Problèmes du premier degré à une ou deux inconnues

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Problèmes du premier degré à une ou deux inconnues
Rappel Méthodologique
Problèmes qui se ramènent à une équation à une inconnue
Soit l’énoncé suivant :
Monsieur Duval a 4 fois l’âge de son garçon et sa femme 3 fois. Monsieur et Madame Duval ont ensemble 77 ans. Quel est l’âge du garçon ?
Que cherche t-on ?
Voir la question qui est posée : Quel est l’âge du garçon ?
Le plus souvent le choix de l’inconnue est guidé par la question, mais on peut être amené à faire un autre choix pour simplifier la mise en
équation.
On choisira dans cet exemple x pour l’âge du garçon.
Mais il y a deux autres inconnues, l’âge de Monsieur et l’âge de Madame.
Repérer dans l’énoncé la phrase qui contient des informations sur les deux autres inconnues :
Monsieur Duval a 4 fois l’âge de son garçon et sa femme 3 fois :
Ces inconnues peuvent être exprimées directement en fonction de x
Age de Monsieur Duval : 4x
Age de Madame Duval : 3x
Repérer la phrase qui permet d’écrire l’équation à résoudre.
Monsieur et Madame Duval ont ensemble 77 ans
4 x + 3 x = 77
CUEEP
Département Mathématiques
E 821 : Problèmes du premier degré
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Résoudre l’équation et donner la solution
7 x = 77
x = 11
Le garçon a 11 ans.
Vérifier :
Monsieur Duval a 44 ans (4 x 11)
Madame Duval a 33 ans (3 x 11)
Monsieur et Madame Duval ont ensemble 77 ans (44 + 33)
CUEEP
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Problèmes qui se ramènent à un système de deux équations à deux inconnues
Soit l’énoncé suivant :
Une salle de spectacle propose deux sortes de spectacles : pièces de théâtre ou concert. Toutes les places sont au même prix mais le tarif
n’est pas le même s’il s’agit d’une pièce de théâtre ou s’il s’agit d’un concert.
Alexandre réserve 2 places pour une pièce de théâtre et 4 places pour un concert, il paie 170 €.
Bérénice réserve 3 places pour une pièce de théâtre et 2 places pour un concert, elle paie 135 €
Quels sont les tarifs respectifs pour une pièce de théâtre ou pour un concert ?
Que cherche-t-on ? Deux tarifs. : On les nomme x et y et on ne peut pas directement exprimer l’un en fonction de l’autre.
La phrase : « Alexandre réserve 2 places pour une pièce de théâtre et 4 places pour un concert, il paie 170 € « permet d’écrire une première
équation :
2 x + 4 y = 170
La phrase : « Bérénice réserve 3 places pour une pièce de théâtre et 2 places pour un concert, elle paie 135 € » permet d’écrire une deuxième
équation :
3 x + 2 y = 135
On est donc amené à résoudre un système de deux équations à deux inconnues :
2 x + 4 y = 170

3x + 2 y = 135
(A)
(B)
CUEEP
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On a le choix entre deux méthodes, la méthode par substitution ou la méthode par combinaison linéaire (voir les dossiers appropriés). Il est
plus facile dans cet exemple d’utiliser la méthode par combinaison linéaire.
2 x + 4 y = 170

6 x + 4 y = 270
4 x = 100
(A)
(2B)
(2B - A)
x = 25
En remplaçant x par 25 soit dans l’équation (A) soit dans l’équation (B), on trouve la valeur de y.
Dans (A)
Dans (B)
2 × 25 + 4 y = 170
3 × 25 + 2 y = 135
4 y = 170 − 50 = 120
y = 30
2 y = 135 − 75 = 60
y = 30
Le prix de la place pour une pièce de théâtre est de 25 €
Le prix de la place pour un concert est de 30 €
On vérifie dans les deux équations :
2 × 25 + 4 × 30 = 170
3 × 25 + 2 × 30 = 135
CUEEP
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Exercices
Enoncés
1) Dans un service de gériatrie qui compte 24 personnes, il y a 2 fois plus de femmes que d’hommes. Quel est le nombre d’hommes dans ce
service ?
2) Un gâteau nécessite les ingrédients suivants : 3 fois plus de farine que de sucre, trois fois plus de sucre que de beurre, et deux fois plus de
chocolat que de sucre.
Calculer le poids de chaque ingrédient pour un gâteau de 750 g.
3) Dans une assemblée, quarante personnes ont plus de 40 ans, un quart a entre 30 et 40 ans et un tiers a moins de 30 ans.
Quel est le nombre de personnes de cette assemblée ?
4) Deux nombres sont tels que le plus grand est le triple du plus petit..
Si on ajoute six à chacun, on obtient deux nouveaux nombres tels que le plus grand est le double du plus petit. Quels sont ces deux nombres ?
5) Au café des amis consomment la même chose. S’ils paient 2,2 € chacun il manque 6 € au total.
S’ils paient 2,6 € chacun, il manque encore 3,6 €.
Combien sont-ils et quel est le prix de leur consommation ?
6) Dans un service administratif il y a 32 personnes. 5 hommes et 3 femmes partent en retraite et ne seront pas remplacés.
Il y aura alors 2 fois plus de femmes que d’hommes dans ce service.
Combien y a-t-il d’hommes et de femmes actuellement dans ce service ?
CUEEP
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7) Un troupeau est composé de dromadaires et de chameaux.
On compte 90 têtes et 152 bosses. Sachant qu’un dromadaire a une bosse et un chameau 2, combien y a-t-il d’animaux de chaque espèce ?
8) On dispose de 34 pièces, les unes de 50 centimes d’euro, les autres de 20 centimes d’euro.
Au total elles représentent une somme de 11,60 €. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ?
9) Un éditeur vient de publier un nouveau roman. Les frais s’élèvent à 60 € pour chacun des 450 premiers exemplaires et 5 € pour chacun des
suivants.
Le prix de vente du roman est fixé à 28,50 €. Quel est le nombre minimum d’exemplaires à vendre avant de réaliser des bénéfices ?
10) Un hôpital remplace régulièrement son petit matériel. Lors d’une première commande, 15 thermomètres et 10 tensiomètres ont été acheté
pour 1 265 €.
Il fait une deuxième commande de 10 thermomètres et 15 tensiomètres. Le montant de la commande s’élève à 1 335 €.
Quel est le prix d’un thermomètre et quel le prix d’un tensiomètre ?
CUEEP
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Aide générale
Bien lire les énoncés, repérer toutes les informations.
Qu’est-ce qu’on cherche ?
Combien y a-t-il d’inconnues ?
Transcrire toutes les informations.
Repérer la ou les phrases permettant d’écrire la ou les équations
Résoudre l’équation ou le système.
Répondre avec précision aux questions posées.
Vérifier les résultats.
CUEEP
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Corrigés
Exercice1
Dans un service de gériatrie qui compte 24 personnes, il y a 2 fois plus de femmes que d’hommes. Quel est le nombre d’hommes dans ce
service ?
Mise en équation du problème :
On cherche le nombre d’hommes :
soit x le nombre d’hommes.
Il y a deux fois plus de femmes que d’hommes :
Le nombre de femmes est 2x
Au total il y a 24 personnes :
x + 2x = 24
Résolution de l’équation :
x + 2x = 24
3x = 24
x=8
Solution :
Dans le service de gériatrie, il y a 8 hommes (et 16 femmes)
Vérification :
Nombre de femmes : 2 x 8 = 16
Au total
8 + 16 = 24
CUEEP
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Exercice 2
Un gâteau nécessite les ingrédients suivants : 3 fois plus de farine que de sucre, trois fois plus de sucre que de beurre, et deux fois plus de
chocolat que de sucre.
Calculer le poids de chaque ingrédient pour un gâteau de 750 g.
On cherche le poids de chaque ingrédients farine, sucre, beurre et chocolat : le problème ne comporte en réalité qu’une seule inconnue le
poids de sucre car le poids des autres ingrédients est fonction du poids de sucres
On cherche le poids de sucre
soit x ce poids
Il y a trois fois plus de farine que de sucre
Le poids de farine est 3 x
Il y a trois fois plus de sucre que de beurre donc il y a
trois fois moins de beurre que de sucre
Il y a deux fois plus de chocolat que de sucre
Au total le gâteau pèse 750g
Le poids de beurre est
x
3
Le poids de chocolat est 2 x
x + 3x +
x
+ 2 x = 750
3
CUEEP
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x
+ 2 x = 750
3
3x 9 x x 6 x
+
+ +
= 750
3
3 3 3
x + 3x +
19 x
= 750
3
750 × 3
x=
= 118,4
19
Solution :
Le poids de sucre est d’environ 118,4g
Le poids de farine est d’environ 355 ,2 g
(118,4 x 3)
Le poids de beurre est d’environ 39,5g
(118,4 / 3)
Le poids de chocolat est d’environ 236,8 g (118,4 x 2)
Vérification
Le poids du gâteau est de :
118,4 + 335,5 + 39,5 + 236,8 ≈ 749,9
CUEEP
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Exercice 3
Dans une assemblée, quarante personnes ont plus de 40 ans, un quart a entre 30 et 40 ans et un tiers a moins de 30 ans.
Quel est le nombre de personnes de cette assemblée ?
On cherche le nombre de personnes de l’assemblée
soit x ce nombre
Nombre de personnes de plus de 40 ans
40
Nombre de personnes entre 30 et 40 ans
Nombre de personnes de moins de 30 ans
Egalité du nombre des personnes
x
4
le quart du nombre de personnes de l’assemblée :
le tiers du nombre de personnes de l’assemblée :
40 +
x
3
x x
+ =x
4 3
CUEEP
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x x
+ =x
4 3
3 x 4 x 12 x
40 +
+
=
12 12 12
7 x 12 x
40 +
=
12 12
12 x − 7 x 5 x
40 =
=
10
12
40 × 12
= 96
x=
5
40 +
Solution :
Le nombre de personnes de cette assemblée est 96
Vérification :
Nombre de personnes de plus de 40 ans : 40
96
= 24
Nombre de personnes entre 30 et 40 ans : 4
96
= 32
Nombre de personnes de moins de 30 ans : 3
40 + 24 + 32 = 96
CUEEP
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Exercice 4
Deux nombres sont tels que le plus grand est le triple du plus petit.
Si on ajoute six à chacun, on obtient deux nouveaux nombres tels que le plus grand est le double du plus petit. Quels sont ces deux nombres ?
On cherche deux nombres, mais le plus grand est fonction du plus petit, si on trouve la valeur du plus petit on connaîtra celle du plus grand.
On cherche le plus petit nombre
soit x ce nombre
Le plus grand est le triple du plus petit
3x
On ajoute 6 au plus petit
nouveau plus petit x + 6
On ajoute 6 au plus grand
nouveau plus grand 3x + 6
Le nouveau plus grand est le double du nouveau plus
petit
3 x + 6 = 2( x + 6)
3 x + 6 = 2( x + 6)
3 x + 6 = 2 x + 12
3 x − 2 x = 12 − 6
x=6
CUEEP
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Solution :
Le plus petit nombre est 6
Le plus grand nombre est 18 (3 x 6)
Vérification :
Nouveau plus petit : 6 + 6 = 12
Nouveau plus grand : 18 + 6 = 24
24 = 2 x 12
CUEEP
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Exercice 5
Au café des amis consomment la même chose. S’ils paient 2,2 € chacun il manque 6 € au total.
S’ils paient 2,6 € chacun, il manque encore 3,6 €. Combien sont-ils et quel est le prix de leur consommation ?
Le problème semble être à plusieurs inconnues : le nombre d’amis, la somme due et le prix de leur consommation.
Si on connaît le nombre d’amis et la somme due, on pourra calculer le prix de leur consommation.
On cherche le nombre d’amis
soit x ce nombre
On cherche la somme due
soit S cette somme
S’ils paient 2,2 € chacun ils donnent ensemble
2,2 x
Il manque 6 € à la somme due
la somme due est de 2,2 x + 6
S’ils paient 2,6 € chacun ils donnent ensemble
Il manque encore 3,6 € à la somme due
D’où l’égalité :
S = 2,2 x + 6
2,6 x
la somme due est de 2,6 x + 3,6
S = 2,6 x + 3,6
2,2 x + 6 = 2,6 x + 3,6
CUEEP
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En fait on est ramené à une équation à une inconnue
2,2 x + 6 = 2,6 x + 3,6
6 − 3,6 = 2,6 x − 2,2 x
2,4 = 0,4 x
2,4
x=
=6
0,4
Solution :
Ils sont 6 amis
La somme due est de 19,2 €
(2,2 x 6 + 6) ou (2,6 x 6 +3,6)
Le prix des consommations est de 3,2 €
Vérification :
S’ils paient 2,2 € chacun ils donnent ensemble 13,2 € il manque bien 6 €.
S’ils paient 2,6 € chacun ils donnent ensemble 15,6 il manque bien 3,6 €.
CUEEP
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Exercice 6
Dans un service administratif il y a 32 personnes. 5 hommes et 3 femmes partent en retraite et ne seront pas remplacés.
Il y aura alors 2 fois plus de femmes que d’hommes dans ce service.
Combien y a-t-il d’hommes et de femmes actuellement dans ce service ?
On cherche le nombre d’hommes et le nombre de
femmes actuellement dans le service :
Il y a 32 personnes dans le service :
Nombre d’hommes après départ en retraite
Nombre de femmes après départ en retraite
Egalité traduisant la phrase : Il y aura 2 fois plus de
femmes que d’hommes
Soit H le nombre d’hommes et F le nombre de femmes.
H + F = 32
H–5
F-3
2(H – 5) = F -3
On est ramené à un système de 2 équations à 2 inconnues
 H + F = 32

2( H − 5) = F − 3
CUEEP
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On résout ce système par substitution :
Avec la première équation : H + F = 32
, on exprime H en fonction de F !
H = 32 – F
On remplace H par 32 – F dans la deuxième équation
2(32 − F − 5) = F − 3
2(27 − F ) = F − 3
54 + 3 = F + 2 F
57 = 3F
H = 32 − F
H = 32 − 19
54 − 2 F = F − 3
F = 19
H = 13
Solution :
Actuellement le nombre d’hommes est de 13 et le nombre de femmes est de 19.
Vérification :
Nombre d’hommes après le départ en retraite : 13 – 5 = 8
Nombre de femmes après le départ en retraite : 19 – 3 = 16
Il y aura bien 2 fois plus de femmes que d’hommes
CUEEP
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Autre mise en équation plus simple que la précédente :
On appelle x le nombre d’hommes dans le service après le départ en retraite.
Il y a 8 départ en retraite, il restera 24 personnes dans le service et le problème est alors le même que le n°1.
La solution est
nombre d’hommes : 8
nombre de femmes : 16
Actuellement il y a
8 + 5 = 13 hommes
Et
16 + 3 = 19 femmes
CUEEP
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Exercice 7
Un troupeau est composé de dromadaires et de chameaux.
On compte 90 têtes et 152 bosses. Sachant qu’un dromadaire a une bosse et un chameau 2, combien y a-t-il d’animaux de chaque espèce ?
On cherche le nombre de dromadaires et le nombre de soit x le nombre de dromadaire et y le nombre de chameaux
chameaux:
On compte 90 têtes, il y a x têtes de dromadaires et y
têtes de chameaux
x + y = 90
On compte 152 bosses : il y a x bosses de
dromadaires et 2y bosses de chameaux
x + 2y = 152
On est ramené à résoudre un système de 2 équations (A) et (B) à 2 inconnues x et y
 x + y = 90

 x + 2 y = 152
(A)
(B)
CUEEP
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Résolution du système d’équations :
Par substitution
y = 90 − x
x + 2(90 − x) = 152
x + 180 − 2 x = 152
x = 28
y = 90 − 28 = 62
Par combinaison linéaire
( B) − ( A)
(x + 2 y) − ( x + y ) = 152 − 90
y = 62
On remplace y par 62 dans l' équation (A)
x + 62 = 90
x = 28
:
Solution
Il y a 28 dromadaires et 62 chameaux
Vérification :
28 + 62 = 90
28 + 2 x 62 = 152
CUEEP
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Exercice 8
On dispose de 34 pièces, les unes de 50 centimes d’euro, les autres de 20 centimes d’euro Au total elles représentent une somme de 11,60 €.
Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ?
On cherche le nombre de pièces de 50 centimes et le
nombre de pièces de 20 centimes
Attention il faut penser à utiliser les mêmes unités et
ne pas mélanger centimes et euros
soit x de pièces de 0,50 € et y le nombre de pièces de 0,20 €
Il y a 34 pièces
x + y = 34
Pour un total de 11,60€
0,50 x + 0,20 y = 11,60
Résolution :
Il faut résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues
(A)
 x + y = 34

0,5 x + 0,2 y = 11,6 (B)
0,5 x + 0,5 y = 34 × 0,5 = 17

0,5 x + 0,2 y = 11,6
(0,5A)
(B)
CUEEP
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0,5 y − 0,2 y = 17 − 11,6
0,3y = 5,4
( 0,5A - B)
y = 18
x = 34 - 18 = 16
Solution :
il y a 16 pièces de 50 centimes et 18 pièces de 20 centimes
Vérification :
16 + 18 = 34
0,5 x 16 + 0 ,20 x 18 = 11,6
CUEEP
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Exercice 9
Un éditeur vient de publier un nouveau roman. Les frais s’élèvent à 60 € pour chacun des 450 premiers exemplaires et 5 € pour chacun des
suivants.
Le prix de vente du roman est fixé à 28,50 €. Quel est le nombre minimum d’exemplaires à vendre avant de réaliser des bénéfices ?
On cherche le nombre minimum de roman
soit x ce nombre
Recettes
28,50 x
Frais des 450 premiers
450 x 60 = 27 000
Frais des suivants
5(x – 450)
Total des frais
27 000 +5(x – 450) = 27 000 + 5x - 2250
Il faut que les recettes soient supérieures aux frais pour faire des bénéfices :
28,5 x ≥ 5 x + 24750
Il s’agit d’une inéquation
CUEEP
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Résolution
28,5 x − 5 x ≥ 24750
23,5 x ≥ 24750
x ≥ 1053,19
Solution :
Le nombre minimum d’exemplaires à vendre pour faire des bénéfices est de 1 054
Vérification :
Recettes :
1054 x 28,50 =30 039
Frais :
27 000 + 5 x (1 054 – 450) =27 000 + 5 x 604 = 30 020
Pour 1054 exemplaires vendus les recettes sont légèrement supérieures aux frais
CUEEP
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Exercice 10
Un hôpital remplace régulièrement son petit matériel. Lors d’une première commande, 15 thermomètres et 10 tensiomètres ont été acheté pour
1 265 €.
Il fait une deuxième commande de 10 thermomètres et 15 tensiomètres. Le montant de la commande s’élève à 1 335 €.
Quel est le prix d’un thermomètre et le prix d’un tensiomètre ?
On cherche le prix d’un thermomètre et le prix d’un
tensiomètre
soit x le prix d’un thermomètre et y le prix d’un tensiomètre
Montant de la première commande
15 x + 10 y = 1265
Montant de la deuxième commande
10 x + 15 y = 1335
CUEEP
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Résolution
Le problème se réduit à la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues, on utilisera de préférence la méthode par combinaison
linéaire en essayant d’avoir les plus petits coefficients possibles.
15 x + 10 y = 1265

10 x + 15 y = 1335
En multipliant la première équation par 3 et la deuxième par 2 on obtient un nouveau système où il y a le même nombre de « y » dans les deux
équations, par différence on a une équation à une inconnue en x
15 × 45 + 10 y = 1265
45 x + 30 y = 3795

20 x + 30 y = 2670
10 y = 1265 − 675 = 590
y = 59
25 x = 1125
x = 45
Solution :
Les thermomètres coûtent 45 € et les tensiomètres coûtent 59 €
Vérification :
15 x 45 +10 x 59 = 1 265
10 x 45 + 15 x 59 = 1 335
CUEEP
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Problèmes du premier degré à une ou deux inconnues

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