Les taches solaires ont-elles de l`importance?

LESTACHESSOLAIRES
ONT-ELLES
DE L'IMPORTANCE
?( )
par
David CASS et Karl SHELL
Universit?
de Pennsylvanie
extrins?que (?animal spirits?, ?psychologie du march??,
L'incertitude
un r?le
dans
les mod?les
jouer
significatif
peut-elle
solaires?,...)
avec
montrons
?
Nous
l'incertitude
rationnelles
que
anticipations
d'?quilibre
ne peut
Arrow-Debreu
l'?conomie
dans
pas avoir
d'importance
extrins?que
?t?ches
et pourvue
statique
d'un
l'incertitude
lement
que
nomie
caract?ris?e
extrins?que
par
la succession
de march?s,
complet
consommateurs
qui se trouvent
ensemble
allocations
s?que
libre
d'?quilibre
sont
sur
optimales
lesquelles
montrons
de march?s
ensemble
mais
en
Nous
complet.
de l'importance
et par
g?n?rations
avoir
peut
des
o?
vie
l'acc?s
lors de
qui ne sont pas
au sens de Pare to
l'incertitude
au march?
l'ouverture
influenc?es
traditionnel.
extrins?que
a
une
par
dans
l'existence
?co
d'un
est
restreint
aux
des
march?s.
Les
l'incertitude
Les
?ga
une
extrin
allocations
incidence
d'?qui
sont
effective
optimales en un sens de Pareto (affaibli) adapt? ? l'analyse dynamique.
1. INTRODUCTION
mieux
est la strat?gie ? adopter pour jouer ? la Bourse ? Vaut-il
Quelle
ou se centrer plut?t sur
fondamentaux?
s'attacher aux ?principes
(*) Cette
au Center
recherche
a b?n?fici?
d'une
aide
sous
la forme
d'une
subvention
attri
for Analytic
Research
in Economies
and the Social
Sciences
de l'Uni
sous le n? SES 80-07012
de Pennsylvanie
versit?
Science
Foundation
par la National
remercions
vivement
tenons
ici. Nous
? t?moigner
notre
reconnais
que nous
?galement
sance aux membres
du s?minaire
du CNRS,
et en particulier
d'?conom?trie
? Jean-Michel
nous
ont ?t? tr?s utiles. Nous
Grandmont
dont
les critiques
remercions
aussi Catherine
bu?e
Rouzaud
pour
la traduction
fran?aise.
94
la ?psychologie
du march?? ? Ceux qui esp?rent s'enrichir ? Wall Street
? de telles questions. Mais elles pr?sentent
s'int?ressent
?galement de l'in
t?r?t pour les macro-?conomistes.
et de nombreux
Selon Keynes
la volatilit? de l'investis
Keyn?siens,
sement refl?te en partie du moins
celle qui caract?rise la ?psychologie
du
ou les ?animal
march??
spirits? des capitalistes
ou, plus g?n?ralement,
I'?incertitude
L'arbitraire
ainsi pr?sum? de l'allocation
inter
extrins?que?.
temporelle des ressources dans le cadre d'un capitalisme de laisser-faire jus
tifie de mani?re
les bienfaits que Keynes
attribue ? des poli
importante
actives. Pour les tenants d'autre part des anti
tiques fiscales et mon?taires
en macro-?conomie,
rationnelles
les ?principes
cipations
fondamentaux?
un
r?le
dans l'affectation
d?terminant
des ressources.
jouent
Ils soutien
nent par cons?quent que si l'environnement
est stable (si le gouvernement
en particulier ne se comporte pas de mani?re
lunatique), alors l'investisse
ment priv? le sera ?galement.
Nous nous demandons
dans cet article si l'incertitude extrins?que peut
ou non exercer une influence sur les ?quilibres avec anticipations
ration
nelles. En d'autres termes : Les proph?ties
se
r?alisent
d'elles
m?mes
qui
sont-elles
d'avoir un impact r?el ? Ou, en bref : Les ?taches
susceptibles
solaires? ont-elles une importance^?2)
?
une ?conomie
Nous
consid?rons
pur caract?ris?e par un
d'?change
horizon
un nombre fini de marchandises
et
et de consom
temporel fini
mateurs.
est exclusivement
L'incertitude
(c'est pourquoi nous
extrins?que
la baptisons
?taches
ont des
simplement
solaires?). Les consommateurs
Tout
(1)
destin?
au
?
exprimer
ni
n'affectent
long de cet
l'incertitude
essai,
notre
extrins?que,
les dotations,
de l'expression
c'est-?-dire
des
usage
?taches
solaires?
est
al?atoires
ph?nom?nes
de production.
Bien
les go?ts,
ni
ni les possibilit?s
l'a remarqu?,
de taches
que Jevons
solaires
dans
le monde
l'apparition
fort bien
une
introduire
incertitude
? l'?conomie,
intrins?que
influen?ant,
les possibilit?s
de production
par
nous
ne nous
Mais
exemple,
int?ressons
agricoles.
ici qu'? notre version
solaire.
plus stylis?e de l'activit?
nous
sommes
sur la question
des ?taches
un
(2) Nous
solaires?
pench?s
pendant
certain
Shell (1977)
un exemple
fournit
d'une
temps.
?conomie
dans laquelle
th?orique
les taches
solaires
ont de l'importance.
Notre
Costas
Azariadis
a
coll?gue
(? para?tre)
qui
entendu,
r?el peut
ainsi
des r?sultats
? l'int?rieur
d'un cadre macro?conomique
pr?sent?
analogues
Ces exemples
sur des mod?les
fond?s
sont,
tres
cependant,
dynamiques
ne nous
les r?les que jouent
pas de dissocier
permettent
respectivement
des g?n?rations,
l'horizon
et la dette publique.
Dans
le
temporel
infini,
plus
familier.
complexes
qui
la succession
pr?sent
article,
les cons?quences
de la succession
des g?n?rations
dans le cadre
d'un mod?le
un article
tr?s simple.
Dans
Yves
Balasko
d'?quilibre
apparent?,
(1981)
?tudie une formulation
de la notion
d'incertitude
plus g?n?rale
extrins?que.
un survol
Pour
de la question
des ?quilibres
avec anticipations
sur
rationnelles
l'incertitude
exerce
une
voir notre
lesquels
article
de propa
extrins?que
influence,
nous
nous
centrons
sur
gande, Cass et Shell (1980).
95
de type von Neumann-Morgenstern
fonctions
d'utilit?
(3 ) ainsi que cer
taines dotations
initiales. Nous
des anticipations
adoptons
l'hypoth?se
sous une forme tr?s forte : les croyances relative ? l'activit?
rationnelles
solaire sont les m?mes
Ceci permet d'in
pour tous les consommateurs.
comme des probabilit?s
les probabilit?s
subjectives
terpr?ter
objectives.
la section II nous montrons
que les taches solaires n'ont jamais
? l'int?rieur de l'?conomie Arrow-Debreu
la plus simple d'importance
une ?conomie dans laquelle chaque consommateur
a acc?s ? un ensemble
de march?s
des titres contingents.
d'une participa
complet
L'hypoth?se
tout
la
le
tion illimit?e contredit
fois
?
caract?re
cependant
dynamique
et la structure par g?n?rations de l'ensemble des m?nages.
de l'incertitude
On ne saurait imaginer par quel moyen un consommateur
peut se pr?munir
avant sa naissance.
contre l'activit? solaire qui s'est manifest?e
Dans
Dans la section III, nous examinons
se succ?
le cas o? les g?n?rations
au march?. Nous mon
la participation
dent ce qui limite en cons?quence
trons qu'il existe toujours un ?quilibre sur lequel les t?ches solaires n'exer
cent pas d'influence.
Mais nous montrons
?galement qu'il peut y avoir des
effective.
La raison
?quilibres o? les taches solaires ont une importance
pour laquelle elles n'en ont jamais dans le cadre du mod?le Arrow-Debreu
le fait qu'il
une
?conomie
essentiellement
r?side^.. 4^ns
repr?sente
a-temporelle.
La g?n?ralisation
appendices.
La
des r?sultats
des sections
II et III se trouve dans les
IV est consacr?e ? l'analyse du bien-?tre. Les allocations
ne
sont pas influenc?es par les taches solaires sont optimales
d'?quilibre qui
au sens de Pareto traditionnel. Celles qui subissent l'influence des taches
en ce sens, elles le sont cependant dans un
solaires ne sont pas optimales
sens naturel, un sens de Pareto affaibli, et o? l'on identifie un consomma
teur par l'?tat correspondant
? sa naissance
(aussi bien que par les autres
habituels ? essentiellement
ses pr?f?rences
et ses dotations).
param?tres
section
Le r?sultats de cette analyse est que la pr?sence,
dans un monde
ex
d'une incertitude
g?n?ral avec anticipations
d'?quilibre
rationnelles,
- taches
du march?, ?animal spirits?, etc. ?
solaires, psychologie
trins?que
peut fort bien avoir des effets r?els. La le?on ? en tirer pour la macro?co
nomie est que, fut-ce dans l'hypoth?se
des conditions
les plus favorables
(3) Bien qu'elle ne soit pas la plus g?n?rale, l'hypoth?se de l'utilit? esp?r?e
convient
dans ce contexte
parfaitement
parce que (i) elle admet une sp?cification
par
bien adapt?e
ticuli?rement
? l'incertitude
et (ii) elle s'accompagne
de l'exi
extrins?que
de coh?rence
naturelle
gence
les taches
solaires
influencent
les
intertemporelle.
Ainsi,
non
mais
les go?ts
et certains),
opinions
tandis que
les consommateurs
(sous-jacents
ont
des
ne souhaiteront
rationnelles
qui
leurs plans
anticipations
jamais modifier
ant?rieurs.
96
en mati?re
d'information
et d'institutions,
le gouvernement
peut conser
ver la t?che de stabiliser des fluctuations
dues ? des perturbations
de nature
apparemment
non-?conomiques.
2. LES TACHES SOLAIRES N'ONT JAMAIS D'INCIDENCE
DANS L'ECONOMIEARROW-DEBREU LA PLUS SIMPLE
comme dans les suivantes,
cette section
Dans
nous prenons
pour
base un mod?le
(2x2x2x2)
qui est le plus simple possible compte
tenu de nos objectifs.
Nos principaux
r?sultats se g?n?ralisent
ais?ment ;
c'est ce que nous d?montrons dans les appendices.
Nous supposons
ici qu'il y a (i) deux p?riodes t = 0, 1 ?aujourd'hui?,
soit le moment
o? les contrats sont n?goci?s, et ?demain?
(celui o? ils sont
=
r?alis?s), (ii) deux biens /
1,2 (sauf pour la repr?sentation
graphique),
=
a, ? (pr?sence de taches solaires demain
(iii) deux ?tats futurs possibles s
et absence de taches solaires demain) et (iv) deux consommateurs
h = 0, 1
et
?Mr 1?). Soit x'h is) la quantit? du bien / consomm?e par l'agent
(?Mr 0?
h dans l'?tat s, et xh is) le vecteur
(x? is), x\ is)). Les pr?f?rences du consom
mateur h portent donc sur sa consommation
prospective et sont repr?sent?es
R. La fonction vh est suppos?e conti
par une fonction d'utilit? vh : R+
et strictement
La production
nue, croissante
n'intervient
quasi-concave.
cette
dans
la r?partition. On suppose que les do
seulement
pas
?conomie,
tations de biens prospectifs
du consommateur
h (cjh (a), c?h i?)) ((co? (a),
sont
strictement
positives.
<?l i&))> i<?h i?), u>\ i?)),
N?tre mod?le
se particularise
sp?cifique
par la structure tr?s sp?ciale
? et
y rev?t
que l'incertitude
qui justifie notre choix du terme suggestif
de ?taches solaires?. De mani?re
g?n?rale, nous supposons que l'activit?
solaire n'affecte
fondamentaux?
pas les ??l?ments
de
(la configuration
et des dotations),
base des pr?f?rences
mais seulement
la ?psychologie?
du march?
du mode
de d?termi
(la perception
par les consommateurs
nation du prix de march?). Ce postulat
se pr?cise sous la forme suivante :
les consommateurs
croient (? raison, si l'on veut) que des taches solaires
se manifesteront
avec la probabilit?
0 < 7r(a) < 1, et donc qu'elles ne se
= 1?
avec
la
pas
produiront
probabilit?
7r(a). L'activit? solaire cepen
iri?)
en termes de leurs pr?f?rences,
ne repr?sente pour les
dant, transcrite
consommateurs
loterie potentielle.
Ils ?valuent, par
que la base d'une
de
mani?re
leur
rationnelle
consommation
confor
cons?quent,
prospective
m?ment
? l'hypoth?se
de l'utilit? esp?r?e,
vhixhi*\xhi?))
=
soit
iri*)uhixhia)) + *(/?) uhixhi?))
(1)
=
d'utilit? pour une consommation
pour h
0, 1. La fonction
certaine
-* R est donc
:
croissante
et strictement
concave. Ceci
continue,
uh R+
97
des r?sultats
signifie en particulier que l'?valuation par les consommateurs
de la loterie bas?e sur l'activit? solaire traduit de leur part une stricte aver
sont ?galement ind?pen
sion pour le risque (4). Qui plus est, les dotations
dantes de l'activit? solaire, i.e. :
=
=
">/,(<*)
uh (2)
w?(0)
1.
h
pour
0,
Comment
l'activit? solaire peut-elle
donc avoir un quelconque
effet
r?el sur l'allocation
r?alis?e par le march? ? Elle le peut, simplement parce
croient
que les consommateurs
(? juste titre) qu'elle en aura un, que les
futurs
des
marchandises
les ?changes futurs de
prix
(et, par cons?quent,
de la pr?sence ou de l'absence de taches solaires. En
biens) d?pendront
termes formels,
les consommateurs
sont effectivement
?
(5 ) confront?s
un syst?me complet de march?s de biens contingents, mais tel que l'acti
vit? solaire elle-m?me soit le seul ?l?ment contingent.
Le
rasienne
vecteur
une paire
fonctionnement
de ces march?s
? la description Wal
correspond
habituelle.
Soit p*(s)
le prix du bien / dans l'?tat s, et pis) le
Un ?quilibre (de march?,
est ainsi
ip1is), p2is)).
concurrentiel)
de quantit?s allou?es et de prix de biens contingents
(p, x)
=
((p(a),
pi?)),
ix0ia),
x0i?),
xxia),
xxi?)))
telle que
(i) Les
du probl?me
consommateurs
de maximisation
de
Maximisation
est la solution
i.e., ixhia), xhi?))
optimisent,
de l'utilit? sous contrainte budg?taire
7r(a) uh ixh (a)) 4- iti?) uh ixh i?))
sous les contraintes
pia)xhia)
+
pi?)xhi?)^pia)coh
et
pour
h -
(xhia),xhi?))^0
sont en ?quilibre,
x0is)
pour
(3)
0, 1
et (ii) les march?s
s =
+ p(/3)co?
a,
+
i.e.,
xxis)
=
co0 + u>x (4)
?.
(4) Les hypoth?ses
la monotonicit?
implique
comme
texte.
Cependant,
de monotonicit?
et
de
stricte
aversion
le risque
pour
(qui
l'examen
le
dans
beaucoup
pr?sent?
le premier
dans
seule l'hypo
appendice,
th?se d'aversion
au cours de l'analyse.
pour le risque joue un r?le important
notre
souci d'interpr?ter
(5) Cette
le mod?le
pr?cision
exprime
d'Arrow-Debreu
de mani?re
v?ritablement
On doit
concevoir
les prix des biens
dynamique.
?galement
stricte)
simplifient
nous
le montrons
?tablis
comme
contingents
aujourd'hui
(r?alis?s)
des anticipations
des prix des biens
rationnelles,
vue de base est d?velopp?
de mani?re
plus compl?te
la pr?vision,
au
conforme
de demain.
comptant
dans la section
suivante.
? l'hypoth?se
Ce point
de
98
Les propri?t?s
g?n?rales (existence,
optimalit?
Paretienne,
etc.) d'un
tel ?quilibre sont bien connues ; notre mod?le
sp?cifique n'est apr?s tout
cas particulier
du mod?le Arrow-Debreu
qu'un
habituel. Ce qui reste ?
examiner est la question propre ? la structure particuli?re
de l'incertitude
: les taches solaires peuvent-elles
que nous supposons
effectivement
in
fluencer
l'allocation
un ph?nom?ne
d'?quilibre ? ou, plus g?n?ralement,
ext?rieur peut-il effectivement
apparemment
modifier
le r?sultat du pro
cessus de march?
parce que l'on croit de mani?re
simplement
coh?rente
qu'il le peut ?
Pour r?pondre ? cette question,
nous avons besoin de d?crire de ma
ni?re pr?cise le cas o? les taches solaires ont (resp. n'ont pas) une inci
dence r?elle. Il nous suffit de dire pour le moment
que, ?tant donn? un
?quilibre particulier
ip, x), les taches solaires ont une importance
(resp.
=
=
n'en ont pas) si xhioc) =?xhi?)
(resp. xhia)
0,1 (6). La
xhi?) pour h
de l'?conomie Arrow-Debreu
est qu'il n'y a jamais
propri?t? fondamentale
sur
une
les
taches
ont
solaires
incidence
lequel
d'?quilibre
(et, ? fortiori,
il y a toujours un ?quilibre sur lequel elles n'en ont pas). Autrement
dit,
en admettant
des anticipations
le bien-?tre des
l'hypoth?se
rationnelles,
consommateurs
serait exactement
lem?me
si les march?s de biens contin
ou
?taient
gents d'ajourd'hui
r?duits,
remplac?s par les march?s de biens
au comptant de demain. Ce qui suit d?montre
ce r?sultat, imm?diat mais
fondamental.
1
Proposition
Dans
de type Arrow-Debreu,
l'?conomie
sur lesquel les taches solaires aient une influence.
D?monstration
(dans le cas de notre mod?le
il n'existe
aucun
?quilibre
sp?cifique)
Supposons
i.e., supposons qu'il existe une
qu'il en soit autrement,
?quilibre
par les t?ches solaires. Alors xh (a) =? xh i?)
ip, x) influenc?
=
Consid?rons
maintenant
l'allocation
certaine
suivante:
pour h
0,1.
=
=
ir(a) xH(?) + iri?) xhi?)
xh
xhis)
=
= a,
pour h
0, 1 ; s
?. D'une part, en vertu de (4) cette
:
ternative est r?alisable puisque
allocation
al
=
0r(a) x0(a) + ir(j3)x0i?)) + (*(?) xxia) + iti?)xxi?))
x0is) + xxis)
- 7T(c0
ix0ia) + xx ia)) + iri?) ix0i?) + xx i?)) (5)
(6)
l'hypoth?se
(en termes
Cette
de
simple
stricte
de bien-?tre)
d?finition
de consommation)
(en termes
le risque.
Une
d?finition
pour
est fournie
dans le premier
appendice.
aversion
est
g?n?rale
suffisante
plus
sous
adapt?e
99
nia)
cj0
ioj0
+
+
x)
+
iri?) (cj0 +
(5)
x)
ojx
=
a, ?. D'autre part, en vertu de (1) et de la concavit? stricte de uh,
pour s
:
cette allocation alternative est ?galement dominante puisque
vh ixh, xh )
=
+ ni?)
Tria) uh?ch)
uh(xh)
=
(6)
uhirria)xhia)^Tri?)xhi?))
> Tria)uhixhia)) + tt(0) uhixhi?))
=
vhixhia),
=
pour h
0, 1. Mais les ?quations
connu selon lequel une allocation
de Pareto.
xhi?))
le r?sultat bien
(5) et (6) contredisent
au sens
doit ?tre optimale
d'?quilibre
1 et de sa d?monstration
Une lecture attentive de la Proposition
r?v?le
? ? nos fins
? d'un
une
directe
constitue
adaptation
particuli?res
qu'elle
(1972).
important th?or?me ?nonc? par Malinvaud
La figur? 1 illustre cette proposition
de base dans le cas d'une seule
Cet exemple met en relief le fait que la Proposition
1 repose
marchandise.
Mr1
x0(?)r
?w,
iAlx,(?)
Mr0
nh(a)=Ti(a)
et
u>h(a)=
u)h (?)
Figure
1.
=
u)h
pour
h = 1,2
100
sur une id?e simple : l'id?e selon laquelle des individus rationnels ayant
une aversion pour le risque et partageant
les m?mes
croyances ne pren
dront pas des partis oppos?s dans un pari, m?me s'il s'agit d'un pari ?qui
situ?es sur la diagonale
table. Les allocations
du carr? correspondent
?
la tangence des courbes d'indiff?rence.
Sous l'hypoth?se
de stricte conca
non situ?e sur la diagonale
est donc inf?rieure au
vit?, toute allocation
sens de Pareto ? une allocation
situ?e sur la diagonale. En cons?quence,
se trouvent sur la diagonale,
les dotations
il n'y a pas d'?changes
puisque
: les taches
mutuellement
exercer une
solaires ne peuvent
acceptables
influence.
1 d?pend de mani?re
La Proposition
cruciale de l'hypoth?se
selon
en ce qui concerne
les
ont
consommateurs
les
m?mes
opinions
laquelle
des taches solaires. Diff?rentes
les probabilit?s
cr?ent une forte
opinions
Sur la figure 2, les dotations
? ?changer des biens contingents.
incitation
sur la diagonale
se situent ? nouveau
du carr?. Sur cette diagonale,
la
est donn?e par le rapport de ses
de Wh
pente de la courbe d'indiff?rence
Par cons?quent,
si les probabili
subjectives,
probabilit?s
iTrhia)/Trhi?)).
et MM sont diff?rentes,
t?s de Mr0
i.e., (Tr0(a)/ir0(?)) # iTrxia)/Trxi?)),
situ?e sur la diagonale est domin?e au sens de Pareto.
alors chaque allocation
les allocations
doivent donc se trouver hors de la diago
Toutes
d'?quilibre
:
sont divergentes,
les croyances
individuelles
nale
l'incertitude
lorsque
une
avoir
importance. Dans ce qui suit, nous nous limitons
extrins?que doit
au cas moins pr?visible o? les m?mes
croyances sont partag?es par tous
101
des anticipations
rationnelles.
soit une version tr?s forte de l'hypoth?se
On ne doit pas, cependant,
n?gliger les cons?quences,
importantes en pra
rationnels peuvent diff?rer en
tique, du fait que les pr?visions d'individus
est que
d'information.
L'une de ces cons?quences
raison d'une diff?rence
l'incertitude extrins?que a toutes les chances d'exercer une influence.
Bien entendu,
l'incertitude
importe ?galement si elle affecte les pr?
f?rences ou les dotations
Sur la figure 3, les dotations
individuelles.
de
varient ceteris paribus
selon l'?tat de la nature. Comme
Mr0
les pr?f?
rences agr?g?es varient de m?me
selon cet ?tat, la boite de la Figure 3
n'est pas en g?n?ral un carr?. Le bien-?tre
individuel peut ?tre am?lior?
ne se trouve pas au point
et MM partagent
si Mr0
le risque. L'?quilibre
d'autarcie.
U)n(?)
0u).
?)0 (a)
w0(a)
#
Figure
w0(?)
3.
On peut ?galement
?tendre la Proposition
1 en vue de l'appliquer ?
l'incertitude
ni
les
n'affecte
ni
les
dotations
qui
go?ts,
agr?g?es, mais qui
affecte en revanche les dotations
individuelles.
lecteur
(Le
peut retrouver
le raisonnement
? l'aide de la figure 1. Il suffit de se donner une allocation
hors de la diagonale,
de
que les allocations
puis de montrer
d'?quilibre
concurrence
se trouver sur la diagonale).
doivent
Tel est essentiellement
le r?sultat obtenu par Malinvaud
se r?f?rer ?
(1972). On peut ?galement
Balasko(1981).
ne seront probablement
La plupart des ?conomistes
pas tr?s surpris
1. Dans la section suivante, nous montrons
par la Proposition
que si les
solaires n'ont pas d'importance
t?ches
dans
l'?conomie
Arrow-Debreu
c'est
parce
qu'elle
repr?sente
un monde
essentiellement
?z-temporel.
102
3. LES TACHES SOLAIRES PEUVENTREVETIR
UNE IMPORTANCESI LES GENERATIONS SE SUCCEDENT
Comme on l'a souvent remarqu?, l'un des caract?res les plus attrayants
du mod?le Arrow-Debreu
est sa facult? d'adaptation. On a souvent soutenu,
en particulier, que ce cadre g?n?ral peut tout aussi bien embrasser les as
du processus d'?change que ses aspects atemporels
pects intertemporels
plus
?vidents. Mais le peut-il ? Nous pensons que, ? un ?gard important
tout
au moins,
il n'a pas cette capacit?. Le processus
d'?change
requiert un
contact
individuel direct. M?me
si les individus actuellement
en vie peu
vent conna?tre aujourd'hui
les prix qui pr?vaudront
demain dans diverses
ils n'ont simplement pas la possibilit? d'?changer aujourd'hui
circonstances,
avec les individus qui ne sont pas encore n?s et ne feront leur
apparition
que demain. Cette section est consacr?e ? l'analyse des cons?quences
de
cette r?alit? sans appel. Notre principale
conclusion
est que, lorsque des
consid?rations
d'ordre
naturel
limitent
l'acc?s au march?,
temporelles
les taches solaires peuvent fort bien avoir de l'importance.
le mod?le
consid?rons
? g?n?rations
successives
le plus simple
ne
il
diff?re
du
mod?le
;
possible
II que par le
pr?sent? dans la Section
fait qu'un
se trouve en vie avant l'observation
seul des consommateurs
de l'activit?
solaire. C'est ce que traduit la ligne du temps repr?sent?e
sur la figure 4. Nous supposons que Mr0,
le consommateur
repr?sentatif
Nous
LA LIGNE DUTEMPS DE LA SECTION III:
ACC?S
Naissance
de
AU MARCH? TEMPORELLEMENT CONTRAINT
Echange sur les
marches des biens
au comptant des biens
de
Manifestation
Mr0 l'activit?'solaire
Consommation
O-o-O-O-O-O-O
Echange sur les
marche'sdes
titres contingents
\<-
Pe'riode 0, "Aujourd'hui"
de
Naissance
Mr 1
biens
->UFigure 4.
Livraison
"
Pe'riode 1, Demain
des
"
-^\
103
de la ?g?n?ration 0?, est n? au d?but de la p?riode 0 et qu'il demeure en
vie durant les p?riodes 0 et 1. On observe
l'activit? solaire au cours de
la p?riode 0. Mr0 peut ?changer des titres contingents
avant cette obser
le consommateur
la
vation. MM,
de
repr?sentatif
?g?n?ration
1?, ne nait
qu'au d?but de la p?riode 1 et ne se trouve en vie que durant cette p?riode.
sur lequel Mr 1 puisse ?changer est le march? des biens
Le seul march?
au comptant (non contingents)
de demain.
On doit souligner le fait que, dans ce mod?le, - comme dans celui
? il existe un
de la section pr?c?dente
syst?me complet de march?s de
et au comptant.
biens contingents
Dans l'?conomie
d?crite au cours de
aucune contrainte ne limitait l'acc?s au march?.
la Section
II cependant,
en revanche,
formalis?e
dans la section pr?sente,
L'?conomie
engendre
le ph?nom?ne
naturellement
au march?
d'un
acc?s
important
temporelle
ment contraint : on suppose l'existence des march?s des titres contingents
mais MM ne peut y participer. Une participation
au march?
d'aujourd'hui,
aux
est
limit?e
inh?rente
mod?les
v?ritablement
dyna
temporellement
au march?
o? la participation
miques. Les mod?les
d'une incertitude sont essentiellement
?z-temporels.
est illimit?e
en pr?sence
la figure 4, on constate que l'?tat de la nature, pr?sence ou
D'apr?s
absence de taches solaires, est connu avant que Mr 1 ait la possibilit? d'?chan
ger. Il ne peut ?changer que sur le march? des biens au comptant de la p?
riode 1. Soit p is) le vecteur des prix des biens au comptant qui pr?vaut si
l'?tat de la nature se r?v?le durant la p?riode 0. Le comportement
de MM
est alors d?crit de lamani?re suivante :
Maximisation
tt
de
sous les contraintes
is) u x ix x is)) (7 )
xx is) ^ pis)
pis)
et
pour
s =
a,
il)
cox
xxis)^0
?.
avec les membres des
Mr0 peut ?changer sur le march? au comptant
g?n?rations 0 et 1. Il peut ?galement, en principe, ?changer des titres contin
de sa propre g?n?ration. Consid?rons
le contrat
gents avec les membres
? livrer une unit? de la marchandise
/ si
(conclu ? la p?riode 0) consistant
l'?tat de la nature s se produit.
ach?te (ou vende,
que Mr0
Supposons
lorsque le signe est n?gatif) x?is) unit?s de ce contrat au prix de mar
=
ch? unitaire p?is).
et
par d?finition
Posons,
x0is)
(jc?(s), Xq?s))
(7)
uxixiis)).
de l'utilit?
texte),
Le
Mais
maximand
alors
que
nxuxixiis))
cette
derni?re
bien
est,
entendu,
est
normalisation
ainsi mieux
(et se trouve
esp?r?e
appropri?e
la premi?re
normalisation
facilite
les calculs effectu?s
au maximand
?quivalent
avec l'hypoth?se
compatible
? la d?marche
suivie dans le
par
la suite.
104
=
aux seuls ?changes
Ces contrats
correspondent
ip1is),
p2(s)).
pis)
sur le comporte
contrainte
0.
La
?
la
pesant
premi?re
p?riode
possibles
ment d'?change de Mr0 est par cons?quent
pia) x0(?t) + pi?) x0i?) ^ 0. (8)
En d'autres
contingents
termes, ? la p?riode 0, Mr0 doit
par ses ventes de titres contingents.
financer
ses achats
de titres
sur le march? des biens au
est ?galement en mesure d'?changer
1 une fois r?v?l? l'?tat de la nature. Compte tenu
comptant de la p?riode
ceci signifie que la seconde contrainte
de ses possibilit?s
qui
ant?rieures,
d'?change de M'O est
s'applique au comportement
Mr0
pis)x0 is) ^ p is) x0 is) 4- p is) c?0
(9)
et xois)^0
pour s
misation
=
a, ?. Finalement
de M r0 est :
de
Maximisation
sous les contraintes
donc,
7r(a) u0ix0ia))
(8), (9)
et
la description
du comportement
4- iri?) u0ix0i?))
(10)
ixoia),xoi?))^0.
?conomie, un ?quilibre (avec acc?s au march?
est une paire de prix et de quantit?s allou?es
contraint)
et
titres
de
contingents
comptant
=
x)
ipia), pi?)),
pi?)),
Hpia),
ixQia), x0i?)),
(p,p,x0,
cette
Dans
d'opti
ment
ix0ia),
x0i?),
temporelle
de biens au
xxia),
xxi?))
i.e., (x0(a), x0i?), x0ia),x0i?))
telle que (i) les consommateurs
optimisent,
est la solution de (7) et (ii) les
est la solution de (10) et ixxia), xxi?))
march?s sont en ?quilibre, i.e.,
= 0
4- xxis) = cj0 4et
(11)
x
x0is)
x0is)
pour
s
=
a,
?.
contraint parce que Mr 1 n'est sim
?quilibre est temporellement
Ceci signifie, il
des titres contingents.
d'?changer
pas en mesure
plement
l'ensemble
de le remarquer, qu'? l'?quilibre Mr0
(qui repr?sente
convient
(bien qu'en
de la g?n?ration 0) n'ach?te ni ne vend de titres contingents
bas qu'une telle
d?montrerons
Nous
en
la
ait
il
plus
possibilit?).
principe
loin de discr?diter
sur le march? des titres contingents,
absence d'activit?
une
introduit
simplification
formulation
notre
simplement
sp?cifique,
la possibilit?
que les taches solaires aient
utile, en v?rifiant en particulier
de l'importance.
Cet
105
?
des anticipations
selon laquelle Mr0
rationnelles
L'hypoth?se
au
correctement
les
des
biens
de
prix
pr?voit
comptant
demain, de sorte
? l'?quilibre du march? des
n?cessairement
que ces prix correspondent
de demain ? entraine une relation simple entre les
biens au comptant
et les prix des biens au comptant. Le lemme
prix des titres contingents
suivant d?crit cette relation.
Lemme
1
un ?quilibre avec acc?s au march?
le
temporellement
contraint,
des prix des titres contingents
au vecteur
est proportionnel
pis)
des prix des biens au comptant pis),
i.e., il existe un Xis) > 0 tel que
=
=
a, ?. Qui plus est, on ne perd rien en g?n?ra
pis)
Xis) pis) pour s
lit? si on suppose que le vecteur p = ip ia), p>i?)) est ?gal au vecteur
=
p
ipia), pi?)).
Dans
vecteur
D?monstration
que ip,p,xQ,
x) soit un ?quilibre dans lequel, pour ?tre
Supposons
Alors Mr0
essaiera de r?aliser
sp?cifique,
p1 ia)lp2ia)
<p1ia)/p2ia).
un plan ? avec, disons,
nul
mais
et par cons?quent
pia)x:0ia)
x?(a),
aussi
l'on
veut
? x0ia)
d'?tre
grands que
qui permettra
p(<x)x0ia),
aussi grand que l'on veut. Mais ce comportement
est incompatible
avec
du
au
march?
des
biens
si
l'?tat
nature
s se
de
la
l'?quilibre
comptant
*
>
On
ainsi
doit
avoir
a
produit.
p
ou,
fortiori
ia)/p2ia)
p1ia)/p2ia)
la possibilit?
(puisque
d'arbitrage sp?cifique est sans importance du point
de vue de l'argumentation),
il existe un Xis) > 0 tel que p is) = Xis) pis)
pour
s =
a,
Si on
ne modifie
contraintes
afin
de
?.
remplace maintenant
pis) par Xis) pis) dans (7) et (10), cela
car les deux membres
des
pas la solution de ces probl?mes
sont multipli?s
correspondantes
par Xis). Par cons?quent,
retenir
une
notation
plus
nous
commode,
de poser p = p comme une implication
nous
pouvons
contenter
de l'?quilibre.
La possibilit?
de r?aliser des profits par voie d'arbitrage dans un ?qui
libre avec anticipations
est ?limin?e par le Lemme
rationnelles
1. Compte
tenu de ce r?sultat, nous pouvons recourir ? une description
de l'?quilibre
simplifi?e, en l'exprimant ? l'aide de la paire de prix et de quantit?s allou?es
(P, x)
(soit
la m?me
simplification.
=
que
Hpia),
dans
pi?)),
la Section
ix0ia),
x0i?),
II). Le
xxia),
lemme
xxi?))
suivant
formalise
cette
106
Lemme
2
avec acc?s au march?
contraint peut
Un ?quilibre
temporellement
?tre caract?ris? de mani?re alternative comme une paire de prix et de quan
comme
il se doit, des
tit?s allou?es
(p, x) telle que, en tenant compte,
d'ordre naturel li?es au temps, (i) les consommateurs
consid?rations
opti
de Mr0, disons x0 = (x0(a), x0i?)),
est so
misent,
i.e., la consommation
lution du probl?me
de
Maximisation
4- iri?)
u0ix0i?))
iria) w0(x0(a))
sous les contraintes
Pia) x0ia) + pi?) x0i?)<^ pia) u0 + p(0)cjo
(10')
et ixoia),xoi?))^0,
dison X! = ixxia), xxi?))
sont en ?quilibre, i.e.,
de MM,
et tandis que la consommations
solution du probl?me (7), et (ii) les march?s
x0is)
pour
s =
a,
+ xxis)
=
est
co0 4- o?x (11')
?.
(dans le cas de notre mod?le
D?monstration
sp?cifique)
=
p. Notre
supposer que p
=
est de d?montrer
p, p, x0, x) est
que, si (p
premi?rement
objectif
de (7), (10) et (11), alors (p, x) est solution de (7), (10') et
solution
que, si ip, x) est solution de (7), (10'), et (11'),
(11') et, deuxi?mement,
=
il existe alors un x0 tel que (p
p, p, x0, x) soit la solution de (7), (10)
et (11).
En
du Lemme
vertu
1, nous
pouvons
(11'), il nous suffit, pour v?rifier la premi?re
(11) implique
Puisque
de
d?montrer
que si (xQ, x0) est une solution de (10), alors
assertion,
de l'ob
de
est
solution
la
(10'). Mais ce r?sultat d?rive directement
x0
? une
servation du fait que toute solution r?alisable de (10') correspond
si x0 v?rifie la contrainte
r?alisable de (10) : plus pr?cis?ment,
solution
de budget
par ?tat
dans
(10')
et si x 0 est solution
pis) x0is)
s ? a,
=
des ?quations
pis) ix0is)
-
de d?pense
?tat
co0) (12)
les contraintes budg?taires
(8) et (9).
(x'q, x0) v?rifie
? peine plus subtil permet de v?rifier la seconde
Un raisonnement
il nous suffit de d?montrer
vertu
de (11) x0 =0,
assertion.
Puisqu'en
=
une
x
est
de (7), (10') et (11'), alors
solution
si
?tant
donn?
p,
p
que,
= 0 est une solution de
au rai
conform?ment
(12) (et par cons?quent,
x^
=
ce
une
Mais
de
solution
est
sonnement
(10)).
0, x0)
pr?c?dent,
(x'q
pour
?, alors
107
r?sultat
d?rive imm?diatement
du fait qu'une
de (7) v?rifie
solution
?
?
= 0 et
solution
de
v?rifie
qu'une
(11')
ixxis)
cjx)
pis) [x0is)
?
=
40, de sorte que
c?j )]
co0)
ixx is)
=
=
= 0
pis) x0is)
pis) ix0is)
pis) ixxis)
0)
o>x)
=
des deux formulations
de l'?quilibre est ainsi
a, ?. L'?quivalence
pour s
a
?tablie.
pis)
ne vaut pas seulement pour notre mod?le
type d'?quivalence
sp?
par exemple
cifique. Supposons
(en renon?ant ? entrer dans le d?tail fasti
dieux d'une ?laboration
compl?tement
g?n?rale) qu'il existe ? la fois plu
sieurs consommateurs
distincts
avant la manifestation
des taches solaires
(nomm?s g?n?ration 0, ou, plus bri?vement, G0) et plusieurs consomma
teurs distincts,
n?s apr?s l'observation
des taches solaires (nomm?s g?n?
ration 1, ou G1), On g?n?ralise l'argument central utilis? dans la d?mons
tration du Lemme 2 en consid?rant xh pour /iGG?
tel que
Ce
Pis) xh
=
p is) ixh is)
-
h ) (13)
=
pour s
a, ?. En particulier, nous pouvons sp?cifier que tous les ?l?ments
de chaque xhis)
sont nuls ? l'exception
du premier ?l?ment, et r?soudre
ensuite
les ?quations
(13) de d?pense ?tat par ?tat pour chaque x? is).
Cette approche
traduit le fait que les consommateurs
de la g?n?ration 0
tout
aussi
bien effectuer
leurs transactions
sur un unique march?
peuvent
des titres contingents
si ils sont confront?s,
lors de la p?riode 1, ? un sys
t?me complet de march?s
des biens au comptant. Quoi qu'il en soit, et
comme pr?c?demment,
l'?quation
(13) elle-m?me
implique qu'une solu
tion de l'analogue de (10') fournit une solution de
l'analogue de (10).
le comportement
Qui plus est, avec cette construction
particuli?re,
d'op
timisation
des consommateurs
de la g?n?ration
1, joint ? l'?quilibre du
march?
des biens au comptant,
entraine n?cessairement
l'?quilibre du
march? des titres contingents, puisque maintenant
2
/?SG0
Pis) xh is)= 2
/?6G?
P (s) ixh is)
/iGG1
=
co?) 2
implique
2
/ieo?
Nous
3c?
Pis) ixh is) uh) = 0
= 0.
adoptons dans ce qui suit la description
simplifi?e de l'?quilibre
temporellement
contraint,
i.e., nous nous int?ressons ? la paire (p, x) qui
r?soud (7), (10') et (11'). Le fait qu'il existe toujours un ?quilibre dans
est ? tout le moins plau
lequel les taches solaires n'ont pas d'importance
m?me
le
avec
dans
au
mod?le
acc?s
march?
sible,
contraint.
temporellement
utilise le mod?le
de cette section (d?crit d?sormais
Lorsqu'on
particulier
108
(10') et (11'), aucune raison ?vidente n'emp?che Mr0 d'avoir des
de prix coh?rentes
? l'activit?
indiff?rent
anticipations
qui le rendraient
en fait l'existence d'un ?quilibre dans lequel
solaire. On ?tablit facilement
les taches solaires n'ont pas d'importance
et ceci constitue
un r?sultat
par (7),
g?n?ral.
parfaitement
2
Proposition
avec acc?s au march? temporellement
Dans une ?conomie
contraint
il existe un ?quilibre dans lequel les taches solaires
(ou non contraint),
n'ont
pas
d'importance.
D?monstration
(dans le cas de notre mod?le
sp?cifique)
Dans le cas d'un acc?s au march? non contraint,
le r?sultat
1 (et de l'existence de l'?quilibre de concurrence).
la Proposition
d?rive de
Dans le cas d'un acc?s au march?
temporellement
contraint,
suppo
=
=
sons que les prix soient sp?cifiquement
tels quep(s)
a, ?.
iris)p pour s
stricte entraine
La concavit?
imm?diatement
que (i) si ix0 (a), x0 i?)) est
la solution de (10') alors x0ia) = x0(/3) = x0 et (ii) si xx is) est la solution
de (7) pour s = a, ?, alors xxia) = xxi?) = xx. Ainsi,
trouver une solu
tion de (7), (10') et (11') se ram?ne ? trouver une solution du probl?me
Maximisation
de
ixh )
uh
sous les contraints
(14)
<^pcoh
pxh
et xh ;>0
pour
h =
1, 1 et
x0
4-
=
xx
x 4- o>2.
(15)
une solution de (14) et (15) n'est autre qu'un ?quilibre du mod?le
Il s'en
d'?change pur le plus simple tel qu'il se pr?sente dans les manuels.
suit que tout argument d'existence
classique (par exemple, Debreu,
1959,
un ?quilibre dans
Chapitre
et, par cons?quent,
5) fournit une solution,
a
lequel les taches solaires n'ont pas d'importance.
Mais
la plus
La question
est la question
de
int?ressante,
?videmment,
savoir si il peut ?galement
exister un ?quilibre dans lequel les t?ches so
laires ont une importance.
Il se trouve que, dans le cas de notre mod?le
nous
caract?riser
l'ensemble des ?co
pouvons
compl?tement
sp?cifique,
nomies pour lesquelles
la r?ponse est positive. Tel est l'objet de l'obser
vation
suivante.
109
1
Observation
avec acc?s au march?
Dans notre mod?le
sp?cifique
temporellement
il existe un ?quilibre o? les taches solaires ont de l'importance
contraint,
si il existe au moins deux ?quilibres o? elles n'en ont pas.
si et seulement
D?monstration
N?cessit?.
Supposons
qu'il existe un ?quilibre
(p, x) dans lequel
les taches solaires ont une importance. Alors xh ia) ?= xh i?) for h = 0, 1.
Nous montrerons
chacune
des allocations
que
distinctes
contingentes
un
sous
la
forme
is),
is))
engendre
?quilibre
xx
sp?cifique
ix0
=
ips, x?)
de
sorte
solaires
pas
iri?)pis)),
au moins
existe
qu'il
n'ont
((ir(a)p(y),
deux
?quilibres
xxis),
dans
(7), (10') et (11') impliquent
(p, x),
p is) x0
s = a, ? et, donc, d'apr?s
Maximisation
x0is),
xxis)),
lesquels
les taches
d'importance.
Etant donn?
pour
ix0is),
de
is) =
p is)
(10') que x0is)
que
0
est la solution
de
ix0 )
u0
sous les contraintes
p is) x0 ^
p is) co0
(16)
et xQ^ 0
pour
s = a, ?. Consid?rons
p*
maintenant
=
iTria)pis),
les prix
ni?)pis)).
sous
la forme
sp?cifique
(17)
un usage un peu abusif de la no
Il nous faut d?montrer que (moyennant
v?rifie
est la solution de (10'),
p
tation),
lorsque
(17), (i) ix0is), x0is))
est la solution de (7) et (iii)
est une solution de
(ii) xxis)
ix0is), xxis))
(11'). Les r?sultats (ii) et (iii) sont ?vidents. Et le r?sultat (i) d?rive d'une
raisonnement
la
analogue ? celui que nous avons utilis? pour d?montrer
2 : en vertu de la concavit?
est la
Proposition
stricte, si (x0(a), x0i?))
solution de (10'), alors x0(a) = x0i?) = x0, et (10') se r?duit ? (16). Nous
avons ainsi d?montr? que ips, Xs) est un ?quilibre dans lequel les taches
solaires n'ont pas d'importance.
Suffisance.
(p", x") dans
=
x'hia)
x'hi?)
trerons qu'une
existe
deux
and
Supposons
qu'il
?quilibres
(p', x')
les
t?ches
solaires
n'ont pas d'importance.
Alors
lesquels
=
=
=
=
0,1. Nous mon
x'h =?x"
x'?ia)
x'h'(?) pour h
combinaison
des prix/?'
et p"
sous la forme sp?cifique
p = iTria)X'ip'ia) + pfi?)), iri?) X"(p"?*) + p"i?)))
pour
(X', X)> 0
(18)
110
supporte
de
sorte
,
l'allocation
existe
qu'il
#
un
X
\Xq
?
,
#,.
, Aq , Xx , Xx ),
dans
?quilibre
lequel
les taches
solaires
ont
de
l'importance.
X' un multiplicateur
du multiplicateur
de
(la valeur optimale
?
la
associ?
contrainte
dans
Lagrange-Kuhn-Tucker)
figurant
(10') lorsque
=
associ? ? la m?me
contrainte
p
pf et X" un multiplicateur
lorsque
=
Il nous faut d?montrer que, lorsque p v?rifie (18), (i) (x'0,
p
p".
x'0f)
est la solution de (10'), (ii) x[ est la solution de (7) pour s = a, (iii) xx
est la solution de (7) pour s = ? et (iv) (x?, x[ ) et (x?', xx) sont des so
lutions de (11'). Le r?sultat (iv) est ?vident. Les r?sultats (ii) et (iii) pro
du fait que x[ et x" sont les solutions de (7) pour
viennent
simplement
'
"
s = a et s = ?, lorsque p = p et p = p
Mais le r?sultat
respectivement.
un
d'attention.
peu plus
(i) requiert
Soit
pour commencer
Remarquons
Maximisation
de
que (10') se r?duit ?
Qc0 )
u0
sous les contraintes
(19)
(p'(c*)4-p'(/?))*o ^(P#(<*)+P'(?))co0
et x0 ?>0
lorsque p
=
p'
et ?
Maximisation
u0ix0)
sous les contraintes
(p"(tt) 4-p"(fi)) x0 ^ (p"(tt) + p"(?)
(20)
co0
et x0 ^ 0
=
p". Ainsi d'une part, (10') est associ?e au Lagrangien
=
+ X(p'(a)
4- p'(?))
L'(x0, xx, X)
u0(x0)
(co0 -x0)
=
et
lorsque p
p1
(21)
=
L"(x0, xlf X) w0(x0) + X(p"?x) +p"(?))
(22)
lorsque p
lorsque p
Lagrangien
=
p".
D'autre
part,
lorsque p v?rifie
(18),
(co0-x0)
(10')
est associ?e
au
=
+ MW?) X'(p'(?) +
L(x0(a), x0i?), m) ir(oOfi0(*o(a? + *(?M*o(?)
+ p'(?)) (co0- ^oW) + *(? X"(p"(<*)+
+ p"O?))(coo-xo(0))] = *(a)[u0(x0(o)) 4(23)
+ pX'ip'ia)
+
-h p'(/3))
ir(|S)[ii0(x0(U))4-
(co0
x0(a))]
+
MX"(p"(^)4-p"(?))(co0-x0(?))].
Ill
avons maintenant
recours au Th?or?me
de Kuhn-Tucker
relatif ? la
concave
(voir par exemple Uzawa
programmation
(1958)). Par hypoth?se
une solution de (19), de sorte que, par hypoth?se
x'0 est
(x? X') est un
point selle de (21). De la m?me fa?on, (x?', X") est un point selle de (22).
un point
alors que (x?, x?', 1) est n?cessairement
Un calcul simple montre
selle de (23). Il s'en suit que, lorsque p v?rifie (18), (x?, x'0') doit ?tre une
solution de (10') : nous avons ainsi d?montr? que (p, x) est un ?quilibre
a
dans lequel les taches solaires ont de l'importance.
Nous
1 met en relation l'existence d'un ?quilibre dans lequel
L'Observation
avec le nombre des ?quilibres dans
les taches solaires ont de l'importance
1 est tout ? fait propre au mod?le
lesquels elles n'en ont pas. L'Observation
ici ; elle n'est gu?re susceptible
d'?tre g?n?ralis?e de
pr?sent?
sp?cifique
mani?re
Elle joue dans notre analyse le r?le d'?tape dans la
significative.
de l'existence
d?monstration
de situations ?conomiques,
caract?ris?es par
une information parfaite et des croyances communes ? tous, dans lesquelles
les taches solaires ont une importance.
On pourrait ?tre induit en erreur par l'Observation
1. Dans le mod?le
avec
utilis?
cette
dans
les
taches solaires sont
section,
sp?cifique
?quilibres
choisis au hasard ? partir des (deux) ?quilibres sans taches
essentiellement
solaires. Un exemple fourni dans le second appendice montre que ce n'est
en aucun cas le seul type d'?quilibre avec taches solaires possible. Il importe
avec anticipations
d'observer que, dans les mod?les
d'?conomies mon?taires
nous
sommes
une
confront?s
?
vaste multiplicit?
rationnelles,
typiquement
dans lesquels les taches solaires n'ont pas d'importance
d'?quilibres
(cf.,
Cass et Shell (1980) et Balasko et Shell (1981)).
Il reste
par exemple,
encore ? examiner de mani?re
la question de savoir si sem
syst?matique
a ou non des implications
blable multiplicit?
du point de vue de l'exis
tence des ?quilibres dans lesquels les t?ches solaires ont une importance
effective.
Nous
concluons
cette
la possibilit?
des ?quilibres
section par notre principal r?sultat concernant
dans lesquels les taches solaires ont de l'impor
tance.
Proposition
3
avec anticipations
Dans
l'?conomie
et acc?s
rationnelles
il peut exister des ?quilibres dans
contraint,
temporellement
taches solaires ont de l'importance.
au march?
les
lesquels
D?monstration
Elle se d?duit de l'Observation
1 et de la possibilit?
d'une non-unicit? des ?quilibres Arrow-Debreu
simples.
bien
connue
112
4. TACHES SOLAIRES ET BIEN-ETRE
examen
est men?
? l'aide des mod?les
Le pr?sent
sp?cifiques pr?
au
non contraint)
II
la
et dans la Sec
Section
march?
dans
sent?s
(acc?s
sont n?am
Ses r?sultats principaux
tion III (acc?s au march? contraint).
moins parfaitement
g?n?raux.
est dite
Une allocation x = (x0, xx) = (x0(a), x0(|3), xxia), Xji?))
aucune
au
sens
si
il
n'existe
autre
alloca
de
Pareto
traditionnel
optimale
les
tion y = iy0, yx) = iy0ia), y0i?), yxia), yxi?))
poss?dant
propri?t?s
=
avec
au
une
h
??
moins
pour
0, 1,
in?galit? stricte
(i) vh iyh)
vh ixh)
et
(ii) ? xh > S yh .
h
h
avec acc?s au march? non contraint
sont
Des allocations
d'?quilibre
au sens de Pareto traditionnel,
et des allocations
?videmment
optimales
au sens de Pareto traditionnel
sont des allocations
d'?quilibre
optimales
avec acc?s au march? non contraint pour un ensemble
convenablement
choisi de dotations.
aucun de ces deux th?or?mes de bien-?tre ne s'applique
Cependant,
aux ?conomies avec acc?s au march? temporellement
contraint.
directement
l'allocation des res
Ceci s'explique par le fait que Mr 1 ne peut modifier
sources qu'apr?s la manifestation
des taches solaires. Il intervient ou bien
ou bien en tant que Mr(l,j3).
en tant que Mr(l,a)
Aucun agent n'est
sur
march?s
les
contraints
pour
temporellement
r?pondre en tant
pr?sent
du person
que partenaire aux besoins ex-ante des deux faces potentielles
nage de Mr 1.
Paretienne
peut donner un sens plus faible ? l'optimalit?
(que
Paretienne
mieux adapt? ? l'ana
?optimalit?
baptisons
dynamique?),
dans lesquelles
l'acc?s au march? est temporellement
lyse des ?conomies
On
nous
contraint.
Une
=
est dite
(x0 (a), x0i?), xxia), xxi?))
(x0, xx)
sens
aucune
au
si
autre
il
n'existe
Pareto
de
optimale
=
les
ayant
pro
iy0, yx)
(y0(p?)9 y0i?),
yxi?))
yxia),
allocation
dynamiquement
=
allocation
y
x =
pri?t?s
(i)
v0iy0)^v0ix0),uxiyxia))^>uxixxia)),
"i iyii?))
et
(ii) 2 xh > 2 y h
h
^
et
"i (*i i?)), avec au moins
une in?galit?
stricte
113
avec acc?s au march?
Une
allocation
d'?quilibre
temporellement
au sens de Pareto. Chaque alloca
est dynamiquement
contraint
optimale
tion dynamiquement
optimale au sens de Pareto est une allocation d'?qui
libre avec acc?s au march?
contraint pour un ensemble
temporellement
convenablement
choisi
de dotations
? Mr 0, Mr (1, a) et
(attribu?es
M'(1,0)).
deux
Ces
plus approfondi
crit?res
:
naturels
de
bien-?tre
requi?rent
un
commentaire
non contrainte,
Dans
l'?conomie
toute allocation
au sens
optimale
de Pareto
r?alis?e sous notre condition
initiale
(traditionnel)
peut-?tre
en vertu de laquelle les dotations
les syst?
(ou, de mani?re ?quivalente,
mes d'imposition
et de subvention
? des dotations
applicables
donn?es)
sont ind?pendantes
des taches solaires, et ce pour la m?me raison, ? savoir
Dans l'?conomie
tem
que les taches solaires n'ont jamais d'importance.
on
ne
contrainte
porellement
pourra
cependant,
g?n?ralement pas compter
sur une telle flexibilit?
additionnelle
; semblable condition
pesant sur les
sur les syst?mes d'imposition
dotations
et de subvention)
(et par cons?quent
limite ?galement la possibilit? de traiter Mr (1, a) et Mr (1, ?) comme deux
individus essentiellement
distincts.
au sens traditionnel
Paretienne
L'optimalit?
implique
l'optimalit?
Paretienne
mais
l'inverse n'est pas vrai. En fait le premier
dynamique,
suppose d'assigner des poids relatifs au bien-?tre de Mr(l,
concept
a) et
relative d'une naissance dans l'?tat a ou
de Mr (1, ?) selon la probabilit?
dans l'?tat ?. Cette proc?dure
d?si
peut s'av?rer, ou pas, socialement
elle permet de justifier avec force
rable (8). Si on la juge telle, cependant,
une intervention
d?lib?r?e visant ? compenser
les effets
gouvernementale
des
taches
solaires.
5 illustre le contraste entre les deux concepts d'optimalit?.
=
4- iri?) w0(x0(j3)).
0 est, naturellement,
iria) u0ixQia))
vQ
est
d?finie par uXQL= ux ixx (a)) et, de lam?me fa?on,
(1, a)
=
?) par ux?
ux ixx i?)). La surface ? deux dimensions dans
? l'ensemble des allocations
correspond
l'espace iv0, uXot, ux?)
dynami
au
sens
de
au
Ces allocations
Pareto.
sont optimales
quement
optimales
sens de Pareto traditionnel
si, et seulement si, ux ?ux&. Dans la figure 5,
v0 est fix? au niveau v0. La courbe en pointill? est le heu des paires maxi
avec U0. L'allocation
males
? l'in
compatibles
correspondant
iuXa, ux?)
et du rayon uXa =
tersection de la courbe en pointill?
est
optimale
ux?
au sens de Pareto traditionnel.
La
L'utilit?
L'utilit?
celle de
figure
de Mr
de Mr
Mr (1,
ne pensons
le
pas qu'elle
(8) Nous
? priori,
et tout particuli?rement
dans
le
nant
? la fois des ?l?ments
intrins?ques
certains
? cette
relatifs
aspects
question
g?n?rations
successives,
voir Muench
(1977).
soit,
cas
et
dans
si on
d'une
se fonde
du moins
sur des motifs
incertitude
extrins?ques).
le contexte
(ou conte
intrins?que
une pr?sentation
de
Pour
d'un
mod?le
particulier
?
114
MMi.?)
Mr(1,a)
Mr0
Figure
5.
PREMIER APPENDICE
Afin
de faire ressortir les caract?ristiques
les plus importantes
que
la formulation
g?n?rale de notre exemple directeur, nous consi
pr?sente
un mod?le prototype
dans lequel le temps ne joue
d?rons pour commencer
aucun r?le particulier. Nous d?veloppons
ensuite cette version essentiel
en vue d'y int?grer les notions
lement a-temporelle
fondamentales
que
les
contraintes
d'information
constituent,
premi?rement,
temporelles
du Chapitre 7 de Debreu)
conceptuelles
(l'une des principales contributions
au march?. Nous
les contraintes
d'acc?s
et, deuxi?mement,
temporelles
des Propositions
1 et 2 l'ex
pour terminer, aux d?monstrations
donnons,
vaste d'?change pur ? travers
relativement
tension requise dans ce mod?le
le temps.
ment
restent sensible
Les principaux
?l?ments de notre mod?le
prototype
en g?n?ral un grand
? ceci pr?s qu'il existe maintenant
les m?mes,
de
nombre
d'?tats
s?
C'est
traite pour
t =
p?riodes,
S (avec
#
S <
intentionnellement
repr?senter
0,
??),
1,.
et de
. . , n,
que
nous
l'incertitude
de
/
marchandises
consommateurs,
avons
; le fait que
h
=
retenu
=
1, 2,
1, 2,.
. . ., m.
une
notation
l'?tat du monde
. . ,
?,
abs
constitue
115
une description
compl?te de la r?alisation de toute l'incertitude pertinente,
des p?riodes ? venir, est mis en relief par cette notation.
l'ensemble
pour
s peut ?ventuellement
d?crire l'?volution de l'activit?
Ainsi, par exemple,
de
solaire,
S=
sorte
que
Hol,...,ot,...,on):
t
pour
o'e{a,?}
=
. . . ,
n}.
1, 2,
soit d'ailleurs
le consommateur
h per?oit
Quelle
qu'en
l'interpr?tation,
l'?tat s comme une variable al?atoire ? laquelle est associ?e une distribu
le cas ?ch?ant subjective,
tion de probabilit?s,
avec
{irhis)}
.sES
pour
irh(s)^0
et
2
sGS
*"?
la consommation
Notons
de la marchandise
x^'Cs)
au cours de la p?riode t, dans l'?tat s,
=
>x^is),...,
*?
ixVis)>
x<h'Hs))
=
et xhis)
.. ,
x?,...
(x?,.
= 1
/ par
l'agent h,
, x?(s)).
Comme
les pr?f?rences
du consommateur
pr?c?demment,
sa consommation
et
sont repr?sent?es
prospective
{xh is)}
-*
:
tion d'utilit?
nous
nous bornons
X
R, que
vh
R+2
sGS
sur
h portent
une
fonc
par
maintenant
?
et d?pourvue de maxima
supposer continue, quasi-concave
locaux. L'agent
h dispose
d'une dotation
de marchandises
?galement
que
prospectives
nous
de
nous
contentons
(i) les opinions
relatives
irhis)
pour
h
=
1, 2,.
. . ,m
(ii) les fonctions
pour
de
maintenant
non-triviale.
supposer
de g?n?raliser
notre pr?c?dente
Afin
nous
l'activit?
supposons
solaire,
que
h
=
1, 2,.
=
aux
iris) >
probabilit?s
0
pour
satisfons
vhi{xhis)})=
2
(iii) les dotations
sont
communes
? tous,
s G S (Al)
;
d'utilit?
. . ,m
caract?risation
de la nature
est extrins?que
:
l'incertitude
ses
l'hypoth?se
de
l'utilit?
esp?r?e,
iris)uhixhis)) (A2)
; et,
de marchandises
sont
ind?pendantes
de
l'?tat du
monde,
cohis)
pour
h
=
1, 2,.
..,
=
c?h
pour
sG S
(A3)
m.
Ils s'en suit que uh est continue,
concave et ne comporte
pas de
maximum
Yaari
de l'aversion
global. (Voir
(1977) pour une justification
pour le risque dans ce contexte).
116
Enfin, et afin de fermer lemod?le,
/, durant la p?riode t, dans l'?tat s,
p\s)
et Pis)
=
. . , pt'Ks),.
ip^'is),.
?quilibre
contingentes
=
(P, x)
ip1is),.-.,ptis),...,pnis)).
Upis)},
de
Z?
sous les contraintes
?? Pis)
sGS
et sh is) ^
=
1, 2,.
m
X
pour
(x? \s)
t
=
?
1, 2,.
. . ,m,
allou?es
{xhis)},...,
de marchandises
{xmis)}))
ir is) uh ixh is))
?
coh) %. 0 (A5)
ixhis)
0
pour
sE S
et
<
gj? ') 0, avec une ?galit? stricte lorsque ptf *(s)> 0
. . ,n
(A4)
du probl?me
ses
h
,...,
i{xxis)}
soit solution
{xhis)}
Maximisation
pour
.. ,
pf>*is))
est une paire de prix et de quantit?s
Un
telle que
=
soit ptf 'is) le prix de lamarchandise
;
/
=
1, 2,.
. . , ;
(A6)
?GS,
le temps n'est intervenu que dans la mesure o? la date de
Jusqu'ici,
se trouvait distingu?e
d'une marchandise
? titre de caract?
disponibilit?
de cette marchandise.
? la
Nous passons maintenant
ristique particuli?re
de deux v?rit?s sans appel ? savoir que, d'une part, la r?a
mod?lisation
se produit naturellement
au cours du temps, et
lisation de l'incertitude
des consommateurs
varie naturellement
que, d'autre part, la population
? travers le temps.
se r?soud dans
le fait que l'incertitude
Consid?rons
premi?rement
des
dans
le
meilleur
consommateurs
Les
cas, inform?s
le temps.
sont,
au cours d'une p?riode don
En cons?quence,
mais non pas omniscients.
supposer connu par un consom
n?e, tout ce que l'on peut raisonnablement
sont les ?v?nements qui se sont
mateur en ce qui concerne l'?tat du monde
on formalise cette limitation en
Suivant Debreu,
d'ores et d?j? produits.
compl?te durant la p?riode t signifie la con
sp?cifiant qu'une information
d'?tats s*, qui
naissance du fait que l'?tat s appartient ? un sous-ensemble
une
de
des
Cette repr?
son
?tats
S*.
tour
?
?
l'espace
partition
appartient
sentation ne s'accorde avec la signification
qu'on lui pr?te qu'? condition
de supposer que S0 = S, S* est une partition
plus fine que Si~1 pour
?
initiale
c'est-?-dire
t = 1, 2,. . ., n et S" = {S}
qu'on ne dispose
117
d'information
d'aucune
ment
puis les niveaux
information,
acquis aug
avec le passage du temps, pour aboutir finalement ? une informa
mentent
tion compl?te.
ce d?veloppement
pour la descrip
Quelles
pr?sente-t-il
implications
du march? ? Et bien simplement
le fait que si l'?tat
tion du fonctionnement
s' ne se distingue pas de l'?tat s" au cours de la p?riode t, alors la mar
chandise it, i) dans l'?tat s' rie se distingue pas de lamarchandise
it, i) dans
est
r?elle
la
donc
n?cessit? d'ajouter
l'?tat s". La principale
cons?quence
au programme
d'information
(A5) des contraintes
imposant l'identit? de
en pr?sence d'?tats indistincts.
la consommation
=
x'(s')
=
XfcV')
pour
*?)
j',i"
r=
j'es';
1, 2, ...,n.
(A7)
De plus, outre le rajout de (A7), tout ce qui compte ? des fins d'ana
sont les prix composites
ou
correspondants
d'interpr?tation
lyse
p'(5f)= I
p\s)
jesf
s* E
pour
S*
=
; 1
? supposer
borner
..
1, 2,.
que
, n.
les prix
composants
exemple,
nous
sous-jacents
pourrions
prennent
nous
la forme
suivante
commode
t
P is)
=
s* E
S*
=
; t
\,2,.
t t t
nis)
pour
?-Pr(r)
L
pour
par
Ainsi,
ses*
tris')
. . , n.
Semblable
structure
ne
jouera
cependant
aucun r?le dans l'expos? qui suit.
nous passons
des aspects temporels de l'incertitude,
De la description
Les
de
la
des
?
la
maintenant
description
aspects temporels
d?mographie.
consommateurs
naissent,
vivent
et
meurent.
Par
cons?quent,
un
consom
de mar
mateur
donn? n'est concern? que par un (petit) sous-ensemble
?
chandises contingentes
(et par les march?s
savoir, essen
correspondants)
les marchandises
(et les march?s
tiellement,
contingentes
correspondants)
au cours de sa dur?e de vie. On forma
se trouver disponibles
qui peuvent
lise cette restriction sans difficult?.
ait une date de naissance
Supposons
qu'un consommateur
bh
une
et
de
de
date
d?c?s dh (sa derni?re p?riode
vie)
premi?re p?riode
vie), de sorte que
(sa
de
0 % bh -gdn % n
en introduisant
sim
peut tenir compte de ces dates elles-m?mes
la
contraintes
dans
la
des
do
d'inactivit?
?
fois
des
plement
sp?cification
? en red?finis
du comportement
tations (A2) et dans la description
(A5)
On
118
sant
en
de
l'ensemble
fait
?
consommation
avec
pour
cons?quence
en
que
particulier
= 0
x?
t -h bh,
pour
. .,
d? , s E S.
bh+x,.
(A8)
sera d'ores et
ant?rieure
donn? cependant
Etant
que l'incertitude
on doit ?galement
le
identifier
de sa naissance,
d?j? r?solue au moment
d'une statistique de vie plus subtile, ? savoir
h au moyen
consommateur
un ?tat de naissance sbh E Sbh. Mais ceci signifie qu'une description exacte
addi
de contraintes
de son activit? sur le march? requiert l'introduction
ses
de
de
?tats
naissance
chacun
d'inactivit?
tionnelles
pour repr?senter
en
En d'autres termes, le probl?me unique (A5) se d?compose
possibles.
la
embrassant
probl?mes
plusieurs
des
totalit?
?v?nements
pr?nataux
concevables,
Maximisation
de 2*
iris) uh ixh is)) (9 )
ses
sous les contraintes
2
Pis)ixhis)~
et xh is) ^
h)^0
0
pour
sE s
iA5sbh)
h
=
1, 2,. . . ,m. Il est utile (bien qu'un peu inexact)
pour sbh E Sbh ; h
le probl?me
de concevoir
le probl?me
(A5*
(A5) joint aux
) comme
contraintes d'inactivit?
= 0
pour
(A9)
s$sb*.
*?
accentue
le parall?le entre les deux
Cette
interpr?tation
l'acc?s au march?.
et (A9) qui restreignent naturellement
contraintes
(A8)
avec
faite dans le texte entre un monde Arrow-Debreu
La distinction
illimit? et un monde
o? cet acc?s est temporellement
acc?s au march?
entre le comportement
? la distinction
contraint
pr?cis?ment
correspond
d?crit par (A5S
)
d'?change d?crit par (A5) et (A7) et le comportement
nous
nous
r?f?rerons
et
Pour
?
respectivement
abr?ger,
(A8).
(A7)
joint
comme non-contraint
et dans le
? un ?quilibre dans le premier mod?le
second
comme
contraint.
temporellement
1 and
des Propositions
Avant
d'en venir enfin aux d?monstrations
nous
nous
construction
d'une
faut
il
permet
suppl?mentaire
disposer
2,
introduit (resp. n'intro
tant de fixer l'id?e que l'incertitude
extrins?que
r?elle. Admettons
duit pas) une diff?rence
qu'un ?qui
sp?cifiquement
(9) Ceci
est ?quivalent
2
aux maximand
(*?/
2
ir(?')ruh0cH(?)).
119
soit une paire de prix et de quantit?s
Ubre avec certitude
chandises non contingentes
=
x)
(p,
..
((p1,.
,p\...
soit une solution
telle que xh
Maximisation
de
,pn),
allou?es
..,xh,..
ixx,.
de mar
.,xm))
de
ixh )
uh
?
sous les contraintes
0 10)
coh ) ^ (A
pixh
et xh ^ 0
h
pour
=
1, 2,
m
'?
pour
u>lh )
(x?'
2
r
=
. . . ,m,
<
n;
1,2,...,
et
avec une ?galit? stricte lorsque
0,
i
=
.,
1, 2,..
fi. Etant
traint particulier
(p, x), nous dirons
a de l'importance
(resp. n'en a pas)
avec
certitude
tel que
d'?quilibre
2
ses
donn?
un
'
p*' >
?quilibre
0
(Ail)
non
con
donc que l'incertitude
extrins?que
si il n'existe pas (resp. si il existe)
* is) uh ixh is)) = uh ixh ). (A 12)
=
pour h
1, 2,. . . ,m. De la m?me fa?on, ?tant donn? un ?quilibre tem
nous dirons que l'incertitude extrins?que
contraint particulier,
porellement
a de l'importance
a
n'en
(resp.
pas) si il n'existe pas (resp. si il existe) un
avec
tel
certitude
x)
?quilibre
que
(p,
2
2
iris'))uhixhis))~uhixh)
(tt(5)/
s'<=sb?
/
s<Esb*
pour
h =
sb*esbh;
l, 2,.
iA\2sth)
. ., m.
donc les situations o? l'incertitude
Nous caract?risons
a
extrins?que
comme les situations dans lesquelles l'existence de march?s
de l'importance
induit une ?diff?rence
de biens contingents
r?elle? en termes de bien-?tre
individuel. Dans le cas de l'?quilibre temporellement
la question
contraint,
est
?le
bien-?tre
de
individuel
on
Comme
l'a
critique
qui??
indiqu? dans
le texte, nous avons r?solu cette question
d'une mani?re qui semble ? la
: un consommateur
fois ?vidente et naturelle
h donn? caract?ris? par l'?tat
de naissance
mateur
h
s0*9 est simplement
caract?ris?
par
l'?tat
de
Etant donn? nos hypoth?ses
de r?exposer
n?cessaire
les deux
mani?re accessoire. Voir Balasko
le cadre
von
Neumann-Morgenstern.
un
individu
et notre
r?sultats
(I98l)
diff?rent
du m?me
consom
sbh" ?= sbh'.
naissance
il n'est
terminologie
pr?sentes,
du texte que de
fondamentaux
pour une g?n?ralisation
d?passant
120
Proposition
Al
non
Il n'existe pas d'?quilibre
trins?que ait de l'importance.
Proposition
contraint
dans
l'incertitude
lequel
ex
A2
Si il existe un ?quilibre avec certitude, alors il existe ? la fois des ?qui
contraint dans lesquels l'incertitude
libres non contraint et temporellement
n'a
extrins?que
pas
d'importance.
Remarque
de la proposition
A2 revient ? supposer que la r?parti
L'hypoth?se
satisfait l'une des conditions
tion des dotations
classiques de l'existence de
avec certitude
caract?ris?e par iuh,
l'?quilibre dans l'?conomie
h) pour
ou l'interconnection
des
l'irr?ductibilit?
h = 1, 2, .. . ,m, par exemple,
ressources.
de Al
D?monstration
Supposons
que
soit un
(p, x)
?quilibre
P= 2
non
contraint
et d?finissons
pis),
ses
xh
et
h
pour
ment
=
1, 2,.
. . ,m.
xh is)
Nous
=
iris) xhis)
2
ses
=
sE S
pour
xh
montrerons
que
les
prix
p
supportent
?gale
l'allocation
x =
ce qui
r?sulte
signifie que
directement
i{xxis)},...,
{xhis)},...,
{xmis)}),
Il en
(p, x) est ?galement un ?quilibre non contraint.
satisfaisant
que (p, x) est un ?quilibre avec certitude
(A 12).
D'une
part, par hypoth?se,
{xh is)}
est une solution
de (A5) et (A7)
=
pour h
1, 2,. . . ,m, et en raison de la concavit?
en raison de (Al) et (A2))
2
*(s) uhixhis))
=
uhixh)
=
(et en derni?re
(Al3)
instance
fffo) xhisj] ^ 2 *(s) uhixhis))
uh
ses
ses [2
J
Lses
121
pour
=
h
1, 2,.
. . ,m.
En
classique
est une solution
{xhis)}
pour
?
h
. . ,m
1, 2,.
en
cons?quence,
la
reprenant
raisonnement
r?v?l?e, ou bien
de la pr?f?rence
de A5 et A7
(A14)
et donc
m
2=
/i
i
2
Pis)ixhis)-
H
Pis) ixhis)
ses
h)
m
ou bien
2
/2=i
D'autre
qu'en prenant
ses
(A15)
co?)>0. (Al 6)
m
2= (2
/i i Ses
(*?'(?)-?tf')=
/?=i
'
=2
*es
pour
0,
est par hypoth?se
une solution de (A6) de sorte
(et en derni?re instance en raison de (A3))
part, (p, x)
lamoyenne
m
2
-
=
/
=
. . ,n
1, 2,.
/
;
luation classique,
=
1, 2,.
=
7r(?)x?'(?)-G??'')
m
ir(i)2
fc=i
. . , fi.
(A17)
(*?'(*)-atf')<0
en
D'o?,
faisant
le
calcul
d'?va
m
2
2
h-i
ses
(Al8)
Pis)ixhis)-c?h)<0.
tandis que (A 14) et par cons?
(A 16) et (A 18) sont contradictoires,
si et seulement si
quent (A 15) et (A 17) sont compatibles
m
?
l)
0, avec une ?galit? stricte lorsque pf,iis) > 0
2
iXh\s)
=Cj?]i ^
Mais
h
1
(A19)
=
=
pour t
1, 2,. . ., n ; /
1, 2,. .. , fi. (A14)
fait que (p, x) est un ?quilibre atemporel.
tude
Finalement,
satisfaisant
pour
joint
? (A19)
v?rifient
en d?duire que (x, p) est un ?quilibre avec certi
il suffit d'observer
que (A 16) implique (A10),
(A 12),
que (A19) implique (Al 1) et que (A13) joint ? (A14) impliquent (A12).
D?monstration
Supposons
d?finition
a
de A2
que
(p, x)
soit un ?quilibre
Pis)
pour
le
s E S et
xhis)
=
xh
=
avec certitude
et posons
par
iris) p (A20)
pour
sE
S
(A21)
122
=
pour h
1, 2,. .. ,m. Nous montrerons
que (p, x) est ? la fois un ?qui
non
contraint et temporellement
libre
contraint. Etant donn? la construc
tion des allocations
(A21), il s'en suit donc imm?diatement
que l'incerti
tude
n'a
extrins?que
pas
d'importance.
Attachons-nous
? l'?quilibre non contraint.
Il nous
pour commencer
une
est
faut montrer
solution
de
et
et
que (i) {xhis)}
(A5)
(A7)
(ii) que
(p, x) est une solution de (A6). Le r?sultat (ii) est ?vident, puisque l'hy
selon laquelle (p, x) est une solution de (Ail)
poth?se
l'implique directe
ment. Et le r?sultat (i) est presque aussi imm?diat puisqu'il d?rive directe
ment ? la fois de l'hypoth?se
selon laquelle xh est une solution de (A 10)
et du r?sultat facile ? v?rifier (?tant donn? la construction
des prix (A20)
si {xhis)}
est une solution de (A5)
suivante : en raison de la concavit?,
et (A7), alors :
=
x?
une
est ?galement
borner ? consid?rer
allocations
(A21)).
En
nement
2
s?es
*(s')XH(sf)-
solution de (A5)
les solutions qui
?ES
pour
(A22)
donc nous
(nous pouvons
la structure sp?cifique des
et
(A7)
rev?tent
ce qui concerne
l'?quilibre
temporellement
est identique ? condition de remplacer ?(A5)
le raison
contraint,
et (A7)? par ?(A5*
)
joint ? (A7) et (A8)? et (A22) par
xhis)
=
2
(tt(s')
i'es
(Les calculs
//
2
pour s E Sb?.
ir(j"))x?)
iAll5^)
?"esftfc
sont cependant
a
encore plus laborieux).
SECOND APPENDICE
a pour objet de fournir un exemple d'?quilibre
Cet appendice
dans
ont
ne
se
les
taches
solaires
de
mais
ram?ne
pas
lequel
l'importance,
qui
? une loterie entre des ?quilibres dans lesquels les taches
essentiellement
cons
le mod?le
Consid?rons
solaires n'ont pas d'importance.
sp?cifique
III. Afin d'?viter les propri?t?s par
tituant la pi?ce centrale de la Section
li?es ? cet exemple,
ticuli?res
supposons pour le cas pr?sent qu'il y ait
=
consommateurs
n?s ? la p?riode
deux
0, disons, h E G0
{0', 0"},
=
n? ? la p?riode
et un consommateur
1, disons, h E G1
{1} . Le compor
des consommateurs
tement d'optimisation
donc d?crits de lamani?re suivante :
Maximisation
de
iria) uhixhia))
et
l'?quilibre
4- iri?)
uhixhi?))
du march?
sont
123
sous les contraintes
Pia) xhia) 4- pi?) xhi?) ^ pia)
et ixhia),xhi?))^0
pour
h EG0
h 4- pi?) co?
(AI)
;
Maximisation
de
uh ixh is))
sous les contraintes
pis) xh ^pis)coh
(A2)
et xh is)^0
pour
=
;s
a, ? ; et
h E G1
,1
pour
s =
a,
xhis)=
2
co,,
(A3)
?.
Avec
le maintien
des hypoth?ses
faites sur les pr?f?rences
et les do
tations, il reste vrai que, ?tant donn? un ?quilibre particulier
(p, x), les
taches solaires ont de l'importance
si, et seulement
si, xhia) ?= xhi?)
h E G0. En outre, si uh est diff?rentiable
pour un quelconque
pour un
h E G0, alors un tel ?quilibre ne sera pas r?ductible
quelconque
? une
combinaison
dans lesquels
les taches solaires sont sans im
d'?quilibres
portance ? condition que
?
h E G0 ; s = a, ?.
pis) ixhis)
u)h) =? 0 pour un quelconque
(A4)
On peut consid?rer
ce r?sultat de la mani?re
suivante : supposons,
au contraire,
que (p', x') soit un ?quilibre ayant la propri?t? que (par
souci de sp?cificit?) x'h is) = xhia) pour h E G0 ; s = a, ?. La diff?ren
tiabilit? de uh pour un certain h E G0 implique alors la colin?arit? de
et pia)
le consomma
(au vecteur
p'(?0, P*i?)
pour
?uhixhia))/bxh
teur en question).
Mais
(A4) implique donc que, ?tant donn? p = p',
la r?solution du probl?me
(A2) ne se r?duit pas ? la r?solution du pro
bl?me
Maximisation
de
uh
ixh )
sous les contraintes
(p'(<*)+ p'i?)) xh ^ ip'ia) + p'(?)) co?
et xh ^ 0,
pour
h E G0,
Notre
ce qui contredit
l'hypoth?se
initiale.
tache consiste
ainsi simplement
? construire
des opinions,
des pr?f?rences
et des dotations
les hypo
qui satisfassent non seulement
th?ses conserv?es, mais ?galement
additionnelle
de diff?ren
l'hypoth?se
124
en outre une solution
et qui fournissent
tiabilit? des fonctions
d'utilit?,
de (Al),
(i) xh (a) ?= xh (?) pour
(A2) et (A3) ayant pour propri?t?s:
?
un quelconque
h S G0 et (ii) p(s) (xh(s)
coh) =? 0 pour une quelconque
=
en formant une
h G G0 ; s
a, ?. On peut r?aliser une telle construction
paire de prix et de quantit?s allou?es qui poss?de assez de degr?s de liber
comme
et les pr?f?rences
de sp?cifier les opinions
il
t? pour permettre
convient.
1) Soit
2) On
p'{?)>0.
h G G0
pour
o>h =(1,1)
et
choisit p = ((p'O*), 1), (p'i?), D)
e>
3) On choisit
j
((pH?),
=
=. x' =
x0,
UpH?),
=
l)(x1,x2)
(x1, x2) >
positive
4) On choisit
tel que
h
G1.
1>px(a)>
0 de sorte que
(/??(a), l)U1,^)
ait une solution
pour
o>? =(2,2)
? e
(p1(?),\)(\,l)
+ e
0 [* x2 >
(x'(a),
1) *'(<*)
(p1(a), 1) (1,1)
tel que
x'(?))
=
1> x1 ].
1) (1,1)
(p?,
? e
=
(PH?), D(l,l) + e
((p'i?), l)x'(?)
=
[- (pV?), 1)x'(?) + (p'i?), l)x'(?
=
1) (1,1) + (p1??), D (1,1)]
(p?,
et
x'(tf)
on choisit
[^(p?,
x0?
> x'(|3) >
= x" =
(x"(a),
0 [=* x2'(?)
x"(j3))
>
1> x1#(a)]
;
tel que
( (p?(a), 1)*"(<*) = (p?(o), 1) (1,1) + e
=
(p1(?),l)(l,l)-e
\(pl(?), l)x"(?)
=
l)x"(a) + (pl(?), \)x"(?)
=
(p?(?), 1) (1,1) + (p1(0), D (1,1)],
*"(?)>
et x2'(0)
>x2"(0)
>
et on choisit xt = x = Qc(a), x(j3))
= 21)
(x'Cs)
x(s)
x"(0)>O
1>xlM(a)
>xi'(a)
;
de sorte que
(jc"(s)
[=>x(?)>x(a)>0
-
1) pour
s = a, ?
125
l)xia) = ip1ia), 1) (2,2)
=
ipli?), Dxi?)
ip1i?), D(2,2)].
et
(p?,
Une telle paire de prix et de quantit?s allou?es (et ses caract?res
prin
cipaux) est repr?sent?e dans la figure 6. Il est ?vident que cette sp?cifica
tion implique
l'?quilibre du march?
(A3). Il ne reste ? d?montrer
que,
un choix appropri? de iris) et
moyennant
des consom
uh, l'optimisation
mateurs (Al) et (A2) est ?galement v?rifi?e.
*2?
(1/2x2 (s))
-(pMaUJxo-fa)
,(p1(a?,1)x0,(a)
=
=
(pNaUMUNc
IpMaljDIUI-e
ip1(?)J1)x0,{?)=(pM?),1)i1,1)*e
(pM?JJixoni?JMpM?JJ)
(U)*e
(1/2u)2=l)
^G^1/2x(?))
x'(s)
=1)
(1/2^
h
G?
(h 6G1)
Figure
6.
(1/2x^(8))
126
5) On choisit
0<
7r(a) <
1 de fa?on ? ce que
irri?)liria)) p1 (a) < p1 i?) [=*iri?)/iria) <
6) On consid?re
uh
1 ].
tel que
=
w?,x2)
4- whix2)
??)
et stric
strictement
croissantes
et vh, wh : R+ -> R soient diff?rentiables,
de ces fonc
tement concaves. Etant donn? que le mode de sp?cification
ob?it essentiellement
? la m?me
tions particuli?res
logique pour les trois
nous nous bornerons
? en expliciter
la proc?dure dans le
consommateurs,
cas de Mr 0 (et nous nous dispenserons
de le rep?rer par
par cons?quent
son indice).
(et une simpli
:
du probl?me
de Kuhn-Tucker
directe du Th?or?me
L'application
non
entraine
moins directe)
fication
que x' est solution
de
Maximisation
iria) [vix'ia)) + w(x2(a))] 4- *(j5) [vix'i?)) 4- w(x2(?))]
sous les contraintes
ip'ia),
l)x(a) + ip'i?),
1)(1,1) + ip'i?), 1)(1,1)
l)xi?)<ip1ia),
et (x(a),x(/3))^0
si et seulement
si x
'
v?rifie
les conditions
=
v,ix1\a))lw,ix2'ia))
p'ia)
^(x1'(/3))/w'(x2'(/3))=p1(?)
=
W'ix2'ia))lw'ix2'i?))
pente (n(?}/n(a))p1(a)<
7T(?)/7T(a).
pente
p1 (?)
n
(?)/ti
(a) < 1
v
pente
pente
p1 (?)
xi'?x)
Figure
7.
1 -
127
comme
Mais,
v, w
sissons
x'ia)
tels
ces conditions
>x'(j3),
seront
si nous choi
satisfaites
que
et
v'ix1\?))=p1i?)
=
et h>'(x2'(/3))
v'ixlfia))
1
et
iiri?)/iria)) p?
=
w'ix2\a))
sont repr?sent?es
De telles fonctions
-
<
iri?)/iria)
sur la figure
<pl(?)
1.
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