arithmetical error-terms - ETH E

DISSERTATION NO. 4217
THE CHANGES OF SIGN OF CERTAIN
ARITHMETICAL ERROR-TERMS
A Dissertation submitted
TO THE
SWISS FEDERAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY
FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF MATHEMATICS.
PRESENTED BY
John
Steinig
DIPL MATH ETH.
BORN AUGUST
21, 1940,
CITIZEN OF THE UNITED STATES OF AMERICA
ACCEPTED ON THE RECOMMENDATION OF
PROF. DR. K. CHANDRASEKHARAN
PROF. DR. A. PFLUGER
Birkhâuser
Verlag, Basel,
1968
ZURICH
The Changes of Sign of Certain Arithmetical Error-Terms
401
Résumé
Soit ô
un
nombre réel,
s une
variable complexe,
(1„) une
suite strictement croissante
N
de nombres
positifs,
A(s)= Y[ r(ccvs+Pv),
et
avec
<xv>0
/?v complexe.
et
Nous
v=l
disons que
l'équation
fonctionnelle
A
(s)
q>
(s)
=
(ô
A
—
s)
(p
(ô
—
s)
00
est
satisfaite, s'il existe
fonction
une
arithmétique
série étant absolument convergente dans
Etant donné g ^
l'intégrale
c'est
des
0,
nous
<p(s)= £ a„X~s,
la
"=1
demi-plan.
définissons
fractionnaire d'ordre g de la fonction-somme
coefficients de la série de
[3]
Raghavan Narasimhan
Sa{x)
certain
un
a„ telle que
Dirichlet
<p(s).
pour
K.
ont démontré l'existence
A°x{x)=A(x)
=
Y!
Chandrasekharan
an
et
d'une «fonction résiduelle»
telle que
Re{Ai(x)-Se(x)}
=
Q±(xe),
N
où &
=
{Aô + (2A
—
l)g
—
%}/2A
et A=
£
a„. Ce résultat
implique évidemment
que
v=l
la fonction
Re{Aax(x)-Se(x)}
a une
infinité de
changements
de
signe
dans l'intervalle
0<x<oo.
Le
problème
que
nous
changements de signe de
est le théorème
de
traitons dans cette thèse est celui d'estimer le nombre de
cette fonction dans
4.1, qui donne
une
un
intervalle donné. Le résultat principal
borne inférieure pour
ce
nombre de
changements
signe.
Curriculum vitae
The author
schools
in
was
born in Boston,
New York
(Switzerland),
U.S.A., on August 21, 1940. After attending
State, New Delhi and Naini Tal (India), and Geneva
he entered the Swiss Federal Institute
October 1960. He obtained there
June 1965 and October of the
a
same
Diploma
year he
of
Technology (E.T.H.) in
in Mathematics in
was an
April 1965.
Between
assistant in the "Mathematisches
Seminar" of the E.T.H. From October 1965 to this
date, he has been the assistant
of Professor K. Chandrasekharan, under whose direction he
completed
this thesis.
Zurich, June 21, 1968
John Steinig