Ellipses

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Cours de Mathématiques
2005
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1. Définition bifocale
L’ellipse est le lieu géométrique de tous les points M dont la somme des distances à deux
points fixes F1 et F2 (foyers) est constante. M ∈ Ellipse ⇔
F1M + F2 M = 2a
2. Constructions
a. Construction du jardinier
Le jardinier plante deux pointes
dans le sol et y fixe une ficelle
de longueur plus grande que la
distance des deux pointes.
En faisant passer un outil de
jardinage le long de la ficelle, le
lieu marqué par cet outil est une
ellipse.
b. Mathématisation de cette méthode : Cercles concentriques
Construction auxilliaire
→
Sachant que MO + RN = 2a , on trace un arc de
cercle de centre H (1er foyer) et de rayon MO et un
arc de cercle de centre G (2me foyer) de rayon RN .
Les deux arcs de cercle se coupent en T et U. T et U
sont deux points de l’ellipse de foyers H et G.
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Beran -Coniques 3 ellipse.doc
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c. Construction de « Ritsche »
Lors de cette construction, on utilise
deux cercles concentriques (c et d) de
rayons respectifs a = 4 et b = 2 . Les
points d’intersection avec les axes A,
B, C, D sont quatre points de l’ellipse.
Pour construire un autre point de cette
ellipse, on trace une droite quelconque
passant par le centre E qui coupe le
cercle c en G et le cercle d en H. A
partir de G, on trace la parallèle à l’axe
des x et de H on abaisse la parallèle à
l’axe des y. Leur point d’intersection I
est un nouveau point de l’ellipse
recherchée.
Pour obtenir les foyers de cette ellipse, Il suffit de tracer un arc de cercle de centre C et de
rayon a. L’intersection de cet arc de cercle avec l’axe des x nous fournit les deux points J et
K, les deux foyers de cette ellipse.
3. Equations explicites et équation réduite d’une ellipse
Pour expliquer le procédé, nous allons nous limiter à l’illustration sur un exemple concret,
celui que nous avons construit auparavant : a = 5
Condition (Jardinier): F1M + F2 M = 2a = 10
avec F1 (−4;0) et F2 (4;0)
( x + 4) 2 + y 2 + ( x − 4) 2 + y 2 = 10
E résolvant cette équation d’après y , on trouve :
Equations explicites d’une ellipse :
3

2
avec 25 − x 2 ≥ 0 et 4 x − 25 ≤ 0
 y = 5 25 − x

 y = − 3 25 − x 2
avec 25 − x 2 ≥ 0 et 4 x − 25 ≤ 0

5
Par transformation de ces expressions :
3
9
y=±
25 − x 2 2
⇒
y2 =
25 − x 2
⇔
9 x 2 + 25 y 2 = 225
5
25
x2 y 2
+
=1
En divisant par 225 :
Equation réduite de l’ellipse :
25 9
x2 y 2
Remarque : En transformant les nombres, on trouve : 2 + 2 = 1 , avec a = 5 et b = 3 ,
5
3
les deux rayons des cercles utilisés pour la construction de Ritsche.
(
)
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4. Equation de la tangente à l’ellipse au point d’abscisse x0
Déterminons l’équation de la tangente à la partie supérieure de l’ellipse au point d’abscisse
x0 = −3 .
Soit t0 ≡ y = k ⋅ x + t l’équation de la tangente à cette courbe . Comme
12
12 
3

⇒ T  − 3;  est le
25 − x 2
(1) , obtient l’image de x0 = −3 : y0 =
5
5
5

point de contact de cette tangente.
En substituant dans l’équation de cette tangente :
12
12
12
= −3k + t ⇔
t = 3k +
⇒
t0 ≡ y = k ⋅ x + 3k +
(2)
5
5
5
y=
La résolution de ce système d’équations (1) et (2), nous mène à l’équation :
72
81
 2 9  2 6k ⋅ (5k + 4)
⋅ x − 9k 2 − k +
=0
− k − ⋅ x −
25 
5
5
25

Comme la tangente à une courbe ne touche cette courbe qu’en un seul point d’abscisse
x0 = −3 (dans notre cas), la solution unique d’une équation du second degré étant donnée
6k ⋅ (5k + 4)  2 9 
−b
: − k −  dont le
, ceci nous mène à l’équation en k : x0 = −3 =
2⋅5
25 
2a

9
15
. Par conséquent t =
et l’équation de la tangente à l’ellipse
résultat unique est k =
20
4
9
15
supérieure au point de contact T est donnée par : t0 ≡ y =
⋅ x + , équation que nous
20
4
pouvons contrôler graphiquement sur notre V200.
par x =
5. En général :
x2 y2
+
=1
a 2 b2
de foyers : F1 ( − c ; 0 ) et F1 ( c ; 0 ) , avec a 2 − b 2 = c 2
(ou b 2 − a 2 = c 2 dans le cas où l’ellipse est tournée vers le haut.)
Equation réduite d’une hyperbole :
Exercice d’application pratique : Distance de la Terre au Soleil
La deuxième loi de Kepler énonce que toute planète tourne autour du Soleil en décrivant une
ellipse, dont le Soleil occupe un des foyers. La trajectoire de la Terre tournant autour du Soleil est
donc une ellipse. Sachant que la longueur du grand axe est égale à 3 ⋅108 km, et que l’excentricité
est 0,017, on se propose de calculer la distance maximale Terre-Soleil et la distance minimale.
La place St-Pierre à Rome
La forme de cette place est une
ellipse parfaite et les deux foyers y
sont marqués par les deux fontaines.
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