michael r. herman - Publications de la SMF

Transcription

MICHAEL R. HERMAN
Michael Herman
John N. Mather
Over the past thirty years, the work of Michael Herman and his students has
had a profound impact on the development of dynamical systems, particularly
that part related to stability and randomness of motion in Hamiltonian systems.
Poincaré discovered the existence of randomness (or chaos, as it is usually
called nowadays) in the Newtonian three body problem. Conversely, KAM
theory proves the existence of a set of stable motions in Hamiltonian systems
such as the three body problem that are small perturbations of integrable systems. The stable motions fill out a set which is « large » in the sense of measure,
whereas it seems likely that the chaotic motions fill out a set which is « large »
in the sense of topology. Thus, one has stable and chaotic motions side-by-side.
This complicated situation gives rise to many interesting problems, both numerical and theoretical. In recent decades, there has been a great deal of activity
in this area.
Herman has been a leader of these developments on the theoretical side. At
the Berlin International Congress of Mathematicians in 1998, he gave a talk,
« Some Open Problems in Dynamical Systems », which gave an overview of
his interests : Siegel singular disks, invariant tori, measure preserving diffeomorphisms of 2-manifolds, entropy and exponents, existence of periodic orbits,
and instabilities of Hamiltonian flows and the problem of topological stability.
These are subjects to which he or his students have made major contributions.
The common theme of these subjects is stability or randomness of motions.
In his thesis, Herman solved a problem suggested by KAM theory. This problem had been posed by V.I. Arnold more than a decade earlier. It concerned
an orientation preserving diffeomorphism f of the circle R/Z. Such a diffeomorphism may be lifted to a diffeomorphism f˜ of R such that f˜(x + 1) = f˜(x) + 1.
The Poincaré rotation number ρ(f˜) is defined to be limn→±∞ fñ (x)/n. It is
easy to see that this limit exists and is independent of x. In addition, ρ(f ) is
defined to be ρ(f˜) (mod.1). This is an invariant of topological conjugacy : if
h is an orientation preserving homeomorphism of R/Z, then ρ(hf h−1 ) = ρ(f ).
Poincaré showed that f has periodic points if and only if ρ(f ) is rational. If the
set of periodic points is not empty and not the whole circle, then f is obviously
not conjugate to a rotation. This provides examples of analytic diffeomorphisms
which are not topologically conjugate to a rotation.
However, Denjoy proved that if f is C 2 and ρ(f ) is irrational, then f is
topologically conjugate to a rotation.
There is not much choice for the conjugating homeomorphism. Let Rα (x) =
x + α, for x, α ∈ R/Z. It is easy to see that if h and h1 are conjugating
SMF – Gazette – 88, Avril 2001
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homeomorphisms, then h1 = Rα h, for some α ∈ R/Z. Thus it is meaningful
to speak of analyticity or differentiability of the conjugating homeomorphism,
without specifying which homeomorphism.
The first result concerning regularity was obtained by Arnold, who applied
the fast iteration method of Kolmogorov. In the works of these authors, Diophantine conditions play an important role. A number α is said to satisfy a
Diophantine condition if there exist ν, C > 0 such that |qα − p| Cq −ν for
all numbers p, q with q 1. The number ν is called the exponent and C the
coefficient.
Arnold showed that if ρ(f ) satisfies a Diophantine condition and f is an analytic diffeomorphism close to a rotation in the C ω topology, then h is analytic.
Later Rüssmann showed that it is possible to prove Arnold’s theorem with an
arithmetic condition on ρ(f ) which is weaker than the Diophantine condition.
However, in his original article, Arnold showed that some condition on ρ(f )
other than irrationality is needed.
Arnold posed the question : is it possible to remove the assumption that f
is close to a rotation, under a suitable condition on ρ(f ) ?
Herman showed that it is, under the hypothesis that ρ(f ) satisfies a Diophantine condition with exponent 1. At the same time, he proved a differentiable
version of his theorem : if f is C r , r 4, and ρ(f ) satisfies a Diophantine
condition with exponent 1, then h is C r−3 . In this way, he generalized Moser’s
differentiable version of Arnold’s theorem, at the same time that he generalized
Arnold’s theorem.
It does not appear to be possible to prove Herman’s global theorem by
the fast iteration methods that Arnold and Moser used to prove their local
theorems. Indeed, Herman developed a host of new techniques to prove his
theorem.
Later, Herman’s student Yoccoz improved Herman’s result. In his thesis, he
showed that if ρ(f ) satisfies a Diophantine condition (without restriction on
the exponent) and f is C ∞ (resp. analytic), then h is C ∞ (resp. analytic). In
his thesis, Herman had proved that if α is Liouville (i.e. it is irrational, but does
not satisfy a Diophantine condition), then there exists a C ∞ diffeomorphism f
with ρ(f ) = α such that h is not even absolutely continuous.
Thus Herman’s and Yoccoz’s results provided the necessary and sufficient
conditions on α for h to be C ∞ when f is C ∞ and ρ(f ) = α. The analogous
result in the analytic case was later obtained by Yoccoz, by entirely different
methods.
Herman constructed the first example of a smooth minimal diffeomorphism
with positive topological entropy. His example (on a 4-manifold) has a smooth
positive invariant density and positive metric entropy for that density.
Herman wrote two volumes on invariant curves of the annulus. Moser’s methods can be pushed to show that curves persist under C 3+ε small perturbations
(under suitable hypotheses) ; Herman proved they can be destroyed by C 3−ε
small perturbations. Using new and deep techniques, he also proved that they
persist under C 3 small perturbations. Herman once complained to me that the
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only person who read the two volumes in their entirety was Yoccoz. It isn’t
to everyone’s taste to read a very difficult proof that curves persist under C 3
small perturbation, when he already knows that they persist under C 3+ε small
perturbation ! But when it came to understanding a mathematical question,
Herman was obstinate : he wanted to understand it completely ! However, even
if one doesn’t want to know why curves persist under C 3 perturbations, one
may find much that is interesting in those two volumes.
In a conference in Lyon in 1990, Herman announced spectacular results on
symplectic diffeomorphisms. Yoccoz reported on these results in a Bourbaki
seminar in 1992, and here we can only mention the highlights of his report :
counter-examples to the closing lemma and the quasi-ergodic hypothesis in the
class of C ∞ Hamiltonian flows. The latter gives an answer to a very natural
interpretation of a question raised by P. and T. Ehrenfest in 1913.
However, as Herman was the first to point out, the real impact of his example
is to show that this is the wrong interpretation. His examples occur on nonexact symplectic manifolds. In fact, the periods of the symplectic form must
satisfy a Diophantine condition for Herman’s construction to work ! On the
other hand, the physical examples which the Ehrenfests considered all occur
on exact symplectic manifolds, in fact, on cotangent bundles. The problems
which Herman solved remain open for Hamiltonian flows on exact symplectic
manifolds. Nonetheless, Herman’s unexpected examples are important, since
they show the surprising fact that a global hypothesis is needed for there to
be any chance of a positive solution of these problems, even though they don’t
appear to be of a global nature.
In the middle 90’s, Herman solved a fundamental problem in Hamiltonian
dynamics. He constructed a compact, connected C ∞ hypersurface M 2n−1 ⊂
R2n , n 4 such that the characteristic flow on M 2n−1 has no periodic orbits.
The same result was obtained independently by Victor Ginzburg, by a different
method. (Ginzburg’s method works for n 3.)
For many years, until the end of his life, Herman was working on an ambitious project to generalize KAM theory to situations where the Kolmogorov
non-degeneracy hypothesis does not hold. This is very important to do, since
many examples of integrable systems in physics are degenerate in the Kolmogorov sense. For example, the Newtonian three body problem is degenerate in the
Kolmogorov sense. This is why Arnold’s proof of stability in the planar Newtonian three body problem is so difficult. In such situations, one cannot apply
the Kolmogorov theorem directly, but nonetheless Herman showed that one can
often prove the existence of invariant tori in such situations. Herman prepared
a long set of notes, but, unfortunately, nothing of this has been published.
Herman headed his ICM98 article with a quotation from Laplace : « Ce que
nous savons est peu de choses ; ce que nous ignorons est immense. » This truly
reflects Herman’s approach to mathematics. He always had unsolved problems
which he wished to discuss. If you solved one of his problems, he was the first
to express his admiration. His long list of unsolved problems was one aspect of
his success as a thesis advisor, since his students always had interesting things
to work on. The many achievements of his students attest to this success.
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When Herman began his career, there was little activity in France in the
subjects which interested him. Today, there is a great deal of activity, thanks
to the school which he founded. Many will miss him.
Acknowledgement : I wish to thank Bill Veech for a helpful discussion.
Souvenirs de Michel
Jean-Christophe Yoccoz
Automne 1976
Rentré un an plus tôt rue d’Ulm, après une maîtrise à Jussieu perturbée
par les derniers soubresauts soixante-huitards et les plaisirs du Quartier Latin,
je vais voir à Orsay Jean Cerf, qui a été condisciple de mon père vingt-cinq
ans plus tôt à l’École normale. J’ai été séduit l’année précédente par le cours
de topologie algébrique de Michel Zisman. Aussi Cerf m’oriente-t-il vers le
séminaire de chirurgie animé par Jean Barge, Jean Lannes et Pierre Vogel.
En même temps, signe de mon indécision profonde, je suis le cours de Mike
Shub sur les systèmes dynamiques hyperboliques, ainsi que celui de Beals sur
les E.D.P. J’assiste aussi à quelques séances homériques du séminaire consacré
aux travaux de Thurston sur les difféomorphismes des surfaces ; j’y découvre,
à la faveur d’empoignades entre Adrien Douady et François Laudenbach, la
difficulté d’établir un consensus sur la justesse d’un argument.
Quelques mois plus tard, je retourne voir Cerf : la chirurgie est trop algébrique à mon goût, je n’ai pas trop compris ce qui se passe du côté de chez
Thurston, j’ai par contre bien réagi au cours de Shub ; qu’y a-t-il à faire dans
cette direction ?
C’est ainsi que j’entends parler pour la première fois de Michel. Bien sûr, il
vient de démontrer la conjecture d’Arnold, le théorème global de conjugaison
différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations sous une hypothèse diophantienne appropriée sur le nombre de rotation. Mais à l’époque
j’ignore même qu’on puisse s’intéresser aux difféomorphismes du cercle. Je
prends contact une première fois avec Michel au printemps 77. Mais l’Agrégation approche, et les choses sérieuses sont remises à l’automne suivant.
Automne 1977
Pierre Arnoux et moi sommes formellement les premiers étudiants de Michel,
bien qu’Albert Fathi, initialement sous la tutelle de Larry Siebenmann, travaille
en fait avec Michel depuis quelques années. Michel nous distribue une demidouzaine d’articles ; il s’agit d’en choisir un ou deux pour les décortiquer. Ce
choix n’est pas sans conséquences sur la suite des opérations. Pierre s’attache
à un article sur les échanges d’intervalle ; je porte mon dévolu sur un article de
Nancy Kopell traitant des centralisateurs de difféomorphismes de l’intervalle.
Un peu plus tard, Michel attire mon attention sur un article de Eddy Zehnder
démontrant le théorème de linéarisation de Siegel par la méthode de NashMoser. Rétrospectivement, c’est une preuve impressionnante de la profondeur
avec laquelle Michel avait déjà à cette époque réfléchi à de très nombreuses
SOUVENIRS DE MICHEL
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questions : les articles qu’il nous propose couvrent la plupart des grands thèmes
des systèmes dynamiques.
1978–1979
Ma vie mathématique est rythmée par les rencontres avec Michel. Au début
de chaque séance, je lui expose les progrès que j’ai pu faire sur les questions
qu’il m’a posées, les points sur lesquels je bute. . . Commence ensuite un long
monologue de Michel, à peine entrecoupé de quelques questions timides de ma
part. C’est une promenade à bâtons rompus dans tout le champ des systèmes
dynamiques et domaines connexes, agrémentée de digressions sur la philosophie,
la politique et les diverses façons dont les mathématiciens fonctionnent. . . À vrai
dire, seule une petite partie des considérations de Michel fait immédiatement
sens pour moi, d’autant plus que son discours oral n’est pas toujours en accord
complet avec ce qu’il jette au tableau, sans que j’ose le lui faire remarquer à
chaque occasion. Mais il revient fréquemment, d’une séance à l’autre, sur les
mêmes thèmes, et une harmonie finit par se dégager. C’est ainsi par exemple
que je m’imprègne, petit à petit, de l’extraordinaire virtuosité et efficacité avec
lesquelles il manie les arguments de catégorie de Baire.
Un sujet de thèse
Assez rapidement, Michel me propose un objectif à moyen ou long terme.
Il s’agit d’une question posée par Harold Rosenberg, issue de la théorie des
feuilletages, mais qui se formule aussi en termes de difféomorphismes du cercle.
Harold demande si l’espace des feuilletages de codimension 1 du tore T3 , transverses à la fibration naturelle de T3 sur T2 , est localement connexe par arcs.
De façon équivalente, l’espace des couples permutables de difféomorphismes du
cercle est-il localement connexe par arcs ? Michel lui-même s’est déjà penché
sur la question : dans le prolongement de son théorème global de linéarisation, il a montré que, pour le difféomorphisme du cercle sans point périodique
générique, le groupe des itérés n’est pas discret et le centralisateur a donc la
puissance du continu. Cette question m’occupera plusieurs années. Mais, bien
qu’une bonne partie des résultats de ma thèse d’État, soutenue en 1985, soient
reliée à cette problématique, je ne connais aujourd’hui toujours pas la réponse
à la question de Rosenberg. Je suspecte seulement que la réponse est oui, cet
espace de feuilletages est localement connexe par arcs ; malheureusement, ce ne
serait pas la réponse la plus intéressante. . .
Échecs et maths
Michel s’investissait de façon extrêmement forte dans ses relations avec ses
étudiants, comme le montre l’anecdote suivante. Une bonne partie de ma première année à l’École normale s’était déroulée au « Chess Max Center », un
club d’échecs sis dans un café de la rue des Feuillantines (dont le patron s’appelait Max). J’ai continué les années suivantes à m’entraîner et disputer diverses
compétitions, ne cachant pas à Michel mon intérêt pour le noble jeu. Bientôt,
il s’inquiète de ce que cette passion ne me détourne de la voie sacrée des mathématiques. Je ne dois pas le rassurer de façon appropriée, puisqu’il n’hésite
pas à employer les grands moyens : j’apprends de mes parents (qu’il ne connaît
pas) qu’il leur a téléphoné pour leur faire part de ses préoccupations à mon
sujet. . .
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MICHAEL R. HERMAN
Michel en séminaire
Il se décline en plusieurs versions.
Le conférencier
Il prépare avec un soin extrême le contenu mathématique et le plan de ses
exposés. Son immense culture lui permet de mettre admirablement en perspective, tant historique que thématique, les questions qu’il aborde. Malgré tout,
de temps à autre, un petit accroc : ce qu’il écrit n’est pas toujours lisible, et
parfois découplé de ce qu’il pense et/ou ce qu’il dit.
L’auditeur sympathique
C’est toujours le cas si le conférencier est un de ses (ex) étudiants ou quelqu’un qu’il aime bien. Les questions qu’il pose, et dont il connaît presque toujours les réponses, visent à mettre en valeur les résultats exposés. Il vibre avec
l’orateur, et anticipe parfois de quelques minutes le cours de la conférence. . .
L’auditeur critique
« J’ai une petite question. . . », « J’ai une question stupide. . . » sont des
préambules qui effraient plus d’un conférencier, même expérimenté. Car Michel
a réfléchi en profondeur à une très grande variété de problèmes, cela est bien
connu, et ses questions sont tout sauf stupides. . .
Rome, septembre 2000
Michel et moi (ainsi que bien d’autres collègues et amis) participons à un
congrès de dynamique hamiltonienne à deux pas du Colisée. C’est mon premier
séjour à Rome, et je partage mon émerveillement avec Michel, qui n’y a pas mis
les pieds depuis 25 ans. Une après-midi, nous séchons les conférences pour aller
visiter les trésors étrusques de la Villa Giulia (il est passionné d’archéologie
et fréquente assidûment le Louvre) et les collections du Palais Borghese (il
a une connaissance très profonde de la peinture, et une approche beaucoup
plus sophistiquée que mon enthousiasme béotien). Il prolonge son séjour en
Italie pour aller découvrir Naples et Pompei. Nous devons nous retrouver début
novembre à Zurich pour fêter les 60 ans d’Eddy Zehnder. . .
Une vieille amitié
Bernard Besnier
J’ai fait la connaissance de Michel au cours de l’hiver 1966/1967. Venant de
deux Écoles différentes et ayant fait nos études dans deux disciplines différentes
— je suis philosophe –– les circonstances les plus probables de le rencontrer à
cette époque, c’était dans le cadre du militantisme politique ou syndical (les
deux interférant fortement pour beaucoup d’entre nous). Et c’est bien ainsi que
cela eut lieu. Michel n’a jamais correspondu tout à fait au profil des militants
politiques de l’époque. Il avait appartenu à l’UNEF (peut-être était-ce toujours
le cas en 1966, car il pouvait encore être classé comme étudiant), mais, si je
puis parler ainsi, sans y prendre des grades. Étant encore citoyen américain,
il était contraint à une certaine prudence dans les manifestations et dans les
assemblées où se décidaient des actions illégales, alors qu’il y avait certainement des « espions » susceptibles de signaler aux services de la police ceux que
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l’on appelait encore « les meneurs ». Au demeurant, il n’avait ni les qualités
d’orateur, ni les qualités d’organisation qui font qu’un militant de base se distingue comme pouvant jouer un rôle qui l’amène à prendre des responsabilités,
ou à peser sur les prises de décisions importantes ; je ne suis pas sûr non plus
qu’à cette période il ait eu les qualités d’analyse d’une situation permettant
de discerner ce qu’il faut proposer et avec quelles chances de succès on peut
le faire, ce qui aurait de sa part demandé un peu plus d’expérience et une
meilleure information sur la situation d’ensemble du mouvement étudiant et de
ses relations avec les organisations politiques ; pendant longtemps, Michel est
resté, dans les groupes auxquels il participait, celui qui faisait des objections,
ou décelait les fautes de raisonnement des « protagonistes », mais ne parvenait
pas à voir le parti que l’on pouvait tirer d’une situation, cécité que, encore
une fois, j’attribuerais surtout à une défaut d’expérience, car on a bien vu par
la suite, dans les responsabilités qu’il a exercées au sein de la communauté
mathématique que, lorsqu’il connaissait bien un environnement, il était en mesure de proposer des décisions raisonnables et qu’il était tout à fait capable de
les défendre avec persévérance. J’avais de mon côté consacré une part importante de mes années d’étudiant (qui, à dire le vrai, étaient juste en train de
s’achever) à l’UNEF et à l’UEC, et, comme on dit, j’y avais joué un rôle. Dans
les deux années qui ont précédé « 68 », quelques anciens militants (mais très
récents anciens) de cette sorte essayaient de prolonger leur action en fondant
de petites structures qui associaient la réflexion critique sur l’évolution d’une
profession universitaire (ou liée à une formation universitaire) avec des prises
de position(s) radicales sur des questions de politique générale, notamment la
guerre du Vietnam. Cela partait du fait que la guerre d’Algérie avait provoqué un taux de politisation inhabituel en milieu étudiant, avec une capacité,
également inhabituelle, à nouer des relations avec des organisations de milieux
extérieurs à l’université (surtout avec ceux de même classe d’âge exposés aux
mêmes conditions de conscription), et que ces conditions n’avaient pas disparu
après 1962, donnant une tournure nouvelle au militantisme syndical et politique
en milieu universitaire. En 1963 et 1964, l’UNEF avait fait la démonstration de
sa puissance de mobilisation sur des problèmes universitaires, et de sa capacité
à recueillir de la sympathie, voire un soutien actif de la part de couches jeunes
de la population qui n’étaient pas passées ou n’étaient pas destiner à passer
par l’Université ; mais ces mouvements, dont il était facile de deviner qu’ils
concernaient des questions qui, à moyen terme, allaient devenir cruciales pour
l’évolution de la société française (puisqu’il s’agissait des nouvelles fonctions
de l’Université dans la vie professionnelle, en plus de celles traditionnellement
exercées pour la formation des médecins, des juristes et des ingénieurs), ne recevaient qu’un accueil très réservé et même méfiant de la part des organisations
politiques de l’opposition d’alors (PCF, SFIO) et il apparaissait désespérant
que le relais politique ne pût être assuré que par le PSU ou les groupes trotskystes. De surcroît, certains d’entre nous s’étaient rendu compte, au cours des
quelques mois où nous avions été amenés à participer à des instances de consultation dont relevaient les projets de financement des institutions universitaires
(à l’époque le Plan avait un rôle important permettant de deviner certaines
des évolutions ultérieures, et l’on pouvait avoir le sentiment qu’il était possible
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MICHAEL R. HERMAN
d’agir à ce niveau), que nous faisaient cruellement défaut les outils d’analyse
qui auraient dû permettre de comprendre la nature économique et sociale de la
société et son évolution. Nous avions été amenés à penser que ces outils d’analyse devaient être élaborés, que nous ne devions pas nous contenter de laisser
ce soin aux économistes et aux sociologues, que les classiques (Marx, Lénine,
Trotsky, et pour certains d’entre nous, Rosa Luxemburg et Hilferding) devaient
être relus et révisés, que nous ne devions pas attendre que les gardiens de (des)
l’orthodoxie(s) le fassent pour nous — projetant en quelque sorte de rester
universitaires y compris dans notre formation militante et intellectuels par ceci
que nous nous donnerions la liberté de réfléchir sur des disciplines qui n’étaient
pas nos spécialités : bien entendu, à condition de mettre le plus possible en
commun nos compétences et nos capacités critiques. Cette orientation, il faut
le dire, fut dès l’origine extrêmement minoritaire y compris dans ce qui s’intitulait à l’époque la mouvance « gauchiste » ; les autres courants préfèrèrent
s’appuyer sur des orthodoxies d’opposition (i.e. dont les capacités de susciter
une tension durable avec, disons, les séquelles du stalinisme étaient avérées),
comme le fut le maoïsme (après le trotzkysme) ou sur des analyses déjà faites
et dont les méthodes d’élaboration étaient (sans tellement s’en rendre compte)
expressives surtout de la volonté des « sciences humaines »à rester des Geisteswissenschaften, comme le furent les œuvres de Marcuse, l’École de Francfort, ou
le « freudo-marxisme ». Ces courants ont tiré le meilleur parti du mouvement
de 68, ou en tout cas lui ont donné rétrospectivement sa coloration idéologique,
et elles ont balayé comme un fêtu le courant auquel je faisais allusion et dans
le cadre duquel j’ai fait la connaissance de Michel. Il y eut donc un Centre des
jeunes médecins et un Centre des jeunes scientifiques, qui travaillèrent de façon
coordonnée (avec une tentative pour donner à cette coordination une structure propre conservant un caractère de réflexion, davantage que d’intervention,
et censée justement faire la relecture des classiques). D’après mes souvenirs,
il n’y eut rien de semblable dans les disciplines littéraires, à l’exception d’un
très éphémère Centre des jeunes écrivains, et cette carence (jointe au fait que
beaucoup d’entre nous, étant normaliens, nous connaissions déjà) a fait que
ces deux centres se sont ouverts à des « membres » (si l’on doit employer l’expression, car bien entendu il n’y avait pas de cartes d’appartenance et il fallait
simplement être prévenu des dates de réunions) qui n’étaient ni médecins ni
scientifiques. C’est au centre des jeunes scientifiques que j’ai rencontré Michel.
Et c’est un trait qui a marqué nos relations dans la suite, au moins pendant une
quinzaines d’années, que nous nous sommes bien davantage vus en compagnie
d’autres mathématiciens qu’en compagnie d’autres philosophes. Cette politique
des « centres de jeunes x ou y » n’avait sans doute aucun avenir, si ce n’est
de préparer quelques uns des futurs cadres de partis renouvelés (et aujourd’hui
traditionnels) ; mais à ce compte les courants maoïste et trotskystes jouèrent
un rôle beaucoup plus important.
Nous avons passé une bonne partie de ce temps-là à ré-examiner ce que
Marx et surtout les théories de l’impérialisme, dérivées du livre II du Capital,
de Lénine et de Rosa Luxembourg (ou les essais de mise à jour par P.M. Sweezy
et P.A. Baran) pouvaient offrir de solide pour comprendre les développements
historiques contemporains. Bientôt, les « Centres » ayant disparu, le projet de
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réviser ces analyses en vue d’un débouché politique s’évanouit et il demeurait
la motivation d’examiner pour lui-même l’état d’une discipline, qui n’était ni
la spécialité de Michel ni la mienne, mais qui nous semblait à tous deux importante, et susceptible de redéfinition(s). Ce fut l’origine d’une phase assez
longue de nos discussions. Il était difficile, quoique pas tout à fait impossible,
à Michel de discuter de philosophie (ou de philosophes) avec une précision suffisante pour mes exigences, il m’était tout à fait impossible d’appréhender les
maths que Michel faisait — j’en eus, si j’en avais eu besoin, la dure confirmation lorsqu’il me demanda de relire le manuscrit de sa thèse, après soutenance
mais avant la publication — mais nous pouvions très bien comprendre l’un
et l’autre la littérature économique de l’époque. Nous nous sommes intéressés
au débat opposant les keynésiens radicaux (ou néo-ricardiens) aux représentants des tendances de l’École de Chicago (en théorie de la monnaie) et de
celle d’Harvard (en théorie des fonctions de production). Michel avait davantage que moi le sentiment qu’il y avait (ou qu’il devait y avoir) un versant
empirique, sur le comportement des entreprises, par lequel on aurait pu, non
pas « tester » (car il n’a jamais adhéré au schéma « poppérien » de validation
des modèles théoriques) les théories sur le profit et la distribution, du moins
les rendre plus complètes, et justifier qu’on ne s’en tienne pas, pour leur mathématisation, aux fonctions homogènes ou à l’algèbre linéaire. Cela lui faisait
prendre connaissance beaucoup plus rapidement que moi d’un pan de la littérature, dont, pour ainsi dire, il me sélectionnait ce qui méritait d’être lu. Mais
nous étions tous les deux convaincus que la lecture des pionniers de la discipline pouvait être beaucoup plus riche, et certainement plus passionnante, que
celle des articles contemporains publiés dans le JES. Cependant lire W. Petty,
R. Cantillon, Smith, Ricardo, même avec l’apport des belles éditions récentes,
demeurait une tâche assez ardue pour quelqu’un qui n’avait pas été formé à
l’explication de texte ; les historiens de la pensée économique offraient des schémas de lecture souvent très intelligents (nous avions une admiration commune
pour les travaux de Mark Blaugh), mais qu’il était parfois — souvent — difficile
de réconcilier avec les textes. Nous avions, bien entendu, le goût des livres et
l’on peut dire que, si nous avions un penchant à possèder quelque chose, ou
à augmenter nos possessions, c’était d’abord pour les livres (il y avait aussi
les disques, et pour Michel, mais pour des raisons familiales faciles à saisir, les
tableaux). Les livres nous étaient nécessaires si nous voulions discuter « sur
pièce », généralement à une heure où les bibliothèques étaient fermées. Et je
me souviens ainsi qu’un soir nous avons constaté que nous avions acheté (ou
passé commande de) la même édition de Ricardo (évidemment celle de Piero
Sraffa) dans la même librairie, à deux heures d’intervalle. Il faut dire que la
veille nous étions en désaccord sur un passage des Principles, dont nous avions
eu également le sentiment qu’il ne s’éclairerait qu’en fonction des articles de
1813, lesquels n’étaient disponibles de manière complète et correctement éditée que dans l’édition Sraffa ; or nous n’avions sous la main l’un et l’autre que
l’édition Bonnar, qui ne donnait rien de tout cela (et ignorait les Notes sur
Malthus), l’acquisition de la belle édition de Cambrige était plus qu’urgente.
Michel aimait les « éditions complètes », éditées par des auteurs compétents,
avec une belle typographie ; il aimait aussi les livres importants, quoique peu
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MICHAEL R. HERMAN
connus, ceux que découvre le véritable amateur, ou plus exactement ceux dont
le véritable amateur est capable de pressentir l’intérêt ; mais il aimait aussi le
texte de bonne qualité, édité dans des conditions qui le mettent à la disposition
d’un large public d’étudiants. Il faut dire que les trente dernières années lui
ont offert une source de désolations répétées, en ce domaine, avec la disparition des librairies véritablement généralistes à Paris, la disparition des éditions
Gauthier-Villars, celle (temporaire) de Benjamin à New York, la montée des
éditeurs qui diffusent à des prix exorbitants des livres qui ne leur ont rien
coûté (au niveau de la fabrication), parce que largement subventionnés par les
institutions universitaires, et je me souviens qu’un jour, revenant de Chicago,
il m’avait fait part de la peine que lui avait occasionnée le constat que l’édition des philosophes mécaniciens ou logiciens médiévaux, jusqu’alors réalisée
à Madison, initialement sous la direction de Marshall Clagett, était désormais
devenue un objet d’occasion, à la fois rare et peu demandé. J’ai le sentiment
que dans l’activité dévouée et opiniâtre que Michel a consacrée aux publications de la SMF, et pour laquelle j’ai encore le souvenir de ses anxiétés (il me
revient aussi à l’esprit, mais beaucoup moins nettement, des souvenirs de son
activité éditoriale à Ergodic theory, avec Katok), il y a eu, outre la volonté de
prolonger celle des fondateurs de la publication, quelque chose comme celle de
maintenir (dans des conditions dont il pensait qu’elles étaient à peu près désespérées) la production d’objets « à lire » sous une forme qui puisse faire penser
que le XIXe siècle, qui fut celui de l’essor de la publication mathématicienne
de qualité, laisserait davantage que des souvenirs. J’ai l’impression — mais sur
ce point, je ne sais pas comment juger — qu’il est parvenu à faire à peu près ce
qu’il souhaitait dans ce domaine et que cela a représenté pour lui, par la régularité de la tâche et le dévouement à l’amélioration de textes qui n’étaient pas
les siens, un moment de sérénité. Lorsque nous nous sommes connus, Michel
venait juste d’intégrer le labo de maths que Laurent Schwartz avait récemment
créé à l’X. Alain Chenciner, qui fut son camarade de promotion, doit savoir
mieux que moi ce qu’ont été les affres de Michel au sortir (si l’on peut dire) de
l’École, dont il faut rappeler qu’à l’époque, elle n’était pas censée orienter vers
la recherche (non pas sans doute du point de vue de l’enseignement, qui était
un des meilleurs sous ce point de vue, mais du point de vue des carrières). Bien
que l’entrée au CNRS ait été difficile, même à cette époque « d’abondance »,
je ne me souviens pas que Michel ait éprouvé sérieusement d’incertitude sur
son recrutement et par conséquent sur ce qu’allait être le cadre de son activité
professionnelle. Pas d’incertitudes, si ce n’est ces crises d’angoisse qu’il éprouvait de temps à autre à propos de choses pourtant acquises et dont il admettait
facilement qu’elles n’étaient pas fondées. Dans les années 80, je me souviens
qu’il rêvait à plusieurs reprises qu’on le viderait du CNRS, parce qu’il n’achevait pas assez vite un livre sur KAM. Il vivait, dans des répercussions affectives
aux parcours inconscients parfois légèrement compliqués, comme une menace
de réprobation ou de sanction sociale les moments où il éprouvait, comme tout
le monde, comme tout chercheur, des inquiétudes sur l’aboutissement d’un travail. S’il n’avait pas d’incertitude sur ce qu’allait être son activité (et le cadre de
cette activité) et si, j’en ai l’impression, Michel s’est assez rapidement orienté
UNE VIEILLE AMITIÉ
65
vers les sujets qui ont été les siens, il a mis un peu plus de temps que de coutume pour obtenir ses résultats et terminer sa thèse, du moins aux yeux de
ceux qui le dirigeaient (je ne suis évidemment pas bon juge en la matière). Je
ne pense pas qu’il y ait eu dispersion, ni blocage, de sa part, mais simplement
il ne voulait pas avoir une thèse à moins d’un résultat vraiment difficile à obtenir. On peut dire qu’il a été satisfait puisqu’au départ il était convaincu que
la conjecture d’Arnold recevrait au moins un contre-exemple, qu’il s’est bien
appliqué à chercher, et qu’il s’est rendu compte qu’elle était vraie, après avoir
renversé et démonté l’un de ses propres contre-exemples (la démonstration directe, véritable soulagement, est venue après, lors d’un séjour à Warwick, chez
les Epstein). Après coup, il me semble que tout le monde a dû s’apercevoir qu’il
avait beaucoup profité à labourer plus large et plus profond, même si cela a
dû ralentir le processus. S’il m’est permis de donner une impression –– toute
extérieure et toute profane –– du rapport affectif de Michel aux maths qu’il faisait, je dirais que j’ai eu le sentiment à la fois qu’il y trouvait une satisfaction
qu’il n’aurait pu éprouver en rien d’autre, mais une satisfaction qui était tout
autant de l’ordre de la survie que de l’épanouissement. Bien qu’il ait régulièrement parlé de « beaux résultats » et de beaux théorèmes (y compris à propos
de ce qu’il avait obtenu), à ce qu’il me semble, il témoignait, en employant
ces expressions, du contraire d’un rapport d’esthète aux mathématiques qu’il
faisait ou à celles qu’il lisait ; il avait plutôt avec elles un rapport d’artisan,
quelque chose de médiéval, qui incluait l’idée de chef d’œuvre par lequel on
peut être intégré à la corporation (d’où aussi ses craintes d’en être déchu, faute
d’œuvres) et par lequel on devient « maître ès <quelque chose> ». C’est dans
cet esprit, je crois, qu’il a organisé son Séminaire (à l’X, puis à Jussieu ou à
Chevaleret) et formé de jeunes chercheurs, aujourd’hui bien reconnus. Pour lui,
il fallait atteindre de beaux résultats et difficiles d’accès.
L’intérêt esthétique était bien présent chez lui. Par imprégnation familiale, il
avait une excellente culture en peinture. Je me demande pourtant si la musique
n’était pas plus importante pour lui, en tout cas pour son équilibre. Mais il
n’allait guère aux concerts (il est vrai que les cassettes et les CD nous donnent
l’illusion qu’on n’en a pas besoin), alors qu’il allait beaucoup aux musées. Au
cours des dernières années, il avait développé, je ne dis pas un intérêt, car cet
intérêt existait antérieurement, mais une véritable passion pour l’art grec, essentiellement les décors de vases et les statuettes. Et tout récemment il a pu voir
ce qui reste de la fresque greco-romaine à Pompei. Son émerveillement portait
sans doute sur la finesse d’exécution, mais aussi sur la variété dans le choix des
sujets, et l’absence de censure ; et sur la liberté dans le traitement de thème,
d’un artiste à l’autre (il commençait à voir les séquences que nous considérons
comme parallèles à celles que l’on constate entre Eschyle et Euripide, le second
reprenant pour le modifier le traitement que le premier avait déjà fait subir à
un motif traditionnel). Naturellement Michel était amené à lire des livres sur
la civilisation grecque dans laquelle cet art était né, ou s’était continué, et il
retrouvait, pour la période classique, la philosophie. Michel a toujours eu de
l’intérêt pour la philosophie, pour son histoire. Au début, il a essayé de lire
Hegel, allant jusqu’à suivre des cours (sur deux ans et sur la Logique) pour découvrir que c’était trop difficile. Je ne crois pas que cela ait suggéré de sa part
66
MICHAEL R. HERMAN
que l’effort n’en valait pas la peine, car il a régulièrement écouté au moins une
conférence à chaque fois, de la part de ceux qui, dans les années 80, ont essayé
de montrer l’intérêt de Hegel pour la pensée des sciences. S’il s’est fait des amis
parmi les philosophes « professionnels » ça a justement été des hégeliens. Plus
tard, et je crois bien, un peu par ma faute, il a essayé de lire Platon : là encore
« trop difficile » ; et Aristote. Lorsque René Thom a mis en valeur la biologie
du Stagirite et la métaphysique de l’acte (bord de la puissance), Michel en a
tout de suite senti l’intérêt (il était beaucoup plus réservé, et l’est resté, sur
les tentatives antérieures de re-compréhension d’Héraclite, que, je crois, il faut
mettre au compte des balbutiements dans le dialogue renoué entre philosophes
et mathématiciens). Cependant, méfiant, il demandait au « spécialiste » si les
interprétations de René Thom étaient « bien exactes ». Lorsque Gilles Châtelet,
notre ami commun, a commencé l’élaboration de sa philosophie du geste créateur de possibilités, Michel a été de ceux qui l’ont encouragé, et surtout dans
le bon sens, l’incitant, voire l’obligeant à dégager ce qu’il avait à dire d’original
et en propre d’une enveloppe « moderniste » empruntée à quelques contemporains, dont il n’est pas douteux qu’ils aient joué un rôle dans la formation
de Gilles, mais dont il importait qu’il se dissociât pour trouver son expression
propre. Contrairement aux apparences, Gilles non plus n’avait pas un rapport
d’esthète à la philosophie, mais un rapport d’artisan, avec cependant le sentiment tragique que c’était un exercice du métier qui se perdait, dont le rôle
social n’était plus compris, et qui était dévoyé même chez ses maîtres reconnus.
Même s’il a eu parfois de l’exaspération concernant les difficultés qui sont faites
périodiquement au recrutement des mathématiciens (le triste exemple vient des
Éats-Unis, où l’on voit périodiquement triompher un courant hostile, mais il
est aussi périodiquement compensé) et les attaques qui ont été lancées contre
la place occupée par les mathématiques dans la formation scientifique (ou universitaire), Michel ne pouvait pas avoir les mêmes inquiétudes pour l’avenir
de sa discipline. La qualité de ses collègues, sur laquelle je l’ai régulièrement
entendu renchérir, et la présence bien réelle de bons étudiants, ne pouvaient,
de bon sens, lui donner le sentiment d’une décadence imminente.
Quelques souvenirs d’avant la thèse de Michael
H. Rosenberg
J’ai rencontré Michael Herman au séminaire Thom à l’automne 1966. Le
printemps suivant nous avons constitué un groupe de travail à l’I.H.P. sur
les systèmes dynamiques et les variétés feuilletées. Par la suite nous avons
travaillé à Orsay ensemble. Notre groupe se composait de Alain Chenciner,
Michael, François Laudenbach et Robert Roussarie. Le travail était intense
et passionnant. Nous nous voyions presque tous les jours jusqu’en 1975 : au
laboratoire de mathématiques de Laurent Schwarz, sur la Montagne-SainteGeneviève, à la faculté d’Orsay ou à la Chope — un café de la place de la
Contrescarpe.
Michael apprenait et maîtrisait analyse (inspirée par Laurent Schwartz),
systèmes dynamiques et topologie. Le séminaire de René Thom, le papier de
QUELQUES SOUVENIRS D’AVANT LA THÈSE DE MICHAEL
67
Steve Smale de 1968 sur les systèmes dynamiques et les travaux excitants de
Jean Cerf (Γ4 = 0) et Kirby-Siebenmann (le Hauptvermutung), étaient très
importants pour lui.
Ses premiers résultats (non publiés) concernent la géométrie algébrique réelle
et constituent sa thèse de troisième cycle (1972) : « Intersection complète, algébrique, affine, non singulière, en géométrie algébrique réelle ».
Une sous-variété C ∞ , N de codimension k, dans une variété M est une
intersection complète (analytique ou Nash) si N = f −1 (0), où f : M → Rk est
C ∞ (analytique ou Nash) et 0 est une valeur régulière de f .
Quand M est compacte (∂M = ∅), Michael a démontré que dire que N est
une intersection complète équivaut à dire que N est le bord d’une sous-variété
compacte de M de fibré normal trivial.
Quand M = Rm , il démontre que N est une intersection complète si N est
stablement parallélisable et m 2p + 3, p la dimension de N . Aussi tout N p
qui est stablement parallélisable est difféomorphe à une sous-variété de Nash
de Rm , m 2p + 3.
Dans le dernier chapitre de cette thèse, il montre qu’une condition nécessaire
et suffisante pour qu’une variété C ∞ compacte M soit difféomorphe à une
intersection complète non singulière algébrique dans un Rm , est que son fibré
tangent soit stablement parallélisable.
Je crois que ceci est le seul travail qu’il ait écrit en dehors des systèmes
dynamiques.
En 1968, Michael a commencé à réfléchir aux difféomorphismes de classe C r
du cercle T et du tore Tn de dimension n.
Ses premières publications étaient trois notes au CRAS en 1971 (dont une en
collaboration avec F. Sergeraert). Il y démontre que Dif f+ (Tn ) est un groupe
simple et parfait. L’idée est de comprendre un voisinage d’une rotation R(α)
par un théorème de fonction implicite (démontré par F. Sergeraert dans ce
contexte). On tente de résoudre l’équation linéarisée de conjugaison en termes
des séries de Fourier et la solution recherchée ak satisfait :
ak =
bk
,
1 − e2πik,α
k = 0 , a0 = 0 ;
ainsi les petits dénominateurs apparaissent dans les travaux de Michael pour
la première fois. Une condition diophantienne sur α donne
|ak | C|bk | |k|γ
où C ne dépend que de α, et γ vient de la condition diophantienne.
D’après Michael cette idée est apparue pour la première fois en 1942 quand
C.L. Siegel a démontré qu’un germe holomorphe d’un voisinage de 0 dans C
z −→ λz + σ(z 2 ),
avec λ ∈ C, |λ| = 1, satisfaisant une condition diophantienne, est holomorphiquement conjugué à sa partie linéaire : z → λz.
Arnold a utilisé cette idée pour démontrer qu’un difféomorphisme analytique du cercle, suffisamment proche d’une rotation R(α), α diophantien, et de
nombre de rotation α, est analytiquement conjugué à R(α).
68
MICHAEL R. HERMAN
Pendant cinq ans environ (1970-1975), Michael a travaillé sur la version
globale de ce théorème d’Arnold, appelé à ce moment là la conjecture d’Arnold :
« Il existe un ensemble A de mesure 1 du cercle, tel que si un difféomorphisme
analytique du cercle a son nombre de rotation dans A, le difféomorphisme est
analytiquement conjugué à la rotation. »
En 1975, Michael m’a téléphoné vers trois heures du matin, dans un état
d’excitation intense, me disant : « Je l’ai, je l’ai, je l’ai. » Et quand je suis
arrivé à lui faire dire autre chose, il m’a dit : « Je l’ai, je l’ai pour le nombre
d’or. Je l’ai pour le nombre d’or ! » Je lui ai répondu que je dormais et que
« je le verrai demain ». Je suis retourné au lit en me disant que « Michael was
really crazy ».
Le lendemain matin, Michael a commencé à expliquer sa solution du problème global de conjugaison pour des difféomorphismes du cercle (de classe
C r , r 3) de nombre de rotation de densité bornée (par exemple, le nombre
d’or). Le surlendemain, Dennis Sullivan est venu l’écouter, ainsi que plus tard
Douady et Deligne.
Ce travail magnifique était présenté dans sa thèse en 1976 à Orsay : « Sur
la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations ».
Chaque homme, dans sa jeunesse, a des héros liés à leurs travaux les plus
sérieux. Les miens étaient J. Milnor et sa découverte de plusieurs structures
différentiables sur la sphère S7 , Steve Smale et sa démonstration de la conjecture
de Poincaré en grande dimension, et Michael Herman et sa théorie globale des
difféomorphismes du cercle.
Ce travail était le premier d’une œuvre exceptionnelle.
Pendant beaucoup d’années j’ai eu la chance de voir Michael quotidiennement ; il me manque tant.
Michel Herman, singular most talented
mathematician and friend
Jacob Palis
I was struck by the news of the death of Michel Herman when our common
friend Harold Rosenberg communicated it to me on November 2nd. In emotional terms, he stressed in particular that in the very afternoon of his passing
away, a mere few hours before this unexpected dramatic event, Michel was
talking to him enthusiastically about his next and very long term visit to our
Institute, IMPA, which was more and more in recent years, his own Institute (I
really thought he would stay with us forever. . . ). He has participated in all the
meetings on dynamical systems that we have organized at IMPA in the last 25
years — his presence was actually always very powerful and lively, inimitable
and unforgettable.
However, his many visits to Rio de Janeiro went far beyond meetings. In
one of them, quite recently, he stayed among us for about four months and
gave thirteen lectures at our seminar, several of them on celestial mechanics.
All through one of such lectures, he seemed totally absorbed in « talking » to
MICHEL HERMAN ET LA THÉORIE ERGODIQUE
69
Laplace, Lagrange and Poincaré, leaving the rest of us in an absolute state
of amazement. He was comparing their previous contributions with his own,
concerning the stability in measure of systems with an arbitrarily large number
of particles, which, in his own words, would yield a « proof » of a theorem by
Arnold. He loved to talk about how he cherished the mathematical development
of his students : they became excellent mathematicians and hold him dear to
the end. He loved to provide counter-examples, like the robust lack of periodic
solutions for conservative systems in a certain context, and to challenge a proof
or a mathematical approach. But typically he would abide by the truth when
finally convinced. I believe that one such a case has been Bochi’s recent proof
of Mañé’s proposed dichotomy concerning Lyapunov exponents for area preserving maps, remarkably extended to higher dimensions by Bochi and Viana
for sympletic and volume preserving maps. Let me say that unquestionably
he has influenced many of us with his exceptional mathematical talent and he
did so from the very beginning, when he first announced his beautiful result
on smooth linearizations of circle transformations. Our appreciation of Michel
for his great mathematics and his unabatedly faith in science, particularly our
field, led us to successfully propose his name for the Brazilian Academy of
Sciences by middle eighties, a few years before he became a member of the
French Academy. So much to miss him about. . . I shall not forget to say that I
will also miss unaccountable conversations with him, when his notable culture
would naturally emerge, as well as for the dinners we have enjoyed at so many
occasions in Paris, Rio de Janeiro and elsewhere.
Michel Herman et la Théorie ergodique
Jean-Paul Thouvenot
Plus que tout autre dans son domaine, M. Herman a accordé un interêt
soutenu aux questions dans lesquelles intervenait la théorie de la mesure, ou
pour être plus précis, au point de vue ergodique dans la théorie des systèmes
dynamiques.
Dès 1974, tandis qu’il préparait encore sa thèse, il a fréquenté le séminaire de
théorie ergodique de Paris 6. Il est venu y exposer le théorème de Denjoy, et c’est
à la suite de questions qui lui furent alors posées qu’il construisit un exemple
d’un homéomorphisme du cercle, linéaire par morceaux, sans mesure σ-finie invariante équivalente à la mesure de Lebesgue. Même dans le cadre mesurable,
l’existence d’un tel exemple, longtemps recherché, n’avait été démontrée par
Ornstein qu’en 1966. M. Herman ne cessera pas d’accorder de l’intérêt à cette
problématique qui consiste à chercher à donner un modèle différentiable aux
exemples abstraits construits mesurablement par des méthodes de découpage
ou sur des espaces totalement discontinus. Dans cet esprit, il construisit, en
1981, un exemple d’un difféomorphisme minimal d’entropie métrique (et donc
topologique) non nulle. (Quand il l’eut rédigé, il me dit à l’époque, qu’il le
considérait comme son deuxième meilleur travail). Il eut recours alors à une
idée extrêmement originale, simple, et que l’avenir revèlera très féconde, fondée
sur l’utilisation des propriétés des fonctions sous-harmoniques, pour minorer
70
MICHAEL R. HERMAN
dans un exemple précis les exposants de Lyapunov. Il la développera plus systématiquement dans son article « Une méthode pour minorer les exposants de
Lyapunov ». Il réfléchissait souvent ces dernières années, et il l’avait reprise
très récemment, à cette question du calcul des exposants (non plus pour des
cocycles qu’on peut considérer comme linéaires mais pour des difféomorphismes
généraux) qu’on ne maîtrise toujours pas même dans des exemples très simples
à décrire, et qu’il abordait toujours en analyste. Les deux exposés qu’il devait faire à son séminaire en décembre avaient pour titre « Remarques sur les
exposants de Lyapunov ».
C’est aussi au séminaire de théorie ergodique qu’il assistera en 1974 à un
exposé de J.-M. Strelcyn sur les exemples d’Anosov-Katok de difféomorphismes
ergodiques du disque unité. Il reprendra la méthode, lui donnant des prolongements considérables, construisant en collaboration avec A. Fathi un difféomorphisme minimal (et même uniquement ergodique) sur toute variété admettant
une action localement libre de S 1 . Il rédige alors un manuscrit, maintenant très
recherché, mais qu’il ne publiera jamais : « Construction de difféomorphismes
ergodiques ».
C’est toujours au séminaire de théorie ergodique que lui fut posée, en 1975,
la question de l’ergodicité, pour la mesure de Lebesgue, des difféomorphismes
du cercle de nombre de rotation irrationnel. La résolution de cette question
constitua pour lui une étape importante dans sa démonstration de la conjecture
d’Arnold.
Le théorème des courbes invariantes pour les difféomorphismes de l’anneau
prouve que le résultat d’Oxtoby-Ulam qui énonce la densité des homéomorphismes ergodiques parmi ceux qui laissent une mesure fixée invariante sur une
variété compacte n’est plus vrai en classe C 3 . M. Herman s’est beaucoup intéréssé aux obstructions à l’ergodicité procurées par la théorie KAM. Concernant
« l’hypothèse ergodique » il a ainsi montré l’existence d’un domaine régulier
à l’intérieur duquel le système du billard constitué par un ensemble non trop
dense de boules soumises à des chocs élastiques entre elles aussi bien que contre
les parois n’était pas ergodique. Il cultivait un goût certain, les commentant
avec jubilation, pour ce genre d’énoncés paradoxaux, qui allaient droit à l’opposé des opinions « communément admises ». Récemment, il travaillait sur les
flots géodésiques, montrant que sur de nombreuses variétés (qu’il appelait les
« variétés KAM ») il y avait une abondance de métriques pour lesquelles le flot
géodésique était stablement non ergodique, par l’effet de l’existence d’orbites
périodiques elliptiques.
Il était dans une période de grande activité. Il préparait la rédaction des
transparents pour les exposés qu’il devait donner dans son séminaire. Il revenait
d’une visite à Princeton qu’il avait longtemps différée. Il se disposait à partir
pour Zurich. Il projetait un long séjour à Rio. Tout a été interrompu un soir
de novembre. Violence stupéfiante du Destin.
ENTRE CIGARETTES ET MACARONS
71
Entre cigarettes et macarons. . .
Brêve évocation d’un matheux perfectionniste
et généreux
Marie-Jo Lécuyer
J’ai été très choquée par la brutale disparition de Michel. Si depuis plus
de dix ans je ne suis plus chez les matheux, les ponts ne pas pour autant
coupés, l’X est une grande famille et on ne renonce pas ainsi à une partie des
meilleurs moments de sa jeunesse. Comme je me plais souvent à le dire « J’ai
toujours mal aux maths. » J’ai eu la chance de grandir aux côtés de personnes
qui m’ont marquées et fait progresser : une partie de mes connaissances et de
ma curiosité sont nées au Centre de Mathématiques de l’École Polytechnique
où je suis entrée en février 69. Il m’est revenu des tas de souvenirs de cette
époque avec Michel : son minuscule bureau à Paris où il avait mis une affiche
« Ce bureau est réservé à la résolution de la conjecture d’Arnold », ce qui faisait
ricaner pas mal de collègues ; ses difficultés à Villetaneuse ; la « terreur » que lui
inspirait Miss Pouderous ; les imbroglios administratifs à ses débuts en raison
de ses problèmes de naturalisation. . . Ensuite à Palaiseau ; la frappe de sa thèse
partagée avec Michèle Lavallette : la difficulté de la saisie, les multiples jeux de
corrections (avec les fameuses gommettes !), le bouquet final ayant été la remise
en forme pour Astérisque ! Il nous faisait remarquer, mi-amer mi-rigolard, que
depuis sa trouvaille, « tout le monde me considère, on m’invite partout, etc.,
alors qu’avant. . . ». Je me souviens qu’il faisait des caprices pour que ce soit
moi qui tape la plupart de ses papiers (qui sentaient le tabac comme tout ce
qui séjournait chez lui, y compris les livres empruntés !). . . Tout cela en frappe
directe, on n’était pas encore informatisé. Et puis il y a eu sa grande aventure
de « Main Editor » de la revue « Ergodic Theory. . . » dont j’étais la secrétaire
— ça a été un job super sympa car il me laissait de grosses responsabilités et me
faisait confiance. Et à ma grande surprise, il était très organisé dans ce travail.
Il y avait aussi ses petits problèmes de santé : le matin en arrivant « j’ai un petit
peu mal à la tête (resp. je suis un petit peu grippé), t’aurais pas une aspirine ? »,
on lui ouvrait le bureau de Schwartz, il se mettait sur la chaise longue et, dix
minutes plus tard, il nous revenait « guéri » . . . Il y a eu son grave accident, sa
béquille lui servant par la suite de support moral plutôt que d’appui : cigarette
au bec, canne sous le bras, un texte à la main : c’est l’image que je garderai
toujours de lui. Je n’oublie pas non plus toutes ses invitations au restaurant
quand il avait des invités étrangers — on a passé de bons moments ! Ni sa
grande culture, il savait parler de tout. . . Je crois que pour nous, les secrétaires,
c’était le « casse-pieds » qu’on aimait bien, qu’il fallait chouchouter, dont il
fallait beaucoup s’occuper car c’était un handicapé de la vie de tous les jours,
(quoique. . . ). Et lui, en retour, nous inondait de macarons de chez Pons pour
nous dire merci. Je veux redire encore toutes mes amitiés à sa soeur — que je
ne connais pas directement, mais dont il parlait à chaque retour des USA.
72
MICHAEL R. HERMAN
Caricature
Dessin original de Marie-Jo Lécuyer.
Michel Herman, souvenirs d’une amitié
Marc Chaperon
J’ai connu Michel en 1974, quand je suis entré comme stagiaire de recherche
au Centre de mathématiques de l’École polytechnique sur le conseil de JeanLouis Verdier.
Conseil avisé s’il en fut, car le laboratoire de Laurent Schwartz avait de quoi
vous rendre fervent partisan de la monarchie éclairée : tous étant égaux devant
Dieu (les « patrons », hormis Schwartz, étaient extérieurs au Centre), on y
discutait avec une confiance et une liberté que je n’ai pas retrouvées ailleurs.
On ne dira jamais assez combien le mandarinat et son corollaire, la peur de
poser des questions stupides, font de mal à la science.
Bien qu’absolu débutant, j’étais auréolé d’un certain prestige aux yeux de
Michel car j’avais la chance indue de recevoir les conseils de René Thom, archétype pour lui du très grand mathématicien : la phrase « Bien sûr, ce n’est
pas un Thom » revenait souvent dans sa bouche. Bien avant les travaux qui ont
rendu Michel célèbre, Thom m’avait d’ailleurs dit en retour : « Il est un peu
fou, mais je crois que c’est un mathématicien profond. »
MICHEL HERMAN, SOUVENIRS D’UNE AMITIÉ
73
La première partie de cette appréciation vient sans doute de ce que, pour les
orgueilleux comme Michel ou moi, il est assez pénible d’admirer éperdument
quelqu’un. Les rapports de Michel avec Thom étaient donc quelque peu conflictuels. Par exemple, juste après sa thèse, il a montré que, dans une famille à
un paramètre (hλ ) générique de difféomorphismes du cercle préservant l’orientation, les valeurs de λ pour lesquelles hλ est conjugué à une rotation dans le
groupe des difféomorphismes forment un ensemble certes maigre, mais de mesure positive. Je me souviens de Michel allant raconter cela au séminaire Thom
dans un esprit guerrier, persuadé d’avoir, je le cite, « porté un rude coup à la
stabilité structurelle » ! Dans le même ordre d’idées, il est revenu du congrès
international de Vancouver catastrophé qu’Arnold ait abandonné l’analyse fine
pour les « thomeries ».
Quand, fin 1974, j’ai trouvé mon chemin de Damas dans la conférence de
Thom « Sur les équations différentielles multiformes et leurs intégrales singulières », il s’est agi d’étudier des singularités de champs de vecteurs. En ces
temps reculés, le dogme de la stabilité structurelle avait tout de même fait des
ravages et le théorème de Grobman-Hartman représentait pour presque tout le
monde l’alpha et l’oméga en la matière. Pour presque tout le monde, mais pas
pour Michel, qui avait tout lu sur le sujet et m’a fait découvrir Poincaré, Siegel
et Sternberg, orientant mon travail de manière décisive.
Pendant toute cette période où il travaillait comme un fou sur « la » conjecture d’Arnold 1 , il a été pour moi une sorte de grand frère, relation assez différente de celle que, célèbre, il a eue avec ses élèves. L’esprit du Centre de
mathématiques allait d’ailleurs en ce sens, les « anciens » comme Alain Chenciner et François Laudenbach jouant eux aussi ce rôle.
Je me souviens avec nostalgie des dîners au restaurant avec lui et Élisabeth,
ma femme, Michel séducteur-enfant avec elle 2 et dominateur avec moi, se dépouillant peu à peu, dans le feu de la discussion, des multiples pelures dont
il s’entourait comme un oignon. Au Bordelais de souche que je suis, il a fait
connaître les magnifiques vins de l’Hermitage (il était apparenté de près aux
Jaboulet). Il m’a aussi fait découvrir la cuisine simple et inventive de Jacques
Manière, dont le livre de recettes, plus tard, ne m’a plus quitté.
Sa conversation ressemblait un peu à celle de Vladimir Arnold : extrêmement
avide de connaissances, il les organisait en une vision cohérente, se laissant
néanmoins assez facilement persuader de réviser son point de vue quand il
avait tort.
En politique, il était viscéralement contre l’ordre établi. Après la victoire de
la gauche en 1981, il s’est ainsi mis à dire pis que pendre de ceux que la veille
il appelait de tous ses vœux, augurant avec une très grande clairvoyance (et un
peu d’exagération) des difficultés que devait rencontrer la nouvelle équipe.
En 1978, las de me heurter à la concurrence sur des problèmes intéressants
mais faisables, je me suis lancé à corps perdu dans la solution d’un problème a
priori infaisable : une conjecture de Camacho, Kuiper et Palis sur les singularités de champs de vecteurs holomorphes. Pendant deux ans, j’ai suivi l’exemple
1 Neuf ans plus tard, quand j’en ai prouvé une (moins difficile) moi aussi, il m’a dit :
« Arnold n’a fait qu’une conjecture et c’est moi qui l’ai démontrée » !
2 Tout cela se passait bien avant le mariage de Michel.
74
MICHAEL R. HERMAN
de Michel et le succès a fini par venir, à sa grande joie : il pensait que les
mathématiques doivent être difficiles.
Ensuite, nos voies ont divergé : entre la griserie de résoudre un problème
après deux ans d’immersion totale et un seul regard de mes enfants, mon choix
était clair. Michel, lui, est resté pur mathématicien. Notre science, qui amène
tant de personnalités riches à se rabougrir peu à peu, n’a fait qu’épanouir la
sienne. Si l’agression dont il avait été victime place de la Contrescarpe l’a obligé
à porter une canne (j’avais toujours un peu peur qu’il ne s’en serve pour me
frapper quand nous n’étions pas d’accord), je crois que son véritable soutien,
c’étaient les mathématiques. Depuis les débuts tardifs mais glorieux que j’avais
cotoyés, il n’a plus cessé d’y montrer une imagination prodigieuse. Le jour de
sa mort, il rayonnait, venant de résoudre un problème qui le tarabustait depuis
longtemps. J’aimerais mourir aussi heureux.
Quelques souvenirs de Michel Herman
Pierre Arnoux
Je suis devenu élève de Michel fin 1977 ; jeune étudiant débutant, j’ignorais
bien sûr tout de la conjecture d’Arnold. J’étais très impressionné par Michel, et
je ne savais s’il fallait le tutoyer ou le vouvoyer ; ma timidité l’avait contaminé,
et pendant plusieurs mois, nous avons réussi à discuter sans jamais employer
la deuxième personne ! Il a finalement réagi, et a décidé de me tutoyer : nous
cherchions des mathématiques ensemble, et étions donc, de ce point de vue, à
égalité.
Je me rappellerai toujours du premier travail que je lui ai remis, écrit à la
main au crayon noir (pour pouvoir corriger plus facilement, pas de traitement
de texte à l’époque) ; il l’a regardé, et m’a demandé « tu as fait une copie ? ».
Je n’avais pas pensé que mon travail méritait tant d’honneur ; il m’a aussitôt
répondu « alors, je ne peux pas le prendre, je risque de le perdre et tu serais
fâché contre moi ». J’en ai fait une copie, et la semaine d’après, il m’a rendu
mes feuilles corrigées comme il savait le faire, depuis les erreurs mathématiques
et les tournures de rédaction jusqu’aux accents et aux points. J’ai toujours été
frappé du sérieux avec lequel il considérait les travaux qu’on lui remettait, et
c’est une leçon que j’ai essayé de suivre depuis.
Il ne considérait d’ailleurs pas sa tâche terminée avec la soutenance de thèse
de ses élèves, et suivait avec intérêt leur parcours. Sans être envahissant, il
intervenait de temps en temps, pour donner tel ou tel conseil ; c’était très
rassurant, dans les années suivant la thèse, de savoir qu’il continuait à regarder
ce que je faisais, même si mes centres d’activité s’étaient un peu éloignés des
siens.
Je resterai avec cette image de Michel, les jours où je l’accompagnais au
centre de l’X par le RER, montant l’escalier de la côte de Lozère, sa canne dans
une main, sa cigarette dans l’autre, montant trois marches, puis s’arrêtant, à la
fois pour reprendre son souffle et pour m’exposer plus à l’aise ce qu’il était en
train de raconter ; cela prenait un certain temps pour arriver sur le plateau !
HERMAN OU LA PASSION DES MATHÉMATIQUES ET DE LA VIE
75
Herman ou la passion des mathématiques
et de la vie
Raphaël Douady
C’est en 1975 que Michael Herman nous a rendu sa première visite : il pensait tenir la démonstration d’une célèbre conjecture d’Arnold sur la conjugaison
des difféomorphismes du cercle à des rotations et cherchait une oreille suffisamment patiente pour écouter le cheminement particulièrement intriqué de son
raisonnement. Mon père, le « Bourbakiste » Adrien Douady, dont l’intérêt pour
les systèmes dynamiques venait de naître, l’a alors invité pour une quinzaine
de jours dans notre maison familiale près de Tulle. Cette séance de travail
s’est soldée par l’élaboration d’un immense organigramme, censé représenter
les différentes étapes de la démonstration 1 . Cet épisode est caractéristique des
« usines » qu’il pouvait construire pour venir à bout de problèmes réputés insolubles, avec une ténacité dont peu sont capables.
Herman, c’était aussi la passion de la difficulté, un peu comme un alpiniste
que seules les faces nord en hivernale intéressent. Sous son impulsion, la vision
que la communauté mathématique française avait des systèmes dynamiques a
complètement changé, passant de la curiosité bienveillante à un profond respect,
matérialisé entre autres par la médaille Fields attribuée à son élève J.C. Yoccoz. C’est aussi grâce à lui que les Comptes Rendus de l’Académie des sciences
se sont enrichis d’une section « systèmes dynamiques ». Délaissant à d’autres
l’engouement pour les simulations intensives sur ordinateur, il s’est concentré
sur les problèmes liés à la différentiabilité et, en particulier, ceux faisant intervenir les petits diviseurs. Ce domaine était auparavant surtout l’apanage de
l’école russe, avec Kolmogorov, Arnold, Sinai, Ilyashenko. . . , ainsi que de l’allemande, avec Siegel, Moser, Rüssmann et Zehnder. Il avait créé le séminaire
de systèmes dynamiques de l’École polytechnique, où la règle d’or consistait
à laisser au conférencier tout le temps dont il avait besoin pour exposer son
théorème ainsi que sa démonstration. Au public de suivre, et il ne venait à
personne l’idée de quitter prématurément la salle. Le niveau scientifique de
ce séminaire était impressionnant, et sa renommée ne connaissait pas de frontières. Michel était d’une extrême sévérité sur la qualité des résultats présentés,
et il a su donner à tous les participants le goût du travail de valeur et le dédain de la facilité. Lui-même, handicapé au genou à la suite d’une agression
dont il avait été victime, aggravée par une décalcification progressive, présentait assis ses réflexions sur transparents à l’aide d’un rétro-projecteur — un
appareil inconnu des mathématiciens purs à l’époque — que nous ramassions
comme de précieuses reliques : il s’agissait la plupart du temps d’un enchaînement ininterrompu d’inégalités extrêmement fines. La finalité de la construction
n’apparaissait souvent qu’à la conclusion et je me pose encore aujourd’hui la
question de la nature du fil rouge qui le guidait vers les résultats qui ont forcé
l’admiration : théorème de la courbe translatée en classe C 3 (régularité optimale), premier résultat de non-densité C 0 du groupe des difféomorphismes
1
Ce résultat lui a valu la médaille d’or du CNRS.
76
MICHAEL R. HERMAN
symplectiques, aboutissant à l’existence d’une topologie symplectique, de nombreux résultats sur les systèmes dynamiques holomorphes et sur la mécanique
céleste, etc.
En tant que directeur de recherche, il aura marqué ses élèves par sa générosité intellectuelle. Il est facile de faire accomplir un travail acceptable par
un élève moyen. Il est beaucoup plus difficile de faire s’épanouir les meilleurs
étudiants. Cela demande une forte personnalité, une compréhension profonde
des problèmes et une culture énorme, des qualités dont aucune de lui faisait
défaut. Si l’on devait véritablement apporter la mesure de son investissement
auprès de ses élèves, son nom devrait apparaître comme co-signataire dans la
plupart de leurs articles, ce à quoi il se refusait évidemment.
Je me souviendrai toujours des nombreuses « vacances » que l’on a passées
ensemble, en Corrèze, dans le midi ou chez son beau-père, le peintre Bierge (un
élève de Chagall), où en descendant au salon pour le petit-déjeuner, je trouvais
Michel, debout depuis six heures du matin, ayant fumé suffisamment de cigarettes — des Gauloises brunes dont il ôtait le filtre — pour remplir un saladier
entier de mégots, et ayant déjà noirci de calculs variés une pile de papiers non
moins élevée. Cette énergie ne semblait en rien entamée par des soirées gastronomiques arrosées des meilleurs crus, dont il était un fin connaisseur. Digne
petit-fils de son grand-père Jaboulet-Verchères, il nourrissait un amour démesuré pour les vins de Bourgogne. Le congrès de Dijon de 1979 sur les systèmes
hamiltoniens, qu’il avait organisé — et dont je me souviens car il s’agissait
du premier où j’étais invité à parler — s’est ainsi terminé par une visite systématique de tous les crus classés de la région et par une leçon mémorable
d’œnologie dans une cave faisant face aux Hospices de Beaune. Ce New Yorkais
de naissance connaissait mieux la France que nombre de ses ressortissants. Sa
culture en littérature, en philosophie et en arts a alimenté bien des soirées, où
la discussion sautait du coq à l’ âne et des espaces W k,p à l’interprétation viennoise des concertos de Mozart. C’est encore un semestre au MSRI de Berkeley
avec Smale et Marsden, ou New York avec Sullivan.
Comment enfin parler de Michel sans parler de Rio de Janeiro. Ses séjours
quasi annuels à l’IMPA étaient pour lui un véritable repos de l’âme. Qu’il me
soit permis de remercier pour lui la communauté mathématique brésilienne
et, en particulier, Jacob Palis, Wellington de Melo, Cesar Camacho, et bien
d’autres. C’est un ami très proche qui disparaît, un véritable amoureux de la
liberté et de la vie, dont la contribution à la recherche mathématique aurait pu
encore être longue.
UNE THÈSE AVEC MICHEL HERMAN
77
Une thèse avec Michel Herman
Patrice Le Calvez
C’est en 1980, alors que j’étais à la recherche d’un sujet de thèse, que Daniel
Bennequin m’a conseillé d’aller voir Michel Herman qui faisait des « systèmes
dynamiques ». Je n’avais pas la moindre idée de ce que ces termes étranges
signifiaient. J’allai donc le voir et après avoir discuté de mes goûts en mathématiques, pas très clairs à l’époque mais plutôt portés sur la géométrie,
j’en ressortis avec le conseil d’acheter les oeuvres complètes de G.D. Birkhoff,
que l’on trouvait facilement à l’époque chez Dover, et celui de lire un article
de 1932 sur des « courbes fermées remarquables ». Il y était question, entre
autres, de « transformation biunivoque de l’anneau », de « coefficient de rotation », de « courbes roulées sur la gauche » et de « résultats bien connus de
Carathéodory ». Le style ne m’était pas du tout familier, la première propriété
remarquable de ces courbes étant de ne pas être une courbe (en fait un continu
indécomposable appelé maintenant attracteur de Birkhoff). Je venais d’entrer
dans le monde des systèmes dynamiques différentiables ainsi que dans celui
de la topologie plane (c’est la théorie des bouts premiers qui était censée être
bien connue). Il s’agissait dans cet article d’étudier les applications de l’anneau
T1 × R déviant la verticale et diminuant l’aire. Celles qui préservent l’aire décrivent la dynamique d’un difféomorphisme conservatif du plan au voisinage
d’un point fixe elliptique générique, elles décrivent également la dynamique des
trajectoires d’un billard convexe. Michel Herman venait alors d’étudier ces applications, obtenant ses résultats d’optimalité pour les conditions de validité de
la théorie KAM (existence de courbes invariantes) et reprenant les travaux de
Birkhoff sur les régions annulaires d’instabilité, comprises entre deux courbes
invariantes consécutives. Il faudra deux volumes d’Astérisque pour exposer ces
travaux. À l’époque S. Aubry et J. Mather avaient découvert indépendamment ce qu’on appelle maintenant les ensembles d’Aubry-Mather : ce sont des
ensembles fermés invariants minimaux ayant la propriété de se projeter injectivement sur la base T1 avec un ordre cyclique préservé. La dynamique sur ces
ensembles est une dynamique d’homéomorphisme du cercle, il y a en particulier
un nombre de rotation. Ces ensembles, un ensembles de Cantor dans le cas où le
nombre de rotation est irrationnel, une orbite périodique dans le cas rationnel
(analogue aux trajectoires du billard convexe de périmètre maximal) sont des
versions faibles des courbes invariantes et permettent de comprendre en partie
la dynamique à l’intérieur d’une région d’instabilité. Michel Herman m’avait
demandé de voir ce qui persistait sans les conditions de préservation d’aire
de ces résultats en cherchant donc des méthodes topologiques et non plus variationnelles comme dans le cas conservatif. Mes préoccupations de recherches
futures, orientées vers l’étude des difféomorphismes de surfaces, ont toutes leur
origine dans les questions que m’a posées Michel à ce moment-là. Ce n’est donc
pas seulement un sujet de thèse que proposait Herman à ses étudiants mais un
vrai thème de recherche.
Une des principales qualités de Michel Herman était sa réelle efficacité
comme directeur de thèse. Une question amenait presque toujours une réponse immédiate : une démonstration ou une référence si c’était vrai, un
78
MICHAEL R. HERMAN
contre-exemple si c’était faux. . . et un sourire si la question était ouverte.
Ses connaissances bibliographiques étaient impressionnantes (je lui dois par
exemple la connaissance de travaux de Mather peu connus liant la théorie
des bouts premiers et l’étude dynamique des difféomorphismes conservatifs
de la sphère). Enfin ses nombreuses intuitions se révélaient le plus souvent
exactes. Une autre caratéristique était son exigence. J’avoue avoir hésité plus
d’une fois à prendre rendez-vous avec lui, surtout au début de ma thèse,
ayant l’impression de ne vraiment pas avoir fait grand chose par rapport à la
fois précédente. Mais la confiance revenait après chacune de ces réunions, où
Michel avait su communiquer son enthousiasme pour les mathématiques. Enfin
la plus grande de ses qualités était sans doute sa grande gentillesse et le souci
permanent qu’il avait de ses étudiants, en particulier celui de leur avenir. Le
problème des recrutements de jeunes mathématiciens a d’ailleurs toujours été
un de ses sujets de préoccupation.
Cette attention ne cessait pas après la thèse et que ce soit dans un café après
son séminaire ou dans la salle de détente de l’Institut d’Oberwolfach, Michel
me demandait toujours si tout se passait bien avec les étudiants, à Orsay puis
à Villetaneuse.
J’ai eu la très grande chance de participer comme étudiant au début de
l’aventure des systèmes dynamiques en France. Le premier souvenir qui me
vient à l’esprit est le séjour aux Houches en 1981 avec Raphaël Douady qui
avait commencé sa thèse avec Michel Herman en même temps que moi. C’était
la première école d’été de systèmes dynamiques en France. Dans une période
où les postes universitaires étaient rares et où entreprendre une thèse n’allait
pas de soi, Michel Herman m’a donné le goût de la recherche mathématique et
l’opportunité d’en faire, et je l’en remercie.
Une conférence de Michel Herman
Marie-Claude Arnaud
Ce qu’il y avait de prodigieux chez Michel Herman, c’était sa capacité à
s’intéresser à des domaines très divers (je ne crois pas que deux de ses élèves
aient fait leur thèse dans des domaines proches) et à s’y impliquer. Les groupes
de travail qu’il a animés ont eu pour objet successivement la mécanique céleste,
les approximations diophantiennes, les billards. . .
Ce fut un grand plaisir d’être l’une de ses élèves, et je lui serai toujours
reconnaissante de tout ce qu’il m’a fait découvrir, tant à travers ses conférences
que par les invités à son séminaire de systèmes dynamiques. Je crois qu’il ne
donnait jamais deux fois la même conférence, et nombreuses sont celles dont
les seules traces sont les notes des participants et ses « transparents ».
Une des dernières auxquelles j’ai assisté concerne mon propre domaine de
recherche (les systèmes dynamiques conservatifs en topologie C 1 ) et eut lieu
en Juin 2000. Il introduisit au cours de cette conférence une notion nouvelle,
celle de variété symplectique KAM et surface d’énergie KAM (de Kolmogorov,
Arnold et Moser).
UNE CONFÉRENCE DE MICHEL HERMAN
79
Il commença par rappeler l’importance des points périodiques totalement
elliptiques (ceux dont tous les multiplicateurs de Floquet sont de module 1)
pour les systèmes dynamiques conservatifs, puisque si on fait en topologie C ∞
une perturbation d’un tel système, on obtient au voisinage de l’orbite périodique
totalement elliptique considérée un ensemble de mesure de Lebesgue positive
de tores périodiques « diophantiens » (ce sont les fameux tores KAM) ; en
particulier, le système n’est pas ergodique (pour la mesure de Lebesgue).
Le problème de savoir si on peut créer des orbites périodiques (avant de
se demander si elles sont totalement elliptiques) n’est pas simple (la réponse
en topologie C 1 fut donnée par C. Pugh en 1967) et Michel Herman a donné
en 1990 un exemple surprenant de hamiltonien dont aucune perturbation en
topologie C ∞ n’a d’orbite périodique (Michel affectionnait particulièrement les
contre-exemples et je pense que nous sommes nombreux à nous rappeler son
sourire réjoui quand il nous en montrait un nouveau).
D’autre part, un résultat de S. Newhouse nous dit que si H est un hamiltonien d’une variété de dimension 4 ayant une surface d’énergie compacte dont
stablement (en topologie C 2 ), tous les points périodiques sont hyperboliques
(c’est-à-dire non totalement elliptique dans ce cas), alors le flot hamiltonien
restreint à cette surface est Anosov.
Aussi, si on peut dire d’une certaine surface d’énergie Sc = H −1 (c) qu’elle
n’a pas de flot (hamiltonien) Anosov, on peut créer près de Sc des points
périodiques totalement elliptiques et donc des tores KAM La définition d’une
surface d’énergie KAM s’impose alors : ce sont les surfaces d’énergie qui n’ont
pas de flot hamiltonien Anosov. On peut toujours, près des surfaces d’énergie
KAM, créer (par perturbation C 2 ) des points périodiques totalement elliptiques
et donc des tores KAM.
En dimension supérieure, le problème est plus délicat car il existe des systèmes dynamiques conservatifs (ici on parle du cas des difféomorphismes f
d’une variété M , plus simple à écrire que le cas des flots hamiltoniens, mais
on peut bien sûr tout généraliser aux flots) qui, stablement, ne sont pas hyperboliques et n’ont pas de point périodique totalement elliptique. Ce sont les
systèmes qui admettent une décomposition dominée (notion due à R. Mañé),
c’est-à-dire tels qu’il existe une décomposition continue de T M = E ⊕ F invariante par Df , C > 0 et λ ∈]0, 1[ tels qu’en chaque point x de M , on ait
pour tout n 1 : Df n (x)|E .Df −n (f n (x))|F Cλn . Ainsi, on peut dilater
suivant E, mais toujours moins que suivant F (ceci est plus faible qu’hyperbolique). La définition introduite par Michel Herman est alors :
Une variété symplectique (M, ω) est une variété K.A.M si elle n’admet pas de
difféomorphisme symplectique ayant une décomposition dominée.
Il conjecturait :
Conjecture (M. Herman) : Si (M, ω) est une variété KAM, il existe un ouvert
dense (en topologie C 1 ) de l’ensemble de ses difféomorphismes symplectiques
dont tout élément a un point périodique totalement elliptique.
Avec D. Bennequin, en travaillant avec les classes de Chern, il a donné de
nombreux exemples de variétés KAM. Par exemple, tous les Pn (C) sont des
variété KAM (alors que pour des variété sans structure symplectique, on ne
sait pas dire s’il existe ou non des difféomorphismes ayant une décomposition
80
MICHAEL R. HERMAN
dominée). J’ai démontré qu’en dimension 4, la conjecture de Michel Herman
est vraie.
Michel Herman
Raphael Krikorian
Je ne sais plus si j’ai rencontré Michel Herman pour la première fois devant
le tableau noir de son bureau à Polytechnique ou dans un café du quartier
latin devant un (petit) chocolat chaud. En dehors du séminaire qu’il animait
à Jussieu (à partir de 1991), c’étaient en effet les lieux principaux de nos rencontres. Je me rappelle seulement qu’il y avait de l’élégance et du défi dans
la présentation qu’il fit des thèmes de recherche sur lesquels j’aurais à travailler pendant ma thèse. Par la suite, cette élégance je l’ai retrouvée dans son
œuvre mathématique : clarté des textes, équilibre entre formalisme et souci
didactique, démonstrations qui s’imposent naturellement. . . Je l’ai également
appréciée dans sa façon de « diriger » ma thèse puisqu’il m’a toujours laissé
une très grande liberté dans mon travail sans pour autant me laisser me fourvoyer dans des impasses. Quand je lui annonçais que je savais démontrer tel
résultat, il savait tempérer ma joie excessive par un : « c’est le cas facile » ou
« cela, je sais le faire » mais il savait à d’autres moments m’encourager par un
sobre « rédigez ». Il n’était pas complaisant avec ses élèves et il l’était encore
moins avec lui même comme l’exigeait sa très grande lucidité et son exemplaire
honnêteté intellectuelle. Ses commentaires, parfois péremptoires, sur la valeur
de tel article ou de telle conférence du style « de toutes façons ce résultat a
déjà été démontré il y a vingt ans » ou encore « ce théorème ne présente pas
un grand intérêt car la question fondamentale est plutôt. . . » pouvaient choquer, mais à la réflexion il avait souvent raison et l’on pouvait alors mesurer
sa très grande culture mathématique. I1 avait réfléchi en profondeur et durant
des années à un grand nombre de questions et je crois qu’il avait en tête une
carte assez précise des montagnes ardues et des plaines fertiles en systèmes
dynamiques.
Comme je l’ai mentionné plus haut, Michel Herman aimait les défis ; il aimait
en donner et il aimait les relever. Ceux-ci n’étaient jamais gratuits et en dehors
de leur aspect « sportif », ils avaient pour fonction de mettre en lumière des
difficultés insoupçonnées. I1 aimait aussi, par goût de la provocation et par
respect de la vérité, remettre en cause les idées reçues : le nombre de contreexemples qu’il a produit est, à cet égard, assez significatif.
Je voudrais également évoquer la vitalité et l’enthousiasme avec lesquels il
animait son séminaire de systèmes dynamiques dont la renommée était internationale.
Et puis, il y avait après les deux, trois, parfois quatre heures de séminaire
du mardi les discussions au café, en groupe, j’allais dire en famille, et surtout
le (petit) chocolat.
MICHEL HERMAN
81
Michel Herman
Bassam Fayad
Quand je suis rentré pour la première fois dans le bureau de Herman, il a
posé au tableau quatre questions et il m’a dit : « Je sais faire la première ;
la deuxième est ouverte depuis longtemps ; la troisième si vous la faites, on
entendra parler de vous ; la quatrième vaut une médaille Fields. » Puis il m’a
dit « je vous ai donné une poule en or » et il est parti pour les États-Unis. C’était
l’automne 1997 et, jusqu’à présent, ma recherche s’articule essentiellement sur
ces questions qu’il m’a posées la première fois dans son bureau.
Lorsqu’il est revenu de Colombia trois mois plus tard, je suis allé le voir
pour lui dire ce que je pensais savoir faire. Sans trop m’écouter, il m’a dit
que c’était l’hiver, qu’il fallait mettre un bon pull épais, en laine comme le
sien, et qu’étant comme lui pressé, il fallait que j’utilise lorsque j’écris des
étiquettes pour corriger : « Bon, je vous explique, si vous faites une faute,
mettez une étiquette, ça vous permettra d’aller plus vite ; regardez, moi j’en
mets partout. . . » et il m’a montré le papier qu’il avait sous la main, sur lequel
il avait écrit juste trois quatre lignes, mais où se superposaient déjà plus d’une
dizaine d’étiquettes, puis il m’a montré comment on les mettait et il m’en a
même donné, puis je suis parti.
Plus tard, F. Laudenbach, à qui je devais ma rencontre avec Herman, m’a
dit de ne pas m’inquiéter : « Herman lisait par dessus mon épaule ce que je
laissais sur son bureau. »
Passée cette première phase de recherche personnelle, son intérêt pour ma
thèse allait considérablement augmenter. Son attention et ses commentaires
pouvaient aller des questions essentielles et des suggestions cruciales aux plus
petits détails de présentation et de rédaction. Personne ne me croit lorsque je
dis que pendant plus d’un mois, j’allai le voir tous les jours, de 10h30 à midi,
à Jussieu d’abord puis à Chevaleret. (On a même dû travailler dans le bureau
de Claudine Roussel le jour où les ouvriers étaient partout dans la tour, pour
combattre l’amiante : « Ne demandez pas d’avoir votre monitorat à Jussieu,
Jussieu va disparaître. ») Il avait décidé de lire toute la thèse et de m’apprendre
à « écrire des mathématiques » : « Faites des lemmes, vous ne faites pas assez de
lemmes ; dites ce que vous êtes en train de faire ; rajoutez deux lignes ; mettez la
citation exacte ; il faut souligner ; mettez en italique ; détaillez, vous ne détaillez
pas assez ; rajoutez une ligne. » Points d’interrogations dans la marge, « pas
clair. . .
– Mais si Monsieur Herman, ça suit directement de l’inégalité d’avant. . .
– D’accord, rajoutez une ligne. »
Puis il y avait les points : « Je vous explique, après le titre on peut faire ce qu’on
veut, moi je mets un point ; après une formule, il y a un point ; après corollaire,
il y a un point ; mettez un point après proposition ; point, point, point. . . » et
il en mettait partout sur mon papier. Il y avait aussi les notations : « faites
comme moi, utilisez trois barres pour qn α et gardez les deux barres pour la
norme » ; « Qui est ϕ ? Qui est α ?
– Monsieur Herman, α c’est le nombre de rotation avec lequel on travaille depuis
82
MICHAEL R. HERMAN
le début.
– Bon, dites-le. Qui est Tn ? » . . .
L’encadrement de Herman était très attentionné. Il était aussi très énergique
et très ouvert. « Bon, écrivez au tableau ce que vous savez faire. » À chaque fois
que je rentrais dans son bureau, il fallait que je résume au tableau ce que j’avais
déjà obtenu et que j’explique ce que je pensais avoir de nouveau. Seulement
quelquefois, quand il était a priori « fatigué », je devais repartir aussitôt arrivé.
Mais jamais je ne le sentais détaché ou indifférent à ce que j’avais à lui dire. Au
contraire, il a toujours montré un vif intérêt à ce que je faisais et m’a toujours
poussé à vouloir plus, sans jamais me décourager. Qu’il me montre le chemin
ou qu’il me laisse faire, qu’il me dise « ne vous en faites pas, je sais faire » ou
« si je savais faire, je ne vous aurais pas posé la question, j’aurais fait moi »,
il ne cherchait jamais à me limiter, me donnant par son ouverture d’esprit
des exemples de souplesse et d’agilité mathématique : « si vous ne trouvez pas
d’exemple, montrez qu’il n’y en a pas et vous aurez un bon théorème ». Aussi,
il n’excluait rien a priori : « Le Calvez pense que c’est juste ? », « vous avez fait
lire à Krikorian ? », « il faut demander à Ledrappier si c’est connu. . . » et si
j’avançais une question ou une affirmation plutôt osées, il pouvait dire : « moi
je ne sais pas faire et je pense que Yoccoz ne sait pas non plus, mais essayez
de le voir et demandez-lui », « c’est sûrement faux, mais rédigez vite », « si
vous savez faire, rédigez vite et envoyez à Annals », « faites-le et vous aurez
la médaille Fields ». À mes questions, concernant ma thèse ou les systèmes
dynamiques en général, il pouvait répondre « je sais parfaitement », « c’est
faux » ou « absolument » ou les deux à la fois, ou alors « je sais faire, je vous
montrerai », « attention, c’est plus subtil que ça, je vous montrerai. . . ». Mais
il était surtout content lorsqu’il répondait « c’est pas connu ! ».
Bien sûr, il y avait les modèles à suivre. D’abord lui : « faites comme moi,
lisez ma thèse, Vous devez rédiger tôt le matin, mais n’apprenez pas à fumer,
moi je me réveillais à six heures pour rédiger ma thèse. . . » et il faisait le geste
d’écrire énergiquement. Mais il y avait aussi ses élèves : « vous devez apprendre
à exposer comme Yoccoz, vous avez vu comment il expose Yoccoz ? MarieClaude Arnaud explique très bien. Allez voir Le Calvez, il va vous apprendre à
rédiger, demandez lui combien de fois je lui ai fait récrire sa thèse. Demandez
à votre ami Krikorian de vous aider. . . »
Il y avait aussi ses collègues, à commencer par Katok : « rédigez vite et
envoyez à Katok » et Thouvenot : « Allez voir Thouvenot pour le rang un.
Dites lui que vous voulez apprendre à faire des tours. » À propos de Milnor il
m’a dit une fois : « Vous savez pourquoi Milnor a ses papiers si bien écrits ?
Parce qu’il écrit d’abord la première page puis il la jette, il récrit la première
page et il écrit une deuxième page puis il jette les deux, puis il écrit les trois
premières pages et il les jette. . . » (Il avait pris un cahier pour me montrer
avec les gestes comment Milnor faisait et je me suis rappelé du premier jour,
lorsqu’il m’avait montré comment on mettait les étiquettes.)
Lui reprocher sa rigueur excessive, c’est oublier qu’il respectait cette rigueur
chez les autres et qu’il l’exerçait également sur ses élèves, à commencer par
lui-même comme il aimait parfois le dire. Au cours d’une conversation avec
MICHEL HERMAN
83
H. Eliasson à Cetraro, il avait affirmé d’un ton catégorique « you have to be
tough, but fair ». Une fois, sur un papier de vingt pages que je venais de lui
soumettre, il avait entouré une formule et avait écrit dans la marge « la seule
chose ».
Herman était toujours très informé et pas seulement en mathématiques. Au
Brésil il achetait régulièrement Le Monde et lorsqu’à Jussieu, en sortant du
séminaire, on s’arrêtait avec lui et Raphaël devant un kiosque, il nous disait :
« À votre âge, je passais une heure par jour à lire le journal ». Sur tous les sujets,
son opinion strictement personnelle, parfois déroutante, témoignait encore de
sa souplesse. Dans la vie comme en mathématique, c’était un grand subversif.
Il lisait beaucoup. Il avait lu mille livres de mathématiques. Il s’intéressait
également à l’histoire et à l’art dont il avait toujours plusieurs livres sur son
bureau et un dans la poche. « on publie n’importe quoi. . . on publie même des
choses fausses », en mathématique et ailleurs. Mais une fois que je lui disais
d’un livre qu’il était mauvais, il m’a dit « il n’y a pas de livre mauvais ». Il
aimait cependant marquer sa prédilection pour les mathématiques : « J’ai dédié
ma vie aux mathématiques » et il disait souvent « vous pourrez gagner très bien
votre vie, mais vous ne ferez pas de mathématiques. Vous allez vous ennuyer. »
Herman a dédié sa vie aux mathématiques et il était heureux. Je le revois
à Jussieu, à Trieste, à Venise, à Cetraro, à Rio de Janeiro et à Chevaleret. Je
me le rappelle surtout à l’air libre, lorsqu’il sortait pour fumer, l’esprit toujours en alerte et toujours d’entrain, même si extérieurement il ne le paraissait
pas. Il était disposé à répondre à toutes mes questions, prompt à attaquer une
preuve sur un bout de papier, sur une boîte d’allumettes, ou directement en
l’air avec le doigt, faisant et acceptant l’humour (sauf s’il s’agit des exposants
de l’application standard) et sucitant toujours mon enthousiasme et ma curiosité. Il insufflait de la vie aux séminaires et aux congrés, son vif intérêt pour
ce qu’on annoncait de nouveau, sa participation entière, et même ses quelques
confrontations, présentaient à mes yeux et aux yeux d’autres jeunes dynamiciens un acte de foi sans limite dans les mathématiques, et c’est ainsi qu’il m’a
offert de très belles années de thèse dont je me réjouissais à la pensée que ni
lui ni moi n’étions pressés de les voir finir.
Michel Herman, la mécanique céleste
et quelques souvenirs
Alain Chenciner
C’est au milieu des années quatre-vingt que se met en place le groupe de travail de mécanique céleste. Jusqu’en 1991, il se réunira régulièrement au Centre
de mathématiques de l’X, les mêmes jours que le séminaire de systèmes dynamiques. Il sera suivi d’autres groupes de travail, sur l’approximation diophantienne simultanée, sur les billards. La plupart des aspects théoriques du problème des n corps y furent abordés ab initio : mouvements homographiques et
84
MICHAEL R. HERMAN
configurations centrales, orbites périodiques, collisions, non-intégrabilité, problème planétaire, problème lunaire, satellite artificiel et même certains aspects
plus directement astronomiques avec par exemple la conférence de Jacques Laskar sur la théorie des satellites d’Uranus. Du 28 mai au 2 juin 1990 Michel et
moi avons organisé à Luminy un colloque international de mécanique céleste
qui a rassemblé une bonne partie des — peu nombreux — mathématiciens passionnés par ce sujet. Seul Vladimir Arnold avait décliné notre invitation, me
répondant de vive voix, je cite de mémoire, qu’il n’y avait plus de problème
intéressant dans ce domaine pour les mathématiciens.
Relisant les résumés des conférences de Luminy, je peux difficilement me ranger à cette opinion : pseudo-collisions (solutions sans collision dans lesquelles
certains corps partent « à l’infini » en temps fini), dynamique symbolique dans
le problème plan des trois corps, solutions périodiques, collisions simultanées,
le moribond se porte plutôt bien. Naturellement, les petits dénominateurs sont
présents, avec en particulier la conférence de Hakan Eliasson sur l’existence des
tores invariants (= solutions quasi-périodiques) de dimension non maximale (=
n’ayant pas le maximum de fréquences) normalement elliptiques (= linéairement stables) et celle d’Helmut Rüssmann qui, sur le même sujet, énonce pour
la première fois sous sa forme définitive la condition de non-dégénérescence la
plus faible qui assure l’existence de tels tores invariants. Quant à Michel, il parle
des phénomènes dynamiques associés aux torsions indéfinies, une situation qui
se rencontre effectivement en mécanique céleste. La première rédaction complète du théorème de Rüssmann ne paraîtra qu’en 1998 avec des remerciements
chaleureux à Michel Herman pour son intérêt constant. Michel appréciait beaucoup les travaux de ces deux mathématiciens dont sa sensibilité d’analyste le
rapprochait. Dès son cours de l’École normale en 1980, auquel allait faire suite le
séminaire de systèmes dynamiques, il avait insisté sur l’originalité des méthodes
de Rüssmann. Plus récemment, il s’était réjoui du recrutement d’Eliasson par
le département de mathématiques de l’Université Paris VII.
Le célèbre théorème d’Arnold sur la stabilité du problème planétaire des 3
corps n’apparaît pas à cette époque dans la liste des exposés au groupe de
travail. Du fait de la dégénérescence du problème de Kepler — toutes les solutions d’énergie négative sont périodiques alors que pour un potentiel central
générique elles peuvent être également quasi-périodiques — ce théorème ne
découle pas directement du théorème de Kolmogorov. Il faut « lever la dégénérescence » en introduisant la lente (c’est le problème, elle s’annule avec les
masses des planètes) précession des ellipses kepleriennes que gouverne le « système séculaire » de Lagrange et adapter la démonstration à cette situation, ce
qui demande beaucoup de virtuosité. Plus précisément, au voisinage des mouvements circulaires coplanaires et de même sens de n planètes autour d’un soleil
(ou d’un soleil fictif suivant les coordonnées utilisées pour effectuer la réduction du centre de masse), l’espace des phases du problème s’écrit naturellement
comme le produit (T n × D) × B d’une partie T n × D décrivant les mouvements
rapides de chacune des n planètes sur son ellipse keplerienne approchée (T n )
et les valeurs des demi grands axes (= énergies) de ces ellipses (D, ouvert de
n
(R+ ) ), et d’une partie B décrivant les variations lentes de ces ellipses au cours
des siècles (mouvements séculaires=modification lente des excentricités et des
MICHEL HERMAN, LA MÉCANIQUE CÉLESTE ET QUELQUES SOUVENIRS
85
inclinaisons des ellipses et précession des périhélies et des nœuds). B est une
n
boule dans l’espace « séculaire », difféomorphe à (S 2 × S 2 ) , des n-uples d’el3
lipses orientées normalisées de même foyer dans R . Plus précisément, B est un
voisinage du point représentant n cercles horizontaux de même sens et admet
des coordonnées symplectiques (ξi , ηi ), (pi , qi ), i = 1, . . . , n, les coordonnées de
Poincaré, qui l’identifient à un voisinage de l’origine dans (R2 )n × (R2 )n . Le
module (ξi2 + ηi2 )1/2 du vecteur (ξi , ηi ) ∈ R2 est essentiellement proportionnel à
l’excentricité de la ième ellipse, celui de (pi , qi ) à son inclinaison. Les arguments
respectifs sont la longitude du périhélie et celle du nœud. Après diagonalisation
de la partie quadratique en les variables séculaires (remplacement des variables
de Poincaré (ξi , ηi ), i = 1, . . . , n (resp. (pi , qi ), i = 1, . . . , n) par des combinaisons linéaires (xj , yj ), j = 1, . . . , n (resp. (xj+n , yj+n ), j = 1, . . . , n), l’évolution du système planétaire est régie par un hamiltonien H : (T n × B) × D → R
de la forme suivante :
H(θ, r, x, y) = H0 (r) + ε
2n
aj (r)(|xj |2 + |yj |2 ) + O(||(x, y)||4 ) + εH1 (θ, r, x, y),
j=1
où ε est de l’ordre des masses planétaires et T n H1 (θ, r, x, y) = 0. Si l’on oublie les deux derniers termes, on obtient un système complètement intégrable
qui admet les tores invariants normalement elliptiques d’équations r = r0 ,
xj = yj = 0, j = 1, . . . , 2n et les tores lagrangiens (qui les « entourent »)
d’équations r = r0 , |xj |2 + |yj |2 = ρ2j , j = 1, . . . , 2n. Dans ce monde simplifié,
les lentes (O(ε)) modulations périodiques d’excentricité et les lentes précessions des périhélies sont découplées des lentes modulations des inclinaisons et
des lentes précessions des nœuds. La dégénérescence, qui correspond à la singularité ρj = 0, j = 1, . . . , 2n, se manifeste par le fait que H0 ne dépend que de
r, c’est-à-dire de n actions au lieu de 3n : dans l’approximation considérée, elle
se traduit par l’existence de la solution circulaire coplanaire dans laquelle aucune évolution séculaire ne se produit. Elle est « levée » par le deuxième terme
qui dicte la lente évolution des solutions proches. Arnold avait choisi de « réduire » la symétrie de rotation, c’est-à-dire de fixer le moment cinétique puis
de passer au quotient par le sous-groupe des rotations fixant ce dernier. Des
changements de variables remontant à Birkhoff faisaient alors apparaître une
approximation du système dont les tores invariants, non dégénérés, servaient
de point de départ à la méthode d’itération rapide KAM rendue très délicate
par la présence de petites fréquences. Un calcul de « torsion » (variation des
fréquences normalement au tore invariant de l’approximation) était nécessaire
pour conclure. Ce calcul était fait asymptotiquement par Arnold pour trois
corps, dans la limite d’un rapport nul des demi grands axes des ellipses kepleriennes, mais seul le cas du plan était reproduit dans l’article. L’analyticité
montrait alors que la torsion ne pouvait s’annuler qu’au plus pour des valeurs
discrètes de ce rapport. Le cas de l’espace est étudié dans la thèse de Philippe
Robutel, dirigée par Jacques Laskar. Utilisant un logiciel de calcul formel pour
expliciter les formes normales, Philippe montre que la torsion ne s’annule pas
dès que le rapport de demi grands axes appartient à un certain intervalle.
86
MICHAEL R. HERMAN
Michel a toujours considéré l’article d’Arnold comme très important mais
aussi comme très difficile à la fois à lire et à généraliser. Depuis 1996 (je crois)
il consacrait beaucoup d’efforts à l’écriture d’une autre démonstration qui vaudrait pour un nombre quelconque de corps. Il en a expliqué les grandes lignes
lors de nombreuses séances-marathons de son séminaire, en particulier en 1998
dans la petite salle de la tour centrale de Paris VII (le bureau d’un physicien complaisant) où avaient lieu les réunions. Plus de deux cents transparents
manuscrits gardent la trace de ces séances.
Le point de départ de Michel est un théorème de Rüssman qui, sous une
condition très faible de « non-planarité de l’application des actions dans les
fréquences » assure l’existence d’un ensemble de mesure positive de tores lagrangiens diophantiens invariants (tores de KAM) pour les perturbations d’un
système hamiltonien qui est exactement du type de celui écrit plus haut, à ceci
près qu’il n’y a d’ε que devant la perturbation H1 : la condition est que l’image
de l’application « fréquences »
∂H0
(r), a1 (r), . . . , a2n (r)
r −→
∂r
ne soit pas contenue dans un hyperplan. Michel donne une nouvelle démonstration de ce théorème, basée sur une très belle technique d’addition de paramètres, et l’adapte au cas où ε est présent dès le deuxième terme du hamiltonien. Il obtient ainsi une généralisation commune du théorème de Rüssmann
et de celui d’Arnold. Cette adaptation demande une virtuosité certaine. Michel
était le maître de ces situations de « petit twist » et je me souviens encore de
l’aide qu’il m’avait apportée quand je les avais rencontrées dans le premier de
mes articles sur les bifurcations de points fixes elliptiques.
La magie du théorème de Rüssmann et de sa généralisation est qu’aucune
condition de torsion normale n’est nécessaire. C’est heureux car la vérification
d’une telle condition, lorsque le nombre de corps augmente, devient vite insurmontable. Cependant, le théorème ne s’applique pas directement au problème
non réduit à cause d’une valeur propre nulle (a2n (r) ≡ 0) liée à l’invariance par
rotation, dans le système séculaire linéarisé (celui qui est décrit par le deuxième
2n
terme de H), à une résonance mystérieuse dans ce système ( j=1 aj (r) ≡ 0)
qu’il est le premier à signaler en toute généralité et éventuellement à des valeurs propres doubles. L’idée, empruntée à Poincaré, est alors de remplacer le
hamiltonien H du problème des trois corps — dans lequel, contrairement à
Arnold, on n’a pas effectué la réduction par le groupe des rotations — par un
hamiltonien
H̃ = H + δε(Cx2 + Cy2 ) + δ εCz2
légèrement perturbé par une combinaison des composantes Cx , Cy , Cz du moment cinétique (et donc commutant avec le premier) pour lequel les conditions
du théorème soient satisfaites, au moins pour un ensemble de mesure positive
de couples (δ, δ ). Les tores invariants KAM du système associé à H̃ sont alors
permutés par le système initial et un argument d’intersection lagrangienne permet de conclure qu’ils sont en fait invariants par celui-ci.
87
Lors de ces dernières conférences, dans lesquelles il avait repris les choses à
leur début en exposant aussi bien les preuves des théorèmes KAM que les prémisses de la théorie des systèmes séculaires, il faisait de nombreuses remarques
historiques. Dans la partie traitant de la fonction perturbatrice — différence
entre le hamiltonien du problème complet et son approximation keplerienne
dans laquelle on néglige l’attraction mutuelle des planètes — qu’il avait en
souriant sous-titrée l’« horreur céleste », il avait introduit le sigle BLC (Bonjour Les Calculs, en anglais HTF, Hello The Computations) qu’il écrivait en
gros sur ses transparents et lisait en détachant chaque lettre, son regard moqueur fixé sur nous d’un air de défi signifiant que oui, lui les avait faits ces
terribles calculs. Et c’était vrai qu’il les avait faits : à propos du problème des
valeurs propres doubles, qui se présente dans la linéarisation du système séculaire dès qu’il y a au moins quatre planètes dont deux de masses très petites,
il se plaisait à répéter que Lagrange avait vu le problème alors que Laplace
l’avait ignoré ; il y avait aussi cette résonance mystérieuse, à laquelle j’ai fait
allusion, qu’il avait remarquée, je crois, en 1996. Cette résonance (nullité de
la trace du système linéarisé) avait jusqu’alors échappé aux spécialistes, sans
doute en partie parce que, disparaissant après réduction des rotations, elle ne
se manifeste pas dynamiquement. Alain Albouy a pris cette remarque comme
point de départ du sujet de thèse qu’il a proposé à Khaled Abdullah. Je renvoie
à leur compte-rendu commun intitulé Sur une résonance mystérieuse signalée
par Michel Herman lors des journées scientifiques de l’Institut de Mécanique
Céleste (IMCCE) en juin 2000 : ils notent que cette résonance généralise celle
qui, dans la théorie de la lune, fait que les séries représentant le mouvement
moyen du nœud et celui du périgée commencent par des termes exactement
opposés.
En 1999 Michel Herman a été rapporteur de la thèse que Jacques Féjoz avait
préparée sous ma direction après avoir passé un DEA avec Patrice Le Calvez.
Le sujet en était l’étude globale du système séculaire du problème plan des
trois corps, en particulier au voisinage des collisions de la planète intérieure
avec le soleil, et l’application à cette situation d’une version raffinée due à
Michel des théorèmes KAM dans un cas dégénéré. Lorsqu’il acceptait d’écrire
un rapport sur un travail, Michel ne s’en acquittait jamais superficiellement.
Il avait donc demandé à Jacques Féjoz de lui exposer en détail ses résultats.
L’un d’eux, qui devait pourtant se révéler correct, l’avait fait bondir (un cas où
aucune hypothèse diophantienne n’était nécessaire, presque un crime en quelque
sorte. . . ) et a valu à Jacques une très mauvaise nuit, il me l’a avoué après
que tout fut terminé. La même attitude faisait de Michel un élément essentiel
de la commission de spécialistes de Paris VII. Ses rapports sur les candidats
étaient toujours le fruit d’un vrai travail d’analyse et de compréhension, ce que
facilitait sa vaste culture. En novembre 1987 il avait même démissionné de la
dite commission pour protester contre l’absurde brièveté (déjà à l’époque) des
délais qu’on lui imposait pour écrire son rapport.
On a pu voir Michel comme un analyste préoccupé avant tout de passer de
C 3+ε à C 3 dans la régularité des tores invariants (voir Sur les courbes invariantes par les difféomorphismes de l’anneau, volume 2, Astérisque 144, 1986),
mais ce serait méconnaître sa passion constante pour l’origine physique ou
88
MICHAEL R. HERMAN
astronomique des questions mathématiques auxquelles il réfléchissait, en particulier la mécanique céleste et la mécanique statistique. Périodiquement, le bruit
de sa canne et l’odeur de sa cigarette annonçaient sa présence dans nos locaux
de l’Observatoire. Il avait en général une question très précise, par exemple sur
la rotation de la terre, ou bien il venait contester un terme dans le développement de la fonction perturbatrice. Le dossier qu’il avait réuni sur les sources
de l’hypothèse ergodique est impressionnant ; quelques références, comme celles
du beau livre de Paul et Tatiana Ehrenfest, The Conceptual Foundations of the
Statistical Approach in Mechanics, Cornell University Press 1959, traduction
de leur article de 1912 dans l’Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften (vol. IV 2 II , no 6), affleurent dans les notes de la conférence Stabilité en
mesure des systèmes gravitationnels qu’il avait prononcée pour la journée annuelle de la SMF consacrée à la mécanique céleste le 15 juin 1996. Pour cause de
perfectionnisme, ces notes n’ont malheureusement pas été publiées avec celles
des autres conférences. Il y discute en particulier l’hypothèse ergodique de
Maxwell-Boltzmann (1870) et l’hypothèse quasi-ergodique de Birkhoff (1929) :
la première, contredite par l’existence d’un ensemble de mesure positive de tores
invariants KAM, aurait impliqué la densité de presque toute solution dans une
surface d’énergie compacte ; la deuxième se contenterait de l’existence en général d’une orbite dense dans une telle surface d’énergie. Basés sur une fixation des
fréquences imposée par le choix de la forme symplectique, les contre-exemples
qu’avait donnés Michel à l’hypothèse quasi-ergodique ne s’appliquent pas aux
systèmes mécaniques classiques définis sur un fibré cotangent muni de sa structure symplectique standard, donc pas à la mécanique céleste. Michel considérait
ce problème comme l’un des plus fondamentaux de la mécanique céleste, plus
fondamental en tous cas que celui de l’approximation des mouvements (bornés)
par des orbites périodiques proposé par Poincaré dans le chapitre III (fin du
paragraphe 36) des Méthode nouvelles de la mécanique céleste. Ici les surfaces
d’énergie sont le plus souvent non compactes et l’hypothèse quasi-ergodique de
Birkhoff affirme simplement que l’ensemble des conditions initiales conduisant
à une orbite bornée est sans point intérieur dans une surface d’énergie générique (techniquement, il faut reparamétrer le flot pour qu’arriver à une collision
prenne un temps infini). C’est une question qui le fascinait et à laquelle il réfléchissait en permanence. Et alors il était heureux. Il pénétrait dans ce domaine
superbe où Lagrange et Poincaré l’avaient précédé. Lorsqu’il était sensible à la
beauté et à l’ampleur d’un sujet, à son importance dans l’histoire des sciences,
il voulait comprendre, démontrer, avancer, sans compromis, sans aucun intérêt
pour ce qui était clinquant ou à la mode. Voici deux extraits (transcrits textuellement) du dernier paragraphe, intitulé The oldest open question in dynamical
systems, du dernier article qu’il a publié, Some Open Problems in Dynamical
systems, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. II,
Berlin 1998 :
I. Newton, [N1 ], certainly believed that the n-body problem, n 3 (n particles
moving under universal gravitation) is topological instable and, to paraphrase
Laplace, makes the hypothesis that God solves the problem and controls the
instabilities (hypothesis criticized by Leibniz and by all the enlighted XVIIIth
century).
89
···
The fact that the bounded orbits have positive Lebesgue measure when the
masses belong to a non empty open set, is a remarkable result announced by
V.I. Arnold [A4 ] (Arnold only gives a proof for planar 3-body problem and if
the author is not mistaken, Arnold’s claim is correct). In some respect Arnold’s
claim proves that Lagrange and Laplace, against Newton, are correct in the
sense of measure theory and that in the sense of topology, the above question,
in some respect, could show Newton is correct.
Je vois encore dans sa bibliothèque le petit volume de Voltaire sur « la
physique de Monsieur Neuton ». Cette bibliothèque était fascinante, et pas
seulement dans sa partie mathématique pourtant considérable. C’est là, il y
a longtemps, qu’entre les livres d’économie, les pamphlets gauchistes, les romans du 18ème siècle et les Mémoires secrets de Bachaumont, il m’avait fait
connaître L’homme sans qualité de Robert Musil. Il m’avait montré en souriant ce passage au tout début où il est dit comment Ulrich, double de l’auteur,
avait abandonné les mathématiques puis la philosophie : « Bon dieu, dit-il,
je n’ai pourtant jamais eu l’intention d’être mathématicien toute ma vie ? »
(traduction de Philippe Jaccottet).
D’autres souvenirs seulement évoqués, sa sœur Marianne très proche de lui,
son désarroi à la mort brutale de Diane, sa mère dont j’entends encore la voix
rieuse rue Berryer, les discussions aux dîners qui suivaient les expositions du
peintre Roland Bierge, son beau-père.
Plus loin encore, il y a plus de trente-cinq ans, assis sur le lit de sa chambre
à Polytechnique, il écoute Yves Nat jouer l’opus 106 de Beethoven. Pendant le
temps que dure la sonate, il oublie combien l’atmosphère de l’école lui pèse.
Heureusement, à l’X, il y a Laurent Schwartz, la magie de son cours d’Analyse,
prolongée par le séminaire. Des résumés des leçons sont rédigés par les élèves.
La douzième leçon du premier semestre 1963-1964 concerne le calcul des variations, l’intégrale de Riemann et le théorème de Cauchy-Lipschitz d’existence et
d’unicité des solutions d’équations différentielles. Le résumé est signé Herman.
Ensuite, il y eut le Centre de mathématiques que Schwartz avait créé pour
les cinq élèves qui, à leur sortie, avaient choisi de se lancer dans la recherche
en mathématiques : Jean-Pierre Delale, Michel Herman, François Laudenbach,
Dominique Thillaud et l’auteur de ces lignes. Dix ans plus tard, le centre quittait la rue de la Montagne-Sainte-Geneviève pour emménager à Palaiseau. C’est
là que Michèle Lavallette et Marie-Jo Lécuyer ont tapé sa thèse. Depuis, JeanPierre s’est tué en faisant de la voile et Michel n’est plus là. Ces quelques pièces
aux hauts plafonds de la rue de la Montagne-Sainte-Geneviève sont un bien cher
souvenir.
La sonate que joue Yves Nat s’achève, Michel m’explique combien ce vieil
enregistrement est supérieur à d’autres plus récents dont le caractère trop analytique a supprimé le charme. Il est déjà sans compromis.
90
MICHAEL R. HERMAN
Photo
Photo communiquée par Marianne Herman.
Reminiscences of Michel Herman’s first great
theorem
Dennis Sullivan
In the middle seventies, Henri Epstein and I would walk over to Orsay from
the IHES to hear Michel Herman’s lectures on circle diffeomorphisms. We marveled at how much structure and elegance evolved from Michel’s study of the
iteration of x → x + y(x) where y is any smooth function of periodicity one.
A couple of years earlier a new edition of Denjoy’s work was published by
the CNRS and Michel was involved. This provided Michel the opportunity to
reconsider Denjoy’s arguments showing a twice differentiable circle diffeomorphism either has a periodic orbit or only dense orbits. Basically, Denjoy was
controlling the nonlinearity of the first return iterates q1 , q2 , q3 , . . . rising the
differentiability hypothesis of f and the disjointness of an orbit of intervals
up to first return. This involved calculating the first and second derivatives
of long iterates of f . The first derivative is just the usual chain rule while second derivative involves in modern terms the chain rule for the non linearity
f
f
= (ln f ) .
Michel wanted to control the higher derivative of the iterates in order to
attack Arnold’s conjecture that if the q1 , q2 ,. . . did not grow rapidly the Denjoy
continuous conjugation Df of f to a rotation would actually be smooth. From
the Kolmogoroff-Arnold-Moser theory, Michel already knew that if he could
introduce coordinates to make the non linearity small enough for a given growth
condition on the first returns q1 , q2 , . . ., then he would win.
REMINISCENCES OF MICHEL HERMAN’S FIRST GREAT THEOREM
91
A prodigious calculation of third and higher derivatives with a « miraculous
cancellation » led to Michel Herman’s initial big breakthrough. First he showed
that for any set of first returns, q1 , q2 ,. . . the transformation f was ergodic for
the Lebesque measure class even though there need not be a smooth invariant
measure — the smoothness of the unique invariant measure being controlled
by the smoothness of the Denjoy conjugacy Df .
Then a logically complex argument evolved showing Arnold’s conjecture
if the q1 , q2 ,. . . were of bounded type. Michel presented this argument in a
marathon seminar of 30 hours over a period of three or four days beginning at
Orsay and continuing at my urging at the IHES. For the last half I was lost, but
the other two surviving participants, Pierre Deligne and Adrien Douady were
still checking and absorbing the proof. Adrien made a wonderful flow chart of
the logic which I transcribed in colored inks on the back of a large Colette
poster and Pierre undertook the task of presenting Michel’s argument at the
next Bourbaki.
I distinctly remember Pierre hunched over his desk in the evenings at IHES
struggling with the enormous proof. One evening he seemed particularly worried
and it turned out he had doubts. He had completely understood everything
concrete and constructive in the proof and one estimate going from « big O »
to « little o » was missing. Pierre was right and Michel was also right. The
missing estimate came from an application of the ergodic theorem — a-non
constructive passage from « big O » to « little o ».
Soon the Bourbaki event took place. Just before Deligne’s lecture on Michel
Herman’s achievement, I met Michel in the hall outside the lecture room at the
Institute Henri Poincaré. He was so overcome with emotion that he couldn’t
attend the lecture and he went for a walk instead. I did attend and it was
really something. Pierre’s first sentence developed the essential aspects of the
theory of the rotation number of homeomorphisms of the circle without periodic
points, « Given f there is a unique irrational rotation Rα so that any of its
orbits and any of f ’s orbits 1, 2, 3, . . . have the same circular order type. » Of
course this α is called the rotation number of f .
While on this walk or perhaps a little later, Michel began to see the solution
to the entire question when the first returns q1 , q2 ,. . . were not of bounded
type. He soon had a complete theorem that Denjoy’s conjugacy was smooth for
a measure one set of rotation numbers — close to the arithmetic hypotheses
used in the perturbation result of KAM theory.
A very special case of this general statement allows some appreciation of its
depth. Take the golden number as rotation number so that the first returns of
an orbit near its start 1 are the Fibonacci iterates 3, 5, 8, . . . These appear on
alternate sides of 1 and converge down to 1. Michel Herman’s theorem implies
this convergence is geometric with precise ratio the golden number .62 . . . itself. In other words, the asymptotic geometry of the return is rigid by Michel’s
theorem — while the earlier result of Denjoy only implies there is some convergence. During this period I decided that this rigidity result of Michel Herman’s
was something really worth understanding deeply.
As great as Michel Herman’s bounded type result was, the new progress was
worth another Bourbaki report at a meeting the next year. This time Harold
92
MICHAEL R. HERMAN
Rosenberg took up the task of presenting the result as well as its relationship
to smooth geometric questions about codimension one foliations.
Michel Herman’s career blossomed after all this — marked by very successful
research, very conscientious contributions to mathematical scholarship, and
very fruitful and constructive interactions with graduate students. For example,
his student Yoccoz completed the equivalence of the Siegel condition on the
q1 , q2 , . . . and the C ∞ nature of the Denjoy conjugacy for C ∞ diffeomorphisms
and together with Michel related the « miraculous cancellation » of the third
derivative calculation with the chain rule for the Schwarzian derivative.
Now I would like to mention a development in the history of ideas and in Michel’s attitude which, while being completely understandable, was not always
constructive. At about this time (1975) numerical work was being done on first
return geometry in another area of one dimensional mappings by Feigenbaum
in the U.S. and by Coullet and Tresser in France. Feigenbaum found that the
2n -th iterates of the critical point for the limit of period doubling mappings
converges geometrically quickly to itself with a certain universal ratio (.39 . . .).
Analogous numerical studies of critical circle mappings by mathematical physicists revealed more universal geometry in the asymptotics of first return mappings. This work purported to describe self similar structure on the boundary
of the KAM region and the papers used an assertive tone in the statements —
as in mathematical theorems — but did not provide proofs beyond heuristics
and numerics. Such papers offended Michel, who had very laboriously proved
estimates about the size of the good KAM regions getting rigorous numbers
like .001 while the « chaos papers » were claiming numbers like .8 based on
handwaving and numerics.
One unfortunate consequence was that for some years Michel was suspicious
when the catch word of all these numerical papers « renormalization » was
invoked. The physicists used this phrase in dynamics to refer to the process of
replacing one dynamical system f on the circle or the unit interval by the first
return to a tiny interval (and in the former case by gluing neighborhoods of
the end points together by an iterate of f ) to get a new dynamical systems Rf
on a new tiny circle or interval which would then be rescaled (or renormalized)
up to unit size.
In the intervening years, the renormalization viewpoint was used by Khanin
and Sinai to redo the circle KAM theory more geometrically and conceptually.
They also treat Michel Herman’s theorem in this way. I am not familiar with
their exact work, but in a final tribute to the fundamental nature of Michel’s
theorem, I would like to close with a little mathematical story about how the
original complex edifice of Michel Herman’s proof becomes understandable all
at once if enough of its methodology is absorbed into the foundations. For me
this is the hallmark of a deep and complex result which is also a great result.
For a circle transformation f we can consider the sequence of first returns
q1 , q2 ,. . . to appropriate intervals glued up by appropriate powers of f to obtain
a sequence of renormalizations Rf , R2 f ,. . . which are diffeomorphisms of new
« abstract circles » S1 , S2 ,. . . The rotation numbers of Rf , R2 f ,. . . are just
the points of the orbit of the rotation number of f iterated by the ergodic
continued fraction mapping (a0 , a1 , a2 , . . .) → (a1 , a2 , . . .), where the ai are
REMINISCENCES OF MICHEL HERMAN’S FIRST GREAT THEOREM
93
from the continued fraction. Now three things are happening at once which
reduces Michel Herman’s theorem to the KAM perturbation result.
(1) The renormalizations f , Rf , R2 f ,. . . being first return mappings, all have
the same set of orbits so that a smooth invariant measure for one gives such for
all. Thus we don’t lose the question of the smoothness of the Denjoy conjugacy
by replacing f by any of its renormalizations.
(2) The first return iterates used to define the renormalized circles and the
renormalized diffeomorphisms have two important properties.
a) Their non-linearity is bounded by the sum of the lengths of disjoint
intervals on the circle (the Denjoy argument),
b) their deviation from being Moebius or projective as measured by the
Schwarzian derivative tends to zero as the renormalization index tends
to infinity. This follows from a) and the chain rule for the Schwarzian
derivative. Namely, a) controls the non-linearity so that the chain rule
estimates the Schwarzian of the first returns by the initial C 3 constant
of f and the sum of the squares of the lengths of the disjoint intervals
(whose lengths are all going to zero by Denjoy’s original theorem).
(3) Thus relative to coordinate systems of bounded non-linearity from the initial one the abstract circles are becoming closer and closer to projectively flat
and the renormalizations are becoming closer and closer to projective transformations with bounded non-linearity. This means that up to bounded nonlinearity smooth coordinate changes the renormalizations are converging to
rotations. Now KAM says that a positive measure cantor set of good rotation numbers in such a neighborhood implies smooth invariant measures. The
renormalizations are eventually inside such a KAM neighborhood and by the
ergodicity of the continued fraction transformation, their rotation numbers are
infinitely often in the cantor set of good rotation numbers for this neighborhood.
This is the view at a glance of Michel’s theorem — 1) renormalization puts
any diffeomorphism eventually near rotations and 2) starting with any set of
good numbers the renormalized rotation number visits the KAM set of positive
measure (specific constants) infinitely often.
Michel Herman was a great analyst and dynamicist whose mathematics was
an inspiration.

michael r. herman - Publications de la SMF

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