Exercice 1 : Jean-Baptiste, élève de 3ème, se promène sur l`ile de

Exercice 1 :
Jean-Baptiste, élève de 3ème, se promène sur l’ile de Manhattan à New York. On lui a demandé de
vérifier que les 14ème et 42ème rue sont bien parallèles, et que la 6ème avenue est perpendiculaire à
ces deux rues. Pour cela, il mesure les distances grâce à l’avenue de Broadway… Voici son
parcours.
Jean-Baptiste part du point C à 11h, remonte la
6ème avenue jusqu’à Bryant Park, tourne à
gauche jusqu’à Times Square, puis redescend
Broadway jusqu’à Union Square Park où il arrive
à 12h. Là, il s’arrête pour faire une pause…
Jean-Baptiste a mesuré les longueurs suivantes :
CE=1400m
EB=560m
BT=192m
TE=592m
EU=1480m
1) Exprimer en kilomètres le trajet réalisé par Jean-Baptiste. La vitesse moyenne d’un marcheur se situe entre 5 et 6
km/h. Comment peut-on qualifier l’allure de Jean-Baptiste ? CB+BT+TU = (560+1400)+192+(592+1480)=4224m
=4,224km, et cela en 1h, donc avec une vitesse de 4n224km/h, ce qui est une allure modérée.
2) Montrer que les droites (BT) et (CU) sont parallèles.
BE/EC= 560/1400=0,4
TE/EU=592/1480=0,4
Comme T,E et U sont alignés dans le même ordre que B,E et C, (BT) et (CU) sont parallèles, d’après la réciproque du
théorème de Thalès..
3) Calculer la distance entre le point de départ C de Jean-Baptiste et Union Square Park.
(TU) et (BC) sont sécantes en E, et (BT) est parallèles à (CU), donc d’après le théorème de Thalès :
BE/EC=TE/EU=BT/CU donc 560/1400=592/1480=192/CU donc CU=192×1480 :592 = 480m
4) Montrer que la 42 ème rue et la 6ème avenue forment un angle droit.
TE²=595²=350 464
TB²+BE²=192²+560² = 350 464 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, EBT est bien rectangle en B.
Exercice 2 : QCM
Écris sur ta copie le numéro de la question accompagnée de la lettre correspondant à la bonne réponse.
Question
A
B
C
1
La forme développée de (7x – 5)² est
49x²-25
49x²-70x-25
49x²-70x+25
2
Quelle expression est égale à 6 si on
choisit la valeur x=-1
-3x²
6(2-x)
5x²+1
9
3 2
2 3
-5
1
3
5
3
4
18 a pour valeur exacte
L’équation 2x-7 = 5x + 8 a pour solution
Exercice 3 :
On pose x =
72
y= 98
z= 18
1) Ecrire x et y sous la forme a b (a et b entiers, a étant le plus grand possible).
72= 36× 2=6 2
98= 49× 2=7 2
2) Calculer x² - y² et x + y.
( 72)² – ( 98)²= 72 – 98 = -26
72 + 98 = 6 2 + 7 2 = 13 2
3) Ecrire 2x + y – 3z sous la forme a 2.
18= 9× 2=3 2
2×6 2 + 7 2 – 3×3 2 = 12 2+7 2-9 2=10 2
Exercice 4 :
Arnaud, élève de 3ème, se retrouve dans Central Park, un oasis de 341 hectares de verdure
en plein cœur de New York au milieu de la forêt de gratte-ciel. Théâtre de rêveries, asile
tranquille le jour, ce parc est fréquenté par plus de 20 millions de visiteurs par an.
1) Après un rapide calcul, Arnaud affirme : « Il y a donc près de 5×10 4 visiteurs par jour ! ».
A-t-il raison ? Expliquer.
20 000 000 : 365 = 54 794,5205  50 000 visiteurs par jour : donc
il a raison.
2) Se retrouvant devant un des magnifiques ormes du parc,
Arnaud du haut de ses 1,80m se met en tête de calculer la hauteur
de cet arbre. Il se place à 10m du pied de l’arbre. Alors qu’il
regarde la cime, son regard fait un angle de 38° avec l’horizontale.
a) Construire le triangle ACD à l’échelle
1
.
100
b) Quelle est au centimètre près la hauteur de l’arbre ?
Dans ACD rectangle en D, tan(38°)=CD/10 donc CD 7,81m donc L’arbre mesure 7,81+1,80=9,61m
Exercice 5 :
A 21h, une fois les élèves rentrés dans les familles d’accueil, Mrs Somville et les trois collègues qui l’accompagnent
décident d’aller voir une comédie musicale à Broadway. Ils décident de s’y rendre en taxi. Le théâtre où ils
souhaitent se rendre est à 3km de leur hébergement.
Quel sera en $ le montant de la course en taxi en considérant que le trafic est fluide et que Mrs Somville et ses amis
sont très généreux et donneront un très bon pourboire ?
Prise en charge : 2$.
A 21h, supplément de 0,50$
Pourboire : 5,5×20/100 = 1,10$
Vedettes récurrentes des films et séries télévisés, les 13 000 taxis jaunes
de New-York sillonnent en permanence la ville. Leurs tarifs se
décomposent ainsi :
- Prise en charge : 2 $
- Chaque 1/5 de miles (300m) : 0,30$
- Chaque minute d’attente ou de trafic ralenti : 0,20$
- Supplément entre 20h et 6h00 : 0,50 $
- Nombre de passagers au maximum : 4 (parfois 5)
- Pourboire généralement pratiqué : entre 15% et 20% .
3km = 3000m=300m×10 qui coûteront donc 0,30×10 = 3$.
Total hors pourboire : 2+3+0,5 = 5,5$
Total à payer : 5,5+1,1 = 6,6$
Exercice 6 :
Pour son confort, Élise souhaite installer une voile d’ombrage triangulaire dans son jardin.
L’aire de celle-ci doit être de 6m² au minimum.
Parmi les 3 voiles suivantes, quelle(s) sont celle(s) qui pourraient convenir ?
Les schémas ci-dessous ne sont pas à l’échelle.
Toute démarche (calcul, schéma, explication…) sera prise en compte même si le résultat final n’a pas été trouvé.
Aire de la voile A :
3×3,4 :2 = 5,1 m²
Aire de la voile B :
En notant ABC ce triangle rectangle en A avec AB=3,4m et BC=5,25m, on a d’après le théorème de Pythagore
5,25² = 3,4² + AC² donc AC² = 5,25² - 3,4² = 16,0025 et donc AC 4m
donc l’aire de la voile B est 4×3,4 :2 = 6,8m²
Aire de la voile C :
En notant ABC ce triangle rectangle en A avec AB=3,4m et 
C =46°, on a
AC=3,4 : tan(46°)  3,3m
donc l’aire de la voile C est 3,4×3,3 : 2 =5,6m²
Seule la voile B convient alors.
Exercice 7:
On dispose d’un carré de métal de 40cm de côté. Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on enlève à chaque
coin un carré de côté x et on relève les bords en pliant.
1) Quelles sont les valeurs possibles pour x ?
0<x<20
2) Pour cette question uniquement, on donne x=5cm. Calculer le volume de cette boîte, en détaillant les calculs.
La hauteur de la boîte fait donc 5cm , et l’aire de la base vaut donc (40-2×5)² = 900cm².
Son volume est donc 900×5 = 4500 cm².
3) Le graphique ci-dessous donne le volume de la boîte (en cm3) en fonction de la longueur x (en cm).
On répondra aux questions à l’aide du graphique en faisant une phrase.
a) Lire l’image de 14 par cette fonction. f(14) = 2000
b) Lire le(s) antécédent(s) de 3500 par cette fonction. Les antécédents sont 3 et 11,1
c) Pour quelle valeur de x le volume est-il maximum (au cm près) ? Quel est ce volume maximum (à 100cm3 près) ?
Pour x=6,5cm, le volume est maximum : il vaut alors environ 4750cm3
d) Représenter en perspective cavalière (même à main levée et sans chercher à faire une figure à l’échelle) une boite
de volume 3500 cm3, en indiquant sur le dessin les dimensions possibles associées.
Pour un volume de 3500 cm3, il faut une hauteur de 3cm (ou de 11,1).
Pour x=3cm, la base est un carré de côté mesurant 40-2×3= 34cm .