GEOMETRIE DANS L`ESPACE

Transcription

GEOMETRIE DANS L’ESPACE
1
Session du brevet 1996
Aix 96
On considère le cylindre, la demi-boule et le cône représentés ci-dessous :
6 cm
1) Vérifier au moyen d’un calcul que le volume V1 du cylindre, exprimé en cm3 , est
égal à 216π et que le volume V2 de la demi-boule, exprimé en cm3 , est égal à
144π.
2) Calculer en cm3 le volume V3 du cône sous la forme kπ (k étant un nombre
entier).
6 cm
3) On constate que V2 = 2V3 . En utilisant le formulaire donné ci-dessous, justifier
ce résultat.
FORMULAIRE
Volume du cylindre : B × h
B étant l’aire du disque de base,
h étant la hauteur du cylindre.
4
Volume de fa boule : × π × r3
3
r étant le rayon de la boule.
1
Volume du cône : × B × h
3
B étant l’aire du disque de base,
h étant la hauteur du cône.
6 cm
6 cm
6 cm
Allemagne 96
B
C
La figure représente un parallélépipède rectangle. (On ne demande pas
de la reproduire.) On donne AB = 3 cm ; BC = 7 cm ; AE = 5 cm.
D
A
1) En utilisant le triangle rectangle ACD, calculer la longueur exacte
de [AC].
F
E
D. Le FUR
G
2) En utilisant le triangle rectangle ACG, calculer la longueur exacte
de [AG].
3) On s’intéresse à la pyramide de base DCGH, de sommet A, de
hauteur AD. Quel est son volume ?
H
1/ 36
15 septembre 2003
Amiens 96
Pour résoudre cet exercice, vous pourrez utiliser le formulaire suivant :
Volume du pavé droit
Volume du cône
Volume du prisme
Volume de la pyramide
L×l×h
π × R2 × h
3
B×h
B×h
3
D
On considère la pyramide ABCD de hauteur [AD] telle que AD = 5 cm et
de base ABC telle que AB = 4, 8 cm ; BC = 3, 6 cm ; CA = 6 cm. (La figure
n’est pas aux dimensions.)
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
2) Calculer le volume de cette pyramide.
3) On désire fabriquer de telles pyramides en plâtre. Combien peut-on
en obtenir avec 1 dm3 de plâtre ?
C
A
B
Antilles 96
On se donne une pyramide P1 ayant une base carrée de 8 cm de côté et une hauteur de 12 cm. Une pyramide P2 est
un agrandissement de P1 dont un côté de la base mesure 20 cm.
1) Calculer le coefficient de l’agrandissement.
2) a) Calculer le volume de la pyramide P1 .
b) Calculer le volume de la pyramide P2 .
Bordeaux 96
O
A
On considère le verre ci-dessous, ayant la forme d’un cône de révolution, de hauteur
OS = 12 cm et de rayon OA = 3 cm.
1) Montrer que le volume de ce verre (en cm3 ) est égal à 36π.
2) Avec un litre d’eau, combien de fois peut-on remplir ce verre entièrement ?
5
3) Si on remplit ce verre d’eau aux de sa hauteur, quel est alors le volume d’eau
6
utilisée ? On donnera le résultat arrondi au cm3 près.
[ (donner la valeur arrondie au degré près).
4) Calculer la mesure de l’angle OSA
S
Caen 96
SABCD est une pyramide régulière à base carrée de 24 m de côté.
La hauteur [SH] mesure 12 m.
S
D
C
1) Calculer, en m3 , le volume V1 de cette pyramide.
2) A l’intérieur de la pyramide, on construit une salle en forme de
demi-boule de centre H et de rayon 8 m. Calculer le volume V2
de la demi-boule en m3 . Donner le résultat arrondi à 1 m3 près.
3) On réalise une maquette à l’échelle 1/20. V3 est le volume en
m3 de la pyramide réduite.
H
A
D. Le FUR
B
a) Par quelle fraction doit-on multiplier V1 pour obtenir V3 ?
b) En déduire la valeur de V3 .
2/ 36
15 septembre 2003
Dijon 96
Y
[AD] est un diamètre d’un puits de forme cylindrique. Le
point C est à la verticale de D, au fond du puits. Une personne se place en un point E de la demi-droite [DA) de sorte
que ses yeux soient alignés avec les points A et C.
On note Y le point correspondant aux yeux de cette personne. On sait que AD = 1, 5 m ; EY = 1, 7 m ; EA = 0, 6 m.
E
A
D
1) Démontrer que les droites (DC) et (EY ) sont parallèles.
2) Calculer DC, profondeur du puits.
C
Lille 96
SABCD est une pyramide de hauteur [OS]. Son volume est de
240 cm3 et sa hauteur [OS] mesure 15 cm.
S
B’
1) A partir de la formule donnant le volume de la pyramide,
calculer l’aire de la base ABCD.
1
2) O′ est le point du segment [SO] tel que O′ S = OS. Le
2
plan passant par O′ et parallèle à la base ABCD coupe
les droites (SA) en A′ , (SB) en B ′ , (SC) en C ′ et (SD)
en D′ .
Calculer le volume de la pyramide SA′ B ′ C ′ D′ .
C’
O’
A’
D’
B
C
On pourra utiliser cet extrait de table trigonométrique :
O
A
3) On donne OA = 5 cm. En utilisant le triangle OSA rectangle en O, calculer au degré près la mesure de l’angle
[
OSA.
tan 18˚≃ 0, 325
tan 19˚≃ 0, 344
D
cos 70˚≃ 0, 342
cos 71˚≃ 0, 326
sin 19˚≃ 0, 326
sin 20˚≃ 0, 342
Nantes 96
S
D
C
SABCD est une pyramide régulière à base carrée de sommet
S et de hauteur [SO].
On a SB = 5 cm et AC = 6 cm.
Dessiner en vraie grandeur le carré ABCD, ainsi que les triangles SOB et SBC.
O
A
D. Le FUR
B
3/ 36
15 septembre 2003
Orleans 96
La figure ci-après représente une partie d’un patron de pyramide
régulière à base carrée.
3 cm
1) Reproduire cette figure sur votre feuille en respectant les
dimensions indiquées, puis la compléter pour obtenir un
patron de la pyramide.
3, 5 cm
2) Calculer l’aire totale du patron exprimée en cm2 .
3) On voudrait construire une nouvelle pyramide dont les
dimensions sont le quadruple de celles de la pyramide
précédente.
Quelle serait alors l’aire totale, exprimée en cm2 , d’un patron de la nouvelle pyramide ?
Poitiers 96
M
La figure ci-contre représente un cube ABCDEF GH sur lequel on a posé
une pyramide régulière de base ABCD et de hauteur M K. L’arête du cube
mesure 6 cm.
D
A
2) Dans cette question on donne M K = 4, 5 cm.
K
C
B
H
G
D. Le FUR
1) Dans cette question on pose M K = x. Calculer x sachant que le
volume du cube et de la pyramide réunis est 270 cm3.
a) Dessiner en vraie grandeur le carré ABCD.
E
b) Utiliser la figure précédente pour construire en vraie grandeur le
triangle CM A et justifier votre construction.
3√
\
2. En déduire la mesure, arrondie
c) Démontrer que tan M
CA =
4
\
au degré, de l’angle M
CA.
F
4/ 36
15 septembre 2003
2
Centres Etrangers 97
H
G
E
L’unité est le centimètre.
ABCDEF GH est un pavé droit dont les dimensions sont AB = 8 ;
BC = 6 ; EA = 5. Le point M est le milieu de [DC].
1) Dessiner dans le plan en vraie grandeur le quadrilatère
ABCM .
Démontrer que le quadrilatère ABCM est un trapèze rectangle. Calculer son aire en précisant l’unité.
F
M
D
C
A
2) On considère la pyramide EABCM de sommet E. Quelle
est sa hauteur ? (On ne demande pas de justifier la réponse.)
Calculer le volume de cette pyramide en précisant l’unité.
B
Creteil 97
S
L’unité de longueur est le centimètre.
Une bougie a la forme d’un cône de révolution de sommet S ; sa base est un
cercle de centre O et de diamètre AB = 10, on donne SA = 13.
1) Montrer que la hauteur de la bougie a pour longueur 12 cm.
2)
a) Calculer la valeur exacte du volume de la bougie en cm3 . (On
écrira cette valeur sous la forme k ×π, où k est un nombre entier.)
b) Combien peut-on fabriquer de bougies de ce type avec 4 litres de
cire ? (Rappel : 1 litre = 1 000 cm3.)
A
B
O
Guadeloupe 97
O
O’
A
A’
Un pot à fleurs a la forme d’un tronc de cône. Ses deux disques de base ont
10 cm et 20 cm de rayon. La distance entre leurs centres O et O′ est 30 cm.
Sur la figure (OA) et (O′ A′ ) sont parallèles.
SO′
1
1) Montrer que
= .
SO
2
Montrer que SO = 60 cm.
2) Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre
O.
3) Calculer le volume du pot.
On ne demande pas de refaire une figure.
S
D. Le FUR
5/ 36
15 septembre 2003
Lilles 97
A
O
Un cornet de glace appelé « petit cône » a la forme d’un cône de hauteur
SO = l0 cm, de rayon de disque de base OA = 3 cm. La représentation en
perspective est donnée ci-contre.
10 cm
3
S
1) Démontrer que le volume exact de glace contenue dans le
« petit cône » (celui-ci étant rempli) est 30π cm3 .
O’
2) Pour l’été, l’entreprise décide de fabriquer des « grands
cônes », la hauteur d’un « grand cône » étant de 12 cm.
a) Le « grand cône » étant un agrandissement du « petit cône », calculer l’échelle d’agrandissement.
10 cm
Petit cône
12 cm
Grand cône
O
b) En déduire que le volume du « grand cône » est
51, 84π cm3 .
c) Quelle quantité de glace supplémentaire a-t-on lorsqu’on achète un « grand cône » plutôt qu’un « petit
cône » ? On donnera la valeur exacte du résultat puis
une valeur approchée à 1 centilitre prés.
S
Limoges 97
S
SABCD est une pyramide régulière de sommet S, de base le carré
ABCD de centre O. On donne :
– la hauteur de la pyramide SQ = 5 cm ;
– le côté de la base BC = 4 cm.
1) Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide en cm3 , puis
en donner une valeur approchée en mm3 .
P
Q
M
2) M , N , P , Q sont les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB],
[SC], [SD].
N
a) Démontrer que M N = 2 cm.
D
b) On admet que la pyramide SM N P Q est une réduction de
SABCD. Quel est le rapport de réduction ? Quel est le
volume de SMNPQ ?
C
O
A
B
Nantes 97
F
G
ABCDEF GH est un pavé droit. On donne AD = DC = 3 cm ; GC =
4 cm ; GD = 5 cm. Sur le dessin ci-contre, les dimensions ne sont pas
respectées.
H
E
4 cm
1) Calculer le volume, exprimé en cm3 , de la pyramide GABCD.
2)
a) Dessiner en vraie grandeur le triangle ADG rectangle en D.
\ du
b) Calculer la mesure, arrondie au degré, de l’angle AGD
triangle ADG.
B
C
D
A
35 cm
c) Calculer la valeur exacte de la longueur AG, puis en donner
la valeur arrondie au millimètre.
3 cm
D. Le FUR
6/ 36
15 septembre 2003
Poitiers 97
8 cm
Un cube a des arêtes de 8 cm. Un cône de révolution a une base de 8 cm de diamètre et une hauteur de 8 cm.
8 cm
8 cm
1) Calculer le volume du cube.
2)
a) Calculer la valeur exacte du volume du cône.
b) Quel est le volume du cône arrondi au cm3 ?
3) On place le cône à l’intérieur du cube. Occupe-t-il plus de 30 du volume du cube ? Justifier votre réponse.
D. Le FUR
7/ 36
15 septembre 2003
3
Aix 1998
S
Une pyramide régulière est représentée ici en perspective :
5 cm
1) Sur le solide SABCD, nommer les arêtes de même longueur
que [SA].
Quelle est la nature de la face ABCD ? Expliquer.
2) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
C
B
H
4 cm
A
D
Bordeaux 1998
O
B
A
L’unité de longueur est le mètre.
Un réservoir d’eau a la forme d’un cône de révolution de sommet S, et de
base le disque de centre O et de diamètre [AB].
On donne AB = 5 et SA = 6, 5.
[
1) Calculer la valeur, arrondie au degré, de la mesure de l’angle OAS.
2) Démontrer que SO = 6.
3)
a) Donner la valeur exacte du volume de ce réservoir.
b) Montrer qu’une valeur approchée de ce volume au millième près
est 39, 270 m3.
4) Calculer le temps nécessaire (en heures et minutes) pour remplir ce
réservoir aux deux tiers de sa capacité, avec un robinet dont le débit
est de 35 litres par minute.
S
Caen 1998
O
B
C
I
A
D
Un panier a la forme d’un tronc de cône dont les bases ont pour diamètres
les segments [AB] et [CD], situés dans un même plan.
Le petit cône de sommet S et de disque de base de rayon [IC] est une
réduction du grand cône de sommet S et de disque de base de rayon [OA].
Il est inutile de reproduire la figure ci-contre, représentant un tronc de cône.
On donne AB = 30 cm et CD = 20 cm
1)
2)
S
D. Le FUR
a) Démontrer, à partir des indications portées sur la figure, que les
droites (AO) et (CI) sont parallèles.
SI
2
b) Démontrer que
= .
SO
3
a) Calculer le volume V2 du petit cône en fonction du volume V1 du
grand cône.
19
V1 .
b) Montrer que le volume V du tronc de cône est V =
27
8/ 36
15 septembre 2003
Centres étrangers I 1998
La figure ci-contre représente un cône de révolution de sommet S, et de base le
disque de centre H et de rayon [HM ]. On donne HM = 6 et SM = 10.
S
1)
a) Démontrer que SH = 8.
b) Calculer le volume du cône, arrondi au centimètre cube.
\
c) Donner la valeur, arrondie au degré, de la mesure de l’angle M
SH.
H
2) On coupe le cône précédent par un plan parallèle à sa base, et passant par
M le point H ′ du segment [SH] tel que HH ′ = 2.
Calculer le volume du cône de révolution obtenu, arrondi au centimètre
cube.
M
Clermont 1998
La figure ci-contre représente un cône de révolution de sommet S et de hauteur
[SH]. On sait que la longueur de la génératrice de ce cône est SA = 6 et que
[ a pour mesure 60˚.
l’angle HSA
√
√
1
3
1) On rappelle que sin 60 =
, cos 60 = et tan 60 = 3.
2
2
Calculer les valeurs exactes de la hauteur HS de ce cône et du rayon HA
de son disque de base.
S
2)
A
H
a) Calculer le volume du cône sous la forme k × π, k étant un nombre
entier.
b) Donner ensuite la valeur de ce volume arrondie au cm3 .
Creteil 1998
S
Soit la pyramide SABC de sommet S et de base ABC. Les triangles SAB
et SAC sont rectangles en A. Les dimensions sont données en mm.
AS = 65, AB = 32, AC = 60, BC = 68.
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
2) Calculer le volume de la pyramide SABC.
A
3) Tracer un patron de cette pyramide.
B
C
Grenoble 1998
La figure ci-contre représente un cône de hauteur SO = 20 cm et de base le cercle
de rayon OA = 15 cm.
S
1) Calculer, en cm3 , le volume de ce cône ; on donnera la valeur exacte sous la
forme k × π (k étant un nombre entier).
2) Montrer que SA = 25 cm.
O
D. Le FUR
A
3) L’aire latérale de ce cône est donnée par la formule π × R × SA (R désignant
le rayon de la base). Calculer, en cm2 , cette aire ; on donnera la valeur exacte
sous la forme nπ (n étant un nombre entier), puis une valeur arrondie à 10−1
près.
9/ 36
15 septembre 2003
Groupe est 1998
H
A
B
La figure 1 représente le pommeau de levier de vitesse d’une automobile.
Il a la forme d’une demi-boule surmontant un cône dont on a
sectionné l’extrémité comme l’indique la figure 2. On appelle (C1 )
le cône dont la base est le cercle de rayon [AH] et (C2 ) le cône dont
la base est le cercle de rayon [EK]. Ces deux cercles sont situés
dans des plans parallèles.
On pose SK = 4 cm ; SH = 10 cm ; AH = 2 cm.
1) En se plaçant dans le triangle SAH, calculer la tangente de
[ ; en déduire une valeur approchée, à un degré
l’angle ASH
[
près, de l’angle ASH.
E
K
D
2) En se plaçant dans le triangle rectangle ESK et en utilisant
\ montrer que EK = 0, 8 cm.
la tangente de l’angle ESK,
3)
S
Figure 1
Figure 2
a) Calculer les volumes V1 et V2 des cônes (C1 ) et (C2 ). On
donnera des valeurs approchées pour les deux calculs de
volumes demandés au cm3 près.
b) Calculer le volume V3 de la demi-boule ; en donner une
valeur approchée au cm3 près.
c) Déduire des résultats précédents une valeur approchée
du volume du pommeau.
Limoges 1998
H
E
G
F
L’unité de longueur est le cm. On ne demande pas de reproduire le dessin
sur la copie.
On donne un parallélépipède rectangle ABCDEF GH tel que AB = 4,
BC = 3, AE = 6.
Un point S choisi sur l’arête [AE] permet de définir deux pyramides :
– SABCD de sommet S, de hauteur SA, de volume V1
– SEF GH de sommet S, de hauteur SE, de volume V2
1) On suppose que AS = 3.
a) Calculer les distances F H, SH et SF (donner les valeurs
exactes).
S
b) Démontrer que le triangle F HS est isocèle.
C
D
A
2) On suppose à présent que AS = x (0 6 x 6 6).
a) Exprimer les volumes V1 et V2 en fonction de x.
B
b) Comment choisir x pour que V2 > V1 ?
Nantes 1998
1) Dessiner un carré ABCD dont les diagonales mesurent 4 cm. Aucune justification n’est demandée.
2) Ce carré est la base d’une pyramide régulière SABCD telle que SA = 3 cm. Compléter le dessin de la question
afin d’obtenir un patron de cette pyramide.
Poitiers 98
Un pigeonnier d’une hauteur totale de 15 mètres est formé d’une tour cylindrique de rayon 6 mètres, surmontée d’un
toit conique.
1) Quelle est la hauteur de la tour, sachant qu’elle est égale aux deux tiers de la hauteur totale ?
2) Trouver la valeur exacte de l’aire de la surface latérale de la tour cylindrique.
3) Quel est le volume total du pigeonnier ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au mètre cube prés.
D. Le FUR
10/ 36
15 septembre 2003
4
Aix 1999
S
L’unité est le centimètre. SABCD est une pyramide de sommet S ayant pour
base le rectangle ABCD.
Les faces latérales SAB, SAO et SDC sont des triangles rectangles.
On donne AD = AS = 3 et SB = 7.
B
A
D
C
7
3
A
B
3
1) Le patron de cette pyramide a été commencé. Il manque la face
SBC. La construire.
√
2) Montrer que SD = 3 2.
√
3) Sachant que SC = 58, prouver que le triangle SBC est rectangle en B.
3
D
C
Asie 1999
S
G
F
E
ABCDEF GS est un cube d’arête 3 cm.
1) Calculer, en cm3 , le volume de la pyramide SABCD.
2) Dessiner en vraie grandeur les faces SAO puis SAB (sachant que le
triangle SAB est rectangle en A).
C
D
A
B
Bordeaux 1999
S
Le solide représenté ci-contre est constitué de deux parties :
– la partie supérieure est une pyramide régulière SABCD, de sommet S,
de base carrée ABCD et de hauteur [SO] ;
– la partie inférieure est un pavé droit ABCDEF GH ;
– dimensions en centimètres : AB = 30, AE = 10, SQ = 30.
1) Calculer le volume de la partie inférieure du solide.
C
A
D
O
B
3)
G
E
D. Le FUR
2) Calculer le volume total du solide.
a) Calculer la valeur exacte de AD.
[
b) En déduire la mesure, arrondie au degré, de l’angle SAO.
F
11/ 36
15 septembre 2003
Caen 1999
Un cône a pour base un disque de 6 cm de rayon et pour hauteur 15 cm.
1) Calculer son volume V en cm3 (en donner la valeur exacte, exprimée en fonction de π).
2
2) On réalise une maquette du cône à l’échelle . Calculer le volume V ′ de cette maquette, arrondi au cm3 .
5
Clermont 1999
1) On admet qu’un ballon de basket est assimilable à une sphère de rayon R1 = 12, 1 cm. Calculer le volume V1 ,
en cm3 , de ce ballon ; donner le résultat arrondi au cm3 .
2) On admet qu’une balle de tennis est assimilable à une sphère de rayon R2 , en cm. La balle de tennis est ainsi
4
une réduction du ballon de basket. Le coefficient de réduction est
.
15
a) Calculer R2 ; donner le résultat arrondi au mm.
b) Sans utiliser cette valeur de R2 , calculer le volume V2 , en cm3 , d’une balle de tennis ; donner le résultat
arrondi à l’unité.
Creteil 1999
L’unité de longueur est le mètre.
Pour abriter un spectacle, on a construit un chapiteau dont la forme
est un cône représenté par le schéma ci-contre.
Sur le sol horizontal, la toile du chapiteau dessine un cercle de rayon
AH = 10. Le mât, vertical, a pour longueur SH = 15.
S
1) Calculer le volume du chapiteau (on donnera la valeur exacte,
puis la valeur arrondie au m3 ).
M
C
2) Calculer la longueur SA (on donnera la valeur exacte, puis la
valeur arrondie au cm).
[ arrondie à
3) Déterminer la mesure en degré de l’angle ASH
l’unité.
N
D
A
H
B
4) Pour accrocher des affiches, on a tendu deux câbles, l’un du
point M au point N , l’autre du point C au point D. Comme
l’indique le schéma, M et C sont des points du segment [SA],
N et D sont des points du segment [SH]. On donne SM = 8,
SN = 7, SC = 12, SD = 10, 5.
Les câbles sont-ils parallèles ? Justifier.
5) Le plus petit des deux câbles mesure 3 m. Calculer la longueur
de l’autre câble.
Grenoble 1999
D
C
B
A
On considère la figure ci-contre où ABCDEF GH est un cube de côté
3 cm.
1) Montrer que le triangle ACF est équilatéral.
2) On considère alors la pyramide CABF , de base le triangle ABF
et de hauteur CB.
a) Calculer le volume de cette pyramide.
G
H
E
D. Le FUR
b) Dessiner un patron de cette pyramide ; on laissera les traits
de construction.
F
12/ 36
15 septembre 2003
Limoges 1999
A
K
D
C
I
ABCDEF GH est un cube d’arête [AB] avec AB = 12 cm. I est le milieu du
segment [AB]. J est le milieu du segment [AE]. K est le milieu du segment
[AD].
B
1) Calculer l’aire du triangle AKI.
J
2) Quel est le volume de la pyramide JAIK, de base AIK ?
G
H
E
D. Le FUR
3) Quelle fraction du volume du cube représente le volume de la pyramide
JAIK ? Ecrire le résultat sous forme d’une fraction de numérateur 1.
F
13/ 36
15 septembre 2003
5
Bordeaux 2000
Un aquarium a la forme d’une calotte sphérique de centre O
(voir schéma) qui a pour rayon R = 12 cm et pour hauteur h =
19, 2 cm.
A
I
1) Calcule la longueur OI puis la longueur IA.
h = 19, 2
R = 12
O
2) Le volume d’une calotte sphérique est donnée par la forπh2
(3R − h) où R est le rayon de la sphère et
mule V =
3
h la hauteur de la calotte sphérique.
Calcule une valeur approchée du volume de cet aquarium
au cm3 près.
3) On verse six litres d’eau dans l’aquarium. Au moment de
changer l’eau de l’aquarium, on transvase dans un récipient
parallélépipédique de 26 cm de longueur et de 24 cm de
largeur.
Détermine la hauteur x d’eau dans ce récipient. (On arrondira le résultat en mm)
Caen 2000
Un menuisier doit tailler des boules en bois de 10cm de
diamètre pour les disposer sur une rampe d’escalier. Il
confectionne d’abord des cubes de 10cm d’arête dans lesquels il taille chaque boule.
1) Dans chaque cube, déterminer la volume ( au cm3
près) de bois perdu, une fois la boule taillée.
2) Il découpe ensuite la boule de centre O suivant un
plan pour la coller sur son emplacement¿. La surface
ainsi obtenue zst un disque D de centre O1 et de
diamètre AB = 5cm.
Calculer à quelle distance du centre de la boule (h
sur la figure) il doit réaliser cette découpe. Arrondir
h au millimètre.
Rappel : le volume d’une boule de rayon R est
4 3
πR .
3
O
h
A
D. Le FUR
O1
D
B
14/ 36
15 septembre 2003
Grenoble 2000
A
L’unité est le centimètre.
Un jouet à la forme d’une demi-boule surmontée d’un cône de révolution
de sommet A, comme lindique la figure ci-contre.
Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône ; le point O est le
centre de cette base.
On donne : AB = 7 et BC = 6.
1)
a) Construire en vraie grandeur le triangle rectangle AOB.
b) Calculer la valeur exacte de AO.
B
\ En déduire
c) Calculer la valeur exacte du sinus de l’angle BAO.
\ (on donnera le résultat arrondi
une mesure de l’angle BAO
au degré près).
C
O
2) Calculer le volume de ce jouet, cône et demi-boule réunis (on donnera le résultat arrondi au cm3 près).
Nantes 2000
S
H
E
Une boı̂te de chocolats à la forme d’une pyramide
régulière de base carrée, sectionnée par un plan parallèle à la base. La partie supérieure est le couvercle et la partie inférieure contient les chocolats.
On donne :
AB = 30cm ; SO = 18cm ; SO′ = 6cm.
G
O′
F
1) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
D
C
2) En déduire celui de la pyramie SEF GH.
3) Calculer
le
volume
du
récipient
ABCDEF GH qui contient les chocolats.
O
A
B
Nice 2000
H
A
(C)
O
Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon 10cm
selon un cercle (C) de centre H.
La distance OH du centre de la sphère à ce plan P vaut 6cm.
La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. cette figure
représente la sphère et le cercle (C).
1) En utilisant uniquement les données de l’énoncé, tracer
en vraie grandeur le triangle OHA, rectagle en H.
On laissera les traits de construction apparents.
2) Calculer le rayon du cercle (C).
D. Le FUR
15/ 36
15 septembre 2003
Poitiers 2000
S
Un cône de révolution a pour sommet le point S ; sa
hauteur est de 9cm ; sa base est un cercle de centre O,
de rayon 6cm dont le segment [AB] est un diamètre.
On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie.
1) Calculer à 0, 1cm3 près le volume de ce cône.
2) Calculer la longueur SA à 0, 1cm près.
A
B
O
Antilles Guyane 2000
O
M
Un récipient a une forme conique et a pour dimensions : OM = 5cm
et OS = 10cm.
1) Calculer en cm3 le volume du récipient. On donnera une valeur
approchée au dixième près.
O
2) On remplit d’eau le récipient jusqu’au point O′ , O′ S vaut 5, 3cm.
On sait que le cône formé par le liquide est une réduction du
premier cône.
′
a) Préciser le coefficient de la réduction.
b) Calculer une valeur approchée du volume d’eau.
\
3) Calculer la tangente de l’angle SM
O.
\
4) Donner une valeur approchée de SM
O au degré près.
S
Centres étrangers I1 2000
S
Le dessin ci-contre représente une pyramide SABC de hauteur SA = 5cm et dont
la base est le triangle ABC rectangle en B.
AB = 4cm et BC = 3cm.
C
1) Calculer l’aire du triangle ABC, puis le volume de la pyramide SABC.
2) Dessiner un patron de cette pyramide.
A
B
D. Le FUR
16/ 36
15 septembre 2003
Inde 2000
r
M
Niveau de l’eau
O
1)
a) Calculer r (donner la valeur arrondie au mm
près).
b) Quelle est la forme de la surface plane de
l’eau ?
10cm
4cm
Léo, le poisson de Julie, est dans un bocal ayant la forme
d’une sphère tronquée (fixée sur un socle). Le rayon de
la sphère est de 10cm.
la distance de la surface plane de l’eau au centre O de
la sphère est de 4cm.
c) Calculer l’aire de cette surface (donner le
résultat au cm2 près).
2) Calculer le volume d’eau nécessaire pour remplir
le bocal au niveau des pointillés (donner le résultat
au cm3 près, puis au litre près).
S
SABC est une pyramide de sommet S. La base ABC est un triangle
rectangle et isocèle en A tel que AC = 3cm. La hauteur [SA] mesure
4cm.
Rappel : le volume V d’une pyramide est donné par la formule :
V =
A
C
2)
Aire de la base × hauteur
3
a) Construire les triangles ASC, ASB et ABC en vraie grandeur.
b) En déduire la construction du triangle BSC en vraie grandeur
sans faire de calcul.
B
D. Le FUR
17/ 36
15 septembre 2003
3cm
On rappelle que si l’aire de la base B et la hauyeur h, le
1
volume d’un cône est B × h, et que le volume d’une boule de
3
4 3
rayon r est πr .
3
Un micro est constitué de trois parties accolées (voir schéma
ci-contre) :
– un manche qui est un cylindre d’une hauteur 8cm et d’un
diamètre de 2cm ;
– une tête qui est une demi-sphère de diamètre 6cm ;
– une partie qui les relie, obtenue en coupant à 3cm de son
sommet par un lan parallèle à sa base, un cône de hauteur
initiale 9cm. La base a pour diamètre 6cm. On admettra
que la section est un cercle de diamètre 2cm.
NB : tous les volumes seront exprims en cm3 .
6cm
3cm
1) Calculer le volume exact V∞ du cylindre et le volume
exact V∈ de la demi-sphère.
2)
a) Calculer le volume d’un cône de hauteur 9cm et
dont la base a pour diamètre 6cm.
b) Calculer le volume d’un cône de hauteur 3cm et
dont la base a pour diamètre 2cm.
5cm
c) En déduire que le volume exact V∋ de la troisième
partie est 26πcm3 .
3) Déterminer le volume total du micro (on donnera la
valeur exacte puis la valeur arrondie au mm3 près).
2cm
6cm
Europe de l’est 2000
B
A
C
Le dessin ci-contre représente un pavé droit en bois dans lequel on
découpe la pyramide ADEF B.
AB = 4cm ; AF = 4cm ; BD = 5cm.
1) Le point A est-il situé sur la droite (HG) ?
D
2) Dessiner en vraie grandeur la face ABD et calculer la valeur
exacte de AD.
G
3) Calculer le volume de cette pyramide et montrer qu’il
représente plus de 30% du volume du pavé droit.
B×h
.
Rappel : volume d’une pyramide :
3
F
H
E
D. Le FUR
18/ 36
15 septembre 2003
Amiens septembre 1999
la figure ci-contre représente un réservoir constitué d’un pavé droit et d’une
pyramide régulière de base carrée.
On dispose des données suivantes :
– la hauteur de la pyramide mesure 1, 5m ;
– le côté de la base de la pyramide mesure 2m ;
– la hauteur du pavé mesure 3m.
1) Calculer le volume, exprimée en m3 , du pavé droit.
2) Calculer le volume, exprimé en m3 , de la pyramide.
3) Calculer la capacité, exprimée en litres, du réservoir.
Grenoble septembre 1999
U
T
La figure ci-contre représente une pyramide ST RU , de sommet
S et de base T RU .
SRT , SRU et T RU sont des triangles rectangles en R.
Les triangles RT U et LM N sont dans des plans parallèles.
On donne :
SR = 7, 5 ; RT = 4 ; RU = 6, 2 ; LR = 4, 5.
R
1) Calculer le volume de la pyramide ST RU .
N
M
2)
L
a) Dessiner en vraie grandeur le triangle SRT . Placer
sur ce dessin les points L et M , en utilisant le fait
que les droites (LM ) et (RT ) sont parallèles.
b) Calculer M L.
S
Lille septembre 1999
S
La pyramide régulière à base carrée SABCD ci-contre a une base de
50cm2 et une arête [SA] de 13cm.
1) Calculer la valeur exacte de AB, puis démontrer que : AC = 10cm.
2) Soit H le centre de ABCD. On admet que (SH) est perpendiculaire à (AC).
Démontrer que : SH = 12cm, puis calculer le volume de SABCD.
D
A
H
C
B
D. Le FUR
19/ 36
15 septembre 2003
Paris septembre 1999
1) On admet qu’un ballon de basket est assimilable à une sphère de rayon R1 = 12, 1cm.
Calculer le volume V1 , en cm3 , de ce ballon ; donner le résultat arrondi au cm3 .
2) On admet qu’une balle de tennis est assimilable à une sphère de rayon R2 , en cm.
La balle de tennis est ainsi une réduction du ballon de basket. Le coefficient de réduction est
4
.
15
a) Calculer R2 ; donner le résultat arrondi au mm.
b) Sans utiliser cette valeur de R2 , calculer le volume V2 , en cm3 , d’une balle de tennis ; donner le résultat
arrondi à l’unité.
4
Rappel : volume d’une sphère de rayon R : V = πR3 .
3
La Réunion septembre 1999
P
K
S
KLM N SRQP est un cube dont une arête mesure 6cm.
N
1) Nommer toutes les arêtes de la pyramide KLM Q.
2) Quelle est la nature de la face KLQ ? Justifier la réponse.
3) Calculer le volume de la pyramide KLM Q.
Q
L
D. Le FUR
R
4) Quelle est la nature de la face QKM ? Justifier la
réponse.
M
20/ 36
15 septembre 2003
6
Antilles 2001
3 cm
Une boı̂te est formée d’un cylindre de hauteur 8 cm, surmontée d’une demi-sphère
de rayon 3 cm.
8 cm
1) Calculer le volume V de la boı̂te en cm3 (on donnera une valeur approchée au
mm3 ).
2) Cette boı̂te est agrandie avec un coefficient k = 2. Calculer le volume V ′ de la
boı̂te agrandie. (Pour les calculs, on prendra π ≈ 3, 14.)
Groupement I 2001
S
Le cône de révolution ci-contre de sommet S a une hauteur SO de 9 cm et un rayon
de base OA de 5 cm.
1) Calculer le volume V1 de ce cône au cm3 près.
2) Soit M le point du segment [SO] tel que SM = 3 cm.
On coupe le cône par un plan parallèle à la base passant par M .
Calculer le volume V2 du petit cône de sommet S ainsi obtenu au cm3 près.
A
O
Groupement II 2001
H
A
(C)
O
Sur le dessin ci-contre, la sphère a pour centre O.
Un plan coupe cette sphère selon un cercle (C) de centre H et de
rayon 4, 5 cm (HA = 4, 5 cm).
1) Sachant que HO = 2, 2 cm, dessiner le triangle OHA en vraie
grandeur.
2) Calculer la longueur OA à 1 mm près.
Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées.
D. Le FUR
21/ 36
15 septembre 2003
Reunion 2001
S
SABCD est une pyramide régulière à base carrée telle que AB = 4, 5 cm et
de hauteur SH = 4, 8 cm.
(Les dimensions ne sont pas respectées sur la figure.)
On rappelle que le volume d’une pyramide est donnée par la formule :
U
T
R
V
D
A
1)
V=
aire de la base × hauteur
3
C
B
a) Calculer l’aire du carré ABCD.
b) Prouver que le volume de la pyramide SABCD est de 32, 4 cm3 .
2) Le quadrilatère RV T U est la section de cette pyramide par un plan parallèle à la base.
a) Quelle est la nature de cette section ? Justifier la réponse.
b) On rappelle que la pyramide SRV T U est une réduction de la pyramide SABCD ; on siat, de plus, que
2
SV = SB.
3
Calculer le volume de SRV T U .
c) Représenter la section RV T U en vraie grandeur.
Groupe sud 2001
F
G
ABCDEF GH est un pavé droit à base carrée.
On donne AD = 3cm et CG = 4cm.
H
E
1) Calculer le volume en cm3 de la pyramide de sommet G et de base
ABCD.
2) Calculer DG.
3) On admet que le triangle AGD est rectangle en D.
\
Calculer la mesure, arrondie au degré, de l’angle AGD.
C
B
A
D. Le FUR
Calculer la valeur exacte de la longueur AG, puis en donner la
valeur arrondie au millimètre.
D
22/ 36
15 septembre 2003
Afrique II 2001
D’
G
H
A’
Le parallélépipde rectangle de la figure ci-contre a
été coupé par un plan parallèle à l’arête [BC].
On donne : EF = 25cm, HK = 20cm
et KE = 15cm.
C’
B’
1) Quelle est la nature de la section plane
EF GH ?
D
K
A
2) Calculer HE.
F
E
C
3) Que
peut-on
déduire
des
questions
précédentes pour le quadrilatère EF GH ?
Justifier la réponse.
B
Inde 2001
I
A
B
Un verre est composé d’un pied surmonté d’un cône de
révolution.
L’épaisseur du verre est supposée négligeable.
Le cône a pour sommet S et sa base est un disque de diamètre
[AB].
On donne AB = 12cm et SA = 7, 5cm.
On note I le milieu du segment [AB].
1) Calculer la hauteur SI du cône.
A’
S
2) Calculer le volume maximal de liquide que peut contenir
ce verre. Ce volume sera noté V.
Donner la valeur exacte de V en cm3 puis sa valeur arrondie à 1mm3 près.
3) On remplit ce verre d’eau de telle sorte que la surface du
liquide soit dans un plan parallèle à celui qui contient le
disque de base du cône et que le niveau de l’eau atteigne
le point A′ du segment [SA] tel que SA′ = 5cm.
a) Exprimer le volume V ′ d’eau en fonction du volume
V ; justifier la réponse.
b) En déduire la valeur arrondie de V ′ au cm3 près.
La figure ci-contre est donnée à titre indicatif.
Groupe Nord septembre 2000
Mr Untel propose des boules de glace de 1, 5cm de rayon. Calculer le volume d’une boule (arrondi à 1cm3 ).
Des clients très gourmands ont réclamé des boules plus grosses. Mr Untel double le rayon de ses boules de glace. Par
combien le volume d’une boule a-t-il été multiplié ?
D. Le FUR
23/ 36
15 septembre 2003
Groupe ouest septembre 2000
Pour cet exercice, vous utiliserez et compléterez la figure 1 ci-dessous.
La base ABC d’une pyramide SABC est un triangle rectangle et
isocèle en A.
La hauteur de cette pyramide est [SA].
On donne : AB = AC = 4cm et SA = 5, 5cm.
Un plan parallèle à la base coupe les arêtes [SA], [SB] et [SC]
respectivement en M , N et O.
On a SM = 4, 4cm.
1) La figure 1 représente la pyramide en perspective cavalière
posée sur sa base ABC.
Compléter ce document en nommant les sommets. Puis, sur
cette même figure, représenter la section M N O.
2) Quelle est la nature du triangle M N O ?
Calculer M N .
3) Dessiner sur la copie le triangle M N O en vraie grandeur.
A partir de ce triangle, construire un patron de la pyramide
SM N O.
\
4) Calculer l’angle M
SN (donner le résultat arrondi au degré).
Antilles Guyane septembre 2000
A
Le culbuto est un jouet formé d’une demi-sphère surmontée
d’un cône (comme l’indique la figure ci-contre).
On donne AB = AC = 10cm et AO = 8cm.
1) Calculer le rayon le rayon de la sphère.
2)
B
O
C
a) Calculer le volume en cm3 de la demi-sphère.
On en donnera la valeur arrondie au dixième près.
b) Calculer le volume en cm3 du cône.
On en donnera la valeur arrondie au dixième près.
c) Donner une valeur approchée du volume du
culbuto.
D. Le FUR
24/ 36
15 septembre 2003
Vanuatu septembre 2000
S
L’unité de longueur est le centimètre. On considère une pyramide SABC, de
sommet S, de base le triangle ABC, de hauteur [SA], telle que : SA = 5,
AB = 5, BC = 12 et AC = 13.
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
A’
C
A
2) Sur la figure ci-dessus, le point A′ du segment [SA] vérifie SA′ = 3.
Représenter la section A′ B ′ C ′ de la pyramide SABC par un plan parallèle à sa base et passant par le point A′ . (Le point B ′ appartient au
segment [SB], le point C ′ appartient au segment [SC].)
En déduire le volume de la pyramide SA′ B ′ C ′ .
B
D. Le FUR
25/ 36
15 septembre 2003
7
Groupe est (Grenoble) 2002
N
La Terre est assimilée à une sphère de rayon 6 370km.
1) On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles (N S)
et équidistant de ces deux pôles. L’intersection de ce plan avec
la Terre s’appelle l’Equateur.
Calculer la longueur de l’Equateur.
O
2) On note O le centre de la Terre et G un point de l’Equateur.
On considère deux points A et B situés en Afrique sur l’Equateur. Ces points sont disposés comme l’indique le schéma cicontre.
[ = 42˚ et GOB
\ = 9˚.
On sait que GOA
Calculer la longueur de l’arc AB, portion de l’Equateur située
en Afrique.
A
G B
S
Groupe est (Lyon) 2002
H
E
G
F
ABCDEF GH est un parallélépipède à base carrée.
On donne AB = BC = 6cm et BF = 4, 5cm.
1) Montrer que DC = 7, 5cm.
\ arrondie au degré près.
2) Calculer la mesure de l’angle CDG
D
C
A
3) Calculer en cm3 le volume de la pyramide ABCDG.
B
Groupe ouest 2002
Dans une boı̂te cubique dont l’arête mesure 7cm, on
place une boule de 7cm de diamètre (voir schéma cicontre).
Le volume de la boule correspond à un certain pourcentage du volume de la boı̂te. On appelle ce pourcentage le ”taux de remplissage de la boı̂te”.
Arrondir ce pourcentage à l’entier le plus proche.
D. Le FUR
26/ 36
15 septembre 2003
Groupe sud 2002
S
Un cône de révolution a pour sommet le point S.
sa base est un disque de centre O et de rayon 4cm.
Sa hauteur [SO] est telle que SO = 2, 8cm.
[
1) Déterminer l’arrondi au degré de l’angle OSB.
2) Déterminer le volume de ce cône et donner son arrondi au cm3 .
A
B
O
Amérique du nord 2002
B
I
Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB, sont
opposés par le sommet.
Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI)
et (KA) sont parallèles.
On donne : KA = 4, 5cm, KS = 6cm et SI = 4cm.
cône 2
S
1) Calculer BI.
2) Calculer le volume V1 du cône 1. (Donner la valeur
exacte puis la valeur arrondie au cm3 .)
3) Le cône 2 est une réduction du cône 1.
Quelle est le coefficient de réduction ? Par quel
nombre exact, faut-il multiplier V1 , le volume du
cône 1, pour obtenir le volume V2 du cône 2 ?
cône 1
K
A
Guadeloupe 2002
S
SABCD est une pyramide. Sa hauteur [SH] mesure 9cm et l’aire de
sa base est 20, 25cm2.
2) En réalisant une section plane parallèle à la base de la pyramide,
on obtient une pyramide SM N KL.
2
De plus, on sait que SM = SA.
3
Calculer le volume de la pyramide SM N KL.
K
L
M
N
C
D
H
A
D. Le FUR
B
27/ 36
15 septembre 2003
Inde 2002
S
SABCD est une pyramide régulière dont la base carrée a un côté de mesure 2cm.
La hauteur SO est variable, elle est notée x (en cm).
1) Calculer le volume de cette pyramide pour x = 6cm.
2) Dans cette question, x varie entre 0 et 10cm.
a) Démontrer que le volume de la pyramide en fonction de x est V (x) =
4
x.
3
4
x.
3
c) Par lecture graphique et en laissant apparents les tracés effectués, dire
quel est le volume de la pyramide si x = 3cm puis donner la hauteur de
la pyramide pour laquelle son volume est égal à 10cm3 .
b) Tracer la représentation graphique de la fonction V : x 7−→
B
C
O
D
A
Amérique du sud novembre 2001
ABCDEF GH est un cube dont l’arête mesure 8cm.
C
1) Calculer le volume V de ce cube et l’aire A de ses faces.
F
N
B
2) Soit M le milieu de [AD] et N le milieu de [BC].
Quel est le nom du solide ABN M HG ?
Calculer son volume v.
v
Donner une valeur simplifiée de la fraction .
V
3) On suppose maintenant M sur [AD] et N sur [BC] tels que
AM = BN = x.
Ecrire le volume vx de ABN M HG en fonction de x. Calculer x pour que vx représente 15% du volume V du cube
ABCDEF GH.
Rappel :
Volume du prisme : aire de la base multipliée par la hauteur.
Volume de la pyramide : aire de la base multipliée par la hauteur
et divisée par 3.
G
D
E
M
H
A
Polynésie 2001
S
A
D. Le FUR
O
B
Une lampe a la forme d’une boule de centre O et de rayon
30cm. [AB] est un diamètre et [SO] un rayon de cette boule
(voir ci-contre).
Rappel :
4
Volume d’une boule : V = πR3 , avec R rayon de la boule.
3
1) Calculer le volume de la boule (donner la valeur arrondie
au cm3 ).
√
2) On donne SB = 30 2 ; montrer que la droite (SO) est
perpendiculaire à la droite (AB).
28/ 36
15 septembre 2003
L’unité de longueur est le centimètre et l’unité de volume est le centimètre cube.
On note h la hauteur d’eau dans un cylindre de rayon 8 et de hauteur 15 (figure 1).
On place alors au fond de ce cylindre une boule de rayon 6 et on constate que le cylindre est totalement rempli (figure
2).
8
15
h
Figure 2
Figure 1
1) Calculer en fonction de π le volume du cylindre.
2) Montrer que la valeur exacte du volume de la boule est 288π.
3) Déduire des questions précédentes la hauteur h de l’eau dans le cylindre avant qu’on y place la boule.
D. Le FUR
29/ 36
15 septembre 2003
8
Groupe est (Lyon) 2003
On considère le cône ci-contre de sommet S et dont la base est
le disque de rayon [OA].
Ce cône a pour hauteur SO = 8cm et pour génératrice
SA = 10cm.
I est un point du segment [SO] tel que SI = 2cm.
S
1) Montrer que OA = 6cm.
I
2) Montrer que la valeur exacte du volume V du cône est égale
à 96π cm3 . Donner la valeur arrondie au mm3 près.
[
3) Déterminer, au degré près, la mesure de l’angle ASO.
4) On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et passant
par le point I. La section obtenue est un disque de centre
I, réduction du disque de base.
A
a) Déterminer le rapport k de cette réduction.
O
b) Soit V ′ le volume du cône de sommet S et de base le
disque de centre I.
Exprimer V ′ en fonction de V , puis donner la valeur
arrondie de V ′ au mm3 près.
Groupe nord 2003
S
Un tajine est un plat composé d’une assiette circulaire et d’un couvercle
en forme de cône qui s’emboı̂te parfaitement dans l’assiette.
L’assiette de ce tajine a un rayon [OA] qui mesure 15 cm et la
génératrice du cône [SA] mesure 25 cm.
A
O
1) Calculer la hauteur OS du cône.
2) Montrer que la valeur exacte du volume V du cône est égale à (1 500π) cm3 .
3) Un modèle réduit de ce tajine a une assiette de rayon 6 cm.
a) Déterminer le coefficient de réduction qui transforme le grand tajine en modèle réduit.
b) En déduire la valeur arrondie au cm3 près du volume V ′ du tajine en modèle réduit.
Groupe sud 2003
D
C
ABCDEF GH est un parallélépipède rectangle.
On donne :
F E = 12cm, F G = 9cm,
F B = 3cm, F N = 4cm
et F M = 3cm.
A
B
H
E
G
N
M
F
1) Calculer la longueur M N .
2) Montrer que l’aire du triangle F N M est égal à 6cm2 .
3) Calculer le volume de la pyramide (P ) de sommet B et de base le triangle F N M .
4) On considère le solide ABCDEN M GH obtenu en enlevant la pyramide (P ) au parallélépipède rectangle.
D. Le FUR
30/ 36
15 septembre 2003
a) Quel est le nombre de faces de ce solide ?
b) Calculer son volume.
Centres étrangers (Bordeaux) 2003
S
La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur : elle est donnée à titre indicatif.
SABCD est une pyramide à base carrée ; sa hauteur est l’arête [SA].
On donne SA = 4cm et AB = 3cm.
1) Calculer SB.
D
2) Représenter en vraie grandeur les faces SAB et SBC, toutes deux des
triangles rectangles.
C
A
B
Centres étrangers (Lyon) 2003
On considère qu’une boule de pétanque a pour volume 196cm3 et que son rayon est le double de celui du cochonnet.
1) Quel est le rapport de réduction des rayons (donner une écriture fractionnaire ou décimale ) ?
2) En déduire le volume du cochonnet.
Polynésie 2003
S
Soit SAB un cône de révolution, S étant le sommet du cône. Sa base est
un disque de diamètre [AB] et de centre O. Sa hauteur est [SO].
On donne AB = 4cm et SO = 4, 5cm.
1) Calculer le volume du cône et donner une valeur arrondie au cm3 près.
[ et donner une valeur arrondie au degré près.
2) Calculer l’angle ASO
A
D. Le FUR
O
B
31/ 36
15 septembre 2003
Guyane 2003
On considère les figures suivantes :
4cm
O
A
A
O
9cm
O’
A’
S
S
Fig. 1 – Cône initial
Fig. 2 – Section du cône
La figure 1 représente un cône de hauteur [SO] et de rayon [OA].
1) a) Calculer la valeur exacte de l’aire de la base du cône.
b) Calculer le volume V de ce cône, arrondi au cm3 .
2) On coupe le cône à mi-hauteur par un plan parallèle à sa base (O′ représente le milieu de [SO]).
a) Quel est le coefficient de réduction ?
b) Calculer la longueur O′ A′ en justifiant la réponse.
c) Calculer le volume V ′ du petit cône, arrondi au cm3 .
Nord septembre 2002
Une cloche à fromage en forme de demi-sphère de rayon 9cm et une boı̂te cylindrique de même rayon ont le même
volume.
9cm
9 cm
1) Calculer le volume de la cloche.
On donnera la valeur exacte du résultat, puis sa valeur arrondie au cm3 près.
2) Calculer la hauteur de la boı̂te métallique.
Rappels :
H
R
R
Volume de la sphère :
D. Le FUR
4 3
πR .
3
32/ 36
15 septembre 2003
Volume du cylindre : πR2 H.
H
E
G
F
ABCDEF GH est un cube.
Les points J, K, M et N sont les milieux respectifs des segments [AE],
[F B], [AD] et [BC].
JKN M est une section du cube par un plan parallèle à l’arête [AB].
J
M
D
K
C
A
N
B
F
G
1) Donner, sans justifier, la nature de la section JKN M .
2) La face F GCB a été dessinée en vraie grandeur ci-contre.
a) Placer les points K et N sur cette face.
b) A côté, dessiner la section JKN M en vraie grandeur.
B
D. Le FUR
C
3) Quelle est la nature du solide AJM BKN ?
(Aucune justification n’est demandée.)
33/ 36
15 septembre 2003
Amérique du sud novembre 2002
B
C
D
A
Soit ABCDEF GH un cube d’arête 5cm.
1) Dessiner en vraie grandeur le triangle AHG.
2) Calculer les valeurs exactes de AH et AG, puis une valeur arrondie
\
à 0,1 degré près de la mesure de l’angle HAG.
F
G
E
H
Martinique septembre 2002
S
A
F
E
B
H
G
La maquette de maison représentée ci-contre est composée :
– d’un pavé droit de dimensions :
AB = 30cm, AE = 20cm et AD = 5cm ;
– surmonté d’une pyramide de hauteur 6cm.
D
C
1) Calculer le volume V1 de cette maquette.
2) Sachant que cette maquette est une réduction de coefficient 1/50 de la maison réelle, déduire de la première
question le volume V2 en m3 de la maison.
D. Le FUR
34/ 36
15 septembre 2003
9
Aix 2004
On considère le pavé droit ABCDEF GH représenté ci-dessous :
B
C
A
D
F
G
E
H
Observer la figure et compléter le tableau ci-dessous (annexe 1 de votre sujet). Sans justification.
OBJET
Triangle ABC
[
Angle ABF
NATURE DE L’OBJET
Quadrilatère ABFE
[
Angle ACG
Quadrilatère ACGE
Bordeaux 2004
On considère la pyramide régulière OABCD. La base ABCD est un carré. H est le point d’intersection des diagonales
[BD] et [AC]. On sait que la hauteur [OH] mesure 4 cm.
O
C
D
H
A
B
1) Sachant que le volume de la pyramide est égal à 12 cm3 , montrer que l’aire de la base est égale à 9 cm2 .
2) En déduire que le côté [AB] du carré ABCD mesure 3 cm.
3) Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré ABCD.
4) Calculer l’aire du triangle AOC.
D. Le FUR
35/ 36
15 septembre 2003
Groupe Nord 2004
B
On considère un cône de révolution semblable à celui représenté ci-contre avec
AO = 2 cm et BO = 3 cm.
A
O
1) Calculer la longueur de la génératrice [AB] : donner en cm la valeur exacte puis
la valeur arrondie au dixième.
2) Calculer le volume du cône : donner en cm3 la valeur exacte puis la valeur arrondie
à l’unité.
Versailles 2004
La balise ci-contre est formée d’une demi-boule surmontée d’un cône de
révolution de sommet A.
Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône et le point O est le
centre de cette base.
On donne AO = BC = 6 dm.
A
√
1) Montrer que AB = 3 5 dm.
2) Dans cette question, on se propose de calculer des volumes.
a) Calculer en fonction de π le volume du cône (on donnera la valeur
exacte de ce volume).
b) Calculer en fonction de π le volume de la demi-boule (on donnera
la valeur exacte de ce volume).
B
O
C
c) Calculer la valeur exacte du volume de la balise, puis en donner
la valeur arrondie à 0,1 dm3 près.
On rappelle que si V est le volume d’une boule de rayon R, alors V =
4
× π × R3 .
3
On rappelle que si V est le volume d’un cône de hauteur h et de rayon r, alors V =
π × r2 × h
.
3
2004
2004
D. Le FUR
36/ 36
15 septembre 2003

GEOMETRIE DANS L`ESPACE

Transcription

Documents pareils

Les 20 commandements de la construction de pyramides d`acrosport

PYRAMIDE Saint-Ouen l`Aumône

La Pyramide de Maslow

Quelques pyramides alimentaires

Of Mice and Men - Ethic Etapes à Romorantin en Sologne

Pyramide des besoins

fiche ressource

La « Pyramide » de Ieoh Ming Pei, Cour Napoléon, Musée du

Les besoins selon Maslow et les implications en classe

Rentrée scolaire 2009/2010 Lycée Désiré Nisard - Châtillon-sur