Démonstration de l`existence du cercle d`Euler

Démonstration de l’existence du cercle d’Euler
Comme O est le centre du cercle circonscrit à ABC, alors (OB 0 ) ⊥ (AC).
De plus (BH) ⊥ (AC).
Donc (OB 0 ) k (HB2 ).
D’après Thalès (figure bleue),
OB 0
GO
1
=
= .
HB
GH
2
Donc OB 0 = HB2 , donc OB 0 HB2 est un parallélogramme, donc le milieu
E de [B 0 B2 ] est le milieu de [OH].
De même, on montre que les cercles de diamètres [A0 A2 ], [B 0 B2 ] et [C 0 C2 ]
sont concentriques.
D’après Thalès, dans le triangle OBH (figure rouge),
EB2 est la moitié de OB.
De même, EA2 est la moitié de OA et EC2 la moitié de OC.
Par définition, OA = OB = OC.
Donc les trois cercles sus-nommés ont même rayon, ils sont confondus.
Donc A0 , B 0 , C 0 , A2 , B2 , C2 appartiennent au cercle de centre E, milieu du
segment [OH].
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