surfaces volumes

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MATHS
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Formules 1 à 36 « Géométrie »
Géométrie
Surface d’un triangle isocèle
Côté d’un triangle rectangle
Surface d’un carré
Surface d’un losange
Surface d’un pentagone régulier
Périmètre d’un cercle
Surface d’un secteur circulaire
Surface d’un segment de parabole
Volume d’un parallélépipède
Volume d’un anneau à section carrée
Surface d’un triangle
Surface d’un triangle scalène
Surface d’un triangle rectangle
Diagonale d’un rectangle
Surface d’un parallélogramme
Polygones réguliers et irréguliers
Surface d’un cercle
Surface d’une couronne circulaire
Surface d’une ellipse
Volume d’un cylindre
Volume d’un tore
Surface d’un triangle équilatéral
L’hypoténuse d’un triangle rectangle
Diagonale d’un carré
Surface d’un rectangle
Surface d’un trapèze
Surface d’un hexagone régulier
Longueur d’un arc de cercle
longueur d’une hélice
volume d’un cube
Volume d’un cylindre creux
Surface d’une sphère
Volume d’une sphère
Surface d’une calotte sphérique
Volume d’une calotte sphérique
Volume d’une paraboloïde
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Rappel PI ( 3.14159265358979 )
FORMULAIRES MATHÉMATIQUES
« GÉOMÉTRIE »
1ère PARTIE
GÉOMÉTRIE
Il peut arriver que l’on ait besoin de connaître les dimensions, surfaces ou volumes d’objets quelconques, et
cela quand il n’est pas facile, ou même tout à fait impossible, d’effectuer des mesures directes. Il faut alors
procéder à des calculs.
Par exemple, il peut se présenter des cas où il est nécessaire de connaître la longueur d’une spire, la
section d’un conducteur, la section ou le volume d’un noyau magnétique...
En général, il s’agit de problèmes que l’on peut résoudre rapidement en appliquant une formule appropriée
de géométrie.
Nous trouverons donc dans cette leçon d’aide mémoire les formules de géométrie ayant une application
pratique en électronique.
FORMULE 1 - Calcul de la surface d’un triangle connaissant les valeurs de la base et de la hauteur (figure
1-a).
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FORMULE 2 - Calcul de la surface d’un triangle équilatéral, « triangle ayant trois côtés égaux » (figure 1-b)
connaissant la longueur du côté.
Exemple (figure 1-b) :
Surface : S
Donnée : c = 5 cm
0,433 x 52 = 0,433 x 25 = 10,825 cm2
FORMULE 3 - Calcul de la surface d’un triangle isocèle « triangle ayant deux côtés égaux » connaissant la
valeur des côtés égaux et de la base.
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FORMULE 4 - Calcul de la surface d’un triangle scalène « triangle ayant trois côtés inégaux » connaissant
la longueur des côtés.
Dans cette formule «p» désigne le demi-périmètre, c’est-à-dire la demi-somme des trois côtés. Avant
d’appliquer la formule, il faut calculer à part la valeur «p» du demi-périmètre.
FORMULE 5 - Calcul de l’hypoténuse d’un triangle rectangle connaissant les deux autres côtés (le triangle
rectangle est un triangle ayant un angle de 90° ; l’hypoténuse est le plus grand côté, les deux autres côtés
forment l’angle de 90°). (Voir la figure 1-e ci-dessus).
FORMULE 6 - Calcul d’un côté d’un triangle rectangle connaissant les longueurs de l’hypoténuse et de
l’autre côté (pour la signification des termes, reportez-vous à la formule 5).
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FORMULE 7 - Calcul de la surface d’un triangle rectangle connaissant les deux côtés de l’angle droit.
FORMULE 8 - Calcul de la diagonale d’un carré connaissant la longueur du côté. (Figure 2-a).
FORMULE 9 - Calcul de la surface d’un carré connaissant la longueur du côté.
Exemple (figure 2-a) :
Donnée : c = 50 mm
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Surface : S = 502 = 2 500 mm2
FORMULE 10 - Calcul de la surface d’un carré connaissant la longueur de la diagonale.
S = d2 / 2
S = surface
d = diagonale
Exemple (figure 2-a) :
Donnée : d
70,70 mm (valeur approchée établie avec la formule 8)
Surface : S
70,702 / 2 = 4 998,49 / 2 = 2 499,245 mm2
Comparez ce résultat avec celui obtenu en appliquant la formule 9. La différence de 0,755 mm2 (2 500 - 2
499,245 = 0,755) est due à l’introduction de la valeur approchée de 70,70 dans le calcul de la surface, mais
l’erreur qui en résulte est très faible (seulement de 0,03 %), donc pratiquement négligeable.
(Pour faciliter la lecture, nous reportons la même figure ci-dessous à savoir figure 2).
FORMULE 11 - Calcul de la diagonale d’un rectangle connaissant les valeurs de la base et de la hauteur.
(Cette formule ci-dessus est similaire à la formule 5).
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FORMULE 12 - Calcul de la surface d’un rectangle connaissant les valeurs de la base et de la hauteur.
S=bxh
S = surface
b = base
h = hauteur
Exemple (figure 2-b) :
Données : b = 10 cm ; h = 5 cm
Surface : S = 10 x 5 = 50 cm2
FORMULE 13 - Calcul de la surface d’un losange connaissant la longueur des diagonales (le losange est un
quadrilatère ayant quatre côtés égaux et des angles adjacents inégaux).
S=Dxd/2
S = surface
D = grande diagonale
d = petite diagonale
Exemple (figure 2-c) :
Données : D = 8 cm ; d = 5 cm
Surface : S = 8 x 5 / 2 = 40 / 2 = 20 cm2
FORMULE 14 - Calcul de la surface d’un parallélogramme connaissant les valeurs de la base et de la
hauteur.
S=bxh
S = surface
b = base
h = hauteur
(Cette formule ci-dessus est similaire à la formule 12).
Exemple (figure 2-d) :
Données : b = 15 cm ; h = 6 cm
Surface : S = 15 x 6 = 90 cm2
FORMULE 15 - Calcul de la surface d’un trapèze connaissant les valeurs des deux bases et de la hauteur.
FORMULE 16 - Calcul de la surface d’un pentagone régulier connaissant la longueur des côtés (le
pentagone régulier est un polygone ayant cinq côtés égaux et cinq angles égaux).
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S 1,72 c2
S = surface
c = côté
Exemple (figure 3-a) :
Surface : S
Donnée : c = 20 mm
1,72 x 202 = 1,72 x 400 = 688 mm2
FORMULE 16 - 1 : Polygones réguliers et irréguliers
On dit qu’un polygone est régulier lorsque tous ses côtés et tous ses angles sont congrus (égaux).
On dit qu’un polygone est irrégulier lorsque certains de ses côtés et certains de ses angles sont inégaux
(incongrus).
Polygone régulier
Polygone irrégulier
FORMULE 17 - Calcul de la surface d’un hexagone régulier connaissant la longueur d’un côté (l’hexagone
régulier est un polygone ayant six côtés égaux et six angles internes égaux).
S = 2,60 x c2
S = surface
c = côté
Exemple (figure 3-b « ci-dessus ») :
Donnée : c = 12 mm
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Surface : S
2,60 x 122 = 2,60 x 144 = 374,4 mm2
FORMULE 18 - Calcul du périmètre d’un cercle (circonférence) connaissant la valeur du diamètre.
FORMULE 19 - Calcul de la surface d’un cercle connaissant la valeur du diamètre.
FORMULE 20 - Calcul de la longueur d’un arc de cercle connaissant la valeur de l’angle au centre et la
longueur du rayon.
(Pour faciliter la lecture, nous reportons la même figure à savoir figure 3)
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FORMULE 21 - Calcul de la surface d’un secteur circulaire connaissant la valeur de l’angle au centre et la
longueur du rayon (un secteur circulaire est la surface plane délimitée par un arc de cercle et deux rayons).
FORMULE 22 - Calcul de la surface d’une couronne circulaire connaissant la valeur des deux diamètres
(une couronne circulaire est la surface plane comprise entre deux circonférences concentriques).
FORMULE 23 - Calcul de la surface d’un segment de parabole connaissant la valeur de la base et de la
hauteur (on appelle segment de parabole la surface plane comprise entre un arc de parabole et la corde
sous-tendue entre les extrémités de l’arc).
S=2/3xbxh
S = surface
b = base
h = hauteur
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Exemple (figure 4-a) :
Données : b = 12 cm ; h = 8 cm
Surface : S = 2 / 3 x 12 x 8 = 2 / 3 x 96 = (2 x 96) / 3 = 64 cm2
FORMULE 24 - Calcul de la surface d’une ellipse connaissant la longueur des deux axes.
FORMULE 25 - Calcul de la longueur d’une hélice connaissant le nombre de spires, les valeurs du diamètre
et de la hauteur.
FORMULE 26 - Calcul du volume d’un cube connaissant la longueur de l’arête.
V = a3
V = volume
a = arête
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Exemple (figure 5-a) :
Donnée : a = 4 cm
Volume : V = 43 = 4 x 4 x 4 = 64 cm3
FORMULE 27 - Calcul du volume d’un parallélépipède connaissant les valeurs de la longueur et de la
largeur de la base, et la hauteur.
V=axbxh
V = volume
a = longueur de la base
b = largeur de la base
h = hauteur
Exemple (figure 5-b) :
Données : a = 25 mm ; b = 30 mm ; h = 70 mm
Volume : V = 25 x 30 x 70 = 52 500 mm3 = 52,5 cm3
FORMULE 28 - Calcul du volume d’un cylindre connaissant les valeurs du diamètre et de la hauteur.
FORMULE 28 - 1 : Pour calculer un cylindre d’un volume engendré par la rotation d’un rectangle autour de
l’un de ses côtés (surface latérale = 2Rh ; surface totale = 2R (h+R) ; volume = R²h, h étant la hauteur
et R le rayon du cercle de base).
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FORMULE 29 - Calcul du volume d’un cylindre creux connaissant les valeurs des deux diamètres et de la
hauteur.
FORMULE 30 - Calcul du volume d’un anneau à section carrée connaissant les valeurs des diamètres
externes et internes.
FORMULE 31 - Calcul du volume d’un tore (anneau à section circulaire) connaissant la valeur du diamètre
extérieur et celle du diamètre de la section de l’anneau.
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FORMULE 32 - Calcul de la surface d’une sphère connaissant la valeur du diamètre.
Exemple (figure 7-a) :
Surface : S
Donnée : d = 15 mm
3,14 x 152 = 3,14 x 225 = 706,5 mm2
FORMULE 33 - Calcul du volume d’une sphère connaissant la valeur du diamètre.
Exemple (figure 7-a) :
Volume : V
Donnée : d = 15 mm
0,523 x 153 = 0,523 x 3375 = 1765,125 mm3
FORMULE 34 - Calcul de la surface d’une calotte sphérique connaissant les valeurs du diamètre du contour
et de la hauteur.
FORMULE 35 - Calcul du volume d’une calotte sphérique connaissant la valeur du diamètre de la base et
de la hauteur.
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FORMULE 36 - Calcul du volume d’une paraboloïde connaissant la valeur du diamètre de la base et de la
hauteur.
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