Gestion des files d`attente (II) Fichier

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GOL502 – Industries de services
Gestion des files d’attente (II)
MAJ 2016
Version 2015
Gestion des files d’attente
Objectifs pédagogiques

À la fin de cette séance de cours, tu devras être capable:
•
De reconnaître les situations où le traitement par priorité
est nécessaire;
•
D’évaluer la performance d’un modèle: Serveurs multiples,
par priorité et temps de service exponentiel;
•
D’apprécier comment l’analyse par files d’attente sont utiles
dans différents secteurs de l’industrie.
2
Introduction


Les files d’attente sont inévitables dans les industries de
services
•
Les clients arrivant à comptoir de service;
•
Les appels entrant à un centre d’appels;
•
Les déclarations d’impôt arrivant à un centre de traitement.
Elles sont le résultat d’un déséquilibre entre la capacité de
l’offre et la demande
•

Ce déséquilibre peut être généré artificiellement ou
naturellement.
L’objectif, dans la majorité des situations, n’est pas
d’éliminer les files d’attente mais bien les gérer.
3
Caractéristiques des files d’attente
1.
2.
3.
4.
Population (clients)
Serveurs (ressources qui fournissent le service)
Processus des arrivées et du service
Ordre de traitement
4
J. A. Fitzsimmons, 2007, Service Management: Operations, Strategy, Information Technology. 6th edition, McGraw-Hill
Section
Évaluation de la performance
5

Modèles d’évaluation (population infinie)
•
Serveur unique, FCFS, temps de service exponentiel
o
•
Serveur unique, FCFS, temps de service constant
o
•
Modélise les cas où le serveur effectue des opérations
prédéterminées (lavage automatisé, contrôle d’accès, etc.) .
Serveurs multiples, FCFS, temps de service exponentiel
o
•
Modélise la plupart des services à guichet unique.
Banques, guichets billetteries, etc.
Serveurs multiples, par priorité, temps de service
exponentiel
o
Salle d’urgence, exécution des tâches dans un ordinateur, etc.
6

Serveurs multiple, par priorité, temps de service
exponentiel
•
Discipline de la file d’attente (ordre de traitement) est
réalisée par des règles de priorité
o
Des clients sont classés par catégories;
o
Dans chaque catégorie l’ordre est FCFS;
o
Lorsque les clients d’une catégorie ont tous été servis, on
passe à la catégorie suivante;
o
Si un client de la catégorie supérieure se présente:
On présentera
uniquement ce
cas qui est plus
simple

(Sans préséance): le client de la catégorie supérieure sera servi
après la fin du client actuel;

(Avec préséance): le client de la catégorie supérieure sera servi
immédiatement.
7

Discipline de la file d’attente par priorité (1 à n)
•
L’ordre de traitement
o
D’abord catégorie 1, traiter client a et ensuite client b.
Catégorie 2, traiter client c puis client e puis client g. Catégorie
3, traiter client d et ensuite client f.
o
Client e (catégorie 2) est en traitement, un nouveau client de la
catégorie 1 se présente:

(Sans préséance): Traiter le nouveau client après client e;

(Avec préséance): Traiter le nouveau client immédiatement.
8
Serveurs multiples, priorité sans préséance, temps de
service exponentiel

•
Nombre moyen de clients de la catégorie c qui attendent
𝑛𝑐 = 𝜇𝑐 × 𝑡𝑐
•
Temps moyen d’attente des clients de la catégorie c dans la
file
1 − 𝜌 𝑛𝑎
𝑡𝑐 =
𝜇𝑘
𝜇𝑘
𝑐
𝜇 𝑇 1 − 𝑐−1
𝑘=1 𝑠𝜆 1 − 𝑘=1 𝑠𝜆
Taux d’utilisation du système μ
𝑇
ρ=
𝑠λ
Temps moyen des clients de la catégorie c passés dans le
1
système
𝑡𝑠𝑐 = 𝑡𝑐 +
λ
−1
•
μ𝑇 =
𝑠−1
𝑃0 =
𝑛=0
T est le nombre de catégories
dans la priorité;
s est le nombre de serveurs.
𝑇
•
μ𝑘
𝑘=1
μ𝑇 λ
𝑛!
𝑛
μ𝑇 λ
+
𝑠!
𝑠
1
1−ρ
𝑛𝑎 =
μ𝑇 λ
μ𝑇 𝑠
λ
𝑠 − 1 ! (𝑠λ − μ 𝑇 )2
𝑃0
9
Caractéristiques des files d’attente

Avertissement
 est le taux moyen des arrivées
 est le taux moyen de service
 et  ne représentent pas les mêmes quantités dans la
plupart des références en gestion des opérations. Soyez
attentifs!
10

Serveurs multiples, priorité, temps de service exponentiel
•
•
Les attractions de WDW Resort reçoivent trois catégories
de clients
1.
Les personnes handicapées;
2.
Les détenteurs de FastPass+ / Priority Seating;
3.
Les clients réguliers.
La priorité est accordée selon cet ordre.
11

Le nouveau restaurant « Be our Guest » dans le
Fantasyland de WDW Resort
•
Essentiellement un « Burger joint » de moyenne gamme
dans une ambiance pseudo-médiévale (la belle et la bête):
12

Les données de ce restaurant sont (*)
•
Nombre de serveurs: s = 14
•
Achalandage au dîner
o
Personnes handicapées
Catégorie 1: En moyenne 8 clients à l’heure (1 = 8);
Priority Seating
o
Réguliers
o
•
Temps de service (chaque comptoir)
o
En moyenne 29 clients à l’heure par serveur ( = 29).
13
(*) Données fictives.

service exponentiel
3
1 μ𝑇 =
𝑘=1
13
3 𝑃0 =
𝑛=0
4
•
𝑡𝑐 =
μ𝑘 = 8 + 60 + 310 = 378
378 29
𝑛!
𝑛
378 29
+
14!
14
2
μ𝑇
378
ρ=
=
= 0.9310
𝑠λ 14 × 29
−1
1
1 − 0.9310
= 1.06 × 10−6
14
378 × 29 378
29
𝑛𝑎 =
𝑃 = 9.7574
13 ! (14 × 29 − 378)2 0
Temps moyen d’attente des clients de la catégorie c
1 − 𝜌 𝑛𝑎
𝜇𝑇 1 −
𝑐−1 𝜇𝑘
𝑘=1 𝑠𝜆
1−
𝜇𝑘
𝑐
𝑘=1 𝑠𝜆
=
1 − 0.9310 9.7574
378 1 −
𝑐−1 𝜇𝑘
𝑘=1 14×29
1−
𝜇𝑘
𝑐
𝑘=1 14×29
𝑡1 = 0.1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠, 𝑡2 = 0.13 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠, 𝑡3 = 1.86 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠
14

Les clients de la
catégorie « régulier »
sont plus nombreux à
attendre mais ils
n’attendent pas
longtemps.
service exponentiel
•
Nombre moyen de clients de la catégorie c qui attendent
𝑛𝑐 = 𝜇𝑐 × 𝑡𝑐 , 𝑛1 = 𝜇1 × 𝑡1 = 0.01, 𝑛2 = 𝜇2 × 𝑡2 = 0.13, 𝑛3 = 𝜇3 × 𝑡3 = 9.61.
•
•
μ𝑇
378
ρ
=
=
= 0.9310
Taux d’utilisation des serveurs
𝑠λ 14 × 29
Temps moyen des clients de la catégorie c passés dans le
système
1
1
Ça « roule » pas
𝑡𝑠𝑐 = 𝑡𝑐 + , 𝑡𝑠1 = 𝑡1 +
= 2.17 minutes,
mal!
λ
29
1
𝑡𝑠2 = 𝑡2 +
= 2.19 minutes,
29
1
𝑡𝑠3 = 𝑡3 +
= 3,92 minutes.
29
15

Les « Central Shops » de WDW sont des ateliers servant,
entre autres, à la réparation des équipements utilisés dans
les parcs thématiques
•
Ces ateliers sont identiques et possèdent chacun les
mêmes expertises (*)
16

Dans la pratique courante, les « Central Shops » de WDW
accorde une priorité aux réparations majeures (*)
•
Équipements en provenance des attractions classées « top
10 » et qui sont essentiels au bon fonctionnement des
attractions
•
Big Thunder Moutain, Splash Mountain, Tower of Terror, space
Mountain, Rock ’n’ Roller Coaster, Under the Sea, Mad Tea
Party, Peter Pan’s Flight, Maelstrom, Soarin’, Buzz Ligheyear’s
Space Ranger Spin;
•
Équipements qui sont essentiels au bon fonctionnement
des autres attractions;
•
Équipements qui ont un grand impact visuel;
•
Autres équipements.
17

Les données de ce service sont (*)
•
Nombre de serveurs: s = 10 (ateliers)
•
Travaux durant 1 mois pendant la saison dite « value »
o
o
•
Attractions « Top 10 »
Catégorie 1: En moyenne 38 réparations par mois (1 = 38);
Autres attractions
Impact visuel majeur
o
o
Autres
Temps de service (chaque atelier)
o
En moyenne 50 réparations par mois par atelier ( = 50).
18
service exponentiel

4
1 μ𝑇 =
3 𝑃0 =
𝑛=0
4
•
𝑡𝑐 =
μ𝑘 = 374
𝑘=1
9
Bravo!
presque pas
temps
d’attente.
2
μ𝑇
ρ=
= 0.908 (91%)
𝑠λ
μ𝑇 λ
𝑛!
𝑛𝑎 =
𝑛
μ𝑇 λ
+
𝑠!
μ𝑇 λ
𝑠
−1
1
1−ρ
μ𝑇 𝑠
λ
𝑠 − 1 ! (𝑠λ − μ 𝑇 )2
= 3.31 × 10−4
𝑃0 = 0.58885
Temps moyen d’attente des réparations de la catégorie c
1 − 𝜌 𝑛𝑎
𝜇𝑇 1 −
𝑐−1 𝜇𝑘
𝑘=1 𝑠𝜆
1−
𝜇𝑘
𝑐
𝑘=1 𝑠𝜆
=
1 − 0.908 0.58885
374 1 −
𝑐−1 𝜇𝑘
𝑘=1 10×50
1−
𝜇𝑘
𝑐
𝑘=1 10×50
𝑡1 = 0.11 ℎ𝑟𝑒𝑠, 𝑡2 = 0.19 ℎ𝑟𝑒𝑠, 𝑡3 = 0.68 ℎ𝑟𝑒𝑠, 𝑡4 = 4,5 ℎ𝑟𝑒𝑠
19

service exponentiel
•
•
Bravo! Il n’y a
pas de
réparation en
attente.
•
Nombre moyen des réparations de la catégorie c qui
attendent
𝑛𝑐 = 𝜇𝑐 × 𝑡𝑐 , 𝑛1 ≈ 0, 𝑛2 ≈ 0, 𝑛3 ≈ 1, 𝑛4 = 1.
μ𝑇
Taux d’utilisation des ateliers
ρ=
= 0.908
𝑠λ
Temps moyen des réparations de la catégorie c passées
dans le système
1
𝑡𝑠𝑐 = 𝑡𝑐 + , 𝑡𝑠1 = 14.5 heures,
λ
𝑡𝑠2 = 14.6 heures, 𝑡𝑠3 = 15 heures,
𝑡𝑠4 = 18.9 heures.
Ouf! c’est
relativement long.
L’attraction est
arrêtée durant tout
ce temps!
20

Le temps des réparations passées dans les ateliers est trop
long (en moyenne ~ 15h à 19h) – il faut réduire ce temps
•
Scénario A: Augmenter le nombre d’ateliers dans « Central
Shops ».
•
L’augmentation du nombre d’ateliers a
réduit le temps moyen d’attente mais pas
le temps moyen passé dans le système.
21

•
Il n’y a pratiquement pas d’attente dans la file d’attente
(voir tc et nc). Par contre, le taux d’utilisation des ateliers est
déjà ~ 91%.
•
Scénario B: demander aux artisans d’accélérer la cadence
de travail en augmentant  (taux moyen de service)
•
•
On peut réduire le temps moyen passé
dans les ateliers de 15h à 7h mais cela exige
une d’augmentation de 100% dans le taux
de service;
Même si les artisans sont capables
d’augmenter la cadence des réparations, le
taux d’utilisation des ateliers pourra
tomber en dessous de 50%.
22

•
Une solution possible: embaucher plus d’artisans et ainsi réduire le temps moyen des
réparations passées dans l’atelier. Puisque le taux d’utilisation du système est diminué, on
peut réassigner une partie des artisans à d’autres types de tâche.
23
GOL500 Industries de services
Fin de la présentation des
files d’attente par priorité
24
GOL500 Industries de services
Section
Applications non traditionnelles
des files d’attente
25
Applications

Modéliser les boutons / commandes « undo » d’une
application logicielle
•
Population
o
•
Serveur
o
•
Infinie: bien que les commandes sont généralement limitées.
Le nombre de commandes arrivant dans la file d’attente est
considéré comme infini.
Unique: l’application logicielle.
Processus des arrivées et du serveur
o
Stochastique (non déterministe): les commandes ne sont pas
enclenchées périodiquement par l’utilisateur. Le temps
nécessaire pour « défaire » une commande varie selon sa
complexité.
26
Applications

Modéliser les boutons / commandes « undo » d’une
application logicielle
•
Discipline de la file
o
•
LCFS (dernier arrivé, premier servi) car un veut « défaire » la
dernière commande exécutée par l’application logicielle.
On analyse quoi?
o
Déterminer la longueur de la file d’attente. L’implantation de
« undo » implique la mémorisation du contexte précédent
l’exécution d’une commande. Plus la file est longue, plus elle
exige de la mémoire de stockage.
27
Applications

Déterminer l’attente pour toilettes temporaires d’un
événement extérieur. Selon l’agence américaine FEMA
(Federal Emergency Management Agency)
•
Le nombre de toilettes temporaires extérieurs est une
fonction des facteurs suivants
o
Durée de l’événement;
o
Type de participants;
o
Conditions météorologiques;
o
Consommation de boissons alcoolisées ou non;
o
Règlements de la localité;
o
Etc.
28
Outdoor toilet facilities availability guide. 2015. In Le site americanrestroom.org. En ligne.
Applications

FEMA recommande (50-50, femme/homme)
Sans alcool
Avec alcool
29
Outdoor toilet facilities availability guide. 2015. In Le site americanrestroom.org. En ligne.
Applications

Dans ce contexte, le temps d’attente a un impact sur la
salubrité des lieux et la santé publique en général.
•
•
Population
o
finie: Si l’événement reçoit un nombre limité de participants;
o
Infinie: Si l’événement est ouvert au public.
Serveur
o
Unique: Si la file d’attente est associée à une seule toilette
temporaire;
o
Multiple: Si plus d’une toilette est associée à une file d’attente.
30
Applications

•
Processus des arrivées et de service
o
Selon une estimation (*), en moyenne on visite la toilette à
chaque 3 à 4 heures. La fréquence des visites augmente s’il y a
consommation de boissons alcoolisées.
o
Selon le résultat d’un sondage (**)., les hommes passent en
moyenne 15 minutes par jour au toilette. Les femmes 12
minutes par jour. Ainsi, en supposant une visite à chaque 4
heures (6 visites par jour), nous aurons en moyenne 2.5
minutes par visite pour les hommes et 2 minutes par visite
pour les femmes. Augmenter la fréquence des visites s’il y a
consommation de boissons alcoolisées.
(*) How to calculate the number of toilets needed for an event. 2014. En ligne.
<http://www.dinkumdunnies.com.au/news/calculate-number-toilets-needed-event>. Consulté le 20 juin 2015.
(**) How long do we spend in bathroom, 2008. En ligne. <http://www.scotsman.com/news/how-long-do-we-spend-inbathroom-1-189-years-1-1072528>. Consulté le 20 juin 2015.
31
Applications

•
Discipline de la file d’attente
o
•
FCFS.
On analyse quoi?
o
Le nombre moyen de participants dans la file d’attente: La
situation où il y a beaucoup de personnes qui attentent
encourage les gens à faire leurs besoins ailleurs que dans les
toilettes.
o
Le temps moyen d’attente: La situation où le temps d’attente
est long encourage les gens à quitter la file d’attente et faire
leurs besoins ailleurs que dans les toilettes.
32
Applications

Modéliser le flux d’automobiles d’une intersection de rues
et déterminer le nombre de voies pour ces rues
•
Les auteurs de ce projet de recherche ont utilisé la
configuration serveurs multiples et FCFS pour modéliser le
flux d’automobiles;
•
Ils ont analysé le temps d’arrivée des automobiles à l’aide
du test 2:
o
•
Résultat conforme à la distribution de Poisson.
Pour le taux moyen de service, les auteurs ont compté le
nombre de véhicules traversant l’intersection à différentes
heures et à différents jour.
o
Ce taux moyen de service est donc empirique et le temps de
service est supposé conforme à la distribution exponentielle.
33
S. Yang, X. Yang, 2014. The application of queuing theory in the traffic flow of intersection, International Journal of
Applications

•
Population
o
•
Serveur
o
•
Multiple: Chaque voie de la rue est un serveur.
Processus des arrivées et de service
o
•
Infinie: Tous les véhicules peuvent circuler sur ces rues.
Stochastique: voir page précédente.
Discipline de la file d’attente
o
FCFS.
34
Applications

•
μ
Par la théorie des files d’attente, on sait que ρ =
<1
𝑠λ
signifie un système en régime permanent;
•
Si   1, le système devient instable avec une file d’attente
de plus en plus longue et éventuellement atteindre une
longueur infinie.
•
Donc,
o
Le nombre de voies s est la valeur à la quelle  < 1;
o
Il peut y avoir plus d’une valeur de s satisfaisant  < 1.
35
Applications

•
Selon les auteurs, la détermination du nombre de voies par
rue passent par  et Pn (probabilité qu’il y ait n véhicule dans
le système).
μ
o
Choisir s de sorte que  < 1; ρ = 𝑠λ < 1
Choisir s de sorte que Ps soit le plus petit que possible.
o
𝑠−1
𝑃0 =
𝑛=0
μ λ
𝑛!
𝑛
+
μ λ
𝑠!
𝑠
−1
1
1−ρ
μ 𝑛
λ 𝑃
0
𝑛!
𝑃𝑛 =
μ 𝑛
λ
𝑃
𝑠! 𝑠 𝑛−𝑠 0
𝑛 ≤𝑠
𝑛>𝑠
36
Fin de la séance #6

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