Correction des systèmes linéaires continus asservis (2)
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Correction des systèmes linéaires continus asservis (2)
UV Automatique Cours 7 Correction des systèmes linéaires continus asservis (2) ASI 3 Automatique 1 Contenu q Exemples de synthèse de correcteurs dans le domaine fréquentiel u Correcteur PI et retard de phase u Correcteur à avance de phase u Correcteur PID q Méthodes empiriques de réglage des correcteurs u Méthode de Ziegler-Nichols u Méthode de Broïda q Techniques de correction parallèle et par anticipation Automatique 2 Exemple : synthèse d'un correcteur PI q Système asservi yc +- ε C(s) H(s) y H (s) = K (1 + Ts )2 T =1 C ( s) = ? q Cahier de charges § Erreur statique nulle § Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0], q Eléments de réglage Système non corrigé est de classe 0 ⇒ introduction d'un intégrateur en BO ⇒ utilisation d'un correcteur PI Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4 Automatique 3 Exemple : synthèse d'un correcteur PI q Réponses fréquentielles 50 A m plitude (dB) Réglage de PI 0 H BONC -50 PI -100 -2 10 10 -1 10 0 10 1 10 2 0 Phase (°) -60 mϕ=60° PI -180 10 1 ωc 0 ≤ Ti 10 HBONC -120 -2 Automatique 10 Le correcteur PI est placé de façon à ne pas modifier sensiblement le réglage de la marge de phase -1 10 0 10 1 10 2 4 Exemple : synthèse d'un correcteur PI q Réponse fréquentielle du système corrigé 50 Amplitude (dB) §Le diagramme de gain 0 de HBOC a une pente de –1 aux basses fréquence ⇒ annulation erreur statique HBONC -50 HBOC -100 -2 10 10 -1 10 0 10 1 10 2 0 Phase (°) -50 -100 HBONC -150 HBOC -200 -2 10 Automatique 10 -1 § Le correcteur PI a modifié légèrement le réglage de la marge de phase 10 0 10 1 10 2 5 Exemple : synthèse d'un correcteur PI q Réponse temporelle du système asservi 1.2 1 εp 0.8 0.6 S a n s c o rre c t e u r P I 0.4 A v e c c o rre c teur PI 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 § Le correcteur PI a annulé l'erreur statique § La réponse est lente pour atteindre la valeur de consigne. Pour y remédier, on baisse Ti mais cela modifiera le réglage de la marge de phase Automatique 6 Exemple : correcteur à retard de phase Reprenons l'exemple précédent q Cahier des charges § Erreur statique de 5% § Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0], q Réglage du correcteur à retard de phase § Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4 1 = 20% § Erreur statique pour K=4 : ε p = 1+ K § FT du correcteur : C ( s ) = b 1 + Tc s 1 + bT cs 1 + Tc s ⇒ H BOC = Kb (1 + bTc s )(1 + Ts ) 2 1 ⇒εp = = 5% ⇒ b = 4.75 1 + Kb Automatique 7 Exemple : correcteur à retard de phase (RP) q Réponses fréquentielles Amplitude (dB) 20 0 Réglage du RP -20 H BONC -40 RP -60 -80 -2 10 10 -1 10 0 10 1 10 2 0 1 ωc 0 ≤ Tc 10 Phase (°) -60 H BONC -120 Le correcteur à RP est placé de façon à ne pas modifier le réglage de la marge de phase m ϕ =60° RP -180 10 -2 Automatique 10 -1 10 0 10 1 10 2 8 Exemple : correcteur à retard de phase (RP) q Réponse fréquentielle du système corrigé 40 Amplitude (dB) 20 §Le diagramme de gain 0 -20 H BONC -40 -60 -80 -2 10 H BOC 10 -1 10 0 10 1 10 2 de HBOC a subi, aux basses fréquences, une translation de 20log10b par rapport à celui de HBONC 0 Phase (°) -50 -100 H BONC -150 H BOC -200 -2 10 10 Automatique -1 § Légère modification de la marge de phase 10 0 10 1 10 2 9 Exemple : correcteur à retard de phase (RP) q Réponse temporelle du système asservi 1.2 εpc 1 εp 0.8 0.6 Sans correcteur PI 0.4 Avec correcteur PI 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 § Le correcteur à RP a diminué l'erreur statique §La réponse est un peu lente pour atteindre la Automatique valeur de consigne 10 Correcteur à avance de phase H BONC ( s ) = 100 K s (1 + τs ) C (s) = K c 1 + aTs 1 + Ts 100 Amplitude (dB) 50 0 50 C 50 HBONC 10 -1 10 ωc 0 0 HBOC 10 2 -50 10 3 Phase (°) -100 -2 10 -1 10 ϕc,max 0 10 1 10 2 10 3 10 Phase (°) -80 0 -100 -50 -120 -100 -140 mϕ -150 -200 -2 10 Amplitude (dB) 0 -50 -100 -2 10 H BOC ( s ) = H BONC ( s )C ( s ) -160 -1 10 Automatique 0 10 ωc0 2 10 3 10 -180 -2 10 mϕ -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 11 Exemple : correcteur PID q Système asservi yc +- ε C(s) H(s) y H ( s) = K s 2 + 2ξωn s + ωn2 ξ = 0.2, ωn = 3rad/s, K = 300 q Cahier de charges § Erreur statique nulle § Dépassement de 10% § Temps de montée de 0.277s q Analyse du système à asservir ξ = 0.2 ⇒ D% = 53% Le système à asservir a un comportement très oscillatoire Automatique 12 Exemple : correcteur PID q Réponse fréquentielle du système à asservir Bode Diagrams 50 Gm = Inf, Pm=2.303° (at 17.4 rad/sec) Magnitude (dB) 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 0 -20 Phase (deg); -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -1 10 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) Marge de gain satisfaisante mais marge de phase très petite Automatique 13 Exemple : correcteur PID q Eléments de réglage du correcteur § Compte tenu du cahier des charges (erreur statique nulle, dépassement de 10%) et des caractéristiques du système (D=53%), on utilise un PID § FT du correcteur ' s )(1 + T ' s ) T ( 1 + 1 i d C ( s ) = K c 1 + + Td s ⇒ C ( s ) = K c' Ti' s Ti s § Traduction du cahier de charges DBF % = 10% ⇒ ξ BF = 0.6 ξ BF = 0.6 ⇒ ωn, BF t m = 2.77 ⇒ ωn, BF = 10rad/s Formules d'approximation mϕ = 100ξ BF ⇒ mϕ = 60° Automatique ωc 0 = ω n, BF = 10rad/s 14 Exemple : correcteur PID q Eléments de réglage du correcteur § FT du système corrigé en BO ' s )(1 + T ' s ) + ( 1 T K i d H BOC ( s ) = C ( s ) H ( s ) = K c' 2 s + 2ξωn s + ωn2 Ti' s § Paramètres du correcteur 1 ωc 0 ' = 1s ≤ ⇒ T i Ti' 10 mϕ = π − π π + arctan(ωc 0Ti' ) + arctan(ωc 0Td' ) + ϕ BONC (ωc 0 ) = 2 3 Td' = 0.19s C ( jωc 0 ) H ( jωc 0 ) = 1 ⇒ K c' = 0.2 Automatique 15 Exemple : correcteur PID q Réponses fréquentielle et temporelle du système corrigé Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=60.085° (at 10 rad/sec) 1.4 Magnitude (dB) 80 60 1.2 40 20 1 0 -20 0.8 -40 Phase (deg); -50 0.6 -100 0.4 -150 0.2 -200 -2 10 10 -1 10 0 10 1 10 2 0 0 1 2 3 4 5 Frequency (rad/sec) Automatique 16 Méthode de Ziegler-Nichols q Principe Détermination du réglage d'une correction P, PI, PID associée à un système sans connaissance précise de la FT du système q Approche 1 : système stable en boucle ouverte Si le système admet une réponse indicielle apériodique, on caractérise le système par un modèle simplifié identifié ci-dessous E0 Tangente au point d’inflexion M α Tr Automatique L Intégrateur avec retard a H ( s ) = e −Tr s s a = tan(α ) Tr et a s'obtiennent à partir du tracé de la tangente au point d'inflexion M 17 Méthode de Ziegler-Nichols q Approche 2 : système instable en boucle ouverte On étudie le comportement du système en boucle fermé avec un correcteur proportionnel de gain k. On augmente le gain k jusqu'à l'obtention d'oscillations entretenues : c'est le phénomène de pompage Phénomène de pompage Schéma d'asservissement E +- ε k Processus y Le phénomène de pompage est caractérisé par le gain limite kosc et la période des oscillations Tosc. Automatique Tosc 18 Méthode de Ziegler-Nichols q Réglage des paramètres des correcteurs A partir des paramètres identifiés précédemment, Ziegler et Nichols ont proposé des réglages qui assurent un dépassement de 30 à 50% de la réponse indicielle du système en BF Correcteurs C(s) Kc P PI 1 + Ti s Kc Ti s Essai indiciel en BO (a, Tr) Kc = 0 .9 Kc = aTr 1 .2 K = c 1 aTr K 1 + + T s PID c d Ti s Ti = 2Tr Automatique 1 aTr Ti = 3.3Tr Essai de pompage (kosc, Tosc) K c = 0.5k osc K c = 0.45k osc Ti = 0.83Tosc K c = 0.6k osc Ti = 0.5Tosc Td = 0.5Tr Td = 0.125Tosc 19 Autres méthodes de réglage simplifié a q Réglage type d'un système intégrateur avec retard H ( s ) = e −Tr s s Correcteur P PI PID série PID mixte Paramètres 0.8 aTr Kc Ti Td § PID série (1 + Ti s )(1 + Td s ) Kc Automatique Ti s 0.8 aTr 0.85 aTr 0 .9 aTr 5Tr 4.8Tr 5.2Tr 0.4Tr 0.4Tr § PID mixte 1 K c 1 + + Td s Ti s 20 Autres méthodes de réglage simplifié q Réglage type d'un système 1er −Tr s ae ordre avec retard H ( s ) = 1 + τs Si le système admet une réponse indicielle apériodique en BO, on identifie un modèle du système sous la forme d'un 1er ordre avec retard Méthode de Broïda ae −Tr s H (s) = 1 + τs Paramètres du modèle a= E∞ y∞ E∞ τ = 5.5(t 2 − t1 ) y∞ Tr = 2.8t1 − 1.8t 2 0.4y∞ 0.28y∞ Automatique t1 t2 21 Autres méthodes de réglage simplifié q Réglage type d'un système 1er ae −Tr s ordre avec retard H ( s ) = 1 + τs Correcteur P PI PID série PID mixte Paramètres 0.8τ aTr Kc τ Ti Td § PID série (1 + Ti s )(1 + Td s ) Kc Automatique 0.8τ aTr Ti s 0.85τ aTr 1 τ + 0.4 1.2a Tr τ τ + 0.4Tr 0.4Tr τTr Tr + 2.5τ § PID mixte 1 K c 1 + + Td s Ti s 22 Correction série : imbrication des correcteurs Correcteur primaire yc +- ε C1(s) Correcteur secondaire u +- Boucle secondaire C2(s) d d H1(s) H2(s) ys G1(s) G2(s) Boucle primaire q Intérêts et réglage § Boucles internes rapides réalisant des régulations partielles § Variables internes du processus bien asservies § Elimination rapide des perturbations internes § Réglage de la boucle interne en premier (rapidité, bande passante) § Réglage de la boucle externe ensuite Automatique 23 Imbrication des correcteurs : exemples q Régulation de vitesse d'un moteur à courant continu ωc +- ε Régulateur u de vitesse +- Régulateur I MCC ω de courant Saturation Dynamo tachymétrique q Régulation de position (table traçante, enregistreur, …) θc +- Régulateur de position +- ε Régulateur u +- de vitesse Régulateur de courant I MCC ω k/s θ Saturation Dynamo tachymétriqu e Automatique Potentiomètre 24 Correction parallèle q Schéma de l'asservissement d yc +- ε H1(s) +- H2(s) H3(s) ++ ys C(s) G(s) Boucle interne H 2 (s) 1 + C (s) H 2 (s) Boucle ouverte corrigée H 2 (s) H BOC ( s ) = H1 ( s ) H 3 ( s )G ( s ) 1 + C (s) H 2 (s) Intérêt § rendre la boucle interne plus rapide et donc le système corrigé plus rapide Automatique 25 Correction parallèle : exemple q Correction par retour tachymétrique Asservissement de position par un moteur à courant continu Moteur yc +- ε Kc +- Km 1 + Tm s ω µ s θ y λ Génératrice tachymétrique Principe : réinjecter à l'entrée du moteur une tension fournie par la génératrice et fonction de la vitesse de rotation K m' Tm Km ' = ' avec T Boucle interne : et K m = m 1 + Tm' s 1 + λK m 1 + λK m En jouant sur λ, on augmente la rapidité de la boucle interne K m' Boucle ouverte corrigée : H BOC ( s ) = K c µ ' s (1 + Tm s ) Automatique 26 Correction parallèle : exemple q Application numérique Le système sans correction tachymétrique (λ=0) a une marge de phase mϕ = 45° ω c0 50 A m p litu d e (dB ) Pour λ>0 le système corrigé présente une marge de supérieure à 45°. ω c0 0 -5 0 -1 0 0 -2 10 10 -1 10 0 10 1 10 2 P h a s e (°) -9 0 La bande passante est alors élargie ⇒ système plus rapide en BF λ=0 -1 3 5 m ϕ= 4 5 ° λ=1 λ=5 -1 8 0 -2 10 Automatique 10 -1 10 0 10 1 Si on veut conserver la valeur de 45°, on joue sur Kc. 10 2 27 Correction par anticipation q Schéma de l'asservissement Wd (s) Wc(s) yc +- ε H1(s) d F(s) − + − u H(s) Ha(s) y ++ ys G(s) q Expression de la sortie du système asservi H1 ( s ) H 2 ( s ) − Wc ( s ) H 2 ( s ) F ( s ) − Wd ( s ) H 2 ( s ) Ys ( s ) = Yc ( s ) + D( s) 1 + H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s ) 1 + H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s ) avec Automatique H 2 ( s) = H a ( s) H ( s) 28 Correction par anticipation q Compensation de la perturbation H1 ( s ) H 2 ( s ) − Wc ( s ) H 2 ( s ) F ( s ) − Wd ( s ) H 2 ( s ) Ys ( s ) = Yc ( s ) + D( s) 1 + H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s ) 1 + H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s ) Si la perturbation est mesurable, elle est totalement éliminée en choisissant le correcteur Wd tel que F ( s ) − Wd ( s ) H 2 ( s ) = 0 ⇒ Wd ( s ) = F (s) H 2 (s) q Anticipation de la consigne Le but de l'asservissement est que la sortie ys(t) suive la consigne yc(t) c'est-à-dire ys(t) = ys(t) ∀ t . Si d(t)=0 on a : H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s ) = 0 Ys ( s ) = Yc ( s ) ⇒ H1 ( s ) H 2 ( s ) − Wc ( s ) H 2 ( s ) = 1 Wc ( s ) = − Automatique 1 H 2 ( s )G ( s ) 29 Correction par anticipation q Remarques u Les correcteurs Wd et Wc ne sont pas en général réalisables physiquement (contrainte de causalité non satisfaite). On réalise alors une approximation en ajoutant des pôles u Une correction par anticipation réalisable physiquement n'affecte pas la stabilité du système u Le modèle du système doit être précis pour une bonne correction par anticipation u En général, la perturbation n'est pas mesurable d'où la difficulté de la compenser Automatique 30