Chapitre 7 : Energie potentielle

Chapitre 7 : Energie potentielle
1. Energie potentielle
• Cas de la pesanteur :
z2
h
z1
quelque soit le chemin choisi :
W = −mg(z2 − z1 ) = −mgh
le travail ne dépend que des positions finales et intiales
• Forces conservatives : définition
Une force est conservative quand le travail de cette
force est indépendant du chemin effectué.
• Une force est conservative dépend uniquement
des configurations initiales et finales.
• Energie potentielle gravifique :
U = mgz
• Energie potentielle élastique :
1 2
U = kx
2
W = −∆U
W = −∆U
• Force non-conservative : force de frottement par exemple
2. Conservation d’énergie
• Cas particulier d’une chute libre :
W = −∆U = −mg(zf − zi )
1
1
2
W = ∆K = mvf − mvi2
2
2
−∆U = W = ∆K
1
1
2
mgzi + mvi = mgzf + mvf2
2
2
zi = h
zf = 0
vi = 0
vf =
!
2gh
• Cas général pour une force conservative :
−∆U = W = ∆K
énergie mécanique totale :
conservation :
E =U +K
∆E = 0
• Cas du pendule : force de pesanteur conservative
v=0
1
5
2
!a
1
1
2
mgzi + mvi = mgzf + mvf2
2
2
3
4
v=0
• Cas du pendule stoppé :
L
θ
v
v=0
L/3
A partir de quel angle faut-il lâcher le pendule pour induire un
mouvement circulaire de rayon L/3 ?
cos θ = 1/3
θ≈
• Cas du looping : A quelle hauteur lâcher le chariot ?
v=0
v
h
2R
1
mg(h − 2R) = mv 2
2
v2
=g
R
5
h= R
2
• Tir à l’arc :
1 2
1
kx = mv 2
2
2
vitesse importante : - raideur importante
- déformation importante
• Non-conservation : rebonds d’une balle
vf2
Ef
= 2
coefficient de restitution : ε =
Ei
vi
balle de tennis : ε = 0.6
balle magique :
ε = 0.9
• Conservation ? : dominos
réaction en chaîne...
Conservation pour chaque domino,
mais libération d’énergie potentielle qui était contenue ailleurs.
3. Forces non-conservatives
• Travail :
W != −∆U
• Séparation des forces en 2 classes :
F! = F!c + F!nc
W = Wc + Wnc
∆K = −∆U + Wnc
• Exemple : force de frottement
∆K + ∆U = −f d
∆K + ∆U = Wnc
4. Relation force conservative - énergie potentielle
• A une dimension : !
xf
W =
F dx = −∆U = Ui − Uf
xi
U (x) = −
!
x
F dx + U0
x0
dU = −F dx
dU
F =−
dx
Une force conservative dérive d’un potentiel
• Exemple : ressort
dU
d
F =−
=−
dx
dx
!
1 2
kx
2
"
= −kx
• A trois dimensions :
! =−
F! = −∇U
!
∂U ∂U ∂U
,
,
∂x ∂y ∂z
"
Force = - pente du potentiel
U
F!
- Trous et bosses
- Force dirigée vers les “trous”
- Points de selle
• Application du gradient en topographie :
Les ruisseaux suivent les plus forts gradients d’élévation.
5. Diagramme d’énergie d’un système - équilibre
• Cas du ressort :
point d’équilibre
(pente = 0)
1 2
U = kx
2
E
élongation maximale
(K=0)
x
F = −kx
x
• Equilibre instable :
U
x
équilibre instable
• Ressorts multiples :
plusieurs points d’équilibre
• Interaction entre molécules : potentiel de Lennard-Jones
distance entre 2 molécules = r
U = 4ε
!" #
r 12
0
r
répulsion
" r #6 $
0
−
r
attraction