5 physique des transferts de chaleur et de masse

Transcription

5 PHYSIQUE DES TRANSFERTS DE CHALEUR
ET DE MASSE EN THERMOHYDRAULIQUE
DIPHASIQUE
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS DANS LES MILIEUX POLYPHASIQUES
5-2
ECOLE CENTRALE MARSEILLE
5-3
5.1 INTRODUCTION
On a développé au chapitre 4 la forme des équations de bilan de la thermo-hydraulique
diphasique dans le cas monodimensionnel (modèle 1D) et dans le cas d’une enceinte
(modèle point ou 0D). Ces équations font apparaître des termes de transfert d’énergie qu’il
convient de modéliser pour pouvoir déterminer le champ thermique.
La Figure 5.1 montre les différents termes de transferts de chaleur entre, d’une part, les
parois et les deux phases et, d’autre part, les transferts de chaleur entre les deux phases à
l’interface. On introduit parfois, comme indiqué sur la figure, un terme de transfert direct
entre les parois et l’interface ( qPs ) pour modéliser les phénomènes de transferts de masse
(ébullition, condensation). Une autre façon de procéder est de gérer les transferts de masse
directement par l’interface.
Phase gazeuse
q PG
Paroi
qGs
q Ls
qPs
qPL
Phase liquide
Figure 5-1 : Schématisation des différents termes de transfert de chaleur
Dans le cas le plus général, les deux phases liquide et gaz peuvent être discontinues dans le
volume de contrôle considéré. Par exemple, la phase liquide peut se présenter
simultanément sous la forme d’un film liquide en paroi et de gouttelettes entraînées en sein
du gaz, avec des vitesses différentes. On parle de « champs » et de modélisation « multi-
5-4
champs ». La formulation générale des équations de bilan (cf. chapitre 4) prend en compte
ces différentes situations. On traite les phases chacune comme une phase moyenne liquide
et gaz occupant une certaine fraction du volume de contrôle.
Les différents régimes des changements d'état liquide/vapeur à leur interface sont fonction
de la valeur de la température du liquide par rapport aux températures de saturation
correspondant à la pression P ou la pression partielle de vapeur PV .
condensation
évaporation
TL = Tsat(PV)
ébullition
TL = Tsat(P)
TL
Si la transition de la phase liquide à la phase gazeuse se fait au-dessous du point
d'ébullition, on parle d'évaporation. L'évaporation ne peut avoir lieu que lorsque l'on est en
présence d'un mélange de gaz (l’évaporation nécessite un gradient de concentration de la
vapeur dans le mélange gazeux). Lorsque la vapeur du liquide est le seul gaz, on n'a pas
d'évaporation mais une ébullition (on peut également avoir une ébullition en présence d'un
mélange de gaz). Dans le cas d’une vapeur pure, les deux points sont confondus, seuls les
mécanismes d’ébullition et de condensation peuvent se produire.
Les échanges entre la paroi et le liquide ou la vapeur sont conditionnés par la valeur de la
température de paroi par rapport aux températures de saturation correspondant à la
pression P ou la pression partielle de vapeur PV .
Dans le cas d’une paroi au contact du liquide :
ébullition en paroi
convection
TP = Tsat(P)
TP
Dans le cas d’une paroi au contact de la vapeur :
condensation en paroi
convection
TP = Tsat(PV)
TP
5-5
5.2 PARAMÈTRES ADIMENSIONNELS EN ÉBULLITION ET
CONDENSATION
On peut de manière simple faire apparaître les paramètres adimensionnels pertinents pour
l’analyse des processus d’ébullition et de condensation en utilisant le théorème pi de
Buckhingam. Les coefficients d’échange dépendent a priori de la différence entre les
températures de paroi et de saturation, ∆T = TP − Tsat , de la poussée d’Archimède
résultant des différences de densité liquide-vapeur, soit g ( ρ L − ρV ) , de la chaleur latente
LV , de la tension superficielle σ , d’une longueur caractéristique L , et des propriétés
thermophysiques du liquide et de la vapeur ρ , c p , λ , µ . On a donc, pour le coefficient
d’échange h , une relation de la forme :
h = h  ∆T , g ( ρ L − ρV ) , LV , σ , L, ρ , c p , λ , µ 
Il y a 10 variables faisant intervenir 5 dimensions ( m, kg , s, J , K ). Il y a donc (10-5) = 5
groupes-pi reliés par une relation :
 ρ g ( ρ L − ρV ) L3 c p ∆T µ c p g ( ρ L − ρV ) L2 
= f
,
,
,

LV
λ
µ2
λ
σ


hL
Ou encore, en définissant les nombres adimensionnels :
 ρ g ( ρ L − ρV ) L3

Nu = f 
, Ja, Pr, Bo 
2
µ


En plus des nombres de Nusselt Nu et de Prandtl Pr , de nouveaux paramètres
adimensionnels sont mis en évidence : le nombre de Jakob Ja , le nombre de Bond Bo , et
5-1
un troisième paramètre s’apparentant à un nombre de Grashof. Ce dernier paramètre
représente les effets gravitaires (buoyancy) sur le transfert de chaleur.
Le rôle de ces différents paramètres sera détaillé dans les sections suivantes.
5-6
5.3 TRANSFERT DE CHALEUR PAR ÉBULLITION EN VASE
5.3.1 INTRODUCTION
L'ébullition en vase, quoique d'application relativement limitée, présente l'avantage
d’introduire une description simple des mécanismes d'ébullition. L'ébullition est une
transition liquide-vapeur s'accompagnant de formation de bulles de gaz (composées d'air et
de vapeur d'eau).
Considérons un élément chauffant (ou une paroi chauffante) plongé dans le liquide porté à
une température supérieure à la température d'ébullition ( TP ≥ Te = Tsat ( p ) ). On note ∆Te
la différence entre les températures de paroi et de saturation ∆Te . L'eau liquide est
supposée pure et désaérée (pas de formation de bulles dans la masse liquide).
L’objectif est de décrire de manière qualitative et quantitative la relation liant la densité de
flux qP à la différence de température entre la paroi (élément chauffant) et l'eau liquide,
∆Te . La pression de l'eau variant très peu, on peut supposer que la température d'ébullition
est constante ( Te = Tsat ( p ) = c te ).
5.3.2 LES REGIMES D'EBULLITION
La Figure 5.2 représente le flux échangé entre la paroi chauffante et le liquide en fonction
de l'écart de température entre ces deux milieux (courbe de Nukiyama). Nukiyama fut le
premier à identifier les différents régimes d’ébullition en vase, dans un dispositif à
puissance contrôlée : la température du fil chauffant TP (ou encore la surchauffe ∆Te ) est
la variable dépendante et la puissance électrique (représentant le flux de chaleur qP ) est la
variable indépendante.
On voit apparaître 5 régimes distincts de transfert de chaleur par ébullition.
5-7
Figure 5-2 : Régimes d’ébullition pour une plaque à température imposée (courbe de Nukiyama)
• Régime ab
Nukiyama observa que l’ébullition, détectée par la présence de bulles, ne démarrait pas
tant que ∆Te ≈ 5°C (à la pression atmosphérique). Il faut donc une certaine surchauffe
pour que l'ébullition se mette en oeuvre, c'est à dire pour amorcer des germes.
Tant qu’il n’y a pas de bulles, l'échange se fait par convection naturelle uniquement et le
coefficient d’échange peut être calculé avec des corrélations classiques correspondant à ce
régime.
• Régime be : ébullition nucléée à bulles séparées
Le régime be correspond à un régime d'ébullition nucléée à bulles séparées. Pendant cette
phase de l'ébullition, les bulles (composées de vapeur et d'air) montent en colonnes à partir
de points isolés de la paroi que l'on appelle des sites.
Si l'écart de température augmente, les bulles sont de plus en plus nombreuses. On peut de
façon empirique relier le nombre de site par m2, N , au flux échangé selon
N = 1.2102 qP p (où p est la pression totale exprimée en bars). Dans ce régime, l'échange
thermique est de la forme qP = h∆T n , avec n une constante comprise entre 3 et 4 pour
l'eau à la pression atmosphérique.
5-8
Le coefficient h du régime d'ébullition nucléée à bulles séparées dépend de la nature du
liquide, de la pression, de la géométrie et de la nature et de l'état de l'élément chauffant.
La puissance échangée entre la paroi et le liquide est nettement plus importante que celle
du régime précédent pour lequel l'échange est de type convectif.
• Régime ef : ébullition nucléée avec colonnes continues
Le régime ef est appelé régime d'ébullition nucléée avec colonnes continues. Le flux
évacué croît très lentement du fait de la présence de bulles de plus en plus nombreuses à la
surface de l'élément chauffant. Ces bulles forment une couche de gaz qui isole le liquide de
la paroi chauffante.
Du point de vue industriel, la zone ef, régime pour lequel les échanges sont très efficaces,
présente le plus d'intérêt.
Au point f, il existe une couche de vapeur continue qui isole complètement le liquide de la
paroi. Or le gaz, composé de vapeur et d'air, est très faiblement conducteur ce qui se traduit
par une difficulté à évacuer la chaleur. Au-delà du point f, on distingue deux cas :
1) Le flux est imposé entre la paroi chauffante et le liquide (expérience de Nukiyama)
Pour évacuer le flux thermique imposé, la température de la paroi va augmenter
considérablement, les échanges sont régis par le rayonnement et la convection vapeur. On
passe donc directement au point g. Le point f est appelé crise d’ébullition (flux critique), il
correspond à la limite de fonctionnement des dispositifs mettant en œuvre l’ébullition.
2) la température de la paroi chauffante est imposée
Si le point de fusion de l'élément chauffant est suffisamment élevé pour supporter de
hautes températures, le régime fg est décrit par la courbe en pointillé qui traduit le fait que
le flux échangé diminue fortement (à cause de la pellicule de gaz) à mesure que la
température de l'élément chauffant augmente et passe par un minimum. Le régime fg à
température imposée peut également être fluctuant du fait de la mouillabilité de l'élément
chauffant. En effet, il peut, même dans ce régime, y avoir localement de l'eau au contact de
la paroi qui s'évapore instantanément en évacuant un flux important. En résumé le régime
fg est une zone instable qui ne peut se décrire qu'à température imposée en la faisant
varier.
• Régime gh : ébullition en film
Si l'élément chauffant est à haut point de fusion, pour pouvoir dépasser le stade du point g,
le transfert de chaleur se fait uniquement par rayonnement et convection vapeur. A cause
de la pellicule de gaz qui isole la paroi chauffante, cette zone est dite à vaporisation
pelliculaire.
5-9
5.3.3 LA NUCLEATION
L'ébullition n'est possible que par la présence initiale d'air dans l'eau liquide. Cet air est
sous forme de micro-bulles que l'on appelle des germes de nucléation. Ces germes de
nucléation peuvent être présents soit à la paroi d'un élément chauffant (dans ce cas,
l'ébullition a lieu à la paroi), ou bien dans l'eau (ce qui donnera une ébullition en masse).
5.3.4 CORRELATIONS DE TRANSFERT DE CHALEUR EN
EBULLITION EN VASE
De nombreuses corrélations ont été développées. Pour la région précédant l’apparition de
l’ébullition (région ab), les corrélations appropriées de convection naturelle peuvent être
utilisées pour évaluer le coefficient de transfert de chaleur. On donne dans cette section
des corrélations largement utilisées pour les régimes d’ébullition nucléée et d’ébullition en
film.
L’analyse de l’ébullition nucléée passe par la prédiction du nombre de sites de nucléation
et du taux de génération de bulles sur chaque site. Même si ces mécanismes ont fait l’objet
de nombreuses études, des modèles complets et fiables restent à établir. Yamagata et al
furent les premiers à mettre en évidence l’influence des sites de nucléation sur le transfert
de chaleur via la relation :
qP = C ∆Tea N b
Où N est la densité de sites (nombre de sites actifs par unité de surface) et les exposants
valent approximativement a = 1, 2 et b = 1 3 . Bien que C et N varient de manière
significative d’une combinaison fluide-surface à une autre, il a été trouvé que, pour la
majorité des surfaces « commerciales », N varie selon N ∞∆Te5 ou N ∞∆Te6 . Il en résulte
que qP est à peu près proportionnel à ∆Te3 .
La corrélation la plus employée pour l’ébullition nucléée est celle proposée par
Rohsenow :
5-2
 g ( ρ L − ρV ) 
qP = µ L LV 

σ


12
 c pL ∆Te

n
 Csf LV PrL



3
5-10
Les indices L et V se rapportent au liquide et à la vapeur à saturation. Le coefficient Csf et
l’exposant n dépendent de la combinaison surface-liquide, des valeurs représentatives
sont Csf = 0, 013 et n = 1 pour les combinaisons inox/eau et cuivre/eau.
Pour le flux critique, Kutateladze (analyse dimensionnelle) et Zuber (analyse de stabilité
hydrodynamique) ont obtenu une expression de la forme :
5-3
qmax
14
12
 σ g ( ρ L − ρV )   ρ L − ρV 
=
LV ρV 

 
24
ρV2

  ρV 
π
Cette expression est, en première approximation, indépendante du matériau de surface et
dépend seulement faiblement de la géométrie. En remplaçant la constante de Zuber
(
π
24
= 0,131 ) par une valeur expérimentale de 0,149 et en approximant le dernier terme
par l’unité, la relation devient :
5-4
qmax
 σ g ( ρ L − ρV ) 
= 0,149 LV ρV 

ρV2


14
Il est important de noter que le flux critique dépend fortement de la pression, à travers la
tension superficielle et de la chaleur latente.
5.4 TRANSFERTS DE CHALEUR PAR ÉBULLITION DANS
UNE CONDUITE CHAUFFÉE
5.4.1 DIFFERENTS MODES DE TRANSFERTS DE CHALEUR
La Figure 5.3 montre l'évolution du flux de chaleur échangé entre une paroi chauffante et
un fluide à son contact en fonction du niveau de température auquel est maintenu cette
paroi. La variation du flux avec la température de paroi n'est pas monotone et on notera en
particulier la décroissance du flux dans la zone de transition qui suit le point dit de crise
d'ébullition.
5-11
Régim es
d'écoulem ent
Ecoulem ent sim plephase vapeur
Ecoulem ent à
gouttelettes
Ecoulem ent
annulaire
Ecoulem ent
à bouchons
M écan ism es
d'écha nge
Convection sim plephase vapeur
Region déficiente
en liquide
Convection forcée à
travers un film liquide
Ebullition nucléée
saturée
Ecoulem ent à
bulles
Ebullition nucléée
sous-saturée
Ecoulem ent sim plephase liquide
Convection sim plephase liquide
Figure 5-3 : Régimes d’ébullition dans une conduite chauffante
Pour un fluide en écoulement dans une conduite dont la paroi est soumise à un flux
thermique imposé, on observe des régimes de transfert de chaleur analogues.
5.4.2 TRANSFERT DE CHALEUR AVANT EBULLITION
Dans la zone où l'écoulement est en simple phase liquide, l'échange de chaleur entre paroi
et fluide se fait par convection et l'écart de température correspondant peut être calculé en
utilisant des corrélations de la forme :
Nu L = Nu L (Re L , PrL )
Où Nu L , Re L et PrL désignent respectivement les nombres de Nusselt, de Reynolds et
de Prandtl de l'écoulement liquide, à savoir :
5-12
Nu L =
5-5
hL DH
λL
ρ LuL DH GDH
=
µL
µL
µ L c pL
PrL =
λL
Re L =
hL représente le coefficient d'échange par convection entre l'écoulement liquide et la
paroi.
On peut par exemple utiliser la corrélation de Dittus-Boelter :
5-6
0,4
Nu L = 0, 023 Re0,8
L PrL
L'écart de température entre la paroi et le liquide est alors donné par :
TP − TL =
qP qP DH
=
hL λL Nu L
où q p désigne le flux de chaleur échangé entre la paroi et l'écoulement.
5.4.3 TRANSFERT DE CHALEUR PAR EBULLITION
5.4.3.1 APPARITION DE L’EBULLITION
Les relations précédentes (section 5.4.2) représentent la situation physique tant que la
température de paroi est inférieure à la température de saturation.
5.4.3.2 EBULLITION SOUS-SATUREE
A partir du moment où la température de paroi dépasse la température de saturation, va
apparaître un second mécanisme de transfert de chaleur qui devient rapidement
prépondérant, le transfert de chaleur par ébullition. Une transformation de liquide en
vapeur se produit sur les imperfections géométriques de la paroi (appelées sites de
nucléation) qui jouent un rôle d'amorçage. A ce nouveau phénomène correspond un flux de
chaleur supplémentaire de sorte que le flux d'échange total s'écrit :
5-7
qP = qL + qe
5-13
Le terme qL" représente le flux de chauffe direct du liquide correspondant au mécanisme
de convection ; on pourra l'écrire comme précédemment sous la forme :
qL = hL* ( TP − TL )
en prenant pour hL* soit la valeur hL du coefficient d'échange obtenue en considérant
l'écoulement comme tout liquide, soit en corrigeant cette valeur pour tenir compte de
l'augmentation de vitesse due à la production de vapeur :
5-8

∆ρ 
h = hL 1 + X

ρV 

0,8
*
L
Quant au flux d'ébullition qe" , l'expérience montre qu'il croît avec TP − Tsat beaucoup plus
vite que linéairement et qu'en première analyse il est indépendant du débit. Parmi de
nombreuses expressions empiriques de la littérature, on retiendra la corrélation de Jens et
Lottes :
5-9
 p  0,25
TP = Tsat + 0, 79 exp  −
 qe
 6, 2 
Avec les unités suivantes :
TP , Tsat en °C, p en MPa et qe en W/m2
On remarque que l'écart de température correspondant à un flux donné est faible. Il est
d'autant plus faible que la pression est élevée à tel point qu'alors on ne fait pas d'erreur
importante en supposant que la température de la paroi chauffante est bloquée par
l'ébullition à la température de saturation.
Notons que l'apparition de vapeur avant la cote d'ébullition franche (se reporter au
chapitre 4), dans la zone dite d'ébullition locale, n'est pas en contradiction avec l'hypothèse
du modèle équilibré thermiquement. Du fait de la grande intensité supposée de l'échange
thermique entre phases, la vapeur produite en paroi aux cotes inférieures à la cote
d'ébullition franche ( z < z L ), se recondense immédiatement par contact avec le liquide
froid et la qualité reste nulle jusqu'à la cote d'ébullition franche.
5.4.3.3 EBULLITION SATUREE
On parle d’ébullition saturée lorque la température de liquide atteint la température de
saturation. Ce régime comprend à la fois l’ébullition nucléée sous-saturée (configuration à
bulles) et la convection forcée à travers un film liquide (configuration annulaire : film
liquide tapissant la paroi et la région centrale étant constituée de gouttelettes entraînées par
la vapeur).
5-14
Le flux d'échange peut être représenté sous la forme :
5-10
qL = k ( TP − Tsat ) + hLY (Tp − Tsat )
n
Dans l'expression précédente, hL est le coefficient d'échange paroi-liquide évalué avec un
débit de liquide égal au débit total et Y un facteur multiplicatif rendant compte en
particulier de l'augmentation de vitesse :

∆ρ 
Y = 1 + X

ρV 

5-11
0,8
Notons qu'à fort flux de chauffe, le mécanisme d'évaporation peut ne pas exister étant
donné que la paroi peut être asséchée avant que ne se forme l'écoulement annulaire
(phénomène de caléfaction, voir section 5.4.4).
5.4.4 CRISE D'EBULLITION
Tant qu'il y a du liquide à la paroi, la température de cette dernière reste voisine de la
température de saturation. Par contre, si la paroi n'est plus mouillée par du liquide, alors il
y a une forte dégradation de l'échange thermique entre paroi et écoulement entraînant une
élévation importante de la température de paroi (crise d'ébullition).
On distingue deux mécanismes conduisant à l'assèchement de la paroi :
La caléfaction
En ébullition locale ou en ébullition franche (titre négatif ou faiblement positif),
coalescence des bulles au voisinage de la paroi conduisant à la formation d'un film vapeur
continu (écoulement annulaire inverse).
L'assèchement de film
A fort titre, évaporation du film liquide jusqu'à sa disparition totale (écoulement
annulaire).
On remarque ainsi que l'assèchement peut se produire bien avant que tout le liquide dans
l'écoulement se soit vaporisé, c'est-à-dire avant que la qualité soit égale à 1.
Du fait de son importance, le phénomène est analysé expérimentalement chaque fois qu'on
met en oeuvre un nouveau dispositif chauffant. La crise d'ébullition est en effet fortement
dépendante de la configuration en même temps que des caractéristiques locales de
l'écoulement. Les résultats sont donnés sous forme analytique par des expressions souvent
fort compliquées (corrélation W3 utilisée pour les réacteurs nucléaires refroidis à l’eau) ou
5-15
présentés sous forme de banques de données. Ils revêtent souvent un caractère
confidentiel, au moins dans le cas des réacteurs à eau.
Le fait essentiel est le suivant : dans des conditions données de pression et de débit, il y a
crise d'ébullition si le flux de chauffe est supérieur à une valeur qc (appelée flux critique).
D’une manière générale, on exprime le flux critique sous la forme :
qc = f ( p, G, X * )
5-12
Le flux critique est une fonction décroissante du titre thermodynamique. On retiendra pour
sa simplicité la corrélation de Zuber-Griffith, ainsi que la corrélation de Biasi qui vaut
pour l'eau dans une conduite circulaire de diamètre D .
5.4.5 TRANSFERT DE CHALEUR EN AVAL DE LA CRISE
D’EBULLITION
Au-delà du point d'assèchement, le transfert de chaleur paroi-fluide se fait par le
mécanisme classique de convection par la vapeur séparant la paroi du coeur de
l'écoulement. On va donc avoir un coefficient d'échange du type Dittus-Boelter évalué avec
les caractéristiques (propriétés physiques et vitesse) de la vapeur.
Si l'on note hV le coefficient d'échange paroi-fluide quand la vapeur circule seule avec le
débit total, le coefficient d'échange effectif hV* s'exprime en tenant compte de la vitesse
locale :
 ρ + X ∆ρ 
h = hV  V

ρL


0,8
*
V
5-13
avec hV déduit de :
NuV = 0, 023ReV0,8 PrV0,4
5-14
sachant que :
5-15
NuV =
hV DH
ReV =
GD H
PrV =
λV
µV
µV C pV
λV
5-16
Dans la dernière zone de la conduite enfin, quand tout le fluide est en simple phase vapeur,
on retrouve l'expression classique pour la convection simple phase vapeur, d'où :
q = hV (TP − TV )
Soit :
TP − TV =
q
hV
5.5 TRANSFERTS DE CHALEUR PAR CONDENSATION
5.5.1 INTRODUCTION : MECANISMES PHYSIQUES
Par définition, la condensation désigne la transformation par changement d'état d'une
vapeur saturée en liquide au contact d'un milieu plus froid (généralement une paroi).
La condensation se produit lorsque la température d’une vapeur devient inférieure à sa
température de saturation ( pV < psat (T ) ). Dans l’industrie, le processus résulte en
général de la mise en contact d’une vapeur avec une surface froide. La chaleur latente de la
vapeur est libérée, la chaleur est transmise à la surface de la paroi, un condensat se forme.
D’autres modes sont la condensation homogène se manifestant par la condensation de la
vapeur sous la forme de gouttelettes dans la phase gazeuse formant ainsi un brouillard. Un
autre mécanisme est la condensation directe se produisant lorsque qu’une vapeur est mise
en contact avec un liquide froid. Seule la condensation en surface sera décrite plus en
détail dans ce chapitre.
La condensation en surface peut se produire selon deux modes, selon l’état de surface. La
forme la plus courante consiste en la formation d’un film liquide couvrant la totalité de la
surface (film condensation) et s’écoulant de manière gravitaire le long de cette surface. Si
la surface est revêtue d’une substance inhibant le mouillage, alors le condensat peut se
présenter sous la forme d’une multitude de gouttelettes (dropwise condensation).
Que ce soit en film ou en gouttes, le condensat induit une résistance thermique au transfert
de chaleur entre la vapeur et la surface. Les coefficients d’échange de chaleur sont
beaucoup plus élevés en condensation en gouttes qu’en condensation en film, mais la
5-17
condensation en gouttes nécessite des parois hydrophobes et est plus difficile à obtenir
dans des équipements industriels (oxydation, fouling, dégradation du revêtement). Aussi et
parce que les coefficients de convection pour la condensation en film sont plus faible que
dans le cas de gouttes, le dimensionnement des condenseurs est souvent effectué en
supposant la condensation en film.
Les applications que l'on peut rencontrer sont soit de type industriel (réfrigérant,
condenseur,...) soit dans le domaine de la sûreté des réacteurs (condensation dans une
enceinte de confinement lors d'une dépressurisation du circuit primaire).
5.5.2 CONDENSATION EN FILM SUR UNE PAROI PLANE
VERTICALE
Dans le domaine industriel, la condensation est généralement réalisée à la surface d'une
paroi froide. Cette paroi peut être soit verticale, soit horizontale ou bien encore inclinée.
On va établir l'expression du coefficient d'échange superficiel à la paroi entre la vapeur
saturée et cette paroi qui sera ici supposée verticale.
Lorsque de la vapeur se condense sur une paroi froide, la résistance thermique
prépondérante est celle du film de condensat. Il est donc naturel de s’intéresser à la
structure de ce film.
On observe à partir du début de la condensation trois structures de film différentes :
o un film laminaire lisse,
o un film laminaire avec vagues,
o un film turbulent.
Les épaisseurs de film de condensat étant très faibles, les résultats obtenus pour les
plaques planes seront applicables pour la condensation en film à l’extérieur ou à l’intérieur
d’un tube vertical à condition que le rayon de courbure de la paroi froide soit suffisamment
grand (> 1,5 mm).
Les équations de bilan en condensation peuvent être établies de manière générale à partir
du formalisme unitaire présenté dans le chapitre 2 (voir notamment les sections 2.2.2 et
2.3.5). On rappelle néanmoins dans ce qui suit (section 5.5.2.1) la démonstration directe
des équations de la théorie de Nusselt en raison de son intérêt pédagogique.
5-18
5.5.2.1
CONDENSATION EN FILM LAMINAIRE D'UNE VAPEUR PURE SUR
UNE PAROI PLANE VERTICALE : THEORIE DE NUSSELT
L'équation de Nusselt reliant le coefficient d'échange superficiel aux caractéristiques des
fluides en présence (gaz et eau liquide) et aux caractéristiques de la paroi verticale peut
être établie après avoir fait les hypothèses qui suivent.
Hypothèses
- Le film de condensat s'écoule en régime permanent et laminaire.
- En se condensant, la vapeur libère sa chaleur latente de vaporisation et le liquide formé
est refroidi à une température inférieure à la température de saturation mais supérieure à
celle de la paroi.
- La vapeur est une vapeur pure, au repos, saturée, à la température de saturation Tsat
correspondant à la pression partielle de vapeur pV (ici égale à la pression totale).
- L'épaisseur du film reste suffisamment faible pour que l'on puisse considérer que le
gradient de température est constant.
- L'épaisseur du film en un point n'est fonction que de la vitesse.
- Les propriétés physiques du condensat sont considérées comme constantes.
- La température TP de la paroi est constante sur toute la hauteur de la paroi qui est lisse.
La Figure 5.4 représente le condensat au contact de la paroi avec les profils de vitesse et de
température résultant des hypothèses précédentes.
5-19
y
δ(x)
∂u
∂y
=0
y =δ
TP
Tsat(PV)
x
Figure 5-4 : Film de condensat sur une paroi verticale (notations et profils)
Démarche
La théorie de Nusselt permet d’évaluer le coefficient moyen d’échange de chaleur par
condensation ainsi que le débit de condensation.
Les différentes étapes du calcul sont :
1. Intégration du bilan d’impulsion local dans le film sur un élément de hauteur dx,
2. Intégration des bilans de masse et d’énergie dans le film,
3. Prise en compte de la sous-saturation,
4. Calcul du coefficient d’échange moyen sur toute la hauteur de la plaque
Etape 1 : Ecriture du bilan d’impulsion dans le film
L’écriture du bilan d’impulsion sur un volume élémentaire dxdy dans le film liquide
donne :


∂p  

 p −  p + ∂x dx   dy + ρ L gdxdy − τ





∂τ  
− τ +
dy   dx = 0
∂y  

En écrivant que le gradient de pression le long du film est le même que dans la vapeur au
repos (
∂p ∂p
≪
):
∂y
∂x
5-20
∂p
= ρV g
∂x
On a de plus :
τ = µL
∂u
∂y
D’où finalement :
∂ 2u
µ L 2 = − ( ρ L − ρV ) g
∂y
En intégrant deux fois, avec comme conditions aux limites :
u ( y = 0 ) = 0 et
∂u
∂y
=0
y =δ
On obtient la distribution de vitesse du liquide dans le film :
5-16
u ( y)
ρ L − ρV ) gδ 2  y 1  y 2 
(
=
−
µL

 δ
  
2  δ  
On peut en déduire le débit de liquide dans le film de condensat, expression où b
représente la largeur de la plaque :
5-17
mɺ ( x ) = ∫
δ ( x)
0
Ou encore :
ρ Lubdy =
ρ L ( ρ L − ρV ) gbδ 3
3µ L
mɺ ( x ) ρ L ( ρ L − ρV ) gδ 3
=
b
3bµ L
Etape 2 : Intégration des bilans de masse et d’énergie dans le film
ɺ peuvent être obtenues en appliquant le bilan d’énergie
Les variations en x de δ et de m
à une tranche d’épaisseur dx du film liquide. On écrit que, à l’interface liquide-vapeur, la
puissance thermique transférée vers le film, dQɺ P , est égale à celle produite par
condensation, dQɺ s , soit (et en négligeant la sous-saturation du liquide par rapport à la
chaleur latente) :
dQɺ P = dQɺ s = LV dmɺ
Si l’on suppose que le transfert de chaleur dans le film se fait par conduction (en
négligeant les effets de convection dans le film), alors la distribution de température dans
le film est linéaire :
5-21
y

Tsat − T ( y ) = (Tsat − TP ) 1 − 
 δ
5-18
D’où :
5-19
qx =
Soit encore :
λL (Tsat − TP )
δ
λL (Tsat − TP )
dQɺ P = qx bdx =
bdx
δ
D’où, en utilisant l’expression du débit de film en fonction de x , on obtient :
λ µ (T − T ) 1
dδ
= L L sat P
dx ρ L ( ρ L − ρV ) gLV δ 3
Soit encore :
δ 3dδ =
λL µ L (Tsat − TP )
dx
ρ L ( ρ L − ρV ) gLV
L’intégration, en utilisant la condition δ = 0 à x = 0 , donne :
5-20
 4λ µ ( T − T ) x 
δ ( x ) =  L L sat P 
 ρ L ( ρ L − ρV ) gLV 
1/ 4
On peut en déduire le coefficient de transfert de chaleur local (conduction seule dans le
film) :
5-21
1/ 4
λ  ρ ( ρ − ρV ) gLV λL3 
h ( x) = L =  L L

δ  4µ L x(Tsat − TP ) 
D’où le nombre de Nusselt local :
5-22
Nu ( x ) =
h ( x) x
λL
 ρ L ( ρ L − ρV ) gLV x3 
=

 4λL µ L (Tsat − TP ) 
1/ 4
Etape 3 : Prise en compte de la sous-saturation du film liquide
L’analyse classique de Nusselt s’appuie sur de nombreuses hypothèses. Des variantes de
cette analyse ont été développées pour lever certaines de ces hypothèses. On peut par
exemple prendre en compte l’effet de sous-saturation du liquide dans le bilan d’énergie du
film. On écrit que le liquide, formé à l’interface à Tsat , doit être refroidi à T
5-22
( Tp < T < Tsat ) pour maintenir des conditions stationnaires. Il en résulte un terme
supplémentaire, dQɺ sub , tel que :
dQɺ P = dQɺ s + dQɺ sub
5-23
D’où, en intégrant sur l’épaisseur du film :
δ ( x)
Qɺ sub ( x ) = ∫ c pL (Tsat − T ) ρ Lubdy
0
On procède à l’intégration en utilisant l’expression des profils de vitesse et de température
dans le film :
δ ( x) y 
ρ L ( ρ L − ρV ) gbδ 3
y  y  1
ɺ
Qsub ( x ) =
c pL ( Tsat − TP ) ∫
1−
dy
1 −
0
µL
δ  2δ   δ  δ
Soit encore :
On en déduit :
5-24
On en déduit :
1 
ρ ( ρ − ρV ) gbδ 3
ς
Qɺ sub ( x ) = L L
c pL (Tsat − TP ) ∫ ς 1 −  (1 − ς ) d ς
0
µL
 2
ρ L ( ρ L − ρV ) gbδ 3 3
3
ɺ
ɺ pL (Tsat − TP )
Qsub ( x ) =
c pL ( Tsat − TP ) = mc
3µ L
8
8
λL (Tsat − TP ) 
3
dmɺ
 dmɺ
=  LV + c pL (Tsat − TP ) 
= L*V
δ
dx
8

 dx
En posant :
3
L*V = LV + c pL (Tsat − TP )
8
*
Il suffit donc de remplacer LV par LV pour obtenir l’expression du coefficient de transfert
5-25
local :
5-26
1/ 4
 g ρ ( ρ − ρV ) L*V λL 3 
h ( x) =  L L

 4 µ L x(Tsat − TP ) 
D’autres analyses de la condensation en film sur une surface verticale (Koh, Rohsenow)
ont été développées. L’analyse de Rohsenow indique que l’effet de sous-saturation du
liquide et de la convection peut être pris en compte en remplaçant dans les équations
précédentes LV par L*V , selon :
5-27
L*V = LV + 0, 68c pL (Tsat − TP )
5-23
Etape 4
La valeur moyenne du coefficient d'échange sur une hauteur H est donc :
5-28
1
hH =
H
1/ 4
∫
H
0
1 L  g ρ L ( ρ L − ρV ) L*V λL3 
hx .dx = ∫ 

L 0  4 µ L (Tsat − TP ) 
x −1/ 4 dx
1/ 4
1 4  g ρ L ( ρ L − ρV ) L*V λL3 
=


H 3  4 µ L (Tsat − TP ) 
H 3/ 4
Ce qui nous amène à la relation de Nusselt :
1/ 4
4  g ρ ( ρ − ρV ) L*V λL3 
hH =  L L

3  4 µ L H (Tsat − TP ) 
5-29
Ou encore, sous forme adimensionnelle :
5-30
Nu H =
hH H
λL
1/ 4
4  ρ ( ρ − ρV ) gL*V H 3 
=  L L

3  4 µ L λL (Tsat − TP ) 
On peut faire les remarques suivantes :
1) On a hH =
4
h( x = H )
3
2) hH diminue lorsque la hauteur H de la paroi augmente par suite de l'épaississement du
film de condensat. Par conséquent, tout dispositif (aspérités, ailettes,...) susceptible de
rompre ce film améliore les échanges entre le gaz et la paroi par l'intermédiaire du
coefficient d'échange.
3) hH augmente lorsque (Tsat − TP ) diminue. Par conséquent un condenseur est un bon
échangeur à faible écart de température.
4) Les coefficients réels sont en général de 15 à 20 fois supérieurs à ceux donnés par
l'équation de Nusselt. Ceci est dû à la formation de rides à la surface du condensat, ce qui
accroît l'aire d'échange entre le gaz (la vapeur) et le condensat.
5) Si la surface n'est pas verticale (angle θ avec l'horizontale), la relation de Nusselt est
toujours valable en prenant g sin θ pour la pesanteur.
5.5.2.2 CONDENSATION EN FILM EN REGIME TURBULENT
La transition vers le régime turbulent peut s’exprimer en fonction d’un nombre de
Reynolds (de film) défini par :
5-24
Reδ =
5-31
4mɺ 4 ρ Lumδ
=
µ Lb
µL
On rappelle que um désigne la vitesse moyenne dans le film, δ l’épaisseur du film, prise
comme longueur caractéristique.
Pour Reδ < 30 environ, le film est laminaire. Avec l’augmentation de Reδ , des rides ou
des vagues apparaissent à la surface du film et, pour Reδ ≈ 1800 , le film est pleinement
turbulent.
Dans la région laminaire ( Reδ < 30 ), on obtient en remplaçant :
5-32
Reδ =
4 g ρ L ( ρ L − ρV ) δ 3
3µ L2
En supposant ρV ≪ ρ L , on fait apparaître un nombre de Nusselt modifié selon :
5-33
hL (ν L2 g )
1/ 3
λL
4
= 
3
43
Reδ−1/ 3 = 1, 47 Reδ−1/ 3 pour Reδ < 30
Dans la région laminaire à vagues, Kutateladze recommande la corrélation suivante :
5-34
hL (ν L2 g )
1/ 3
λL
=
Reδ
pour 30 < Reδ < 1800
1, 08 Re1,22
δ − 5, 2
Et pour le régime turbulent :
5-35
hL (ν L2 g )
1/ 3
λL
=
Reδ
8750 + 58 Pr
−0,5
( Re
0,75
δ
− 253)
pour Reδ > 1800
L’ensemble de ces résultats est représenté sur la Figure 5.5.
5-25
Modified Nusselt number for condensation on a vertical plate
1,0
Nud laminaire
Nud laminaire à vagues
Nud turbulent, Pr=1
Nud turbulent, Pr=2
Nud turbulent, Pr=5
Nud turbulent, Pr=10
0,1
10
100
1 000
10 000
100 000
Figure 5-5 : Nombre de Nusselt modifié pour la condensation sur une plaque verticale
5.5.2.3 EFFET DE LA PRESENCE D’UN GAZ INCONDENSABLE
La condensation sur une paroi peut être sensiblement modifiée par la présence d'un gaz
incondensable. On rappelle que la relation de Nusselt n'est valable que pour une vapeur
saturée pure.
La présence des gaz incondensables peut limiter plus ou moins les échanges entre la
vapeur et la paroi.
Le coefficient d'échange peut être considérablement diminué en présence de gaz
incondensable par rapport à celui obtenu avec une vapeur pure. Ce phénomène peut
s'expliquer par le fait que le gaz incondensable est entraîné vers la paroi par le mouvement
de la vapeur et s'y accumule, offrant ainsi un obstacle au transfert de chaleur.
5-26
Par ailleurs, la pression partielle de vapeur diminue au voisinage du film (donc la
température de saturation prise à la pression partielle de vapeur diminue aussi) puisque la
pression des incondensables augmente afin de conserver une pression totale constante.
5.5.3 CONDENSATION EN FILM DANS UN TUBE
5.5.3.1 CONDENSATION EN FILM SUR UN TUBE HORIZONTAL
L’analyse de Nusselt peut être étendue au cas de la condensation en film sur la surface
externe d’une sphère ou d’un tube horizontal de diamètre D , avec le coefficient convectif
moyen s’exprimant sous la forme :
5-36
 g ρ L ( ρ L − ρV ) λL3 L*V
hD = C 
 µ (T − T ) D
L
sat
P

1/ 4



avec C = 0, 729 .
La même relation s’applique pour une sphère de diamètre D en prenant C = 0,826 .
Pour une grappe verticale de tubes horizontaux ( N tube tubes), le coefficient d’échange
moyen (sur les N tube tubes) est donné par :
 g ρ ( ρ − ρV ) λL3 L*V 
= 0, 729  L L
 N µ (T − T ) D 
 tube L sat P

1/ 4
5-37
hD , N
−1 4
Soit hD , N = hD N tube
où est le coefficient d’échange correspondant au premier tube (le plus
haut). Une telle configuration est souvent utilisée dans les condenseurs.
5.5.3.2 CONDENSATION EN FILM DANS UN TUBE HORIZONTAL
Les condenseurs utilisés pour les systèmes de réfrigération et de conditionnement d’air
mettent généralement en œuvre la condensation de vapeur à l’intérieur de tubes
horizontaux ou verticaux. Les conditions dans le tube sont complexes et dépendent
fortement de la vitesse de la vapeur circulant dans le tube.
Le débit de condensat s’écoule d’abord du haut vers le bas du tube, puis dans la direction
axiale avec la vapeur. Pour des vitesses de vapeur telles que :
ρ u D
ReV ,i =  V m ,V  < 35000
 µV i
5-27
Où i indique l’entrée du tube, Chato recommande une expression de la forme :
5-38
 g ρ L ( ρ L − ρV ) λL3 L*V
hD = 0, 555 
 N µ (T − T ) D
L
sat
P

1/ 4



Où, dans ce cas, la chaleur latente modifiée est :
5-39
3
L*V = LV + c pL (Tsat − TP )
8
Pour des vitesses de vapeur plus élevées, l’écoulement diphasique devient annulaire. La
vapeur occupe le centre de l’écoulement, diminuant en diamètre à mesure que l’épaisseur
de la couche de condensat augmente dans la direction de l’écoulement. Des résultats pour
ces conditions sont fournis par Rohsenow [xx].
5.5.4 CONDENSATION EN GOUTTES
L'effet principal de la condensation en gouttes est une augmentation du coefficient
d'échange superficiel puisque la résistance thermique due au film liquide (film de
condensat) est ainsi détruite.
Pour obtenir une condensation sous forme de gouttelettes, il faut faire intervenir un agent
promoteur ayant d'une part une affinité avec la paroi, et d'autre part un effet répulsif
(hydrophobe) envers l'eau pour empêcher la condensation en film.
Ainsi la condensation se fera sous forme de gouttes ne recouvrant que 90% de la paroi et
laissant par voie de conséquence 10% de paroi libre facilitant les échanges gaz-paroi.
Cette fraction de 10% de paroi libre peut augmenter d'un facteur 10 à 80 le coefficient
d'échange établi par la relation de Nusselt. Cette relation sous-estime le coefficient
d’échange de manière significative de sorte que les coefficients d’échange par
condensation en gouttes sont d’un ordre de grandeur supérieur à ceux obtnues pour la
condensation en film.
Parmi les nombreuses combinaisons surface-fluide étudiées, la plupart des données se
rapportent à la condensation de vapeur d’eau sur des surfaces en cuivre bien promotrices et
peuvent être corrélées par :
hdc = 51,104 + 2044Tsat pour 22°C < Tsat < 100°C
5-40
hdc = 255, 510 pour Tsat > 100°C
Relations où le coefficient d’échange est exprimé en unité SI ( W / m 2 .K ). L’effet de soussaturation est faible, il peut être négligé.
5-28
L’influence de gaz incondensables dans la vapeur d’eau peut être très significatif.
5.6 TRANSFERTS DE CHALEUR PAR ÉVAPORATION
5.6.1 INTRODUCTION
Les condenseurs utilisés pour les systèmes de réfrigération et de conditionnement d’air
mettent généralement en œuvre la condensation de vapeur à l’intérieur de tubes
horizontaux ou verticaux. Les conditions dans le tube sont complexes et dépendent
fortement de la vitesse de la vapeur circulant dans le tube. Si cette vitesse est faible, la
condensation se produit comme indiqué sur la Figure.
L'évaporation est aussi un changement d'état liquide-vapeur, mais contrairement à
l'ébullition, pour laquelle ce changement s'effectue en masse ou bien au contact d'une paroi
solide chauffante, l'évaporation se produit directement à l'interface liquide/gaz.
Lorsque la pression partielle de la vapeur est inférieure à la pression de vapeur saturante et
que celle-ci est elle-même inférieure à la pression ambiante, une partie des molécules
passent de la phase liquide à la phase gazeuse : c'est l'évaporation.
L'évaporation ne peut avoir lieu que lorsque l'on est en présence d'un mélange de gaz.
Lorsque la vapeur du liquide est le seul gaz, on n'a pas d'évaporation mais une ébullition
(on peut également avoir une ébullition en présence d'un mélange de gaz).
L'évaporation est un phénomène important indispensable dans le cycle de la vie. Le cycle
bien connu de l'eau (eau liquide devient nuage, puis retombe en pluie ou neige) nécessite
cette étape.
L'évaporation demande une quantité d'énergie en général non négligeable (la chaleur
latente de vaporisation), ce qui permet par exemple la régulation de température chez les
homéothermes par transpiration et évaporation de la sueur, ou de l'air par nébulisation
(aérosols d'eau).
L’évaporation doit être reliée au transfert de masse par diffusion. D’une manière plus
générale, s’il y a une différence de concentration d’espèces chimiques dans un mélange,
alors un transfert de masse se produit, même dans des conditions isothermes (analogie
avec le transfert de chaleur dans un gradient de température).
5-29
5.6.2 RAPPELS SUR LA DIFFUSION
5.6.2.1 PARAMETRES DE LA COMPOSITION D’UN MELANGE
Un mélange consiste en deux ou plus constituants (espèces chimiques), la composition
pouvant être définie par la masse spécifique ρi (kg/m3) de chaque constituant ou sa
concentration molaire Ci (kmol/m3). La masse spécifique et la concentration molaire sont
reliées à travers la masse molaire M i (kg/kmol), de sorte que :
ρi = M i Ci
5-41
(kg/m3)
La masse spécifique du mélange est donnée par :
ρ = ∑ ρi
i
De même, le nombre total de moles par unité de volume du mélange est :
C = ∑ Ci
5-42
(kmol/m3)
i
La quantité de l’espèce i dans le mélange peut également être exprimée par sa fraction
massique yi :
(sans unité)
ρi
5-43
Yi =
ρ
ou sa fraction molaire ci :
5-44
On a :
ci =
Ci
C
(sans unité)
∑Y = 1
i
i
Et :
∑c
i
=1
i
Dans le cas d’un mélange de gaz parfaits, alors la masse volumique et la concentration
molaire de chaque constituant sont reliés à la pression partielle du constituant par la loi des
gaz parfait, soit :
5-30
5-45
ρi =
pi
rT
i
Ci =
pi
RT
Et :
5-46
Où ri désigne la constante réduite du gaz parfait i ( ri = R M i ) et R la constante
universelle des gaz parfaits.
En utilisant les relations 5.44 et 5.46 ainsi que la loi de Dalton sur l’additivité des
pressions partielles,
p = ∑ pi
i
Il vient :
5-47
ci =
Ci pi
=
C
p
5.6.2.2 LOI DE DIFFUSION DE FICK ET BILAN DE MASSE EN DIFFUSION
Soit un mélange de deux espèces A et B (généralement des gaz), au repos (ou pas), à
température uniforme mais présentant des gradients de densité. Le taux de transfert par
diffusion de l’espèce A dans le mélange binaire A et B s’exprime par la loi de Fick :
(kg/m2s)
j A = − ρ DAB ∇YA
5-48
Ou, en termes de fractions molaires :
5-49
J A = −CDAB ∇c A
(kmol/m2s)
Ces expressions ont une forme analogue à la loi de Fourier pour la diffusion thermique
(conduction). j A représente le flux de masse de l’espèce A, c’est-à-dire la quantité de A
transférée par unité de temps et par unité de surface perpendiculaire à la direction de
transfert.
DAB est le coefficient de diffusion moléculaire de l'espèce A dans le milieu binaire. Une
attention particulière a été portée à la détermination des coefficients de diffusion dans le
cas d’un mélange binaire de deux gaz, A et B. Dans le cas de gaz parfaits, DAB peut être
calculé par la théorie cinétique des gaz :
5-50
DAB ~ p −1T 3 2
5-31
DAB peut également être mesuré expérimentalement. A titre d'exemple, on peut citer la
relation de Schirmer pour la vapeur d'eau, valable pour une température comprise entre 20
et 90°C.
1,81
(m2/s)
5-51
1 T
D = 2, 26.10−5




p  273 
avec la température du gaz exprimée en Kelvin, la pression totale (somme des pressions
partielles de chaque constituant) en bars.
Il faut noter que, bien que la diffusion de masse puisse résulter d’un gradient de
température, d’un gradient de pression ou d’une force extérieure, autant que d’un gradient
de concentration, on suppose ici que ces effets additifs sont absents ou négligeables
(« diffusion ordinaire »). Une autre condition restrictive est que les flux sont évalués dans
un système de coordonnées suivant la vitesse moyenne de l’écoulement d’ensemble. Si les
flux massiques ou molaires sont évalués dans un système de coordonnées fixe, alors on
doit écrire :
(kg/m2s)
n′′A ≡ ρ Av A
5-52
Où v A est la vitesse absolue de l’espèce A.. On peut montrer simplement que :
n′′A = j A + ρ Av
Où est la vitesse moyenne du mélange définie par :
v = YAv A + YB vB
On en déduit :
5-53
n′′A = − ρ DAB∇YA + YA ( n′′A + n′′B )
De la même manière, en fonction des grandeurs molaires, on a :
5-54
N ′′A = −CDAB ∇c A + cA ( N ′′A + N B′′ )
5.6.2.3 CAS PARTICULIER D’UN MELANGE DE GAZ PARFAITS
Par analogie avec la loi de Fick, on peut écrire la relation de flux de masse en fonction des
pressions partielles des différents constituants :
5-55
P
j A = − ρ DAB
∇p A
P
Où DAB
est le coefficient de diffusion relatif aux pressions partielles.
En utilisant l’équation d’état des gaz parfait :
5-32
p A = ρ A rAT
D’où on déduit, en rapprochant les équations 5.48 et 5.55 :
p
DAB = DAB
rV T
5-56
5.6.3 EVAPORATION AU VOISINAGE D'UNE NAPPE D'EAU EN
L'ABSENCE DE CONVECTION
L'évaporation est aussi un changement d'état liquide-vapeur, mais contrairement à
l'ébullition, pour laquelle ce changement s'effectue en masse ou bien au contact d'une paroi
solide chauffante, l'évaporation se produit directement à l'interface liquide/gaz.
Le phénomène d’évaporation peut être décrit par le formalisme unitaire présenté au
chapitre 2 (voir notamment la section 2.2.3). On donne dans la suite une approche plus
directe du problème.
z
z=H
pV , H
pV , z
psat (TL )
z=0
TL
Figure 5-6
5-33
A l’interface liquide-gaz, la pression partielle de vapeur est égale à la pression de
saturation (vapeur en équilibre avec le liquide).
Il s'agit d'un transfert de masse de la phase liquide vers l'extérieur qui s'effectue en deux
temps.
Premier temps
Il y a un déplacement des molécules de vapeur d'eau dans la phase gazeuse dû au gradient
de pression partielle. Le premier processus est donc un phénomène de diffusion
moléculaire.
Deuxième temps
Il y a une transformation liquide-vapeur, au niveau de la surface, pour maintenir l'équilibre
entre l'eau et sa vapeur puisque cet équilibre est perturbé par le mouvement de diffusion
moléculaire. Le second processus est la vaporisation.
On notera que la diffusion étant accompagnée de vaporisation en surface, l'évaporation est
toujours associée au transfert de chaleur nécessaire pour cette vaporisation. Pour fixer les
idées, on rappelle que, pour vaporiser un kg d'eau, il faut fournir une quantité de chaleur
égale à la chaleur latente LV (T ) .
5.6.3.1
APPLICATION DE LA LOI DE FICK A L'EVAPORATION D'UN
FLUIDE AU REPOS : LOI DE STEFAN
En régime permanent, en l’absence de réactions chimiques, le flux molaire de valeur doit
être uniforme sur toute la hauteur de la colonne, soit :
dNV′′, z
5-57
dz
=0
D’après la définition de la concentration molaire totale, C = CV + Ca , on a cV + ca = 1 sur
toute la hauteur.
Ayant supposé que cV ,0 > cV , H , on en déduit que ca , H > ca ,0 et donc que l’air doit diffuser
du haut de la colonne vers l’interface liquide. Cependant, en supposant l’air insoluble dans
le liquide, des conditions stationnaires ne peuvent être maintenues que si le la diffusion
d’air vers le bas est compensée par un mouvement d’ensemble (air + vapeur) vers le haut.
Cela implique que le flux absolu d’air est nul ( N a′′, z = 0 ). L’expression du flux peut être
obtenue en utilisant la condition N a′′, z = 0 dans l’équation 5.54, ce qui donne :
NV′′, z = −CDVa
5-58
dcV
+ cV NV′′, z
dz
Soit encore :
5-34
NV′′, z = −
5-59
CDVa dcV
1 − cV dz
Avec p , T , C et DVa constants, en reportant 5.59 dans 5.57, on obtient finalement :
d  1 dcV 

=0
dz  1 − cV dz 
Et, en intégrant deux fois :
− Ln (1 − cV ) = C1 z + C2
En appliquant les conditions aux limites cV ( 0 ) = cV ,0 et cV ( H ) = cV , H , on aboutit
finalement à :
5-60
z H
1 − cV  1 − cV , H
=
1 − cV ,0  1 − cV ,0



ca  1 − ca , H
=
ca ,0  1 − ca ,0
z H
Et de même, puisque 1 − cV = ca :
5-61



On en déduit le flux diffusif de vapeur dans la colonne :
5-62
NV′′, z =
 1 − cV , H
CDVa
Ln 
 1− c
H
V ,0




En utilisant les relations entre concentrations molaires et pressions partielles, on obtient
finalement :
5-63
NV′′, z =
DVa p  p − pV , H
Ln 
 p− p
H
V ,0

 DVa p  p − pV , H 
=
Ln 


H
 p − psat 

5.6.3.2 CAS PARTICULIER : LOI DE DALTON
A partir de l'équation de Stefan, on ajoute les deux hypothèses suivantes :
• la pression totale est nettement supérieure à pV , H ,
5-35
• la pression totale est nettement supérieure à psat .
Ces deux hypothèses sont vérifiées lorsque la température de l'eau et du gaz sont
inférieures à 30°C.
Dans ces conditions particulières, on a :
p − pV , H
p − psat
≈1
Par un développement limité au premier ordre de la fonction logarithme :
 p − pV , H
Ln 
 p − psat
p (T ) − pV , H
 p − pV , H
− 1 = sat
=
p
 p − psat
L'équation de Stefan prend alors la forme suivante, dite équation de Dalton :
NV′′, z =
DVa
( psat (T ) − pV , H )
H
Remarques sur l'équation de Dalton
1) Lorsque le mistral souffle, la pression de saturation est très supérieure à la pression de
vapeur à l'infini PV 0 car le vent est peu chargé en humidité. Par conséquent le débit
d'évaporation est élevé.
2) Lorsque le vent vient de l'Est, vent chargé en humidité, la pression partielle à l'infini
PV 0 est de l'ordre de celle à saturation. Par conséquent, le débit d'évaporation est faible.
Remarques sur l'équation de Stefan
Même si l'équation de Stefan n'est applicable que pour l'évaporation de l'eau dans un tube,
elle montre la dépendance du débit d'évaporation avec la température de l'eau :
1) Quand la température de l'eau augmente, la pression de saturation augmente aussi, donc
le débit d'évaporation croît.
2) Sous vide, la pression partielle de vapeur à l'infini est faible. Par conséquent le débit
d'évaporation est plus grand.
5.7 NOTATIONS
5-36
5.8 RÉFÉRENCES
5-37
5-38
TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE V
5 PHYSIQUE DES TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE MASSE EN
THERMOHYDRAULIQUE DIPHASIQUE
5-2
5.1
INTRODUCTION
5-4
5.2
PARAMÈTRES ADIMENSIONNELS EN ÉBULLITION ET CONDENSATION
5-6
5.3
TRANSFERT DE CHALEUR PAR ÉBULLITION EN VASE
5.3.1 Introduction
5.3.2 Les régimes d'ébullition
5.3.3 La nucléation
5.3.4 Corrélations de transfert de chaleur en ébullition en vase
5-7
5-7
5-7
5-10
5-10
5.4
TRANSFERTS DE CHALEUR PAR ÉBULLITION DANS UNE CONDUITE
CHAUFFÉE
5.4.1 Différents modes de transferts de chaleur
5.4.2 Transfert de chaleur avant ébullition
5.4.3 Transfert de chaleur par ébullition
5.4.4 Crise d'ébullition
5.4.5 Transfert de chaleur en aval de la crise d’ébullition
5-11
5-11
5-12
5-13
5-15
5-16
5.5
TRANSFERTS DE CHALEUR PAR CONDENSATION
5.5.1 Introduction : mécanismes physiques
5.5.2 Condensation en film sur une paroi plane verticale
5.5.3 Condensation en film dans un tube
5.5.4 Condensation en gouttes
5-17
5-17
5-18
5-27
5-28
5.6
TRANSFERTS DE CHALEUR PAR ÉVAPORATION
5.6.1 Introduction
5.6.2 Rappels sur la diffusion
5.6.3 Evaporation au voisinage d'une nappe d'eau en l'absence de convection
5-29
5-29
5-30
5-33
5.7
NOTATIONS
5-36
5.8
RÉFÉRENCES
5-37
5-II
FIGURES CHAPITRE V
FIGURE 5-1 : SCHEMATISATION DES DIFFERENTS TERMES DE TRANSFERT DE CHALEUR5-4
FIGURE 5-2 : REGIMES D’EBULLITION POUR UNE PLAQUE A TEMPERATURE IMPOSEE
(COURBE DE NUKIYAMA) .........................................................................................................................5-8
FIGURE 5-3 : REGIMES D’EBULLITION DANS UNE CONDUITE CHAUFFANTE........................5-12
FIGURE 5-4 : FILM DE CONDENSAT SUR UNE PAROI VERTICALE (NOTATIONS ET PROFILS)5-20
FIGURE 5-5 : NOMBRE DE NUSSELT MODIFIE POUR LA CONDENSATION SUR UNE PLAQUE
VERTICALE..................................................................................................................................................5-26
FIGURE 5-6 ...................................................................................................................................................5-33
5-III

5 physique des transferts de chaleur et de masse

Transcription

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