10.3 Le plan expérimental

Transcription

10.3 Le plan expérimental
La plupart des techniques statistiques utilisées dans le contrôle de la qualité examinent l’état
courant d’un processus pour déterminer s’il est sous contrôle et s’il peut être amélioré d’une
quelconque façon. Ces techniques, qui exigent une collecte de données pendant que
le processus est en opération, sont certainement utiles dans la démarche visant à améliorer le
rendement du processus. Il existe cependant d’autres méthodes qui permettent d’analyser un
produit ou un processus dès l’étape de la conception, et ce, afin de vérifier les conditions susceptibles de mener à une meilleure performance. Parmi ces méthodes, le plan expérimental
peut s’avérer très utile dans l’effort d’identifier les actions en faveur d’une meilleure qualité.
Cette technique constitue une option fort valable lorsque les données sur le comportement
d’un processus ne sont pas disponibles ou n’existent tout simplement pas, en particulier
durant la phase de conception. De plus, le recours au plan expérimental permet de réduire le
délai entre la conception et la fabrication en focalisant sur les paramètres prédominants du
processus étudié.
10.3.1 Le fondement théorique
Pour une meilleure compréhension des quelques modèles que nous allons présenter un peu
plus loin, commençons par définir les éléments conceptuels associés au plan expérimental.
1) Expérience. C’est une étude qui examine l’effet d’une variable sur une autre. L’expérience
permet de vérifier une hypothèse à partir d’une information partielle.
2) Facteur. C’est une variable indépendante, sur laquelle on possède un certain contrôle, et
dont on veut déterminer l’influence sur la variable dépendante. Il peut y avoir un ou
plusieurs facteurs à considérer dans une expérience. Un facteur, qui peut être mesuré par
une échelle qualitative ou quantitative, comporte des niveaux sur lesquels est manipulée
l’expérience. Un niveau ou une combinaison de niveaux sont appelés traitement.
3) Variable dépendante. Cette variable représente le phénomène dont le comportement est
étudié à partir des observations en relation avec un ou plusieurs facteurs. Elle doit être
mesurée par une échelle quantitative.
4) Unités expérimentales. C’est un ensemble d’unités statistiques qui font l’objet de l’étude
et à partir duquel on prélève des échantillons pour fins d’observation et de mesure.
© 2006 Les Éditions de la Chenelière inc.
5) Bloc. Ce terme désigne un groupe comprenant des unités expérimentales semblables qui
sont définies selon un critère commun. Le recours à des blocs permet de mieux évaluer
l’effet des traitements sur la variable dépendante.
6) Effets fixes et effets aléatoires. Lorsque tous les niveaux d’un facteur sont inclus dans un
modèle d’analyse, on a un modèle à effets fixes. Si les niveaux des facteurs inclus dans le
modèle représentent un échantillon de l’ensemble des niveaux disponibles, on a un modèle à effets aléatoires.
7) Analyse de la variance. C’est une procédure statistique utilisée dans un plan expérimental et permettant de vérifier l’effet des facteurs sur la variable dépendante en faisant appel
au concept de variance. L’analyse de variance vise à comparer deux ou plusieurs
moyennes de la variable dépendante classée selon les traitements. Elle consiste d’abord à
décomposer la variation totale dans la variable dépendante en des parties attribuables aux
traitements définis par les niveaux dans les facteurs et au caractère aléatoire même de la
variable. Par la suite, un test statistique de comparaison de variances représentant ces parties de variations cherche à vérifier l’effet des facteurs sur la variable dépendante. Cette
procédure sera expliquée à la section suivante.
Chapitre 10
Supplément
2
10.3.2 Quelques modèles
Dans les modèles présentés ci-après, nous nous limitons à deux facteurs puisque, à mesure que
le nombre de ces derniers augmente, la procédure présente une complexité croissante. Nous
présentons donc un modèle à un facteur et un autre à deux facteurs.
10.3.2.1 Le modèle complètement aléatoire à un facteur
Dans ce modèle, les traitements sont aléatoirement appliqués aux unités expérimentales. Il
s’agit d’un plan simple, flexible et peu restrictif. Le nombre de fois que chaque traitement est
appliqué peut être égal ou inégal.
a) La procédure d’analyse
La procédure d’analyse, appelée analyse de la variance, détermine l’effet des traitements à
partir de leurs moyennes. Elle fait appel aux notations présentées au tableau 10.3,
lesquelles représentent les données à utiliser dans l’analyse de la variance.
Tableau 10.3 La notation pour le modèle complètement aléatoire à un facteur
Traitement
1
2
…
k
x11
x12
…
x1k
x21
x22
…
x2k
.
.
.
.
.
.
xn1,1
xn2,1
…
…
Nombre d’observations
n1
n2
Moyenne du traitement
–
–
x1
xnk,k
nk
–
x2
xk
xij = ie observation de la variable dépendante dans le traitement j
nj = nombre d’observations de la variable dépendante dans le traitement j
nj
–
x j = moyenne des observations dans le je traitement =
=
xij
i=1
-----------------
nj
(10.31)
x = moyenne de toutes les observations
k
=
x=
nj
xij
j=1 i=1
--------------------------
n
(10.32)
où :
k
n = j
n , et k représente le nombre de traitements
=1 j
Le test statistique utilisé dans l’analyse de la variance a pour but de vérifier l’hypothèse de
l’égalité des moyennes des traitements par rapport à une autre voulant qu’il existe au moins
deux moyennes différentes. En posant 1, 2, …, k comme moyennes des traitements variant
de 1 à k, on peut énoncer les hypothèses nulle et alternative comme suit :
H 0 : 1 = 2 = … = k
H1 : Les moyennes ne sont pas toutes égales (ou au moins deux moyennes sont différentes)
Chapitre 10
Supplément
3
La variation totale dans la variable dépendante du modèle complètement aléatoire à un
facteur est décomposée en deux parties ; l’une est attribuable au facteur défini par les traitements, et l’autre à l’erreur d’échantillonnage.
Variation totale = variation entre les traitements + variation à l’intérieur des traitements
ou encore :
Somme des carrés totale = somme des carrés due au facteur + somme des carrés due à l’erreur
SCT
=
SCF
+
SCE
(10.33)
où :
k
nj
SCT =
(xij – x= )2
j=1i=1
SCF =
nj (x– j – x= )2
j=1
SCE =
(xij – x– j)2
j=1 i=1
(10.34)
k
k
(10.35)
nj
(10.36)
Les sommes des carrés exprimées par les équations (10.35) et (10.36) permettent d’estimer
deux variances : la variance entre les moyennes des traitements, appelée moyenne des carrés due
au facteur (MCF), et la variance à l’intérieur des traitements, appelée moyenne des carrés due à
l’erreur (MCE).
SCF
k–1
SCE
MCE = ---------------n–k
MCF =
(10.37)
----------------
(10.38)
Le test statistique est la distribution F définie comme le rapport de deux variances à (k – 1)
et (n – k) degrés de liberté, c’est-à-dire :
F=
MCF
MCE
(10.39)
----------------
Il s’agit d’un test unilatéral à droite avec niveau de confiance de (1 – ), ce qui donne la
règle de décision illustrée à la figure 10.13.
Figure 10.13 Le seuil critique du test F de l’analyse de la variance
Distribution de F(k – 1, n – k)
(région de rejet)
0
F
Chapitre 10
Supplément
4
Selon cette règle, si la valeur de F calculée par l’équation (10.39) est supérieure à F trouvée dans la table I (disponible sur le site www.cheneliere.ca), on rejette l’hypothèse H0. Dans
le cas contraire, on l’accepte.
Les résultats sont résumés dans un tableau d’analyse de la variance (voir le tableau 10.4).
Tableau 10.4 Un tableau d’analyse de la variance
Source de variation Degrés de liberté
Somme des carrés
Moyenne des carrés
F
Facteur
k–1
SCF
MCF = SCF/(k – 1)
F = MCF/MCE
Erreur
n–k
SCE
MCE = SCE/(n – k)
Total
n–1
SCT
Par ailleurs, le recours au test F repose sur deux conditions : la forme normale de la variable dépendante et l’égalité des variances des groupes. La première condition peut être vérifiée graphiquement par un histogramme ou par le test d’ajustement du 2. La vérification de
la deuxième condition peut être effectuée par le test de Bartlett. Le lecteur intéressé peut se
référer à un ouvrage d’inférence statistique.
Exemple 10.11 : La direction d’une usine de production songe à remplacer la technologie
actuelle par une autre plus performante. Elle a reçu trois propositions provenant de différentes
entreprises spécialisées dans la conception de processus de transformation. Chacune des technologies proposées (A, B et C) a été testée dans les mêmes conditions et pendant six périodes
d’une heure aléatoirement choisies pour observer leur rendement en termes de taux de production. Les données ci-après présentent le nombre d’unités fabriquées par heure par chacune des
technologies durant les six périodes en question. Il s’agit de déterminer quelle technologie
devrait être choisie pour maximiser le taux de production.
Le type de technologie
A
B
C
27
33
40
28
36
37
33
30
42
25
44
36
38
39
40
29
34
39
–
Moyenne (xj)
30
36
39
=
Moyenne de toutes les observations x = (30 + 36 + 39)/3 = 35
Dans cet exemple, on présume que le rendement varie selon le type de technologie utilisé, c’est-à-dire que la variable dépendante est le taux de production exprimé en unités par
heure, et le facteur est le type de technologie avec trois niveaux (ou traitements). L’analyse de
la variance vise à vérifier le lien entre la variable dépendante et le facteur à partir des
hypothèses suivantes :
H 0 : 1 = 2 = 3
H1 : Les moyennes ne sont pas toutes égales
Le calcul de la somme des carrées due au facteur et de la somme des carrés due à l’erreur
est effectué au moyen des équations (10.35) et (10.36) :
k
SCF =
nj(x–j – x= )2 = 6(30 – 35)2 + 6(36 – 35)2 + 6(39 – 35)2 = 252
j=1
Chapitre 10
k
SCE =
nj
n1
n2
Supplément
5
n3
(xij – x–j)2 = i= 1 (xi1 – x–1)2 + i= 1(xi2 – x–2)2 + i= 1 (xi3 – x–3)2
j=1 i=1
SCE = (27 – 30)2 + … + (29 – 30)2 + (33 – 36)2+ … +(34 – 36)2 + (40 – 39)2+ … +(39 – 39)2
SCE = 258
De là, on obtient la valeur de la statistique F :
F=
MCF
----------------
MCE
=
SCF/(k – 1)
----------------------------------
=
252/(3 – 1)
-------------------------------------
SCE/(n – k) 258/(18 – 3)
= 7,33
Les résultats sont résumés au tableau 10.5, qui porte sur l’analyse de la variance.
Tableau 10.5 Le tableau d’analyse de la variance pour le problème de production
Somme des carrés
Moyenne des carrés
F
Technologie
7,33
2
252
126,0
Erreur
15
258
17,2
Total
17
510
En choisissant = 0,05, on obtient de la table I (disponible sur le site www.cheneliere.ca)
F0,05, 2, 15 = 3,68, ce qui signifie que la région de rejet de l’hypothèse H0 est F > F0,05, 2, 15 =
3,68, tel qu’indiqué à la figure 10.14. On conclut donc que H0 est rejetée, ce qui veut dire que
la production moyenne varie selon le type de technologie. Les mêmes résultats peuvent être
obtenus à l’aide du logiciel Minitab (voir le tableau 10.6).
Figure 10.14 Le seuil critique du test F pour le problème de production
Région de rejet
0
F0,05, 2,15 = 3,68
F = 7,33
Chapitre 10
Supplément
6
Tableau 10.6 Les résultats de l’analyse de la variance par Minitab
One-way ANOVA : Production versus Techno
Analysis of Variance for Production
Source DF SS
MS
F
P
Techno
2 252,0 126,0 7,33 0,006
Error
15 258,0
17,2
Total
17 510,0
Individual 95% CIs For Mean
Based on Pooled StDev
Level
N
Mean
StDev
-------+-------+-------+------1
6
30,000 4,733
(-------*-------)
2
6
36,000 4,940
(-------*-------)
3
6
39,000 2,191
(-------*-------)
-------+-------+-------+------Pooled StDev = 4,147
30,0
35,0
40,0
b) Les comparaisons multiples : la méthode de Tukey
Lorsque la conclusion du test F révèle que les moyennes ne sont pas toutes égales, il est
nécessaire de repérer les traitements dont les moyennes sont différentes à l’aide d’une
opération, appelée comparaisons multiples. Il s’agit là du deuxième volet de l’analyse de la
variance à être utilisé, particulièrement dans le cas d’un seul facteur qui comporte plus de
deux traitements (ou niveaux). Parmi les nombreuses méthodes de comparaisons multiples, nous ne présentons ici que la méthode de Tukey.
La méthode de Tukey, considérée comme un test assez efficace, consiste à établir un seuil
critique () à partir duquel la différence estimée de deux moyennes sera jugée statistiquement significative ou non.
= q(k, )
MCE
ntr
------------------
(10.40)
où :
: niveau de confiance
q(k, ) : valeur critique de l’étendue qui varie selon , k et et qui est donnée par la table
J (disponible sur le site www.cheneliere.ca)
k : nombre de niveaux ou de traitements dans le facteur
: degrés de liberté associés à MCE ( = n – k )
ntr : nombre d’observations dans chaque groupe (ou traitement). Si ce nombre est
inégal dans les groupes, la valeur de ntr peut être estimée par :
ntr =
k
1/n1 + 1/n2 + … + 1/nk
------------------------------------------------------------------------
(10.41)
Revenons à l’exemple 10.11. Puisque le test F indique que les trois moyennes ne sont pas
égales, nous allons poursuivre l’exercice à l’aide de la méthode de Tukey, avec = 0,05,
k = 3 et = 15, q0,05(3, 15) = 4,83 selon la table J (disponible sur le site www.cheneliere.ca),
ce qui permet de calculer le seuil critique , sachant que n1 = n2 = n3 = 6.
= 4,83
17,2
8,18
6
------------------
Chapitre 10
Supplément
7
Aux fins de comparaison, l’intervalle de confiance pour la différence de chaque paire de
moyennes est calculé au moyen de l’équation (10.34) :
–
–
(j – j+1) = (xj – xj+1) (10.42)
Ainsi, on obtient :
–
–
(1 – 2) = (x1 – x2) = (30 – 36) 8,18 = (-14,18, 2,18)
–
–
(1 – 3) = (x1 – x3) = (30 – 39) 8,18 = (-17,18, -0,82)
–
–
(2 – 3) = (x2 – x3) = (36 – 39) 8,18 = (-11,18, 5,18)
Lorsqu’un intervalle ne contient pas de zéro, cela signifie que la différence entre deux
moyennes est statistiquement significative. On constate ainsi une seule différence entre les
traitements 1 et 3, ce qui permet de conclure que la production moyenne associée à la technologie A est différente de celle associée à la technologie C. Bref, sachant que la production
moyenne de la technologie C est plus élevée de 39 unités par heure, on devrait privilégier
cette dernière afin de maximiser le taux de production.
10.3.2.2 Le modèle avec blocs randomisés
Pour minimiser la variation à l’intérieur des traitements afin de mieux détecter les différences
entre les moyennes de traitement, on peut recourir à une procédure qui regroupe les unités
expérimentales en blocs. Le critère de regroupement permet de former des blocs homogènes.
Dans chacun des blocs, chaque traitement est appliqué aléatoirement à une seule unité
expérimentale, de sorte que le nombre d’observations est égal à bk s’il y a b blocs et k traitements, comme le montre la notation du tableau 10.7.
Tableau 10.7 La notation pour les blocs randomisés
Traitement (Facteur)
Bloc
1
2
…
k
Moyenne du bloc
1
x11
x12
…
x1k
–
2
x21
x22
…
x2k
–
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
…
xbk
…
–
b
xb1
xb2
Moyenne du traitement
–
–
x T1
x T2
x B1
x B2
–
x Bb
x Tk
La variation totale dans le modèle avec blocs randomisés se décompose en trois parties
attribuables aux trois sources : traitement (facteur), bloc et erreur, ce que traduit l’équation
suivante :
SCT = SCF + SCB + SCE
où :
SCT : somme des carrées totale
SCF : somme des carrés due au facteur
SCB : somme des carrés due aux blocs
SCE : somme des carrés due à l’erreur
k
SCT =
b
(xij – x= )2
j=1 i=1
(10.43)
k
SCF =
b(x– Tj – x= )2
j=1
(10.44)
Chapitre 10
Supplément
8
b
SCB =
k(x– Bi – x= )2
i=1
SCE =
(xij – x– Tj – x– Bi + x= )2
j=1 i=1
k
(10.45)
b
(10.46)
Et les variances :
SCF
MCF =
-------------------
MCB =
-------------------
MCE =
--------------------------------------
(10.47)
k–1
SCB
(10.48)
b–1
SCE
(10.49)
n–k–b+1
Le test statistique visant à vérifier l’égalité des moyennes des traitements est aussi une distribution F à (k – 1) et (n – k – b + 1) degrés de liberté.
F=
MCF
(10.50)
----------------
MCE
On peut aussi vérifier si les moyennes des blocs sont égales ou non par un test F à (b – 1)
et (n – k – b + 1) degrés de liberté. Si le test révèle que les moyennes des blocs ne sont pas
égales, il est permis de dire que le recours aux blocs est efficace dans le plan expérimental pour
détecter les différences réelles entre les moyennes des traitements.
F=
MCB
(10.51)
----------------
MCE
Les résultats sont résumés sous forme de tableau d’analyse de la variance (voir le tableau 10.8).
Tableau 10.8 Le tableau d’analyse de la variance du modèle avec blocs randomisés
Source de variation
Degrés de liberté
Somme des carrés
Moyenne des carrés
F
Facteur
k–1
SCF
MCF = SCF/(k – 1)
F = MCF/MCE
Bloc
b–1
SCB
MCB = SCB/(b – 1)
F = MCB/MCE
Erreur
n–k–b+1
SCE
MSE = SCE/(n – k – b + 1)
Total
n–1
SCT
Exemple 10.12 : Un laboratoire de recherche tente de vérifier l’effet des régimes alimentaires
sur la réduction de la pression sanguine chez les femmes. Pour ce faire, on envisage trois régimes
différents (A, B et C). On définit quatre groupes de patientes en fonction de leur âge. Dans
chaque groupe, trois patientes sont choisies et aléatoirement affectées à un des régimes alimentaires pendant trois mois. Après cette période d’observation, on note la réduction de la pression
sanguine chez les patientes et on obtient les données ci-après. Il s’agit de savoir si le régime alimentaire suivi permet de réduire la pression sanguine et s’il existe des différences entre les
moyennes des divers groupes d’âge.
Chapitre 10
Supplément
9
Régime alimentaire
Groupe d’âge
A
B
C
18 – 25
50
70
40
26 – 35
65
80
70
36 – 45
40
60
30
46 – 55
50
70
60
Dans cet exemple, les blocs regroupent les patientes de même groupe d’âge. En recourant
au logiciel Minitab, nous obtenons les résultats présentés au tableau 10.9.
Tableau 10.9 Les résultats de l’analyse de la variance « Régime alimentaire »
Two-way ANOVA : Pression versus Groupe ; Régime
Analysis of Variance for Pression
Source
DF
SS
MS
F
Régime
2
1004,2
502,1
12,25
Groupe
3
1272,9
424,3
10,36
Error
6
245,8
41,0
Total
11
2522,9
P
0,008
0,009
En fixant = 0,05, on constate que le test F pour « Régime » est statistiquement significatif
car F = 12,25 avec p = 0,008, ce qui veut dire que les moyennes sont différentes entre au moins
deux régimes alimentaires. De plus, le test F pour « Groupe » est également significatif car
F =10,36 avec p = 0,009, ce qui veut dire que les moyennes sont différentes entre au moins
deux groupes d’âge. En d’autres mots, l’âge constitue un critère efficace pour regrouper les
patientes en blocs afin de mieux détecter les différences de moyennes entre les régimes alimentaires. À la suite de ces résultats, des comparaisons multiples peuvent être utilisées pour
déterminer le meilleur régime alimentaire.
10.3.2.3 Le modèle complètement aléatoire à deux facteurs
Dans un plan expérimental à deux facteurs, appelé aussi expérience factorielle, on examine l’effet de deux variables indépendantes (deux facteurs) sur la variable dépendante. Dans l’analyse,
on cherche à évaluer l’effet principal de chacun des deux facteurs, ainsi que leur effet combiné
sur la variable dépendante. Dans l’analyse de la variance à deux facteurs avec interaction, la
variation totale de la variable dépendante se décompose comme suit :
SCT = SCA + SCB + SCAB + SCE
SCT = somme des carrés totale
SCA = somme des carrés due au facteur A
SCB = somme des carrés due au facteur B
SCAB = somme des carrés due à l’interaction A*B
SCE = somme des carrés due à l’erreur
(10.52)
Chapitre 10
Supplément
10
Le modèle présenté ici est à effets fixes et le format des données est indiqué au tableau 10.10.
Tableau 10.10 La notation pour le modèle à deux facteurs
Facteur A
Facteur B
1
2
1
x111
x112
.
x–11
.
x11r
x211
x212
.
x–21
.
x21r
2
x121
x122
.
x–12
.
x12r
.
.
.
.
.
.
b
x1b1
x1b2
.
x–1b
.
x1br
x2b1
x2b2
.
x–2b
.
x2br
Moyenne
x–A1
x–A2
…
a
…
xa11
xa12
.
.
xa1r
x221
x222
.
x–22
.
x22r
…
xa21
xa22
.
.
xa2r
.
.
.
...
.
.
.
…
xab1
xab2
.
.
xabr
x–Aa
Moyenne
x–a1
x–B1
x–a2
x–B2
.
.
.
x–ab
x–Bb
=
x
xijk = ke observation de la variable dépendante correspondant au niveau i du facteur A et au
niveau j du facteur B
a = nombre de niveaux dans le facteur A
b = nombre de niveaux dans le facteur B
r = nombre d’observations de la variable dépendante dans chaque traitement défini par i et j
–
x ij = moyenne de la variable dépendante dans le traitement ij
–
x Ai = moyenne des observations au niveau i du facteur A
–
x Bj = moyenne des observations au niveau j du facteur B
=
x = moyenne de toutes les observations
Le calcul des sommes des carrés est effectué au moyen des équations (10.53) à (10.57) :
a
SCT =
b
r
(xijk – x=)2
i=1 j=1 k=1
(10.53)
a
SCA = rb
(x– Ai – x=)2
i=1
SCB = ra
(x– Bj – x=)2
j=1
(10.54)
b
a
SCAB = r
a
SCE =
b
(x– ij – x– Ai – x– Bj + x=)2
i=1 j=1
b
(10.55)
(10.56)
r
(xijk – x– ij)2
i=1 j=1 k=1
(10.57)
Chapitre 10
Supplément
11
Ces sommes des carrés permettent de calculer les variances (voir le tableau 10.11).
Tableau 10.11 Le tableau d’analyse de la variance à deux facteurs
•
Somme des carrés
Moyenne des carrés
F
Facteur A
a–1
SCA
MCF = SCF/(a – 1)
F = MCA/MCE
Facteur B
b–1
SCB
MCB = SCB/(b – 1)
F = MCB/MCE
Interaction A*B
(a – 1)(b – 1)
SCAB
MCAB = SCAB/(a – 1)(b – 1) F = MCAB/MCE
Erreur
n – ab
SCE
MSE = SCE/(n – ab)
Total
n–1
SCT
Test sur la différence de moyennes entre les niveaux du facteur A :
H0 : 1. = 2. = … = a.
F=
•
MCA
avec (a – 1) et (n – ab) degrés de liberté
MCE
----------------
Test sur la différence de moyennes entre les niveaux du facteur B :
H0 : .1 = .2 = … = .b
F=
•
MCB
avec (b – 1) et (n – ab) degrés de liberté
MCE
----------------
Test sur la différence de moyennes entre les traitements définis par a niveaux du facteur
A et b niveaux du facteur B :
H0 : Les moyennes sont égales (pas d’effet combiné AB sur la variable dépendante)
H1 : Les moyennes ne sont pas toutes égales (effet combiné significatif)
F=
MCAB
avec (a – 1)(b – 1) et (n – ab) degrés de liberté
MCE
----------------------
Exemple 10.13 : Reprenons l’exemple 10.11 en y ajoutant un deuxième facteur, la durée de formation. Le choix d’une nouvelle technologie doit être accompagné d’une formation destinée
aux opérateurs, laquelle peut avoir une durée de 20 ou de 30 heures. Les données ci-après
présentent le taux de production (nombre d’unités produites par heure) selon le type de technologie et la durée de la formation.
Durée de la formation
A
B
C
20 heures
27
28
33
33
36
30
36
40
39
30 heures
25
38
29
44
39
40
37
42
34
Il s’agit de vérifier, pour = 0,05, l’effet principal de la technologie et celui de la durée de
la formation, ainsi que leur effet combiné sur le taux de production horaire.
En utilisant le logiciel Minitab, on obtient les résultats sommaires présentés au tableau 10.12.
Chapitre 10
Supplément
12
Tableau 10.12 Les résultats de l’analyse de la variance par Minitab pour le problème de production
Two-way ANOVA : Production versus Techno ; Formation
Analysis of Variance for Production
Source
DF
SS
MS
F
Techno
2
252,0
126,0
7,61
Formation
1
37,6
37,6
2,27
Interaction
2
21,8
10,9
0,66
Error
12
198,7
16,6
Total
17
510,0
P
0,007
0,158
0,536
a) L’interprétation des résultats
En fixant = 0,05, on tire les constatations suivantes :
1) Le test F pour « Technologie » (F = 7,61, p = 0,007) amène à conclure que les moyennes
de production obtenues pour les trois types de technologie ne sont pas toutes égales.
2) Le test F pour « Formation » (F = 2,27, p = 0,158) révèle que les moyennes de production sont égales en ce qui concerne la durée de la formation.
3) Le test F pour « Interaction » (F = 0,66, p = 0,536) indique que l’effet interactif entre
le type de technologie et la durée de la formation n’est pas significatif sur le taux de
production.
b) La représentation graphique de l’effet interactif
La détection de l’effet interactif peut être faite à l’aide d’une représentation graphique à
trois variables : les moyennes de la variable dépendante sur l’axe vertical, l’un des deux
facteurs sur l’axe horizontal et l’autre dans le cadran. Les moyennes de la variable dépendantes sont calculées pour chaque combinaison « technologie-formation » afin de produire deux graphiques (voir la figure 10.16 obtenue à l’aide du logiciel Minitab). Toutefois,
un seul de ces derniers suffit pour détecter l’effet interactif. La figure 10.14 montre l’un
d’eux illustré manuellement.
Durée de la formation
A
B
C
20 heures
–
x11 = 29,33
–
x21 = 33
x31 = 38,33
30 heures
x12 = 30,67
–
x22 = 39
–
x32 = 39,67
–
–
c) L’interprétation du graphique
Le graphique de la figure 10.15 montre que la production moyenne augmente de façon
significative avec le changement du type de technologie (par exemple de A à C), ce qui a
été confirmé par le test F sur le facteur « Technologie ». Néanmoins, l’augmentation de la
production moyenne est modérée d’un niveau de formation à un autre (de 20 heures à
30 heures), à l’exception du segment du milieu. Le test F sur la formation a en effet révélé
que les moyennes ne sont pas différentes entre deux niveaux de formation. Pour ce qui
est de l’effet interactif, il est significatif lorsque les segments du graphique se croisent.
Dans le présent cas, on peut conclure à l’absence d’effet combiné entre les deux facteurs
sur la variable dépendante puisque les segments ne se recoupent pas.
Chapitre 10
Supplément
13
Figure 10.15 La représentation graphique des moyennes pour détecter l’effet interactif
Formation de 20 heures
Moyennes
de production
40
Formation de 30 heures
30
A
B
C
Figure 10.16 La représentation graphique des moyennes pour détecter l’effet interactif
10.4 La fiabilité
La qualité d’un produit peut être analysée de façon intermittente à des moments précis ou de
façon continue sur une période de temps donnée. Jusqu’ici, la dimension temporelle n’a pas
été incluse explicitement dans les analyses ; elle représente plutôt une série d’analyses ponctuelles. La fiabilité est une mesure de la qualité sur une période plus ou moins longue et elle
constitue souvent aux yeux du client un critère important dans le choix des produits, en particulier des produits durables.
La fiabilité se définit comme la probabilité qu’un produit donne la performance spécifiée par sa fonction, et ce, pendant une période de temps donnée et dans des conditions
Chapitre 10
Supplément
14
préétablies. Cette définition se caractérise par quatre éléments : la probabilité, la performance,
le temps et les conditions d’usage. La probabilité désigne le degré de répétition de la qualité,
mesuré numériquement entre 0 et 1. Si elle est égale à 0,99, elle peut signifier que, parmi 100
unités vendues, 99 donnent la performance spécifiée durant la période et dans les conditions
prévues. Aux yeux du client, elle peut aussi impliquer que l’unité achetée fonctionne comme
prévu dans 99 % du temps dans les conditions déterminées. L’élément probabilité peut servir
de critère de comparaison avec d’autres produits de même classe. La performance représente
l’essence même de la démarche qualité. Elle se traduit habituellement en termes de défectuosité dans le processus de contrôle de la qualité. La défectuosité peut se produire soit à la
sortie du processus de production, soit après une certaine période d’usage. La performance
doit être définie par des critères précis et mesurables à des fins de contrôle. Le temps est un
critère permettant non seulement d’exprimer la qualité d’un produit en termes de durée de
vie, mais aussi de comparer cette durée avec celle d’autres produits. Les conditions d’usage comprennent à la fois la fréquence ou l’intensité d’opération du produit et l’environnement dans
lequel ce dernier doit être utilisé pour obtenir la fiabilité désirée. Un produit qui a la capacité
d’offrir des performances dans les conditions d’usage les plus variables aura, aux yeux du
client, une fiabilité plus grande.
La fiabilité d’un produit, tout comme sa qualité, peut être conçue et spécifiée durant les
étapes de la conception et de la fabrication. Néanmoins, la fiabilité réelle ne peut être évaluée
qu’au moment de l’usage. En ce sens, il importe pour l’entreprise de comprendre comment
mesurer et gérer cette fiabilité.
10.4.1 La mesure de la fiabilité
Dans l’optique de la qualité, la fiabilité est mesurée par le taux de bris, c’est-à-dire le nombre
de bris par unité de temps pendant la durée de vie d’un produit. Pour comprendre cette
mesure, il est utile de placer le taux de bris dans le cycle de vie d’un produit après que ce
dernier ait été acheté par le client. Le cycle comprend trois phases : la défectuosité prématurée,
la vie utile et l’usure (voir la figure 10.17). La défectuosité prématurée est une courte phase où
le taux de bris doit être maîtrisé et maintenu à un bas niveau avant que le produit ne soit distribué au marché. La vie utile correspond en quelque sorte à la durée de vie normale du produit, durée où le taux de bris est bas et constant. Au cours de cette période, les bris se
produisent de façon aléatoire et indépendante les uns des autres. Les causes de bris relèvent
souvent de sources incontrôlables. Finalement, l’usure est une phase où le taux de bris augmente substantiellement en raison de l’âge du produit. C’est durant la vie utile d’un produit
qu’il est important d’en évaluer la fiabilité par le biais du taux de bris. Pour déterminer ce taux
et la fiabilité d’une pièce, on fait appel à quelques distributions de probabilité, en particulier
la distribution exponentielle et la distribution de Weibull.
Chapitre 10
Supplément
15
Figure 10.17 La courbe de cycle de vie d’un produit
Taux de bris
Bris
prématuré
Vie utile
Usure
Temps
10.4.1.1 Le taux de bris
Le taux de bris se définit comme le nombre de fois que le produit acheté par le client tombe
en panne durant une période de temps donnée. Il est variable durant le cycle de vie du produit, mais il est généralement constant pendant la phase de vie utile (voir la figure 10.17).
La mesure de ce taux est exprimée en nombre de bris par unité de temps (par exemple,
bris/heures d’opération) et se calcule selon la formule suivante :
Taux de bris = =
Nombre de bris
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nombre total d’heures d’opération
Si l’estimation de ce taux est fondée sur l’inspection d’un échantillon d’unités, le calcul
devient :
Taux de bris = =
Nombre de bris
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(Nombre d’unités inspectées) (Nombre d’heures inspectées)
10.4.1.2 La fiabilité selon la distribution exponentielle
La fonction de densité de la distribution exponentielle exprimée par rapport au temps s’écrit
comme suit :
f(t) = e-t,
t0
(10.58)
où représente le taux de bris. Dans la phase de vie utile d’un produit, il est important
d’évaluer deux aspects directement liés au taux de bris : le temps moyen jusqu’au prochain
bris (TMPB) et le temps moyen entre deux bris (TMDB). Puisque le taux de bris est constant
durant la vie utile, le temps moyen jusqu’au prochain bris est égal à l’inverse de ce taux, c’està-dire :
TMPB = 1/
(10.59)
Pour un produit réparable à la suite d’un bris, le temps moyen jusqu’au prochain bris est
appelé temps moyen entre deux bris, et TMPB = TMDB si le temps de réparation est négligeable.
À partir de l’équation (10.58), on obtient la distribution exponentielle cumulative, qui représente la probabilité qu’il y ait un bris au temps t :
Chapitre 10
Supplément
16
t
F(t) = e-t dt = 1 – e-t
(10.60)
0
Posons R(t), la fiabilité au temps t, qui exprime la probabilité que le produit fonctionne
normalement jusqu’au temps t. Ainsi, on obtient :
R(t) = 1 – F(t)
ou
R(t) = 1 – (1 – e-t) = e-t
(10.61)
La fonction de fiabilité (voir la figure 10.18) indique que la fiabilité est égale à 100 % au
temps t = 0 et qu’elle diminue exponentiellement dans le temps.
Figure 10.18 La fonction de fiabilité selon la distribution exponentielle
R(t)
1,0
0
t
Exemple 10.14 : Une composante informatique a un taux de bris de 0,05 par 1 000 heures.
Sachant qu’elle suit une distribution exponentielle, il faut trouver la fonction de fiabilité.
Quelle est la fiabilité de cette composante au bout de 4 000 heures ? Quel est le temps moyen
jusqu’au prochain bris ?
Avec = 0,05/1 000 = 0,00005, nous avons la fonction de fiabilité suivante :
R(t) = e-0,00005t
Jusqu’au temps t = 4 000, R(t ≤ 4 000) = e-0,00005(4 000) = e-0,2 = 0,818. Donc, la probabilité
qu’il n’y ait pas de bris avant 4 000 heures est égale à 0,818. Le temps moyen jusqu’au
prochain bris est calculé de la façon suivante :
TMPB = 1/ = 1/0,00005 = 20 000 heures
Exemple 10.15 : La probabilité qu’un produit fonctionne normalement sans bris pendant
200 heures est égale à 0,98. Il faut trouver sa fonction de fiabilité. Pour ce faire, on remplace
les valeurs dans l’équation (10.61) et on obtient :
0,98 = e-(200)
ln0,98 = -(200)
= -ln0,98/200
0,0001
Chapitre 10
Supplément
17
Le temps moyen jusqu’au prochain bris ou le temps moyen entre deux bris est égal à 1/
= 1/0,0001 = 10 000 heures, ce qui signifie qu’il y a un bris toutes les 10 000 heures. La fonction de fiabilité peut s’écrire ainsi :
R(t) = e-0,0001t
ou encore
R(t) = e-t/10 000
Grâce à cette fonction, on peut déterminer une série de valeurs de F(t) et de R(t) pour différents moments dans le temps :
Temps,
t
Probabilité qu’il y ait
un bris, F(t)
Probabilité qu’il n’y
ait pas de bris, R(t)
0
1
20
0,002
0,998
40
0,004
0,996
60
0,006
0,994
80
0,008
0,992
100
0,010
0,990
120
0,012
0,988
140
0,014
0,986
160
0,016
0,984
180
0,018
0,982
200
0,020
0,980
0
10.4.1.3 La fiabilité selon la distribution de Weibull
La distribution de Weibull peut être utilisée pour évaluer la fiabilité d’un produit ayant un taux
de bris plutôt variable. La fonction de densité de cette distribution s’écrit comme suit :
f(t) = (t – )
– 1e-(t – ) , t , > 0, > 0 et – < < (10.62)
Les trois paramètres ‚ et définissent respectivement l’échelle, la forme et la localisation
de la distribution. La figure 10.19 présente plusieurs formes de la distribution de Weibull avec
= 0, = 1 et = 0,5, 1, 2 et 4.
Pour les problèmes de fiabilité = 0, la fonction de densité devient :
f(t) = t
– 1e-t , t > 0, > 0 et > 0
(10.63)
La figure 10.19 montre que la distribution de Weibull tend vers la distribution exponentielle lorsque = 1,0 et la distribution normale lorsque = 4. La fonction de fiabilité selon la
distribution de Weibull s’écrit :
R(t) = e-t
(10.64)
et le temps moyen jusqu’au prochain bris est donné par :
TMPB = –1/
(1 + 1/
)
(10.65)
L’estimation des paramètres et de la distribution de Weibull peut être effectuée au
moyen de méthodes analytiques ou empiriques. Ces dernières, qui sont relativement complexes, ne sont pas présentées dans le présent manuel. Le lecteur intéressé par le sujet peut
consulter d’autres ouvrages en probabilité et statistique1. Par conséquent, nous utilisons ici les
valeurs estimées à l’avance de et .
1
Miller, I., et Freund, J.E. 1965. Probability and Statistics for Engineers, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall.
Chapitre 10
Supplément
18
Figure 10.19 La distribution de Weibull avec = 0, = 1 et = 0,5, 1, 2 et 4
f(t)
2,0
= 0,5
=4
= 1,0
1,0
=2
0
t
Exemple 10.16 : La fiabilité d’un circuit électrique suit une distribution de Weibull avec les
paramètres = 0,05 et = 0,4. On doit déterminer la fiabilité et le temps moyen jusqu’au
prochain bris pour t = 0, 100, 200, 400, 600, 800, 1 000, 2 000, 5 000 et 10 000 heures.
En remplaçant les valeurs de et de dans l’équation (10.64), on obtient la fonction de
fiabilité :
R(t) = e-0,05t
0,4
En variant la valeur de t dans l’expression de R(t), on obtient diverses valeurs de la
fiabilité :
Temps,
t
Probabilité d’absence
de bris, R(t)
0
1,000
100
0,729
200
0,629
400
0,577
600
0,524
800
0,484
1 000
0,452
2 000
0,351
5 000
0,221
10 000
0,136
Chapitre 10
Supplément
19
Le temps moyen jusqu’au prochain bris est calculé par l’équation (10.65) :
TMPB2 = 0,05–1/0,4 (1 + 1/0,4) = 1 788,85 (3,5) = 1 788,8543(3,3233) 5 945
10.4.2 La fiabilité des systèmes
La fiabilité s’applique à la fois à un produit constitué de plusieurs composantes et à un système à plusieurs sous-systèmes. La fiabilité de chaque composante ou de chaque sous-système
détermine celle du produit ou du système. Dans cette section, le terme système fait référence
à un produit ou à un véritable système. Nous examinerons ici la fiabilité de quatre types de
système : le système avec composantes en série, le système avec composantes en parallèle, le
système en position mixte et le système avec composantes de secours.
10.4.2.1 La fiabilité des systèmes avec composantes en série
Dans un système avec composantes en série, toutes les composantes doivent fonctionner
pour que le système soit en opération. La figure 10.20 donne un exemple de ce type de système. De plus, on suppose que les composantes fonctionnent indépendamment les unes des
autres, c’est-à-dire que le bris d’une composante n’affecte en rien une autre composante.
Figure 10.20 Le système en série
1
2
•••
n
La fiabilité d’un tel système (Rs) est le produit des fiabilités individuelles des composantes
(R1, R2, …, Rn), et la fonction de fiabilité s’écrit comme suit :
Rs = (R1)(R2) … (Rn)
Puisqu’il s’agit d’un modèle de multiplication, la fiabilité du système diminue à mesure
que le nombre de composantes augmente. Même lorsque la fiabilité individuelle des composantes est élevée, celle du système diminue considérablement lorsque ce dernier est constitué d’un grand nombre de composantes. Par exemple, la fiabilité d’un système comprenant
300 composantes en série, chacune ayant une fiabilité individuelle identique de 0,999, est
égale à Rs = (0,999)300 = 0,740. Si le nombre de composantes est réduit à 100, la fiabilité du
système augmente à Rs = (0,999)100 = 0,904. Ce constat suggère au concepteur de produits ou
de systèmes en série de limiter le nombre de composantes au minimum afin de réduire les
risques de panne du système.
Si n composantes placées en série dans un système suivent individuellement une distribution exponentielle avec les taux de bris 1, 2, …, n, on obtient la fiabilité du système de la
façon suivante :
Rs = (e-1t)(e-2t) … (e-3t)
2
La fonction est donnée par (k) = 0 tk – 1e-tdt, pour k > 0.
(1) = 1
(k) = (k – 1)(k – 1) pour k > 1
(n) = (n – 1) ! pour n = 1, 2, …
(1/2) = Chapitre 10
Supplément
20
ou
n
Rs = exp –
t
(10.66)
i
i=1
Selon l’équation (10.66), la fiabilité du système est aussi distribuée exponentiellement
n
avec un taux de bris i. Si une composante tombe en panne et qu’elle est réparée ou remi=1
placée immédiatement par une autre ayant le même taux de bris, le temps moyen jusqu’au
prochain bris sera de :
n
TMPB = 1/
i=1
(10.67)
i
Lorsque le taux de bris est identique pour les n composantes placées en série, le temps
moyen jusqu’au prochain bris devient :
TMPB = 1/(n)
(10.68)
Exemple 10.17 : Soit un système électronique formé de quatre composantes placées en série
avec des taux de bris respectifs de 0,022, 0,024, 0,018 et 0,015 par 1 000 heures. En supposant
que le temps jusqu’au prochain bris de chaque composante suive une distribution exponentielle, il faut déterminer le taux de bris du système, sa fiabilité pour une période d’opération de
2 000 heures ainsi le temps moyen jusqu’au prochain bris.
Nous avons le taux de bris de chacune des quatre composantes, soit :
1
2
3
4
=
=
=
=
2,2
2,4
1,8
1,5
10-5
10-5
10-5
10-5
bris/h
bris/h
bris/h
bris/h
et le taux de bris du système devient :
s = 1 + 2 + 3 + 4 = 7,9 10-5
La fiabilité du système après une période d’opération de 2 000 heures se calcule selon
l’équation (10.66) :
Rs = e-st = e-(7,9 10 – 5)(2 000)
= 0,853
Le temps moyen jusqu’au prochain bris du système s’obtient par l’équation (10.67) :
n
TMPB = 1/
i=1
i
= 1/s
= 1/(7,9 10-5)
= 12 658,2 heures
Il faut noter que le temps moyen jusqu’au prochain bris peut être calculé pour chacune
des composantes :
TMPB1 =
TMPB2 =
TMPB3 =
TMPB4 =
1/1
1/2
1/3
1/4
=
=
=
=
1/(2,2
1/(2,4
1/(1,8
1/(1,5
10-5)
10-5)
10-5)
10-5)
=
=
=
=
45
41
55
66
454,5
666,7
555,5
666,7
heures
heures
heures
heures
On constate que le temps moyen jusqu’au prochain bris du système est bien inférieur à
ceux des composantes en raison du fait que ces dernières sont installées en série.
Chapitre 10
Supplément
21
10.4.2.2 La fiabilité des systèmes avec composantes en parallèle
Dans un système en parallèle, le bris d’une ou de plusieurs composantes n’empêche pas le
fonctionnement du système. En fait, s’il y a au moins une composante en opération, le système peut continuer à fonctionner. Dans une telle structure, comme l’illustre la figure 10.21,
les composantes sont considérées comme redondantes. Quand il s’agit d’améliorer la fiabilité,
le système avec composantes en parallèle peut constituer une solution de rechange intéressante au système en série.
Figure 10.21 Le système en série
1
•••
2
n
Posons R1, R2, …, Rn comme étant la fiabilité individuelle de n composantes. Le risque de
tomber en panne de chacune des n composantes est 1 – R1, 1 – R2, …, 1 – Rn. Rappelons que
le système en parallèle ne fonctionne pas si toutes ses composantes tombent en panne.
Puisque ces dernières fonctionnent indépendamment les unes des autres, la probabilité que le
système en parallèle ne fonctionne pas (Fs) est égale au produit des risques individuels des
composantes, soit :
n
Fs = (1 – R1)(1 – R2) … (1 – Rn) = (1 – Ri)
i=1
La fiabilité du système (Rs) est le complément de la probabilité que ce dernier ne fonctionne pas et s’écrit comme suit :
Rs = 1 – Fs
n
Rs = 1 – (1 – Ri)
(10.69)
i=1
Si la fiabilité individuelle de n composantes correspond à une distribution exponentielle
avec un taux de bris respectif de 1, 2, …, n, la fiabilité du système est exprimée par :
n
n
i=1
i=1
Rs = 1 – (1 – Ri) = 1 – (1 – e -it)
(10.70)
Toutefois, le temps moyen jusqu’au prochain bris du système en parallèle ne suit pas une
distribution exponentielle. Lorsque le taux de bris est identique pour toutes les composantes,
la fiabilité du système devient :
Rs = 1 – (1 – e-t)n
(10.71)
et le temps moyen jusqu’au prochain bris se calcule ainsi :
TMPB =
1
(1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)
------
(10.72)
Chapitre 10
Supplément
22
Exemple 10.18 : Soit un circuit électrique formé de trois composantes installées en parallèle
dont les taux de bris respectifs sont 0,0002, 0,0003 et 0,00015 par heure. Sachant que le temps
jusqu’au prochain bris de chaque composante suit une distribution exponentielle, on doit
déterminer la fiabilité du système pour une période d’opération de 2 000 heures.
Selon l’équation (10.70), la fiabilité du système est de :
3
Rs = 1 – (1 – e-it)
i=1
= 1 – (1 – e-it)(1 – e-2t)(1 – e-3t)
= 1 – (1 – e-(0,0002)2 000)(1 – e-(0,0003)2 000)(1 – e-(0,00015)2 000)
= 1 – (0,3298)(0,4514)(0,2593)
= 0,96
Exemple 10.19 : Le même circuit électrique (voir l’exemple 10.18) est formé de trois composantes avec un taux de bris identique de 0,0002. Il faut déterminer sa fiabilité pour une période d’opération de 2 000 heures, le temps moyen jusqu’au prochain bris et le taux de bris.
La fiabilité du système est donnée par l’équation (10.71) :
Rs = 1 – (1 – e-t)3
= 1 – (1 – e-(0,0002)2 000)3
= 1 – (1 – 0,67)3
= 0,965
Le temps moyen jusqu’au prochain bris est donné par l’équation (10.72) :
TMPB =
1
(1 + 1/2 + 1/3)
----------
1
(1 + 1/2 + 1/3)
0,0002
= 9 166,7 heures
TMPB =
-----------------------
Le taux de bris du système est donc égal à 1/9 166,7 = 1,0909 x 10–4.
10.4.2.3 La fiabilité des systèmes en position mixte
Certaines composantes d’un système en position mixte sont placées en série et d’autres en
parallèle (voir la figure 10.22). L’estimation de la fiabilité d’un tel système se fait de façon
hiérarchique en commençant par l’évaluation de la fiabilité de chacun des sous-systèmes
selon la procédure appropriée à sa structure en série ou en parallèle. La fiabilité du système
sera calculée par une procédure qui correspond à la position des sous-systèmes dans la structure globale.
Exemple 10.20 : Dans ce cas, il faut calculer la fiabilité du système présenté à la figure 10.22 en
supposant que les fiabilités individuelles des composantes sont RA1 = 0,99, RA2 = 0,95, RA3 =
0,98, RB1 = 0,90, RB2 = 0,92, RB3 = 0,94, RB4 = 0,96 et RC = 0,97.
D’abord, il faut calculer la fiabilité du premier sous-système constitué des composantes A1,
A2 et A3 placées en parallèle à l’aide de l’équation (10.69) :
R1 = 1 – (1 – RA1)(1 – RA2)(1 – RA3)
= 1 – (1 – 0,99)(1 – 0,95)(1 – 0,98)
= 0,99999
Chapitre 10
Supplément
23
Ensuite, il faut calculer la fiabilité du second sous-système constitué des composantes B1,
B2, B3 et B4. Pour chacun des groupes B1-B2 et B3-B4 qui sont en série, la fiabilité correspond
au produit des fiabilités individuelles. Par ailleurs, les deux groupes sont en parallèle. On
obtient donc la fiabilité du second sous-système de la façon suivante :
R2 = 1 – (1 – RB1RB2)(1 – RB3RB4)
= 1 – [1 – (0,90)(0,92)][1 – (0,94)(0,96)]
= 0,9832
Figure 10.22 Le système en position mixte
A1
B1
B2
C1
A2
B3
B4
A3
Les deux sous-systèmes (A et B) et la composante C sont placés en série dans le système
global, dont la fiabilité est le produit des fiabilités individuelles :
Rs = (R1)(R2)(RC)
= (0,99999)(0,9832)(0,97)
= 0,9537
Exemple 10.21 : En supposant que la fiabilité de chaque composante du système présenté à la
figure 10.22 suive une distribution exponentielle avec les taux de bris A1 = A2 = A3 = 0,00015,
B1 = B2 = B3 = B4 = 0,00005, C = 0,0002, il nous faut déterminer la fiabilité du système global pour une période d’opération de 1 000 heures, le taux de bris ainsi que le temps moyen
jusqu’au prochain bris.
D’abord, sachant que les composantes ont un taux de bris identique, calculons la fiabilité
du premier sous-système A1-A2-A3 en parallèle à l’aide de l’équation (10.71) :
R1 = 1 – (1 – e-t)3 = 1 – (1 – e-(0,00015)(1 000))3
= 1 – (1 – 0,860)3
= 0,997
Selon l’équation (10.72), le temps moyen jusqu’au prochain bris de ce sous-système est de :
1
(1 + 1/2 + 1/3)
TMPB1 =
----------
TMPB1 =
1
------------------------ (1 + 1/2 + 1/3)
0,00015
TMPB1 = 12 222,22 heures
Chapitre 10
Supplément
24
Et le taux de bris est de :
1 = 1/12 222,22 = 0,0000818
Pour le second sous-système, constitué de deux séries identiques B1-B2 et B3-B4, nous calculons d’abord les taux de bris et de fiabilité :
Pour chaque série :
Taux de bris = B1 + B2 = 0,00005 + 0,00005 = 0,0001
Fiabilité = e-2(0,00005)(1 000) = 0,3676
La fiabilité du second sous-système, qui est constitué de ces deux séries en parallèle, est de :
R2 = 1 – (1 – 0,3676)2
= 0,904
Le temps moyen jusqu’au prochain bris se calcule ainsi :
1
(1 + 1/2)
1
= ----------------------- (1 + 1/2)
0,0001
TMPB2 =
----------
= 15 000 heures
et le taux de bris est de :
2 = 1/15 000 = 0,0000667
Pour la composante C, la fiabilité est obtenue selon la distribution exponentielle :
RC = e-ct = e-(0,0002)(1 000)
= 0,818
Pour l’ensemble du système, la fiabilité nous est donnée par :
Rs = (R1)(R2)(RC)
= (0,997)(0,904)(0,818)
= 0,737
et le taux de bris par :
s = 1 + 2 + C
= 0,0000818 + 0,0000667 + 0,0002
= 0,0003485
et finalement le temps moyen jusqu’au prochain bris du système par :
TMPBs = 1/s
= 1/0,0003485
= 2 869,4 heures
Chapitre 10
Supplément
25
10.4.2.4 La fiabilité des systèmes avec composantes de secours
Cette structure, illustrée à la figure 10.23, est différente du système en parallèle présenté
précédemment. Normalement, seule la composante focale du système est en opération et, si
elle tombe en panne, une composante de secours installée en parallèle entre en fonction.
En utilisant la distribution exponentielle avec un taux de bris pour exprimer le temps
jusqu’au prochain bris, on constate que le nombre de bris durant une période de temps t correspond à une distribution de Poisson avec paramètre t. La probabilité qu’il y ait x bris
durant une période de temps t est calculée par la distribution de Poisson :
P(x) =
e-t(t)x
x!
(10.73)
-------------------------
Un système dont la composante focale est accompagnée d’une seule composante de secours en parallèle continuera à fonctionner au temps t s’il n’y a qu’un seul bris. Ainsi, on peut
obtenir la fiabilité du système par l’équation suivante :
Rs = P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)
Figure 10.23 Le système avec composantes de secours
Composante
focale
•••
Composante
de secours 1
Composante
de secours n
Lorsqu’on utilise l’équation (10.73), la fiabilité devient :
Rs = e-t + e-t(t)
Lorsqu’on généralise pour n composantes de secours accompagnant la composante focale,
la fiabilité du système est donnée comme suit :
Rs = e-t (1 + t +
(t)2 (t)3
(t)n
+ ------------- + … + ------------- )
2!
3!
n!
-------------
(10.74)
et le temps moyen jusqu’au prochain bris devient :
TMPB = (n +1)/
(10.75)
Exemple 10.22 : Soit un système constitué d’une composante principale accompagnée de deux
composantes de secours placées en parallèle. Le temps jusqu’au prochain bris de chaque composante suit une distribution exponentielle avec un taux de bris identique de 0,2 par 1 000
heures. Il s’agit de déterminer la fiabilité du système pour une période de 1 000 heures et le
temps moyen jusqu’au prochain bris.
Avec = 0,0002 bris/h, t = 1 000 heures, nous obtenons la fiabilité du système pour n = 2
de la façon suivante :
Chapitre 10
Rs = e-t(1 + t +
Supplément
26
(t)2
2!
-------------)
= e-(0,00002)1 000[1 + (0,0002)(1 000) + {(0,0002)(1 000)}2/2 !]
= 0,818(1 + 0,2 + 0,02)
= 0,9979
et le temps moyen jusqu’au prochain bris est de :
TMPB = (2 + 1)/
= 3/0,0002
= 15 000 heures
10.4.3 L’amélioration de la fiabilité
Un des défis majeurs de la gestion de la qualité réside dans la conception, la fabrication et l’assurance de produits de grande fiabilité, cette dernière caractéristique constituant un des
critères déterminants de l’intention d’achat ou de réachat du client. Les entreprises devraient
donc gérer et améliorer la fiabilité des biens qu’elles offrent sur le marché à partir d’une
démarche systématique qui s’appuierait sur :
• une connaissance complète des exigences du client ;
• une prise de conscience de l’environnement et des conditions dans lesquels le client
utilise le produit ;
• un choix approprié de technologies et d’équipements de production pour rencontrer les
exigences en matière de fiabilité ;
• un choix judicieux de fournisseurs susceptibles de satisfaire les critères de production définis par les exigences de fiabilité ;
• une évaluation des implications financières du niveau de fiabilité exigé ;
• une analyse et une vérification périodique de la fiabilité en vue de l’améliorer.
Il existe une relation directe entre la fiabilité du produit et les pertes monétaires encourues tant par le fournisseur que par le client. Ces pertes, causées par les coûts engendrés par
la réparation et le remplacement des unités défectueuses, peuvent être réduites par une fiabilité élevée ; une fiabilité chancelante ne saurait qu’entraîner des coûts supplémentaires. Cela
étant dit, il est à toutes fins pratiques illusoire de vouloir obtenir une fiabilité absolue, car il
est virtuellement impossible d’éliminer complètement les sources d’erreurs dans les processus
de gestion, que ce soit au cours de la conception ou de la production. Pour être en mesure
d’offrir le niveau de fiabilité recherché, l’entreprise doit impérativement pratiquer un arbitrage entre la capacité de payer du client et les coûts à assumer par le fournisseur, sans oublier
qu’une fiabilité inférieure aux attentes du consommateur a un impact très négatif sur la réputation du produit et du fournisseur. À l’instar de la qualité, la fiabilité doit être considérée
comme un élément stratégique susceptible de renforcer la compétitivité de l’entreprise. Elle
doit être au cœur des préoccupations de toutes les sphères d’activité de l’entreprise, qu’il
s’agisse de la conception, de la fabrication, de l’approvisionnement, de la distribution, de l’entretien ou du service à la clientèle.
Plusieurs méthodes peuvent être mises en œuvre pour améliorer la fiabilité des produits
et des services : la standardisation, le recours à des unités de secours, la recherche sur les
matériaux, l’analyse des sources de bris et la vérification empirique de la fiabilité. Voici une
brève description de ces méthodes.
Chapitre 10
Supplément
27
• La standardisation. En règle générale, l’utilisation de composantes standardisées dans
l’assemblage des produits permet un meilleur contrôle de la production et, par conséquent, une réduction du taux de bris. La standardisation contribue non seulement à assurer
une fiabilité accrue des produits, mais aussi à minimiser les coûts de production.
• Le recours à des unités de secours. Un système constitué de composantes installées en
parallèle, comme il a été démontré précédemment, a une fiabilité plus élevée ; il est donc
de bon aloi de recourir à des unités de secours rattachées à des composantes ayant un rôle
déterminant sur la performance du système. Les unités de secours placées en parallèle à
leurs composantes focales se mettent en opération dès que ces dernières tombent en
panne. L’ajout d’unités de secours ne fait qu’augmenter la fiabilité du système.
• La recherche sur les matériaux. Le mauvais fonctionnement ou le bris d’une composante sont dans plusieurs cas causés par la détérioration prématurée des matériaux utilisés dans les conditions normales ou leur incapacité à résister à des conditions non
prévues dans leur conception. Il importe donc d’investir dans la recherche afin de mieux
comprendre le comportement des matériaux dans les conditions environnementales les
plus variées et de renforcer leur résistance et leur robustesse, ce qui contribuerait à
accroître la fiabilité des composantes et des systèmes.
• L’analyse des sources de bris. Pour éviter la répétition des bris, il est primordial de comprendre la nature et la source de ces dernières. Ces informations s’avèrent utiles dans une
démarche visant à identifier les correctifs nécessaires pour renforcer la fiabilité des composantes et des systèmes.
• La vérification empirique de la fiabilité. La fiabilité d’une composante, d’un produit ou
d’un système est quelque chose de complexe et souvent imprévisible, de sorte qu’elle ne
peut être uniquement le fruit de la conception ou d’une planification théorique. La fiabilité doit être testée en laboratoire ou sous des conditions environnementales réelles. Il
existe différentes formes de test. L’une d’elles s’étale sur toute la durée de vie d’un objet,
ce qui permet d’évaluer le comportement des bris, d’en comprendre les causes et d’apporter les correctifs nécessaires. Cette forme de test s’avère particulièrement coûteuse et
nécessite de longues périodes de temps avant de donner des résultats valables. D’autres
tests sont applicables à des produits dont la durée de vie peut être accélérée, ce qui permet d’obtenir plus rapidement les résultats relatifs à l’analyse des bris. Dans d’autres cas,
il importe de recourir à des tests effectués dans des conditions extrêmes pour vérifier la
résistance et la robustesse des produits.
Questions de révision
11. Quelle nuance existe-t-il entre la fiabilité et la qualité ? Expliquez votre réponse.
12. Quelle est la définition du taux de bris ? Quelle en est la mesure ?
Questions de discussion
4. Parmi les différentes structures de système, laquelle permet de maximiser la fiabilité ?
5. Comment définissez-vous la fiabilité d’un service ? Quel(s) élément(s) du système de fabrication
d’un service contribue(nt) le plus à assurer la fiabilité de celui-ci ?
6. Qu’est-ce que la courbe de cycle de vie d’un produit ? Discutez de ses implications en termes
d’amélioration de la fiabilité.
Chapitre 10
Supplément
28
Exercices
10.27 Un fabricant d’automobiles doit choisir un modèle de climatiseur parmi les quatre qui lui
sont proposés par un sous-traitant. Avant de fixer son choix, il désire savoir si les coûts d’installation varient en fonction des modèles. Les coûts d’installation recueillis sur 28 véhicules regroupés
selon les quatre modèles de climatiseur sont présentés ci-dessous.
a) Trouvez la variable dépendante, le facteur et les niveaux.
b) Déterminez par une analyse de la variance, à = 0,05, si les coûts d’installation varient en fonction des modèles de climatiseur.
c) Si vous avez répondu oui à la question b), utilisez le test de Tukey pour identifier le modèle à
recommander au fabricant.
Modèle de climatiseur
1
2
3
4
315 $
285 $
269 $
255 $
288
292
277
287
293
263
273
265
306
249
252
279
299
275
263
241
310
266
251
241
282
252
272
312
10.28 Plusieurs personnes ont assisté à un séminaire de deux jours portant sur la gestion de la
qualité. La firme qui offre ce séminaire désire savoir si leur degré de satisfaction varie en fonction
du niveau hiérarchique des fonctions qu’elles occupent. Dans une évaluation réalisée auprès des
participants regroupés en trois niveaux hiérarchiques (supérieur, intermédiaire et opérationnel), un
indice de satisfaction a été obtenu pour chaque participant sur une échelle de 1 à 10. Les données
recueillies sur le degré de satisfaction en fonction du niveau hiérarchique occupé sont présentées
ci-dessous.
Niveau hiérarchique
Supérieur
Intermédiaire
Opérationnel
7
8
5
7
9
6
8
8
5
7
10
7
9
9
4
10
8
a) Vérifiez, à = 0,05, si le degré de satisfaction des participants varie selon le niveau hiérarchique
des fonctions.
b) Effectuez des comparaisons multiples en utilisant la méthode de Tukey pour trouver le niveau
ou les niveaux hiérarchiques les plus satisfaits quant au séminaire.
Chapitre 10
Supplément
29
10.29 Une entreprise industrielle envisage d’introduire une nouvelle méthode de travail dans une
de ses usines en vue d’améliorer la productivité des employés. Pour bien évaluer l’effet des quatre
méthodes considérées, les employés de l’usine participant à l’expérience sont regroupés en quatre
blocs homogènes définis selon le nombre d’années d’expérience de travail. Dans chaque bloc,
quatre employés sont aléatoirement jumelés à quatre nouvelles méthodes de travail pour observer
leur productivité exprimée en nombre d’unités par jour. Les données ci-dessous présentent le nombre d’unités fabriquées par heure de chaque employé.
Méthode de travail
Expérience de travail
1
2
3
4
5 années ou moins
20
23
19
27
De 6 à 10 années
24
25
17
30
De 11 à 15 années
28
30
27
35
16 années ou plus
22
29
18
32
a) Trouvez la variable dépendante et les blocs.
b) Déterminez si les nouvelles méthodes de travail permettraient d’améliorer la productivité
( = 0,05).
c) Utilisez les comparaisons multiples de Tukey pour trouver la méthode de travail la plus productive.
10.30 On croit généralement que les employés en meilleure santé ont un taux d’absentéisme
moins élevé que les autres. Une entreprise adepte de cette croyance embauche un spécialiste en
éducation physique pour mettre en œuvre un programme de conditionnement physique destiné
à ses employés durant les heures de travail. Ce spécialiste propose de choisir une des trois options
suivantes :
A : programme de 15 minutes de marche rapide cinq fois par semaine
B : programme de 30 minutes de bicyclette stationnaire trois fois par semaine
C : programme de 20 minutes d’aérobie trois fois par semaine
Pour favoriser un choix éclairé, le spécialiste suggère de vérifier l’impact du programme de conditionnement physique au moyen d’une expérience sur un échantillon d’employés regroupés en
trois catégories : col bleu, col blanc et professionnel. Dans chaque catégorie, trois employés sont
aléatoirement choisis et assignés aux trois options décrites durant trois mois afin d’observer leur
nombre de jours d’absence au travail. Les données présentées ci-après indiquent le nombre de
jours d’absence selon l’option d’entraînement et la catégorie d’employés.
a) Le programme de conditionnement physique a-t-il eu un effet sur l’absentéisme au travail ?
b) L’utilisation des blocs d’employés est-elle une méthode efficace pour évaluer l’impact de ce
programme ?
c) Quelle option l’entreprise devrait-elle choisir ?
Programme de conditionnement physique
Catégorie d’employés
A
B
C
Col bleu
7
12
14
Col blanc
5
8
10
Professionnel
4
10
12
Chapitre 10
Supplément
30
10.31 Le fabricant d’automobiles de l’exercice 10.27 croit que les coûts d’installation des climatiseurs peuvent aussi varier selon le type de ligne de montage. Actuellement, l’entreprise possède
trois types de ligne de montage : partiellement automatisé, automatisé avec opérateur et robotisé.
On choisit au hasard trois véhicules de chaque type de ligne de montage dans lesquels est installé
un modèle de climatiseur. Les coûts d’installation ont été évalués et vous trouverez ci-dessous les
données réparties selon le modèle de climatiseur et le type de montage.
a) Trouvez la variable dépendante, les facteurs et leurs niveaux.
b) Vérifiez si, à = 0,05, les coûts d’installation varient selon le modèle de climatiseur.
c) L’effet de la ligne de montage sur les coûts d’installation est-il statistiquement significatif à
= 0,05 ?
d) L’effet interactif sur les coûts d’installation est-il statistiquement significatif à = 0,05 ?
e) Présentez au moyen d’un graphique les moyennes des groupes définis par les facteurs.
Indiquez si les résultats obtenus à la question d) sont confirmés par ce graphique.
Modèle de climatiseur
Ligne de montage
1
2
3
4
Partiellement automatisée
315
310
306
285
296
300
269
280
290
303
289
311
Automatisée avec opérateur
288
299
290
264
249
295
273
278
300
300
305
289
Robotisée
255
265
285
260
265
280
264
269
270
300
302
310
10.32 Le directeur de production désire embaucher des ingénieurs spécialisés en contrôle de la
qualité. Pour attirer les candidats qualifiés, il veut leur démontrer qu’ils seront mieux rémunérés
chez lui que s’ils décidaient d’aller œuvrer dans des entreprises semblables et qu’ils seront mieux
traités dans le secteur privé que dans le secteur public. Voici les données révélant le salaire (en milliers de dollars) de six diplômés aléatoirement choisis dans chacun des deux secteurs et dans chacune des trois disciplines suivantes : comptabilité, contrôle de la qualité et marketing.
a) Vérifier, à = 0,05, l’effet principal de chacun des facteurs sur le salaire des diplômés.
b) L’effet de l’interaction entre les facteurs est-il statistiquement significatif à = 0,05 ?
c) Utilisez un graphique pour confirmer votre réponse à la question b).
Chapitre 10
Supplément
31
Secteur
Profession
Secteur public
Secteur privé
Comptabilité
27
28
22
25
38
29
32
30
34
28
40
33
Marketing
33
36
30
44
39
32
28
31
25
34
34
27
Contrôle de la qualité
46
35
46
36
40
39
52
40
51
41
45
44
10.33 On prélève un échantillon de huit circuits électriques pour en vérifier la fiabilité. Chacun
d’eux a été testé pendant 500 heures. Cinq circuits sont tombés en panne après respectivement
200, 260, 300, 320 et 380 heures. Selon cet échantillon, quel est le taux de bris du produit ?
10.34 Un test de fiabilité a été appliqué à 10 unités d’une composante mécanique durant 5 000
heures. Quatre unités ont arrêté de fonctionner après respectivement 150, 400, 4 500 et 4 800 heures.
a) Calculez le taux de bris de cette composante.
b) Si le temps jusqu’au prochain bris se distribue exponentiellement, quelle sera la fiabilité de la
composante au bout de 5000 heures ? Quel est le temps moyen qui s’écoulera jusqu’au
prochain bris ?
10.35 Le taux de bris d’une pièce électronique est évalué à 0,02 par 1 000 heures. En supposant
que le temps qui s’écoule jusqu’au prochain bris d’une pièce obéisse à une distribution exponentielle, trouvez la fonction de fiabilité. Quelle est la fiabilité qu’une pièce dure 3 000 heures ? Quel
est le temps moyen jusqu’au prochain bris ?
10.36 Un appareil électrique dont le temps jusqu’au prochain bris est distribué selon la loi exponentielle a un taux de bris de 5 par 20 000 heures. Quelle est la fonction de fiabilité ? Quelle est la
probabilité que l’appareil ne fonctionne pas après 500 heures ? En moyenne, dans combien
d’heures se produira le prochain bris de l’appareil ?
10.37 Si la probabilité qu’un produit fonctionne normalement sans bris durant 400 heures est
égale à 0,98, quelle est la fonction de fiabilité ?
Chapitre 10
Supplément
32
10.38 Une composante électronique a une fiabilité de 95 % durant une période de 2 500 heures.
En utilisant la distribution exponentielle, vous devez :
a) trouver le taux de bris de cette composante ;
b) écrire sa fonction de fiabilité ;
c) déterminer quelle est la probabilité que la composante fonctionne normalement après 400,
700 et 1 200 heures ;
d) évaluer le temps moyen jusqu’au prochain bris de la composante.
10.39 Un système est constitué de quatre composantes, A, B, C et D, dont la fiabilité individuelle
est respectivement de 0,99, 0,95, 0,97 et 0,98. Trouvez la fiabilité du système global en vous
aidant du schéma ci-dessous.
C
A
B
D
10.40 Calculez la fiabilité du système illustré par le schéma suivant. La fiabilité individuelle des
composantes A, B, C, D, E et F est respectivement de 0,98, 0,90, 0,90, 0,99, 0,95 et 0,97.
B
E
A
D
C
F
10.41 Le système schématisé ci-après comporte une composante de secours. Quelle est la fiabilité
du système si la fiabilité individuelle des composantes A, B, C, D et E est respectivement de 0,99,
0,92, 0,91, 0,98 et 0,96 ? Il faut noter que la composante E a une unité de secours S ayant la même
fiabilité.
B
A
D
E
C
S
10.42 Le schéma ci-après présente un système avec les composantes A, B, C, D, E, F, G et H dont
la fiabilité individuelle est respectivement de 0,97, 0,94, 0,89, 0,89, 0,96, 0,90, 0,90 et 0,91.
a) Trouvez la fiabilité du système global.
b) Si la composante H possédait deux unités de secours avec la même fiabilité individuelle, quelle
serait la fiabilité du système global ?
B
F
A
H
G
C
E
D
Chapitre 10
Supplément
33
10.43 Deux sous-traitants proposent les mêmes composantes A, B, C et D pour produire un système électrique illustré par le schéma ci-après. La fiabilité des composantes varient selon le soustraitant (voir les données du tableau ci-après). Quel sous-traitant devrait-on choisir pour maximiser
la fiabilité du système électrique ?
A
C
B
D
Composante
Fiabilité réalisée
par le sous-traitant 1
Fiabilité réalisée
par le sous-traitant 2
A
0,95
0,87
B
0,85
0,87
C
0,98
0,90
D
0,90
0,92
10.44 Un circuit électrique est constitué de trois composantes placées en série dont les taux de
bris sont respectivement de 0,02, 0,03 et 0,025 par 500 heures. Déterminez le taux de bris du circuit, sa fiabilité pour une période de 1 500 heures, ainsi que le temps moyen jusqu’au prochain
bris avec l’hypothèse que ce temps suit une distribution exponentielle.
10.45 En supposant que les trois composantes de l’exercice 10.44 soient installées en parallèle,
vous devez déterminer les mêmes éléments qu’à cet exercice. Quelle structure, en série ou en parallèle, serait la meilleure en termes de fiabilité ?
10.46 Un système de téléguidage est formé de six composantes installées dans une structure
mixte, comme le montre le schéma ci-dessous.
B
F
A
C
E
H
G
D
Les taux de bris exprimés par heure sont A = 0,00015, B = C = D = 0,00010, E = 0,0002,
F = 0,0003, G = 0,0004 et H = 0,00005. Pour chaque composante, on suppose que le temps
jusqu’au prochain bris suit une distribution exponentielle.
a) Déterminez la fiabilité du système pour une période d’opération de 1 000 heures.
b) Quel est le temps moyen jusqu’au prochain bris du système ?
c) Quel est le taux de bris du système ?
10.47 Si la composante A de l’exercice 10.46 est accompagnée de deux unités de secours placées
en parallèle, que la composante E en a une en parallèle et que les unités de secours ont le même
taux de bris que celui de leur composante focale respective, déterminez la fiabilité du système pour
une période de 1 000 heures et le temps moyen jusqu’au prochain bris.

10.3 Le plan expérimental

Transcription

Documents pareils

Gonzague Saint Bris - Haute

Multirisque Artisans et Commerçants

R21 TURBO Allianz

Argu_LesChateauxdelaLoire

DRT : Sujet de thèse SL-DRT-16-0096 - instn

Département Entreprises et Collectivités

11_info-delits_novembre 15

Maersk France - Newsletter Juillet 2012

Solassur Auto du Pro - Crédit Maritime Bretagne

revue de presse - Bris de Banane