Fonctions circulaires et hyperboliques

Fonctions circulaires et hyperboliques
Propriétés trigonométriques : remplacer cos par ch et sin par i. sh.
cos(a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b
cos(a − b) = cos a. cos b + sin a. sin b
sin(a + b) = sin a. cos b + sin b. cos a
sin(a − b) = sin a. cos b − sin b. cos a
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a. tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a. tan b
ch(a + b) = ch a. ch b + sh a. sh b
ch(a − b) = ch a. ch b − sh a. sh b
sh(a + b) = sh a. ch b + sh b. ch a
sh(a − b) = sh a. ch b − sh b. ch a
th a + th b
th(a + b) =
1 + th a. th b
th a − th b
th(a − b) =
1 − th a. th b
cos 2a = 2. cos2 a − 1
= 1 − 2. sin2 a
= cos2 a − sin2 a
sin 2a = 2. sin a. cos a
2 tan a
tan 2a =
1 − tan2 a
ch 2a = 2. ch2 a − 1
1
[cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sin a. sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
sin a. cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]
2
cos a. cos b =
cos p + cos q
cos p − cos q
sin p + sin q
sin p − sin q
p+q
p−q
= 2. cos
. cos
2
2
p+q
p−q
= −2. sin
. sin
2
2
p+q
p−q
= 2. sin
. cos
2
2
p−q
p+q
= 2. sin
. cos
2
2
= 1 + 2. sh2 a
= ch2 a + sh2 a
sh 2a = 2. sh a. ch a
2 th a
th 2a =
1 + th2 a
1
[ch(a + b) + ch(a − b)]
2
1
sh a. sh b = [ch(a + b) − ch(a − b)]
2
1
sh a. ch b = [sh(a + b) + sh(a − b)]
2
ch a. ch b =
p+q
p−q
. ch
2
2
p+q
p−q
ch p − ch q = 2. sh
. sh
2
2
p+q
p−q
sh p + sh q = 2. sh
. ch
2
2
p−q
p+q
sh p − sh q = 2. sh
. ch
2
2
ch p + ch q = 2. ch

cos x =
x
avec t = tan
sin x =
2

tan x =
1−t2
1+t2
2t
1+t2
2t
1−t2
Dérivées : la multiplication par i
1
cos2 x
−1
cotan0 x = −1 − cotan2 x =
sin2 x
tan0 x = 1 + tan2 x =
−1
1 − x2
1
Arcsin0 x = √
1 − x2
1
Arctan0 x =
1 + x2
−1
Arccotan0 x =
1 + x2
1+t2
1−t2
2t
1−t2
2t
1+t2
n’est plus valable
ch0 x = sh x
sh0 x = ch x
cos0 x = − sin x
sin0 x = cos x
Arccos0 x = √

ch x =
x
avec t = th
sh x =
2

th x =
(|x| < 1)
(|x| < 1)
1
ch2 x
−1
coth0 x = 1 − coth2 x = 2
sh x
th0 x = 1 − th2 x =
Argch0 x = √
1
(x > 1)
x2 − 1
1
Argsh0 x = √
x2 + 1
1
Argth0 x =
(|x| < 1)
1 − x2
1
(|x| > 1)
Argcoth0 x =
1 − x2