Coloration de graphe

Coloration de graphe
méthodes, applications et variantes
Alexandre Gondran
ÉNAC
Laboratoire MAIAA
[email protected]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
1 / 47
Plan
1
2
Problème de coloration de graphe
1
Quelques définitions
2
Quelques applications
3
Principales méthodes de résolution
Exemples d’applications et variantes
1
Aviation civile
2
Télécommunications
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
2 / 47
k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
graphe G = (V, E)
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Définitions
k-coloration légale : respect des contraintes : c(vi ) 6= c(vj ),
∀(vi , vj ) ∈ E
G est k-coloriable s’il admet une k-coloration légale
Le nombre chromatique χ(G) est le plus petit entier k tel que G est k-coloriable
Une classe de couleur est un ensemble des sommets coloriés de la même couleur
Un stable est un ensemble de sommets non adjacents
⇒ une k-coloration légale = un partitionnement du graphe en k stables
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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3 / 47
k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
3-coloration légale
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Définitions
k-coloration légale : respect des contraintes : c(vi ) 6= c(vj ),
∀(vi , vj ) ∈ E
G est k-coloriable s’il admet une k-coloration légale
Le nombre chromatique χ(G) est le plus petit entier k tel que G est k-coloriable
Une classe de couleur est un ensemble des sommets coloriés de la même couleur
Un stable est un ensemble de sommets non adjacents
⇒ une k-coloration légale = un partitionnement du graphe en k stables
A. Gondran (ÉNAC)
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3 / 47
k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
3-coloration non légale
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Définitions
k-coloration légale : respect des contraintes : c(vi ) 6= c(vj ),
∀(vi , vj ) ∈ E
G est k-coloriable s’il admet une k-coloration légale
Le nombre chromatique χ(G) est le plus petit entier k tel que G est k-coloriable
Une classe de couleur est un ensemble des sommets coloriés de la même couleur
Un stable est un ensemble de sommets non adjacents
⇒ une k-coloration légale = un partitionnement du graphe en k stables
A. Gondran (ÉNAC)
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3 / 47
k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
arrêtes en conflit
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Définitions
k-coloration légale : respect des contraintes : c(vi ) 6= c(vj ),
∀(vi , vj ) ∈ E
G est k-coloriable s’il admet une k-coloration légale
Le nombre chromatique χ(G) est le plus petit entier k tel que G est k-coloriable
Une classe de couleur est un ensemble des sommets coloriés de la même couleur
Un stable est un ensemble de sommets non adjacents
⇒ une k-coloration légale = un partitionnement du graphe en k stables
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k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
sommets en conflit
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Définitions
k-coloration légale : respect des contraintes : c(vi ) 6= c(vj ),
∀(vi , vj ) ∈ E
G est k-coloriable s’il admet une k-coloration légale
Le nombre chromatique χ(G) est le plus petit entier k tel que G est k-coloriable
Une classe de couleur est un ensemble des sommets coloriés de la même couleur
Un stable est un ensemble de sommets non adjacents
⇒ une k-coloration légale = un partitionnement du graphe en k stables
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k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
3-coloration légale
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Définitions
k-coloration légale : respect des contraintes : c(vi ) 6= c(vj ),
∀(vi , vj ) ∈ E
G est k-coloriable s’il admet une k-coloration légale
Le nombre chromatique χ(G) est le plus petit entier k tel que G est k-coloriable
Une classe de couleur est un ensemble des sommets coloriés de la même couleur
Un stable est un ensemble de sommets non adjacents
⇒ une k-coloration légale = un partitionnement du graphe en k stables
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k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
3-coloration légale
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Définitions
k-coloration légale : respect des contraintes : c(vi ) 6= c(vj ),
∀(vi , vj ) ∈ E
G est k-coloriable s’il admet une k-coloration légale
Le nombre chromatique χ(G) est le plus petit entier k tel que G est k-coloriable
Une classe de couleur est un ensemble des sommets coloriés de la même couleur
Un stable est un ensemble de sommets non adjacents
⇒ une k-coloration légale = un partitionnement du graphe en k stables
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3 / 47
k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
3-coloration légale
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Définitions
k-coloration légale : respect des contraintes : c(vi ) 6= c(vj ),
∀(vi , vj ) ∈ E
G est k-coloriable s’il admet une k-coloration légale
Le nombre chromatique χ(G) est le plus petit entier k tel que G est k-coloriable
Une classe de couleur est un ensemble des sommets coloriés de la même couleur
Un stable est un ensemble de sommets non adjacents
⇒ une k-coloration légale = un partitionnement du graphe en k stables
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3 / 47
k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
3-coloration légale
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Définitions
k-coloration légale : respect des contraintes : c(vi ) 6= c(vj ),
∀(vi , vj ) ∈ E
G est k-coloriable s’il admet une k-coloration légale
Le nombre chromatique χ(G) est le plus petit entier k tel que G est k-coloriable
Une classe de couleur est un ensemble des sommets coloriés de la même couleur
Un stable est un ensemble de sommets non adjacents
⇒ une k-coloration légale = un partitionnement du graphe en k stables
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3 / 47
k-coloration du graphe G = (V, E)
k-coloration de G
3-coloration légale
V : ensemble des sommets
E : ensemble des arêtes
k : nombre de couleurs
c:V
v
→ {1, 2, ..., k}
7→ c(v)
Problèmes
Problème de coloration de graphe : trouver χ(G)
⇒ NP-difficile
Problème de k-coloration : pour k donné, G est-il k-coloriable ?
⇒ NP-complet (pour k > 2)
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Plan
1
2
Problème de coloration de graphe
1
Quelques définitions
2
Quelques applications
3
Principales méthodes de résolution
Exemples d’applications et variantes
1
Aviation civile
2
Télécommunications
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Applications : allocation de ressources rares
Emplois du temps
Allocation de créneaux horaires à des événements : cours, examens...
Sommets : les événements
Arêtes : les contraintes; deux événements ne peuvent se dérouler simultanément
Couleurs : les créneaux horaires
⇒ Minimiser la durée totale des événements
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Applications : allocation de ressources rares
Allocation de fréquences dans les réseaux GSM
Attribuer aux antennes relais des bandes de fréquences pour communiquer avec les
usagers.
Sommets : les antennes relais
Arêtes : entre deux antennes trop proches géographiquement l’une de l’autre
(niveau d’interférence trop important)
Couleurs : les canaux de fréquences radio
⇒ Minimiser le nombre de fréquences utilisées ou pour un nombre de fréquences
donné minimiser les interférences
Beaucoup de contraintes supplémentaires sur les interférences et la qualité de service
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Applications : allocation de ressources rares
Allocation de niveaux de vol
Attribuer un niveau de vol aux avions pour éviter les conflits aériens.
Sommets : les avions
Arêtes : entre deux avions en conflits
(ne respectant pas les distances de
sécurité)
Couleurs : les niveaux de vol
⇒ Minimiser le nombre de niveaux de
vol utilisés
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Applications : allocation de ressources rares
Coloration de carte géographique
Sommets : les départements
Arêtes : entre deux départements
frontaliers
⇒ colorier en 4 couleurs
Sudoku, carré latin...
Compléter une grille de sudoku
Sommets : les cases de la grille
Arêtes : entre deux cases de la même ligne, même
colonne et même carré
Couleurs : les numéros
⇒ Existence d’une solution à partir d’une solution
partielle
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8 / 47
Plan
1
2
Problème de coloration de graphe
1
Quelques définitions
2
Quelques applications
3
Principales méthodes de résolution
1
Stratégies de résolution
2
Principales approches
Exemples d’applications et variantes
1
Aviation civile
2
Télécommunications
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Stratégies de résolution
Définir l’espace de recherche
Nombre de couleurs disponibles k est fixe ou pas
Solutions légales ou non légales
Solutions complètes ou partielles
4 stratégies principales [Galinier et Hetz 06]
Stratégies légales : solutions légales et k non fixé
Stratégies légales partielles et à k fixe : solutions partielles et légales et k fixé
Stratégies de pénalisation à k fixe : solutions non légales et k fixé
Stratégies de pénalisation : solutions non légales et k non fixé
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Stratégies de résolution
Définir l’espace de recherche
Nombre de couleurs disponibles k est fixe ou pas
Solutions légales ou non légales
Solutions complètes ou partielles
4 stratégies principales [Galinier et Hetz 06]
Stratégies légales : solutions légales et k non fixé
minimiser k
s.c. contraintes
solutions complètes
Stratégies légales partielles et à k fixe : solutions partielles et légales et k fixé
Stratégies de pénalisation à k fixe : solutions non légales et k fixé
Stratégies de pénalisation : solutions non légales et k non fixé
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Stratégies de résolution
Définir l’espace de recherche
Nombre de couleurs disponibles k est fixe ou pas
Solutions légales ou non légales
Solutions complètes ou partielles
4 stratégies principales [Galinier et Hetz 06]
Stratégies légales : solutions légales et k non fixé
Stratégies légales partielles et à k fixe : solutions partielles et légales et k fixé
minimiser nbre de sommets non coloriés
s.c. contraintes
k couleurs max
Stratégies de pénalisation à k fixe : solutions non légales et k fixé
Stratégies de pénalisation : solutions non légales et k non fixé
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Stratégies de résolution
Définir l’espace de recherche
Nombre de couleurs disponibles k est fixe ou pas
Solutions légales ou non légales
Solutions complètes ou partielles
4 stratégies principales [Galinier et Hetz 06]
Stratégies légales : solutions légales et k non fixé
Stratégies légales partielles et à k fixe : solutions partielles et légales et k fixé
Stratégies de pénalisation à k fixe : solutions non légales et k fixé
minimiser nbre de contraintes violées
s.c. solutions complètes
k couleurs max
Stratégies de pénalisation : solutions non légales et k non fixé
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Stratégies de résolution
Définir l’espace de recherche
Nombre de couleurs disponibles k est fixe ou pas
Solutions légales ou non légales
Solutions complètes ou partielles
4 stratégies principales [Galinier et Hetz 06]
Stratégies légales : solutions légales et k non fixé
Stratégies légales partielles et à k fixe : solutions partielles et légales et k fixé
Stratégies de pénalisation à k fixe : solutions non légales et k fixé
Stratégies de pénalisation : solutions non légales et k non fixé
minimiser nbre de contraintes violées et k
s.c. solutions complètes
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Stratégies de résolution
Autres stratégies
Orientation relative des sommets - graphe orienté sans cycle [Gendron et al.07]
Théorème [Vitaver 62]: la longueur du plus long chemin dans une orientation
d’un graphe est supérieure ou égale à son nombre chromatique.
Orientation totale des sommets - [Davis 91]
Graphe simple
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Stratégies de résolution
Autres stratégies
Orientation relative des sommets - graphe orienté sans cycle [Gendron et al.07]
Théorème [Vitaver 62]: la longueur du plus long chemin dans une orientation
d’un graphe est supérieure ou égale à son nombre chromatique.
Orientation totale des sommets - [Davis 91]
Graphe avec une orientation sans cycle
Couleurs numérotées
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Stratégies de résolution
Autres stratégies
Orientation relative des sommets - graphe orienté sans cycle [Gendron et al.07]
Théorème [Vitaver 62]: la longueur du plus long chemin dans une orientation
d’un graphe est supérieure ou égale à son nombre chromatique.
Orientation totale des sommets - [Davis 91]
Plus long chemin : 5 sommets ⇒ coloration en 5 couleurs
Couleurs numérotées
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Stratégies de résolution
Autres stratégies
Orientation relative des sommets - graphe orienté sans cycle [Gendron et al.07]
Théorème [Vitaver 62]: la longueur du plus long chemin dans une orientation
d’un graphe est supérieure ou égale à son nombre chromatique.
Orientation totale des sommets - [Davis 91]
Plus long chemin : 3 sommets ⇒ coloration en 3 couleurs
Couleurs numérotées
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Stratégies de résolution
Autres stratégies
Orientation relative des sommets - graphe orienté sans cycle [Gendron et al.07]
Théorème [Vitaver 62]: la longueur du plus long chemin dans une orientation
d’un graphe est supérieure ou égale à son nombre chromatique.
Orientation totale des sommets - [Davis 91]
Couleurs numérotées
Ordre de coloration des sommets
Règle : colorier les sommets avec la plus
petite couleur disponible
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Stratégies de résolution
Autres stratégies
Orientation relative des sommets - graphe orienté sans cycle [Gendron et al.07]
Théorème [Vitaver 62]: la longueur du plus long chemin dans une orientation
d’un graphe est supérieure ou égale à son nombre chromatique.
Orientation totale des sommets - [Davis 91]
Couleurs numérotées
Règle : colorier les sommets avec la plus
petite couleur disponible
Ordre de coloration des sommets :
E→D→C→B→A→F→G
⇒ coloration en 4 couleurs
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Stratégies de résolution
Autres stratégies
Orientation relative des sommets - graphe orienté sans cycle [Gendron et al.07]
Théorème [Vitaver 62]: la longueur du plus long chemin dans une orientation
d’un graphe est supérieure ou égale à son nombre chromatique.
Orientation totale des sommets - [Davis 91]
Couleurs numérotées
Règle : colorier les sommets avec la plus
petite couleur disponible
Ordre de coloration des sommets :
A→B→C→D→E→F→G
⇒ coloration en 3 couleurs
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Plan
1
2
Problème de coloration de graphe
1
Quelques définitions
2
Quelques applications
3
Principales méthodes de résolution
1
Stratégies de résolution
2
Principales approches
Exemples d’applications et variantes
1
Aviation civile
2
Télécommunications
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Méthodes de résolution - Principales approches
Quatre principales approches
1
Méthodes constructives :
méthodes gloutonnes, évaluations et séparations, recherches arborescentes,
programmation par contraintes...
2
Recherches locales ou par voisinage :
descentes, recuits simulés, méthodes tabou, min-conflit...
3
Approches d’évolution ou à population :
algorithme génétique, stratégies d’évolution, programmation évolutive...
4
Hybridation :
combinaison évolution + RL, PPC + RL...
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Méthodes de résolution - Principales approches
Quatre principales approches
1
Méthodes constructives :
méthodes gloutonnes, évaluations et séparations, recherches arborescentes,
programmation par contraintes...
2
Recherches locales ou par voisinage :
descentes, recuits simulés, méthodes tabou, min-conflit...
3
Approches d’évolution ou à population :
algorithme génétique, stratégies d’évolution, programmation évolutive...
4
Hybridation :
combinaison évolution + RL, PPC + RL...
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Méthodes de résolution - Principales approches
Quatre principales approches
1
Méthodes constructives :
méthodes gloutonnes, évaluations et séparations, recherches arborescentes,
programmation par contraintes...
2
Recherches locales ou par voisinage :
descentes, recuits simulés, méthodes tabou, min-conflit...
3
Approches d’évolution ou à population :
algorithme génétique, stratégies d’évolution, programmation évolutive...
4
Hybridation :
combinaison évolution + RL, PPC + RL...
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Méthodes de résolution - Principales approches
Quatre principales approches
1
Méthodes constructives :
méthodes gloutonnes, évaluations et séparations, recherches arborescentes,
programmation par contraintes...
2
Recherches locales ou par voisinage :
descentes, recuits simulés, méthodes tabou, min-conflit...
3
Approches d’évolution ou à population :
algorithme génétique, stratégies d’évolution, programmation évolutive...
4
Hybridation :
combinaison évolution + RL, PPC + RL...
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13 / 47
Plan
1
2
Problème de coloration de graphe
1
Quelques définitions
2
Quelques applications
3
Principales méthodes de résolution
1
Stratégies de résolution
2
Principales approches
- Méthodes constructives
- Recherches locales ou à voisinage
- Approches d’évolution ou à population
- Hybridation
Exemples d’applications et variantes
1
Aviation civile
2
Télécommunications
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Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
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Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
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15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
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15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
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Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
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Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
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Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
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Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
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Coloration de graphe
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Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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15 / 47
Méthodes constructives
Approches exactes
Méthode par séparation et évaluation très performante pour de petits
graphes [Caramia et Dell’Olmo 02]
Problème NP-difficile
⇒ Impossibilité de colorier de manière exacte des graphes aléatoires de densité 0.5
et de plus de 100 sommets [Johnson et al. 91]
Méthodes gloutonnes
Ordre de coloration des sommets
statique
dynamique
I
I
DSATUR [Brélaz 79]
RLF (Recursive-Large-First)
[Leighton 79]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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15 / 47
Extraction de stables de taille maximale
Problème connexe : rechercher des stables de taille maximale
Suite de problèmes d’extraction de stables de taille maximale
? ⇔ Coloration de graphe optimale
recherche d’un stable de taille maximale ⇔ recherche d’une clique de taille
maximale (dans le graphe complémentaire)
⇒ tous les deux NP-difficiles
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
16 / 47
Extraction de stables de taille maximale
Problème connexe : rechercher des stables de taille maximale
Suite de problèmes d’extraction de stables de taille maximale
? ⇔ Coloration de graphe optimale
recherche d’un stable de taille maximale ⇔ recherche d’une clique de taille
maximale (dans le graphe complémentaire)
⇒ tous les deux NP-difficiles
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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16 / 47
Extraction de stables de taille maximale
Problème connexe : rechercher des stables de taille maximale
Suite de problèmes d’extraction de stables de taille maximale
? ⇔ Coloration de graphe optimale
recherche d’un stable de taille maximale ⇔ recherche d’une clique de taille
maximale (dans le graphe complémentaire)
⇒ tous les deux NP-difficiles
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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16 / 47
Extraction de stables de grande taille
XRLF [Johnson et al. 91]
Idée : hybrider séquentiellement un RLF randomisé avec une méthode exacte
1
RLF randomisé jusqu’à ce que le nombre de sommets non coloriés inférieur à 70
2
Méthode exacte de séparation et évaluation
⇒ Bons résultats pour l’époque sur certains graphes DIMACS difficiles
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Idée : réduire la taille du graphe en extrayant un ensemble de stables.
1
Générer un pool de stables de tailles p par une méthode Tabou (Adaptive Tabu
Search, ATS)
2
Sélectionner dans ce pool un ensemble maximal de stables disjoints deux à deux
(toujours par ATS)
3
Réitérer les étapes 1 et 2 tant que le nombre de sommets non coloriés >1000
4
Colorier le graphe résiduel (<1000 sommets) avec une heuristique performante
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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17 / 47
Extraction de stables de grande taille
XRLF [Johnson et al. 91]
Idée : hybrider séquentiellement un RLF randomisé avec une méthode exacte
1
RLF randomisé jusqu’à ce que le nombre de sommets non coloriés inférieur à 70
2
Méthode exacte de séparation et évaluation
⇒ Bons résultats pour l’époque sur certains graphes DIMACS difficiles
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Idée : réduire la taille du graphe en extrayant un ensemble de stables.
1
Générer un pool de stables de tailles p par une méthode Tabou (Adaptive Tabu
Search, ATS)
2
Sélectionner dans ce pool un ensemble maximal de stables disjoints deux à deux
(toujours par ATS)
3
Réitérer les étapes 1 et 2 tant que le nombre de sommets non coloriés >1000
4
Colorier le graphe résiduel (<1000 sommets) avec une heuristique performante
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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Extraction de stables de grande taille
XRLF [Johnson et al. 91]
Idée : hybrider séquentiellement un RLF randomisé avec une méthode exacte
1
RLF randomisé jusqu’à ce que le nombre de sommets non coloriés inférieur à 70
2
Méthode exacte de séparation et évaluation
⇒ Bons résultats pour l’époque sur certains graphes DIMACS difficiles
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Idée : réduire la taille du graphe en extrayant un ensemble de stables.
1
Générer un pool de stables de tailles p par une méthode Tabou (Adaptive Tabu
Search, ATS)
2
Sélectionner dans ce pool un ensemble maximal de stables disjoints deux à deux
(toujours par ATS)
3
Réitérer les étapes 1 et 2 tant que le nombre de sommets non coloriés >1000
4
Colorier le graphe résiduel (<1000 sommets) avec une heuristique performante
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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Extraction de stables de grande taille
XRLF [Johnson et al. 91]
Idée : hybrider séquentiellement un RLF randomisé avec une méthode exacte
1
RLF randomisé jusqu’à ce que le nombre de sommets non coloriés inférieur à 70
2
Méthode exacte de séparation et évaluation
⇒ Bons résultats pour l’époque sur certains graphes DIMACS difficiles
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Idée : réduire la taille du graphe en extrayant un ensemble de stables.
1
Générer un pool de stables de tailles p par une méthode Tabou (Adaptive Tabu
Search, ATS)
2
Sélectionner dans ce pool un ensemble maximal de stables disjoints deux à deux
(toujours par ATS)
3
Réitérer les étapes 1 et 2 tant que le nombre de sommets non coloriés >1000
4
Colorier le graphe résiduel (<1000 sommets) avec une heuristique performante
A. Gondran (ÉNAC)
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Extraction de stables de grande taille
XRLF [Johnson et al. 91]
Idée : hybrider séquentiellement un RLF randomisé avec une méthode exacte
1
RLF randomisé jusqu’à ce que le nombre de sommets non coloriés inférieur à 70
2
Méthode exacte de séparation et évaluation
⇒ Bons résultats pour l’époque sur certains graphes DIMACS difficiles
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Idée : réduire la taille du graphe en extrayant un ensemble de stables.
1
Générer un pool de stables de tailles p par une méthode Tabou (Adaptive Tabu
Search, ATS)
2
Sélectionner dans ce pool un ensemble maximal de stables disjoints deux à deux
(toujours par ATS)
3
Réitérer les étapes 1 et 2 tant que le nombre de sommets non coloriés >1000
4
Colorier le graphe résiduel (<1000 sommets) avec une heuristique performante
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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17 / 47
Extraction de stables de grande taille
XRLF [Johnson et al. 91]
Idée : hybrider séquentiellement un RLF randomisé avec une méthode exacte
1
RLF randomisé jusqu’à ce que le nombre de sommets non coloriés inférieur à 70
2
Méthode exacte de séparation et évaluation
⇒ Bons résultats pour l’époque sur certains graphes DIMACS difficiles
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Idée : réduire la taille du graphe en extrayant un ensemble de stables.
1
Générer un pool de stables de tailles p par une méthode Tabou (Adaptive Tabu
Search, ATS)
2
Sélectionner dans ce pool un ensemble maximal de stables disjoints deux à deux
(toujours par ATS)
3
Réitérer les étapes 1 et 2 tant que le nombre de sommets non coloriés >1000
4
Colorier le graphe résiduel (<1000 sommets) avec une heuristique performante
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Extraction de stables de grande taille
XRLF [Johnson et al. 91]
Idée : hybrider séquentiellement un RLF randomisé avec une méthode exacte
1
RLF randomisé jusqu’à ce que le nombre de sommets non coloriés inférieur à 70
2
Méthode exacte de séparation et évaluation
⇒ Bons résultats pour l’époque sur certains graphes DIMACS difficiles
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Idée : réduire la taille du graphe en extrayant un ensemble de stables.
1
Générer un pool de stables de tailles p par une méthode Tabou (Adaptive Tabu
Search, ATS)
2
Sélectionner dans ce pool un ensemble maximal de stables disjoints deux à deux
(toujours par ATS)
3
Réitérer les étapes 1 et 2 tant que le nombre de sommets non coloriés >1000
4
Colorier le graphe résiduel (<1000 sommets) avec une heuristique performante
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17 / 47
Extraction de stables de grande taille
XRLF [Johnson et al. 91]
Idée : hybrider séquentiellement un RLF randomisé avec une méthode exacte
1
RLF randomisé jusqu’à ce que le nombre de sommets non coloriés inférieur à 70
2
Méthode exacte de séparation et évaluation
⇒ Bons résultats pour l’époque sur certains graphes DIMACS difficiles
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Idée : réduire la taille du graphe en extrayant un ensemble de stables.
1
Générer un pool de stables de tailles p par une méthode Tabou (Adaptive Tabu
Search, ATS)
2
Sélectionner dans ce pool un ensemble maximal de stables disjoints deux à deux
(toujours par ATS)
3
Réitérer les étapes 1 et 2 tant que le nombre de sommets non coloriés >1000
4
Colorier le graphe résiduel (<1000 sommets) avec une heuristique performante
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Coloration de graphe
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17 / 47
PPC - Programmation Par Contraintes
Mauvais résultats en coloration de graphe
IDB - Incomplete Dynamic Backtracking [Prestwich 01] fondée sur l’algorithme
DBT (Dynamic Backtracking)
Les contraintes d’inégalité ne se propagent pas bien.
Hybridation nécessaire avec la recherche locale
FCNS - Forward Checking with Consistent Partial Colorations [Prestwich 02]
Tabu-NG - Recherche Tabou fondée sur les No Good [Dib 10]
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Coloration de graphe
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18 / 47
Plan
1
2
Problème de coloration de graphe
1
Quelques définitions
2
Quelques applications
3
Principales méthodes de résolution
1
Stratégies de résolution
2
Principales approches
- Méthodes constructives
- Recherches locales ou à voisinage
- Approches d’évolution ou à population
- Hybridation
Exemples d’applications et variantes
1
Aviation civile
2
Télécommunications
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Coloration de graphe
05/03/2012
19 / 47
Recherches locales ou à voisinage
Éléments de base
Voisinage : fonction qui perturbe une solution s ∈ S
N : S → 2S
s 7→ N (s) ⊂ S
Fonction d’évaluation
objectif initial + (pénalité) + (autres fonctions)
Stratégie de mouvement
Quel espace de recherche ?
k fixé ou non
Solutions légales ou non, partielles ou non
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20 / 47
Stratégies des méthodes locales [Galinier et Hetz 06]
1-move
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21 / 47
Stratégies des méthodes locales [Galinier et Hetz 06]
i-swap
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
21 / 47
Interchange fondée sur les chaînes de Kempe
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
22 / 47
Interchange fondée sur les chaînes de Kempe
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
22 / 47
Interchange fondée sur les chaînes de Kempe
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
22 / 47
Interchange fondée sur les chaînes de Kempe
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
22 / 47
Interchange fondée sur les chaînes de Kempe
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
22 / 47
Stratégies des méthodes locales [Galinier et Hetz 06]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
23 / 47
Algorithme TabuCol [Hertz et de Werra 87]
Éléments de base
Voisinage : 1-moves critiques
Fonction d’évaluation : minimiser le nombre de contraintes violées
Stratégie de mouvement : mouvement vers le meilleur de tous les voisins non
tabous (même s’il dégrade la fonction objectif)
Liste tabou
Le mouvement inverse
Durée tabou dynamique dépends de la taille du voisinage
Structure de données et rapidité des algorithmes
Différences entre [Hertz et de Werra
87] et [Galiner et Hao 99]
Évaluation incrémentale [Fleurent et
Ferland 96]
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05/03/2012
24 / 47
Plan
1
2
Problème de coloration de graphe
1
Quelques définitions
2
Quelques applications
3
Principales méthodes de résolution
1
Stratégies de résolution
2
Principales approches
- Méthodes constructives
- Recherches locales ou à voisinage
- Approches d’évolution ou à population
- Hybridation
Exemples d’applications et variantes
1
Aviation civile
2
Télécommunications
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Coloration de graphe
05/03/2012
25 / 47
Approches d’évolution ou à population
Les croisements
Croisements fondés sur l’ordre de coloration des sommets [Davis 91]
Croisements fondés sur l’affectation de couleurs : uniforme... [Costa et al. 95]
⇒ mauvais résultats
Croisements fondés sur les classes de couleurs :
GPX - Greedy Pertition Crossover [Galinier et Hao 99]
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Coloration de graphe
05/03/2012
26 / 47
Greedy Pertition Crossover dans HEA [Galinier et Hao 99]
Stratégie de pénalisation à k fixe
Idée : les classes de grand cardinal doivent être transmises à l’enfant.
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Coloration de graphe
05/03/2012
27 / 47
GPX et améliorations
Adaptative Multi-Parent Crossover (AMPaX) [Lu et Hao 11, MACOL]
Croisement avec m > 2 parents
Sélectionner à chaque étape, la plus grande classe parmi tous les parents
Un parent sélectionné est tabou pendant les m/2 étapes suivantes
AMACOL [Galinier et al. 08]
Population de solutions partielles, légales à k fixe ∼ pool de stables
Construction d’une k-coloration en combinant k stables du pool + colorier les
sommets non présents dans les stables
Améliorer la k-coloration par recherche locale (Tabucol)
Décomposer la k-coloration en stables à incorporer dans le pool
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Coloration de graphe
05/03/2012
28 / 47
GPX et améliorations
Adaptative Multi-Parent Crossover (AMPaX) [Lu et Hao 11, MACOL]
Croisement avec m > 2 parents
Sélectionner à chaque étape, la plus grande classe parmi tous les parents
Un parent sélectionné est tabou pendant les m/2 étapes suivantes
AMACOL [Galinier et al. 08]
Population de solutions partielles, légales à k fixe ∼ pool de stables
Construction d’une k-coloration en combinant k stables du pool + colorier les
sommets non présents dans les stables
Améliorer la k-coloration par recherche locale (Tabucol)
Décomposer la k-coloration en stables à incorporer dans le pool
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Coloration de graphe
05/03/2012
28 / 47
Plan
1
2
Problème de coloration de graphe
1
Quelques définitions
2
Quelques applications
3
Principales méthodes de résolution
1
Stratégies de résolution
2
Principales approches
- Méthodes constructives
- Recherches locales ou à voisinage
- Approches d’évolution ou à population
- Hybridation
Exemples d’applications et variantes
1
Aviation civile
2
Télécommunications
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
29 / 47
Hybridation
Trois outils à combiner
Recherche locale :
élément essentiel pour l’intensification et la reconstruction de solutions
Algorithme à base de population :
élément essentiel pour l’exploration globale
Extraction de stables :
nécessaire pour les grand graphe (supérieur à 1000 sommets)
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
30 / 47
Hybridation
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Prétraitement avec extraction de stables : fondé sur Adaptive Tabu Search ATS
⇒ utilisation de p couleurs
Algorithme mémétique MACol [Lu et Hao 10] pour le graphe restant :
I
I
Croisement : AMPaX
Mutation : TabuCol
Distributed Hybrid Quantum Annealing [Titiloye et Crispin 11]
Recuit quantique : population coopérant en partageant une fonction coût (somme
des énergies)
Recherche locale : recuit simulé adaptatif (rayon du voisinage est aussi contrôlé)
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
31 / 47
Hybridation
EXTRACOL [Wu et Hao 11]
Prétraitement avec extraction de stables : fondé sur Adaptive Tabu Search ATS
⇒ utilisation de p couleurs
Algorithme mémétique MACol [Lu et Hao 10] pour le graphe restant :
I
I
Croisement : AMPaX
Mutation : TabuCol
Distributed Hybrid Quantum Annealing [Titiloye et Crispin 11]
Recuit quantique : population coopérant en partageant une fonction coût (somme
des énergies)
Recherche locale : recuit simulé adaptatif (rayon du voisinage est aussi contrôlé)
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
31 / 47
Hybridation PPC+RL
Tabu-NG : Tabu Search based on NoGoods [Dib 10]
Contexte PPC :
I
I
solution partielle et légale
recherche arborescence
Extension de la solution c-à-d choix (variable, valeur) à instancier : recherche
tabou [CN-Tabu Vasquez 05]
Réparation de la solution pour garder la consistance: recherche locale (i-swap)
Management des NoGood : liste tabou [Descision-Repair Jussien et Lhomme 02]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
32 / 47
Résultats
Meilleurs algorithmes pour les graphes DIMACS : site de Daniel Porumbel
www.info.univ-angers.fr/pub/porumbel/graphs/
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
33 / 47
Plan
1
2
Problème de coloration de graphe
1
Quelques définitions
2
Quelques applications
3
Principales méthodes de résolution
Exemples d’applications et variantes
1
Aviation civile
2
Télécommunications
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
34 / 47
Gestion des confits aériens par allocation de niveaux de vol
Contexte
25% des conflits aériens ont lieu en croisière (6= montée ou descente)
Contrôle aérien : circulation aérienne, manœuvre en virages
Temps
Sujet de la thèse de Cyril Allignol [2011] DTI/ÉNAC (N. Barnier, N. Durand)
Idée : allouer au décollage un niveau de vol pour faire disparaître les conflits
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
35 / 47
Gestion des confits aériens par allocation de niveaux de vol
Problème
Sommets = Avions
Arrètes lorsque deux avions sont en conflits
Couleurs = Niveaux de vol
Contraintes/Objectifs supplémentaires
Chaque avion a un niveau de vol de préférence :
∀i,
c(vi ) ∈ [refi − ∆max ; refi + ∆max ]
⇒ list-coloring
Minimiser la somme des écarts avec le niveau de vol demandé
⇒ list-coloring avec une coloration cible
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
36 / 47
Gestion des confits aériens par allocation de niveaux de vol
Méthodes
solveur PPC : FaCiLe (ÉNAC)
Tabucol modifié : min. le nombre de conflits, puis les écarts en cas d’égalité
Jeux de données
Trafic français : 7 journées ≈ 8 500 avions et 18 000 conflits
Trafic européen : 3 journées ≈ 22 à 32 000 avions et 150 à 700 000 conflits
+ 3 scénarios avec retards ⇒ augmente la densité du graphe
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
37 / 47
Gestion des confits aériens par allocation de niveaux de vol
Méthodes
solveur PPC : FaCiLe (ÉNAC)
Tabucol modifié : min. le nombre de conflits, puis les écarts en cas d’égalité
Jeux de données
Trafic français : 7 journées ≈ 8 500 avions et 18 000 conflits
Trafic européen : 3 journées ≈ 22 à 32 000 avions et 150 à 700 000 conflits
+ 3 scénarios avec retards ⇒ augmente la densité du graphe
10000
0
10
20
30
8000
PPC ∼ Tabucol
PPC : optimalité du maximum des
écarts
6000
4000
2000
0
A. Gondran (ÉNAC)
08/12
Coloration de graphe
08/13
08/14
10/06
10/07
10/08
10/10
05/03/2012
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Gestion des confits aériens par allocation de niveaux de vol
Méthodes
solveur PPC : FaCiLe (ÉNAC)
Tabucol modifié : min. le nombre de conflits, puis les écarts en cas d’égalité
Jeux de données
Trafic français : 7 journées ≈ 8 500 avions et 18 000 conflits
Trafic européen : 3 journées ≈ 22 à 32 000 avions et 150 à 700 000 conflits
+ 3 scénarios avec retards ⇒ augmente la densité du graphe
Tabucol > PPC
PPC : pas toujours l’optimalité du
maximum des écarts
Tabucol : meilleur en max et pour
max identique meilleur en somme
des écarts
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
37 / 47
Allocation de fréquences pour les réseaux Wi-Fi
Couleurs ordonnées : fréquences
T-coloration de graphe
G = (V, E) graphe
T = {Tij ∈ N | (vi , vj ) ∈ E}
Contraintes sur les écarts de couleurs :
∀(vi , vj ) ∈ E,
|c(vi ) − c(vj )| ∈
/ Tij
Généralisation de la coloration pour Tij = {0} : c(vi ) 6= c(vj ) ⇔ |c(vi ) − c(vj )| =
6 0
T-coloration restreinte
Tij = {0, 1, 2, ..., tij }
Contraintes : écarts de couleurs
|c(vi ) − c(vj )| > tij
Challenge ROADEF 2001
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
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Allocation de fréquences pour les réseaux Wi-Fi
Couleurs ordonnées : fréquences
T-coloration de graphe
G = (V, E) graphe
T = {Tij ∈ N | (vi , vj ) ∈ E}
Contraintes sur les écarts de couleurs :
∀(vi , vj ) ∈ E,
|c(vi ) − c(vj )| ∈
/ Tij
Généralisation de la coloration pour Tij = {0} : c(vi ) 6= c(vj ) ⇔ |c(vi ) − c(vj )| =
6 0
T-coloration restreinte
Tij = {0, 1, 2, ..., tij }
Contraintes : écarts de couleurs
|c(vi ) − c(vj )| > tij
Challenge ROADEF 2001
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
38 / 47
Allocation de fréquences pour les réseaux Wi-Fi
Couleurs ordonnées : fréquences
T-coloration de graphe
G = (V, E) graphe
T = {Tij ∈ N | (vi , vj ) ∈ E}
Contraintes sur les écarts de couleurs :
∀(vi , vj ) ∈ E,
|c(vi ) − c(vj )| ∈
/ Tij
Généralisation de la coloration pour Tij = {0} : c(vi ) 6= c(vj ) ⇔ |c(vi ) − c(vj )| =
6 0
T-coloration restreinte
Tij = {0, 1, 2, ..., tij }
Contraintes : écarts de couleurs
|c(vi ) − c(vj )| > tij
Challenge ROADEF 2001
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
38 / 47
Allocation de fréquences pour les réseaux Wi-Fi
Couleurs ordonnées : fréquences
T-coloration de graphe
G = (V, E) graphe
T = {Tij ∈ N | (vi , vj ) ∈ E}
Contraintes sur les écarts de couleurs :
∀(vi , vj ) ∈ E,
|c(vi ) − c(vj )| ∈
/ Tij
Généralisation de la coloration pour Tij = {0} : c(vi ) 6= c(vj ) ⇔ |c(vi ) − c(vj )| =
6 0
T-coloration restreinte
Tij = {0, 1, 2, ..., tij }
Contraintes : écarts de couleurs
|c(vi ) − c(vj )| > tij
Challenge ROADEF 2001
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
38 / 47
Allocation de fréquences pour les réseaux Wi-Fi
Contexte
Installation de hotspots Wi-Fi de grandes taille (∼100 bornes) dans des bâtiments
2 problèmes NP-difficiles combinés : Set Covering Problem et Frequency
Allocation Problem
Sujet de ma thèse [2008] UTBM-Belfort, Orange Lab (A. Caminada, O. Baala)
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
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Allocation de fréquences pour les réseaux Wi-Fi
SINR : mesure de la qualité de la liaison usager-antenne
Client k
Antenne j : serveur de l’usager k
Antennes i : interférentes de l’usager k
Réduction à la T-coloration restreint
p
⇔
⇒
⇔
SINRk = P pik γ(|fjki −fj |)+N > sk
i
P
pjk
p
γ(|f
ik
i − fj |) 6 sk − N
i6=j
∀i 6= j,
∀i 6= j,
pik γ(|fi − fj |) 6
|fi − fj | > tij := γ −1
Équivalence des problèmes si :
A. Gondran (ÉNAC)
P
i6=j
pjk
sk
contrainte n-aire non linéaire
−N
pjk /sk −N
pik
pik γ(tij ) 6
Coloration de graphe
sous-contraintes binaires
pjk
sk
05/03/2012
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Allocation de fréquences pour les réseaux Wi-Fi
SINR : mesure de la qualité de la liaison usager-antenne
Client k
Antenne j : serveur de l’usager k
Antennes i : interférentes de l’usager k
Réduction à la T-coloration
p
⇔
⇐
⇔
SINRk = P pik γ(|fjki −fj |)+N > sk
i
P
pjk
i6=j pik γ(|fi − fj |) 6 sk − N
∀i 6= j,
∀i 6= j,
A. Gondran (ÉNAC)
pik γ(|fi − fj |) 6
contrainte n-aire non linéaire
p
( sjkk
− N)/n
n nbre d’interférents
p
/s
−N
|fi − fj | > tij := γ −1 jk npkik
sur-contraintes binaires
Coloration de graphe
05/03/2012
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Allocation de fréquences pour les réseaux Wi-Fi
Résultats
- - Résultats avec les (sous- ou sur-)contraintes binaires
+ + Résultats avec les contraintes n-aires
Conclusions identiques avec données CELAR (DGA) [Palpant 08]
PPC - Programmation Par Contraintes
Ajouter les sous-contraintes binaires au problème PPC : meilleure propagation que les
contraintes n-aire [Palpant 08, Dib 10]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
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Gestion des confits aériens par retards aux décollages
Contexte
75% des conflits aériens ont lieu en en approche (montée ou descente)
Contrôle aérien : circulation aérienne
Temps
Sujet de la thèse de Cyril Allignol [2011] DTI/ÉNAC (N. Barnier, N. Durand)
Idée : retarder ou avancer l’heure de décollage des avions pour faire disparaître les
conflits
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
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Gestion des confits aériens par retards aux décollages
Problème
Sommets = avions
Arêtes lorsque deux avions risquent d’être en conflits
Couleurs = retards ou avances au décollage
Contraintes : la différence de 2 retards ne doit pas prendre certaines valeurs
∀i, |c(vi ) − c(vj )| ∈
/ Tij avec Tij une union d’intervalles
⇒ T-coloration de graphe
Contraintes/Objectifs supplémentaires
Chaque avion a une heure de décollage prévue :
∀i,
c(vi ) ∈ [avancemax ; retardmax ] (discrétisation à la minute)
Minimiser la somme des retards ou le maximum des retards
⇒ T-coloration avec une coloration cible
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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Gestion des confits aériens par retards aux décollages
Méthodes
solveur PPC : FaCiLe (ÉNAC)
Algorithme Évolutionnaire
Jeux de données
Trafic français : 7 journées ≈ 8 500 avions et 18 000 conflits
Résultats
PPC > AE
PPC : optimalité du retard maximum (∼ 80 minutes)
PPC : retard moyen 4 minutes (vs. 10 minutes pour l’AÉ)
Très sensible aux aléas :
1
2
Transformer en un problème de T-coloration restreint (sur-contraint)
Utilisation d’un Tabucol dédié à la T-coloration restreinte [Dorne et Hao 98]
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
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Conclusions
Revue des méthodes
Variété des méthodes utilisées :
I
I
I
I
Méthodes constructives
Recherches locales
Approches à population
Hybridations
⇒ Ensemble d’outils complémentaires
⇒ Pas d’algorithme qui domine toutes les autres approches sur tous les graphes
Coloration de graphe
Problème générique
⇒ Réutiliser facilement les idées développées
Axe de travail
Hybridation PPC et RL
Voisinage fondé sur les chaînes de Kempe
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Coloration de graphe
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Conclusions
Revue des méthodes
Variété des méthodes utilisées :
I
I
I
I
Méthodes constructives
Recherches locales
Approches à population
Hybridations
⇒ Ensemble d’outils complémentaires
⇒ Pas d’algorithme qui domine toutes les autres approches sur tous les graphes
Coloration de graphe
Problème générique
⇒ Réutiliser facilement les idées développées
Axe de travail
Hybridation PPC et RL
Voisinage fondé sur les chaînes de Kempe
A. Gondran (ÉNAC)
Coloration de graphe
05/03/2012
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Conclusions
Revue des méthodes
Variété des méthodes utilisées :
I
I
I
I
Méthodes constructives
Recherches locales
Approches à population
Hybridations
⇒ Ensemble d’outils complémentaires
⇒ Pas d’algorithme qui domine toutes les autres approches sur tous les graphes
Coloration de graphe
Problème générique
⇒ Réutiliser facilement les idées développées
Axe de travail
Hybridation PPC et RL
Voisinage fondé sur les chaînes de Kempe
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Références
Bibliographie de coloration de graphes de Marco Chiarandini (plus de 200
références)
www.imada.sdu.dk/ marco/gcp/
Philippe Galinier et Alain Hertz
A survey of local search methods for graph coloring.
Journal Computers and Operations Research - Volume 33 Issue 9, sept. 2006.
Philippe Galinier, Jean-Philippe Hamiez, Jin-Kao Hao, Daniel Cosmin Porumbel
Recent advances in graph vertex coloring.
In I. Zelinka, A. Abraham, V. Snasel (Eds.) Handbook of Optimization. 2012.
Springer.
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Merci
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