sujet du bac STI génie électronique génie électrotechnique

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sujet du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique la réunion 2006
Bac Technologique - Sciences et Technologies
Industrielles
Génie électronique - Génie électrotechnique Génie optique
La Réunion - Session 2006
Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront
pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est
autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les
constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des
calculatrices sont interdits.
(circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures
4,5 points
exercice 1
est l'ensemble des nombres complexes et i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument .
1. Résoudre dans l'ensemble
l'équation : z² - 4z + 16 = 0.
2. On considère les nombres complexes : z1 = 2 + 2
a) Déterminer le module et un argument de z1.
b) Ecrire z1, puis z2 sous forme exponentielle.
i
et
z2 = 2 - 2
i.
3. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct
d'unité 1 cm.
On considère la rotation r de centre O et d'angle
.
a) Placer les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2 dans le repère
b) Montrer que le point M2 est l'image du point M1 par la rotation r.
c) On appelle M3 le point image du point M2 par la rotation r.
Calculer l'affixe z3 du point M3.
Placer le point M3 dans le repère
.
d) Démontrer que le triangle M1M2M3 est équilatéral.
.
6
4. Vérifier que les nombres complexes (z ) et
On utilisera la forme z1 et z2 la plus adaptée.
sont des entiers naturels.
1
4,5 points
Fiche issue de http://www.ilemaths.net
1
exercice 2
I. On considère l'équation différentielle : (E0) : y'' + 4y = 0 où y désigne une fonction de la variable t, définie
et deux fois dérivables sur l'ensemble des nombres réels, et y'' sa dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation (E0).
2. Déterminer la solution particulière de (E0) vérifiant :
où désigne la dérivée de la fonction .
3. Montrer que pour tout réel t,
4. Calculer la valeur moyenne de
;
peut s'écrire sous la forme :
sur l'intervalle
.
II. On considère maintenant l'équation différentielle : (E1) : y'' + 4y = 3 sin t
où y désigne une fontion de la variable réelle t, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble
dérivée seconde.
1. Montrer que si une fonction g est solution de l'équation (E0), alors la fonction h définie sur
g(t) + sin t est solution de l'équation (E1).
, et y'' sa
par : h(t) =
2. Donner une solution particulière, ne s'annulant pas pour t = 0, de l'équation (E1).
11 points
probleme
Sur l'annexe, on donne, dans le plan muni d'un repère orthonormal
définie sur l'intervalle ]2 ; + [.
, la courbe
d'une fonction ,
2
Annexe : courbe de la fonction
Partie A : Détermination de la fonction
On suppose que la courbe
passe par le point A de coordonnées
La droite D d'équation = 2 est une asymptote verticale à la courbe
On note la fonction dérivée de .
1. Quelle est la valeur exacte de
.
.
?
2. Donner sans justification la limite de la fonction
en 2.
3. On suppose que, pour tout réel de l'intervalle ]2 ; + [,
En utilisant la réponse de la question 1, déterminer algébriquement le nombre a.
.
Partie B : Etude de la fonction
On admet que la fonction
est définie sur l'intervalle ]2 ; + [ par :
.
1. a) Retrouver par le calcul la limite de la fonction
b) Montrer que, pour tout réel de l'intervalle ]2 ;
c) En déduire la limite de la fonction en + .
en 2.
[,
3
2. Démontrer que la droite
sur l'annexe.
d'équation y =
est une asymptote oblique à la courbe
en + . Tracer
3. a) Calculer
et montrer que pour tout réel de l'intervalle ]2 ; + [,
b) Etudier le signe de
sur l'intervalle ]2 ; + [.
c) Dresser le tableau de variation dela fonction sur l'intervalle ]2 ; + [.
.
4. a) Montrer que l'équation
admet une solution unique dans l'intervalle [2,1 ; 3] et une solution
unique dans l'intervalle [9 ; 10].
b) Déterminer un encadrement d'amplitude 10-1 de chacune des solutions et .
Partie C : Calcul d'aire
1. On considère les fonctions h et H définies sur l'intervalle ]2 ; + [ par
.
a) Montrer que la fonction H est une primitive de la fonction h sur l'intervalle ]2 ; + [.
b) En déduire une primitive de la fonction sur l'intervalle ]2 ; + [.
et
2. On considère le domaine du plan compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation
= 3 et = 9.
a) Hachurer le domaine sur le graphique de l'annexe.
b) On note la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine . Exprimer sous la forme d'une intégrale.
c) Calculer la valeur exacte de , puis en donner une valeur approchée à 10-1 près.
Correction
exercice 1
1. Résolution de l'équation z² - 4z + 16 = 0 :
donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées :
2. a) Module de z1 :
4
On appelle
un argument du nombre complexe z1.
2. b) La forme exponentielle d'un nombre complexe z de module
et d'argument est :
Donc :
Les nombres complexes z1 et z2 sont conjugués, ils ont donc le même module et des arguments opposés, donc
:
3. a)
3. b) Soit M un point d'affixe z et M' son image, d'affixe z', par la rotation r de centre O et d'angle
. On a :
Donc l'affixe de l'image du point M1 est donnée par :
Donc M2 est bien l'image de M1 par la rotation r.
3. c) M3 est l'image de M2 par la rotation r donc :
5
3. d) Calcul des longueurs M1M2, M1M3 et M2M3 :
donc le triangle M1M2M3 est équilatéral.
4. On utilise les formes exponentielles.
Donc
et
sont des entiers naturels.
exercice 2
I. 1. Résolution l'équation différentielle (E0) :
Donc :
Rappel : les solutions de l'équation différentielle
sont données par :
6
où A et B sont deux réels quelconques.
2. Recherche de la solution particulière
On a :
Donc :
vérifiant les deux conditions initiales :
Donc, la solution de (E0) vérifiant les deux conditions initiales est donnée par :
3. On utilise la formule d'addition :
Donc, on a bien :
4. Calcul de la valeur moyenne :
Soit F une primitive de
:
Donc la valeur moyenne sur cet intervalle est ègale à .
7
II. 1. Soit
On a donc :
Donc :
Or g est solution de (E0) donc
donc :
Donc h est bien solution de l'équation différentielle (E1).
2. Soit la fonction h définie par :
Donc
où
est la fonction trouvée dans la partie précédente.
est une solution de l'équation (E ) ne s'annulant pas pour t = 0.
1
probleme
Partie A : Détermination de la fonction
1. La courbe passe par le point A de coordonnées
donc
2.
(Graphiquement, on voit que la courbe " monte à l'infini " contre l'asymptote verticale
.)
3. Détermination du nombre a :
8
Partie B : Etude de la fonction
1. a) Limite en 2 :
1. b) On utilise la propriété suivante :
Donc :
Donc :
1. c) Limite de
en +
:
On a :
Or :
Donc :
Donc :
On a donc :
2. Asymptote oblique :
Donc la droite
d'équation
est une asymptote oblique à la courbe
en + .
9
3. a) Calcul de la dérivée :
3. b Etude du signe de
:
Valeurs interdites (valeurs qui annulent le dénominateur) :
Mais 1 et 2 n'appartiennent pas à l'intervalle
donc pas de valeurs interdites pour .
donc le numérateur de
Donc
Le numérateur
est du signe du coefficient de
admet 2 racines réelles disctinctes :
, donc positif, en dehors des racines.
10
3. c) Du signe de la dérivée, on déduit les variations de la fonction :
4. a) Existence et unicité des solutions :
la fonction est dérivable sur [2,1 ; 3] ;
la fonction est strictement décroissante sur [2,1 ; 3] ;
;
donc l'équation
admet une solution unique dans l'intervalle [2,1 ; 3].
La fonction est dérivable sur [9 ; 10] ;
la fonction est strictement croissante sur [9 ; 10] ;
;
donc l'équation
admet une solution unique
dans l'intervalle [9 ; 10].
4. b) Encadrement des solutions :
Partie C : Calcul d'aire
1. a) Dérivation de
On pose :
:
Donc :
Donc :
11
De même :
Donc :
Donc H est une primitive de h.
1. b) Détermination d'une primitive F de la fonction
:
On a :
Donc :
2. a) Voir figure
2. b) D'après l'étude des variations de la fonction et les valeurs de
tout
. Donc l'aire est donnée, en unités d'aires, par :
2. c) Calcul de
et , on en déduit que
pour
:
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