centrale thermo hydraulique

Transcription

4 MISE EN OEUVRE DES EQUATIONS DE
BILAN DE LA THERMOHYDRAULIQUE
DIPHASIQUE
ECOLE CENTRALE MARSEILLE
4-2
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS DANS LES MILIEUX POLYPHASIQUES
4-3
4.1 INTRODUCTION
Dans ce chapitre, on étudie les configurations à seulement deux phases (phase liquide et
phase gazeuse) en coexistence et pouvant interagir entre elles (transferts de masse,
d’impulsion, d’énergie). La phase gazeuse est supposée constituée du mélange d'un gaz
condensable qui est la vapeur correspondant au liquide et de gaz incondensables dans les
conditions de pression et température considérées.
Il s’agit, en partant des équations générales (établies dans le chapitre 3), d’établir des
formulations plus pratiques s’appliquant aux configurations les plus fréquemment
rencontrées dans les applications des écoulements diphasiques, le cas d’un système de
tuyauteries (écoulements monodimensionnels, 1D) et celui de volumes (enceintes)
interconnectés entre eux ou présentant des jonctions avec des tuyaux (modèle point, 0D).
Les Figures 4.1 et 4.2 montrent schématiquement les configurations étudiées.
Sous-volume
+
supérieur ( V )
Jonction j
Sous-volume
−
inférieur ( V )
Figure 4-1
Figure 4-2
On commence par définir les paramètres descriptifs des écoulements diphasiques
(section 4.2), puis on présente les configurations d’écoulements rencontrées (et la
cartographie associée) dans le cas d’écoulements 1D (section 4.3).
On établit ensuite les équations de bilan s’appliquant aux écoulements 1D (sections 4.4 et
4.5) ou au modèle point (section 4.6). On verra que ces équations font apparaître des
4-4
termes d’interaction avec les parois et des termes d’interaction entre phases à l’interface.
La modélisation de ces différents termes fait l’objet des chapitres 5 et 6.
4.2 PARAMÈTRES DESCRIPTIFS DES ÉCOULEMENTS
DIPHASIQUES
Dans ce qui suit, quand les vitesses interviennent, cela ne concerne que le module tuyau et
les jonctions du module volume. En effet, dans le cas du module volume, les vitesses ne
sont considérées comme significatives qu’aux jonctions.
4.2.1 HYPOTHESES
Dans chaque volume (sous-volume) ou section
considérée pour établir les équations de bilan (par
exemple comme sur la Figure 4.3), on suppose que
chacune des deux phases (liquide L, gazeuse G)
occupe une partie du volume ( VL , VG ) ou de la
section de passage disponible ( AL , AG ).
Dans chaque section, chaque phase circule avec
une vitesse moyenne propre ( u L , u G ).
Dans
chaque volume (sous-volume) ou section, chaque
phase a une température moyenne propre ( TL , TG ).
Les différents composants de la phase gazeuse
seront supposés en équilibre de température.
gaz
AG
liquide
AL
Figure 4-3
En toute rigueur, on doit considérer également que chacune des deux phases a sa propre
pression (moyenne), mais on supposera pour simplifier que pL = pG . Cette hypothèse a
été discutée en détail au Chapitre 3 de ce livre.
Notons que les deux vitesses u L et u G ne sont pas forcément de même signe :
•
si u L et u G sont du même signe, l'écoulement est dit co-courant,
•
si u L et u G sont de signes opposés, l'écoulement est dit à contre-courant.
4-5
4.2.2 TAUX DE PRESENCE
On donne les définitions pour le cas d’un écoulement monodimensionnel. Dans le cas
d’une enceinte, ces définitions restent valides en remplaçant les sections par des volumes.
On peut simplement définir le taux de présence de la phase k (L ou G) par :
αk =
4-1
Ak
A
(sans dimension)
On utilise en général les dénominations simplifiées suivantes :
• taux de vide :
α=
4-2
•
AG
AG
=
A
AL + AG
(sans dimension)
taux de plein :
4-3
1−α =
AL
AL
=
A
AL + AG
(sans dimension)
4.2.3 DEBITS ET VITESSES MASSIQUES
De manière évidente, les débits massiques de chaque phase dans chaque section sont :
4-4
mɺ L = AL ρ LuL = ( 1 − α ) Aρ Lu L
mɺ G = AG ρGuG = αAρGuG
(kg/s)
D'où le débit massique total dans la section :
4-5
mɺ = mɺ L + mɺ G = A[( 1 − α )ρ Lu L + αρ G uG ]
(kg/s)
On utilise aussi parfois la notion de vitesse massique, définie comme suit :
4-6
GL = ( 1 − α )ρ LuL
G G = αρ G u G
(kg/m2s)
D'où la vitesse massique totale :
4-7
G = GL + GG = ( 1 − α )ρ Lu L + αρ GuG =
mɺ
A
(kg/m2s)
4-6
4.2.4 DEBITS ET VITESSES VOLUMIQUES
De même, les débits volumiques de chaque phase sont :
qL = ALu L = ( 1 − α ) AuL
qG = AGuG = αAuG
4-8
(m3/s)
D'où le débit volumique total dans la section :
q = qL + qG = A[( 1 − α )u L + αuG ]
4-9
(m3/s)
On introduit aussi parfois la notion de vitesse volumique (ou vitesse superficielle) :
J L = ( 1 − α )uL
(m/s)
J G = αu G
D'où la vitesse volumique totale J qui représente également le débit volumique total par
4-10
unité de surface :
4-11
J = J L + J G = ( 1 − α )u L + αuG =
q
A
(m/s)
4.2.5 QUALITE, TITRE MASSIQUE ET FRACTION MASSIQUE
Si les deux vitesses sont de même signe, il est intéressant pour caractériser l'écoulement
d'introduire la notion de titre massique ou qualité (quality) dont la définition est le rapport
du débit massique gazeux au débit total :
4-12
X =
mɺ G GG
αρ GuG
=
=
mɺ
G
( 1 − α )ρ Lu L + αρ GuG
(sans unité)
Il ne faut pas confondre le titre massique avec la fraction massique de gaz dans le mélange
diphasique liquide-gaz :
4-13
YG =
mG
αρG
=
m (1 − α ) ρ L + αρG
(sans unité)
On montre facilement que le taux de vide peut s'exprimer en fonction du titre massique ou
de la fraction massique selon :
4-7
4-14
α=
YG ρ L
YG ρG
=
YG ρ L + (1 − YG ) ρG YG ρG + (1 − YG ) ρ L
Et :
X ρG
X ρL
=
X ρ L + (1 − X ) ρG S X ρG + (1 − X ) S ρ L
Où, par définition, S désigne le glissement entre phases :
u
S= G
4-16
uL
4-15
α=
(sans unité)
On peut faire les remarques suivantes :
• Les variables α , YG , X valent 0 ou 1 simultanément dans les cas limites où seule
l'une des deux phases existe.
• Les variables YG et X sont égales si les deux vitesses sont parfaitement couplées,
c’est-à-dire uG = u L , donc S = 1 .
4.2.6 TITRE THERMODYNAMIQUE
Il est pratique d'introduire l'enthalpie spécifique moyenne dans une section hɶ telle que son
produit par le débit massique total donne le débit enthalpique total de l'écoulement :
4-17
ɺ ɶ = mɺ L hL + mɺ G hG
mh
Soit :
4-18
hɶ = (1 − X )hL + XhG
Dans un écoulement liquide-vapeur (la phase gazeuse est entièrement constituée de la
vapeur correspondant au liquide), pour caractériser la quantité de vapeur résultant du
changement de phase, on introduit le titre thermodynamique X * (equilibrium quality) :
4-19
X∗ =
hɶ − hLsat
hɶ − hLsat
=
hVsat − hLsat
LV
où hLsat et hVsat sont les enthalpies spécifiques (par unité de masse) du liquide et de la
vapeur à la température de saturation et LV la chaleur latente de vaporisation.
4-8
Il résulte de la définition du titre thermodynamique les conséquences suivantes :
• Pour un liquide sous-saturé ( TL < Tsat ), alors :
X = 0 et X ∗ < 0 ;
X = 1 et X ∗ > 1 ;
•
Pour une vapeur surchauffée ( TV > Tsat ), alors :
•
Il y a identification du titre et de la qualité lorsque les deux phases coexistent et sont à
saturation, c’est-à-dire que la condition TL = TV = Tsat implique X ∗ = X .
4.3 LES CONFIGURATIONS D’ÉCOULEMENT
4.3.1 CARACTERISATION
Un mélange diphasique s'écoulant dans une conduite peut présenter différentes géométries
d'interface, telles que bouchons, bulles, films, gouttelettes. Cette géométrie n'est pas
toujours clairement définie ce qui empêche de pouvoir décrire précisément et
objectivement des régimes d'écoulement.
On s'efforcera cependant de donner, dans ce chapitre, une description qualitative des
configurations d'écoulement les plus typiques et on proposera un ensemble de cartes
d'écoulement permettant l'identification de chaque régime en fonction des paramètres
d'écoulement.
4.3.2 ECOULEMENT CO-COURANT DANS UNE CONDUITE
VERTICALE
La Figure 4.4 illustre les configurations d'écoulement que l'on peut rencontrer dans une
conduite verticale.
4-9
Figure 4-4 : Configurations d’ écoulement dans une conduite verticale
La carte d'écoulement de
Hewitt et Robert (voir
Figure 4.5) est l'une des plus
utilisée pour caractériser les
écoulements eau-air et eauvapeur. Le système de
coordonnées utilisé est le
suivant :
ρL J =
2
L
G 2 ( 1 − X )2
ρG J =
2
G
ρL
G2 X 2
ρG
Figure 4-5 : Carte de Hewitt et Roberts (eau-air jusqu’à 5,9 bar et eauvapeur jusqu’à 69 bar)
4-10
4.3.3 ECOULEMENT CO-COURANT DANS UNE CONDUITE
HORIZONTALE
Le nombre de régimes d'écoulement possibles est plus grand que pour une conduite
verticale du fait de l'influence de la gravité qui tend à séparer les phases en fonction de leur
masse volumique et donc à générer une stratification verticale.
La Figure 4.6 représente les principaux régimes d'écoulement observés dans une conduite
horizontale.
Figure 4-6 : Configurations d’écoulement dans une conduite horizontale
4-11
Une caractérisation de ces régimes est suggérée par la carte d'écoulement de Mandhane
dans un paramétrage J L , J G (Figure 4.7).
Figure 4-7 : Carte de Mandhane et al (1974)
4-12
4.4 MODÉLISATION DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
MONODIMENSIONNELS
4.4.1 LES EQUATIONS DE BILAN DE BASE
Les grandeurs et les équations qui permettent d’étudier les écoulements diphasiques en
conduites peuvent être bien évidemment déduites des notions et équations de bilan
moyennées générales que nous avons établies au chapitre III de ce livre. Puisque nous nous
limitons ici à une description monodimensionnelle et que nous ne voulons définir qu’une
seule « vitesse moyenne », pour chaque phase, dans une section donnée, c’est en intégrant
les équations tridimensionnelles dans un petit volume fixe qui occupe toute cette section et
a une épaisseur dx, comme représenté sur la Figure 4.8, que nous obtiendrons les grandeurs
et les équations de base que nous cherchons.
On considère ici un « canal » allongé, dont on connaît la section A, en fonction d’une
variable longitudinale x. On va considérer pour simplifier que l’axe x n’est pas courbé, et
que la section est de symétrie de révolution autour de cet axe. De cette façon, il n’y aura
lieu que de considérer la composante de la quantité de mouvement sur cet axe, notée u. On
pourrait sans difficulté reprendre l’étude avec un axe courbé.
Figure 4-8
4-13
Comme nous l’avons dit plus haut, dans un tel canal, nous considérons que les valeurs
locales des grandeurs moyennes statistiques des vitesses, températures, masse volumiques
de chaque phase, qui ont été définies au Chapitre 3 sont pratiquement homogènes dans
chaque section. Il est clair que ceci n’est pas exactement le cas pour la vitesse, puisque
près des parois le frottement doit la ralentir, et par ailleurs si la section augmente dans le
sens de l’écoulement, les directions des vitesses près de parois opposées seront
divergentes. De même, en ce qui concerne la température, il est clair que la paroi est
capable de la modifier dans une couche limite thermique qui la longe. Mais nous
supposons que la section n’est que très lentement variable, et que les couches limites
dynamiques ou thermiques près de la paroi ne constituent qu’une portion très faible du
canal.
Dans ces conditions, on peut identifier les grandeurs intéressantes définies au début de ce
chapitre et les grandeurs déduites de l’intégration dans une section de la conduite. Par
exemple :
ρ k A = ∫∫ ( ρ )da , ρ k uk A = ∫∫ ( ρuɶki ni )da , α k A = ∫∫ (α k )da , ρ k hk A = ∫∫ ( ρ hɶk )da , etc.
A
A
A
A
Pour simplifier les notations, nous avons noté les grandeurs globales considérées dans ce
chapitre de la même façon que les grandeurs locales et instantanées du chapitre 2, mais
nous faisons confiance au lecteur pour ne pas les confondre…
Compte tenu de ces définitions, on intègre facilement dans le volume indiqué les équations
de bilans, en appliquant encore avec profit le « théorème de la divergence ». La grandeur
du volume concerné n’est autre que Adx et après division par dx, on obtient alors un
système d’équations aux dérivées partielles en x et t.
Le bilan de masse de la phase k s’écrit, en partant de (3.10) :
∂
∂
∂
( ρ k α k A) + ( ρ k α k uk A) = (− ∫∫ ρ kα k u 'k da ) + ∫∫ Γ sk da
∂t
∂x
∂x
A
Ou encore :
4-20
∂
∂
∂
( ρ k α k A) + ( ρ k α k uk A) = (− ∫∫ ρ kα k u 'k nda ) + Γ sk A
∂t
∂x
∂x
Le terme d’échange de masse entre phases est noté de la même façon que dans les
équations 3D instantanées, mais ici sa définition est globale et découle de la comparaison
des équations ci-dessus : Γ sk =
1
Γ sk da . Sa valeur n’est plus fonction que de la
A ∫∫
A
4-14
coordonnée x et du temps, par l’intermédiaire de ses variables. Il reste seulement un terme
de flux de diffusion additionnelle de la masse de la phase, dans la direction de x, puisque
les parois de la conduite sont imperméables pour toutes les phases.
Le bilan de masse totale suit l’équation classique :
∂
∂
( ρ A) + ( ρ uA) = 0
∂t
∂x
Le bilan de quantité de mouvement des phases s’écrit, après un raisonnement analogue sur
(3.11), et en tenant compte de (3.24) :

∂
∂
∂
∂ 
ρ k α k uk A +
ρ k α k uk2 A = − (α k pA ) +  ∫∫ α kτ kxx − ρ kα k u 'k2 da 
∂t
∂x
∂x
∂x  A

4-21
∂α
+ ∫∫ Γ ks ukms + F 'kfx da + p k A + FPk + ρ k α k g x A
∂x
A
(
)
(
(
(
)
)
)
Ou encore, en introduisant les notations particulières I ks ,τ kxx et I ks ,τ kxx :

∂
∂
∂
∂ 
ρ k α k uk A +
ρ k α k uk2 A = − (α k pA ) +  α kτ kxx A − ∫∫ ρ kα k u '2k da 
∂t
∂x
∂x
∂x 
A

(
4-22
+ I sk A + p
)
(
)
∂α k
A + FPk + ρ k α k g x A
∂x
Les deux premiers termes de droite prennent en compte les forces exercées par le fluide de
la phase k en amont et en aval des sections en x et x+dx, le troisième est un terme
d’échange avec l’autre phase dans le volume considéré, et l’avant-dernier est dû aux
efforts exercés par les parois latérales, c’est-à-dire l’intégrale de la contrainte de Cauchy
totale (en tenant compte du terme dû aux fluctuations), en projection sur x, sur la paroi
latérale du volume considéré :
FPk dx = ∫∫ σ tkxm nPm daP = dx ∫ σ tkxm nPm dl
Ap
lP
Par le même raisonnement que celui fait en connexion avec (3.24), on peut se rendre
compte que les efforts dus aux parois latérales sont d’une part dus à la pression moyenne,
et d’autre part dus au frottements, de sorte qu’on peut écrire FPk = α k p
∂A
+ I Pk . Il
∂x
s’ensuit que finalement on a :
4-15
4-23

∂
∂
∂
∂ 
ρ k α k uk A +
ρ k α k uk2 A = −α k A p +  α kτ kxx A − ∫∫ ρ kα k u 'k2 da 
∂t
∂x
∂x
∂x 

A
(
)
(
)
+ I sk A + I Pk + ρ k α k g x A
Si l’on somme pour trouver le bilan de quantité de mouvement totale, on retrouve bien la
même équation que pour un écoulement turbulent à une phase, puisque les efforts entre
phases se compensent :

∂
∂
∂
∂ 
4-24
( ρ uA) + ρ u 2 A = − A p +  Txx A − ∫∫ ρ u '2 da  + I P + ρ g x A
∂t
∂x
∂x
∂x 

A
(
)
Comme on l’a dit plus haut, les termes de frottement à la paroi, dans ces deux dernières
équations, ne sont que l’intégrale, le long de la ligne fermée qui limite la section A(x) et
qui supporte la paroi d’épaisseur dx du volume entre les deux sections droites très voisines,
des tenseurs des contraintes de frottement visqueux et additionnel. Seul le frottement
visqueux joue si la paroi est lisse, mais la turbulence et le tenseur de Cauchy additionnel
jouent quand même indirectement en modifiant le profil de vitesse (comme pour les
couches limites turbulentes). Si la paroi est suffisamment rugueuse, le tenseur de Cauchy
additionnel joue directement.
Le bilan d’énergie totale des phases s’écrit, à partir de 3-21, sans négliger l’énergie
cinétique :
(
4-25
(
)
(
)

∂
∂
∂ 
x
xj j
xj
j
ρk α k htk A +
ρ k α k uk htk A =
 ∫∫ α k (− jQk + τ k uɶk + τ 'k u 'k ) − ρ kα k u 'k htk da 
∂t
∂x
∂x A

∂pk
s
ix i
s
+ ρ k α k uk g x A + ∫∫ (Γ Mkk
' htk ' + τ k ' nk u k 'σ kk ' + Q skk ' ) da + QPk + α k A
∂t
A
)
(
)
Ou encore, avec des notations plus concentrées :

∂
∂
∂ 
x
xj j
xj
j
ρ k α k htk A +
ρ k α k uk htk A =
 ∫∫ α k (− jQk + τ k uɶk + τ 'k u 'k ) − ρ kα k u 'k htk da 
∂t
∂x
∂x A

4-26
∂p
+ ρ k α k uk g x A + AQsk + QPk + α k A k
∂t
Le terme Qsk représente non seulement la chaleur échangée par conduction entre les
(
)
(
)
phases mais aussi l’échange d’enthalpie lié au transfert de masse, s’il y en a un, ainsi que
l’énergie échangée par la puissance des forces de frottement.
4-16
Le flux de chaleur échangé avec la paroi est encore simplement, si la paroi est lisse,
l'intégrale du flux de conduction le long de la ligne fermée définie par l'intersection de la
paroi et la section A(x), mais le flux d’énergie additionnel présent dès que l’on s’éloigne de
la paroi modifie indirectement le flux de conduction (par l’intermédiaire du profil de
température). Si la paroi est rugueuse, le flux additionnel y joue aussi directement.
On retrouve le bilan d’énergie totale de l’ensemble des phases en sommant les bilans
précédents, et les termes d’échanges entre phases se compensent :
4-27
∂
∂
( ρ ht A ) + ( ρ uht A ) =
∂t
∂x

∂ 
∂p
x
xj j
xj
j
x
 ∫∫ − jQ + τ uɶ + τ ' u ' − ρ u ' ht da  + AQs + QP + ρ ug A + A
∂x  A
∂t

(
)
En utilisant les équations de bilan de masse, quantité de mouvement et énergie pour
chacune des deux phases, et en y ajoutant des modèles pour les termes nouveaux qui y
interviennent, on est conduit au modèle à 6 équations qui est le plus complet et peut en
principe être appliqué quelle que soit la configuration de l'écoulement. Mais on peut
parfois, dans certaines conditions, réduire la complexité du problème en introduisant un
certain nombre de contraintes sur les déséquilibres entre phases (déséquilibres de vitesses
et de températures). Dans ces approches simplifiées, le nombre d'équations de bilan ainsi
que le nombre de lois constitutives pourra être réduit.
4.4.2 MODELE COMPLET (OU A 6 EQUATIONS)
4.4.2.1 HYPOTHESE
On considère une conduite de section A (variable avec la cote), inclinée d'un angle θ par
rapport à la verticale ascendante.
On fait les hypothèses suivantes :
• la conduction longitudinale, le transfert de chaleur turbulent et leurs dérivées sont
négligeables,
• les contraintes visqueuses et turbulentes ainsi que leurs puissances sont négligeables,
• la pression est constante dans une section (ce qui exclut l'étude de la stratification).
4.4.2.2 EQUATIONS DE BILAN
On se place dans le cas où la phase gazeuse est uniquement constituée de vapeur. La
direction principale de l’écoulement est notée z . Les équations de bilan de masse, de
4-17
quantité de mouvement et d'énergie peuvent s'écrire sous la forme simplifiée pour chacune
des deux phases k ( k = L, V ) :
∂
∂
Aα k ρ k +
Aα ρ u = Γ sk A
∂t
∂z k k k
∂
∂
∂p
Aα k ρ k uk +
Aα k ρ k uk2 + Aα k
= AI sk + I Pk − Aα k ρ k g z
∂t
∂z
∂z
2
uk
uk2
∂
∂
∂p
=
Aα k ρ k (hk + ) +
Aα k ρ k uk ( hk + ) − Aα k
2
2
∂t
∂z
∂t
AQsk + QPk − Aα k ρ k uk g z
4-28
Avec :
Γ sk
= transfert de masse vers phase k
(kg/m3s)
I sk
= transfert d'impulsion à l'interface
(N/m3)
Qsk
= transfert d'énergie à l'interface
(W/m3)
I Pk
= transfert d'impulsion à la paroi
(N/m)
QPk
= transfert d'énergie à la paroi
(W/m)
Comme on l’a vu au chapitre 3 où les bilans d’interface sont traités précisément (cf.
section 3.5.4), les termes d'interaction à l'interface sont liés par, en négligeant la tension
superficielle :
Γ sV = −Γ sL = Γ s
4-29
I sV = − I sL = I s
QsV = −QsL = Qs
4.4.2.3 LOIS CONSTITUTIVES ET LOIS PHYSIQUES
A ce stade, on est en présence d'un système de 6 équations à 6 inconnues (variables
principales α , p , u L , uV , hL , hV ) faisant intervenir 7 lois constitutives :
•
à l'interface liquide-vapeur : Γ s , I s , Qs (3 termes)
• à la paroi : I Pk , QPk (4 termes)
Pour fermer ce système d'équations, il faut donc donner une expression de « lois
constitutives » pour chacun de ces termes.
Des équations d'état sont également nécessaires afin d'exprimer la masse volumique de
chaque phase en fonction des variables principales, et calculer la température en
fonction de l’enthalpie.
4-18
La Figure 4.9 illustre les différents termes à modéliser dans le modèle à 6 équations.
q PG
τ PV
τs
qGs
Γs
qLs
qPL
τ PL
Figure 4-9
4.4.2.4 LOIS CONSTITUTIVES A L’INTERFACE
En prenant en compte les relations d'interface (voir Chapitre 3), on aboutit à :
I s = −τ s + Γ s ws

w2 
Qs = qks + Γ sk  hk + s 
2 

q + qLs
Γ s = − Vs
hV − hL
4-30
Avec :
τs
= frottement interfacial
(N/m3)
qVs , qLs = transferts de chaleur à l'interface
(W/m3)
ws
(m/s)
= vitesse d'interface
La définition de I s se déduit de la comparaison des équations 4-21 et 4-22 et prend donc
en compte une contribution du frottement et une autre liée à l’échange de masse. Le terme
Qs est introduit dans 4-25, mettant en évidence la contribution du transfert de chaleur par
4-19
conduction et l’échange dû au transfert de masse, tandis que la puissance des forces de
frottement est négligée.
4.4.2.5 LOIS CONSTITUTIVES A LA PAROI
Les termes d'interaction s'expriment, comme en monophasique, sous la forme suivante :
I Pk = − χ fkτ Pk
4-31
QPk = χ ck qPk
Avec :
τ Pk
=
contrainte de frottement à la paroi (phase k )
(N/m2)
qPk
=
flux de chaleur à la paroi (phase k )
(W/m2)
périmètres frottants et chauffants
(m)
χ fk , χ ck =
4.4.2.6 LOIS PHYSIQUES
Pour fermer le système d'équations précédent, on doit trouver une expression des lois
constitutives ou, plus précisément, des différents termes intervenant dans ces lois
constitutives. Les expressions en question sont les lois physiques du modèle.
Pour les lois à l'interface, on admet en général des relations de la forme :
qLs = f L (α , p, u L , uV )(hL − hLsat )
4-32
qVs = fV (α , p, u L , uV )(hV − hVsat )
τ s = ξ (α , p, uL , uV ) ρ (uV − u L ) 2
Et on considère que la vitesse d'interface est, à la limite, la vitesse de la phase dispersée,
soit :
4-33
ws = α u L + (1 − α )uV
En ce qui concerne les lois à la paroi, leur formulation est analogue à celle utilisée pour les
écoulements monophasiques. On y reviendra en détail par la suite.
L'expression des lois constitutives par des lois physiques permet théoriquement le calcul
des paramètres de l'écoulement (vitesses u L , u V , enthalpies h L , hV , taux de vide α et
pression p ) en tout point. La résolution du système différentiel nécessite néanmoins
d'avoir recours à des méthodes numériques mises en oeuvre dans des logiciels (ou codes de
calcul). La qualité physique du jeu de lois physiques est la condition principale de la
4-20
représentativité des résultats fournis par ces codes de calcul. C'est pourquoi d'importants
moyens ont été consacrés à la détermination et à la validation, par voie expérimentale, de
ces lois physiques.
4.4.3 INTRODUCTION AUX MODELES SIMPLIFIES
Le modèle à 6 équations est certes le plus général mais aussi le plus complexe à mettre en
oeuvre à cause de la présence des termes d'interaction entre phases qui sont très difficiles à
déterminer. En outre, ce modèle nécessite de faire appel à des méthodes numériques
sophistiquées dans des codes de calcul.
Aussi on n'utilise ce modèle que si les déséquilibres entre phases sont tels qu'ils ne peuvent
être représentés par des corrélations algébriques, comme c'est le cas lors d'évolutions
rapides telles que les accidents de dépressurisation sur réacteurs à eau. Dans les cas les
plus courants, on caractérise les déséquilibres entre phases par des corrélations telles que :
Corrélations de glissement entre phases
S = uG u L = S ( X ∗ , p )
•
glissement :
•
vitesse de dérive : v Gj = u G − J = f ( configuration, propriétés physiques )
•
taux de vide :
α = α( X ∗ , p )
Lois de déséquilibre thermique
•
hL = hLsat ( p )
•
hV = hVsat ( p )
Dans ces approches simplifiées, le nombre d'équations de bilan ainsi que le nombre de lois
constitutives peuvent être réduits (modèles à 5, 4, ou 3 équations). Par contre, ces modèles
simplifiés ne sont utilisables que dans des conditions bien déterminées.
On va décrire par la suite les différentes formes du modèle à 3 équations (ou modèle
monofluide), qui est le plus couramment utilisé.
4-21
4.4.4 MODELE MONOFLUIDE
On se propose de remplacer le fluide diphasique par un fluide monophasique compressible
équivalent.
4.4.4.1 EQUATIONS DE BILAN DU MODELE MONOFLUIDE
En combinant les équations de bilan pour chacune des phases (cf. section 4.4.2.2), on
obtient les équations dites de mélange.
4-34
∂
∂
A[αρV + ( 1 − α )ρ L ] + A[αρV uV + ( 1 − α )ρ Lu L ] = 0
∂t
∂z
∂
∂
∂p
A [αρV uV + (1 − α ) ρ Lu L ] +
A αρV uV2 + (1 − α ) ρ Lu L2  + A
=
∂t
∂z
∂z
− χ f τ p − A [αρV + (1 − α ) ρ L ] g z
u2
u2
u2  ∂ 
u2 
∂ 
A αρV ( hV + V ) + (1 − α ) ρ L ( hL + L )  +
A αρV uV ( hV + V ) + (1 − α ) ρ L u L (hL + L )  =
2
2  ∂z 
2
2 
∂t 
A
∂p
+ χ c qP − A [αρV uV + (1 − α ) ρ L u L ] g z
∂t
Avec :
4-35
χ f τ p = χ fV τ PV + χ fLτ PL
χ c qP = χ cV qPV + χ cL qPL
D'où, en négligeant les termes d'énergie cinétique dans les bilans d'énergie :
4-36
en ayant posé :
4-37
∂
∂
Aρ + AG = 0
∂t
∂z
2
∂
∂ G
∂p
AG +
A
= −A
− χ f τ p − Aρ g z
∂t
∂ z ρɶ
∂z
∂
∂
∂p
Aρ h +
AGhɶ − A
= χ c qP − AGg z
∂t
∂z
∂t
ρ = αρV + ( 1 − α )ρ L
4-22
1
X2
( 1 − X )2
=
+
ρ~ αρV ( 1 − α )ρ L
G = αρV uV + ( 1 − α )ρ Lu L
h = YhV + (1 − Y )hL
~
h = XhV + ( 1 − X )hL
On est alors en présence d'un système de 3 équations à 6 inconnues. Il n'y a plus que 3 lois
constitutives à déterminer (les lois constitutives d'interface ont été éliminées) mais 3
relations supplémentaires (contraintes) sont maintenant nécessaires pour caractériser les
déséquilibres entre phases (par exemple, une relation entre les vitesses et deux relations
sur les enthalpies). Une fois fixées ces 3 contraintes, on a affaire à un système de 3
équations à 3 inconnues.
4.4.4.2 CAS PARTICULIER : MODELE HOMOGENE
Dans le modèle homogène (ou équilibré mécaniquement), on suppose que les vitesses des
deux phases sont égales, soit :
uV = u L
4-38
On en déduit :
4-39
X =Y
ρ = ρ~
~
h =h
D'où les équations de bilan du modèle homogène :
4-40
∂
∂
Aρ + AG = 0
∂t
∂z
2
∂
∂ G
∂p
AG +
A
= −A
− χ f τ p − Aρ g z
∂t
∂z ρ
∂z
∂
∂
∂p
Aρ hɶ +
AGhɶ − A
= χ c qP − AGg z
∂t
∂z
∂t
Si l'on suppose en plus que les deux phases sont en équilibre thermique, alors on aboutit au
modèle homogène équilibré thermiquement. C'est le modèle le plus simple : les vitesses
des deux phases sont égales et les températures sont égales à la température de saturation,
soit :
4-23
uV = u L
4-41
Et :
TV = TL = Tsat ( p )
4-42
On a bien alors un système de 3 équations à 3 inconnues (par exemple α , p, u L ) que l'on
peut résoudre par voie numérique ou même analytique.
Ce modèle donne une représentation acceptable des écoulements dans lesquels l'une des
phases est finement dispersée dans l'autre (écoulement à bulles, écoulement à brouillard).
En effet, dans ce cas, les transferts d'impulsion et d'énergie sont suffisamment rapides pour
égaliser les vitesses et les températures.
4.4.4.3 AUTRE CAS PARTICULIER : MODELE DE DERIVE
Le modèle de dérive est un modèle simple dans lequel on exprime le glissement entre
phases de manière algébrique. Son domaine d'application est beaucoup plus large que le
modèle homogène. Il couvre ainsi des configurations d'écoulement très variées depuis les
faibles taux de vide (écoulement à bulles) jusqu'à des taux de vide élevés (écoulement à
brouillard).
S'appuyant sur un grand nombre d'expériences, Zuber et Findlay ont dégagé la corrélation
suivante :
uG = C0 J + v~Gj
4-43
soit encore :
α=
4-44
JG
C0 J + ~
vGj
On a posé :
C0
~
v
Gj
= paramètre de distribution
= vitesse de dérive
Zuber et Findlay ont constaté que C 0 et ~
vGj ne dépendaient que de la configuration
d'écoulement. Des corrélations sont donc ainsi disponibles en fonction du régime
d’écoulement.
Pour les écoulements eau-vapeur à haute pression, C 0 et ~
vGj sont donnés par les relations
suivantes, valables quelle que soit la configuration d'écoulement :
4-45
C0 = 1,13
4-24
 σ g ( ρ L − ρG ) 
vɶGj = 1, 41 

ρ L2


0,25
4.4.4.4 MODELE MONOFLUIDE EN REGIME PERMANENT
On reprend les équations de bilan du modèle monofluide (cf. section 4.4.4.1) dans
lesquelles on rappelle qu'on avait négligé les termes d'énergie cinétique par rapport aux
termes purement thermiques.
Si on se place en régime permanent, ces équations de mélange se simplifient sous la
forme :
d
AG = 0
dz
d G2
dp
A
= − A − χ f τ p − Aρ g z
dz ρɶ
dz
d
AGhɶ = χ c qP − AGg z
dz
D'où l'on déduit :
4-46
AG = c te
invariance du débit massique
d G
dp
AG
= − A − χ f τ p − Aρ g z perte de pression
dz ρɶ
dz
ɶ
dh
AG
= χ c qP − AGg z
distribution axiale d'enthalpie
dz
La forme très simple prise par les équations de bilan ne doit pas faire cependant oublier
que l'on a besoin de 3 relations supplémentaires (contraintes) pour résoudre complètement
le problème.
On remarque cependant qu'en régime permanent l'équation d'énergie peut être résolue
indépendamment de l'équation d'impulsion (indépendance du problème thermique).
On note de plus que, en régime permanent, la perte de pression apparaît (comme en
monophasique) comme la combinaison de 3 termes (accélération, gravité et frottement).
4-25
4.5 DISTRIBUTION DE TITRE ET DE TEMPÉRATURE LE
LONG D’UNE CONDUITE
4.5.1 POSITION DU PROBLEME
On se propose de faire l'étude du problème thermique en régime permanent. On supposera
que les lois physiques ne sont pas affectées par l'éventuelle nature transitoire du problème.
Les modèles établis en régime permanent seront donc utilisés tels quels en régime
transitoire.
On rappelle l'expression du bilan d'énergie du modèle monofluide en régime permanent
(cf. section 4.4.4.4) :
dhɶ χ c qP
=
− gz
dz
AG
~
La grandeur h représente une enthalpie spécifique moyenne de l'écoulement telle que son
produit par le débit total donne le débit enthalpique de l'écoulement, soit :
4-47
~
h = XhV + ( 1 − X )hL
où X est la qualité, définie comme étant le rapport du débit gazeux (ici vapeur) au débit
total :
X =
αρV uV
αρV uV + ( 1 − α )ρ LuL
On obtient encore, en négligeant le terme de gravité :
4-48
dhɶ χ c qP
q′
=
= P
dz
AG
AG
Dans la suite, on va chercher à intégrer l'équation de bilan d'énergie écrite sous cette forme
en vue de déterminer le profil de température du fluide le long de la conduite. On étudiera
ensuite les différents modes de transfert de chaleur dans le cas d'une conduite avec paroi
chauffante en vue de déterminer le profil de température de paroi.
4.5.2 INTEGRATION DU BILAN D'ÉNERGIE
Par simple intégration du bilan d'énergie, il vient :
4-26
1 z
hɶ ( z ) = hɶ ( 0 ) +
qP′ ( z )dz
AG ∫0
L'intégrale représente l'apport total d'énergie au fluide depuis l'entrée du canal. Il apparaît
~
que la valeur de l'enthalpie spécifique moyenne h caractérise bien l'état thermique du
fluide à la cote considérée.
En introduisant le titre thermodynamique, la relation précédente peut encore s'écrire :
z
qP′ ( z )
0
AGLV
X ∗ ( z ) = X ∗ ( 0) + ∫
4-49
Où X ∗ ( 0 ) représente le titre à l’entrée :
dz
~
h (0 ) − hLsat
X (0 ) =
LV
∗
4-50
Le titre thermodynamique X ∗ caractérise, sous forme adimensionnelle, l'état énergétique
~
du fluide. Il peut être négatif dans le cas d'un liquide sous-saturé ( h < h Lsat ) ou supérieur à
~
1 dans le cas d'une vapeur surchauffée ( h > hVsat ). Notons que, dans le cas général, de la
vapeur peut exister dans un écoulement faiblement sous-saturé ( X ∗ < 0 ) et que du liquide
peut subsister dans un écoulement en moyenne surchauffé ( X ∗ > 1 ).
4.5.3 CAS PARTICULIER DU MODELE EQUILIBRE
THERMIQUEMENT
Supposons que les échanges thermiques entre les phases liquide et vapeur soient d'une
intensité telle que l'on puisse considérer que les températures du liquide et de la vapeur
soient égales. Comme ces échanges thermiques se font par les interfaces où les deux
phases sont en équilibre thermique, la température commune ne peut être que la
température de saturation et l'on a :
TL = TV = Tsat ( p )
4-51
ou encore :
hL = hLsat et hV = hVsat
Ce sont les hypothèses du modèle équilibré thermiquement. De la comparaison des
expressions de hɶ en fonction de la qualité X et du titre thermodynamique X ∗ résultent
les conclusions reportées dans le tableau suivant :
4-27
X∗ < 0
X =0
0 < X∗ < 1
X = X∗
X∗ > 1
X =1
écoulement tout liquide
écoulement double phase
écoulement tout vapeur
Comme c'est la tendance naturelle de deux fluides en contact intime d'égaliser leurs
températures, on conçoit que ce modèle donne une bonne approximation des distributions
de température dans de nombreux cas. Toutefois, il existe des situations où ce modèle ne
peut être appliqué : c'est le cas par exemple du débit critique (liquide surchauffé) ou de
l'injection de liquide sous-saturé dans une conduite parcourue par une vapeur surchauffée.
Dans ces situations, l'équilibre thermique entre phases n'est pas instantané et les
déséquilibres thermiques doivent être considérés pour représenter correctement les
phénomènes.
4.5.4 APPLICATION AU CAS D’UNE CONDUITE CHAUFFEE
UNIFORMEMENT
Dans le cadre du modèle équilibré thermiquement, on va chercher à évaluer les profils
de titre et de température ainsi que les zones découlement associées dans une conduite
chauffée avec une puissance linéique uniforme (c'est-à-dire indépendante de la cote). On
suppose en plus que l'écoulement est liquide sous-saturé de ∆Tsub à l'entrée et on admet
que l'effet de la variation de pression sur la chaleur latente est négligeable.
Avec ces hypothèses, l'équation de bilan thermique s'intègre sous la forme :
4-52
X ∗ ( z ) = X ∗ ( 0) +
avec :
4-53
X ∗ (0 ) = X 0∗ = −
qP′
z
AGLV
C pL ∆Tsub
LV
où C pL désigne la chaleur spécifique à pression constante du liquide.
Cette expression du titre thermodynamique permet de délimiter 3 zones d'écoulement qui
peuvent ne pas toutes exister selon la valeur de la puissance linéique et du débit. On définit
les cotes d'ébullition franche z L et de fin d'évaporation z V par :
4-28
• cote d'ébullition franche :
soit :
zL
zL = −
4-54
• cote de fin d'évaporation :
soit :
zV =
4-55
telle que
X ∗ (zL ) = 0
AGLV X 0∗ AGC pL ∆Tsub
=
qP′
qP′
zV
telle que
AGLV (1 − X 0∗ )
=
X ∗ ( zV ) = 1
AG ( LV + C pL ∆Tsub )
qP′
qP′
Pour qP′ donné, selon la valeur de G , on aura ou non l'ébullition franche et la fin
d'évaporation dans la portion de conduite considérée. Soit L la longueur chauffante de la
conduite, alors les valeurs limites G sup et Ginf de G sont les suivantes :
q′ L
G sup telle que z L = L ,
Gsup = − P ∗
ALV X 0
Et :
Ginf telle que zV = L ,
Et l'on a :
• si G > G sup ,
Ginf =
q′P L
ALV (1 − X 0∗ )
l'écoulement est encore liquide en sortie,
•
si G < G inf ,
l'écoulement est totalement vapeur en sortie,
•
si Ginf < G < Gsup ,
l'écoulement est diphasique en sortie.
4-29
4.6 MODÉLISATION DES ÉQUATIONS DE BILAN DANS
UNE ENCEINTE
4.6.1 DEFINITION DU SYSTEME
Dans ce type de configuration, on fait l’hypothèse que les vitesses ne sont significatives
que dans les sections d’entrée et de sortie du volume.
Dans le cas général, chacun des 2 sous-volumes est diphasique (montée de bulles dans le
sous-volume inférieur, descente de gouttes dans le sous-volume supérieur), comme le
schématise la Figure 4.10.
Sous-volume
supérieur ( V + )
P + , hL+ , hG+ , α + , Y j+
chute de
gouttes
Jonction j
transfert de masse
entre sous-volumes
Sous-volume
inférieur ( V − )
mɺ Lj , mɺ Gj
montée de
bulles
P − , hL− , hG− ,α − ,Y j−
Figure 4-10
Si les phénomènes de transfert de phase vers la frontière des 2 sous-volumes sont
instantanés (au sein de chaque sous-volume), alors on a une configuration de type stratifiée
où chacun des deux sous-volumes est monophasique (Figure 4.11).
Dans ce cas, on a affaire à un
système ponctuel ouvert
contenant une phase liquide et
4-30
une phase gazeuse constituée
de vapeur et de gaz
incondensables.
Le volume total de l'enceinte
V
est
une
constante
( V = VL + VG = constante ),
mais le volume de liquide
respectivement
le
( VL ),
Sous-volume
supérieur ( VG )
mɺ e1
mɺ s1
volume de gaz ( VG ), peut
varier au cours du temps.
Sous-volume
inférieur ( VL )
mɺ s 2
Figure 4-11
4.6.2 EQUATIONS DE BILAN
Nous nous intéressons ici simplement aux bilans des grandeurs caractéristiques du milieu
dans un volume donné, constant (mais on peut aussi le prendre variable…). De façon
symbolique, ce volume peut être représenté comme suit, compris entre une section d’entrée
et une section de sortie par lesquelles sont établis des flux de masse :
Figure 4-12
4-31
L’intégration dans un volume donné des termes de type divergence des équations de bilan
moyennées 3D du Chapitre 3, après modélisation, va faire apparaître les flux qui traversent
la surface de ce volume. Cela résulte de la simple application du « théorème de la
divergence ». Nous séparerons ces flux en trois parties, le flux d’entrée (indicé e) et le flux
de sortie (indicé s), et les flux (autres que le flux de masse totale) qui se produisent sur le
reste de la paroi. Nous supposerons que les caractéristiques du milieu sont uniformes (au
sens statistique, puisque de toute façon il y a des fluctuations aléatoires) dans ces flux, et
que les vitesses des différentes phases sont les mêmes dans les sections d’entrée et de
sortie. Les sections d’entrée et de sortie du volume sont supposées à la même hauteur, de
sorte que l’effet de la gravité sur l’écoulement sera nul.
a/ Les bilans intégraux de masse sont :
- Pour la masse totale, en partant de 3-6 :
d
( m) = mɺ e − mɺ s
dt
4-56
ɺ e , mɺ s sont les débits-masse entrant et sortants de l’ensemble de toutes les
Les quantités m
ɺe =
phases, dont la définition est : m
∫∫ (− ρuɶ N
i
e
i
) da , et de même pour le débit de sortie.
Ae
On intègre sur la section d’entrée (ou de sortie) en tenant compte de sa normale. La masse
totale est l'intégration dans le volume considéré : m =
∫∫∫ ρdv . Les grandeurs figurant
V
sous les intégrales sont les moyennes statistiques locales définies au chapitre précédent.
- Pour les masses des phases, en partant de 3-10 :
d
(mk ) = mɺ ke − mɺ ks + ∫∫∫ Γ ks dv
dt
V
4-57
où mk =
∫∫∫ ρ α dv .
k
k
En réalité, l’intégration des équations 3D donne à la place de
V
mɺ ke l’expression :
∫∫ (− ρ α uɶ N
i
k
k
e
i
− ρ kα k u ''ik N ie ) da , mais on a supposé ici que la fraction
Ae
massique de phase k est constante dans toute la section, et on a négligé le second terme
devant le premier.
4-32
On voit dans ces bilans la difficulté, sinon l’impossibilité, de calculer l’intégrale triple des
termes d’échanges entre phases (s’il en existe) dans le volume. Cette intégrale n’est
calculable sans s’intéresser au détail de ce qui se passe dans le volume que si on suppose
que celui-ci est homogène (statistiquement, bien sûr). Ceci est physiquement justifié
seulement si le volume comporte un dispositif assurant un brassage intense, quels que
soient les débits entrants et sortants. Dans ces conditions, il faut assurer une forte perte de
pression à l’entrée, pour que le brassage ne fasse pas ressortir de la matière par l’entrée, il
y a toujours une toute petite zone près de l’entrée où l’inhomogénéité est très forte, et les
caractéristiques de sortie de l’écoulement sont identiques à celles qui règnent dans le
volume. Ce brassage justifie aussi que l’on suppose que les phases ont la même vitesse à la
sortie. A l'entrée, on pourrait considérer une vitesse différente pour chaque phase sans
difficulté.
On peut donc écrire dans ces conditions :
d
( mk ) = mɺ ke − mɺ ks + (Γ ks ) s V
dt
4-58
et l’indice s du terme de production indique que ce sont les conditions de sortie qui doivent
être considérées pour les calculer.
Nous avons considéré, dans ces équations, que la paroi du volume est totalement inerte et
imperméable : il n’y a que par les sections d’entrée et de sortie que des échanges de masse
sont possibles, les autres portions des parois ne peuvent pas provoquer de disparition de
masse d’une phase pour la transformer en une autre, ni pour la laisser sortir.
b/ Le bilan global de quantité de mouvement énonce que la variation dans le temps de la
quantité de mouvement présente dans le volume égale la différence des quantités de
mouvement entrante et sortante, plus les forces exercées par l’extérieur sur le volume
fluide. La quantité de mouvement totale pour toutes les phases (un vecteur) dans le volume
est : q i =
∫∫∫ ρ uɶ dv , et le bilan s’écrit :
i
V
4-59
d i
( q ) = mɺ euɶei − mɺ s uɶei + FPi + pe Aei − ps Asi
dt
On a encore négligé ici les contributions du tenseur des contraintes visqueuses et du flux
de diffusion de quantité de mouvement additionnel (défini au chapitre précédent), sur les
forces exercées dans les sections d’entrée et de sortie (projetées sur la direction i), qui sont
donc seulement représentées par les deux derniers termes. Nous avons négligé aussi la
contribution des forces de tension de surface.
4-33
Le terme FPi est une force (dans la direction i) exercée par les parois, force de contact qui
maintient le volume dans la position voulue et aussi force de frottement. Sa définition
n’est rien d’autre que l’intégrale, sur l’aire des parois du volume autres que l’entrée et la
sortie, du tenseur des contraintes de Cauchy (ou du tenseur de flux de diffusion de quantité
de mouvement) :
FPi = ∫∫ (− pδ ij + τ ij ) N Pj da
P
Si l’on suppose que la paroi est bien définie, c’est-à-dire ne présente pas de rugosités trop
fortes, la contribution du tenseur des contraintes de viscosité est nulle, puisque la vitesse
du fluide est nulle à la paroi. S’il y a des rugosités, elles créent une contribution dans le
frottement à la paroi, qu'il faut rajouter en tenant compte du terme additionnel de
fluctuations.
On n’utilise en général pas cette équation pour prédire la perte de pression entre l’entrée et
la sortie, car il est très difficile de préciser les forces de contact et de frottement. La seule
remarque que l’on peut faire est que la situation hydrodynamique particulière de brassage
intense entraîne que la pression dans le volume est pratiquement constante, égale à celle de
sortie, et connue. Par contre, la pression d’entrée est supérieure à cause des frottements
aux parois du volume.
c/ Les bilans d’énergie sont habituellement considérés en négligeant l’énergie cinétique
moyenne des phases, et donc le terme d’échauffement cinétique (qui est la puissance des
forces de frottement).
L’énergie interne de la phase k qui est dans le volume est :
∫∫∫ ρ α eɶ dv = m e
k
k k
k ks
, et le
V
bilan fait intervenir l’enthalpie entrante et sortante, le flux de chaleur échangé par la paroi,
et aussi l’intégrale des échanges entre phases dans le volume. On obtient, à partir de 3-12 :
4-60
p
p
d
( mk eks ) = mɺ ke (eke + ke ) − mɺ ks (eks + ks ) + QkP + (Γ ks ek + Qks ) s V
dt
ρ ke
ρ ks
En utilisant l’enthalpie, le bilan d’énergie s’écrit de façon un peu différente, mais
équivalente (en négligeant toujours l’énergie cinétique et la puissance des frottements) :
4-61
d
d
( mk hks ) − Vk
p = mɺ ke hke − mɺ ks hks + QkP + (Γ ks hk + Qks ) s V
dt
dt
Le flux de chaleur à la paroi n’est rien d’autre que l’intégrale sur les parois du flux de
P
chaleur de conduction dans la phase k : Qk =
∫∫ (− j
Qi
k
N Pi )da
P
4-34
Les échanges entre phases comprennent l’enthalpie échangée lors de l’échange de masse,
la puissance due aux contacts entre phases, et l’échange de chaleur entre phases. Ces
termes sont les mêmes que ceux de (3.12), sauf que la puissance de la force de contact
entre phase considérée est seulement celle de la pression, et peut prendre place dans
l’enthalpie.
Nous avons aussi négligé la contribution des flux de chaleur par conduction et par
diffusion additionnelle, dans les sections d’entrée et de sortie, devant les termes de
convection par vitesse moyenne.
L’équation de bilan totale, de toutes les phases, est la somme de tous les bilans des
énergies des phases, si l’on néglige la capillarité.
4.6.3 FORMULATION FINALE DES BILANS
4.6.3.1
BILAN DE MASSE EN DIPHASIQUE DANS UNE ENCEINTE
Soit mk la masse (gazeuse) du composant k du sous-volume supérieur (vapeur,
incondensables), et soit mL la masse (liquide) du sous-volume inférieur.
On écrit un bilan de masse pour la phase liquide d'une part, et pour chacun des composants
gazeux d'autre part, soit :
4-62
dmk
= ∑ mɺ ke − ∑ mɺ ks + mɺ ks
dt
e
s
dmL
= ∑ mɺ Le − ∑ mɺ Ls + mɺ Ls
dt
e
s
ɺ ks et mɺ Ls sont les débits de transferts de masse entre la phase gazeuse et la phase
où m
liquide par condensation, évaporation ou ébullition.
ɺ ks + mɺ Ls = 0 et que mɺ ks = 0 pour les incondensables.
On notera que m
4.6.3.2 BILAN D’ENERGIE EN DIPHASIQUE DANS UNE ENCEINTE
On écrit un bilan pour chacune des 2 phases liquide et gazeuse (tous les composants de la
phase gazeuse sont supposés être à la même température).
4-35
4-63
dH G
dp
− ΩG
=
dt
dt
2
2
uGe
uGs
ɺ
ɺ
∑e mGe (hGe + 2 ) − ∑s mGs (hGs + 2 ) + QɺG + QɺGs
dH L
dp
− ΩL
=
dt
dt
2
2
u Le
u Ls
ɺ
ɺ
m
(
h
+
)
−
m
(
h
+
∑e Le Le 2 ∑s Ls Ls 2 ) + Qɺ L + Qɺ Ls
H G est l'enthalpie globale du mélange gazeux :
4-64
H G = mV hV + ∑ minc C pincTG
inc
p désigne la pression commune du mélange gazeux et du liquide.
Qɺ G et Qɺ L regroupent les apports de chaleur vers le gaz et le liquide (respectivement), soit
par production interne de chaleur, soit par les échanges avec les parois.
Qɺ Gs et Qɺ Ls représentent les échanges d'énergies entre la phase gazeuse et la phase liquide
dus au changement d'état liquide-vapeur (ébullition, évaporation) ou vapeur-liquide
(condensation). On notera que :
4-65
Qɺ Ls + Qɺ Gs = 0
Et que, dans le cas de changement liquide-vapeur ou de condensation à l'interface
liquide/gaz :
4-66
Qɺ Ls = ± mɺ Ls ( hV − hL )
Lors de condensation en paroi, la chaleur latente de vaporisation est directement échangée
avec cette paroi.
4.7 NOTATIONS
4-36
4.8 RÉFÉRENCES
4-37
4-38
TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE IV
4 MISE EN OEUVRE DES EQUATIONS DE BILAN DE LA
THERMOHYDRAULIQUE DIPHASIQUE
4.1
INTRODUCTION
4-2
4-4
4.2
PARAMÈTRES DESCRIPTIFS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
4.2.1 Hypothèses
4.2.2 Taux de présence
4.2.3 Débits et vitesses massiques
4.2.4 Débits et vitesses volumiques
4.2.5 Qualité, titre massique et fraction massique
4.2.6 Titre thermodynamique
4-5
4-5
4-6
4-6
4-7
4-7
4-8
4.3
LES CONFIGURATIONS D’ÉCOULEMENT
4.3.1 Caractérisation
4.3.2 Ecoulement co-courant dans une conduite verticale
4.3.3 Ecoulement co-courant dans une conduite horizontale
4-9
4-9
4-9
4-11
4.4
MODÉLISATION DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
MONODIMENSIONNELS
4.4.1 Les équations de bilan de base
4.4.2 Modèle complet (ou à 6 équations)
4.4.3 Introduction aux modèles simplifiés
4.4.4 Modèle monofluide
4-13
4-13
4-17
4-21
4-22
4.5
DISTRIBUTION DE TITRE ET DE TEMPÉRATURE LE LONG D’UNE
CONDUITE
4.5.1 Position du problème
4.5.2 Intégration du bilan d'Énergie
4.5.3 Cas particulier du modèle équilibré thermiquement
4.5.4 Application au cas d’une conduite chauffée uniformément
4-26
4-26
4-26
4-27
4-28
4.6
MODÉLISATION DES ÉQUATIONS DE BILAN DANS UNE ENCEINTE
4.6.1 Définition du système
4.6.2 Equations de bilan
4.6.3 Formulation finale des bilans
4-30
4-30
4-31
4-35
4-II
4.7
NOTATIONS
4-36
4.8
RÉFÉRENCES
4-37
FIGURES CHAPITRE IV
FIGURE 4-1 .....................................................................................................................................................4-4
FIGURE 4-2 .....................................................................................................................................................4-4
FIGURE 4-3 ......................................................................................................................................................4-5
FIGURE 4-4 : CONFIGURATIONS D’ ECOULEMENT DANS UNE CONDUITE VERTICALE .............4-10
FIGURE 4-5 : CARTE DE HEWITT ET ROBERTS (EAU-AIR JUSQU’A 5,9 BAR ET EAU-VAPEUR
JUSQU’A 69 BAR) ........................................................................................................................................4-10
FIGURE 4-6 : CONFIGURATIONS D’ECOULEMENT DANS UNE CONDUITE HORIZONTALE ........4-11
FIGURE 4-7 : CARTE DE MANDHANE ET AL (1974)...............................................................................4-12
FIGURE 4-8 ...................................................................................................................................................4-13
FIGURE 4-9 ...................................................................................................................................................4-19
FIGURE 4-10 .................................................................................................................................................4-30
FIGURE 4-11 ..................................................................................................................................................4-31
FIGURE 4-12 .................................................................................................................................................4-31
4-III

centrale thermo hydraulique

Transcription

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