1 xk 1
f px qdx.
.
» xk
xk 1
f px qdx
hf pmk q
Théorème
»b
a
f px qdx
ņ
h
f pmk q
Oph2 q.
k 1
Erreur d’ordre 2 (par rapport à h.)
25 septembre 2013
37 / 89
Méthodes composites des points milieux : Exercice
Exercice
Soit f une fonction définie sur l’intervalle ra, b s. Ecrire la fonction
Q UAD PM permettant de calculer une approximation de l’intégrale de f
sur ra, b s par la méthode composite des points milieux.
25 septembre 2013
38 / 89
Méthodes composites des trapèzes
»b
a
» xk
xk 1
ņ
» xk
f px qdx
f px qdx
hp f pxk 1 2 f pxk q q
k 1 xk 1
f px qdx.
25 septembre 2013
39 / 89
»b
a
» xk
xk 1
ņ
» xk
f px qdx
f px qdx
k 1 xk 1
f px qdx.
Théorème
»b
a
f px qdx
h
ņ
p f pxk 1 q2 f pxk q q
2
Oph q.
k 1
25 septembre 2013
39 / 89
»b
a
» xk
xk 1
ņ
» xk
f px qdx
f px qdx
k 1 xk 1
f px qdx.
Théorème
»b
a
f px qdx
h
ņ
p f pxk 1 q2 f pxk q q
2
Oph q.
k 1
25 septembre 2013
39 / 89
Méthodes composites des trapèzes : Exercice
Exercice
Q UAD T RAPEZE permettant de calculer une approximation de
l’intégrale de f sur ra, b s par la méthode composite des trapèzes.
25 septembre 2013
40 / 89
Méthodes composites de Simpson
»b
a
On note mk
x 2
k
1
» xk
xk 1
xk
f px qdx
ņ
» xk
k 1 xk 1
f px qdx.
.
f px qdx
h6 pf pxk 1 q
4f pmk q
f pxk qq
25 septembre 2013
41 / 89
»b
a
On note mk
x 2
k
1
» xk
xk 1
xk
f px qdx
ņ
» xk
k 1 xk 1
f px qdx.
.
f px qdx
h6 pf pxk 1 q
4f pmk q
f pxk qq
Théorème
»b
a
f px qdx
h6
ņ
pf pxk 1 q
4f pmk q
f pxk qq
Oph4 q.
k 1
25 septembre 2013
41 / 89
»b
a
On note mk
x 2
k
1
» xk
xk 1
xk
f px qdx
ņ
» xk
k 1 xk 1
f px qdx.
.
f px qdx
h6 pf pxk 1 q
4f pmk q
f pxk qq
Théorème
»b
a
f px qdx
h6
ņ
pf pxk 1 q
4f pmk q
f pxk qq
Oph4 q.
k 1
25 septembre 2013
41 / 89
Méthodes composites de Simpson : Exercice
Exercice
Q UAD S IMPSON permettant de calculer une approximation de
l’intégrale de f sur ra, b s par la méthode composite de Simpson.
25 septembre 2013
42 / 89
Ordres (numériques) des méthodes composites
ordres des methodes composites
−2
10
−4
10
−6
10
−8
Erreur
10
−10
10
−12
QuadPM
QuadTrapeze
QuadSimpson
10
O(h2)
−14
10
O(h4)
−16
10
−3
10
−2
10
h
−1
10
F IGURE: Ordre de l’erreur des méthodes composites
Exercice
Ecrire un programme Matlab permettant d’obtenir cette figure sachant
qu’ici f px q sinpx q, a 0 et b π.
25 septembre 2013
43 / 89
Autres méthodes
Il existe un grand nombre de méthodes d’intégration numérique :
Méthode de Gauss-Legendre
Méthode de Gauss-Tchebychev
Méthode de Gauss-Laguerre
Méthode de Gauss-Hermitte
Méthode de Gauss-Lobatto
Méthode de Romberg...
25 septembre 2013
44 / 89
On veut approcher, en utilisant la formule de Simpson, l’intégrale
I
g px q »d
c
f px, y qdy
»b»d
a
c
f px, y qdydx
g̃ px q d 6 c f px, c q
4f px,
d
c
2
q
f px, d q .
On a
I
»b
a
g px qdx
ba
g paq
6
ba
g̃ paq
6
4g p
a
4g̃ p
a
b
2
b
2
q
g pb q
q
g̃ pb q
25 septembre 2013
45 / 89
Intégrales multiples : formule de Simpson 2D
On pose α a b
2
et β
c 2d
I
f pa, c q 4f pa, β q f pa, d q
bad c 4pf pα, c q 4f pα, β q f pα, d qq 6
6
f pb, c q 4f pb, β q f pb, d q
25 septembre 2013
46 / 89
Intégrales multiples : méthodes composites
1
2
Discrétisation régulière de ra, b s : k P v0, nw, xk a
a
hx b n .
Discrétisation régulière de rc, d s : l P v0, mw, yl a
c .
hy d m
khx avec
lhy avec
25 septembre 2013
47 / 89
1
2
3
a
hx b n .
c .
hy d m
Relation de Chasles :
»b»d
a
c
f px, y qdydx
ņ
m̧
» xk » yl
k 1 l 1 xk 1
yl 1
khx avec
lhy avec
f px, y qdydx.
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1
2
3
a
hx b n .
c .
hy d m
Relation de Chasles :
»b»d
a
4
f px, y qdydx
c
m̧
ņ
» xk » yl
k 1 l 1 xk 1
yl 1
khx avec
lhy avec
f px, y qdydx.
Formule de Simpson 2D :
³b ³d
a c
f px, y qdydx
f pxk 1 , yl 1 q 4f pxk 1 , βl q f pxk 1 , yl q
hx hy
4pf pα , y q 4f pα , β q f pα , y qq k l 1
k
l
k l
36 k 1 l 1
f pxk , yl 1 q 4f pxk , βl q f pxk , yl q
ņ
avec αk
m̧
x 2
k
1
xk
et βl
y 2
l
1
yl
.
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47 / 89
Plan
1
2
3
Autres méthodes
4
Vecteurs
Matrices
Factorisation LU
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Introduction
A faire
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Vecteurs : z
αxx
y
Exercice
Soient x et y deux vecteurs de Rn et α P R. Ecrire la fonction
V EC AXPY permettant de calculer z αxx y .
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50 / 89
Vecteurs : z
αxx
y
Exercice
Soient x et y deux vecteurs de Rn et α P R. Ecrire la fonction
V EC AXPY permettant de calculer z αxx y .
Correction
αxx
zi αxi
On pose z
y . z est un vecteur de Rn et
yi ,
i P v1, nw.
♦
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50 / 89
Vecteurs : z
αxx
y
Algorithme 1 Fonction V EC AXPY retournant z
et α P R
Données : x , y
: deux vecteurs de Rn
α
: un réel.
Résultat : z : vecteur de Rn .
αxx
y avec x , y
P Rn
Fonction z V EC AXPY( α, x , y )
Pour i 1 à n faire
3:
z pi q α x pi q y pi q
4:
Fin Pour
5: Fin Fonction
1:
2:
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Vecteurs
Exercice
Soient x et y deux vecteurs de Rn .
1
Ecrire la fonction V EC D OT permettant de calculer le produit
scalaire entre les vecteurs x et y :
xx , y y ņ
xi yi .
(19)
i 1
2
Ecrire la fonction V EC N ORM 1 permettant de calculer
}x }1 ņ
|xi |, x P Rn.
(20)
i 1
3
Ecrire la fonction V EC N ORM 2 permettant de calculer
}x }2 ņ
|xi |
2
1{2
, x
P Rn .
(21)
i 1
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52 / 89
Correction : fonction V EC D OT
Algorithme 2 Fonction V EC D OT permettant de calculer le produit scalaire des vecteurs x et y où x P Rn et y P Rn .
Données :
x
: vecteur de Rn ,
y
: vecteur de Rn .
Résultat : s : le réel tel que s xx , y y .
1:
2:
3:
4:
5:
6:
Fonction s V EC D OT( x , y )
s0
Pour i 1 à n faire
s s x pi q y pi q
Fin Pour
Fin Fonction
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53 / 89
Correction : fonction V EC N ORM 1
Algorithme 3 Fonction V EC N ORM 1 permettant de retourner }x }1 avec
x P Rn
Données :
x : vecteur de Rn .
Résultat :
s : le réel tel que s }x }1 .
1:
2:
3:
4:
5:
6:
Fonction s V EC N ORM 1( x )
s0
Pour i 1 à n faire
s s ABSpx pi qq
Fin Pour
Fin Fonction
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54 / 89
Correction : fonction V EC N ORM 2 (version 1)
x P Rn
Données :
x
: vecteur de Rn .
Résultat :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
s0
Pour i 1 à n faire
s s x pi q x pi q
Fin Pour
s SQRTpsq
Fin Fonction
25 septembre 2013
55 / 89
Correction : fonction V EC N ORM 2 (version 2)
x P Rn (utilise la fonction V EC D OT).
Données :
x
: vecteur de Rn .
Résultat :
2:
s SQRTpV EC D OTpx , x qq
3: Fin Fonction
1:
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56 / 89
Matrices : Z αX
Y
Exercice
Soient X et Y deux matrices de Mm,n pRq et α P R Ecrire la fonction
M ATAXPY permettant de retourner Z αX Y.
25 septembre 2013
57 / 89
Matrices : Z αX
Y
Exercice
Soient X et Y deux matrices de Mm,n pRq et α P R Ecrire la fonction
M ATAXPY permettant de retourner Z αX Y.
Correction
On a Z P Mm,n pRq et
i P v1, mw, i P v1, nw,
Zi,j
αXi,j
Yi,j .
♦
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57 / 89
Matrices : Z αX
Y
Algorithme 6 Fonction M ATAXPY permettant de retourner Z αX
avec X et Y dans Mm,n pRq, et α P R
Données :
α : un réel,
X : matrice de Mm,n pRq,
Y : matrice de Mm,n pRq.
Résultat :
Z : matrice de Mm,n pRq tel que Z αX Y.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
Y
Fonction Z M ATAXPY( α, X, Y )
Pour i 1 à m faire
Pour j 1 à n faire
Z pi, j q α X pi, j q Y pi, j q
Fin Pour
Fin Pour
Fin Fonction
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58 / 89
Matrices : produit matrice-vecteur
Exercice
Ecrire la fonction M AT M ULT permettant de retourner le produit d’une
matrice par un vecteur.
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Exercice
Ecrire la fonction M AT M ULT permettant de retourner le produit d’une
matrice par un vecteur.
Correction
On rappelle que le produit d’une matrice A P Mm,n pRq
par un vecteur x P Rn est un vecteur de Rm . On le note y et on a
yi
ņ
Ai,j xj ,
i P v1, mw,
j 1
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59 / 89
Algorithme 7- R0
1:
Calcul de y
Axx .
25 septembre 2013
60 / 89
Algorithme 7- R0
1:
Calcul de y
Axx .
Algorithme 7- R1
1:
1 à m faireņ
Calcul de yi Ai,j xj
Pour i
2:
j 1
3:
Fin Pour
25 septembre 2013
60 / 89
Algorithme 7- R1
1:
2:
1 à m faire
ņ
Calcul de yi Pour i
Ai,j xj
j 1
3:
Fin Pour
25 septembre 2013
61 / 89
Algorithme 7- R1
1:
2:
Algorithme 7- R2
1 à m faire
ņ
Calcul de yi Pour i
j 1
3:
Fin Pour
1:
Ai,j xj
Pour i
S0
Pour j 1 à n faire
S S Api, j q x pj q
Fin Pour
y pi q S
2:
3:
4:
5:
6:
7:
1 à m faire
Fin Pour
25 septembre 2013
61 / 89
Algorithme 7 Fonction M AT M ULT
Données :
A : matrice de Mm,n pRq,
x
: vecteur de Rn .
Résultat :
y
: vecteur de Rm tel que y Axx .
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
Fonction x M AT M ULT( A, x )
Pour i 1 à m faire
S0
Pour j 1 à n faire
S S Api, j q x pj q
Fin Pour
y pi q S
Fin Pour
Fin Fonction
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62 / 89
Matrices : produit matrice-matrice
Exercice
Ecrire la fonction M AT M AT M ULT permettant de retourner le produit de
deux matrices.
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Exercice
Ecrire la fonction M AT M AT M ULT permettant de retourner le produit de
deux matrices.
Soient X P Mm,n pRq et Y P Mn,p pRq. On note
Correction
Z P Mm,p pRq la matrice produit i.e. Z XY.
On rappelle que l’on a
Zi,j
ņ
Xi,k Yk ,j ,
pi, j q P v1, mw v1, pw.
k 1
25 septembre 2013
63 / 89
Algorithme 8- R0
1:
Calcul de Z XY.
25 septembre 2013
64 / 89
Algorithme 8- R0
1:
Calcul de Z XY.
Algorithme 8- R1
1: Pour i
1 à m faire
2:
Calcul ligne i matrice Z
3: Fin Pour
25 septembre 2013
64 / 89
Algorithme 8- R1
1:
2:
3:
Pour i
1 à m faire
Fin Pour
25 septembre 2013
65 / 89
Algorithme 8- R1
1:
2:
3:
Pour i
Algorithme 8- R2
1 à m faire
1:
Pour i
Fin Pour
1 à m faire
1 à p faire
ņ
Xi,k Yk ,j
Zi,j Pour j
2:
3:
k 1
Fin Pour
4:
5:
Fin Pour
25 septembre 2013
65 / 89
Algorithme 8- R2
1:
2:
3:
Pour i 1 à m faire
Pour j 1 à p faire
Zi,j
ņ
Xi,k Yk ,j
k 1
4:
5:
Fin Pour
Fin Pour
25 septembre 2013
66 / 89
Algorithme 8- R2
1:
2:
3:
Pour i 1 à m faire
Pour j 1 à p faire
Zi,j
5:
1:
2:
Pour i 1 à m faire
Pour j 1 à p faire
ņ
k 1
4:
Algorithme 8- R3
Fin Pour
Fin Pour
Xi,k Yk ,j
3:
4:
5:
6:
7:
S0
Pour k 1 à n faire
S S Xi,k Yk ,j
Fin Pour
Zi,j S
Fin Pour
9: Fin Pour
8:
25 septembre 2013
66 / 89
Algorithme 8 Fonction M AT M AT M ULT
Données :
X : matrice de Mm,n pRq,
Y : matrice de Mn,p pRq.
Résultat :
Z : matrice de Mm,p pRq telle que Z XY.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
Fonction Z M AT M AT M ULT( X, Y )
Pour i 1 à m faire
Pour j 1 à p faire
S0
Pour k 1 à n faire
S S X pi, k q Y pk, j q
Fin Pour
Z pi, j q S
Fin Pour
Fin Pour
Fin Fonction
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67 / 89
Factorisation LU
Théorème
Soit A P Mn pRq une matrice dont les sous-matrices principales sont
inversibles alors il existe une unique matrice L P Mn pRq triangulaire
inférieure à diagonale unité et une unique matrice U P Mn pRq
triangulaire supérieure telles ques
A LU.
25 septembre 2013
68 / 89
Factorisation LU
Trouver x
P Rn tel que
b.
(22)
Lyy
b
(23)
Uxx
y.
(24)
Axx
est équivalent à
Trouver y
puis x
P Rn solution de
P Rn solution de
25 septembre 2013
69 / 89
Factorisation LU
Algorithme 9 Fonction RSLFACT LU pour résoudre Axx b
Données : A : matrice de Mn pRq dont les sous-matrices
principales sont inversibles définie positive,
b
: vecteur de Rn .
Résultat : x
: vecteur de Rn .
Fonction x RSLFACT LU( A, b )
rL, Us FACTLUpAq
Factorisation LU
Résolution du système Lyy b
3:
y R ES T RI I NFpL, b q
4:
x R ES T RI S UPpU, y q
Résolution du système Uxx y
5: Fin Fonction
1:
2:
25 septembre 2013
70 / 89
Résolution système triangulaire inférieur
Soit A P Mn pRq triangulère inférieure inversible et b
Axx
b A1,1 0
..
..
.
.
..
.
An,1 . . .
i P v1, nw,
bi
P Rn donnés.
0
x1
b1
.Æ . Æ
.. Æ
.Æ . Æ
. Æ
Æ . Æ . Æ
Æ . Æ . Æ
0 .. .. . . . An,n
xn
bn
...
..
.
..
.
25 septembre 2013
71 / 89
Axx
b A1,1 0
..
..
.
.
..
.
An,1 . . .
i P v1, nw,
bi
P Rn donnés.
0
x1
b1
.Æ . Æ
.. Æ
.Æ . Æ
. Æ
Æ . Æ . Æ
Æ . Æ . Æ
0 .. .. . . . An,n
xn
bn
...
..
.
..
.
ņ
Ai,j xj
j 1
25 septembre 2013
71 / 89
Axx
b A1,1 0
..
..
.
.
..
.
An,1 . . .
i P v1, nw,
bi
0
x1
b1
.Æ . Æ
.. Æ
.Æ . Æ
. Æ
Æ . Æ . Æ
Æ . Æ . Æ
0 .. .. . . . An,n
xn
bn
...
..
.
..
.
ņ
Ai,j xj
j 1
P Rn donnés.
i̧
Ai,j xj
j 1
25 septembre 2013
71 / 89
Axx
b A1,1 0
..
..
.
.
..
.
An,1 . . .
i P v1, nw,
bi
bi
0
x1
b1
.Æ . Æ
.. Æ
.Æ . Æ
. Æ
Æ . Æ . Æ
Æ . Æ . Æ
0 .. .. . . . An,n
xn
bn
...
..
.
..
.
ņ
Ai,j xj
j 1
i P v1, nw,
P Rn donnés.
i̧
Ai,j xj
j 1
i¸1
Ai,j xj
Ai,i xi
(25)
j 1
25 septembre 2013
71 / 89
Remarque
La matrice A est triangulaire inférieure inversible donc Ai,i
i P v1, nw.
La formule
i P v1, nw,
bi
0,
i¸1
Ai,i xi
Ai,j xj
(25)
j 1
peut donc s’écrire
i P v1, nw,
xi
A1
i,i
bi
i¸1
Ai,j xj (26)
j 1
Remarque
On peut alors calculer successivement x1 , x2 , . . . , xn .
25 septembre 2013
72 / 89
Algorithme 10- R0
1:
Résoudre Axx b
en calculant
successivement
x1 , x2 , . . . , xn .
25 septembre 2013
73 / 89
Algorithme 10- R0
1:
Résoudre Axx b
en calculant
successivement
x1 , x2 , . . . , xn .
Algorithme 10- R1
1:
Pour i
1 à n faire
calculer xi connaissant
x1 , . . . , xi 1
2:
à l’aide de l’équation (26)
3: Fin Pour
25 septembre 2013
73 / 89
Algorithme 10- R1
1:
2:
3:
Pour i
1 à n faire
Calculer xi connaissant
x1 , . . . , xi 1
Fin Pour
25 septembre 2013
74 / 89
Algorithme 10- R1
1:
2:
3:
Algorithme 10- R2
1 à n faire
1:
x1 , . . . , xi 1
2:
Pour i
Fin Pour
1 à n faire
i¸1
Ai,j xj
j 1
xi pbi S q{Ai,i
S
3:
4:
Pour i
Fin Pour
25 septembre 2013
74 / 89
Algorithme 10- R2
1:
2:
1 à n faire
i¸
1
S
Ai,j xj
Pour i
j 1
xi pbi
4: Fin Pour
3:
S q{Ai,i
25 septembre 2013
75 / 89
Algorithme 10- R2
1:
2:
1 à n faire
i¸
1
S
Ai,j xj
Pour i
j 1
xi pbi
4: Fin Pour
3:
S q{Ai,i
Algorithme 10- R3
1:
4:
5:
6:
1 à n faire
S0
Pour j 1 à i 1 faire
S S Api, j q x pj q
Fin Pour
2:
3:
7:
Pour i
xi pbi
Fin Pour
S q{Ai,i
25 septembre 2013
75 / 89
Algorithme 10 Fonction R ES T RI I NF
Données : A : matrice de Mn pRq triangulaire inférieure inversible.
b
: vecteur de Rn .
Résultat : x : vecteur de Rn .
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
Fonction x R ES T RI I NF( A, b )
Pour i 1 à n faire
S0
S S Api, j q x pj q
Fin Pour
x pi q pb pi q S q{Api, i q
Fin Pour
return x
Fin Fonction
25 septembre 2013
76 / 89
Résolution système triangulaire supérieur
Soit A P Mn pRq triangulère supérieure inversible et b
Axx
b A1,1 . . . . . . A1,n
x1
b1
Æ
Æ
.
.
.
..
.. Æ .. Æ ... Æ
Æ
0
Æ Æ Æ
..
.. Æ .. Æ .. Æ
.. ..
.
.
.
. . . xn
bn
0
. . . 0 An,n
i P v1, nw,
P Rn donnés.
bi
25 septembre 2013
77 / 89
Axx
b P Rn donnés.
A1,1 . . . . . . A1,n
x1
b1
Æ
Æ
.
.
.
..
.. Æ .. Æ ... Æ
Æ
0
Æ Æ Æ
..
.. Æ .. Æ .. Æ
.. ..
.
.
.
. . . xn
bn
0
. . . 0 An,n
i P v1, nw,
bi
ņ
Ai,j xj
j 1
25 septembre 2013
77 / 89
Axx
b A1,1 . . . . . . A1,n
x1
b1
Æ
Æ
.
.
.
..
.. Æ .. Æ ... Æ
Æ
0
Æ Æ Æ
..
.. Æ .. Æ .. Æ
.. ..
.
.
.
. . . xn
bn
0
. . . 0 An,n
i P v1, nw,
bi
ņ
Ai,j xj
j 1
P Rn donnés.
ņ
Ai,j xj
j i
25 septembre 2013
77 / 89
Axx
b P Rn donnés.
A1,1 . . . . . . A1,n
x1
b1
Æ
Æ
.
.
.
..
.. Æ .. Æ ... Æ
Æ
0
Æ Æ Æ
..
.. Æ .. Æ .. Æ
.. ..
.
.
.
. . . xn
bn
0
. . . 0 An,n
i P v1, nw,
bi
ņ
Ai,j xj
j 1
i P v1, nw,
bi
Ai,i xi
ņ
Ai,j xj
j i
ņ
Ai,j xj
(27)
j i 1
25 septembre 2013
77 / 89
Remarque
La matrice A est triangulaire supérieure inversible donc Ai,i
i P v1, nw.
0,
La formule
i P v1, nw, i P v1, nw,
bi
Ai,i xi
ņ
Ai,j xj
(27)
j i 1
peut donc s’écrire
i P v1, nw,
xi
A1
i,i
bi
ņ
Ai,j xj (28)
j i 1
Remarque
On peut alors calculer successivement xn , xn1 , . . . , x1 .
25 septembre 2013
78 / 89
Algorithme 11- R0
1:
Résoudre Axx b
en calculant
successivement
xn , xn1 , . . . , x1 .
25 septembre 2013
79 / 89
Algorithme 11- R0
1:
Résoudre Axx b
en calculant
successivement
xn , xn1 , . . . , x1 .
Algorithme 11- R1
1:
Pour i
n à 1 faire (pas 1)
calculer xi connaissant
xi 1 , . . . , xn
2:
3: Fin Pour
25 septembre 2013
79 / 89
Algorithme 11- R1
1:
2:
3:
Pour i
xi 1 , . . . , xn
Fin Pour
25 septembre 2013
80 / 89
Algorithme 11- R1
1:
2:
3:
Pour i
Algorithme 11- R2
xi 1 , . . . , xn
Fin Pour
1:
ņ
Ai,j xj
j i 1
xi pbi S q{Ai,i
S
2:
3:
4:
Pour i
Fin Pour
25 septembre 2013
80 / 89
Algorithme 11- R2
1:
2:
ņ
S
Ai,j xj
Pour i
j i 1
xi pbi
4: Fin Pour
3:
S q{Ai,i
25 septembre 2013
81 / 89
Algorithme 11- R3
Algorithme 11- R2
1:
2:
ņ
S
Ai,j xj
Pour i
j i 1
xi pbi
4: Fin Pour
3:
S q{Ai,i
1:
3:
4:
5:
6:
S0
Pour j i
SS
Fin Pour
2:
7:
Pour i
xi pbi
Fin Pour
1 à n faire
Api, j q x pj q
S q{Ai,i
25 septembre 2013
81 / 89
Algorithme 11 Fonction R ES T RI S UP
Données : A : matrice de Mn pRq triangulaire supérieur inversible,
b
: vecteur de Rn .
Résultat : x
: vecteur de Rn .
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
Fonction x R ES T RI S UP( A, b )
Pour i n à 1 faire (pas de 1)
S0
Pour j i 1 à n faire
S S Api, j q x pj q
Fin Pour
x pi q pb pi q S q{Api, i q
Fin Pour
Fin Fonction
25 septembre 2013
82 / 89
Factorisation LU
A LU
(29)
c’est à dire
A1,1 . . . A1,n
..
Æ
..
.
. ... An,1 . . . An,n
1
L2,1
..
.
0
..
.
...
..
.
..
.
Ln,1 . . . Ln,n1
0
U1,1 . . . . . . Un,1
.. Æ .. Æ
..
0
.
.Æ
. Æ
Æ
Æ
Æ ..
.. Æ .
.. ..
.
.
. 0 .
0
. . . 0 Un,n
1
25 septembre 2013
83 / 89
Factorisation LU
Remarque
Par récurrence, en supposant connues
les i
les i
1 premières lignes de U
1 premières colonnes de L,
on peux déterminer
la i-ème ligne de U
puis la i-ème colonne de L
par les formules valables pour i allant de 1 à n
25 septembre 2013
84 / 89
Factorisation LU
Remarque
les i
les i
on peux déterminer
$
'
&
Ui,j
'
%
Ai,j
i¸1
k 1
0,
Li,k Uk ,j ,
j P vi, nw.
j P v1, i 1w.
(30)
25 septembre 2013
84 / 89
Factorisation LU
Remarque
les i
les i
on peux déterminer
$
'
&
Ui,j
'
%
Ai,j
i¸1
j P vi, nw.
j P v1, i 1w.
Li,k Uk ,j ,
k 1
0,
(30)
puis
$
0,
'
'
'
& 1,
Lj,i
'
'
'
%
1
Ui,i
Aj,i
i¸1
Lj,k Uk ,i
,
j P v1, i 1w.
j i
j P vi 1, nw,
(31)
k 1
25 septembre 2013
84 / 89
Factorisation LU
Algorithme 12- R0
1:
Calcul de L et U
25 septembre 2013
85 / 89
Factorisation LU
Algorithme 12- R0
1:
Calcul de L et U
Algorithme 12- R1
Pour i 1 à n faire
2:
Calcul ligne i de U.
3:
Calcul colonne i de L.
4: Fin Pour
1:
25 septembre 2013
85 / 89
Factorisation LU
Algorithme 12- R1
1:
2:
3:
4:
Pour i 1 à n faire
Fin Pour
25 septembre 2013
86 / 89
Factorisation LU
Algorithme 12- R1
1:
2:
3:
4:
Algorithme 12- R2
Pour i 1 à n faire
1:
Fin Pour
3:
Pour i
1 à n faire
U pi, j q 0
Fin Pour
Pour j i à n faire
2:
4:
5:
Ui,j
6:
i¸1
Ai,j Li,k Uk ,j
k 1
Fin Pour
7:
Lj,i 0
Fin Pour
Li,i 1
8:
9:
10:
11:
12:
13:
Lj,i
U1
i,i
Aj,i
i¸1
Lj,k Uk ,i
k 1
14:
15:
Fin Pour
Fin Pour
25 septembre 2013
86 / 89
Factorisation LU
Algorithme 12- R2
Pour i 1 à n faire
3:
U pi, j q 0
4:
Fin Pour
5:
Pour j i à n faire
1:
2:
6:
Ui,j
Ai,j i¸1
Li,k Uk ,j
k 1
7:
8:
9:
10:
11:
12:
Fin Pour
Lj,i 0
Fin Pour
Li,i 1
13:
Lj,i
U1
i,i
Aj,i
i¸1
Lj,k Uk ,i
k 1
14:
15:
Fin Pour
Fin Pour
25 septembre 2013
87 / 89
Factorisation LU
Algorithme 12- R3
Algorithme 12- R2
1:
2:
3:
4:
5:
Pour i 1 à n faire
U pi, j q 0
Fin Pour
Pour j i à n faire
6:
Ui,j
Ai,j i¸1
Li,k Uk ,j
k 1
7:
8:
9:
10:
11:
12:
Fin Pour
Lj,i 0
Fin Pour
Li,i 1
13:
Lj,i
U1
i,i
Aj,i
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
i¸1
Fin Pour
Fin Pour
14:
i¸1
Li,k Uk ,j
k 1
Ui,j Ai,j S1
S1
Fin Pour
Lj,i 0
Fin Pour
Li,i 1
Lj,k Uk ,i
k 1
14:
15:
Pour i 1 à n faire
3:
U pi, j q 0
4:
Fin Pour
5:
Pour j i à n faire
1:
2:
S2
i¸1
15:
Lj,i
U1
i,i
16:
17:
Lj,k Uk ,i
k 1
Aj,i
S2
.
Fin Pour
Fin Pour
25 septembre 2013
87 / 89
Factorisation LU
Algorithme 12- R3
Pour i 1 à n faire
3:
U pi, j q 0
4:
Fin Pour
5:
Pour j i à n faire
1:
2:
6:
S1
i¸1
Li,k Uk ,j
k 1
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
Ui,j Ai,j S1
Fin Pour
Lj,i 0
Fin Pour
Li,i 1
S2
i¸1
Lj,k Uk ,i
k 1
15:
Lj,i
U1
i,i
Aj,i
S2
.
Fin Pour
17: Fin Pour
16:
25 septembre 2013
88 / 89
Factorisation LU
Algorithme 12- R4
Algorithme 12- R3
Pour i 1 à n faire
U pi, j q 0
4:
Fin Pour
5:
Pour j i à n faire
Pour i 1 à n faire
3:
U pi, j q 0
4:
Fin Pour
5:
Pour j i à n faire
1:
1:
2:
2:
6:
S1
3:
i¸1
Li,k Uk ,j
6:
7:
k 1
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
Ui,j Ai,j S1
Fin Pour
Lj,i 0
Fin Pour
Li,i 1
S2
8:
9:
10:
11:
12:
13:
i¸1
14:
Lj,k Uk ,i
15:
16:
k 1
15:
Lj,i
U1
i,i
Aj,i
S2
.
Fin Pour
17: Fin Pour
16:
S1 0
Pour k 1 à i 1 faire
S1 S1 Li,k Uk ,j
Fin Pour
Ui,j Ai,j S1
Fin Pour
Lj,i 0
Fin Pour
Li,i 1
20:
S2 0
S2 S2 Lj,k Uk ,i
Fin Pour
21:
Lj,i
17:
18:
19:
U1
i,i
Aj,i
S2
.
Fin Pour
23: Fin Pour
22:
25 septembre 2013
88 / 89
Factorisation LU
Algorithme 12 Fonction FACT LU
Données : A : matrice de Mn pRq ..
Résultat : L : matrice de Mn pRq triangulaire inférieure
avec Li,i 1, i P v1, nw
U : matrice de Mn pRq triangulaire supérieure.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
Fonction rL, Us FACT LU( A )
Pour i 1 à n faire
U pi, j q 0
Fin Pour
Pour j i à n faire
S1 0
S1 S1 Lpi, k q U pk, j q
Fin Pour
U pi, j q Api, j q S1
Fin Pour
Lpj, i q 0
Fin Pour
Lpi, i q 1
S2 0
S2 S2 Lpj, k q U pk, i q
Fin Pour
Lpj, i q Aj,i S2 {U pi, i q.
Fin Pour
Fin Pour
Fin Fonction
25 septembre 2013
89 / 89

Algorithmique Numérique - Présentation du langage (niveau L2/L1)

Transcription

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