4 La poutre La poutre : géométrie

/DSRXWUH
•
•
•
•
Géométrie
Forces internes = sollicitations
Conventions de signe
Cas de sollicitation
Chapitre non exposé au cours (voir TP et cours de
mécanique des solides et des fluides de 2ème)
La poutre
4-1
/DSRXWUHJpRPpWULH
C
La poutre
4-2
ODSRXWUHJpRPpWULH
• engendré par une figure plane A de sorte que
– le centre C parcoure une ligne donnée (D[H ou ILEUH
PR\HQQH)
– A reste constamment normal à cette ligne
– les dimensions de A restent petites devant la
longueur
• la section A varie de manière lente et progressive
• si l’axe est droit, la poutre est dite SULVPDWLTXH
La poutre
4-3
IRUFHVLQWHUQHVVROOLFLWDWLRQV'
coupe de
section A
y
Tzz
fibre moyenne
N xx
effort normal
z
choix du système d’axes
Ty efforts tranchants
y autre choix (Frey)
La poutre
4-4
IRUFHVLQWHUQHVVROOLFLWDWLRQV'
coupe de
section A
Mz
Mx
fibre moyenne
moment
de torsion
My
moments
de flexion
La poutre
4-5
IRUFHVLQWHUQHVVROOLFLWDWLRQV'
coupe de
section A
effort normal
N
fibre moyenne
Mz
moment fléchissant
Ty
effort tranchant
La poutre
4-6
FRQYHQWLRQVGHVLJQH1
• traction N > 0
• compression N < 0
La poutre
4-7
FRQYHQWLRQVGHVLJQH0
• M > 0 si les fibres tendues sont vers le bas
La poutre
4-8
FRQYHQWLRQVGHVLJQH7
• T > 0 lorsque la partie droite descend
La poutre
4-9
FRPPHQWDLUH
• les conventions de signe de M, N, T sont celles le
plus couramment adoptées
• le choix du système d’axes fait couler bcp d’encre
– pas seulement dans les avis pédagogiques
– il existe autant de conventions que d’ auteurs
– choix du système usuel en Belgique
– différent de celui de F. Frey (et des Eurocodes)
• cette convention n’ est pas cruciale
– l’ important réside dans la compréhension du
comportement structural
La poutre
4 - 10
OHVVROOLFLWDWLRQV'
• Effort normal
N = ∫ σ x dA
A
• Effort tranchant
Ty = ∫ τ xy dA
A
• Moment fléchissant
M z = ∫ σ x ydA
A
La poutre
4 - 11
OHVVROOLFLWDWLRQV'
N = ∫ σ x dA
• Effort normal
A
• Efforts tranchants
Ty = ∫ τ xy dA
A
Tz = ∫ τ xz dA
A
• Moments fléchissants
M z = ∫ σ x ydA
A
• Moment de torsion
0[ =
La poutre
∫ (τ
$
M y = ∫ σ x zdA
A
[] \ − τ [\ ]
)G$
4 - 12
UHODWLRQ07
équilibre de translation vertical
− T + q(x )dx + T + dT = 0
dT
= −q ( x )
dx
équilibre de rotation (point C)
M + Tdx − q(x )dx
La poutre
dx
− M − dM = 0
2
dM
=T
dx
4 - 13
VFKpPDVWDWLTXHG¶XQHSRXWUH
La poutre
4 - 14
GpWHUPLQDWLRQGHVGLDJUDPPHV017
• règles élémentaires
– charge axiale nulle ⇔ N constant
– charge axiale uniforme ⇔ N varie linéairement
– charge transversale nulle ⇔ T cst, M linéaire
– charge transversale uniforme
⇔ T linéaire, M quadratique
– T = 0 ⇔ M est extrémum
La poutre
4 - 15
GpWHUPLQDWLRQGHVGLDJUDPPHV017
• construction rapide avec un minimum de calculs
• calculer les réactions de liaisons
• esquisser les diagrammes
– en tenant compte des règles
• déterminer les valeurs
La poutre
4 - 16
H[HPSOHSRXWUHELDSSX\pH
1) déterminer les réactions $ = 0
(par équations d’ équilibre)
$ =4E
2) déterminer le diagramme T
(suite les forces par la droite,
valeurs par équilibre à gauche
à droite)
3) déterminer le diagramme M
(suivre les règles + déformée +
équilibre)
% = 4D
/
⊕
La poutre
\
4 - 17
H[HPSOH&DQWLOHYHU
/2
0 =T
2
1) déterminer les réactions
$ = T/
2) déterminer le diagramme T
†
3) déterminer le diagramme M
La poutre
4 - 18
/
H[HPSOHSRWHQFH
\
La poutre
4 - 19
H[HPSOH
La poutre
4 - 20
GpIRUPpHGHVSRXWUHVSODQHVGXHj0
• déformée ou ligne élastique
• quelques règles simples
– point d’ inflexion ⇒ M = 0
– les angles sont conservés aux nœuds rigides
– respecter les conditions cinématiques
– la portée d’ une poutre ne varie pas
La poutre
4 - 21
H[HPSOHSRUWLTXH
La poutre
4 - 22
FDVGHVROOLFLWDWLRQV
• Traction (compression) pure : N
La poutre
4 - 23
FDVGHVROOLFLWDWLRQV
• Flexion pure : Mz
La poutre
4 - 24
FDVGHVROOLFLWDWLRQV
• Flexion simple (effet du cisaillement) : Mz + Ty
G0
=7
G[
La poutre
4 - 25
FDVGHVROOLFLWDWLRQV
• Flexion composée : N + Mz
La poutre
4 - 26
FDVGHVROOLFLWDWLRQV
• Flexion oblique (gauche) : Mz + My
La poutre
4 - 27
FDVGHVROOLFLWDWLRQV
• Torsion : Mx
La poutre
4 - 28
FDVGHVROOLFLWDWLRQVUpVXPp
N
Ty
Tz
Mx
My
Mz
≠0
0
0
0
0
0
traction simple
0
0
0
0
0
≠0
flexion pure
0
≠0
0
0
0
≠0
flexion simple
≠0 ≠0
0
0
0
≠ 0 flexion composée
0
≠0
≠ 0 flexion oblique
≠0
0
0
0
≠0 ≠0
0
0
déno min ation
0
torsion
La poutre
4 - 29
ODSRXWUHHQUpVXPp
• détermination rapide des diagrammes
– calculer les réactions de liaison
– esquisser les diagrammes
– calculer les valeurs particulières
• maîtriser les conventions de signe M, N, T
• maîtriser les cas de sollicitation
La poutre
4 - 30