Mathématiques et billard

Transcription

MATHÉMATIQUES ET BILLARD
MARC PICOT, LUC PICOT, DAVID BOUTRY
Si vous donnez le pouvoir à des enfants, ne vous étonnez
pas de vous retrouver sous la domination des appétits primaires, sous le despotisme de la consommation immédiate,
la dictature de l’instant, la tyrannie d’un éternel présent ;
maintenant que dire lorsqu’on donne le pouvoir - non plus
aux enfants eux-mêmes - mais à leurs jouets ?
Laboratoire de catastrophe générale.
Maurice G. Dantec
Avant propos
À la lecture de ce texte, si vous décidez d’amener une classe dans une
salle de billard, il faut vous attendre à un certain nombre de railleries
et de sarcasmes de la part de votre entourage.
Vos collègues d’abord, penseront que vous souhaitez passer du bon
temps, et que se rendre une demi-journée dans une salle de billard est
un bon moyen de s’attirer la sympathie des élèves et donc de se la couler
douce. Les souvenirs des parties de billard au café du coin, remontant
au lycée, referont surface et chacun ira de son petit commentaire sur
les boissons que vous écluserez à la buvette pendant que vos élèves
joueront.
Votre hiérarchie ensuite, ne comprendra sûrement pas l’intérêt pédagogique d’une telle séance et hésitera à chambouler les emplois du
temps et débloquer des moyens pour satisfaire ce qu’elle considérera
comme une lubie. Il n’y aura pas de commentaire déplacé comme avec
vos collègues, mais vous sentirez un regard soupçonneux peser sur vos
épaules chaque fois que vous croiserez votre principal.
Votre famille enfin, qui ne vous a jamais vu jouer au billard - d’ailleurs
vous arrivez à peine à frapper correctement dans une bille - et se demandera ce que vous allez faire dans cette galère.
Dans ces conditions, peu importe les arguments. Vous pourrez vous
démener tant que vous voudrez pour essayer de convaincre que vous
n’allez pas au billard pour vous amuser mais bien pour travailler, personne ne vous croira. Personne ne se rendra compte également que la
1
2
gestion des élèves est plus difficile en terrain inconnu, que vous serez stressés à l’idée que certains provoquent des incidents et que vous
passerez votre temps à courir de table en table pour tenter de faire
progresser l’activité. Inutile de vous justifier, vous ne ferez que vous
égarer dans les volutes d’une logorrhée de toujours plus alambiquée.
Finalement, les seuls qui vous soutiendront dans ce projet, seront les
élèves, persuadés qu’ils passeront une demi-journée à jouer au billard
et seront à mille lieues de penser qu’ils feront des mathématiques.
Pourtant, ce sont bien de mathématiques dont il s’agit, et même
de mathématiques comme ils n’en ont a jamais vues et comme il n’en
verront probablement jamais plus ailleurs. Alors, à la question, toutes
ces railleries valent-elles la peine qu’on se démène pour réaliser cette
séquence ? la réponse est définitivement oui, même si vous sortez épuisés
d’une telle aventure.
Le billard est un lieu sans égal pour redécouvrir la notion de droites,
pour appréhender les angles, les tangentes, les sphères pour apprendre
à conjecturer, à vérifier un résultat, ou au contraire, l’invalider. Pour
toutes ces raisons, et bien d’autres encore, proposer une activité billard
peut être fait dans toutes les classes du collège et contribuera sinon à
réconcilier les élèves avec la géométrie, à se sentir mieux avec elle.
3
1. Rencontre avec un billard
1.1. Format du billard. Un billard est un rectangle dont la longueur
est le double de la largeur 1. Il existe différentes tailles de billard, mais
le format est reste le même. Cette constatation peut être faite avec
les plus petits, on pourra alors proposer de retrouver les rectangles
représentants des billards parmi une famille de rectangles (Voir Fiche
1 en annexe).
1.2. Les mouches. Si on regarde le bord du billard, on verra que des
repères (appelés mouches) sont placés à intervalle régulier. Il y a 7
mouches sur la longueur et 3 sur la largeur. Demander de placer les
mouches sur un billard vierge est un exercice qui posera problème à
plus d’un élève et qui nous a plongé dans un état de grande perplexité.
Certains commencent par mesurer la longueur qui sépare deux mouches
(de 30 à 36 cm selon les modèles) sur le billard puis tentent de la reporter sur leur feuille. Évidemment, ils se rendent compte que cet écart
est bien trop grand, mais souvent, bien que conscients de l’impossibilité
de leur démarche, ils persistent dans cette voie ou abandonnent tout
simplement.
D’autres, ou les précédents après un long moment de réflexion, comptent
le nombre de mouche sur un côté, par exemple 7, et divisent la longueur
correspondante sur leur dessin par 7. Ils reportent alors le résultat
trouvé sur leur feuille jusqu’à la dernière mouche qui sort du cadre
du billard. L’étonnement qui en découle et les réactions qui suivent
peuvent être qualifiés d’inquiétants. Aucun élève ne remet en cause
sa méthode, et tous effectuent des aller-retours entre leur feuille et le
billard pour recompter encore et encore le nombre de mouches, pour recommencer la division puis reporter plus précisément le résultat trouvé.
Ce blocage peut durer toute la séance si le professeur n’intervient pas.
1
Nous parlons du rectangle délimité par le bord des bandes.
4
Personne ne pense à compter le nombre d’intervalles, ou plus simplement, personne ne voit qu’une des mouches est au milieu de la longueur
(ou de la largeur) puis que pour placer les autres, il suffit de partager
à nouveau en deux et encore en deux.
Ces observations nous laissent à penser que la dialectique objetreprésentation est une vraie difficulté. En classe, les élèves sont habitués
à travailler sur des représentations d’objets (les ont-ils déjà vus ?). Cette
première rencontre avec le billard oblige à une mise à distance de la
représentation par rapport à l’objet. Il est clair que trop d’élèves n’ont
pas compris que le dessin n’est pas l’objet. Ce problème du passage de
l’objet à sa représentation, ou l’inverse, va nous poursuivre au fil des
activités.
Placer les mouches sur un billard vierge est un piège qui peut perturber fortement la séance. Si vous proposez ce problème, vous prenez le
risque de passer le temps imparti dans la salle de billard à le résoudre,
il est à ce moment préférable de le reprendre en classe et d’utiliser le
billard pour des activités plus spécifiques à celui-ci.
1.3. Le but du jeu. Le billard français 2 se joue avec trois billes
identiques au point de vu de la taille (62mm) et du poids. Deux des
billes sont blanches l’autre est rouge. Pour différencier les deux billes
blanches, l’une d’elle est marquée d’un point 3.
Le jeu se joue à deux, chacun devant avec sa bille (une des deux
blanches) toucher les deux autres. L’ordre dans lequel les deux autres
billes sont touchées est sans importance, la bille du joueur peut également
rebondir sur une ou plusieurs bandes avant le contact ou entre les
contacts des deux autres billes. Si le joueur réussit, il marque un point
et rejoue.
S’il rate, en ne touchant qu’une des deux billes par exemple, c’est à
l’autre joueur de réaliser le contrat à partir de la configuration laissée
par son adversaire.
La partie se termine quand un des joueurs a marqué 100, 200 voire
500 points selon les niveaux. Certains joueurs sont tellement forts qu’ils
arrivent à remplir le contrat en une fois. Dans ce cas, l’adversaire a
« un droit de réponse », mais doit à son tour faire le même nombre
de points sans erreur. En cas d’égalité, on rejoue un nombre de points
déterminés jusqu’à ce qu’on arrive à départager les joueurs. Il est clair
qu’à ce niveau, le jeu se résume plus à une guerre des nerfs qu’à des
exploits techniques.
2
Les activités proposées sont présentées avec un billard français, elles s’adaptent
sans problème à n’importe quel type de billard.
3
Pour une meilleur différenciation, nous remplacerons une des deux billes
blanches par une jaune.
5
2. Premiers pas avec un billard
2.1. Prise en main. Il ne faut pas perdre de vue que la séance dans la
salle de billard est un cours de mathématiques, les élèves doivent donc
respecter les règles imposées par le professeur et suivre les consignes des
activités proposées. Il se peut qu’une personne du club que vous occuperez donne gentiment des conseils de jeux, il faut alors vous montrer
ferme (tout en restant poli) et faire comprendre que le but n’est pas
d’apprendre à jouer au billard mais bien de faire des mathématiques.
On commence par une prise en main du matériel, en donnant les
consignes élémentaires pour que chacun puisse jouer : position du corps,
tenue de la queue, mouvement pour propulser la bille.
Afin de faciliter cette étape, on imposera et ce pendant toute la
séance, que la bille jouée soit près d’un bord afin d’éviter que les élèves
se couchent trop sur le billard (ce qui en soit n’est pas très grave) et
soient moins précis dans leurs gestes 4.
La queue doit rester horizontale, elle est tenue d’une main comme
un cartable. On pose l’extrémité de la queue sur le bord du billard et
la main restée libre vient se poser sur cette extrémité, la queue passant
entre l’index et le majeur. La bille est frappée par le procédé 5 audessus du centre, sur le grand diamètre vertical (sinon, la bille recevra
de l’effet soit à gauche, soit à droite). On découvre ainsi le « roulement
naturel » (rotation de la bille le long d’un grand cercle vertical, vers
l’avant) ; du fait des frottements dus au drap, une bille qui ne rencontre
aucun obstacle finira toujours par rouler naturellement, quel que soit
l’effet donné initialement.
Il arrive souvent qu’un ou deux élèves vous contredisent car ils ont
déjà joué et « savent » comment tenir une queue de billard ou ont déjà
frappé des billes situées au centre du billard. Nous vous invitons à vous
référer au début de cette section pour savoir qu’elle attitude adopter
avec ces graines de champions.
Cette prise en main dure environ 15 minutes, chaque élève est invité
à atteindre un point donné (matérialisé par une autre bille, ou une
quille) avec sa bille.
En fait, les élèves ont déjà commencé à faire des mathématiques et
cette prise en main est l’occasion de redécouvrir les notions de segment
et de droite. En effet, pour que la bille jouée choque la bille visée il faut
qu’elle parcourt le segment défini par les deux billes.
4
Il ne faut cependant pas craindre de craquer le tapis, passer sous celui-ci avec
la queue de billard fait partie des légendes urbaines.
5
Le procédé est une rondelle de cuir collée au bout de la queue de billard, pour
éviter le dérapage au moment où la bille est frappée.
6
Ainsi, pour réussir le coup, la queue de billard doit être placée dans
le prolongement de ce segment, c’est à dire sur la droite définie par les
deux billes.
Redécouvrir ces notions peut paraı̂tre anodin, mais c’est sûrement
la première fois qu’elles sont vues de cette façon. Ici on appréhende la
droite avec son corps et il est légitime de se demander si cette droite
est la même que celle qu’on représente sur une feuille. Il est également
intéressant de remarquer que les élèves faibles en géométrie sont les
mêmes qui ont de la difficulté à se positionner pour viser le point choisi
(indépendamment des difficultés liées à la manipulation de la queue).
Enfin, il est amusant de constater que la définition d’une droite par le
billard se rapproche de celle donnée dans Les Éléments :
Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapports
aux points qui sont sur elle 6.
Ici, la droite est définie comme cet objet globalement invariant par
translation, translation que l’on observe avec la queue puis la bille ; et
quand on voit cette définition opérer, on est en droit de se demander
si Euclide n’était pas un joueur de billard.
2.2. La loi du rebond. Après cette prise en main, les élèves sont
répartis par groupes de 4 à 8, selon le nombre de billards et on propose
un premier exercice d’observation : la bille se déplace en ligne droite
jusqu’à ce qu’elle rencontre un obstacle, il s’agit alors de dessiner la
trajectoire d’une bille posée à un endroit précis (imposé ou non) et
frappée dans une direction précise (Voir Fiche 2 en annexe).
La notion de repérage fonctionne à plein, et passer de la réalité au
dessin, ou inversement du dessin à la réalité peut être une source de
difficultés, les mouches s’avèrent, dans ce cas, utiles.
Pour effectuer les dessins demandés, Le problème de la modélisation
se pose, même si les élèves n’en sont pas conscients.
Ici, les billes peuvent être assimilées à des points et on pourra négliger
certains effets dus aux frottements (hormis le fait que la bille finira par
s’arrêter) ainsi que la contraction de la bande lors du choc.
On pourra, a contrario, faire varier d’autres paramètres comme la
force de frappe et voir que cela n’influe pas sur la trajectoire 7 de la
bille, mais seulement sur la distance qu’elle parcourt.
6
Euclide, Les Éléments. Traduction et commentaires de Bernard Vitrac, édition
PUF, 1990
7
Il faut être prudent avec cette affirmation, car en général lorsqu’on tape fort,
on se montre moins précis et on donne de l’effet à la bille (en tapant à droite ou à
gauche du centre) ce qui évidemment change la trajectoire dès le premier rebond.
7
Le but de cet exercice est d’amorcer une première réflexion sur la
loi du rebond et permet d’amener le deuxième exercice qui consiste à
prévoir la trajectoire de la bille après le rebond (Fiche 3 en annexe).
En dépit du premier exercice, il n’est pas rare de rencontrer un certain nombre d’idées reçues ou de théories farfelues en ce qui concerne
cette loi 8.
La plus répandue d’entre elles (que l’on retrouve à chaque séance) est
certainement la loi du rebond perpendiculaire : la trajectoire après le
rebond est perpendiculaire à la trajectoire avant ce rebond. Cette loi est
évidemment fausse, il suffit pour s’en convaincre de frapper une bille
sur une trajectoire perpendiculaire à une bande et constater qu’elle ne
suit pas, mais alors pas du tout la bande après le rebond.
Mais on pense rarement cet exemple, et on privilégie lors des essais,
des coups dont la trajectoire d’incidence est proche de 45˚, ce qui donne,
dans ce cas, un rebond à 90˚.
Invalider ce résultat est un travail très intéressant à mener sous forme
de débat.
Une autre théorie que l’on retrouve assez souvent pourrait s’appeler
la théorie de mouches.
8
Ces « théories » ont été observées aussi bien chez les enfants que chez les adultes
que nous avons rencontré lors de différents stages.
8
Certainement traumatisés par leur placement, certains pensent que
les mouches sont utiles pour prévoir la trajectoire de la bille après le
rebond. Après tout, ils ne se sûrement pas fatigués pour rien. . .
Malheureusement pour eux, les idées avancées se révèlent presque
toutes fausses.
Sur la figure ci-dessus, on a représenté une des théories qui consiste
à compter le nombre de mouches qu’il y a entre la bille et le point visé.
Sur le tracé noir, on compte deux mouches, donc la bille ira 2 mouches
plus loin. Dans ce cas, le raisonnement est correct. Il ne l’est plus avec
le tracé rouge, pour lequel on compte cinq mouches que l’on reporte en
faisant le tour du billard (la mouche 7 est parfois oubliée) pour arriver
sur la mouche 10.
Une méthode correcte, et que l’on a pu observer, serait de continuer
à compter les mouches en dehors du billard, en imaginant par exemple
que l’on ajoute un billard à la suite de celui sur lequel on joue. . . pardon,
sur lequel on fait des maths.
Les énoncés possibles de la loi du rebond (la vraie) sont difficiles à
formaliser avec les élèves. Deux propositions reviennent souvent :
(1) L’angle de la trajectoire avec la bande avant le rebond est égal
à l’angle de la trajectoire avec la bande après le rebond.
(2) La trajectoire après le rebond est symétrique à la trajectoire
avant le rebond par rapport à la perpendiculaire passant par le
9
point de contact avec la bande. Ce qui revient à dire, en langage
b est égal à l’angle de réflexion
expert que l’angle d’incidence (I)
b
(R).
En sixième, ou même avant, il n’est pas étonnant que ces propriétés
soient difficiles à formaliser étant donné le peu de connaissance à disposition sur les angles. Pour la deuxième définition, le mot perpendiculaire
a de la difficulté à sortir, les élèves lui préfèrent souvent l’expression
« tout droit », ne comprenant pas le manque de précision de cette proposition. La plupart du temps, on entend des phrases du type :« ce
qu’il y a par là, ça doit être la même chose de l’autre côté ».
Le problème qui se pose ensuite est de construire l’angle de réflexion
en connaissant l’angle d’incidence 9. Sur le billard, l’utilisation de gabarits permet la manipulation des angles sans avoir recours au rapporteur 10, ces gabarits peuvent être utilisés ensuite sur le dessin montrant
ainsi que la taille des côtés ne change pas l’angle qu’ils définissent. On
peut enfin proposer de construire ces reports d’angle avec un compas.
La fiche 4 (en annexe) permet de contrôler la compréhension de ce qui
a été fait.
L’intérêt de cette activité réside en les aller-retours entre le billard
et le dessin, entre la manipulation et la formalisation, ce qui permet
d’introduire la notion d’angle en lui donnant du sens.
9Si
on privilégie la première proposition, c’est le même problème en passant aux
complémentaires.
10L’utilisation d’un rapporteur est ici prématurée, il est préférable, conformément
aux programmes de sixième d’introduire les angles avant leurs mesures.
10
3. La bandaison papa, ça ne se commande pas11
Les activités présentées ci-dessous sont prévues à partir de la quatrième et nécessitent la connaissance de la loi du rebond.
3.1. Le point bande avant. Cet exercice est directement inspiré du
jeu. Les joueurs sont confrontés au problème suivant : les deux billes à
toucher sont l’une à côté de l’autre, mais la bille jouée ne peut pas les
frapper directement, comme illustré sur la figure ci-dessous :
Si la bille blanche choque directement la jaune, celle-ci fera rouler la
rouge et le contact blanche-rouge aura peu de chance de se produire, à
moins d’un heureux hasard.
Mais, si le but est de remporter un match, il vaut mieux laisser le
moins de place possible au hasard ; l’idée est donc de viser un point de
la bande de façon à ce qu’après le rebond, la bille blanche se dirige vers
les deux autres billes selon une trajectoire plus favorable. il faut donc
11G.Brassens,
Fernande,1972
11
être capable de situer ce point (Fiche 5 en annexe).
Ici encore, les théories fausses foisonnent. L’une d’elles vient du fait
que la plupart des essais se font dans un cas particulier : les billes sont
placées sur une droite parallèle à une bande. Le point de visé se situe
alors au milieu des projetés orthogonaux des billes sur la bande.
Pour invalider cette assertion, on propose un cas plus général puis
on demande pourquoi la méthode fonctionne dans un cas et pas dans
l’autre, enfin on va plus loin en demandant à quelle(s) condition(s) la
méthode est-elle efficace ? Le travail de l’élève n’est pas gâché pour autant, le fait qu’il ait était actif dans sa démarche de recherche et qu’il
ait réinvesti un certain nombre de connaissance (comme les médiatrices
par exemple) est déjà un grand pas dans le processus de la démarche
scientifique, et finalement il importe peu qu’une solution complète soit
élaborée. Lui soumettre ce contre-exemple permet de montrer que la
réponse proposée n’est que partielle et lance en même temps de nouvelles pistes à explorer.
Pour les plus réfractaires affirmant contre vents et marées que la
méthode est correcte, et que si le point n’est pas fait, c’est de la faute
à Voltaire, on peut proposer un cas extrême : celui où les billes sont
proches de bandes opposées.
12
La théorie vole en éclat, et aux sceptiques, s’il en reste (certainement des mauvais joueurs), qui affirment qu’un point pareil se joue
directement, on pourra expliquer qu’une conjecture doit pouvoir se
vérifier dans n’importe quel cas et que ces cas extrêmes sont d’excellents moyens, trop souvent oubliés, de voir si on se trompe ou pas.
Ce problème est en fait un exercice classique de quatrième que l’on
peut trouver sous la forme suivante :
Un jardinier veut arroser ses salades, mais doit d’abord puiser de
l’eau dans la rivière voisine. Où doit-il se servir pour que son trajet
soit minimum ?
Il s’agit bien du même problème car une bille en état de roulement
naturel réalise toujours le trajet minimum pour se rendre d’un point à
un autre, y compris lorsqu’elle rebondit.
Dès lors, la résolution est aisée : le plus court chemin entre deux
points étant la ligne droite, on symétrise le point à atteindre par rapport à la bande, puis on trace la droite passant par la bille visée et le
symétrique, elle coupe la bande au point cherché.
Les propriétés de conservation de la symétrie justifient qu’en ce point
l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion.
Pour les plus têtus, voulant absolument une solution avec des projetés orthogonaux, nous proposons la méthode de Willy Hopp, un ancien champion du monde, décrite dans son livre sur le billard.
13
Pour trouver le point à viser en bande avant, tracer les perpendiculaires à la bande passant par A et par B. Elles coupent la bande en A’ et
en B’. Les droites (AB 0 ) et (A0 B) se coupent en I. La perpendiculaire
abaissée de I sur la bande donne le point cherché T.
Les droites (AA0 ) et (BB 0 ) sont parallèles, d’après le théorème de
Thalès, on a :
IA0
AA0
IA
=
=
IB 0
IB
BB 0
Soit B 00 le symétrique de B par rapport à la bande. (AB 00 ) coupe
(A0 B 0 ) en T.
On utilise à nouveau le théorème de Thalès :
T A0
AA0
TA
=
=
T B 00
T B0
B 0 B 00
Puisque B 0 B 00 = BB 0 , on en déduit que les six rapports sont égaux,
0
A0
et notamment IA
= TT B
0.
IB
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IT ) et
(BB 0 ) sont parallèles, et donc, (IT ) et (A0 B 0 ) sont perpendiculaires.
Le point T est bien le projeté orthogonal de I sur la bande, et, d’après
les constructions de B 00 et de T, c’est bien le point du plus court trajet
demandé.
3.2. Deux bandes avant. C’est le même problème que précédemment,
sauf qu’il est nécessaire de faire deux bandes avant de toucher les deux
billes (fiche 6 en annexe).
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Dans l’exemple ci-dessus, le point direct est très difficile, car il faut
frôler la bille rouge et espérer que la bille blanche ne soit pas trop déviée
de la trajectoire pour toucher la jaune.
Tenter un point bande avant est également difficile, quelque soit la
bande, à cause de la position des deux billes : on risque de n’en toucher
qu’une et faire partir la seconde. Le plus raisonnable ici est de toucher
deux bandes de façon à ce que la bille blanche arrive sur les deux autres
selon une trajectoire plus favorable.
Évidemment, la méthode précédente se généralise et on trouve le
point à atteindre en effectuant deux symétries par rapport aux bandes.
Malheureusement, dans la pratique, cette méthode n’est pas efficace,
n’oublions pas que le joueur est seul et qui lui est interdit de marquer
15
des repères. Nous en proposons donc une deuxième, équivalente, mais
plus facile à mettre en œuvre dans le jeu. Elle consiste à prendre le
milieu M de la distance entre la bille jouée et le point à atteindre, la
direction cherchée est alors la droite (OM ), O étant le coin du billard.
Justifions d’abord que les droites (AI) et (BJ) sont parallèles (A
et B représentent les points de départ et d’arrivée de la bille jouée,
I et J sont les points de contacts avec les bandes). A’ et B’ sont les
symétriques respectifs de A et B par rapport aux droites (OI) et (OJ),
où O est le coin du billard, et J’ le point d’intersection des droites (OJ)
et (AI).
Les droites (AA0 ) et (JJ 0 ) sont parallèles, les angles alternes-internes
0 AI et IJ
0 J sont donc égaux.
[
[
A
0 A sont égaux. Ainsi, les angles
[0 et IA
[
Par symétrie, les angles IAA
0 I et J
0 JI sont égaux à JJ
0 I.
[
[
[
alternes-internes AA
0 JE (E est le milieu de [BB 0 ]) sont égaux
[0 et B
\
Enfin, Les angles IJJ
0 JE et EJB
\
[ sont égaux car
car opposés par le sommet, et les angles B
symétriques.
0 J et BJE
[
[ sont égaux,
Il en résulte que les angles correspondants AJ
les droites (AI) et (BJ) sont donc parallèles.
Notons à présent K le milieu de [OM ], et montrons que les points
O, K et M sont alignés.
ABJI est un trapèze, les droites (KM ) et (IA) sont donc parallèles.
Dans le triangle rectangle OIJ, K est le milieu de l’hypoténuse, Le
[ =
triangle OKI est donc isocèle de sommet principal K. Or, KOI
0
0
[ = DIA,
[ où D est le milieu de [AA ]. Il en résulte que les angles
DIA
16
[ et KOI
[ sont égaux, les droites (OK) et (IA) sont
correspondants AID
donc parallèles.
Par suite, (OK) et (KM ) sont parallèles, car toutes deux parallèles
à (AI), il s’en suit que les points O, K et M sont alignés. La direction
(OM ) est donc celle cherchée.
17
4. Boules et billes
4.1. La fin du modèle ponctuel. Nous avons remarqué, avec le point
bande avant, que nous avions tendance à laissé de côté les cas extrêmes,
et nous en avons (volontairement) laissé un de côté : celui des trajectoires rasantes 12.
Le point semble à priori facile au vu de nos connaissances, mais il
est impossible si on applique la méthode donnée précédemment et ce à
cause de l’épaisseur des billes.
Dans ce cas, le point visé et l’endroit où la bille touche la bande
sont totalement différents et invalident la modélisation ponctuelle que
nous avions fait pour ce problème (Fiche 7 en annexe). Ce qui était
négligeable pour les incidences fortes, ne l’est plus pour les incidences
faibles.
Avant de résoudre notre problème, observons le billard de plus près.
On y verra près des bandes (à 31 mm exactement, c’est à dire la moitié
du diamètre d’une bille), une ligne d’usure. Les centres des billes ne
peuvent pas s’aventurer au delà de cette ligne et ils ne pourront donc
jamais atteindre le point visé. Ainsi, pour réaliser le point bande avant
en incidence rasante, il faut prendre le symétrique des billes par rapport
à la ligne d’usure.
12Cette
bande.
situation est suggérée dans la fiche 5, même si on peut choisir l’autre
18
Le modèle ponctuel à vécu, vive le modèle ponctuel ! Les billes ne sont
pas de vulgaires points, mais bel et bien des boules dont le diamètre
ne peut être négligé plus longtemps. Et même si cela complique le jeu,
en nous forçant, par exemple, à prendre nos symétriques par rapport à
cette satanée ligne d’usure alors que c’était si simple par rapport à la
bande 13, ça le pimente et le rend plus passionnant.
4.2. Des billes choquées. Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés
à la trajectoire de la bille uniquement lorsqu’elle rencontrait une bande,
nous allons maintenant voir ce qui se passe lors du contact entre deux
billes et nous allons commencer par le choc « en plein ».
Comme son nom l’indique le choc « en plein » consiste à frapper la
bille en visant son centre (Fiche 8 en annexe).
Lors de ce coup, les billes A (la bille jouée) et B (la bille choquée)
ne sortent pas de la droite définie par leur centre. La bille B se déplace
selon la trajectoire définie par le joueur, ce qui peut changer ce sont les
mouvements de la bille A selon les façons dont on la joue.
Jusqu’à présent nous avions frappé la bille de façon à ce qu’elle se
déplace naturellement (légèrement au dessus du centre). Dans ce cas
et dans les cas ou on frappe la bille sur sa partie haute, les deux billes
iront dans le même sens après le choc, c’est à dire que la bille A suivra
la bille B, sans pour autant se dévier de la droite.
13bien
que ce soit mathématiquement identique, prendre le symétrique par rapport à la ligne d’usure plutôt que par rapport à la bande, est quelque peu perturbant
dans la pratique
19
Si on frappe la bille A « plein centre », celle-ci se déplacera en état
de glissement 14 (sans rouler) et donnera la totalité de son énergie à la
bille B. Au moment du choc, la bille A stoppera donc net alors que
la bille B suivra la trajectoire avec la vitesse de la bille A au moment
du choc. C’est ce qu’on appelle dans le monde de la pétanque, « un
carreau 15 ».
Enfin, si on frappe la bille A dans sa partie basse, celle-ci aura un
mouvement de rotation inverse par rapport au mouvement naturel, et
reviendra donc en arrière après le choc. C’est l’effet « rétro ».
14À
cause des frottements, l’état de glissement ne peut être obtenu que sur des
distances courtes.
15Il est possible qu’à la lecture de ces lignes, nos amis pastagophiles se mettent
à créer des activités mathématiques et pétanque. Nous, les bièrologues, sommes
obligés de travailler dans des lieux abrités à cause des conditions climatiques de
notre plat pays.
20
Après ces observations, on peut proposer le jeu de la fiche 9 pour
s’entraı̂ner à la visée « en plein ».
La deuxième visée particulière à laquelle nous allons nous intéresser
est en quelque sorte l’inverse de la visée « en plein », et s’appelle la visée
« finesse ». Elle consiste à viser la bille B tout en voulant la rater, le
but étant que les billes A et B soient de part et d’autre de direction au
point de contact. Ainsi, La bille B ne bouge pas et la bille A poursuit
son chemin sans être déviée.
Rater une bille est très facile, mais la jouer « finesse » est très difficile
car dans la pratique, on a toujours tendance à la frapper plus que
nécessaire (la peur de rater sans doute).
L’intérêt dans la visée « en finesse » réside dans la configuration géométrique de la situation et de l’exercice qui en découle, c’est à dire
trouver la trajectoire de la bille jouée puis dessiner les billes au moment du contact (Fiche 10 en annexe).
Nous proposons deux solutions pour cette construction : on remarque,
pour la première, que les billes A et B sont symétriques par rapport au
milieu de celles-ci, soit I ce milieu.
La direction cherchée est tangente aux deux billes, et pour des raisons
de symétries, cette tangente passe par I. Il reste donc à construire le
cercle de diamètre [AI], il recoupe le cercle définissant la bille A en
deux points M et N. (M I) et (N I) sont les deux directions possibles
pour une visée « finesse ».
La droite (M I) coupe la bille B en C (le point de contact), le centre
de la bille A au moment du contact est défini par la droite (BC) et la
parallèle à la droite (M I) passant par A.
21
Pour la seconde solution, on trace le cercle de centre A de rayon
double de celui d’une bille. Puis on trace les tangentes à ce cercle passant par A, ce sont les deux directions possibles. Tracer la bille au
moment du choc est ensuite enfantin.
Bien sûr, il est possible de frapper les billes dans n’importe qu’elle
position comprise entre la visée « en plein » et la visée « finesse ». Les
billes sont alors déviées de la trajectoire initiale, nous allons étudier
comment, en commençant par la trajectoire de la bille B.
4.3. Où va la bille choquée ? Une des difficultés de cette activité
vient de l’observation même des résultats sur le billard, les billes étant
toujours en mouvement. Aussi, pour contourner cette obstacle, on commence par placer une deuxième bille (la rouge sur l’illustration cidessous) à côté de la bille B. C’est cette bille qu’on frappera.
22
La bille rouge symbolise la bille A au moment du contact, l’avantage
est qu’on peut la frapper n’importe où, la trajectoire de la bille B n’en
sera pas modifiée, tout se passant comme si on avait frappé directement
la bille B selon la trajectoire « en plein » sur la rouge. On demande
aux élèves de dessiner ces trajectoires dans plusieurs situations (Fiche
11 en annexe) puis d’émettre des conjectures. Cette activité est une
nouvelle occasion pour construire des cercles tangents.
Le résultat attendu arrive assez facilement : La bille B suit la trajectoire déterminé par les centres des billes A et B au moment du choc.
La fiche 12 permet de façon ludique de vérifier si cette règle est assimilée.
La trajectoire de la bille blanche est plus difficile à prévoir et dépend,
on l’a vu avec la visée « en plein », de la façon dont elle est frappée.
23
Il existe cependant une visée particulière que les joueurs affectionnent,
c’est la visée « demi-bille ».
4.4. La visée demi-bille. Comme son nom l’indique, la visée « demibille » consiste suivre la direction tangente à la bille que l’on souhaite
atteindre. Ainsi, si on regarde le déplacement en étant situé sur la droite
de visée, notre bille cachera exactement la moitié de la deuxième :
Nous distinguerons trois cas, en fonction de la façon on frappe la
bille jouée. Le travail commun à ces trois cas est de construire la trajectoire de visée, puis de dessiner la bille jouée au moment du choc et
enfin les billes dans une position après le choc (fiches 13,14 et 15 en
annexe). Bien sûr une partie de ce travail a déjà été vu dans la partie
précédente : la bille B suit la trajectoire des centres au moment du
contact, c’est l’occasion de vérifier que cette trajectoire ne dépend pas
de l’effet mis sur la bille A. Il reste à déterminer la trajectoire de la bille.
Si la bille A est en état de glissement, les lois de conservation d’énergie
assure que la bille A suit une trajectoire perpendiculaire à la droite des
centres au moment du choc.
24
Dans ce cas, il est facile de trouver l’angle de déviation de la bille A
par rapport à la trajectoire initiale : le triangle CBT est rectangle en
T, et le côté [BT ] est égale au double de l’hypoténuse [CT ]. Par suite,
[ est égal à 1 , et donc BCT
[ = 30˚.
le sinus de l’angle BCT
2
Nous en déduisons que la déviation de la bille A par rapport à la
trajectoire initiale est de 60˚.
Si la bille A est en état de roulement,les lois de la physique nous
donne également sa réaction au moment du choc 16. La bille commence
par suivre une trajectoire parabolique avant, du fait des frottements,
de retrouver une trajectoire rectiligne. La déviation est alors d’environ
45˚ (un peu moins).
Enfin, si on joue un effet rétro sur la bille A, elle commence par
également suivre une trajectoire parabolique avant de retrouver la trajectoire rectiligne. Dans ce cas, la déviation est d’environ 90˚17.
16Nous
vous invitons à vous référer au livre de G.Coriolis, Théorie mathématique
des effets du jeu de billard, Carilian-Goeury, 1835 pour plus detail sur ces lois qui
relèvent de la mécanique des corps. Vous pouvez également consulter le livre Billard,
théorie des jeux de Régis Petit qui se veut une simplification du précédent.
17Le logiciel de simulation (BillInter170101) utilisé a tendance à exagérer la
trajectoire en effet rétro. Dans la pratique, cet effet ne peut être obtenu que sur de
petites distances, et lors de ce coup, il faut frapper la bille suffisamment fort
25
Pour ces deux dernières expériences, on se contente d’observations
et peut être de constructions. C’est sans doute une des premières fois
que les élèves de collège seront confrontés à une parabole et bien qu’habitués à des spectacles beaucoup impressionnants, leur étonnement sera
perceptible.
26
5. Le Billard, une terre de découverte
Nous espérons avoir démontré, au fil de ces lignes, que le billard est
un formidable terrain pour faire de la géométrie. Un terrain riche en
découverte, pour les notion qu’on y aborde et pour l’apprentissage du
raisonnement, mais un terrain sans concession, où l’expérience invalide
impitoyablement les propositions fausses et même un terrain sournois,
car parfois l’expérience invalide également des théories exactes, forçant
ainsi à une vigilance de tous les instants sur les domaines de validité
de ces théories et sur leurs conditions initiales.
Nous sommes loin d’avoir épuisés les possibilités du billard, et il reste
une multitude de pistes à explorer. Le travail sur les paraboles peut certainement s’aborder de façon plus poussée au lycée, et quand on voit
les trajectoires que sortent les joueurs de billard artistique, on se dit
que tout reste à faire.
Finalement mathématiques et billard sont intimement liés, à tel point
qu’on ne sait plus qui est au service de l’autre : le billard pour la
géométrie ou la géométrie pour le billard ? car force est de constater que
le billard est un lieu où les intérêts des joueurs et des mathématiciens
convergent.
Fiche 1 :
Les rectangles ci-dessous représentent-ils des billards ?
27
28
Fiche 2 :
Voici des billards avec une bille et des quilles. Positionner les objets
sur le billard à leur place exacte. Viser une des quilles et dessiner la
trajectoire obtenue sur le dessin avec le plus de précision possible.
29
Fiche 3 :
Sur le billard, placer la bille près d’une bande, placer une quille qui
sera le point visé. Représenter la situation sur le dessin.
Sur le dessin, prévoir la trajectoire ; contrôler en jouant.
30
Fiche 4 :
On a dessiné des trajectoires de billes (suivre les flèches). Sont-elles
correctes ? Expliquer.
31
Fiche 5 :
Pour chacune des situations proposées, trouver le point qu’il faut
viser sur la bande pour faire la point.
32
Fiche 6 :
Exercice 1 : Où doit-on viser pour faire le point en touchant deux
bandes avant ?
Exercice 2 : La bille est en A, elle arrive en B après avoir touché
les bandes en I et J.
(1) Démontrer que les droites (AI) et (BJ) sont parallèles.
(2) M et K sont les milieux respectifs des segments [AB] et [IJ].
(a) Démontrer que les droites (M K) et (AI) sont parallèles.
(b) Démontrer que les droites (OK) et (AI) sont parallèles.
(c) En déduire que les points O, K et M sont alignés.
33
Fiche 7
Pour chacune des situations ci-dessous, représenter la bille 18 au moment où elle touche la bande et dans une position après le rebond.
18La
dimension des billes a été volontairement exagérée pour cet exercice.
34
Fiche 8
Exercice 1 : La bille A rencontre la bille B « en plein ». Observer et
dessiner les billes au moment du contact, puis les directions des deux
billes après le choc.
Roulement naturel :
Glissement :
Rétro :
35
Fiche 9
Placez la bille blanche près de la bande à l’endroit de votre choix.
La bille jaune doit abattre la quille. Expliquer ce qu’il faut faire pour
y arriver à coup (presque) sûr.
36
Fiche 10
La bille A rencontre « en finesse » la bille B. Trouver la trajectoire
de la bille, puis la dessiner au moment du contact.
37
Fiche 11
Exercice 1 : La bille A touche la bille rouge, collée à la jaune. Où
va la jaune ?
Exercice 2 :
(1) Placer une troisième bille contre la bille jaune. Compléter le
dessin en expliquant la construction.
(2) Dessiner la trajectoire de la bille jaune après le choc. Comment
peut-on prévoir le résultat. Expliquer.
38
Fiche 12
La bille blanche choque la bille jaune.
Si la bille jaune passe entre les deux quilles bleues : 1 point.
Si La bille jaune abat la quille rouge : 5 points.
39
Fiche 13
On a visé la bille jaune « demi-bille », la bille blanche est en état de
glissement.
(1) Construire la trajectoire puis dessiner la bille blanche au moment du choc.
(2) La bille blanche suit une direction perpendiculaire à la droite
des centres, dessiner une position de chaque bille après le choc.
(3) Démontrer que l’angle déviation de la bille blanche est de 60˚.
40
Fiche 14
On a visé la bille jaune « demi-bille », la bille blanche est en état de
roulement.
(2) Dessiner la trajectoire de la bille blanche après le choc.
(3) dessiner une position de chaque bille après le choc.
41
Fiche 15
On a visé la bille jaune « demi-bille », la bille blanche a été frappée
« rétro ».
(2) Dessiner la trajectoire de la bille blanche après le choc.
(3) dessiner une position de chaque bille après le choc.
42
Références
1. Euclide, Les Éléments. Traduction et commentaires de Bernard Vitrac, édition
PUF,1990
2. G.Coriolis, Théorie mathématique des effets du jeu de billard, Carilian-Goeury,
1835
3. R.Petit, Billard, théorie des jeux, Chiron, 2004
4. M.Massé, Cahier péagogique d’accueil et d’initiation à l’usage des animateurs
de clubs, FFB, 1996

Mathématiques et billard

Transcription

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