L`ellipse
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L’ellipse 1. Définitions et propriétés Définition Une ellipse est l’ensemble des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ est une constante supérieure à FF’. En désignant l’ellipse par (E) et par 2 a la constante donnée, on a : M ∈ (E) MF + MF’ = 2 a Les points F et F’ sont appelés les foyers de (E). Propriété 1 Toute ellipse de foyers distincts F et F’ admet deux axes de symétrie et un point de symétrie. Les deux axes sont la droite (FF’) et la médiatrice du segment [FF’]. Le centre de symétrie est le milieu de [FF’] La droite (FF’) est l’axe focal de (E). Le réel positif FF’ = 2 c est la distance focale. La médiatrice du segment [FF’] est l’axe non focal de (E). Le réel positif AA’ = 2 a est le grand axe de (E). Le réel positif BB’ = 2 b est le petit axe de (E). Les points A, A’, B et B’ sont les sommets de (E) Propriété 2 Tout point d’une ellipse de foyers distincts et de grand axe 2 a (a > 0) est le centre d’un cercle passant par l’un des foyers et tangent au cercle de centre l’autre foyer et de rayon 2 a. Le cercle de centre un foyer et de rayon 2a est appelé cercle directeur relatif à ce foyer. Le cercle de centre O, centre de l’ellipse, et de rayon a est appelé cercle principal de l’ellipse. Celui de centre O et de rayon b (b<a et b2 = a2 – c2 ) est appelé cercle secondaire de l’ellipse. ellipse.odt 1/3 LPCC Remarque Le cercle principal est l’image du cercle directeur d’un foyer par l’homothétie de centre l’autre foyer et de rapport 1 2 2. Équation réduite d’une ellipse Théorème 1 Soit (E) une ellipse de centre O, de grand axe AA’ = 2 a, de petit axe BB’ = 2 b et de distance focale FF’ = 2 c . On rapporte le plan à un repère orthonormé O; i , j tel que les vecteurs i et OF soient colinéaires et de même sens et on considère un point de coordonnées ( x ; y ) dans ce repère. x2 y2 =1 . C’est l’équation réduite de (E). a2 b2 On a F (c ; 0 ) F’ ( –c ; 0) A ( a ; 0 ) A’ ( –a ; 0 ) B ( 0 ; b) B’ (0 ; –b) On a alors : M ∈ (E) Théorème 2 Le plan étant rapporté à un repère orthonormé O; i , j , on considère 2 2 x y l’ellipse (E) d’équation réduite 2 2 =1 . a b x x0 y y0 2 =1 (E) admet en tout point M0 ( x0 ; y0 ) une tangente d’équation a2 b 3. Propriétés des tangentes à une ellipse Théorème 1 En tout point M d’une ellipse de foyers F et F’, la tangente porte la bissectrice extérieure du secteur [MF,MF’]. ellipse.odt 2/3 LPCC Remarque La normale à (E) en M est la perpendiculaire à la tangente à (E) en M. Cette normale porte la bissectrice intérieure du secteur [MF,MF’]. Théorème 2 Dans une ellipse, le symétrique d’un foyer par rapport à une tangente appartient au cercle directeur relatif à l’autre foyer. Théorème 3 Le projeté orthogonal d’un foyer sur une tangente à une ellipse appartient au cercle principal de cette ellipse. 4. Représentation paramétrique d’une ellipse Théorème Le plan étant rapporté à un repère orthonormé O; i , j , on considère l’ellipse (E) d’équation réduite x2 y2 =1 . a2 b2 x=a cos Une représentation paramétrique de (E) est (ϕ ∈ ℝ). y=b sin { Pour retrouver plus d'explications visiter le site : http://maths.edunet.tn/espaceleve/elpsdef.htm ellipse.odt 3/3 LPCC