Les effets d`extremité en chauffage par induction
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Les effets d`extremité en chauffage par induction
T-'i5 N°d'ordre ECL 84-03 Année 1984 THÈSE présentée devant L'ECOLE CENTRALE DE LYON pour obtenir le titre de DOCTEUR-INCENTEUR spécialité : Génie Eletrique par M. Christophe MA!kc$IAND ingénieur E.C.L. . LES EFFETS D'EXTREMITE EN CHAUFFAGE PAR INDUCTION soutenue le 30 janvier 1984 devant la commission d'examen Jury: M. et MM. R. Bonnefille, Président M. Coevoet, A Foggia, J. Heurtin, A. Nicolas et JC. Sabonnadière. tL) N d'ordre : Année 1984 ECL 84-03 THÈSE présentée devant L'ECOLE CENTRALE DE LYON pour obtenir le titre de DOCTEUR-INGENIEUR spécialité : Génie Electrique par M. Christophe MARCHAND ingénieur E.C.L. LES EFFETS D'EXTREMITE EN CHAUFFAGE PAR INDUCTION soutenue le 30 janvier 1984 devant la commission d'examen Jury: M. et MM. R. Bonnefille, Président M. Coevoet, A. Foggia, J. Heurtin, A. Nicolas et JC. Sabonnadière. ECOLE CENTRALE DE LYON DIRECTEUR A. MOIROUX DIRECTEUR ADJOINT R. RICHE DEPARTEMENTS DtENSEIGNEMENT ET DE RECHERCHE MATHEMATIQUES-INFORMATIQUE-SYSTEMES C.M. BRAUNER 1F. MAITRE Pl-IYS1COCHIMIE DES MATERIAUX P. CLECHET 3. CURRAN METALLURGIE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX P. GUIRALDENQ D. TREHEUX ELECTRONIQUE 3.3. URGELL P. VIKTOROVITCH S. KRAWCZYK R. BLANCHET ELECTROTECHNIQUE Ph. AURIOL A. FOGGIA MECANIQUE DES SOLIDES SIDOROFF MECANIQUE DES SURFACES 3.M. GEORGES 3. SABOT MECANIQUE DES FLUIDES ET ACOUSTIQUE 3. MATHIEU COMTE-BELLOT (Mlle) D. JEANDEL MACHINES THERMIQUES X. LYS M. BRUN CONCEPTION ET DEVELOPPEMENT DE PRODUITS R. RUSSIER P. CLOZEL IN D USI RI ELS Sont aussi habilitées à diriger des thèses à l'E.C.L. les personnes dont les noms suivent: MM. E. ALCARAZ L-I. ARBEY 3. BATAILLE J. BOREL (LET!) Cl. CAMBON B. CAMBOU 3.P. CHANTE CHARNAY B. COQUILLET 3. DIMNET A. HAUPAIS 3. JOSEPH Ph. KAPSA Cl. MARTELET J.M. MARTIN J.R. MARTIN T. MATHIA MONTES R. MOREL NGUYEN DU R. OLlER R. PHILIPPE G. ROJAT 3.P. SCHON M. SUNYACH CI. SURRY A. TAILLAND G. THOMAS L. VINCENT L'étude et l'objet au Département conjointement de Lyon, fait qui at' ce de mémoire Electrotechnique de été réalisée a l'Ecole Centrale Laboratoire Induction d'Electricité de France ( Di- rection des Etudes et Recherches, Service Applications de i'Electricité et Environnement, Département Applications de l'Eiectricité ). Je tiens à adresser mes sincères remerciements à: M. R. BONNEFILLE, Professeur au Conservatoire National des Arts et Métiers, qui a accepté de présider le jury de cette thèse. M. A. FOGGIA, Professeur au Département Electrotechnique de l'Ecole Centrale de Lyon, et efficacité a proposé le sujet et a assuré avec qui la direction scientifique de bienveillance ce travail. M. J. HEURTIN, Directeur l'Electricité d'EdF, Département du adjoint l'intérêt pour Applications de qu'il a bien voulu accorder à notre travail. MM. R. POIROUX, M. COEVOET et J. NUNS, ingénieurs de l'équipe " In- duction d'EdF, " dont l'expérience et les conseils ont joué un rôle essentiel au cours de cette étude. M. JC. SABONNADIERE, Professeur à PEcole Nationale Supérieure des Electriciens Ingénieurs de Grenoble, et M. A. NICOLAS, Maître-Assistant au Département Electrotechnique de l'Ecole Centrale de Lyon, pour leur participation au jury, et l'attention avec laquelle ils ont suivi notre travail. J'exprime ma gratitude et mon amitié à tous les membres du Département Electrotechnique de l'Ecole Centrale de Lyon, et de l'équipe " Induction " d'EdF. Je remercie enfin MM. L. MARIAUX et D. BONNEAU, responsables respectifs de l'ordinateur du Département Electrotechnique de l'Ecole Centrale de Lyon, et de celui du Département Applications de l'Electricité d'EdF, pour leur patience et leur compétence. TABLE DES MATIERES RESUME INTRODUCTION CHAPITRE i 1 Une modélisation du chauffage par induction en géométrie axisymétrique 9 CHAPITRE 2 Les méthodes numériques choisies 21 CHAPITRE 3 Description du logiciel réalisé 41 CHAPITRE 4 Les résultats expérimentaux 60 CHAPITRE 5 La validation du ogiciel 73 102 CONCLUSION Annexe i Reformulation des équations de Maxwell en utilisant le potentiel vecteur magnétique 104 Annexe 2 Quelques mots d'informatique et de programmation 113 Annexe 3 Propriétés magnétiques des aciers de construction courante Annexe 4 117 Le travafl expérimental: informations complémentaires 123 BIBLIOGRAPHIE 132 Table des symboles 137 RESUME Les méthodes classiques de calcul ne permettent pas de prédire exactement le comportement des inducteurs de chauffage par induction. Pour pallier cet inconvénient, nous avons réalisé un ensemble de programmes constituant un outil de dimensionnement d'inducteurs, destiné en particulier à l'étude des effets d'extrémité. Nous avons restreint notre travail à l'étude des phénomènes électromagnétiques non-linéaires intervenant en chauffage par induction dans le cas particulier des géométries tridimensionnelles axisymétri- ques. A partir des équations de MAXWELL, nous avons modélisé les phéno- mènes physiques en simplifiant les lois de comportement des matériaux et en introduisant le potentiel vecteur magnétique, dont le comportement est régi par une EDP parabolique du second ordre. Le problème d'évolution a été transformé en une succession de problèmes temps, les stationnaires grâce différences finies à une technique de discrétisation en semi-implicites. Le problème spatial stationnaire a été abordé par la méthode des éléments finis, en utili- sant une technique de substitution pour la résolution des équations non-linéaires. Ces méthodes numériques ont été mises en oeuvre dans 1e logiciel interactif CARMEN, implanté sur mini-ordinateur. Ce nouveau logiciel a été conçu comme un outil de conception assistée, destiné aux ingénieurs de bureau d'étude, par conséquent nous avons accordé une grande importance à sa "portabilité" et à la clarté de son dialogue. La campagne d'essais et de mesures que nous avons réalisée a permis de valider les hypothèses de la modélisation, et de vérifier la qualité des résultats fournis par le logiciel CARMEN. Notre travail a donc permis la mise à la disposition de l'indus- trie d'un logiciel simple et robuste, destiné à la conception assistée des inducteurs de chauffage par induction. INTRODUCTION Après avoir résumé l'action menée par EDF pour la modélisation du chauffage par induction, nous en déduisons la nécessité d'un nouvel outil numérique. Nous situons ensuite le travail à effectuer dans le contexte J 'Eco].e de la recherche menée au Centrale de Lyon, et de Département Electrotechnique de a collaboration Edf-universitaires. Enfin, nous indiquons les spécifications générales du logiciei souhaité, en insistant sur sa validation par des résultats expérimentaux et sur sa facilité d'utilisation. -2- LE CHAUFFAGE PAR INDUCTION i : PERSPECTIVES ET DEVELOPPEMENTS technique déjà ancienne, utilisée depuis longtemps pour la trempe ou la fusion des aciers, et Le chauffage par induction est une pour quelques applications ponctuelles comme le traitement thermique du carbone. Des études techriico-économiques ont révélé un marché potentiel important pour le chauffage par particulier dans en induction, le domaine du réchauffage avant formage des demi-produits sidérurgiques. développement industriel attendu n'a pas Le eu lieu, principalement à cause de l'importance des investissements, et des difficultés rencontrées lors du dimensionnement des installations. En effet, les méthodes simples de calcul donnant des résultats peu satisfaisants, la mise en service d'une chauffeuse exige des essais préalables, souvent longs et coûteux, sur des prototypes. ACTION DE ELECTRICITE DE FRANCE 2 : ETAPES ESSENTIELLES La promotion des techniques électriques industrielles nouvelles étant EDF, la vocation du département "Applications de l'électricité" de un effort important a été consenti, dans I.e cadre de ce dépar- tement, pour ]e développement du chauffage par induction. Rapidement a dotée de moyens expérimentaux, l'équipe "induction" pu mener parallèlement des prises de contact avec l'industrie, de nombreux essais, et une réflexion approfondie sur l.es problèmes d'instrumentation et de dimensionnement. / 3 Résumons le travail de modélisation réalisé par l'équipe "induction": Recherche, au (géométrie monodimensionnelle, prix d'hypothèses simplificatrices matériaux linéaires contraignantes et homogènes) de méthodes analytiques de calcul des grandeurs électriques et thermi- ques dans le matériau à chauffer (Ill, inspirée de par des travaux expérimentaux loi), complétée 21. Analyse approfondie des limites du modèle analytique et détermination de coefficients correctifs permettant de prendre en compte les géométries réelles et les non-linéarités des matériaux 31, 141. Etude expérimentale des sous-chauffes ou sur-chauffes d'extrêmité cette étude démontre que l'origine des hétérogénéités de température est essentieflement électromagnétique Une étude ultérieure 161 sont pas prévisibles 151. montre que ces défauts d'homogénéité ne à l'aide de calculs simples, ou par l'utilisation d'abaques établis par une campagne d'essais. Il est donc apparu rapidement qu'une approche numérique était indispensable. Deux études, menées à terme par A. BOSSAVIT (Service Informatique et Mathématiques Appliquées), ont permis de progresser dans la compréhension des phénomènes physiques Résolution numérique du problème non-linéaire thermique et électrique d'un conducteur axisymétrique de longueur infinie placé dans un champ magnétique uniforme 181 Extension du travail précédent au cas d'un conducteur de section rectanui aire. Bénéficiant de ]'éc}airage nouveau fourni par ces deux études, l'équipe "induction" a développé de chauffage, un logiciel d'aide à la conception d'inducteurs basé pour la partie électromagnétique sur les calculs analytiques corrigés, et pour la partie thermique sur une méthode numérique de différences finies en géométrie unidimensionnelle 171. 4 Récemment, la partie analytique de ce logiciel a été remplacée par une méthode numérique d'éléments finis, résolvant le problème élec- tromagnétique en géométrie unidimensionnelle 191 , et en tenant compte plus exactement de la saturation magnétique des matériaux. Parallèlement, le logiciel MAG-2D, crée par ROSE iiI( Informati- que et Mathématiques appliquées) pour résoudre des problèmes de conduction, a été adapté aux besoins de l'induction. Basé sur une méthode numérique d'éléments finis, ce logiciel résout le problème bidimensionnel électromagnétique linéaire d'un conducteur de section quelconque placé dans un champ orthogonal au pian d'étude. 3 LE POINT DE LA SITUATION EN 1981: NECESSITE D'UN NOUVEL OUTIL DE DIMENSIONNEMENT. Malgré les moyens de calcul disponibles, le dimensionnement d'une chauffeuse restait parfois difficile, même dans le cas de géometries relativement simples. exemple, Par par un inducteur pour des solénoïde applications classique, de deux chauffage de billettes probèmes majeurs sub- si staient: Effets d'extrémité pour les charges "longues": si l'une des dimensions de la billete est grande devant les deux autres, le dimensi onnement global fourni par les méthodes unidimensionnelles est généralement correct: la puissance prévue est dissipée sous la tension nominale d'alimentation. Mais des défauts dans l'homo- généité de la température finale, fréquemment constatés, nécessitent une mise au point supplémentaire avant la mise en service industriel et augmentent le côut de l'installation. Dimensionnement pour les charges "courtes": si les trois dimen- sions sont du même ordre de grandeur, en plus des défauts cités ci-dessus, on obtient généralement une alimentation mal adaptée. -5 Les modifications nécessaires alors sont déterminées par une campagne d'essais. Pour aborder ces deux problèmes, l'équipe induction a utilisé, dans un premier temps, le logiciel FLUX-2D I I . Ce programme, dévelop- pé par l'équipe de SABONNADIERE à 1' ENSIEG, actuellement implanté au Centre Interuniversitaire de Calcul de Grenoble, est à la disposition des industiels, via le réseau TRANSPAC. Ses spécifications (la résolu- tion des équations de MAXWELL en géometrie bidimensionnelie, dans les cas particuliers de l'électrostatique, de la magnétostatique et de la magnétodynamique linéaire) en font un outil d'intérêt général pour i' électrotechnique. Malgré l'existence de FLUX-2D, il est apparu nécessaire de développer un outil spécifique au chauffage par induction, pour deux raisons principales: les formes généralement simples des matéri.aux à étudier permet- tent d'alléger considérablement les pré-processeurs, et donc de gagner un temps important lors de la saisie des caractéristiques du cas à traiter, et lors de la préparation du calcul. les matériaux à chauffer ont souvent des comportements magnétiques non-linéaires (saturation): un calcul magnétodynamique en milieu çonducteur non-linéaire est donc indispensable. C'est pourquoi, dans un deuxième temps, l'équipe "induction" a décidé la mise en chantier d'un nouveau logiciel, en complément de FLUX2D, spécifiquement adapté au calcul d'inducteurs de chauffage par induction. -6 EdF ET LE DEPARTEMENT ELECTROTECHNIQUE DE L'ECOLE CENTRALE DE 4 LYON. De nombreuses équipes de recherche, dans le monde, ont consacré depuis 1970 un effort important à l'utilisation et à l'adaptation de méthodes numériques de calcul pour les besoins de l'électrotechnique. L'étude de la bibliographie ( articles dans les revues IEEE, com- munications aux congrès COMPUMAG, INTERMAG, etc...) montre la diversité des problèmes abordés et des méthodes utilisées. Des modèles numériques résolvant les équations de MAXWELL ont rapidement été développés pour des géométries bidimensionnelles, dans le cas des phénomènes non- linéaires statiques ou des phénomènes linéaires dynamiques. Actuellement, la recherche est orientée principalement vers les modèles 3D, et le perfectionnement des modèles 2D. L'équipe "modélisation" du Département Electrotechnique de l'Ecole Centrale de Lyon a participé activement à ces travaux, et s'est interessée en particulier à l'adaptation du savoir-faire numérique déjà acquis aux problèmes spécifiques du chauffage par induction C'est pourquoi, 12 à 151. dans le cadre de la politique de collaboration avec les laboratoires universitaires menée par EdF, cette action nouvel- le de modé'isation a été confiée au Département Electrotechnique de T'ECL. 5 SPECIFICATIONS GENERALES DU LOGICIEL SOUHAITE. Avant d'aborder le travail proprement dit, il est nécessaire de définir le cahier des charges du logiciel spécifique au di.mensionnement des inducteurs. -7 La priorité sera accordée à la résolution du problème électro- magnétique, principalement pour deux raisons: la constante de temps des phénomènes électromagnétiques est petite devant celle des transferts thermiques en chauffage par induction: à un instant donné, on peut résoudre les équations électriques en régime permanent, en "figeant" la carte des tempé- ratures. les défauts de chauffage aux extrémités sont essentiellement d'origine électromagnétique 151. Les équations de MAXWELL seront résolues par une méthode numéri- que en géométrie bidimensionnelle, en supposant les courants orthogonaux à la section étudiée. Ces hypothèses simplifient considérablement les équations Cf chapitre ( I ), et conservent au logiciel un domaine d'application étendu. En effet, pourront être traités: les problèmes 3D axisymétriques ( billette à section circulaire au centre d'un inducteur solénoide par exemple ). les problèmes 3D pouvant raisonnablement être approchés une géométrie axisymétrique emple une ), ( billette à section carrée par ex- moyennant éventuellement une étude complémentaire section orthogonale sur à Paide du 'ogiciel MAG-2D de ROSE. l.es problèmes 3D "longs", étudiés telle par sur une section particulière que les courants soient orthogonaux au plan d'étude, la modélisation étant complétée par un calcul effectué par MAG-2D. Sachant que la majorité des pièces à réchauffer avant formage ont une forme simple, l'approche bidimensionnefle choisie est donc un compromis acceptable face à 1a complexité des logiciels tridimensionnels actuels. -8 Le logiciel devra, à terme, être utilisable par des ingénieurs, en milieu industriel3 ceci implique: un dialogue aisé entre opérateur et programmes. la présentation des résultats du calcul sous une forme adaptée aux besoins de l'ingénieur. la rédaction d'un code "portable", destiné à des ordinateurs de taille "modeste'. une mise au point et une validation soignées du logiciel. 6 COMMENT ATTEINDRE LES OBJECTIFS FIXES ? Nous distinguerons trois étapes importantes: La modélisation: moyennant des hypothèses simplificatrices, nous définirons les grandeurs décrivant les phénomènes physiques, et les équations simulant leur comportement ( chapitre I ). La création de l'outil numérique: nous choisirons les méthodes numériques adaptées ( chapitre 2 ), puis réaliserons leur mise en oeuvre dans le cadre d'un logiciel interactif La validation d'essais ( du chapitre 4 logiciel: ) nous effectuerons ( chapitre 3). une campagne dont les résultats permettront de véri- fier la qualité des informations fournies par le logiciel, et de préciser ses limites d'utilisation ( chapitre 5 ). Au cours d'une discussion finale, logiciel à atteindre les objectifs initiaux. nous jugerons l'aptitude du CHAPITRE I UNE MODELISATION DU CHAUFFAGE PAR INDUCTION EN GEOMETRIE AXI SYMETRI QUE Partant et les des équations de MAXWELL, hypothèses successives choisies nous présentons la démarche pour obtenir un système d'équations simplifiées décrivant correctement les phénomènes électromagnétiques intervenant dans le chauffage par induction. Nous nous restreignons ensuite à l'étude des cas axisymétriques, lorsque les courants inducteurs sont orthogonaux à la section méridienne, et présentons le problème numérique à résoudre. - IO - INTRODUCTION. 1.1 Modéliser une installation de chauffage par induction n'est pas un problème nouveau, et équations les auxquelles aboutissons nous figurent dans un nombre respectable de publications. équations Ces ont fait preuve de leur mais leur efficacité, établissement soulève quelques difficultés souvent passées sous silence. Le présent chapitre, qui tente de détailler la succession d'hypothèses et de raisonnements conduisant à l'équation "du vecteur" est dédié au chercheur néophyte s'interrogeant potentiel sur les "on pose V = O et on en déduit.. .", merveilles de concision. Le lecteur averti pourra donc se reporter directement à la conclusion de ce chapitre. Nous proposons la démarche suivante: Rappel des équations de MAXWELL des états quasi-stationnaires. Description des phénomènes et des matériaux à modéliser. Simplification des équations de MAXWELL. Introduction des potentiels vecteur magnétique électrique. Hypothèse de jauge et équations tridimensionnefles. Restriction aux géométries axisymétriques. Exposé du problème final. et scalaire 1.2 EQUATIONS DE MAXWELL DES ETATS QUASI-STATIONNAIRES. Moyennant les hypothèses suivantes: matériaux immobiles dans un repère fixe. effets de propagation négligeables. diélectriques non chargés et courants de déplacement négligés. les équations de MAXWELL se simplifient et l'on obtient les équations classiques des états quasi-stationnaires: div B = O rot H J (i) div D = O rot E = - A ces équations s'ajoutent les lois de comportement des matériaux liant B à H et D à E, et la loi d'OHM dans les conducteurs, liant J à E. Les vecteurs B, H, J, D, E dépendent des coordonnées x,y,z relativement à un repère fixe, et du temps t. 1.3 QUE MODELISONS NOUS ? Une chauffeuse par induction est souvent constituée d'un matériau conducteur que l'on souhaite chauffer ( la charge ), placée dans un champ magnétique variable dans le temps, créé par des spires parcourues par un courant électrique alternatif fourni par une alimentation teur statique ) ( ( l'inducteur ), ce courant étant transformateur, groupe tournant, généra- reliée à une source d'énergie ( réseau électrique ). Frequemment, on ajoute des culasses à proximité de la charge et de i' inducteur pour canaliser le flux magnétique. - 12 - Il n'est pas question de modéliser la totalité de l'installation, mais simplement la charge et son entourage immédiat. Nous supposerons donc que notre sytème se réduit à l.a charge, à l'inducteur et aux culasses focalisant le flux. Pour exciter ce dispositif simplifié, nous supposerons connues les densités de courant dans les enroulements inducteurs. Cette thèse, être choisie en raison des considérée comme simplifications qui en résultent, peut restrictive; très hypo- nous verrons ultérieurement qu'eUe est acceptable pour l'application qui nous interesse. 1.4 LES LOIS DE COMPORTEMENT DES MATERIAUX. Précisons les lois de comportement choisies pour la modélisation des éléments constituant notre chauffeuse. Charge.s. pièces métalliques, elles sont supposées avoir les propriétes suivantes: D =E B =H perméabilité dépendante de II. J = crE loi d'OHM Inducteurs: enroulements en cuivre, dans lesquels la densité de courant est supposée connue à chaque instant: D= B=H Culasses: assemblage de tôles magnétiques, générall.ement non saturées: D = B =,tH U= O permeabilité indépendante de H. - 13 - ( on néglige donc l'hystérésis et les courants de FOUCAULT dans les culasses ). Nous supposerons enfin que l'air ambiant, l'eau de refroidis- sement des inducteurs et les divers isolants thermiques ont les propriétes du vide pour les phénomènes qui nous interessent. 1.5 LE PROBLEME A RESOUDRE. Nous devons donc résoudre le problème suivant: Soit C un ouvert de Calculer E, B, R3 H, J dans ç pour tout t variant de O à t0 , tels que: div B = O rot H = J + J0 div E = O rot E = - - et sachant que: B = (2) zH J = o-E dans les charges, J = O ailleurs. J0connue dans es inducteurs, J0= O ailleurs. Les conditions initiales et les conditions aux limites seront précisées ultérieurement ( chapitres 2 et 3 ). Remarquons que la distinction effectuée dans l'équation de MAXWELL AMPERE entre courants source J0 et courants induits J est purement formelle, et évite Ta séparation du problème (2) en deux problèmes couplés par leur condition d'interface. Le nombre des inconnues du problème (2) rend celui-ci mal adapté à une résolution numérique, nous allons donc le rformuTer en utilisant Tes potentiels vecteur magnétique et scalaire électrique. - 14 - 1.6 NOUVEAU PROBLEME, REFORMULE A L'AIDE DU POTENTIEL VECTEUR. Dans ce paragraphe, nous ne donnons que les étapes principales du raisonnement, les détails des calculs font l'objet de l'annexe 1. 1.6.1 (2), Si nous supposons connus les champs E et B solution du problème on peut définir deux potentiels, potentiel scalaire , le potentiel vecteur A et le tels que: B = rot A (3) E =--- _gradçd ) Les potentie's A et (D ne sont pas uniques. 1.6.2 Nous montrons ensuite que, parmi l'ensemble des couples satisfaisant les relations (3), ( A0 , O ). L'unicité de A0 ( A , il en existe un au moins de la forme est assurée si une condition initiale est fixée sur A3. 1.6.3 Ainsi, si O est imposé à tout instant (hypothèse de jauge), alors on peut décrire les champs E et B solutions du problème (2) par un potentiel vecteur unique A tel que: B - rot A E=A connu à t = O. 1.6.4 Enfin, nous démontrons que résoudre le problème (2) est équivalent à résoudre le problème suivant: (4) 15 Trouver A, fonction de Q dans R3, A rot(!rotA) fil U -- pour tout tE O,t0 , telle que = J0 ( div A ) = O sachant que: M = t( o o x,y,z,t, Urot AH ) x,y,z \ X,)Z, = et connaissant les conditions initiales et aux limites. Le lien avec les grandeurs électromagnétiques habituelles étant: B = rot A E 1.7 =- LES PROBLEMES AXISYMETRIQUES. Supposons que le problème à résoudre vérifie Tes conditions suivantes: -. La forme des matériaux et leurs propriétés physiques présentent une symétrie de révolution autour d'un axe. La répartition des courants "source" J est invariante par une rotation autour de cet axe. Le domaine d'étude Q choisi et les conditions aux limites sur lia frontière de ce domaine respectent l'axisymétrie des matériaux et des sources. - 16 - Repérons Les conditions le problème le problème (5) (5) 2 par un système de coordonnées cylindriques r, a,z. (7) impliquent que toutes les grandeurs intervenant dans sont indépendantes de sur une partie de Ç2 connaitre la solution complète dans c ; il suffira donc de résoudre , une section méridienne X 2 par rotation autour de l'axe de , pour symétrie. Remarquons que les conditions (7) impliquent que, sur l'axe de symétrie, le potentiel vecteur A est colinéaire à cet axe. Fig. 1.8 J Un problème axisymétrique. CAS PARTICULIER: COURANTS ORTHOGONAUX A LA SECTION MERIDIENNE. Supposons de plus Fig. 2 J0 = j0( r.z,t ) ea Courants orthogonaux. - 17 - C'est par exemple cas d'un inducteur solénoïde, le bobiné en hélice dont le pas est négligeable par rapport au diamètre de l'inducteur. Dans le cadre des hypothèses (7), ii est physiquement intuitif que, si la condition (8) est réalisée, les courants induits seront égaement orthogonaux à la section méridienne, et que par conséquent: A = a ( r,z,t ) e (9) On en déduit immédiatement: A = O sur l'axe de symétrie. div A = O car a est invariante en a. Par ailleurs, en utilisant l'expression du rotationnel en coor- (8) et (9) que l'équation: données cylindriques, on déduit aisément de (!rotA) cT-- + rot =J0 fil devient: t Le si r,ur prob'ème initial I ( - - (ra)) - ( r (ra)) = j r,u.z z (5) s'écrit donc beaucoup plus l'on impose les conditions (7) et et (8), si simplement l'hypothèse (9) est vérifiée: Trouver a ( r,z,t ) dans X section méridienne de telle que: (io) t r rfllr z a = O sur l'axe, conditions initiales et aux limites connues. - 18 - On peut démontrer que le problème (io) a une solution unique si i est indépendant de a, et nous supposerons l'existence et l'unicité de la solution dans le cas générai D'autre part, =p ( a ). si l'on calcule A dans à partir de la solution L unique du problème (io) en utilisant la relation (9), on montre facilement que ce potentiel vecteur vérifie les équations du problème (5), ce qui prouve l'équivalence entre les deux problèmes. 1.9 REMARQUE: PROBLEMES 3D INVARIANTS LE LONG D'UNE DIRECTION. Si l'on rejette l'axe de symétrie à l'infini des matériaux, on obtient un "problème limite" proche du précédent: si c et les matériaux possèdent une "direction d'invariance" et si les courants sont parallèles à cette direction, alors le problème suivant dans , section quelconque orthogonale aux courants, est équi- valent au problème initiai dans étant rapportée à un repère cartésien Oxy, trouver a ( x,y,t dans ) , telle que: io conditions initiales et aux limites connues. sachant que: A = a ( x,y,t ) e , invariant en z. La possibilité de traiter ce cas particulier 2D-plan est laissée à l'utilisateur, mais au cours des chapitres suivants, nous ne nous interesserons qu'aux problèmes réellement axisymétriques, c'est à dire dans lesquels les matériaux sont proches de l'axe de symétrie. - 19 - 1.10 CONCLUSION. Nous modélisons une chauffeuse à induction par un domaine C ayant les propriétés électromagnétiques du vide, dans lequel nous disposons: des sources ou inducteurs dans lesquels circulent une densité de courant connue. des charges, dans lesquelles circuleront les courants induits, dont la conductivité a est connue, et dont la perméabilité varie en fonction du champ magnétique selon une loi connue. des culasses, matériaux magnétiques à perméabilité connue, et dont la conductivité est nulle. Nous imposons les conditions suivantes: le problème est axisymétrique. Tes courants ne de Ç Alors, dans r,a,z , source" sont orthogonaux à toute section méridien- rapporté à un système de coordonnées cylindriques 2 on peut calculer e potentiel vecteur A tel que: A = a ( r,z,t ) e en résolvant le problème suivant par une méthode numérique: / Trouver dans a section méridienne de 2, r,z,t ) telle que: ( t -i -- (ra)) r rr ( - ( z -i -- (ra)) = j rz a = O sur l'axe Oz, conditions initiales et aux limites sur la frontière extérieure U de L connues. (12) - 20 - Les grandeurs électromagnétiques habituelles se déduisent de la solution du problème (12) en utilisant la définition de A: B rot A E=- Fig. 3 Le prob'ème à résoudre. CHAPITRE 2 LES METHODES NUMERIQUES CHOISIES Parmi les méthodes numériques usuelles en électrotechnique, nous avons choisi, pour notre application particulière, l'approche suivante: le problème différences d'évolution finies est remplacé, semi-implicite, par grâce une à une technique succession de de problèmes stationnaires. Nous obtenons une solution approchée de chaque problème stationnaire en utilisant une méthode d'éléments finis. Nous exposons dans ce chapitre les raisons des choix effectués, puis décrivons sommairement les techniques utilisées: schéma d'EULER semi-imp'icite, reformulation faible du problème stationnaire et change- ment de variable, approximation par éléments finis, système algébrique d'équations obtenu. et résolution du - 22 - 2.1 INTRODUCTION: LES ELEMENTS FINIS ET L'ELECTROTECHNIQUE. L'équation aux dérivées partielles - EDP - qui est au coeur de notre problème numérique appartient à la famille des EDP paraboliques du second ordre, dont "l'équation de la chaleur": k t est l'exemple type. La modélisation fine de nombreux problèmes physi- ques passant par la résolution de cette équation, des recherches approfondies ont depuis longtemps été consacrées à son étude. Le développement du solutions calcul numérique approchées sur ordinateur satisfaisantes dans permis a de nombreux d'obtenir des cas, dont la complexité ne permettait pas d'atteindre la solution par une méthode analytique. La première utilisation de ces méthodes nouvelles à l'étude d'un problème électromagnétique date du début des années soixante: il s'agis- sait d'une technique "de différences finies" de discrétisation des EPP. Vers 1970, la méthode des éléments finis - MEF -, initialement développée pour les problèmes de mécanique, a été adaptée aux besoins de l'électrotechnique 1161. Par rapport aux différences finies, l'avan- tage de la MEF résidait -et réside encore- en son aptitude à la descrip- tion de phénomènes à géométrie complexe, cet atout étant déterminant pour l'étude des machines par exemple. Mais son application était limitée aux cas particuliers statiques de notre EDP, c-à-d aux problèmes de LAPLACE et de POISSON, ou à leurs variantes non-linéaires. Les travaux d'extension de la MEF à l'étude des problèmes dynamiques se sont orientés vers les formulations "en complexe", qui, dans Te cas particulier des excitations sinusoidales en milieu linéaire, conduisent à la solution en régime permanent. La simulation du comportement non-linéaire des matériaux a été tentée par le biais de perméabilités équivalentes, réelles 1191 ou complexes 1201. - 23 - Une seconde approche, présentée en 1975, consiste en la résolution "pas pas" à dans le temps grâce à un schéma implicite 171. Employée pour l'étude des régimes transitoires, elle est potentiellement adaptée aux phénomènes non-linéaires car elle n'impose pas l'évolution sinusoidale des grandeurs. 2.2 LA SPECIFIChE PE NOTRE PROBLEME; NOS CHOIX NUMERIQUES. La modélisation du chauffage par induction pose un problème dif- ficile: dans une très petite partie du domaine d'étude de la charge ) ( la périphérie coexistent une "forte" non-linéarité et un comportement dynamique "violent" ( courants de FOUCAULT intenses en milieu saturé.). Souhaitant obtenir des résultats aussi précis que possible, nous avons choisi une méthode combinant la MEF pour les problèmes statiques non-linéaires et la méthode "pas à pas" pour les régimes transitoires. La méthode "pas à pas" permet de décrire avec précision les évolutions non-sinusoIdales des grandeurs dans l'épaisseur de peau verrons en le potentiel effet que l'induction a une allure en "créneaux", ( nous et que vecteur et les courants induits sont très déformés par rapport aux courants inducteurs ). Nous éviterons ainsi i.e calcul d'une perméabil i.té équivalente. A chaque pas de temps, la MEF a été choisie pour résoudre le problème non-linéaire à cause des raisons suivantes: MEE est largement employée par les électrotechniciens, et nous en avions déjà l'expérience 1151. l.a les méthodes intégrales de frontière, récemment adaptées à l.a résolution des équations de MAXWELL, ne permettent pas, actuellement, de traiter les problèmes non-linéaires dynamiques 1181. l.es méthodes de différences finies ne bénéficient pas du formai.isme de l.a MEE, et leur mise en oeu? est relativement lourde si l'on souhaite obtenir un outil performant. - 24 - LA DISCRETISATION EN TEMPS: EULER SEMI-IMPLICITE. 2.3 La discrétisation permet de temps en remplacer la résolution d'un problème d'évolution par celle de Np problèmes stationnaires aux ¿t, 2t,... , NpSt. instants successifs Les schémas d'EULER explicite et implicite sont, parmi les nombreuses méthodes existantes 211, les plus simples. Si nous reprenons l'exemple de l'équation de la chaleur: LT = k et si nous notons Tri t la solution supposée connue à l'instant nbt, les deux méthodes d'EULER permettent le calcul de T à partir de Tri moyennant une approximation de la dérivée par rapport au temps de T entre nt et(n+1) ¿t: T Tn+I - T ¿t Méthode explicite: le calcul du laplacien de Tn permet d'évaluer directement n+I k St Méthode implicite: T1 -Tn est calculée grâce à la résolution de "l'équation écrite à l'instant n+1". Tnl i T'1 k méthode La l'erreur ) explicite ¿t est souvent instable ( amplification de la méthode implicite est très utilisée à cause de sa sta- bilité inconditionnelle, mais est peu précise si ¿t n'est pas très petit. Nous avons choisi une méthode hybride, appelée "semi-implicite" 1211 ou " 0-method" 1221, caractérisée par une bonne stabilité et une meilleure précision que la méthode implicite: - 25 - Méthode semi-implicite: Soit Ocompris entre O et 1, notons n+0 l'instant (n+O)t. La méthode implicite écrite à n0 permet de calculer T0: Tn= ! T0 05t k Connaissant T n+0 T on calcule T , Tn+O= OTn+l+ ( n+1 sachant que: Tr i ) En simplifiant: semi-implicite = 0* implicite + (io) * explicite. La valeur optimale de O a été déterminée par des essais numériques en ( recherchant O = 0.66, meilleur le Cf chapitre 5 ). compromis Lorsque entre stabilité et précision 0= 0.5, on retrouve la méthode de CRANK-NICHOLSON. Après discrétisation en temps, le problème (12) est donc trans- formé en une succession de problèmes stationnaires de type elliptique: n Connaissant a dansa 1 instant nat, trouver an+O( r,z, (n0) 6t -a an+0 - - - (ra n+0 I 06t r a r,a n-f-0 = ) dans I, telle que: - -- - - ra n+0 I )) r r,u )) = a n j.n+0 ° + a (13) 0t O sur 1'axe Oz, conditions aux limites sur frontière extérieure connues. On calcule an+là partir de at140et anl a n+l n+0 =-a o i + 0-1 a n ('4) - 26 - 2.4 REFORMULATION FAIBLE DU PROBLEME STATIONNAIRE. La méthode des éléments finis, problème (13), utilisée pour la résolution du comporte deux démarches successives: la reformulation du probième, qui conduit d'une équation locale à une infinité d'équations intégrales dépendantes de "fonctions test" appartenant à un espace fonctionnnel, puis la projection de l'espace fonctionnel sur un nombre fini de fonctions orthogonales, constituant la base d'un espace d'interpolation. La projection des équations intégrales sur l'espace d'interpolation conduit à un nombre fini d'équations, dont les inconnues sont les coordonnées dans la base d'interpolation d'une solution approchée du problème initial. La méthode est qualifiée "des éléments finis" car l'interpolation est réalisée par un découpage du domaine de résolution en "éléments" de forme géométrique simpe ( triangles, quadrilatères ), sur lesquels les fonctions d'interpolation ont une expression analytique simple. Une littérature abondante et de qualité à été consacrée à la MEF par des numériciens et des ingénieurs. Nous n'indiquerons donc que les étapes essentielles, dans le cadre de notre application particulière, et renvoyons le lecteur désireux d'en savoir plus aux ouvrages spécia- usés ( 211 par exemple ). Avant d'exposer la reformulation du problème (13), nous allons préciser la nature des conditions aux limites, définir un espace fonctionnel, et justifier i.e changement de variable "habituel" u = ra. - 27 - 2.4.1 Les conditions aux limites admissibles. Nous admettrons qu'un problème tel que (13) n'admet une solution unique que si les conditions aux limites sur la frontière extérieure du domaine d'étude sont parmi les trois types suivants: DIRICHLET: valeur imposée sur la frontière. NEUMANN: dérivée normale imposée sur la frontière. FOURIER: relation imposée entre valeur et dérivée normale sur la frontière. Les conditions aux limites peuvent être mêlées, par exemple une partie de la frontière en DIRICHLET, le complément en NEUMANN. Ces conditions aux limites sur le potentiel vecteur, imposées à une distance finie de l'axe Oz, ne conviennent pas bien à notre problème nous reviendrons sur ce point au cours des chapitres 3 et 5. Afin de simplifier la suite de l'exposé, nous nous restreindrons aux conditions de DIRICHLET et de NEUMANN homogènes ( valeur ou dérivée normale nulle sur la frontière ). 2.4.2 Le choix d'un espace fonctionnel. Nous noterons:le domaine d'étude. ['la frontière du domaine. Ila partie de ['ou l'on impose des conditions de DIRICHLET homogènes ( axe Oz par exemple ). Ila partie de F ou l'on impose des conditions de NEUMANN homogènes ( vide éventuellement z' j Fig. 4 Le domaine d'étude. ). - 28 - On peut alors définir l'espace de SOBOLEV de la façon ) suivante: est l'ensemble des fonctions définies dans ) de carré intégrable sur 2 , !, nulles sur et dont toutes les dérivées partielles à Pordre I sont de carré intégrable sur ( ) . est un espace de fonctions suffisamment régulières pour que les calculs qui suivent aient un sens. 2.4.3 Changement de variable u = ra. Avant d'aborder la formulation faible du problème, nous effectuons un changement de variable. En effet, les problèmes axisymétriques pré- sentent, par rapport aux problèmes 2D-plans, un inconvénient qui rend leur traitement numérique délicat: les variables r et z ne jouent pas le même rôle, et si l'on n'y prend pas garde,des intégrales non définies à proximité de l'axe de révolution apparaissent. Par ailleurs, la réso- lution du système final d'équations est souvent peu précise, ]a présence de termes dépendant du rayon perturbant le "conditionnement" du système. Nous avons testé numériquement trois formulations, traitées de façon à obtenir une matrice finale symétrique, en utilisant respectivement es inconnues a/ft La formu'ation en a et ra. , " a/sfr " ne pose aucun problème d'intégration, mais des erreurs importantes apparaissent lors de la résolution, même pour des cas simples l'ordre de 1O ( écarts de 2O sur les puissances, résidus de ). La formulation en " a " conduit à des intégrales calculables sur l'axe moyennant un traitement approprié, et sa résolution est plus pré- cise que la précédente ( puissances correctes pour les problèmes li- néaires, résidus de l'ordre de 5.IO La formulation ra ). fait apparaitre des termes non intégrables - 29 - sur l'axe, en particulier avec une interpolation du premier ordre. La difficulté est levée si l'on remarque que la condition a = O sur l'axe Oz est équivalente à ra = O et ra/r = O sur l'axe. Le résidu après une résolution est généralement de l'ordre de 10_6, et si aucune dif- férence n'est détectable ( sauf éventuellement très près de l'axe ) lors de calculs linéaires entre cette formulation et la précédente, un écart de quelques % sur les puissances globales apparait lors de l'étude de problèmes non-linéaires: augmente ( le résidu des deux formulations grand nombre d'inconnues, matrice "mal conditionnée" ), mais la formulation " ra " reste plus précise. SILVESTER a propose un changement de variable intermédiaire, en "; nous ne l'avons pas retenu, car les calculs sont beaucoup plus lourds qu'en formulation " ra ", pour laquelle des simplifications font disparaitre un terme à intégrer. pour les Précisons été réalisés spécialistes que ces essais numériques ont en simple précision, avec des éléments triangulaires du premier ordre, les matrices élémentaires étant calculées analytiquement. La résolution du système matriciel a été obtenue par une factorisation de CHOLESKI et la "descente-remontée" des deux systèmes triangularisés. Le résidu est évalué après une résolution, en utilisant la norme habituelle ( somme des carrés ). Le changement de variable u = ra n'est donc pas dicté par un arbitraire souci d'élégance, mais par la recherche d'une meilleure pré- cision. Nous avouons avoir été surpris par les écarts constatés entre les trois formulations que nous avons testées; le traitement numérique des problèmes axisymétriques mériterait une étude plus approfondie, en particulier en direction des formulations conduisant à des systèmes non symétriques. - 30 - En adoptant les notations simplifiées suivantes: u = ra u0= ra n+O n .n+O .10= JO le problème (13) s'écrit, après changement de variable: Trouver u dans H( fl telle que: -1u -u---()--( U / r rr rOst = O sur On remarque que l.a U 0 = rOst z 0 ( NEUMANN homogène ). I condition DIRICHLET de devient implicite uEH(X) ). 2.4.4 FORMULATION FAIBLE DU PROBLEME (16). Soit y un élément de H( ). En "multipliant l'équation du pro- blème (16) par"v", on obtient après intégration sur i _5v[ --( - vu drdz Ot SUr r J) r,ur 5v] O drdz = 1U)] + z + drdz = rJ.z IyOtJr I vu O drdz En utilisant la "formule" de GREEN ( ou intégration par parties.) on transforme le second terme du membre de gauche de la relation (17): -L) 5v[ r r -( z J)} r 1 drd z = $r "1 J_v r vu r r u drdzz z -3 On a ainsi remplacé le terme "laplacien" de la relation (17) par un terme symétrique en u et y ne faisant apparaitre que des dérivées partielles du premier ordre, auquel s'ajoute un terme "de bord" dans lequel figure la dérivée normale de u le long de U Le terme de bord est nul, car: SurIs: y = O car vEH Sur I: = O (2:). condition de NEUMANN homogène. , Dans le cas plus général des conditions aux limites non-homogènes, leur influence est introduite par ce terme de bord, alors non nul. La formulation faible du problème (16) est donc: Trouver u dans H H1 ( 2: ), telle que, pour tout y de (2:): (18) ('u- uy drdz + r 2: Ç -( -u - v + - u -)v drdz = 1'.j0v drdz + I rz 2: 1 r r z z O 2: t 0 - u0v drdz r 2: Nous admettrons que les problèmes (16) et (18) sont équivalents. La démonstration, par utilisation du théorème de taillée dans 1231 LAX-MILGRAM, est déen supposant la perméabilité constante par morceaux. Le problème (18), pas plus que le problème initial (16), ne peut être résolu exactement; nous allons maintenant en chercher une solution approchée. 32 - 2.5 SOLUTIONS APPROCHEES DU PROBLEME STATIONNAIRE. Interpolons I ( ) une base est ( w1,W2,... par un espace W, de dimension finie N, dont ,W W est un espace d'interpolation de H si on peut "approcher avec une précision suffisante" toutes les fonctions de H linéaire des w. à l'ordre N, ( par une combinaison par exemple, interpolation par développement limité ou par décomposition de FOURIER spatiale dont on tronque le spectre ). La MEF utilise une interpolation particulière: le domaine d'étude est représenté par un assemblage d'éléments finis ek de forme géometri- que simple. Les fonctions d'interpolation seront nuli sur la totalité des éléments sauf quelques uns, sur lesquels leur expression analytique sera simple. Réalisons par exemple un découpage de X par des éléments triangulaires. Nous supposerons que la frontière de X est constituée de segments de droite, pour ne pas introduire des éléments courbes. Fig. 5 Un exempi.e de découpage. Les sommets des triangles sont les noeuds géométriques du maillage. Le noeud i est commun à plusieurs triangles e.1, e.2,..., e.6. - 33 - Si N est le nombre de noeuds du maillage, un interpolation possible consiste à choisir N fonctions w., telles que: w.= i au noeud i. w.= O aux noeuds j / i. w. est continue, et varie linéairement dans les trii angles. La fonction w. i est alors uniformément nulle en dehors des trian- gies e.1, e12,..., e.6. Dans cet exemple, nous avons réalisé une interpolation à partir d'éléments triangulaires du premier ordre. On peut utiliser des éléments de forme différente ( quadrilatères, etc... ), ou des fonctions d'interpolation d'ordre supérieur 1211, mais quel que soit le découpage choisi, il doit décrire entièrement sans "trous" ni superpositions ), et respecter les interfaces entre les milieux. Plus si w1 , généralement, ( si un espace d'interpolation W est choisi, w2,..., WN est une base de W, on obtiendra une solution appro- chée du problème (18) en résolvant le problème suivant: Trouver u dans W telle que, pour tout i variant de I à N: j-J Ost r + uw drdz rr 4 r1u u - drdz zz (19) w.drdz Oi - u w drdz OStr Oi Si nous explicitons u en fonction de ses composantes dans la base des w.: i N u =u.w. i Ji un peu de calcul permet d'écrire le problème (19) sous forme matricielle: - 34 - Trouver le vecteur U de composantes u. tel que: ( F + L ) u = s + F U0 S vecteur des sources, de composantes s.: $0w. si = drdz U0 vecteur des composantes de u0 solution approchée , au pas de temps précédent. U vecteur des composantes de la solution cherchée: u = u.w. Ji F matrice de "FOUCAULT", de termes: Ira f. . w.w. drdz = X L matrice "LAPLACIEN", de termes: r i....I-' Jru ( -i r -i w. + r z w. _1 ) drdz z X Résoudre le problème (20) revient à résoudre un système algébrique de N équations à N inconnues. Ce système est non-linéaire car les termes de la matrice L dépendent de la perméabilité, donc de la solution. On remarquera que les matrices L et F sont symétriques et creuses ( terme ij nul dès que l'une des fonctions w. ou w. est uniformément nulle ). Nous avons donc transformé un problème défini par une EUP et des conditions aux limites en un système d'équations algébriques dont la résolution par une méthode numérique fournira une solution approchée au problème initial.. - 35 - 2.6 RESOLUTION BU SYSTEME D'EQUATIONS ALGEBRIQUE5. Si des méthodes de résolution des systèmes algébriques de N équati.ons à N inconnues existent depuis fort longtemps, elles ont fait l'objet, depuis une vingtaine d'années, de multiples perfectionnements tendant à les adapter au calcul numérique par ordinateur. Nous ne citerons ici que les deux méthodes que nous avons testées. Elles sont classiques, et leur principe figure dans tous les ouvrages de base. 2.6.1 Méthode directe: factorisation de CHOLESKI. Soit MU = S le système à résoudre. On factorise M en produit d'une matrice triangulaire inférieure L et de sa transposée tL: M s LtL La résolution successive de deux systèmes triangulaires permet alors d'obtenir la solution (J: LY = S permet le calcul de Y. tLU = Y permet le calcul de U. La factorisation de CHOLESKI n'est possible que dans le cas particulier des matrices symétriques définies positives. Nous avons vu que la matrice F + L du prob].ème (20) est symétrique, on peut démontrer aisément qu'elle est définie positive; cette méthode est donc applicable à la résolution du système algébrique (20). Si I.e système est non-linéaire, ve de substitution 1211: on utilise une technique itérati- - 36 - U initial! ( en pratique, U à l'instant précédent Assemblage de l!a matrice M I Factorisation de CHOLESKI de M Résolution de MU = S rComparaison entre U initial et U calculé Istabilité ? non oui U initial! = U calculé [ J LU solution = U calculé Fig. 6 La de La méthode de substitution. méthode de NEWTON-RAPHSON 211, qui est une généralisation l.a méthode "de la tangente" utilisée pour la recherche des racines d'une équation, permet d'accélérer la méthode de substitution. - 37 - 2.6.2 Méthode itérative: GAUSS-SEIDEL. Cette méthode repose sur une résolution "ligne à ligne" du système. Notons: i l'indice de ligne, variant de I à N. b l'indice de "balayage". U le vecteur des inconnues. U1une valeur initiale arbitraire de U. V un vecteur de travaill, de N composantes y.. b= i v= i=I On calcule une nouvelle valeur y'. de y. i par résolution de l'équation correspondant à la ligne i du système, dans iaque]1e les inconnues d'indice différent de i ont été remplacées par leur valeur dans V J L on remplace y. par v dans V joui L non Fi n Fig. 7 La méthode de GAUSS-SEIDEL. H = 1LU =b+ I - 38 - Une variante classique de GAUSS-SEIDEL, la méthode SOR ( succes- sive over relaxation ) remplace, dans l'algorithme précédent: y. =úv! + (i-w) y. au lieu de y! dans V, est un coefficient de relaxation, destiné ; à accélérer la convergence. Si le système est non-linéaire, la résolution de l'équation i est effectuée par une méthode de NEWTON 1241. 2.6.3 Comparaison des deux méthodes: essais numériques. GAUSS-SEIDEL est peu gourmande en place mémoire ( le stockage de la matrice M n'est pas nécéssaire ), mais elle ne fournit pas direc- la solution d'un système linéaire. tement CHOLESKI est certainement défavorisée lors de l'étude de problèmes non-linéaires, car le système est traité globalement par une méthode "lourde", méthode SOR, alors que dans la seu'es les équations relatives à un milieu non-linéaire sont résolues par la méthode de NEWTON. Le choix a numériques essais priori est donc délicat, afin de comparer les et nous avons réalisé des précisions et les temps de cal cui. Nous avons commencé notre étude par le cas "linéaire statique" ( premier pas de temps d'un probilème linéaire dynamique ), ce qui nous a permis de remarquer: La précision des deux méthodes est comparable, à condition bien sûr de fixer le test d'arrêt de la méthode SOR à une valeur adéquate ( si E= io , les résultats sont "identiques"; voilà qui est rassurant...). La méthode SOR est plusieurs fois plus longue que la méthode directe. Le nombre de balayages de SOR dépend fortement du coefficient de relaxation w : une variation de quelques % de w entrame par- fois une augmentation de 30% à 50% du nombre de balayages. La valeur optimale du coefficient de relaxation dépend d'un grand nombre de paramètres: perméabilité et résistivité de la charge, nombre d'inconnues du système. - 39 - Ces observations ont été confirmées lors de l'étude de quelques cas dynamiques linéaires sur un période. Nous avons constaté en parti- culier que la sensibilité du temps de calcul par SOR au coefficient de relaxation n'est pas spécifique au premier pas de temps, plus "brutal" que les suivants. A ce stade de nos essais, nous avons décidé de choisir la méthode directe par factorisation de CHOLESKI: au risque ( comportement capri- cieux de la méthode SOR, potentiellement plus rapide féré la sécurité ( ) nous avons pré- CHOLESKI est moins adaptée aux problèmes non-liné- aires, mais nous conduira au résultat ). A posteriori, l'expérience que nous avons acquise sur le comporte- ment des systèmes non-linéaires nous a montré la faiblesse de cette argumentation. En effet, il est bien clair que SOR ne présente aucun interêt pour l'étude des systèmes dynamiques linéaires en pas à pas la factorisation de CHOLESKI étant réalisée uniquement au premier pas de temps ). Mais les comportements transitoires d'un matériau linéaire et d'un matériau saturé sont très différents, car la saturation écrète les valeurs de l'induction et assagit le régime transitoire. Il était donc maladroit de juger la méthode SOR sur des essais numériques en linéaire, car le coefficient optimal de relaxation aurait peutêtre été moins dispersé, d'un cas fortement saturé à l'autre. Pour notre défense, nous ajouterons que la méthode directe nous a fourni des résultats satisfaisants, et que la vectorisation de la factorisation de CHOLESKI impossible pour SOR ) associée à une réduc( tion de la taille de la matrice à factoriser à chaque itération nonlinéaire ( Cf chapitre 3 a permis de diminuer notablement les temps ) de calcul - 40 - 2.7 CONCLUSION. Nos choix ont été guidés par la volonté sousjacente de réaliser un logiciel utilisant des méthodes numériques aussi simples que possible afin de minimiser les délais de programmation et de mise au point. C'est pourquoi nous avons délibérément écarté des méthodes numériques plus élaborées: éléments finis en espace et en temps, ou méthode de "rigidité extérieure" 1231, par exemple. En contrepartie, un travail expérimental important permettra de justifier en détail les hypothèses fondamentales de la modélisation. Si la validation est jugée satisfaisante, alors il sera possible de revenir à l'approche numérique, en s'appuyant cette fois sur des références plus solides. CHAPITRE 3 DESCRIPTION DU LOGICIEL REALISE avoir Après plémentaires, justifié quelques hypothèses simplificatrices nous préciserons dans sup- ce chapitre comment les méthodes numériques choisies ont été mises en oeuvre dans le logiciel interactif CARMEN. Au passage, nous insisterons plus particulièrement sur les points suivants: Informatique et programmation ( Cf annexe 2 ). Conditions aux limites sur les frontières extérieures. Choix des éléments triangulaires du premier ordre. Modélisation des propriétés magnétiques des aciers ( Cf annexe 3 Calcul de la perméabilité dans un éIément:= ( H ). Réduction des temps de calcul: vectorisation et diminution de la taille du système non-linéaire. Calcul des puissances active et réactive locales instantanées. ). - 42 - 3.1 INTRODUCTION: DU PROGRAMME AXSYM AU LOGICIEL CARMEN. Au cours des années qui suivirent la mise au point d'un program- me 2D-plan pas à pas dans le temps 1171, une version axisymétrique, baptisée AXSYM, fut réalisée par FOGGIA à l'Ecole Centrale de Lyon 12!. Les résultats fournis par AXSYM furent comparés à des relevés expérimentaux, et jugés satisfaisants. Quelques essais numériques, dans le cas de matériaux non-linéaires, avaient encouragé à persévérer. Modifier AXSYM afin de le rendre conversationnel fut notre premier travail, grâce auquel nous avons rapidement pu effectuer des essais numériques et la mise au point de préprocesseurs et postprocesseurs. Mais, de modification en extension, AXSYM finit par devenir illisible et incohérent: on ne peut pas transformer un programme de calcul destiné à la recherche universitaire, en logiciel interactif à vocation industrielle. Les trois derniers mois de notre travail furent donc consacrés à la réécriture complète d'AXSYM, devenu CARMEN à l'occasion. Moyennant l'utilisation d'une méthode annexe 2 plus rationnelle de programmation ( Cf ), CARMEN devint à l.a fois plus général dans ses applications, d'une écriture plus compacte et plus lisible, et surtout plus facile à utiliser que son prédécesseur. Nous préciserons au cours de la description du logiciel CARMEN, comment les méthodes numériques choisies ont été appliquées: géométrie, éléments finis et maillage, paramètres numériques du calcul, puissances active et réactive, et post-processeurs. - 43 - LE SCHEMA DU LOGICIEL. 3.2 CARMEN est un assemblage de huit programmes, contrôlés par un superviseur: Trois pre-processeurs: Saisie des données physiques du problème. Saisie des limites d'étude et maillage du domaine. Saisie des paramètres numériques du calcul. Un processeur de calcul: Résolution numérique du problème ( plan ou axi- symétrique, linéaire ou saturé ), et calcul des puissances active et réactive moyennes. Trois post-processeurs: Tracé des lignes de champ de l'induction, à un pas de temps quelconque de la dernière période de calcul. Tracé des courbes iso-densité de puissance moyenne dissipée au cours de la dernière période de calcul. Tracé des évolutions en fonction du temps de grandeurs et locales ( induction, densité de courant calcul des valeurs moyenne et efficace de ), ces grandeurs au cours de la dernière période. Un utilitaire: Edition sur imprimante de à une étape quelconque de ques, maillage, 'l'état" d'un problème son étude: données physi- paramètres numériques, résultats globaux du calcul. Les informations relatives au problème étudié tats ) ( données, résul- sont stockées dans un fichier spécifique. Ce fichier assure la circulation de l'information entre les divers programmes du logiciel, - 44 - sa structure et son contenu ont été étudiés afin de minimiser les redondances ( cohérence des données ), et de réduire la quantité d'informa- tion figurant explicitement ou implicitement dans le "code" des programmes ( extensions et modifications facilitées ). 3.3 HYPOTHESE FONDAMENTALE: TRACE DES MILIEUX RECTANGULAIRE DANS LE PLAN D'ElUDE. La modélisation du chauffage par induction en vue d'une résolution numérique a déjà entramé une succession d'hypothèses simplificatrices exposées au premier chapitre. Lors de la réalisation du logiciel, nous avons effectué des simplifications supplémentaires: courant inducteur sinusoidal, propriétés physiques uniformes dans chaque milieu, courbes de saturation approchées, géométries simplifiées ( trace des matériaux dans Je plan d'ét- ude constituée par un assemblage de rectangles dont les côtés sont parallèles aux axes ). Si les utilisateurs le souhaitent, nous pourrons étendre les pos- sibilités du logiciel, sans que cela entrame des modifications importantes: ondes de courant source quelconques, courbes de saturation définies point par point, répartition continue des propriétés physiques simulant une "carte" des températures. Seule l'hypothèse relative à Ja géométrie des milieux est fonda- mentale, car les simplifications qu'elle autorise, aussi bien dans le dialogue ( saisie de la géométrie différences finies ) et du calcul. ), ( que lors du maillage ( grille de numérotation des inconnues, kage de la matrice, calcul analytique des matrices élémentaires stoc), ont été exploitées au maximum lors de la programmation du logiciel. La validation des résultats du logiciel ( Cf chapitre 5 ) mon- trera que les hypothèses "secondaires" sont assez bien justifiées. Par ailleurs, l'utilisation fréquente du programme AXSYM, puis du logiciel CARMEN, par les ingénieurs de l'équipe "induction" de EdF nous a conf irmé que, malgré la restriction sur la géométrie, le domaine d'appli- cation du logiciel était bien adapté au chauffage par induction. - 45 - 3.4 SAISIE DES DONNEES PHYSIQUES DU PROBLEME. Chaque matériau est décrit par un assemblage de milieux" de géométrie rectangulaire et dont les propriétés physiques sont uniformes. La modélisation choisie suggère la classification des milieux en trois types: inducteur, culasse et charge. La géométrie est définie, valeurs (rayons intérieur et indépendamment du type, extérieur, par quatre abscisses gauche et droite) dans un repère dont l'origine en z est choisie par l'utilisateur. r O z Fig. 8 Géométrie. La nature des propriétés physiques dépend du type du mileu: 3.4.1 Milieux "inducteur": Un inducteur est assimilé à une nappe de courant uniforme; l'évo- lution de la densité de courant est supposée sinusoidale, et calculée à partir des informations suivantes: intensité efficace. nombre de spires. fréquence. phase initiale. - 46 - La saisie de la phase initiale des courants inducteurs permet d'agir sur le régime transitoire ( ), Cf chapitre 5 et de simuler des inducteurs polyphasés. Selon la géométrie de l'inducteur réel, bien par une nappe unique ( on le représentera ou cas le plus fréquent ), ou bien en tenant compte de sa discrétisation en spires ( autant de milieux "inducteur" que de spires ). 3.4.2 Milieux "culasse": Conformément aux hypothèses de la modélisation, la seule propriété physique d'une culasse est sa perméabilité relative. 3.4.3 Milieux "charge": Quelles que soient ses propriétés magnétiques, sa résistivité est supposée uniforme. il faut fournir Si l'on désire simuler un matériau saturable, sa courbe d'aimantation. Ne pouvant disposer rapidement de relevés expérimentaux, nous nous sommes inspirés des travaux de BRISSONNEAU sur les propriétés magnétiques de l'acier XC 38 1261. Nous en avons déduit une courbe simplifiée M ( H ), dépendant de trois paramètres: M sat aimantation à saturation. B induction rémanente. H champ coercitif. La courbe M (H) choisie est linéaire si le champ est inférieur en modul.e au champ coercitif, et évolue en ( Hc/H )02 L'induction B est calculée à partir de M et H: B = M + au delà. M M sat Br H Hc Fig. 9 Courbe d'aimantation simplifiée. Des informations complémentaires sur les propriétés magnétiques des aciers de construction courante ( l'essentiel des matériaux concernés par le réchauffage avant formage ) sont fournies en annexe 3. 3.5 CHOIX DU DOMAINE D'ETUDE, ET MAILLAGE. Telle que nous l'avons présentée, la méthode des éléments finis n'est utilisable que si le domaine d'étude est borné. La condition aux limites naturell.e sur le potentiel vecteur est sa nullité à l'infini, que nous remplaçons par des conditions sur une frontière extérieure arbitraire. frontière inducteur extérieure charge Fig. IO Frontière extérieure du domaine. La pratique confirme que les résultats du calcul dépendent de l'emplacement de la frontière extérieure, et des conditions aux limites imposées sur cette frontière. Cependant, un "bon choix" de la frontière et des conditions aux limites minimise l'erreur, impossible élevé ) ( et, si ce choix est une frontière éloignée entrainant un nombre d'i.nconnues un encadrement du résultat peut être obtenu ( Cf chapitre 5). - 48 - Le découpage du domaine d'étude en éléments triangulaires du premier ordre est réalisé automatiquement, le maillage ayant l'allure d'une grille de différences finies: culasse inducteur I charge Un problème simple. Fig. 11 i ' I FT1J I ¡ illitlilli i 1 I I I I IuIhlwuI I I I I I i i i i j ' I 11111111111 I i i i r t itrniiiimniiiii ILJ .......I I I I I I i iH11111HI+ Hii:j I.. s. s.-- s. a a a s. a ..a S -- L s.s.- - L.._ i__ iii" I uiL i- t I = lull liii. I tU 'im I -- ¡1. lu. I I 1! I I ¡ I -i I f Fig. 12 Le maillage. - 49 - Chaque rectangle est divisé en deux triangles rectangles. Ce mail- age n'est pas optimal, car le nombre des inconnues dans l'air est souvent inutilement grand. Mais sa mise en oeuvre est rapide, et sa stucture simplifie le processeur de calcul: numérotation des inconnues et stockage de la matrice évidents, calcul analytique des matrices élémentaires ( f. 'J et 1. .sur un élément ) possible. 1J L'utilisateur agit sur la finesse du maillage par trois paramètres: plus petite hauteur des triangles. plus grande hauteur des triangles. rapport maximal toléré entre hauteurs de deux triangles voisins. Le maillage est dense à proximité des interfaces, à la périphérie de la charge en particulier ( Cf chapitre 5 ). La version actuelle de CARMEN limite le nombre des inconnues à 2000 environ, valeur suffisante pour la grande majorité des cas traités. 3.6 SAISIE DES PARAMETRES NUMERIQUES. Nous distinguons quatre "ciasses" de paramètres numériques, selon leur rôle: discrétisation temporelle, conditions aux limites, tests d'arrêt, réduction de la taille du domaine non-linéaire. 3.6.! Discrétisation temporelle. Nombre de pas de temps par période ( 20 à 60 ). Nombre de périodes de calcul ( 1,5 à 5 ). 3.6.2 Conditions aux limites. Le domaine d'étude est rectangulaire, côté par côté, entre: DIRICHLET homogène NEUMANN homogène ( ( rA = O ). O ). et le choix est proposé, - 50 - Dans le cas d'une frontière extérieure: DIRICHLET homogène annule le flux au delà de la frontière. NEUMANN homogène impose aux lignes de champ de l'induction l'orthogonalité à la frontière: le flux est "refermé" à l'exté- rieur du domaine, dans une culasse fictive. Dans le cas d'une frontière "intérieure", ces conditions aux limi- tes permettent de tenir compte des symétries éventuelles d'un problème. DIRICHLET homogène: identité avec inversion de signe de part et d'autre de la frontière. NEUMANN homogène: identité de part et d'autre de la frontière. + + DIRICHLET L' L__J - <=> + .1 Fig. 13 I Symétries et conditions aux limites. I NEUMANN - 51 - 3.6.3 Relaxation et test d'arrêt de la méthode de substitution. La résollution de problèmes non-linéaires par une méthode directe ( CHOLESKI bilités ( exige son insertion dans unschéma itératif sur les perméa- ) Cf chapitre 2 ). Dans la littérature, les auteurs proposent le calcul de la perméabilité, à chaque itération, en fonction de la valeur locale de l'induction: (B). Ce schéma est très instable, et la convergence n'est = atteinte que moyennant une forte sous-relaxation des perméabilités d'une itération à l'autre (w varie de 0.3 à 0.08 ). Nous avons préféré le calcul de la perméabilité en fonction du champ magnétique: u= ,u(H). Cette approche est logique, car l'inducteur a plutôt tendance à imposer un champ magnétique qu'une induction, l'expérience numérique prouve que le schéma ,u(H) et est à la fois plus stable ( sous-relaxation inutile ), et plus rapide ( réduction générale- ment constatée de Lors de lia 30 du nombre moyen d'itérations que le schéma ) préparation d'un calcul non-linéaire, l'utilisateur choisit: lie test d'arrêt sur les perméabilités ( norme "sup", de 0.1 à 0.01 ). le coefficient de relaxation ( entre 0.9 et i ). 3.6.4 Réduction du domaine non-linéaire. Afin de réduire les temps de calculi, nous avons introduit une variante diminuant la taille de la matrice à factoriser à chaque itération. Le parties: domaine d'étude initial un sous-domaine est automatiquement divisé en deux contenant tous les milieux ( domaine non- linéaire ), et son compliément ( air uniquement, domaine linéaire ). - 52 - Ces deux problèmes sont résolus séparément, et couplés par les valeurs du potentiel vecteur et de sa dérivée normale le long de la frontière interface des deux sous-domaines. - Domaine linéaire interface Domaine non-linéaire j Fig. 14 Séparation en deux sous-domaines. Les inconnues des deux problèmes sont numérotées indépendamment ( mais le maiflage est "continu" d'un sous-domaine à l'autre ). Les noeuds de l'interface sont supposés connus pour la résolution du problème linéaire pour celle du ( condition de DIRICHLET non-homogène problème non-linéaire ( condition de ), et inconnus NEUMANN non- homogène ). La matrice du problème linéaire est assemblée et factorisée une fois seulement au premier pas de temps calculé. En cours de calcul, pour chaque pas de temps, la résolution du système complet est réalisée par une boucle itérative comportant six étapes, les va'eurs initiales étant les valeurs calculées au pas de temps précédent. L'organigramme suivant schématise le processus de couplage: Résolution du système linéaires les conditions dc DIRICHLET non-homogènes sont déterminées à partii' des ( a ) résultats dc l'étape (d) dc l'itération précedente. T La dérivée normale du potentiel est ca I cul ée dans chaque élément du dona i ne li néa i re i e i ong de i 'i titer- ( b ) face. La ma t ri ce du dona i ne non- li néa i re est assemblée et factorisée, en u A t i li sant les perméah i li tés ca leu- (c lécs à l'étape (e) de l'itération précédente. Réso I ut.i on du système non- li néa i re, avec les conditions de NEUMANN non- (d homogènes calculées à l'étape (b). Calcul des nouvel les valeurs des perméabilités, en fonct ion du champ (e) H dans chaque é I ément. Double test d'arrêt: compara i son entre les va I curs du potentiel imposées en (a) et cal- ( f ) culées en (d). stabilité des perméabilités. itération suivante pas de temps suivant - 54 - Comment se comporte ce couplage ? Sa stabilité est bonne avec des conditions aux limites de NEUMANN homogène sur la frontière extérieure, mais exige une sousrelaxation des couplages à l'interface ( 0.7 à 0.8 ). Si le test d'arrêt est bien choisi potentiel à l'interface près ), ( 5%, norme "sup" sur le les résultats sont identiques à ceux fournis par un calcul "global" ( ( à 1% pas de réduction du domaine non-linéaire ) Le gain en temps de calcul dépend de la taille relative du domaine linéaire, mais peut atteindre 30% Nous avons essayé deux emplacements différents de l'interface: Domaine non-linéaire confondu avec les limites du milieu effectivement saturable ( la charge ): le système est instable, car trop sensible aux conditions aux limites sur l'interface. Domaine non-linéaire constitué de la charge et d'une "épaisseur" d'air: le système est stable, mais peu précis ( conditions de NEUMANN non-homogènes avec des éiéments du premier ordre ). En conclusion, nous précisons que ce découpage en deux problèmes couplés par leur interface n'est pas une solution optimale pour réduire les temps de caicul; c'est la simplicité de sa mise en oeuvre qui la justifie. Cependant, elle ouvre la voie vers l'adaptation au logiciel d'une méthode de résolution spécifique à Péquation de LAPLACE ( méthode inté- grale de frontière, 231 ). ou technique de "rigidité extérieure" simplifiée - 3.7 55 - LE CALCUL. Précisons quelques points sur le calcul lui-même: Eléments finis triangulaires du premier ordre, dans lesquels la perméabilité est supposée uniforme ( erreur en 4! r Matrices élémentaires ( L. et par élément, Cf chapitre 2 ) calculées analytiquement. Adaptation de la factorisation de CHOLESKI et de la "descenteremontée" du système au VIS ( Vector Instruction Set ) disponible sur le calculateur HP 1000-F gain estimé en temps de calcul: ( de 20 à 30 ). Temps de calcul variant entre quelques minutes et quelques heures sur mini-ordinateur HP 1000-F, selon la complexité du pro- blème. La "double précision" est indispensable. Avant d'aborder le calcul des puissances, revenons sur le choix des éléments finis. Ii est clair que des éléments triangulaires du second ordre fourniraient, à maillage identique, une interpolation plus précise, ou une approximation comparable avec un nombre d'éléments réduit. la perméabilité, sensiblement constante dans De plus, un élément du premier or- dre, varie dans un élément du second ordre, entrainant une modélisation plus fine de la saturation dans l'épaisseur de peau de la charge. Nous avons réalisé une version expérimentale du logiciel, en remplaçant: "élément d'ordre I - constant - intégration analytique" par: "élément d'ordre 2 - variable - intégration numérique ( GAUSS 5 pts.)" toutes choseségales par ailleurs. - 56 - si l'assemblage de L'examen des temps de calcul a montré que, la matrice est quasi-instantané avec les triangles d'ordre I secondes ), ( quelques sa part dans le temps total de calcul n'est plus du tout négligeable avec les triangles d'ordre 2 ( quelques minutes ). A ce stade, les deux alternatives étaient les suivantes: réécrire complètement le logiciel, en donnant la priorité à la réduction du nom- bre d'éléments ( nouveau maifleur automatique, choix d'un algorithme de numérotation des inconnues, choix d'une méthode de stockage de la matrice ), ou conserver les éléments du premier ordre. La seconde option a été choisie; nous connaissons quelques algorithmes de numérotation et de stockage assez simples, mais la réalisation d'un maflieur automatique, optimisant le nombre des éléments tout en découpant finement la profondeur de peau de la charge, nous a semblé incompatible avec les objectifs et les délais de ce travail. Nous avons donc admis que, dans le cadre du logiciel CARMEN, le choix des éléments finis triangulaires du premier ordre était justifié. 3.8 LES PUISSANCES. Les puissances active et réactive sont calculées élément par élément, à chaque pas de temps de la dernière période du calcul: puissance active instantanée: puissance réactive instantanée pJ2 ( effet JOULE ). 291: wIBIIHI pulsation ). ( La moyenne des valeurs instantanées fournit les valeurs globales, miJieu par milieu. Nous avons préféré une évaluation locale et instantanée des puissances, malgré la difficulté rencontrée pour définir une puissance réac- tive instantanée en régime périodique quelconque, à une méthode basée sur PutiJisation du vecteur de POYNTING complexe sinusoidaux; devrons intégration sur un contour, comp1 éter ce calcul "1 ocal" ( régimes supposés moins précise ). 4ais nous par un calcul "sur un contour", dans un post-processeur futur, pour Pétude de la répartition des puissances entre les inducteurs d'un système polyphasé. - 57 - 3.9 LES POST-PROCESSEURS. Le dessin des lignes de champ de l'induction, à un instant donné, fournit des indications physiques flux, par exemple ), ou numériques influence d'une culasse sur le ( ( effets des conditions aux limites choisies ). Fig. 15 Lignes de champ de l'induction. L'homogénéité du chauffage est visuallisée par le tracé des lignes iso-densité de puissance: -----------J Fig. 16 Lignes iso-densité de puissance. L'accès aux grandeurs locales est parfois intéressant: - 58 - ISIS -4 Potentiel vecteur IM! Induct ion ., 7 Courant induit 'I Il Fig. 17 Un exemple d'évolutions en fonction du temps à J'intérieur d'une charge magnétique. - 59 - 3.10 CONCLUSION. La voie menant du choix des méthodes numériques à la création d'un logiciel destiné à l'industrie est semée d'embûches: la variété des problèmes à résoudre, et leur imbrication souvent implicite, constitue un travail dont l'ampleur est parfois sous-estimée. CARMEN qu'elle est concrétise optimale; son efficacité. notre approche, et nous ne prétendons pas la validation du logiciel confirmera cependant CHAPITRE 4 LES RESULTATS EXPERIMENTAUX L'absence de références adaptées à la validation du logiciel CARMEN a entramé la réalisation d'une campagne d'essais. Nous présentons dans ce chapitre les conditions expérimentales, une évaluation de la précision des mesures, et les principaux résultats obtenus. - 61 - 4.1 INTRODUCTION. validation d'un nouveau logiciel est généralement réalisée La par comparaison avec des résultats analytiques, des logiciels "de référence', et des relevés expérimentaux. Les méthodes analytiques de résolution des équations de MAXWELL ne sont applicables qu'aux problèmes linéaires unidimensionnels et les logiciels bidimensionnels dont nous disposions exemple ) il FLUX-2D par ( ne tenaient pas compte de la variation locale et instantanée des perméabilités. Le logiciel CARMEN est destiné à la résolution des problèmes magnétodynamiques non-linéaires, pour lesquels la seule référence possible est donc expérimentale. La compilation des comptes rendus d'essais antérieurs nous a montré qu'ils n'étaient pas utilisables pour notre validation: paramètres omis, conditions expérimentales incomplètes. C'est pourquoi nous avons réalisé une campagne d'essais, au cours de laquelle une grande importance a été accordée au choix des matériaux et aux moyens de mesure. 4.2 UNE CHAUFFEUSE SIMPLE: BILAN DES PUISSANCES. Considérons une chauffeuse par induction, constituée par: une alimentation, source de courant ( ou de tension ) périodique. un inducteur solénoïde. une charge cylindrique. inducteur billette Fig 18 Une chauffeuse simple. - 62 - L'accès aux grandeurs locales ( courants induits induction, est difficile sans perturber le système, mais certaines grandeurs globa- les sont mesurables assez aisément: V : ef f I : ef f tension efficace d'alimentation. intensité efficace du courant d'alimentation. Pact: puissance active fournie par l'alimentation. Si les ondes de courant et de tension d'alimentation sont sinusoidales, Te calcul du facteur de puissance permet alors d'évaluer la puissance réactive fournie au système inducteur-charge. Iflustrons le bilan des puissances par un schéma équivalent: -iflflr I R R. i V Fig. 19 V ch X tot Schéma équivalent d'une chauffeuse. R. est la résistance d'inducteur, représentant la puissance perdue par effet JOULE dans l'inducteur. Rchest Ta résistance de charge, représentant Ta pui.ssance active transmise à la charge. Xreprésente la réactance totale du système. Si on suppose que la répartition de Ta densité de courant dans les spires de l'inducteur, à fréquence donnée, ne dépend pas de la charge, alors on peut déduire la résistance R. active effectuées à vide. des mesures de puissance Lorsque l'inducteur est chargé, Te calcul de la puissance active transmise à Ta charge ( Rch ) est réalisé à par- tir de Ta mesure de la puissance active totale, à laquelle on retranche le terme R.I2ff correspondant aux pertes dans l'inducteur. 4.3. BUT DES ESSAIS. La puissance réactive fournie au système inducteur-charge et la puissance active cédée à la pièce chauffée sont les deux grandeurs importantes qui sont à la fois calculées par le logiciel et accessibles expérimentalement. La validation de CARMEN reposera donc sur des mesures de puissances globales. 4.4 GENERATEURS, INDUCTEURS ET CHARGES. La d'EdF campagne d'essais a été effectuée au laboratoire induction site des Renardières ), où nous avons trouvé un matériel par- ( faitement adapté à nos besoins, et une grande expérience de la métrologie du chauffage par induction. 4.4.1 Générateurs. Désirant travailler sur des charges à diamètre réduit, l'alimenta- tion à la fréquence du réseau n'était pas adaptée à nos essais. Parmi les générateurs disponibles au laboratoire, nous avons choisi le MHM.40, onduleur hybride série parallèle ( schéma annexe 4 ), car il fournit un courant sinusoIdal à fréquence imposée ( 4000 Hz ). Des essais complémentaires ont été plus puissant ( réalisés sur un générateur ACEC ), mais nécessitant l'ajustement de la fréquence, au moyen des condensateurs de compensation, à chaque point de mesure. 4.4.2 Inducteurs. Deux inducteurs ont été construits: Inducteur 1: diamètre intérieur 120 mm, hauteur 140 mm, 8 spires Inducteur 2: diamètre intérieur 45.5mm, hauteur 495 mm,7ospires. Les spires des inducteurs sont refroidies par une circulation forcée d'eau. Volontairement, ces deux inducteurs ont des proportions très différentes: le rapport hauteur/diamètre est sensiblement égal à l'unité pour le premier "long" ( inducteur "court" ), à 10 pour le second ( inducteur ) Fig. 20 Fig. 21 Inducteur 2 en cours d'essai. Inducteur 1 et sa "charge à eau". - 65 - A l'intérieur de ces deux inducteurs, est placée une "charge à eau", enveloppe étanche en matière plastique, dans laquelle la charge métallique est disposée, centrée et refroidie ( Fig. 22 La circula- ). tion d'eau autour de la charge métallique assure son maintien à basse température, et permet de faire des mesures en régime permanent thermique tout en fournissant une puissance élevée. inducteur 4W Fig. 22 charge à eau eau La "charge à eau". 4.4.3 Charges. Nous avons choisi de faire réaliser les charges en deux matériaux: Z2 CN 18/io XC 38 Fig. 23 Quelques charges. acier inoxydable amagnétique. acier magnétique courant. no 0 ext mm Ø. mt mm hauteur mm 40 30 50 2 40 30 100 3 40 30 200 16 0 549 ( inducteur 2 t- Fig. 24 4.5 Charges en acier magnétique. DISPOSITIFS DE MESURE, PRECISION. Afir de minimiser les risques d'une erreur grossière, nous avons utilisé deux dispositifs de mesure des puissances actives: mesure électrique et mesure thermique. 4.5.1 Mesures thermiques. La charge et l'inducteur sont refroidis par eau au moyen de deux circuits indépendants. La chaleur perdue par rayonnement est négligeable, car les températures sont peu élevées; les pertes par convection naturelle à l'exté- rieur des spires de l'inducteur sont également négligeabiles devant la quantité de chaleur évacuée par convection forcée dans l'eau de refroidissement. On peut donc raisonnablement supposer que la puissance active respectivement fournie à Pinducteur et à la charge par effet JOULE est intégralement évacuée par l'eau de refroidissement, en régime permanent. Chacune de ces puissances est mesurée grâce à deux thermocouples montés en opposition ( indiquant l'élévation de température de l'eau de refroidissement ), et à un débimètre à flotteur inséré dans le circuit d'alimentation. L'indication des thermocouples est mesurée par un microvoltmètre numérique, et visualisée par un millivolltmètre enregistreur. - 67 - Une étude détaillée de la précision des mesures bascule, thermomètres à mercure... de l'ordre de 5% au mieux, mais ) ( chronomètre, a révélé des erreurs relatives 10% aux faibles débits ( inférieurs à loo i/h ), dues au débimètre. Nous n'avons donc conservé le dispositif thermique de mesure qu'à titre de confirmation des mesures électriques, et pour vérifier l'obtention du régime permanent. 4.5.2 Mesures électriques. La mesure de la fréquence est aisée ( fréquencemètre digital ), mais le faible facteur de puissance habituel en chauffage par induction rend la mesure de la puissance active, fournie au système inducteurcharge, plus difficile. Nous avons utilisé pour cela un muitimètre "NORMA", qui, à partir de deux tensions U1 et U périodiques, calcule les valeurs efficaces "vraies" de U1 et U, et la valeur moyenne du produit U1U2: ' U-FUNCTIONMETER Nouvel appareil, permettant l'analyse de signaux périodiques et apériodiques indépendamment du facteur de forme. Le nouveau procédé Stochastique et Ergodique de Mesure rend possible le traitement de signaux ayant un facteur de forme élevé, dans une gamme de fréquence étendue, avec une très grande précision. Les deux voies assurent par mesure corrélative, la suppression de signaux parasites Caractéristiques mesurables: Valeur efficace vraie (valeur efl. croisée) Valeur moyenne quadratique de tension (produit de tensions, puissance) Valeur crête (positive et negative) Valeur redressée (valeur moyenne) ueicrme.mt Calibres: I mV .300V lo... lo V par bonds de lo dB Gamme de fréquence : lo Hz ... 2MHz. Résistance d'entrée: ) ç, i Mu /130 pF pour tous les calibres. Facteur de forme: 14 max. pour déviation pleine échelle. Précision: ± 1% de la valeur pleine échelle de 15 Hz à 1 MHZ ± 2% de la valeur pleine échelle pour 10 á 15Hz et 1 MHz è 2 MHz. Sortie: Appareil indicateur et sortie analogique pour enregistreur. Alimentation: 100/110/125/200/250V AC (commutable) 45... 65Hz Le 0-Fonctionmeter sert à la mesure des valeurs caractéristiques de grandeurs alternatives mesures de puissance dans les circuits commandés par thyristors, analyses de signaux biologiques et de données, mesure des facteurs de forme et de crête, etc. ._ Fig. 25 Les caractéristiques du NORMA. Sur I.e générateur MHM, l'inducteur est isolé galvaniquement: l'une des voies du NORMA est directement reliée et mesure la tension d'alimentation. aux bornes de l'inducteur, Pour obtenir une tension image - 68 - de l'intensité circulant dans l'inducteur, nous avons employé un transformateur de courant débitant dans un shunt coaxial. Les spécifications du NORMA indiquent une précision de la valeur pleine échefle; 1% de par ailleurs, une étude très soignée des transformateurs de courant et des shunts utilisés au laboratoire, effectuée en 1981, a permis d'évaluer la classe de ces appareils 1301: transformateur de courant: classe 1. shunt coaxial: classe 0,5. Les erreurs de mesure peuvent être évaluées à chaque essai, et les ordres de grandeur des erreurs relatives sont de: 1% à 2% pour Vff. 3% à 5% pour "act' 3% à 5% pour 'eff' La détermination de l'incertitude sur la puissance fournie à la charge, et sur la puissance réactive globale, est plus difficile car ces puissances sont obtenues par des calculs se référant aux résultats d'autres les mesures résistance d'inducteur par exemple ( incertitudes augmentent peu, entre-elles ( ). Néanmoins, car certaines grandeurs sont liées intensité efficace et puissance active par exemple et que les pertes dans la puissance totale ( l'inducteur ), sont généralement faibles devant cas des charges magnétiques en particulier ). C'est pourquoi nous estimons l'erreur relative sur les grandeurs finales à 5% environ. 4.5.3 Mesure des propriétés physiques des matériaux. Nous disposons des mesures de résistivité de l'acier XC 38 effectuées par BRISSONNEAU: - 69 - 1 40 130 1 20 110 î 100 ci90 80 c ci, '- 70 6O fl50 F- (f) w ci:: 30 20 I ¡ 200 O 400 f t 600 I .1 I 800 10(X) TEMPERATURE (en °C ) Fig. 26 Résistivité de l'acier XC 38. A titre de contrôle, nous avons mesuré la resisti.vité à 20°C des charges magnétiques: Charges I Charge 4: à 3: 23.108Q.m 13,7.108Q.m à 3% près ( mesure de la section Nous avions un doute sur la nature de 1a charge 4 ( XC 38 ou A 37 ? ), confirmé par la mesure des résistivités. Ne disposant pas de matéri& adapté à la mesure des propriétés magnétiques des aciers, fournies dans nous n'avons pas pu vérifier si les valeurs a littérature, et par BRISSONNEAU en particulier, corres- pondaient à nos échantiflons. - 4.6 70 - RESULTATS. Au total, plus de 120 mesures ont été réalisées annexe 4 ( ). A partir des résultats obtenus avec les charges magnétiques, nous avons tracé les courbes de résistance de charge en fonction de J.)intensité efficace, qui illustrent le comportement des matériaux magnétiques en chauffage par induction ( Fig. 27 à 30 ): R m12 ch - 6 H s I 43 2 o 500 Fig. 27 R mO 1000 1500 A 'eff Charge 1. çh Is Io I i I 5 I eff o 250 Fig. 28 500 Charge 2. 750 1000 A - 71 R mQ ch 30 20 Io I O 200 400 Fig. 29 R 600 ef f 800 A Charge 3. ch 600 400 i i si 200 Teff o 200 100 Fig. 30 300 400 A Charge 4. En comparant les allures de ces quatre courbes, on remarque que l'augmentation de Ja résistance de charge lorsque l'intensité décroit est d'autant plus grande que la pièce chauffée est longue. En effet, lorsque le champ magnétique diminue, la charge augmente, perceptibles et la perméabilité à la surface de les effets du champ démagnétisant deviennent si la pièce est "courte dans le sens du champ", la déma- gnétisation est telle que l.a puissance transmise est fortement réduite ( le champ d'excitation ne pénètre plus ). - 72 - REMARQUE: REFROIDISSEMENT ET GRADIENT DE TEMPERATURE. 4.7 L'apparition d'un gradient de température à l'intérieur de la charge au cours du chauffage est inévitable. Pour nous rapprocher des hypothèses de la modélisation priétés physiques homogènes ), ( pro- nous avons cherché à minimiser ce gra- dient thermique, en particulier dans le cas des matériaux magnétiques. A cet effet, les charges ont été refroidies énergiquement, si possible sur deux faces ( tubes ). Deux ou trois essais à forte puissance mis à part, aucun signe d'ébullition de l'eau de refroidissement n'a été constaté. Nous avons également vérifié que la puissance mesurée, à intensité fixée, ne variait pas de façon significative en fonction du débit d'eau de refroidissement, tant que des preuves évidentes d'ébullition n'apparaissaient pas ( au delà, la puissance évolue certainement; nous n'avons pas es- sayé... ). 4.8 CONCLUSION. L'ensemble des précautions prises au cours de nos expériences et les recoupements des mesures electriques et thermiques garantissent une précision correcte sur les puissances globales, mesurées dans des conditions assez bien définies. Nos résultats constituent donc une référence convenable pour la validation du logiciel CARMEN, mais nous reconnaissons cependant que le recours à la bibliographie pour l'évaluation des propriétés magnétiques de l'acier XC 38 est un point faible. CHAPITRE 5 LA VALIDATION DU LOGICIEL La première partie de ce chapitre est une étude détaillée de la sensibilité des résultats fournis par le logiciel CARMEN aux paramètres numériques, abondamment iflustrée par des exemples caractéristiques. Au cours de la seconde partie, nous comparons les résultats du logiciel aux références expérimentales, en insistant tout particulièrement sur les cas des charges magnétiques. La concordance satisfaisante entre les puissances calculées et les valeurs mesurées nous permet de conclure à l'efficacité du logiciel. - 74 - 5.1 INTRODUCTION Quelle est la précision des résultats fournis par le logiciel CAR4EN ? Fournir une réponse simple à cette question est impossible, car ] 'exactitude d'une méthode numérique de simulation dépend d'un grand nombre de facteurs. Dans le cas de notre logiciel, les causes princi- pales d'une éventuelle erreur sont - les hypothèses "physiques" comportement magnétique simplifié des matériaux, évolution sinusoidale des courants inducteurs. - les discrétisations : densité de discrétisation en temps, qualité de l'interpolation spatiale (maillage). : - les conditions aux limites, - les imposées sur une frontière extérieure arbitraire à distance finie. méthodes "d'arrondi", algébriques de lorsque des résolution calculs : cumul des erreurs numériques sont effectués sur un ordinateur, "tests d'arrêt". - les fautes de programmation. La "qualité" d'un calcul dépend donc, dans une grande mesure, des paramètres numériques fixés par l'utilisateur. Nous avons étudié l'influence de ces paramètres sur les puissances active et réactive globales calculées, en l'illustrant éventuellement par des grandeurs 1-ocales. Nous avons vérifié que la variation des résultats en fonction des paramètres numériques présente une convergence asymptotique vers une limite proche des résultats de référence. - 75 - L'étude de la sensibilité aux paramètres numériques est divisée en quatre parties discrétisation temporelle conditions aux limites maillage tests d'arrêt, en calcul non linéaire Nous terminerons en donnant quelques indications des résultats aux paramètres physiques : sur la sensibilité résistivité, courbe de satu- ration. 5.2 DISCRETISATION TEMPORELLE Nous avons regroupé sous cette appellation quatre paramètres Q, paramètre de la méthode semi-implicite N nombre de pas de temps par période de calcul le nombre de périodes de calcul la phase initialle du courant inducteur sinusoIdal 5.2.1 Paramètre Q de la méthode semi-implicite Non accessibil.e à l'utilisation, il agit sur la stabilité du schéma de différences finies en temps : les illustrations de la figure (31) sont parlantes (charge "infinie", p= 23.108Q.m, = r oo Øext = 20mm). induit courant induction vecteur potentiel Fig. 31 0= 1 I Valeurs locales au cours de la première période de calculi, pour 3 valeurs de O - 77 - 0= 0,66 que nous avons choisie améliore la précision La valeur sur les puissances tant en conservant au schéma une stabilité satisfaisante. Iflustrons son influence sur la puissance active par comparaison charge "infinie", avec les calculs analytiques effectués dans le cas Q.m, Øext = 40 mm, u= 1, p = 120.10 37900 Hz (& de 379 Hz a x rayon / profondeur de pénétration de i à 10) /*rayon ch./peau erreur variant frequence 0=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -10 -14 -11 -8 -6 -5 -6 -6 -6 -6 -5 -5 -2,5 -0,7 -0,1 -0,1 -0,5 -0,7 -0,3 -0,5 10 en sur e =0, 66 'act Figure 32 : Comparaison entre puissance active analytique et puissance active numérique pour deux vaieursde0 Ces essais ont été réalisés avec 20 pas de temps par période, et un maillage arbitraire nous voyons que O = 0,66 permet d'améliorer jusqu'à 10% la précision sur la puissance active. Naturellement, l'écart diminue quand on affine la discrétisation en temps. - 78 - L'erreur constatée aux fortes pénétrations est spécifique à la formulation car elle est liée aux difficultés d'intégration à "rA", proximité de l'axe Oz. Cette erreur peut être réduite à l'aide d'un maillage approprié, mais en pratique, ces pénétrations élevées ne se rencontrent en jamais chauffage par induction (mauvais rendement). Le choix d'une méthode de discrétisation semi-implicite en temps, dont le paramètre à 0,66, O est fixé permet donc d'augmenter la préci- sion des puissances globales calculées. On constate également l'excellent accord entre les résultats numériques et les calculs analytiques pour les faibles pénétrations (voir aussi tableau 33). 5.2.2 Paramètre N : nombre de pas de temps par période. Les résultats du tableau de Ta figure 32 sont calculés avec 20 pas de temps par période. Avec 40 pas de temps par période, le gain en précision sur les puissances est inférieur à 2 % f [2*rayon ch/peau 2 1 3 4 5 6 7 9 8 10 erreur % Npp=20 -5 -5 -2,5 -0,7 -0,1 -0,1 -0,5 -0,7 -0,3 -0,5 sur Pact Npp40 -5 -3,7 -0,9 0,4 0,5 0,4 0,7 0,4 0,7 0,6 erreur % Npp=20 sur Préa Npp=40 -0,6 -0,6 I -0,5 Figure 33 : i i i 0,6 0,3 0,2 -0,2 -0,2 0,3 1 i 0,4 0,2 0,1 -0,1 -0,2 Comparaison entre puissances analytiques et numériques, pour deux valeurs de N. - 79 - L'expérience des calculs "linéaires" nous a montré que N = 20 pp est le compromis idéal entre précision et temps de calcul. Dans le cas de la simulation d'une charge magnétique, on observe une influence du paramètre N sur les valeurs locales, illustrée pp par les évolutions en régime permanent du potentiel vecteur, de l'induction et des courants induits (figure 34, cas typique) induit courant vecteur pot en t i e1 Fig. 34 N pp =20 N pp =40 Grandeurs locales en régime permanent non-linéaire, pour 3 N pp valeurs de N. =60 a. - 81 - remarque On que les "fronts raides" sur l'induction et les courants induits sont mieux décrits par les discrétisations fines en temps les oscillations des courants induits après le front raide sont numériques, et dépendent des tests d'arrêt choisis pour le schéma itératif non linéaire (voir paragraphe). L'influence de N sur les puissances moyennes est plus importante dans cet exemple que lors de calculs linéaires N Puissance active pp W charge Puissance réactive Temps de calcul charge minutes VAR 20 165 110 40 169 113 60 170 114 Figure 35 : Puissances moyennes et temps de calcul en fonction du nombre de pas de temps par période dans le cas d'une charge magnétique. Le passage de N = 20 à N puissances, mais augmente de 70 N s 60, de N 1 = = 40 permet d'améliorer de 3 les temps de calcul. De N sur les puissances et 30% sur les temps de calcul. 60, les = 40 à Au delà aucune évolution significative des puissances n'a été constatée. Nous permettent pouvons donc conclure que de calculer rapidement avec 20 pas de temps par période une précision convenable, et que les résultats ne varient plus au delà de 40 pas de temps par période. - 82 - 5.2.3 Nombre de périodes de calcul et phase initiale des courants inducteurs. Notre méthode ne permet pas d'obtenir directement le régime perma- nent électrique. Il est donc nécessaire de calculer plusieurs périodes du phénomène pour éliminer le régime transitoire dû aux conditions initiales. Nous proposons deux critères qui, en fin de calcul, permettent de vérifier l'obtention d'un régime permanent "pratique" - les extremums du potentiel au cours de la dernière période calculée. Si ces extremums sont égaux et opposés, la "composante continue" du régime transitoire a disparu. - les puissances active et réactive sont calculées, à partir des valeurs instantanées, nous indiquons au cours de la dernière période, mais également dernière demi-période. les valeurs calculées pendant la Si ene sont égales, alors le régime transitoire a disparu. Nous avons remarqué que le comportement transitoire diffère selon les propriétés magnétiques de la charge et Ta phase initiale des courants inducteurs - si la charge est amagnétique, I.e régime permanent "pratique" est atteint au bout de 3 à 5 périodes de calcul. La phase initiale "optimale" des courants inducteurs est 00 pour les fortes péné- trations (rV/p<5) et 90° pour les faibles pénétrations. - si la charge est magnétique ( = (H)), Te régime permanent est atteint au bout de 1,5 à 2 périodes de calcul ("écrêtage" dû à la saturation), et la phase initiale optimale est 90° (courant inducteur maximal à l'instant initial). - 83 - En réalité, le "véritable" régime permanent est atteint au bout de plusieurs dizaines de périodes. Mais les grandeurs dans l'épaisseur de peau de la charge se stabilisent beaucoup plus vite, et ce sont elles qui fournissent l'essentiel de la puissance active. La puissance réactive est principalement due à l'entrefer, et dépend peu du régime transitoire. Donc, le régime permanent "pratique" est atteint après un calcul sur périodes pour les charges amagnétiques (phase initiale 00 5 ou 90°) 2 périodes pour les charges "saturables" (phase initiale 90°) Au delà, les puissances n'évoluent pas. En conclusion, les paramètres numériques de la discrétisation temporelle ont une influence sur la précision des résultats du logiciel CARMEN. Mais l'évolution de l'erreur en fonction de ces paramètres est facile à cerner, et des règles pratiques simples ont pu être définies afin de maitriser et de minimiser cette erreur. 5.3 LES CONDITIONS AUX LIMITES Le problème lié aux conditions aux limites a été abordé lors de la description du logiciel : sur une frontière extérieure arbitraire, à distance finie de l'inducteur, il faut choisir entre deux conditions aux limites - DIRICHLET homogène, qui annule le flux à l'extérieur du domaine d'étude. - NEUMANN homogène, qui "suggère" au flux de se refermer à l'exté- rieur du domaine d'étude, dans une culasse fictive de perméabilité infinie. - 84 - Les deux figures 36 et 37 illustrent l'allure des lignes de champ se'on la condition aux limites choisie Figure 36 Figure 37 Lt influence sur Condition de DIRICHLET homogène : : les Condition de NEU1ANN homogène puissances calculées en régime permanent, de l'emplacement de la frontière extérieure et de la condition aux limi- tes choisie est importante, mais on constate dans tous les cas que, au de'à d'un certain éloignement de la frontière, les résultats n'évoluent plus, et les puissances calculées ne dépendent plus de la nature de la condition aux limites. - 85 - Dans cas de la figure 37, mais avec une charge amagnétique e (inducteur 1, charge inox no 3) représentons l'évolution des puissances en fonction "l'éloignement" de (d/rayon inducteur) de la frontière extérieure écart puissance/puissance 1mite o A actif réactif 30% DIRICHLET 20% 10% _______o I O -. NEUMANN o d/rayon inducteur 5 -10% ./ -20% - / -30% - / / F I p o Figure 38 : Puissances en fonction de l'emplacement de la frontière extérieure et des conditions aux limites Le comportement est caractéristique : les conditions de NEUMANN sur-évaluent les puissances, alors que les conditions de DIRICHLET les sous-évaluent. Lorsque T'empTacemnt de la frontière extérieure est fixé, la précision obtenue est meilleure avec des conditions de NEUMANN, mais cette linéaires. amélioration est moins évidente pour les matériaux non - 86 - En pratique, le problème des conditions aux limites ne se pose pas dans certains cas particuliers, quand une culasse canalise le flux par exemple. -J Figure 39 : Influence d'une "culasse de retour" Lorsque l'on simu1e un inducteur "ouvert" sans culasse de retour (figure 37 par exemple), l'expérience suggère deux méthodes faire deux calculs, avec une frontière extérieure "suffisamment éloignée" DIRICHLET et : les conditions aux limites de NEUMANN, puis de es deux résultats obtenus fournissent un encadre- ment précis des puissances. faire un seul calcul, avec des conditions de NEUMANN sur une frontière extérieure "aussi éloignée que possible", et contrôler que l'induction est négligeable le long de la frontière. En résumé, l'erreur introduite sur les puissances par les condi- tions aux limites sur la frontière extérieure est parfois importante (± 30 %) si cette frontière est trop proche de l'inducteur l'erreur décroît rapidement lorsque la frontière s'éloigne. Dans tous les cas, on peut obtenir un encadrement des puissances qui permet d'évaluer Uerreur due aux conditions aux limites. - 5.4 87 - LE MAILLAGE DU DOMAINE D'ElUDE La méthode éléments des finis calcule une solution approchée d'autant plus proche de la solution exacte que le maillage du domaine d'étude est plus dense. En chauffage par induction, les phénomènes physiques déterminants ont lieu dans la charge, où se développent les cou- rants de Foucault : c'est donc plus particulièrement au maillage de la pièce chauffée que nous avons accordé notre attention. Lorsque le découpage de la charge en éléments triangulaires est correct, la struc- ture du maillage et le principe de notre mailleur garantissant (sauf dans certains cas très particulier) que le découpage dans le reste du domaine d'étude est assez fin pour ne pas induire une erreur sensible sur les puissances moyennes calculées. Avant d'étudier l'influence du maillage de la charge sur la précision des résultats, ii nous faut revenir sur le principe de fonctionnement du maflleur, et définir une profondeur de peau équivalente pour les charges saturables. 5.4.1 Le fonctionnement du mailleur. Nous rappelons que Te maillage final est du type "grille de diffé- rences finies", et que deux des paramètres du mailleur sont la plus petite hauteur des triangles (h) le rapport maximal toléré entre les hauteurs de deux triangles voisins (k). - 88 - A partir d'une interface, le maillage est réalisé avec des triangles de hauteur h, kh, k2h... )$ le- hkh Ih Figure 40 : Ih etc... Maillage dans un milieu, fonction des paramètres k et h Si le paramètre k est supérieur à 1, ce maillage privilégie la périphérie des milieux. 5.4.2 Une profondeur de peau équivalente Lorsque des courants alternatifs circulent dans un conducteur, ils se concentrent à l.a surface c'est "l'effet de peau". La profondeur de peau p résistivité du conducteur p= perméabilité du conducteur f fréquence des courants évalue la profondeur atteinte par les courants En chauffage par induction, Ii I la puissance active est fournie à la pièce chauffée dans son "épaisseur de peau", et c'est donc dans cette partie de la charge qu'il faut mailler finement pour obtenir des puissances moyennes calculées correctes. - 89 - Pour l'étude des matériaux non linéaires, les ingénieurs en chauf- fage par induction utilisent une perméabilité équivalente, qui permet d'évaluer la profondeur de peau en fonction de l'induction à saturation du matériau et du champ extérieur efficace appliqué p avec 1,3 irfpeq Bsat ---- l31 (21) Hef f Nous distinguons deux profondeurs de peau pour les matériaux saturables - la profondeur de peau minimale, quand il n'y a pas de saturation (perméabilité maximale) la profondeur de peau équivalente, - dont l'ordre de grandeur est prédit à l'aide des relations (21). 5.4.3 Le maiUage de la charge. L'étude des charges amagnétiques ne pose généralement aucun probilème ; en effet, l'optimisation du rendement de la chauffeuse dicte le choix d'une fréquence des courants inducteurs telle que la profon- deur de peau soit de l'ordre du quart ou du cinquième du diamètre de la pièce chauffée I , et la stabilité des puissances est atteinte à partir de 4 ou 5 éléments dans cette profondeur de peau - 90 - Nombre d'éléments dans la profondeur de peau Erreur en sur P Erreur en % sur P Figure 41 : 2 act 1,5 rea -3,6 3 4 5 6 9 -0,8 -0,7 -0,7 -0,3 -0,3 -1 -0,3 0,5 0,5 0,5 Evolution de l'erreur sur les puissances calculées en fonction du maillage - 91 - Lorsque le matériau est magnétique, ii est dans la plupart des cas chauffé de la température ambiante jusqu'à une température propice au formage, au delà du point de CURIE. La fréquence de la chauffeuse est adaptée au chauffage en phase amagnétique, et la profondeur de peau à basse température sera donc très petite par rapport au rayon de la charge. A géométrie identique, le nombre d'éléments triangulaires nécessaires pour un calcul précis sera beaucoup plus élevé en phase magnéti-4' que qu'en phase amagnétique. Le tableau suivant montre l'évolution de l'écart entre puissance active calculée (induction maillages = N 40, puissance et 1, expérimentale active charge magnétique 2, 4 pour 000 différents Hz, 702 A, conditions de NEUMANN) pp Nombre d'éléments dans Nombre d'éléments dans Erreur en % sur la profondeur de peau la profondeur de peau la puissance équivalente ( 0,5 mm ) minimale ( 0,05 mm active 2,5 3,5 L 16 10 4 9 5 9 Figure 42 : Evolution de a puissance active calculée en fonction du maiflage (charge magnétique) - 92 - Des essais relativement nombreux ont montré un comportement comparable pour d'autres charges ou des intensités différentes. L'évolution de la puissance active moyenne en fonction du maillage de la charge est donc sensiblement le même pour les matériaux magnétiques ou amagnétiques les résultats ne dépendent plus du maillage à partir de quatre à cinq éléments dans la profondeur de peau équivalente. 5.5 LA RELAXATION ET LE TEST D'ARRET Ces paramètres numériques sont caractéristiques du schéma itératif sur les perméabilités utilisé pour la résolution à chaque pas de temps d'un problème non-linéaire. La relaxation des perméabilités d'une itération à l'autre permet d'agir sur la stabilité du schéma et sur sa vitesse de convergence. Le test d'arrêt est le critère de stabilisation du schéma itératif si l'écart relatif entre les perméabilités est inférieur à la valeur fixée par l'utilisateur, alors la stabilité est acquise et le calcul du pas de temps suivant commence. Tant que le schéma itératif est stable à chaque pas de temps (pas d'oscillations entretenues) aucun rapport n'a pu être établi entre le coefficient de relaxation et une variation éventuelle des puissances en pratique, l'erreur ne dépend que du test d'arrêt, et seuls les temps de calcul sont affectés par le coefficient de relaxation. Au cours des essais numériques que nous avons réalisé, une légère sous-relaxation ( w = 0,95) des perméabilités a permis de minimiser les temps de calcul sans que des oscillations soient constatées. - 93 - Aucun écart significatif sur les puissances n'a été relevé lorsque le test d'arrêt décroît de 10% à 1% Test d'arrêt Puissance active W Temps de calcul minutes 1703 25 1695 34 1692 64 4- Figure 43 Evolution de la puissance active et du temps de : calcul en fonction du test d'arrêt sur les perméabilités (charge magnétique) L'écart constaté, sur l'exemple de la figure 43, est inférieur à 1% al ors que le temps de calcul double. (Notre test utilise la norme "Sup": seul le plus grand des La figure 44 des valeurs locales est comparé lors du test d'arrêt). illustre l'effet du test d'arrêt sur l'évolution . le lissage de l'induction et des courants induits y est perceptible. Nous utiliserons donc pour la simulation des charges saturables une relaxation sur les perméabilités de entre 10% et 5%. 0,95 et un test d'arrêt compris induit courant induction vecteur potenti el Fig. 44 Grandeurs locales en régime permanent non-'inéaire, pour 3 tests d'arrêt: -I - 5.6 95 - LA VALIDATION DU LOGICIEL Après avoir étudié le comportement du logiciel par rapport aux paramètres des méthodes numériques utilisées, nous allons comparer les résultats expérimentaux avec les valeurs calculées. Nous ne détaillons pas amagnétique les comparaisons lorsque la charge est à cause de difficultés d'usinage, nous n'avons pas pu réaliser un échantillon adapté à la mesure de la résistivité de l'acier inox utilisé, et nous avons dû utiliser une valeur trouvée dans la littérature. et 11es Dans tous les cas, l'écart entre les puissances calculées puissances expérimentales (active et réactive) ne dépasse pas 5 %. Cet écart n'est cependant pas suffisamment systématique pour qu'on puisse l'attribuer à priori à la valeur de la résistivité. Enfin, des comparaisons réalisées avec les résultats du logiciel FLUX-2D n'ont pas révélé d'écart significatif sur les puissances. La spécificité de notre logiciel réside dans la simulation des matériaux magnétiques. Nous avons superposé aux courbes expérimentales de résistance de charge en fonction de l'intensité efficace (figures 27 à 30) l'encadrement que nous avons obtenu par le calcul, la valeur par excès avec des conditions aux 11-imites de NEUMANN sur la frontière extérieure du domaine d'étude, la valeur par défaut avec des conditions de DIRICHLET. Les autres paramètres numériques ont été choisis en tenant compte des essais de sensibilité décrits au cours des paragraphes précédents - 40 pas de temps par période - 2 périodes de calcul - phase initiale des courants inducteurs - relaxation sur les perméabilités : test d'arrêt sur les perméabilités : 900 0,95 : IO % - 4 éléments dans la profondeur de peau équivalente Chaque problème comportant de 1200 à 1800 noeuds de maillage (2400 à 3600 éléments finis triangulaires), les temps de calcul varient entre 2h et 6h. Les propriétés physiques (résistivité, paramètres de la courbe de saturation) sont prises à température ambiante (entre 20 et 1000C). - 96 R ch + NEW4ANN 0 DIRICHLET 6 5.j 4 + 0 Ittti 000 X'¡i f 0 3 2 i o 500 Figure 45 : 1000 1500 Charge I (XC 38, Øext 40 mm, h A 'ef f 50mm) La correspondance entre valeurs calculées et valeurs expérimen- tales de la résistance de charge est bonne, sauf aux faibles valeurs de champ (inférieures à 10 000 A/rn). Nous pensons que cet écart peut provenir d'une erreur numérique à Ta résolution (mauvais conditionnement de la matrice lié aux perméa- bilités élevées en surface de la charge) ou bien d'une surestimation de la perméabilité de Ta charge à faible champ (augmentant la démagnétisation de la charge aux dépends de la puissance transmise). - 97 + + NEUMANN O DIRICHLET + + + lo O 5 I ef fT o 500 250 Figure 46 : Charge 2 (xc 750 1000 38, Øext 40mm, ch = loo A mm) L'encadrement de la valeur expérimentale par les résistances calculées est correct sur tout la gamme des intensités. On peut néanmoins remarquer une augmentation de l'écart vers 300A, sans doute liée à la forme simplifiée de la courbe B(H) de la simulation. Nous notons également une amplification de la différence entre les puissances calculées avec des conditions de NEUMANN ou de DIRICHLET lorsque l'intensité diminue, mais nous ne pouvons pas proposer d'explication à ce phénomène. - 98 - + + NEUMANN O DIRICHLET cp + ¡I I ff 400 200 Figure 47 Charge 3 (XC 800 600 38, Øext A 40 mm, h = 200 mm) On constate à nouveau sur cette troisième simulation une augmentation de l'erreur aux faibles intensités. Rapprochons ces résultats de ceux de la simulation de la charge i (quatre fois plus courte) : dans le cas de la charge courte, la puis- sance active est sous-évaluée à faible champ, tandis qu'elie est sur- évaluée pour la charge 3. Ce comportement est compatible avec l'hypothèse d'une perméabilité trop élevée car la démagnétisation et la puissance active ont a'ors tendance à augmenter dans le sens du champ, tandis que ; si a pièce est courte T'effet de démagnétisation est prépondérant, si la pièce est longue, la démagnétisation est plus faible et l'effet d'augmentation de a puissance active l'emporte. - 99 - mç 600 + 400 + 200 1 + 0 cf f 100 Figure 48 Pour (Ø 45,5, longue", 300 400 Charge 4 (XC 38 ou A 37, Øext 16, h simuler h 200 495), cette nous pièce longue, avons placée considéré dans quelle = A 549 mm) l'inducteur était 2 "infiniment et le calcul a été réalisé comme pour l'étude d'un problème monodimensionnel. (Pans ce cas, rieur du solénoïde, et le champ magnétique est nul à l'exté- le problème des conditions aux limites ne se pose pas). Compte tenu du gain considérable en temps de calcul apporté par cette simplification, très satisfaisants. on peut considérer que les résultats sont - loo - Avant de conclure, précisons que nous n'avons pas présenté les courbes de réactance totale en fonction de l'intensité car la réactance d'entrefer est dominante la réactance totale est donc pratiquement constante, et l'erreur sur la puissance réactive est toujours inférieure à I1'erreur sur la résistance de charge. Dans l'ensemble, on peut considérer que la corrélation entre les puissances calculées et les résultats des mesures est très satisfaisante . Nous pensons que les écarts constatés proviennent essentiellement du modèle simplifié que nous utilisons pour décrire la courbe d'aimanta- tion du matériau chauffé, mais ce point ne sera éclairci que lorsque nous disposerons d'une courbe B(H) expérimentale. 5.7 LA SENSIBILITE MX DONNEES PHYSIQUES. Les données physiques de la simulation d'une chauffeuse par induction sur lesquelles une erreur peut être commise sont essentielle- ment la résistivité et les propriétés magnétiques de la charge : ou bien on ne dispose pas de mesures précises, ou bien les gradients de température causent une dérive de ces propriétés. Lorsque la charge est amagnétique, on constate que la variation des puissances dans la charge est sensiblement "en à la théorie conformément Il Le comportement des matériaux saturés est exemple, dans un cas, une diminution de 21 une diminution de 5 % et 4 moins clair. Par de la résistivité a induit respectivement sur la puissance active et réactive. Mais lors d'un autre essai, une augmentation de 15 % de s'est r traduite par + 2 % sur la puissance active et - 2 % sur la puissance réactive. Nous n'avons pas réalisé une étude systématique de la sensi- bilité à la résistivité il semble qu'elle soit inférieure à la sen- sibilité constatée en amagnétique mais nous ne pouvons pas l'affirmer avec certitude. - 101 - De même, nous regrettons de ne pas pouvoir fournir des informations précises sur le comportement des puissances en fonction des paramètres de la courbe d'aimantation. Citons pêle-mêle - le doublement influence - ( du champ l'expression simplifiée annexe Hc est pratiquement sans %) lorsque l'excitation est élevée (40 000 A/m). I le changement d'exposant (cf coercitif 3 ) (de 0,2 à de la 0,5) du terme Hc/H dans courbe d'aimantation entrame une augmentation de l'ordre de 5% des puissances. - une augmentation de 15 % de l'aimantation maximale Msat induit une augmentation de l'ordre de 5 % à 8 % de la puissance active (à 40 000 A/m). La valeur de l'aimantation à saturation semble avoir une influence plus importante sur les puissances que la "forme" de la courbe B(H), aux fortes excitations utilisées en chauffage par induction. Une étude systématique de la sensibilité aux paramètres physiques est donc indispensable. 5.8 CONCLUSION La comparaison entre les références expérimentales et les résultats du logiciel CARMEN, réalisée après une étude détaillée de la sensi- bilité aux paramètres numériques, permet de conclure que CARMEN est un outil efficace pour le dimensionnement des chauffeuses par induction axisymétriques de produits magnétiques ou amagnétiques. Néanmoins, une étude complémentaire de la sensibilité des résultats aux données physiques devrait permettre d'améliorer leur précision, si cela est jugé nécessaire. CONCLUSION - 103 - CONCLUSION Pour étudier les effets d'extrémité en chauffage par induction, nous avons effectué un travail de modélisation à l'issue duquel nous avons créé le de chauffage, logiciel CARMEN, dont les outil efficace de CAO d'inducteurs résultats ont été validés par une campagne de mesures. A cette occasion, nous avons réalisé une analyse détaillée d'une méthode de résolution en pas-à-pas dans le temps des problèmes électromagnétiques dynamiques non-linéaires. Nous proposons un calcul des perméabilités qui améliore considé- rablement la stabilité de la technique de substitution, et un algo- rithme de résolution accélérée basé sur la division du domaine d'étude en deux sous-domaines. Grâce à cet algorithme, avec on peut envisager un couplage simple la méthode des équations intégrales de frontière, et donc de repousser à l'infini la frontière extérieure du domaine d'étude. Par ailleurs, une partie importante du logiciel CARMEN est adaptable à la réso'ution du problème thermique, ce qui permettrait de réaliser la simulation complète d'une installation de chauffage par induction. ANNEXE I REFORMULATION DES EQUATIONS DE MAXWELL TRIDIMENSIONNELLES EN UTILISANT LE POTENTIEL VECTEUR MAGNETIQUE - 105 - A1.1 RAPPEL DU PROBLEME POSE. Soit I un ouvert de R3 Calculer E, B, H, J dans fl pour tout t variant de O à t0 , tels que: div B = O rot II = J + J0 div E = O rot E = - - et sachant que: B=H J = aE dans les charges, J = O ailleurs. J0connue dans les inducteurs, J0= O ailleurs. les conditions initiales et aux limites étant données. A!.2 DEFINITIONS PREALABLES. Pour la commodité de Pexposé, introduisons deux espaces de fonctions, F et G: Soit F R3 ( ( resp. G ) un ensemble de fonctions de c2*[o , t] dans resp. R ), "suffisamment régulières" pour que les calculs qui sui- vent aient un sens. Soit ç une fonction de F ou G3 nous noterons: (M) une fonction constante sur [o (t) une fonction constante surÇ. , to]. - 106 - A1.3 QUELQUES PROPRIETES CLASSIQUES. Nous admettons les deux relations suivantes: VtE[O , t divUO 3VEF/U=roty rotll=O 3UEG/U=-gradu VUEF , les opérateurs rotationnel, divergence et gradient ayant leurs propriétés habituelles dans R3. A1.4 DEFINITION DES POTENTIELS. Soient E et B deux champs donnés, solution du problème (2). div B = O donc 3AEF te que B = rot A Le potentiel vecteur A n'est pas unique, car: soit uEG alors rot A = rot( A + grad u ). Choisissons arbitrairement une solution particulière A0 teUe que: B Si = on remplace rot A0 par rot A ( O ) dans l'équation de MAXWELL- FARADAY, on obtient: rot ( E Donc: telle que: E = O ) = + Le potentiel scalaire électrique -grady n'est pas unique, mais défini à une ça constante dans Q près: grad% = grad ( ç -- ça(t) ). - 107 - Si on désire remplacer le problème (2) par un problème équivalent dont la solution sera calculée numériquement et dont les inconnues sont A et , ç il. est souhaitable d'imposer une condition sur ces potentiels qui garantisse leur unicité. A1.5 LES FAMILLES DE SOLUTIONS A , q. Nous montrons comment construire une famille de solutions à partir d'une solution particulière A0 associée à un potentiel scalaire Soient: A0 et çp, une solution particulière une fonction quelconque de G Alors: r A0+ gradq est telle que: B = rot A1 Or rot ( E + 1 ) = O donc tefle que Calculons -grad E + J. 1en fonction de A0 , % et - grad ç1 = E + A1 = -grad ( c E+-0+grad(-) donc ) =E+-0 I or E + -0 = - grad donc grad ( ÇD I +- ) =- ce qui implique = - - + g(t) grad o - 108 - Conclusion: à partir d'une solution particulière construire une famiil.e de solutions A1 q A0 , c on peut à l'aide de deux fonctions , 4. et g de G, g étant uniforme sur 2: A1 = A0 + s ç1 = A1.6 - + g(t) EXISTENCE D'UNE SOLUTION PARTICIJLIERE A TELLE Choisissons deux fonctions particulières QUE qO. et g: t Jcdt = .0 gO Alors: ç31= - ç1, (p0 = Çi) - t co dt = O Jo = O Nous avons donc montré que nous pouvons construire, à partir d'un couple de potentiels A0 et au moins un potentiel vecteur A tel, que: B = rot A (3) E=- - 109 - CONDITION D'UNIChE DU POTENTIEL A1.7 A TEL QUE qO. Nous démontrons maintenant que la solution A associée à un potentiel scalaire électrique identiquement nul, est unique si une condition initiale est imposée. Soient A et A' deux potentiels associés à un potentiel scalaire identiquement nui. rot A = rot A' = B = Nous déduisons de la relation de F telle que: f = A' La relation (4) f (M) = A + (5) qu'il existe une fonction f f indépendante du temps. f(M) implique : rot f = O A et A' diffèrent d'une fonction irrotationriefle sur Donc, f indépendante du temps, Si on impose une condition initiale au potentiel A, alors il est unique. conclusion: soient E et B donnés, satisfaisant aux équations du problème (2), ii existe un potentiel vecteur A unique, teï B = E rot A =- A connu dans (6) àt = O que: - 110 - A1.8 EQUATIONS DU POTENTIEL VECTEUR. Nous déduisons de la définition du potentiel vecteur, de la jauge = O choisie, et des équations (2) le système d'équations vérifié par le potentiel vecteur. En admettant que le nouveau problème au poten- tiel vecteur a une solution unique, nous démontrons que cette solution est celle du problème (2), et qu'il y a donc équivalence entre les deux probil èmes. Soient E et B deux champs solution du problème (2), soit A le potentiel vecteur vérifiant les relations (6). D'une part, div E = O implique: div A ) = O D'autre part, rot H = J + J0 B=H ( u/O) J =oE impliquent: rot ( rot A ) + J0 Le potentiel vecteur A vérifie donc les deux équations suivantes: rot ( rot A ) div A ) = O + = J0 (7) Admettons maintenant que le problème suivant est "bien posé", et admet une solution unique: Trouver A dans F telle que: rot ( rot A ) +a-- = J0 (8) ( div A ) = O A connu à t = O. Conditions aux limites connues. On peut démontrer facilement que les champs E et B calculés à partir de la solution du problème (8) en utilisant les relations (6), vérifient les équations du problème initial (2). Les problèmes (2) et (8) sont donc équivalents, si les conditions initiales et aux limites du potentiel A sont "équivalentes" aux conditions correspondantes sur E et B. Dans ( les deux problèmes, on suppose que toutes les inconnues champs et potentiel ) sont identiquement nulles à t = O, ce qui réali- se l'équivalence des conditions initiales. La condition aux limites physique est: "toutes les grandeurs sont nulles à l'infini", que nous devrons remplacer par des conditions sur une frontière à distance finie. et Le caractère "physique" de ces conditions aux limites, les résultats satisfaisants fournis par le logiciel, suggère que l'équivalence est réalisée, malgré cette approximation. - 112 - A1.9 DISCUSSION. Le lecteur aura reproché à la présentation qu'il vient de lire, et nous le remercions de sa patience, quelques insuffisances: une réflexion supplémentaire sur les conditions initiales et aux limites aurait peut-être conduit à des remarques interessantes. la jauge qO a été introduite à partir de considérations très mathématiques, cas au détriment d'une analyse physique. particulier des problèmes bidimensionnels, physique peut être effectuée, potentiels reste délicat. Dans le une approche mais le raisonnement sur les ANNEXE 2 QUELQUES MOTS D'INFORMATIQUE ET DE PROGRAMMATION - 114 - A2.1 LANGAGE ET METHODE DE PROGRAMMATION. Dans un souci de portabilité, CARMEN a été programmé en FORTRAN77, car ce langage est actuellement le plus diffusé et le mieux standar- disé. Deux écarts à la norme 77 ont été tolérés, IMPLICIT NONE et DO WHILE. Ces extensions ( FORTRAN 77 militaire, MIL-STD-1753 ) sont proposées sur la grande majorité des compilateurs. D'autre part, nous avons choisi des techniques de programmation destinées à faciliter la "maintenance" du logiciel, et son aptitude à évoluer selon les besoins des utilisateurs et les progrès de l'informatique et de l'analyse numérique 1251 A cete effet, le logiciel a été construit à partir d'un grand nombre de modules de petite taille ( moins de 40 instructions en moyenne ), ayant chacun une fonction très précise: saisie d'information sur terminai. affichage sur terminai. graphique sur terminal. stockage d'information sur fichier. lecture d'information sur fichier. initialisation. calcul. édition sur imprimante. La lisibilité des modules et des programmes a été soignée ligne "commentaire" par instruction en moyenne été regroupés en bibliothèques outils calcul, etc... ). ( ), outils généraux, ( une et les modules ont outils graphiques, - 115 - A2.2 LES MODULES NON-PORTABLES. Certains sous-programmes de CARMEN exploitent les possibilités spécifiques de la machine sur laquelle le logiciel est implanté3 ils sont regroupés dans une bibliothèque, des "outils non-portables". Nous avons fait allusion, au cours du chapitre tion de certains algorithmes. 3, à la vectorisa- Pour faciliter l'implantation sur une machine ne disposant pas d'un processeur vectoriel, les instructions "classiques" figurent systématiquement, en commentaire, à coté cies ins- tructions vectorisées. A2.3 LES RESSOURCES UTILISEES. CARMEN est actuellement implanté sur un mini-ordinateur 16 bits HP 1000-F, sous système RTE6-VM, disposant de la mémoire virtuelle et d'un processeur vectoriel. L'implantation du logiciel sur un mini-ordinateur 32 bits ( HP 9000, système UNIX ) est envisagée pour début 1984. Les modules graphiques du logiciel ont été réalisés à partir de la bibliothèque PLOT 10, et il n'est donc utilisable que sur des termi- naux graphiques TEKTRONIX 10 ( ( 4010, 4014, 4054... ) ou compatibles PLOT SECAPA 741 par exemple ). Cependant, l'adaptation à un autre stan- dard graphique est réalisable, moyennant une réécriture partielle des outils graphiques. Le volume mémoire occupé par le code de chaque programme ne dépas- se pas 32 k-mots de 16 bits. Les variables du programme de calcul sont réparties entre la mémoire centrale et la mémoire de masse ( 300 k-mots au total dont 150 en mémoire centraIe actuellement ). CARMEN nécessite donc un volume mémoire important, et ne peut raisonnablement être utilisé que sur une machine disposant de la mémoire virtuelle. Si la présence d'un processeur "vectoriel" n'est pas indispensable celle d'un processeur arithmétique câblé est nécessaire: la quasi-tota- lité des calculs est effectuée en double précision, et l'étude de prob- lèmes non-linéaires demande ( 10 fois plus de temps sur le HP 1000-E ne disposant pas du "processeur virgule flottante' ) que sur le 1000-F. - A2.4 116 - 15 000 LIGNES DE FORTRAN. CARMEN: On peut déduire du tableau suivant: une ligne commentaire par instruction. 4/5 des instructions dans les sous-programmes, dont le nombre moyen d'instructions est inférieur à 40. moins du tiers des instructions consacrées au calcul ( MEF ). Si l'on rapporte le nombre d'instructions de CARMEN à la durée de notre travail, à une moyenne de 14,5 instructions par ori aboutit jour. r f Ic hi e r bi. data s/programmes programme --* ligne s instr» Nb Jlignes instr. lignes total lignes instr. -+ superviseur 110 77 0 0 0 O 110 77 saisie données 402 188 18 993 510 67 1462 maillage 243 126 12 1118 642 82 1443 698 768 prép. calcul 200 92 7 747 460 117 1064 552 calcul 824 438 o o 0 146 970 438 bibli. calcul O o 43 3314 1738 o 1738 visu, données 279 168 8 287 122 144 3314 710 évolutions f(t) 185 104 7 740 64 989 538 iso-densités 171 94 3 356 434 200 67 594 294 i. de champ 175 97 4 268 144 65 508 241 non-portables O ° 7t 333 180 o 333 180 généraux O ° 4O 2473 1218 o graphiques O O 12 777 409 0 777 409 exploitation O ° 147 55 0 147 55 16411553 6112 752 14894 7496 3: 290 2473 :1218 4 total 2589 1384 t ANNEXE 3 PROPRIETES MAGNETIQUES DES ACIERS DE CONSTRUCTION COURANTE - 118 - A3. i INTRODUCTION. Si la littérature est riche en mesures des propriétés magnétiques des tôles destinées à la fabrication des machines électriques, les in- formations disponibles sur le comportement des aciers de construction ( l'essentiel des matériaux réchauffés avant formage ) sont plutot suc- cintes. Cependant, un travail important a été réalisé par BRISSONNEAU, 1261. Ses conclusions dans le cadre du Club chauffage par induction sont les suivantes: Les propriétés magnétiques des aciers dépendent peu de la fréquence du champ d'excitation, dans la gamme de fréquence utilisée en chauffage avant formage. Les comportements des diverses nuances d'acier de construction sont assez semblables. Aux excitations l'hystérésis est négligeable, et la élevées, courbe B(H) a une allure assez simple. La saturation réelle n'est jamais atteinte à cause des effets du champ démagnétisant. Il propose de modéliser le comportement des aciers, dans la gamme O - 10 000 A/rn, de la façon suivante: ltinduction B est calculée à partir de l'aimantation. B = M + M varie linéairement de O à Br, si H varie de O à Hc. M varie en ( Hc/H ) M = M i - u dela de Hc: H B max ( ( I - --i- ) M max ( H )05) () - 119 - Il relève les valeurs suivantes: Toc A3.2 XC 38, 600 A/rn o 164 100 155 200 ( Hc Br 145 j 300 136 400 123 500 107 600 84 700 51 800 o Hz, champ crète 10 600 Tesla Mrnax Tesla 1.28 1.20 1.75 1.75 1.13 1.06 1.75 1.74 1.69 0.97 0.87 0.77 0.55 o 1.61 1.46 1.13 o A/rn NOTRE ADAPTATION DES RESULTATS DE BRISSONNEAU. Les essais de chauffage de pièces magnétiques ont montré que les excitations maximales en surface peuvent atteindre des valeurs plus élevées ( 50 000 A/rn ). Nous avons donc modifié le modèle proposé, pour tenir compte de cette forte saturation. Nous avons déduit des valeurs Mmax mesurées à 10 000 A/rn un ordre de grandeur de l'aimantation à saturation "réelle" de l'acier XC 38: T°C t1sat Tesla O 2.00 100 2.00 200 2.00 300 1 400 1 500 1 600 1.66 700 1 .29 800 o .98 .93 .84 - 120 - Ces valeurs de Msat, déduites de à celles ( rares ) 1261, correspondent assez bien que nous avons relevées dans la littérature 1271 et 1281. L'utilisation de la relation en remplaçant Mmax par Msat (i) conduit à une surévaluation de l'aimantation aux valeurs intermédiaires du champ ( voir courbes page suivante ). Nous avons cherché à adapter la relation (i) en changeant l'ex- posant du terme Hc/H, pour obtenir une allure convenable aux faibles valeurs de H. Les courbes de la page suivante suggèrent le choix de l'expo- sant O,2 M=Msat B ( i____ M sat H (C)O2) H (2) - 121 AIMANTATION i 01 0 t I 200 400 t t O0 eoo x i0 H Sn A/M AIMANTATION 2 i O I 20° io' I io4 io' io' H en A/M Courbe 1: M 2: M max , exposant 0,5 , exposant 0,5 , 0,4 3: sat Id 4: id , 0,3 5: Id , 0,2 6: id , 0,1 ( courbe de BRISSONNEAU à 20°C ). courbe choisIe (2) ModélisatIons possibles de la courbe d'aimantatIon du XC 38 à 20°C. - 122 - Bien que les comparaisons effectuées entre les calculs utilisant la modélisation (2) et les résultats expérimentaux valident correctement cette approche, ii est clair que l'expression (2) n'est pas entièrement satisfaisante: si la modélisation (i) représente bien l'évolution de l'aimantation aux valeurs moyennes de l'excitation, (2) s'en écarte. D'autre part, on sait que l'approche de la saturation est en H2 26!, et la relation (2) n'en tient pas compte. L'utilisation d'un banc de mesure des propriétés magnétiques des aciers aurait permis d'obtenir un meilleur modèle que celui que nous proposons; mais, ces mesures sont délicates, et nous n'avons disposé ni du temps, ni des moyens nécessaires. Cependant, il est probable qu'une courbe B(H) simplifiée ( paramé- trée par quelques grandeurs "faciles à mesurer" sation du chauffage par induction. ) suffit à la modéli- ANNEXE 4 LE TRAVAIL EXPERIMENTAL: INFORMATIONS COMPLEMENTAIRES T I mH 200A FUSIBLES 2004 IIci f,,,, ONDULEUR REDRESSEUR FUSIBLE S 250 A T antoVmateu BOulER id en sa teure Transfo dadaptatiOfl SCHEMA Ph1 o1_m Ph2 Ph 3 I sctionneur DU 3ENER,TEUR INDUCTEUR - 125 - Résistance à vide des inducteurs. Inducteur (1): 0int= 120 mm, hauteur = 140 mm, 8 spires. Sur le générateur MHM: R.= 3,59 m dispersion: 1% Sur le générateur ACEC: R.= 3,80 m dispersion: 6% Inducteur (2): 0int= 45,5mm, hauteur = 495 mm, 70 spires. Sur le générateur MHM: R.= 28,85 m dispersion: 1,2% Sur le générateur ACEC: R.= 29,9 dispersion: 1% La variation de R. m d'un générateur à l'autre est due à 'l'environ- nement de l'inducteur, en particulier à la présence d'une porte métallique à proximité des inducteurs installés sur ].'ACEC. L'inducteur court est plus sensible à son environnement que l'inducteur long ( il rayonne à l'extérieur ce qui e st i]iustré par l'augmentation de 6% de sa résistance apparente au changement de générateur, et par la dispersion des mesures. Cette perte de précision sur II'ACEC est secondaire, car seuls les essais en charge magnétique ont été réalisés sur ce générateur, au cours desquels la puissance fournie à la charge est grande devant les pertes dans l'inducteur. - 126 - Les charges en acier inoxydable Ø ext mm mt Ø. mm I Hauteur mm X tot m Z2 CN 18/io. R ch m écart type Rch 40.6 40.6 40.6 40.6 27.6 27.6 27.6 27.6 420 114 3.28 1 .5% 200 114 1 .8% 100 116 50 117 3.17 2.52 1.69 42.5 42.5 42.5 39 420 117 1.5% 39 100 118 39 50 119 4.48 3.20 1.89 0 420 115 3.10 o .4% 116 2.38 1.64 2.4% 40 1 .3% 1% 1% 3% :: 100.6 40 o 40 0 51 118 20 700 302 40.3 Essais réalisés ante, avec à 4000 charge dans l'inducteur 2 ). 113 Hz, charges maintenues 4 mesures par charge, 2.8% 1 .2% à température ambi- sur le générateur MHM ( la dernière - 127 Charge I inducteur 1. TUBE XC d..tu. 40 mm, d.tht_ 30 mm, h. - 50 Resiatjyjt mesuree à 20°C * 23.10 38 d.tm 120 INWCTEUR A eff WI AOZO R mm, ch. h. - a? 140 mm, elec - lec mm. Q.m 8 8pire8, 4000 Hz. th 1tot 99 4.80 201 4.83 7% 127 306 4.96 8% 124 400 5.01 6% 126 503 4.76 4% 124 590 700 4.68 2% 124 4.57 4% 122 874 1076 4.50 1% 121 1% 120 1% 107 2% 120 -1% 120 1240 4.32 4.20 1420 1600 4.1]. 3.93 mc 127 é bu lii t i on - 128 - Charge 2 inducteur 1. TUBE XC 38 d.t_ 40 mm, d.tht_ 30 r mm, h.. loo mm. Resjatjyjtd me8ure & 20°C - 23.108 INIIJCTEUR d.t_ 120 mm, h. - 140 mm, 8 Spires, 4000 Hz. eff ACEC m A R ch. m( elec - th dec 1tot 102 15.6 16% 136 197 13.7 9% 131 310 12.4 5% 126 400 11.8 4% 127 497 11.0 3% 126 580 10.7 10% 702 10,2 2% 123 685 10.6 3% 126 895 10.0 3% 124 1028 9.7 4% 124 1201 9.2 3% 126 1312 9.0 3% 129 ?? 125 - 129 - Charge 3 inducteur 1. TUBE XC 38 d.t.l 40 mm, d.tu. 30 mm, h. 200 mm. Resjstjyjté mesurée à 20°C - 23.10_8 i.m INWCTEUR Ieff ACEC d.t= 120 mm, h.ic140 mm, 8 spires, 4000 Hz. A R elec - th oh. dec tot 123 28.5 4% 120 236 23.4 4% 131 343 21.3 4% 130 400 20.0 4% 128 463 19.2 5% 128 517 18.2 4% 126 565 17.8 2% 126 630 17.2 2% 124 623 17.5 1% 130 797 15.7 3% 128 1068 14.6 2% 126 - 110 - Charge 4 inducteur 2. CYLINDRE XC 38 ou A 37 d.tI. 16 mm, h.. 549 nm. Resiatjvjté mesuree à 20°C INWCTEUR í.m 45.5 mm, h.. 495 mm, 70 apIres, 4000 Hz. 'eff A ACEC 13.75 I0 Roh m alec - th dec 1tot 27 494 8% 826 52 392 -3% 756 75 335 3% 713 112 290 1% 679 145 257 3% 651 172 241 1% 637 192 232 1% 631 216 222 3% 633 208 219 -1% 631 254 209 1% 634 305 198 1% 634 357 191 1% 629 423 180 -4% 623 ébuiiiti on BIBLIOGRAPHIE - '33 - il Dimensionnement d'inducteurs: possibilités d'utilisation METAlL Note EdF, HE 122 T 290. de méthodes de calcul simples. 121 METAlL, LEVEL Dimensionnement d'inducteurs pour le chauffage de billettes d'acier. 131 HEURTIN, METAlL, Note EdF, HE 122 W 1201. POIROUX résultats d'essais acquis. 41 BILLET, METAlL Chauffage par induction: synthèse des Note EdF, HE 122 T 351. Chauffage par induction: recherche de méthodes de calcul simplifiées et essais de validation dans les applications particulières de métal Note EdF, HE 122 W 1351. carrée. 151 POIROUX mité. 161 magnétique et produits de section PLate forme induction 500 kW: étude des effets d'extré- Note EdF, HE 122 NS 138O. COEVOET, MARION Etude expérimentale des effets d'extrémite. Note EdE, HE 122 NS 1984. 171 POIROUX, dans NEMR Examen des conditions de dissipation d'énergie des produits nonhomogènes ( gradients de température ). Etablissement d'un modèle numérique pour le chauffage de billettes. 181 Note EdF, HE 122 W 1512. BOSSAVIT Chauffage d'un cylindre d'acier par induction. loque de l'AIM, Liège, 1978. Col- - 134 - 191 LORCERY Mise au point d'un programme numérique sur HP 1000 de calculs électromagnétiques en mono-dimensionneL DEA, Ecole Cen- trale de Lyon, 1983. PARENT 1101 Principes généraux du chauffage par induction. Bulletin scientifique de I'AIM, 1,1966 pp 5 à 26. liii ROSE MAG-2D Un programme d'éléments finis bidimensionnel pour la simulation du chauffage par induction. Note EdF HI/4649-07. 1121 FOGGIA, SABONNADIERE et Les équations de Maxwell en électrotechnique leur résolution numérique par une méthode d'éléments finis. Revue de Physique Appliquée, tome 14, février 1979, pp 439 à 444. 1131 FOGGIA Etude en 3D d'un four à induction de pièces de section rectangulaire. 1141 COMPUMAG Grenoble, 4 à 6 septembre 1978. FOGGIA, BERNARD Utilisation d'une méthode d'éléments finis pour la simulation d'un four à induction. Journées internationales sur le chauffage et la fusion par induction. Liège 1978. 1151 CREMER, DRIOLE, MARCHAND, FOGGIA, dans le domaine des fours à induction. FAUTRELLE Recherches en cours Comité Français d'Electro- thermie, mars 1980. 1161 SILVESTER, CHARI field problems. Finite element solution of saturable magnetic IEEE Trans. on Power App. and Syst. PAS 89 1970 ), pp I612 à 16cl. ( - 135 - 171 FOGGIA, SABONNADIERE, SILVESTER Finite element solution of satu- IEEE Trans. on Power rated travelling magnetic field problems. PAS App. and Syst. 181 NICOLAS frontière 94 ( 1975 ) pp 866 à 871. Application de la méthode des équations intégrales de à la modélisation des phénomènes d'induction. Ecole Centrale de Lyon, 191 Thèse 1983. Modélisation de champs magnétiques pour l'étude de DU TERRAIL problèmes de magnétodynamique en présence de matériaux isotropes à caractéristique magnétique non-linéaire. 1201 1982. Numerical determination of an equivalent complex per- BOSSAVIT meability for saturated steeL 1211 DEA, ENSIEG, UHATT, THOUZOT COMPUMAG, 1976. Une présentation de la méthode des éléments finis. Maloine ed. 1221 AXELSON On some experiments with time discretization. COMPUMAG, 1978. 1231 MORTCHELEWICZ Résolution numérique des équations de Maxwell dans un four à induction. 1241 MAROCCO, GLOWINSKI Thèse, Ecole Centrale de Lyon, 1980. Analyse numérique du champ magnétique d'un alternateur par éléments finis et surrelaxatiori ponctuelle nonlinéaire. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3,1974. 1251 BAUDOIN, MEYER Méthodes de programmation. Eyrolies ed. - 136 - 261 BRISSONNEAU, BRUGEL Etude thermique des propriétés magnétiques d'un acier. Rapport scientifique de la RCP "modélisation et calcul des systèmes magnétoelectrothermjques", CNRS, 1979. 1271 WOLLMAN, MOTTRAM The mechanical and physical properties of the British Standard EN steel. EN Metals Handbook, 1281 291 LAPORTE 2, 1978. Contribution à l'alimantation optimale des moteurs li- néaires à induction. Thèse, ENSM, 301 NUNS NS 1311 vol 1, Macmillan ed. 1978. Métrologie en chauffage par induction. Note EdF, HE 122 2028. BILLET Prise en compte de l'atténuation du champ dans le matériau pour le calcul. de la puissance active. Note EdF, HE 122 NS 1264. - 137 - TABLE DES PRINCIPAUX SYMBOLES UTILISES B induction magnétique. H champ magnétique. D déplacement électrique. E chanp électrique. J densité de courant. J0 courants 'source' imposés. t temps. E0 permittivité. perméabilité. ci conductivité. p résistivité. A potentiel vecteur magnétique. potentiel scalaire électrique. Ç1 t0 borne supérieure de l'intervafle de temps étuduié. domaine d'étude, ouvert de R3. section méridienne de2 1' frontière de . x,y,z repère cartésien de R3 r,ci,z système de coordonnées cylindriques. température. T t intervalle de temps entre deux calculs. o paramètre de la méthode d'EULER semi-implicite. ¡ partie de f où des conditions de DIRICHLET homogènes sont imposées ç, partie defoù des conditions de NEUMANN homogènes sont imposées. H() espace de SOBOLEV d'ordre i surI w. fonctions d'interpolation de H. F' matrice des termes "lap'acien". L matrice des termes "de Foucault". M aimantation. Msat aimantation à saturation. Br induction rémanente. Hc champ coercitif. résistance d'inducteur. - 138 - Rch résistance de charge. X réactance totale. N tot nombre de pas de temps de calcul par période. coefficient de relaxation sur les perméabilités. dernière page de la thèse AUTORISATION DE SOUTENANCE Vu les dispositions de l'article 3 de l'arrêté du 16 avril 1974, Vu le rapport de présentation de Messieurs R. BONNEFILLE M. COEVOET A. FOGGIA J. HEURTIN A. NICOLAS J.C. SABONNADIERE M. MARCHAND Christophe est autorisé à présenter une soutenance de thèse pour l'obtention du titre de DOCTEUR INGENIEUR, Spécialité Génie Electrique. Fait à Ecully, le 6 janvier 1984 Le Direct 'e I'E.C.L. OIROUX DAIr d, SOLTYLWAWCt P.OM (.vl pr.cI.I.n du o. d. 1113., 1. ca. ¿chsnt) pr*.. : Jaivir 30 lITRI i(4 : Les effets d'extremjte en chauffage par induction PA7L1RX Niuiro drdr, : : DOCT. d.u,v. a Do:7LUR- DOCTORAT 1,L.LNIELrR Cote B.3.U. - Lyoz D T 50/210/19 : DOCTORAT de CYCl2 3. DETAT ECL 84- Specislite Q / et bi. )i:su Les méthodes c'assiques de calcul ne permettent pas de prédire exactement 1 comportement des inducteurs de chauffage par induction. Pour pallier cet inconvénien nous avons réalisé un ensemble de programmes constituant un outil de dimensionnemer. d'induteurs, destiné en particulier à l'étude des défauts d'homogénéité de température aux extrêmités des pièces chauffées. Nous avons restreint notre travail à l'étude des phénomènes électromagnétiques non-linéaires intervenant en chauffage par induction, dans le cas particulier de géométries tridimensionnelles axisymétriques. A partir des équations de Maxwell, nous avons modélisé les phénomènes physiques er introduisant ]e potentiel vecteur magnétique, dont le comportement est régi par ur. MW parabolique du second ordre, et en simplifiant les lois de comportement des matéri Le problème d'évolution a été transformé en une succession de problèmes stationnaire grâce à une technique de discrétisation en temps, les différences. finies semi-impuicïtes. Le problème spatial stationnaire a été abordé par la méthode des éléments finis. en utilisant une technique de substitution par la résolution des équations non linéar Ces méthodes numériques ont été mises en oeuvre dans le logiciel intéractif CARMEN. nplanté sur mini-ordinateur. Ce nouveau logiciel a été conçu comme un outil de conception assistée, destiné aux ingénieurs de bureaux d'étude, par conséquent nous avor. accordé une grande importance à sa "portabilité" et à la clarté de son dialogue, lors de son écriture. La campagne d'essais et de mesures que nous avons réalisée a. permis de valider le hypothèses de la modélisation, et de vérifier la qualité des résultats fournis par le logiciel CARMEN. Notre travail a donc permis la mise à la disposition de l'industrie d'un logicie] simple et robuste, destiné à la conception assitée des inducteurs de chauffage par induction. o. ULT. C) MOTS-C LES : Chauffage par induction - Eléments finis - Equations de UN1U!IJ eli - in ucte s L..bor.toire (s) de recherche. Département d'Electrotechnique de et Laboratoire d'Induction du Service ADE d'EDF aux Renarclièl-. barcteur de recherche. ir..jdent de jur) A. FOGGIA Z C...poâtjon du jury : p (/4 Centra] . R. BONNEFILLE M. COEVOET - A. FOGGIA - J. HEURTIN - A. NICOLAS J.C. SABONNADIERE Dl.. on