LEÇON N˚ 49 : Définitions de l`ellipse, géométriquement et par

LEÇON N˚ 49 :
Définitions de l’ellipse, géométriquement
et par équation réduite ; équivalence entre
ces définitions.
Pré-requis :
– Propriétés du barycentre de deux points ;
– Projections (orthogonale et selon une direction) ;
– Réflexions et propriétés.
On se place dans un plan affine euclidien P.
49.1
Définition monofocale
49.1.1 Définition
Définition 1 : Soient F ∈ P, D une droite ne contenant pas F et e ∈ ]0, 1[ un
réel. On appelle alors ellipse de foyer F , de direction associée D et d’excentricité e
l’ensemble E = {M ∈ P | M F = eM H}, où H est le projeté orthogonal de
M sur D. On la note E (F, D, e).
H
b
M
b
F
D
49.1.2 Axe focal, sommets
Définition 2 : Si K désigne le projeté orthogonal de F sur D, la droite ∆ = (KF ) est appelée axe
focal de l’ellipse E (F, D, e).
Proposition 1 : ∆ coupe E (F, D, e) en deux points A et A′ tels que
−→
FA =
e
e+1
−
−
→
FK
et
−−→′
FA =
e
e−1
−
−
→
F K.
−−→
−−→ −−→
démonstration : Soit M ∈ E ∩∆. Alors M F = eM H ⇔ M F 2 = e2 M H 2 ⇔ (M F +eM H)(M F −
−−→
eM H) = ~0. Puisque M, F et H sont alignés sur ∆, H = K, et l’égalité précédente est équivalente à
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
M F ± eM K = ~0 ⇔ M F ± eM F ± eF K = ~0 ⇔ (1 ± e)M F = ±eKF . Cette égalité détermine
−
−
→
−→
−−→
−−→
ainsi les deux points A et A′ , tels que (1 + e)AF = eKF et (1 − e)A′ F = −eKF , c’est-à-dire
−→
FA =
e −−→
FK
e+1
et
−−→′
FA =
e −−→
F K.
e−1
2
Ellipse : définitions
Définition 3 : A et A′ sont appelés sommets de E . Il en résulte que E n’est pas vide.
Remarques 1 : Si O est le milieu de [AA′ ], alors :
−−→ −→
⋄ OF = OA.
démonstration : En effet, on a que
−−→′ −→ −−→′
−−→
e −−→
e −−→
2e
AA = AF + F A = −
FK +
FK =
FK
e+1
e−1
(1 + e)(1 − e)
−→ −→
e −−→ −→
1 − e −−′→
AA=
⇔
F K = F A ⇔ (1 − e)OA = F A
2
e+1
−→ −→ −→
−−→
−→
⇔ −eOA = F A − OA ⇔ OF = eOA.
−−→ 1 −→
⋄ OK = OA.
e
démonstration : D’après ce qui précède, on a que
−−→′
−−→
−→
2e
e −−→
AA = −
F K ⇔ (e − 1)OA = −
FK =
(e + 1)(e − 1)
e+1
e − 1 −−→ 1 −→ −−→
⇔
OF = F A − F K
e
e
−−→ 1 −→
−−→ −−→ 1 −−→ 1 −→
⇔ OF + F K = OF + F A ⇔ OK = OA.
e
e
e
−−→
1
− 1 FK
e+1
49.1.3 Symétries
Proposition 2 : La médiatrice de [AA′] et ∆ sont axes de symétrie de E et O en est centre de symétrie.
démonstration :
⋄ Soit M ∈ E . On a donc M F = eM H. Comme F ∈ ∆, s∆ (F ) = F , et en notant M ′ = s∆ (M ), il
vient que M F = M ′ F . Or s∆ (H) = H ′ , où H ′ est le projeté orthogonal de M ′ sur D, puisque s∆
conserve le parallélisme et l’orthogonalté. Donc M ′ H ′ = M H, et donc M ′ F = M F = eM H =
eM ′ H ′ ⇒ M ′ ∈ E . Ainsi s∆ (E ) ⊂ E , d’où s∆ (E ) = E car s∆ est involutive.
⋄ (les chiffres encadrés rouges renvoient à la construction correspondant sur calculatrice : figure cidessous) Soit d la médiatrice de [AA′ ], et notons M ′′ = sd (M ). Montrons que M ′′ F = eM ′′ H. On
considère la projection p sur (F H) ( 1 ) parallèlement à D. On a alors p(F ) = F et p(K) = H.
Posons B = p(A) ( 2 ) et B ′ = p(A′ ) ( 3 ). Puisque p conserve le barycentre, on a (grâce à
la proposition 1) que A = bar{(F, 1), (K, e)} ⇒ B = bar{(F, 1), (H, e)}, et de même B ′ =
bar{(F, 1), (H, −e)}. H étant fixé, le lieu des points N ∈ P tels que N F = eN H est le cercle
de diamètre [BB ′ ] (ligne de niveau). Comme M F = eM H (puisque M est supposé être sur E ),
M est un point de ce cercle ( 5 ). Désignons alors par Ω ( 4 ) son centre, de sorte que p(0) = Ω.
Donc d porte un diamètre de ce cercle. Par conséquent, M ′′ = sd (M ) est sur ce cercle et vérifie
donc M ′′ F = eM ′′ H, d’où M ′′ ∈ E ( 7 ). On a donc sd (E ) ⊂ E , c’est-à-dire sd (E ) = E car
sd ◦ sd = IdP .
Ellipse : définitions
3
illustration
démonstration à la calculatrice
d
M
∈E
D
8
H
b
bc
D
1
M
′′
bc
7
bc
b
bc
B
O
A′
b
F
b
qp
b
b
B
K
b
∆
O
A′
b
A
bc
M′
b
H′
qp
B
b
b
2
A
4
qp
Ω
F
b
H
qp
6
∆
b
K
qp
5
3
Ω
qp
′
B′
en noir, ce qui est donné par hypothèses
en rouge, ce qui est successivement construit
⋄ sO = sd ◦ s∆ = s∆ ◦ sd , d’où le résultat.
Remarque 2 : Voici ce que cela donne en faisant la construction à la calculatrice :
Cette construction prouve en même temps la proposition ci-dessus, et impressionnera certainement le jury (si le temps
permet de la faire. . .).
Pour la réaliser, il faut d’abord construire les points A et A′ , puis la droite ∆. Construire le milieu O de [AA′ ], puis
choisir un point F ∈ [OA] tel que OF ≈ 2/3 OA et un point K ∈ (OA) tel que OK ≈ 3/2 OA. Construire alors la
perpendiculaire D à ∆ en K, et y construire un point H. Le reste de la construction est donnée par la démonstration
précédente.
Proposition 3 : Toute ellipse possède deux foyers et deux directrices symétriques par rapport à d.
démonstration : Soient F ′ = sf (F ) et D ′ = sd (D). Notons que H ′ = sd (H) est aussi le projeté
orthogonal de M sur D ′ puisque sd conserve le parallélisme et l’orthogonalité. Soit M ∈ E (F, D, e).
On veut montrer que M ∈ E (F ′ , D ′ , e). On a M F = eM H et M ′ F = eM ′ H car M ′ = sd (M ) ∈
E (F, D, e). Or M ′ F = sd (M ′ )sd (F ) = M F ′ et M ′ H = M H ′ , d’où M F ′ = eM H ′ , et M ∈
E (F ′ , D ′ , e).
4
Ellipse : définitions
49.2
Définition par équation réduite
Théorème 1 : Soit E (F, D, e) une ellipse. Il existe deux réels a, b (tels que 0 < b < a) et un repère
~
orthonormé (O,~ı, jmath)
tels que E admette pour équation réduite
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
(⋆)
démonstration : O, F, A, K étant alignés dans cet ordre sur ∆, la remarque 1 nous assure que
OF = eOA et OA = eOK. Posons alors a = OA et c = OF . On a alors c = ea et OK = ae .
−−→
Choisissons alors O pour origine du repère, ~ı tel que OF = c~ı et ~ unitaire orthogonal à ~ı. Dans le
2
~
repère (O,~ı, jmath),
D a pour équation x = ae = ac , et par suite, si M a pour coordonnées (x, y),
alors
2
a2
2
2
2
2
2
2
M ∈ E ⇔ MF = e MH
⇔ (x − c) + y = e x −
c
2
2
a −c
x2 + y 2 = a2 − c2
⇔ x2 (1 − e2 ) + y 2 = −c2 + a2 ⇔
a2
y2
x2
+
= 1.
⇔
a2
a2 − c2
La dernière équivalence s’explique du fait que e < 1 ⇒ c < a ⇒ a2 − c2 > 0. En posant b2 = a2 − c2 ,
nous trouvons le résultat voulu.
Remarque 3 : L’équation (⋆) permet de retrouver les éléments de symétrie.
Notations : c = "demi-distance focale" ; a = "demi-grand axe" et b = "demi-petit axe".
49.3
Liens
Le théorème précédent montre que les éléments géométriques d’une ellipse peuvent être caractérisés de manière analytique. Proposons maintenant le raisonnement inverse :
~
Théorème 2 : Soient 0 √
< b < a. La courbe d’équation (⋆) dans un repère orthonormé (O,~ı, jmath)
est
2
2
une ellipse de foyer F ( a − b , 0), de directrice D et d’excentricité e telles que
√
a2
a2 − b2
D :x= √
.
et
e=
a
a2 − b2
√
démonstration : On pose c = a2 − b2 et e = ac . Alors la démonstration du théorème précédent nous
assure que
x2 y 2
+ 2 = 1 ⇔ M F 2 = e2 M H 2 ⇔ M ∈ E
a2
b
2
dès que F (c, 0) et D : x = a /c, d’où le résultat.
Tracé : Une ellipse E d’équation réduite (⋆) s’obtient par la réunion des courbes représentatives de
x 7−→ ±
b p 2
a − x2 .
a
Ellipse : définitions
49.4
5
Définition bi-focale
Proposition 4 : Soient a, c avec a > c > 0 donnés, et F, F ′ ∈ P tels que F F ′ = 2c. Alors
{M ∈ P | M F + M F ′ = 2a}
est une ellipse de foyers F et F ′.
démonstration : On se place dans le repère orthonormé (O,~ı, ~) tel que O soit le milieu de [F F ′ ] et
−−→
OF = c~ı. Soient D la droite d’équation x = a2 /c et M (x, y) ∈ P. Alors
M F + M F ′ = 2a ⇒ (M F + M F ′ − 2a)(M F + M F ′ + 2a) = 0 ⇔ (M F + M F ′ )2 − 4a2 = 0
⇒ [(M F + M F ′ )2 − 4a2 ] [(M F − M F ′ ) − 4a2 ] = 0
⇒ (M F 2 + M F ′2 − 4a2 ) − 4(M F · M F ′ )2 = 0
2
⇒ [(x − c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2 − 4a2 ] − 4[(−x − c)2 + y 2 ][(x + c)2 + y 2 ] = 0
2
⇒ (2x2 + 2y 2 + 2c2 − 4a2 ) − 4(x2 + y 2 + c2 − 2xc)(x2 + y 2 + c2 + 2xc) = 0
2
2
⇒ (x2 + y 2 + c2 ) + 4a4 − 4a2 (x2 + y 2 + c2 ) − (x2 + y 2 + c2 ) + 4x2 c2 = 0
x2 y 2
⇒ x2 (a2 − c2 ) + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ) ⇒ 2 + 2 = 1,
a
b
avec b2 = a2 − c2 > 0. Réciproquement, si M est un point de l’ellipse de foyers F et F ′ , de
directrices D et D ′ , de demi-grand axe a et de demi-distance focale c, alors
MF
=e
MH
et
MF ′
= e,
M H′
avec H et H ′ projetés orthogonaux de M respectivement sur D et D ′ . On en déduit que M F +
M F ′ = e(M H +M H ′ ), et puisque tout point de E se trouve entre D et D ′ , on a M H +M H ′ =
2
HH ′ = 2 ac . D’où
c a2
′
= 2a.
MF + MF = 2
a c
Conséquence : Une autre construction d’une ellipse point par point : une ellipse définie par E = {M ∈ P | M F +
M F ′ = 2a} se construit en prenant les intersections de deux cercles de centres respectifs F et F ′ , de rayons r et r′
tels que r + r′ = 2a.
Ces deux cercles se coupent dès que |r − r′ | 6 F F ′ , c’est-à-dire lorsque r et r′ sont compris entre a − c et a + c. Il
suffit donc de faire varier r entre a − c et a + c pour avoir autant de points que l’on veut !
Cette construction s’appelle aussi la « construction du jardinier » car l’ellipse se construit dans la pratique (par exemple
au tableau avec un lacet. . .) selon la méthode ci-dessous :