Master de physique fondamentale

Transcription

PHYSIQUE des PLASMAS
Pierre Tardiveau
Enseignant-Chercheur au Laboratoire
de Physique des Gaz et des Plasmas
[email protected]
Master de Physique Fondamentale – M1 2012-2013
Bibliographie et ouvrages recommandés
Physique des Plasmas – J.M. Rax – Dunod 2005
Physique des Plasmas Vol.1 et 2 – J.L. Delcroix et A. Bers – EDP Sciences 1994
Introduction to Plasma Physics (lecture notes) – J. Howard – 2002
(http://wwwrsphysse.anu.edu.au/~jnh112/AIIM/c17/)
Introduction à la physique des plasmas (cours) – S. Mazevet – 2009
(http://ipnweb.in2p3.fr/rayonnements-energie/cours/cours%20UE4/cours1.pdf)
The Physics of Plasmas (lecture notes) – R. Fitzpatrick – 2008
(http://farside.ph.utexas.edu/teaching/plasma/plasma.html)
Les plasmas froids hors-équilibre (colloque Delcroix) – J.P. Bœuf – 2007
La fusion nucléaire : de la recherche fondamentale à la production d’énergie ? –
Académie des Sciences - EDP Sciences 2007
1
Physique des plasmas
Plan du cours
1 - Introduction aux plasmas
2 - Comportements collectifs dans les plasmas
3 - Collisions, transport et ionisation dans les plasmas
4 - Cas des gaz faiblement ionisés
5 - Structuration des plasmas au voisinage de parois
6 - Trajectoires de particules sous champs uniformes
7 - Dérives magnétiques et confinement d’un plasma
8 - Interaction ondes - plasma
9 - Magnétohydrodynamique (MHD)
2
1 – Introduction aux plasmas
Définition
Un plasma est un gaz ionisé macroscopiquement neutre
électrons, ions, molécules et atomes neutres
noyaux, espèces excitées (métastables ou radiatives)
photons
Un plasma est créé à partir d’un gaz neutre par apport d’énergie
champ électrique, chauffage, accroissement de la densité, faisceau de particules
Un plasma se caractérise par des phénomènes d’interactions entre
particules chargées en présence de champs électromagnétiques
agitation thermique, interaction coulombienne et collisions,
(
trajectoires dans E , B
)
1 – Introduction aux plasmas - Définition
Un plasma se matérialise sous une très grande diversité
d’ « objets » ou de « structures »
dégénérés (quantiques), denses et corrélés, relativistes, classiques
naturels (astrophysique), de fusion, de décharge électrique (industrie)
comportements collectifs, collisionnels, turbulents, non-linéaires, …
Un plasma s’étudie à l’interface de nombreux domaines de la
physique et selon plusieurs descriptions possibles
électromagnétisme, physique atomique et moléculaire, mécanique des fluides
description particulaire (physique statistique), cinétique (moyenne sur les
fonctions de distribution) ou fluide
3
Paramètres essentiels à une classification des plasmas
La densité ne (cm-3) et la température électronique Te (K ou eV)
En général, l’électroneutralité est conservée :
ne électrons
ni ions
On définit le degré d’ionisation :
α=
ne
ne + n0
Dans certains cas, il existe un écart à la
neutralité, caractérisé par le paramètre ε :
n e = Zn i
no neutres
(0 < α < 1)
ε=
ne − Zn i
ne + Zni
(-1 < ε < 1)
Plasmas quasi-neutres (ε → 0 ou << 1) : phénomènes d’écrantage dominants
Plasmas non neutres (ε < 1) : phénomènes de charge d’espace dominants
1 – Introduction aux plasmas – Paramètres de classification
Comment crée-t-on et évalue-t-on la densité d’électrons ne d’un plasma ?
Ionisation d’un gaz par chauffage
Un chauffage à température
élevée (T > 104 K) induit des
collisions ionisantes
3
kT > E i
2
k : constante de Boltzmann
Ei : énergie d’ionisation des
molécules du gaz
S’il y a suffisamment de collisions (e-e / e-i / e-n), le plasma peut être considéré
en équilibre thermodynamique et l’ionisation et la recombinaison s’équilibrent.
Equation de Saha (1920)
pour un gaz monoatomique
ne ⋅ ni π e π i (2 πme kT
=
π0
n0
h3
)3 2 exp (− E
i
kT
)
L’ionisation est entièrement déterminée par la pression (P) et la température (T),
et le gaz est en équilibre d’ionisation thermique.
4
Exemple d’ionisation thermique
de l’argon pour P = 1 atm.
Énergies d’ionisation :
Ar+ : 15,76 eV
Ar2+ : 43,4 eV
Xa : concentration relative de
l’espèce ‘a’ parmi toutes les
espèces présentes
L’équation de Saha ne s’applique plus aux fortes densités et/ou aux fortes températures.
Elle est valable pour des plasmas comme la photosphère ou les nébuleuses…
La donnée de ne et de α ne suffit pas à caractériser l’importance de l’ionisation dans
les plasmas car elle dépend également de la température des électrons Te.
Prise en compte des fréquences
de collisions entre les différentes
particules : νe0, νei et νee (s-1).
Gaz faiblement ionisés :
ν es = n s σ es v e
ns: densité des espèces cibles ‘s’
ve: vitesse des électrons (fonction de Te)
σes: sections efficaces de collision (fonction de ve)
ν e 0 >> ν ei , ν ee
Quelques ions et électrons au milieu d’une mer de neutres (collisions e-0 ou i-0 qui
déterminent la dynamique). Ex : tube néon.
Gaz fortement ionisés :
ν e 0 << ν ei , ν ee
Avec ou sans interactions entre particules (comportement collectif ou trajectoires
dans champ). Ex : couronne solaire, vent solaire.
Gaz complètement ionisés : plasma de fusion et cœur d’étoiles
5
A-t-on toujours T = Te et un plasma en équilibre thermodynamique ?
Ionisation d’un gaz par champ électrique
La présence d’un champ électrique favorise l’accélération des électrons et les
collisions e-0.
J.M. Rax 2005 Dunod
T [K]
La température Te des électrons reste très
élevée devant celle des ions (Ti) et celle des
neutres (T). On parle de plasma hors équilibre
thermodynamique ou de plasma ‘froid’.
Ti = T = 300 K
Te = 30 000 K
: Plasma à l’ET (plasma thermique ou ‘chaud’)
Classification des plasmas dans un diagramme (Te, ne) …
e
6
La longueur thermique de De Broglie
λth
La comparaison de la longueur thermique de De Broglie avec la distance entre
deux particules permet de rendre compte de l’importance des effets quantiques.
de
= de
λth

h

 m kT
e
e


 ≈ 5 ⋅ 10 4 T e (K ) ⋅ ne cm − 3


[ (
(d
−1 3
e
= ne−1 3
)
de
Te
∝
λth
TF
Ce rapport revient à comparer la température
du plasma à la température de Fermi
Plasmas cinétiques ou classiques : de >>
)]
λτh (faible densité ou forte température)
λth. Ex : électrons dans un métal,
Plasmas quantiques ou gaz dégénérés : de <<
naines blanches.
La longueur de Landau r0 et le paramètre de couplage Ξ
Le paramètre de couplage Ξ permet de comparer l’ agitation thermique des
particules et leur interaction coulombienne
Ξ ≡
EP  e2
=
E c  4 πε0 d e
(
)
13
 n cm −3 

 kT e ≈ 1 ,7 ⋅ 10 −3  e 3


 T e (K ) 
Ce paramètre peut être exprimé en
fonction de la longueur de Landau r0
r0 = e 2 4 πε 0 kT e
Plasmas cinétiques ou classiques, où le désordre domine :
Plasmas faiblement corrélés :
(d
e
= ne−1 3
Ξ ≡
)
r0
de
Ξ << 1
Ξ <1
Plasmas fortement corrélés ou denses, où l’interaction coulombienne
domine et donne naissance à des structures de nature fluide voire cristalline :
Ξ >1
7
La longueur de Debye
λD et le paramètre plasma Λ
La longueur de Debye est l’échelle spatiale au-delà de laquelle les effets coulombiens
d’une particule chargée sont écrantés :
Le rapport λD / de permet de
comparer l’importance relative
T e (K )
ε0 kT e
−2
≈ 7 ⋅ 10
λD ≡
des interactions collectives et
e 2 ne
ne cm −3
des interactions binaires.
(
λ
Λ =  D
 de
Paramètre plasma :
)
3

 = ne λD3

Plasmas cinétiques ou idéaux où beaucoup
de particules interagissent de manière collective :
Λ >> 1
Plasmas faiblement ou fortement corrélés,
où les particules interagissent de manière individuelle :
Λ <1
Outils physiques nécessaires à la description des plasmas
La diversité des plasmas conduit à plusieurs approches possibles :
Description individuelle du mouvement de chaque particule
On s’intéresse aux solutions de l’équation fondamentale
de la dynamique pour chaque particule :
m
(
dv
= q E +v ⊗ B
dt
)
v: vitesse instantanée de la
particule
E, B : champ électromagnétique
microscopique
Les champs sont décrits par les équations de Maxwell.
L’agitation thermique est décrite par des conditions initiales aléatoires.
Les collisions ne sont pas prises en compte (gaz fortement ionisés et basse densité)
Calcul analytique dans des cas simples (champs constants ou lentement variables).
8
1 – Introduction aux plasmas – Outils physiques
Description fluide du mouvement d’un ensemble de particules
Équation de continuité
et équation d’Euler
 ∂v s
(
( )
Termes sources de
particules et de quantités
de mouvement
∂n s
+ div n s v s = S coll
∂t
)( )
(
)

+ v s ⋅ grad v s  + grad (Ps ) − n s q s E + v s ⊗ B = Pcoll

 ∂t

n s ms 
Champs autocohérents
Le plasma est considéré comme un ou deux fluides (électrons + ions).
Les interactions collectives sont dominantes devant les collisions binaires
(gaz fortement ionisé, faisceau de particules, MHD, …).
Description fluide du mouvement d’un ensemble de particules
Ajout de conditions
particulières
Isobare :
grad P = 0
Isotherme :
Ps = nskTs
Adiabatique :
Ps = C.nsγ
Conducteur :
j s = ∑ n s q sv s = σE
s
Permet de déterminer un ensemble de données macroscopiques comme
la pression, la température,...Nécessité d’équilibre thermodynamique.
Ne permet pas de prendre en compte les interactions ondes / particules
(amortissement des ondes dans les plasmas par les collisions individuelles ?).
9
Description cinétique à partir d’une distribution de particules
Cette description se base sur la définition de la fonction de distribution à une
particule f(r,v,t) :
Nombre dN de particules se trouvant
dans le volume d v au voisinage de v et
dans le volume d r au voisinage de r :
dN = f ( r , v , t )d rdv
Possible sur une échelle de temps plus grande que le temps entre deux
interactions d’une même particule (libre parcours moyen / vitesse moyenne).
Possible si les corrélations entre particules ne sont pas fortes (plasmas non
corrélés).
La fonction de distribution vérifie l’équation de Vlasov :
(
)
(
)
q
∂f s
 ∂f 
+ v s ⋅ grad r (f s ) + s E + v s ⊗ B ⋅ grad v f s =  s 
ms
∂t
 ∂t coll
= 0 si stationnaire
Terme convectif
Terme source
Le calcul des différents moments de la distribution fs permet d’obtenir la
densité de particules, la vitesse moyenne, la pression cinétique, …
Le calcul des moments de l’équation de Vlasov permet de retrouver les
équations de la description fluide (continuité, Euler, …).
10
A l’équilibre thermodynamique et en présence d’un unique champ électrique, on tend
vers une distribution de Maxwell-Boltzmann locale:
 − qsφ ( r )   ms 
⋅

fs ( r ,v ) = ns ( r )fs (v ) = n0 exp
 kTs   2πkTs 


Distribution de la densité
3 2
−m v 2
s s 
exp
 2kTs 


Distribution des vitesses
Permet de décrire le comportement des gaz faiblement ionisés en tenant
compte des collisions binaires (décharges, ionosphère, flammes, …).
Permet de décrire la nature des interactions entre une onde et un plasma.
Quelques exemples de « plasma »…
Fusion thermonucléaire contrôlée par confinement magnétique
d’un plasma
A très haute température (> 1 keV), un plasma formé d’électrons libres et de noyaux
se forme :
Interactions coulombienne et nucléaire (courte portée)
Description fluide dominée par la turbulence
nτ (en cm-3.s)
Réactions nucléaires exothermiques possible
D + T → He 4 + n + 17.58 MeV
n + Li 6 → T + He 4 + 4.79 MeV
Critère de Lawson pour un bilan d’énergie positif
(nτ )
min
≈ 5.10 13 cm −3 s pour T ≈ 10 keV
11
1 – Introduction aux plasmas - Exemples
Fusion thermonucléaire contrôlée par confinement magnétique
d’un plasma
J.M. Rax 2005 Dunod
Chauffage par effet Joule (courant I)
Confinement à n faible (1014 cm-3) et
τ élevé (1s)
Structuration du champ magnétique
par Tokamak (champs toroïdal et
poloïdal)
Contrôle des instabilités à la surface
du plasma et des turbulences dans son
volume
Schéma de principe d’un réacteur à confinement magnétique de type Tokamak
Augmentation du facteur d’amplification
de la puissance (Q = 10 pour ITER)
Nécessité d’augmenter les champs
magnétiques par supraconducteurs
(Bt = 12 T pour ITER)
Effet du flux neutronique sur les parois
du réacteur (0.5 MW.m-2 pour ITER)
Effet du flux thermique sur les plaques
du Divertor (10 MW.m-2 pour ITER)
Dimensions : R/a = 6,2 m / 2 m
Courant I : 15 MA
Vue d’artiste du prototype ITER en
construction au CEA à Cadarache
12
Propulsion spatiale par plasma (propulseur ionique)
Les propulseurs plasmas électriques et magnétiques permettent d’obtenir des vitesses
d’éjection de gaz ve importantes (au détriment de la poussée).
J.M. Rax 2005 Dunod
F =ve ⋅
Poussée (N)
∆m g
∆t
Débit massique (kg.s-1)
Ve (km/s)
F (mN)
Propulseur chimique
2-5
1010
Propulseur SPT
10 - 20
103
Propulseur ICRH
30 - 100
105
Schéma de principe d’un propulseur SPT
(Stationnary Plasma Thruster)
Propulsion spatiale par plasma (propulseur ionique)
L’étude des plasmas de propulsion consiste à optimiser la configuration magnétique de
piégeage des électrons et à comprendre les problèmes de turbulence.
Ions très peu sensibles au champ
magnétique et non collisionnels
(λions >> dimensions)
Électrons piégés par le champ
magnétique et collisionnels
Plasma très fortement ionisés (α = 0.9)
<ne> = 1012 cm-3 et <Te> = 15 eV
13
Traitement de l’air par plasma (décharge couronne)
L’intérêt des gaz faiblement ionisés réside dans l’importance des
collisions binaires et de la réactivité chimique qu’elles induisent.
J.M. Rax 2005 Dunod
Plasma non magnétisé décrit par la théorie cinétique (ETL)
Plasma froid (Tneutre = Tions = 300 K; Te = 10 eV)
Plasma faiblement ionisé (α < 10-3)
Collisions inélastiques (excitation, ionisation, dissociation, …)
générant des espèces excitées, des ions ou des radicaux.
Schéma de principe d’un réacteur à
décharge couronne de type fil-cylindre
Traitement de l’air par plasma (décharge couronne)
La génération d’un plasma à haute pression (> 1 bar) induit des mécanismes très
rapides (ns) et très localisés dans l’espace (µm). Le « streamer » en est un exemple.
Développement d’une avalanche électronique
jusqu’à une taille critique (N = 108 e-).
Écrantage du champ électrique extérieur
(> 30 kV.cm-1).
Propagation (v = 106 m.s-1). d’une charge
d’espace localisée par photo-ionisation
(ni = 1015 cm-3).
Création d’un canal de plasma conducteur.
Décharge filamentaire ramifiée obtenue
sous excitation radiofréquence
14
Magnétosphère terrestre
L’étude des magnétosphères planétaires s’inscrit dans la magnétohydrodynamique
(MHD) qui considère les plasmas comme des fluides conducteurs.
Confinement des particules
par champ magnétique.
Propagation d’ondes dans
un plasma magnétisé.
Reconnexion magnétique
permettant d’expliquer un
chauffage et la création de
particules ultra-énergétiques.
Structuration de la magnétosphère terrestre alimentée en particules par le vent solaire
Magnétosphère terrestre
Électrons et ions définissant un fluide unique
(échelle de temps grande, basse fréquence)
On néglige le mouvement individuelle des
particules (ρL < échelle spatiale)
Conductibilité électrique infinie (pas de
collisions à haute température)
Dérives magnétiques liées à la structuration
spatiale du champ
Courant annulaire observée au dessus du pôle Nord
15
2 – Comportements collectifs dans les plasmas
Les mécanismes collectifs sont des mouvements de réorganisation des
charges, des phénomènes d’écrantage ou des phénomènes de propagation
induits par la portée de l’interaction coulombienne.
Les interactions lointaines entre particules chargées sont supposées
dominantes devant les interactions proches (collisions binaires).
Les mécanismes collectifs pilotent en général le comportement des gaz
fortement ionisés (plasmas spatiaux suffisamment denses).
La prise en compte de ces mécanismes induit en général une description
fluide du plasma.
L’étude de ces mouvements d’ensemble permet de définir des échelles
temporelles et spatiales caractéristiques :
Pulsation plasma électronique ωp
Longueur de Debye électronique λD
Réponse d’un plasma à une perturbation électronique
J.M. Rax 2005 Dunod
∂ ξ (x 0 , t )
+ ωp2 ξ (x 0 , t ) = 0
∂t 2
2
ξ (x 0 , t ) = ξ0 ( x 0 ) cos [ωpt + θ0 ( x 0 ) ]
Fréquence plasma (Hz)
fp =
ωp
1
=
2π 2π
ne 0 e 2
= 9 ⋅ 10 3 ne (cm −3 )
ε 0 me
L’inverse de la pulsation plasma correspond au temps caractéristique de retour à
l’équilibre (neutralité) d’un plasma soumis à une perturbation d’origine électrique.
16
2 – Comportements collectifs – Réponse à une perturbation électrique
Sur une échelle de temps T donnée, la fréquence plasma électronique fp permet
de faire des hypothèses sur le comportement du plasma.
En particulier, si T >> 1/ fp :
Le plasma peut être supposé neutre (pas de séparation macroscopique
de charges).
La population électronique peut être supposée relaxée (équilibre de
Boltzmann).
La comparaison de la fréquence plasma fp avec la fréquence propre f d’une
perturbation externe au plasma permet de distinguer deux types de comportement :
Si f ≈ fp, la dynamique est dominée par les mécanismes collectifs.
On utilise alors une description fluide ou cinétique de type Vlasov.
Si f ≈ νei<< fp, la prise en compte des collisions individuelles est souvent
nécessaire. On utilise alors une description cinétique de type Fokker-Planck.
Phénomènes d’écrantage électrique dans un plasma
La neutralité d’un plasma est un paramètre macroscopique moyen. La question reste
de savoir en deçà de quelle échelle cette électro-neutralité n’est plus vérifiée.
On étudie la répartition d’électrons en équilibre
thermodynamique à la température Te autour d’un
ion positif localisé dans le plasma.
ne0 : densité moyenne d’électrons dans le plasma
ni0 : densité uniforme d’ ions
Ion positif (Ze)
ne(r)
r
Accumulation
d’électrons au
voisinage de l’ion
ne(r) : densité d’électrons au voisinage de l’ion
Φ(r) : potentiel électrostatique autour de l’ion
Les électrons sont attirés par l’ion sous l’effet du potentiel Φ(r) en même temps que
leur agitation thermique les pousse à la désorganisation. Il en résulte un équilibre.
17
2 – Comportements collectifs – Écrantage électrique
Mise en équation du problème et hypothèses simplificatrices :
Neutralité moyenne :
e ⋅ ne 0 − Ze ⋅ n i 0 = 0
Équation de Poisson :
∆Φ (r ) =
1 d  2 dΦ  e ⋅ ne (r ) − Ze ⋅ ni (r )
r
=
r 2 dr  dr 
ε0
 eΦ (r ) 

 kT e 
ne (r ) = ne 0 ⋅ exp 
Équilibre de Boltzmann pour les électrons :
Hypothèses :
Les ions sont infiniment lourds et restent répartis selon une
distribution homogène : ni(r) = ni0
L’agitation thermique domine l’énergie potentielle coulombienne
(faibles perturbations) :
 eΦ (r ) 
eΦ (r )
 ≈ 1 + kT
kT
e 
e

exp 
Conditions limites et résultats de calculs :
Conditions limites :
Solutions :
Longueur de
Debye (m)
Φ (r ) → 0 quand r → ∞
Φ (r ) =
−r
Ze
exp 
4 πε0 r
 λD
λD ≡
ε0 kT e
e 2 ne



Φ (r ) →
Ze
quand r → 0
4 πε 0 r

ne (r ) = ne 0 ⋅ 1 + Z

Longueur de
Landau (m)
r0 =
−r
r0
exp 
r
 λD



e2
4 πε 0 kT e
La longueur de Debye caractérise l’écrantage électrique. C’est l’échelle spatiale
au-delà de laquelle le champ de l’ion est écranté et l’ hypothèse de quasineutralité vérifiée.
18
Discussion autour des hypothèses :
Si l’on tient compte de la distribution des ions en équilibre à la température Ti =Te :
ni(r)= ni0
→
 − Ze ⋅ Φ (r ) 

kT e


ni (r ) = ni 0 exp 
λD
1 +Z
λs =
L’hypothèse faite sur l’agitation thermique est équivalente à une condition sur le
paramètre plasma Λ :
eΦ / kTe << 1
→
−r
r0
exp 
r
 λD
λD
= 4 πΛ = 4 πne λ3D >> 1
r0

 << 1

→
Pour r ≈ λD,
r0
<< 1
λD
L’écrantage n’est donc valable que si le
nombre d’électrons dans la sphère de
Debye est très grand. On retrouve la
définition des plasmas cinétiques idéaux.
La répartition naturelle des charges dans un plasma selon un mécanisme collectif
d’écrantage est similaire à celle obtenue lorsqu’une rupture de neutralité est
imposée localement dans un plasma :
Réorganisation des charges au voisinage d’une surface (diélectrique ou
métallique) pour en écranter l’effet sur des distances de l’ordre de λD.
Existence de zones de plasma non neutres au voisinage de ces surfaces,
appelées « gaines ».
La longueur de Debye doit être également comparée aux dimensions caractéristiques
du plasma étudié, ainsi qu’au libre parcours moyen des particules. Pour les plasmas
cinétiques idéaux :
Plasma collisionnel
Pas de corrélations
fortes
r0 << de << λD <<λmp << L
de : distance moyenne entre électrons
L : dimension caractéristique du plasma
λmp : libre parcours moyen d’un électron
Electroneutralité globale
du plasma
Mouvements collectifs et
approximation des gaz parfaits
19
Ordres de grandeur des échelles caractéristiques
Le libre parcours moyen d’un électron dans un gaz fortement ionisé est
imposé par les collisions électrons / ions :
λ pm ≈ 744 ⋅
Te2 (K )
(
ne cm − 3
)
L’inégalité λD << λpm est vérifiée sans problème
Phénomènes d’écrantage magnétique dans un plasma
De la même façon, un plasma peut être caractérisé par rapport à sa réponse à
une perturbation magnétique.
Sous l’influence d’un champ magnétique, les
charges vont s’organiser en courants cherchant
à s’opposer à ce champ. La force responsable
de ces mouvements est la force électromotrice
d’induction.
Variations temporelles d’un champ magnétique
B0 selon Oz.
Champ électrique d’induction E selon Oy.
Entraînement des électrons dans un courant
selon Oy.
Création d’un champ magnétique opposé à B0.
J.M. Rax 2005 Dunod
20
2 – Comportements collectifs – Écrantage magnétique
Mise en équation du problème et hypothèses simplificatrices :
rot E = −
Équation de Maxwell-Faraday :
∂B
∂t
rot B = µ0 j = − µ0 enev e
dv e
= −e E
Équation fondamentale de la dynamique : me
dt
∂ 2 E  ωp
=
L’ensemble de ces trois équations conduit à l’équation :
∂x 2  c
Équation de Maxwell-Ampère :
 − ωp ⋅ x 

 c

E (x , t ) = E (0 , t ) ⋅ exp 
Hypothèses :
2

 E

 − ωp ⋅ x 

 c

B (x , t ) = B0 (t ) ⋅ exp 
Les ions sont infiniment lourds et restent répartis selon une
distribution homogène ni0 = ne
On néglige le courant de déplacement et la force de Lorentz
2 – Comportements collectifs – Écrantage magnétique
Résultats de calculs et conclusion :
La réponse du plasma à l’excitation magnétique se caractérise par une longueur
caractéristique de London λp. C’est l’échelle spatiale au-delà de laquelle le champ
magnétique est écranté dans le plasma.
J.M. Rax 2005 Dunod
λp = c
ε0 me
c
=
ne e 2 ω p
Longueur de
London (m)
c : vitesse la lumière dans le vide

x 

λ
 p
B (x , t ) = B0 (t )exp  −
Dans le cadre de la magnétohydrodynamique, cette caractéristique magnétique
constituera le théorème du gel d’Alfvén.
21
3 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas
La dynamique d’un plasma peut également être contrainte par des interactions
binaires entre particules, ou collisions, en opposition aux interactions
collectives.
Ces collisions peuvent être élastiques (transferts d’impulsion et d’énergie)
ou inélastiques (réactions atomiques, moléculaires ou nucléaires).
Les interactions entre électrons (ou ions) et neutres font partie de ces
collisions binaires et sont prédominantes dans les gaz faiblement ionisés.
L’intégration des collisions binaires entre particules chargées sur la sphère de
Debye permet de retrouver les propriétés des interactions collectives.
L’étude de ces interactions binaires entre particules permet de définir des
échelles spatiales et temporelles caractéristiques :
Libre parcours moyen λpm
Fréquence de collision νss
Ces deux grandeurs sont définies à partir
de probabilités de collision appelées
sections efficaces de collision.
Sections efficaces de collision et de diffusion
Les sections efficaces de collision permettent d’évaluer la probabilité d’interaction
entre un flux de particules projectiles et une densité de particules cibles.
Exemple d’un modèle projectile – cible :
Nombre de réactions par unité
de temps et de volume (m-3.s-1)
A+B→C+D
Densité de particules
cibles (m-3)
dn A
= −σ (n Av A ⋅ n B )
dt
Section efficace
(m2)
Flux de particules
incidentes (m-2.s-1)
J.M. Rax 2005 Dunod
22
3 – Collisions, transport et ionisation – Sections efficaces
Cette définition de la section efficace σ se généralise en prenant en compte les
différentes voies de sortie de la réaction (énergie, direction,…)
Section efficace différentielle de réaction selon l’énergie ε :
A + B → C(ε) + D
d 2 nC ( ε ) dσ
=
(n Av A ⋅ nB )
dt ⋅ dε
dε
∫
σ totale =
ε
 dσ 

 ⋅dε
 dε 
Section efficace différentielle de
diffusion selon deux angles θ et ϕ :
dΩ = sin θdθdϕ
A + B → A(θ,ϕ) + B
θ
d 2 n A( θ ,ϕ ) dσ
(n v ⋅ n )
=
dt ⋅ dΩ
dΩ A A B
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La section efficace de diffusion représente la proportion (ou probabilité) de
particules diffusées dans un angle solide élémentaire dΩ par rapport au nombre
de particules incidentes:
dPcoll =
d 2 N A (θ ,ϕ ) dσ ⋅ n A v A ⋅ n B ⋅ Sdx
=
dt = n Bdσ ⋅ dx
dN 0
n A v A ⋅ Sdt
S et dx représentent respectivement la surface et l’épaisseur d’interaction.
Toutes les particules diffusées par une particule cible dans un angle solide dΩ
sont celles qui, dans le faisceau incident, ont un paramètre d’impact compris
entre b et b+db :
dσ
bdb
=
dΩ sin θdθ
Calcul possible si on connaît les variations de l’angle
de déviation θ en fonction du paramètre d’impact b.
J.M. Rax 2005 Dunod
23
Cas des collisions élastiques (diffusion) :
Diffusion isotrope pour les collisions
électrons - neutres ou ions - neutres
On utilise en première approximation le modèle géométrique de diffusion isotrope
par une sphère dure :
σ0 ( v ) = 2 π
∫
dσ ( v , θ )
sin θdθ = πa 2
dΩ
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Ce modèle de diffusion permet d’avoir une bonne estimation de σ0 pour des énergies
supérieures à 10 eV et, dans ce cas, a est de l’ordre de grandeur du rayon de Bohr a0.
σ 0 ( v ) ≈ σ B = πa02 ≈ 10 −16 cm 2
a0 =
o
4 πε 0 h2
= 0 ,529 A
2
me e
Cas des collisions élastiques (diffusion) :
Diffusion Rutherford pour les collisions
entre particules chargées
Pour ce type collision, on définit une section efficace de transfert de quantité de
mouvement car σ0(v) diverge :
σ1 ( v ) ≡ 2 π
δv ll dσ (v , θ )
⋅
⋅ sin θdθ
dΩ
∫v
θ
 δv ll

= 1 − cos θ 

v


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24
Calcul de σ1(v) pour une collision électron - ion :
tan
θ
Ze 2
b
=
= 0
2 4 πε 0 mev 2 b b
b0 est la valeur critique du paramètre d’impact
pour laquelle la déviation est de 90°. Elle correspond
à une énergie potentielle d’interaction égale au double
de l’énergie cinétique initiale.
On obtient la section efficace différentielle de diffusion :
(section efficace de Rutherford)
σ1 ( v ) =
πb02
2
∫
π
0
(1 − cos θ )sin θ dθ
sin 4 (θ 2 )
dσ
b02
=
dΩ 4 sin 4 (θ 2 )
π
λ
 
θ 
= 4 πb02 ln  sin  ≈ 4 πb02 ln  D
2



0
 b0



Remplacé par θmin tel que
tan(θmin / 2) = b0 / λD
Cette borne pose un problème de divergence liée
aux collisions à faible déviation, i.e. aux collisions
lointaines de grand paramètre d’impact.
Calcul de σ1(v) pour une collision électron - ion :
En considérant l’énergie cinétique moyenne de l’électron :
b0 =
Ze 2
Z
= r
8 πε0 kT e 2 0
mev 2 = 2 kT e
 2 λD 
 ≈ 4 πb02 ( v ) ln Λ
 Z r0 
σ 1 ( v ) ≈ 4 πb02 ( v ) ln 
lnΛ est le logarithme coulombien (Λ est le paramètre plasma) compris, en
général, entre 10 et 30. Il permet de mesurer l’importance relative des collisions
lointaines responsables des comportements collectifs et des collisions proches.
La section efficace de transfert d’impulsion
σ1p(v) pour les collisions proches est :
 
 
σ 1 p ( v ) = 4 πb02 ln  sin
σ 1 ( v ) = σ 1 p (v ) ⋅ 2 ,9 ln Λ >> σ 1 p (v )
π
θ 
≈ 4 πb02 ln 2

2 π 2
pour Λ >> 1 (plasmas cinétiques)
25
Les ions, atomes et molécules sont impliqués dans de nombreuses autres réactions :
Collisions
élastiques
Processus
Réaction
Section efficace
Diffusion isotrope
e-(v) + A → A + e-(θ,ϕ)
σ0 ≈ 10-16 cm2
Diffusion
Rutherford
e-(v) + A+ → A+ + e-(θ,ϕ)
Existence de seuils de
réaction nécessaire à la
modification de l’énergie
interne des espèces
σ1 (v ) ∝
ln Λ
v4
e-(v) + A → A+ + 2eExemple de
collisions
inélastiques
E
E2 
σ I (ε) ∝  I − 2I 
ε 
 ε
Ionisation par
impact électronique
Différents états d’excitation
pour les atomes et les
molécules (électronique,
vibrationnel et rotationnel)
e-(v) + A → A* + eE e / E v / E r ≈ 1 / m M / (m M )
Excitation par
impact électronique
Dans les plasmas
faiblement ionisés, les
collisions inélastiques sont
responsables d’une très
forte réactivité chimique.
Collisions entre
noyaux
Echange de charge
résonant
A + A+ → A+ + A
10-15 cm2 < σec < 10-14 cm2
(hydrogène)
Recombinaison
dissociative
AB+ + e- → A* + B
10-9 cm3.s-1 < Krd < 10-6 cm3.s-1
Réaction de
Penning
A* + B → e- + A + B+
10-15 cm2 < σP < 10-14 cm2
(métastables de l’hélium)
10-30 cm2 < σP < 10-28 cm2
(isotopes de l’hydrogène)
2
D + 3T → 4He + n
Réactions de fusion
Libre parcours moyen et fréquences de collision
A partir des sections efficaces de collision, on peut définir des grandeurs moyennes,
plus pertinentes et plus utilisées en physique des plasmas :
1
Le libre parcours moyen λ est la distance
λpm (m ) =
moyenne entre deux collisions successives :
σ ⋅ nB
La fréquence de collision ν est l’inverse du
temps moyenné τ entre deux collisions successives :
nB : densité de particules
cibles
V : vitesse relative entre
particules incidentes et cibles
ν ( Hz ) = 1 τ = σ ⋅ nBv
Si les particules ne sont pas monocinétiques, il faut prendre en considération la
fonction de distribution des vitesses f(v) ou de l’énergie f(ε) :
Exemple de calcul de la fréquence de
collision électron-neutre moyenne :
〈ν e0 〉 =
n0
ne
∫ σ (v ) ⋅ v ⋅ f
0
e0
( v ) ⋅ d 3v
26
3 – Collisions - Libre parcours et fréquence de collision
Pour un plasma fortement ionisé, il faut prendre
en considération les collisions électrons - ions :
λpme =
Pour un plasma faiblement ionisé, il faut prendre
en considération les collisions électrons - neutres :
1
ν ei = σ 1 ( v e ) niv e
σ 1 ( v e ) ⋅ ni
λpme =
La frontière entre plasmas faiblement et fortement
ionisés peut être donnée par la condition νei = νe0.
1
σ B ⋅ n0
α = αc ≈
ν e 0 = σ B n0v e
σB
σ1 ( v )
Le domaine des plasmas cinétiques idéaux est caractérisé par les inégalités :
(≈ GHz)
ωp ≈ Λν ei >> ν ei ≈ 5 ln Λ ⋅ ne ( cm −3 ) ⋅T e
λpme << L
Un plasma sera dit collisionnel si :
−3 2
( K ) >> ν eip
(≈ 10
aines
Hz
)
Pour un plasma faiblement ionisé,
λpme ≈ 4 mm (P = 1 mbar, T = 300 K)
Coefficients de transport dans un plasma
La théorie du libre parcours moyen permet, à partir de la donnée de λpm et de ν,
de construire un ensemble de coefficients décrivant les processus de transport dans les
plasmas collisionnels.
Coefficient de diffusion :
De = kTe me νe0
Coefficient de mobilité électrique :
Di = kTi mi νi 0
µe = − e me νe0
Coefficient de conductivité électrique :
σe = nee 2 me νe0
µ i = Ze mi νi 0
σi = ni Z 2e 2 mi ν i 0
Les coefficients de transport interviennent dans l’expression de la vitesse des particules
et des densités de flux de matière ou de charge :
Expression dite de mobilité-diffusion
(sans champ magnétique)
 grad Ts grad ns 

vs = µ s E − Ds 
+
 T

n
s
s


27
3 – Collisions, transport et ionisation – Coefficients de transport
Le coefficient de mobilité est considéré comme constant tant que la vitesse de dérive
engendrée par le champ électrique reste faible devant la vitesse d’agitation thermique
des particules.
P : pression
E
σ T
<< B s
T : température des neutres
µs E << 2 kT s m s
P
e T
E/P : champ électrique réduit
Vs (cm/s)
Sous champ faible :
v s = µs E
avec µs constant
Sous champ fort :
14
J.M. Rax 2005 Dunod
m 
vs ≈  0 
m 
 s
Zeλ pms
E
ms
La loi d’Ohm n’est plus vérifiée.
E/P (V/cm.torr)
3 – Collisions, transport et ionisation – Coefficients de transport
Lorsque l’on doit tenir compte des interactions binaires entre particules dans l’étude
des mécanismes collectifs (plasma faiblement ionisé ou f ≈ νei), de nouvelles
échelles caractéristiques peuvent être introduites :
Relaxation électrique d’un plasma collisionnel
div E =
Conservation de la charge :
∂ρ
+ div j = 0
∂t
∂ρ
∂t
ρ
ε0
Équation de Maxwell-Gauss :
Loi d’Ohm locale : j = σe ⋅ E
+
σe
ε0
ρ=0
J.M. Rax 2005 Dunod
(σ : conductivité
électrique)
ρ( r , t ) = ρ( r ,0 ) exp(− t τM )
avec
τM =
ε0
σe
Temps de
Maxwell
Écrantage magnétique dans un plasma collisionnel sur une longueur
caractéristique dite de Kelvin (cf TD).
28
Coefficients d’ionisation et d’attachement
Le champ électrique peut être suffisamment fort pour induire un mécanisme
d’ionisation par impact électronique. On définit alors le premier coefficient
d’ionisation de Townsend α.
α traduit l’intensification de l’ionisation sous l’effet
d’un champ électrique intense et la génération
d’une avalanche électronique :
α=
nb d ' ionisation par unité de longueur
nb d' électrons
dN
= αN
dx
N ( x + dx ) = N ( x ) + αNdx
dN
= αdx = dP
N
Probabilité d’avoir une
collision ionisante
J.M. Rax 2005 Dunod
3 – Collisions, transport et ionisation – Coefficient d’ionisation
La théorie du libre parcours moyen permet d’exprimer assez simplement α en fonction
du champ électrique et de la pression.
A et B sont des constantes
dépendantes de la nature du gaz

B 

 E P
α = AP ⋅ exp  −
En fonction des valeurs de A et B, ce modèle permet assez bien de décrire les
résultats expérimentaux.
J.M. Rax 2005 Dunod
29
3 – Collisions, transport et ionisation – Coefficient d’attachement
Au contraire, lorsque le champ électrique est faible et dans les gaz électronégatifs (O2,
air, halogènes,…), les collisions électrons-neutres peuvent induire des ions négatifs par
attachement :
Le taux d’attachement Sattach s’écrit :
S attach = −ν a ne
( )
∂ne
L’équation de conservation s’écrit :
νa est défini par la section
efficace d’attachement, pas
toujours très bien connue.
+ div ne ve = − ν ane
∂t
Recombinaison électronique
Des collisions électrons – ions à faible vitesse peuvent induire des recombinaisons
radiatives avec émission de photon. Le taux de recombinaison Srecomb s’écrit :
Srecomb = −βne ni = −βne2
β est le coefficient de recombinaison variant
entre 10-12 et 10-7 cm3.s-1.
L’équation de conservation s’écrit :
∂ne
∂t
( )
+ div ne ve = −β ne2
4 – Cas des gaz faiblement ionisés
La particularité des gaz faiblement ionisés réside dans l’importance des
collisions entre électrons et neutres et dans l’écart entre leur masse respective.
Ces plasmas peuvent être « vus » comme une
« mer » de neutres au sein de laquelle évoluent
de façon indépendante quelques électrons et ions :
n 0 >> n e
ν e 0 >> ν ei , ν ee
Les échanges d’énergie entre électrons et neutres sont très faibles :
m 0 >> m e
Distribution maxwellienne des neutres indépendante (T0).
Fonctions de distribution des électrons et des ions données
par équations de Boltzmann.
Le modèle de Lorentz qui permet de décrire ces interactions, et qui découle
de la théorie cinétique, s’applique aux décharges dans les gaz à basse pression,
à l’ionosphère ou à des plasmas denses et pas trop chauds (flammes).
30
Modèle de Lorentz et temps de relaxation
Dans une approche fluide, le modèle de Lorentz correspond à l’introduction d’une
force de frottement liée aux collisions électrons – neutres (ou ions – neutres).
(
)( )
(
)
 ∂v

ne me  e + v e .grad v e  = ne q e E + v e ⊗ B − grad Pe + Fe
 ∂t



Force volumique de frottement
(forme de Langevin)
Fe = −ne me 〈ν e 0 〉v e
Le nombre important de collisions ne permet pas aux particules d’acquérir suffisamment
d’accélération et le terme inertiel peut être négligé. Cela conduit à une équation sur la
vitesse des électrons de type mobilité-diffusion.
ve = −
Mobilité
e
me νe0
(E + v
e
)
⊗B −
kTe  gradne gradTe 
+
me νe0  ne
Te 
Diffusion
4 – Cas des gaz faiblement ionisés – Modèle de Lorentz
Le modèle global conduit à introduire deux temps de relaxation entre électrons et
molécules neutres, liés aux collisions :
Temps de relaxation des anisotropies :
τ e 0 = 1 〈ν e 0 〉
Temps de relaxation de l’énergie :
τT e 0 =
m0
τ >> τ e 0
me e 0
Fonction de distribution des électrons
Les collisions électrons – neutres sont beaucoup plus efficaces pour rendre la fonction
de distribution fe0(v) des électrons isotrope
que pour établir un équilibre d’énergie
fe(v)
entre les électrons et les neutres.
f
(v)
emaxwellienne
Les gaz faiblement ionisés sont très
souvent constitués d’électrons beaucoup
plus chauds que les neutres.
fe0(v)
v
31
4 – Cas des gaz faiblement ionisés – Modèle de Lorentz
Sous l’effet combiné du champ électrique et des collisions, un équilibre s’établit entre
le chauffage des électrons par effet Joule et leur refroidissement par collisions (modèle
de Lorentz imparfait).


f e 0 (v ) = C exp  −


v
∫
0
v the (T0 ) = 2kT0 me

2 wdw 
2
(T 0 ) + v E2 
v the

vE =
Formule de Margenau (E continu, B = 0)
Vitesse thermique des
électrons en cas d’équilibre
avec les neutres
2 m0
eE
⋅
3 me meν e 0
Vitesse de dérive
dans le champ
fe0(v) peut être considéré comme Maxwellienne si le champ E reste très faible ou
si la fréquence de collision νe0 reste indépendante de la vitesse des électrons w.
De manière générale, fe0(v) reste non maxwellienne et il est difficile d’exprimer la
vitesse moyenne ve des électrons et donc leur température Te. On peut toutefois
écrire : Te = f(T0, E/n0).
Diffusion ambipolaire
Dans de nombreux cas, le transport de matière des plasmas faiblement ionisés obéit
à une diffusion qualifiée d’ambipolaire, déterminée par le champ ambipolaire créé
par la différence de mobilités des ions et des électrons.
µe De
mi
≈
≈
µi
Di
me
Les électrons sont plus mobiles et ont
tendance à diffuser plus vite que les ions.
J.M. Rax 2005 Dunod
(pour de faibles valeurs de E/n0)
Exemple pour l’hélium
µe = 10 4 cm 2V −1 s −1
µi = 10 cm 2V −1 s −1
32
4 – Cas des gaz faiblement ionisés – Diffusion ambipolaire
Mise en équation et calcul du coefficient de diffusion ambipolaire (sans champ magnétique)
Conservation des espèces :
(électrons ou ions)
Équation de Maxwell Gauss :
Hypothèse de quasi-neutralité:
( )
∂ns
+ div Γs = S coll s
∂t
div E =
avec
Γs = ns v s
e
(n − ne )
ε0 i
ne = n i = n
Γs = nµs E − D s grad n
Il se crée un champ électrique interne Ea tel que les flux de particules soient
identiques pour maintenir la quasi-neutralité :
( )
( )
Ea =
Γe E a = Γi E a
Le mouvement des charges est équivalent
à une diffusion dont le coefficient de
diffusion ambipolaire Da peut s’écrire :
Da =
D i − De grad n
µi + µe
n

T
µi De + µe Di
≈ Di 1 + e
Ti
µi + µe




Création d’un plasma de décharge électrique
J.M. Rax 2005 Dunod
Pour créer un plasma faiblement ionisé, une méthode élémentaire est d’appliquer un
champ électrique suffisamment intense à un gaz confiné à basse pression entre deux
électrodes. Le champ induit de l’ionisation suite aux collisions électrons - neutres,
caractérisée par le premier coefficient de Townsend α.
Le comportement électrique du plasma dépend fortement du champ électrique et
donc de la tension appliquée U entre l’anode et la cathode. Néanmoins, sa
caractéristique courant / tension U(I) est universelle.
33
4 – Cas des gaz faiblement ionisés – Décharge électrique
Le comportement du plasma à faible courant (phase A) correspond au mécanisme de
multiplication électronique décrit par α. Pour de plus forts courants, des effets de
charge d’espace s’ajoutent et donnent naissance à la décharge dite luminescente
(ex: néon d’éclairage).
Pour parler d’auto-entretien de la décharge, il faut
introduire le 2ème coefficient de Townsend γ
traduisant la régénération de charges à la cathode :
Processus d’ionisation primaire
(α
α) et de créations d’électrons
secondaires (γγ) dans un plasma
de décharge électrique (créé entre
deux électrodes).
γ =
[nb d' électrons sec ondaires ]
[nb d' ions incidents ]
Cathode
Anode
J.M. Rax 2005 Dunod
La phase de multiplication est un processus auto-entretenu par l’émission secondaire
d’électrons à la cathode.
Équations de continuité en régime stationnaire pour les ions et les électrons :
div J s = q s S coll s
Conditions aux limites :
dJ e
= α ⋅ J e (x ) + eS 0
dx
J i (d ) = 0
dJ i
= −α ⋅ J e (x ) − eS 0
dx
J e (0 ) = γ ⋅ J i (0 )
L’expression du courant total J dans la décharge montre qu’il existe une condition
d’entretien même si la source externe d’électrons (terme eS0) s’annule :
J = J i (x ) + J e (x ) =
eS 0 (1 + γ )(e αd − 1 )
⋅
α 1 − γ (e αd − 1 )
Condition d’auto-entretien de la décharge :
exp (αd ) = 1 + 1 γ
34
Loi de Paschen
Cette loi, universelle, donne le potentiel minimal à appliquer entre les deux électrodes
pour obtenir un plasma de décharge autoentretenu. On parle de potentiel de
claquage.
x
Courbe de Paschen : y =
1 + ln x
y =V V *
J.M. Rax 2005 Dunod
J.M. Rax 2005 Dunod
V* est le potentiel de claquage minimum
x = Pd Pd *
5 – Structuration des plasmas en gaines
La quasi-neutralité d’un plasma et le caractère ambipolaire du flux d’espèces ne
peuvent pas être maintenus dans tout le volume du plasma et principalement au
voisinage de parois. Des gaines non neutres se forment alors de telle sorte à
maintenir la quasi-neutralité à l’intérieur du plasma.
En raison de leur agitation
thermique, les électrons sont
captés par la paroi plus vite
que les ions (ni > ne).
La paroi se charge négativement
et le potentiel Φw est écranté sur
une distance de l’ordre de λD.
Le potentiel Φw est déterminé
de telle sorte à égaliser les flux
d’électrons et d’ions à la paroi.
35
Modèles de description d’une gaine ionique
Au voisinage immédiat de la paroi, une gaine peut être décrite selon différents
modèles selon que l’on considère les ions en régime inertiel ou collisionnel :
Régime inertiel
Régime collisionnel
Paroi
(Φ(l) = Φw)
Frontière avec
la zone neutre
(Φ(0) = 0)
J.M. Rax 2005 Dunod
Tous ces modèles conduisent aux lois de Child-Langmuir permettant de relier
la chute de potentiel Φw et la densité de courant ionique j.
5 – Structuration des plasmas en gaines – Modèles de Child-Langmuir
Mise en équation du modèle de gaine inertielle et hypothèses simplificatrices :
Conservation de la charge :
Équation de Poisson :
j = Ze ⋅ n i (x ) ⋅v i (x ) = cste
d 2Φ (x )
Ze ⋅ ni (x )
=−
dx 2
ε0
Conservation de l’énergie des ions :
Hypothèses :
1
miv i2 (x ) + ZeΦ (x ) = cste
2
On néglige la densité électronique ne << ni
On néglige les collisions entre électrons et ions
(λei ≈ 1 m >> λD pour ni = 1018 m-3 et Te = 5 eV)
On suppose que le potentiel et le champ électrique sont nuls
à l’entrée de la gaine (dΦ/dx (0) = 0) et que vi(0) = 0.
36
5 – Structuration des plasmas en gaines – Modèles de Child-Langmuir
Résultats de calculs et loi de Child-Langmuir en régime inertiel :
Équation différentielle vérifiée par Φ(x) :
d 2Φ (x )
j
=−
dx 2
ε0
mi
2 Ze
1
− Φ (x )
Résolution en tenant compte des conditions limites :
9j
Φ (x ) = − x 4 3 
 4 ε0
mi
2 Ze




2 3
Loi de Child-Langmuir
9 l 2
Appliquée en x = l, on peut déduire la chute
de potentiel U aux bornes de la gaine :
U = j 2 3 
 4 ε0
mi
2 Ze




2 3
Des relations U = f(j) légèrement différentes sont obtenues dans le cadre de
modèles collisionnels, montrant que les caractéristiques d’une gaine sont
dépendantes de la nature du transport des charges.
Existence d’une pré-gaine et critère de Bohm
Les hypothèses formulées dans les modèles précédents sont à revoir lorsque l’on
considère la partie de la gaine proche de la zone de plasma neutre :
On ne peut pas négliger la densité électronique ne.
La vitesse des ions vi(0) en entrée de gaine ne peut pas être nulle
(de même, en théorie, que le potentiel Φ(0)).
Au voisinage de la zone de plasma neutre, on peut considérer que les électrons
suivent une distribution de Boltzmann et qu’en entrée de la gaine, les ions ont une
vitesse vi(0) = V0 :
 eΦ (x ) 

 kT e 
ne (x ) = n g exp 
n i (x ) ⋅v i (x ) = n g ⋅V0
 eΦ
d 2Φ (x ) en g 
=
exp 
ε0 
dx 2
 kT e



2 ZeΦ
 − Z 1 −
miV02





−1 2



37
5 – Structuration des plasmas en gaines – Critère de Bohm
Cette équation non linéaire peut être résolue en faisant des approximations :
On prend Z = 1
On suppose que eΦ << kTe et << miV02

d 2Φ (x )
kT e
≈ λD2 1 −
dx 2
miV02


Φ (x )

Φ(x) ne peut pas être une fonction oscillante de x car les espèces seraient
piégées dans la gaine ! Cela implique la condition :
V0 > C s =
kT e
mi
Critère de Bohm : les ions entrent dans la gaine
lorsque leur vitesse dépasse la vitesse acoustique ionique.
La description inertielle du plasma neutre à la frontière de la gaine (modèle de
Tonks-Langmuir) permet de trouver les valeurs ng de ni(x) et Φg de Φ(x) pour
lesquelles vi = V0 :
n g = n0 exp (− 1 2 )
Φ g = Φ (0 ) = − kT e 2 e
Taille de gaine et potentiel flottant
L’égalité des flux électronique Γe et ionique Γi au niveau de la paroi permet de trouver
la différence de potentiel aux bornes de la gaine (Φw) et la taille de la gaine l.
Γi (x ) = n i (x ) ⋅v i (x ) = n g ⋅V0
Γe (x ) =
J.M. Rax 2005 Dunod
ne v e
kT e
=
n (x )
4
2 πme e
Φw = −
kT e  mi
ln 
2 e  2 πme

mi 
l ≈  ln

m
e 




Φw
3 4
⋅ λD
l
pré-gaine
38
6 – Trajectoires de particules sous champs uniformes
Lorsque la densité d’un plasma est assez faible, les interactions entre
particules peuvent être négligées et le mouvement des ions et des électrons
est alors uniquement déterminé par le champ électromagnétique régnant dans
le plasma.
Si un champ électrique alternatif de pulsation ω est appliqué, les collisions
entre particules seront négligées si :
ω >> ν collisions
Si un champ magnétique uniforme est appliqué, les collisions entre particules
seront négligées si :
Ωcs est la pulsation cyclotronique
Ω >> ν
cs
collisions
de l’espèce ‘s’.
Dans ces conditions, l’étude du plasma se ramène à l’étude des trajectoires
des espèces par la résolution de l’équation fondamentale de la dynamique :
ms
[( )
( )]
dv s
= qs E r ,t +v s ⊗ B r ,t
dt
E et B sont des champs
d’origine extérieure
6 – Trajectoires de particules
Mouvement cyclotronique dans un champ magnétique
statique et uniforme
En absence de champ électrique et soumise à un champ magnétique uniforme et
constant, une particule a un mouvement hélicoïdal autour des lignes de champ.
L’équation de la dynamique se simplifie en :
B = Buz
ms
dv s
= q sv s ⊗ B
dt
v s ( t ) = Vlls u z +V ⊥s cos (Ωcst )u x −V ⊥s sin (Ωcst )u y
Translation uniforme le
long des lignes de champ
Rotation uniforme autour
des lignes de champ
Pulsation cyclotronique
V lls et V ⊥s sont déterminées par les
conditions initiales et permettent de
(f ce [GHz ] = 28 B [T ])
traduire l’agitation thermique des particules.
Ωcs =
qsB
ms
39
6 – Trajectoires de particules – Mouvement cyclotronique
La position de la particule dans l’espace est obtenue par intégration :
r ( t ) = r0 +V ll t u z + ρLs sin (Ωcs t )u x + ρLs cos (Ωcs t )u y
Centre guide
Rayon de l’orbite cyclotronique
Rayon de Larmor

Wce ( eV ) 
 ρ Le [cm ] = 2.75

B [G ] 

ρLs =
V ⊥s
Ωcs
L’énergie cinétique perpendiculaire de
la particule considérée est constante au
cours mouvement (force de Lorentz
perpendiculaire à la vitesse) :
Wcs =
1
m sv ⊥2s = cste
2
6 – Trajectoires de particules – Mouvement cyclotronique
Moment magnétique orbitale
Une grandeur fondamentale du mouvement cyclotronique d’une particule est son moment
magnétique orbitale µs. Il caractérise le courant généré par la rotation de la particule.
µs =
(
)
1
W
ρ ⊗ q s v ⊥s = − cs u z
2 Ls
B
(µ = surface x courant de la spire = πρL2I)
µs est une constante du mouvement.
µi
Centres guide
µs est de sens opposé au champ magnétique qui l’a créé. On dit que le plasma
est un milieu diamagnétique qui a tendance à rejeter les flux magnétiques.
Une population de particules chargées est magnétisée lorsque les échelles de temps et
de longueur des processus étudiés sont plus grandes que la période cyclotronique Ωc et
le rayon de Larmor ρL.
40
6 – Trajectoires de particules – Moment magnétique
Un plasma crée donc par l’intermédiaire de l’ensemble des moments magnétiques
orbitaux de chaque particule qui le constitue sa propre aimantation macroscopique M :
M =
∑n µ
s
e ,i
s
=−
∑
e ,i
nsWcs
uz
B
En prenant pour Wcs la valeur de
l’énergie thermique moyenne (kT)
et en considérant que Te = Ti = T :
M =−
nkT
u
B z
Cette aimantation donne naissance, dans les régions présentant des gradients
comme aux bords d’un plasma, à un courant JM de magnétisation :
J M = rot M
(
rot B = µ0 J + J M
)
B = B0 + µ0 M
(B0 : champ magnétique en l’absence de plasma)
6 – Trajectoires de particules – Moment magnétique
On introduit le paramètre
β=
nkT
conduisant à : B = B0 (1 + β 2 ) < B0
B 2 2 µ0
β est le rapport de la pression cinétique sur la pression magnétique :
β << 1 : le diamagnétisme du plasma est négligeable
β ≈ 1 : diamagnétisme important
β décrit l’équilibre d’un plasma borné et confiné par un champ magnétique.
Plus l’énergie thermique d’un plasma est grande, plus il a tendance à rejeter
le champ magnétique et plus il est difficile de le confiner.
Un champ magnétique permet un confinement transversal d’un
plasma (limité par son diamagnétisme) mais n’assure pas un confinement
longitudinal (solutions : ligne de champ fermée ou miroir magnétique).
41
Dérive électrique sous champs électrique et magnétique
uniformes et constants
On considère la situation un peu plus générale où se superpose au champ magnétique
B un champ électrique E uniforme.
Le champ électrique E est
décomposé selon une composante
Ell longitudinale selon B et une
composante E⊥ transversale à B.
⊥
E ll
E⊥
vde
⊥
ms
(
dv s
= qs E +v s ⊗ B
dt

v s ( t ) = Vlls +

)

qs
E
E t u +V ⊥s cos (Ωcst )u x −V ⊥s sin (Ωcs t )u y − ⊥ u y
ms ll  z
B
Accélération longitudinale
Dérive transversale
6 – Trajectoires de particules - Dérives électriques
L’ajout d’un champ électrique quelconque induit une vitesse de dérive Vde
constante selon une direction perpendiculaire⊥à B et à E .
Vde = −
E ⊗B
E⊥
uy =
B2
B
Vitesse de dérive électrique
La dérive électrique conduit à un mouvement cycloïde des charges et son sens est
indépendant de leur signe.
Dérives produite par un champ de gravité :
Vdgs =
ms g ⊗ B
qs B 2
ms
m

dv s
= q s  s g + v s ⊗ B 
q
dt
 s

Vdgi
Vde
42
Dérive de polarisation sous champ électrique lentement
variable
Si le champ électrique varie lentement sur une période cyclotronique Ωcs , on peut
considérer qu’à chaque instant la vitesse de dérive perpendiculaire à E et B s’écrit :
v de (t ) ≈
E (t ) ⊗ B
B2
La réécriture du principe fondamentale fait apparaître une force d’entraînement liée
à la variation temporelle de vde :
 m d v de

d v ⊥s
= qs  − s
+ v ⊥s ⊗ B 
ms
 q s dt

dt


Cela met en évidence une dérive de
polarisation VP selon la direction du
champ E et dépendante du signe de
la charge :
VP = −
ms d v de
B
m d E dt
⊗ 2 = s
q s dt
B
qs B 2
7 – Dérives et confinement magnétiques d’un plasma
Lorsqu’un plasma est soumis à un champ magnétique et que ce champ est
susceptible de varier dans le temps et dans l’espace, le mouvement des
particules chargées s’accompagne de dérives magnétiques.
ms
dv s
= q sv s ⊗ B ( r , t )
dt
Dans les plasmas dits magnétisés, les rayons de Larmor des
particules restent très inférieurs aux dimensions caractéristiques :
ρLs << L
Les plasmas ont un comportement diamagnétique en créant, par le mouvement
des charges, des champs propres s’opposant aux champs appliqués.
Le confinement spatial d’un plasma et le piégeage de particules chargées
peuvent se faire grâce à une structuration des lignes de champ magnétique
mais cela implique en général des mouvements de dérive.
Structure linéaire de miroir magnétique
Structure torique de Tokamak
Structure complexe de Stellerator
43
7 – Dérives et confinement magnétique d’un plasma
Hypothèses d’adiabaticité du champ magnétique
Afin de pouvoir résoudre analytiquement l’équation différentielle du mouvement
d’une particule chargée dans un champ magnétique variable, il est nécessaire de
supposer que ces variations, spatiales et temporelles, sont lentes :
Lorsque le champ magnétique B(t) varie lentement devant l’échelle de
temps d’une rotation cyclotronique, on peut écrire :
∂B
<< Ωcs B
∂t
Hypothèse d’adiabaticité temporelle
Lorsque le champ magnétique B(r) varie peu devant l’échelle spatiale
d’une rotation cyclotronique, on peut écrire :
∂B
B
<<
∂r
ρLs
Hypothèse d’adiabaticité spatiale
7 – Dérives et confinement d’un plasma – Invariant adiabatique
Dans l’hypothèse d’adiabaticité temporelle, le moment magnétique orbital µs d’une
particule chargée reste constant. On parle d’invariant adiabatique.
Lorsque le champ magnétique varie, un champ électrique
d’induction se crée et agit sur l’orbite des particules :
rot E ind = −
∂B
∂t
Le travail de la force électrique d’induction agissant sur une particule est égale à
la variation de son énergie cinétique calculée sur une trajectoire non modifiée :
2
mV
1

msV ⊥2s  = q s E ind ⋅ d r = s ⊥s δB = µs δB
2
2B

 orbite
δ
∫
µs =
Wcs
= cste
B
δB est la variation du champ magnétique sur une période cyclotronique (δB << B)
L’augmentation du champ magnétique induit donc une augmentation de la
vitesse cyclotronique et donc un chauffage anisotrope du plasma.
44
7 – Dérives et confinement magnétique d’un plasma
Compression magnétique d’un plasma
La constance de µs correspond à celle du flux magnétique Φ canalisé par le tube
de force sur lequel est tracée l’orbite de la particule.
µs =
q s2
q2
2
(
)
= s Φ
BρLs
2 ms
2 ms
Φ = cste
Le champ électrique d’induction induit une
vitesse radiale de dérive électrique qui force la
particule à canaliser un même flux magnétique.
E ind
B2 > B1
ρLs2 < ρLs2
ρLs1
B
B1
Lorsque le champ magnétique varie lentement, le plasma suit les lignes de
champ dans leur déplacement. On parle de gel du plasma dans le champ B.
Dans l’hypothèse d’une compression magnétique adiabatique (augmentation
lente du champ dans le temps), un plasma est à la fois comprimé et chauffé.
7 – Dérives et confinement d’un plasma
Force diamagnétique
L’invariance du moment magnétique orbital µs se vérifie également dans l’hypothèse
d’adiabaticité spatiale.
∂B
d 1
2 
 m V  = µs
ds  2 s ⊥s 
∂s
s est l’abscisse curviligne du centre guide
Dans un champ statique (Eind = 0),
l’énergie totale de la particule se conserve :
∂B
1

d  m sV lls2  = −µs
ds
∂s
2

La variation du champ magnétique B le long d’une ligne
de champ engendre une force longitudinale agissant sur
la particule. C’est la force diamagnétique :
Fll = −µs
∂B
u ll
∂s
45
7 – Dérives et confinement d’un plasma – Force diamagnétique
Une particule chargée est repoussée des zones de champ fort par une force
indépendante de sa charge. En entrant dans une zone de champ croissant, son
énergie longitudinale diminue au profit de son énergie transversale.
Cet effet est utilisé pour confiner un plasma
dans une structure de miroirs magnétiques :
miroir
magnétique
Les particules dont la vitesse v0 est écartée de
B0 d’un angle supérieur à θ0m seront réfléchies
par le miroir :
sin θ0 m =
B0
B max
B0 est le champ dans une section initiale et
Bmax est le champ maximal au col du miroir
Cette configuration de miroirs magnétiques a été une des premières solutions
envisagées pour confiner un plasma de fusion thermonucléaire, mais a été
rapidement abandonnée en raison des instabilités qu’elle génère.
7 – Dérives et confinement d’un plasma – Force diamagnétique
La structuration dipolaire du champ magnétique terrestre induit un effet miroir sur
les particules présentes dans la magnétosphère. Dans le plan équatorial, sont
induites également des dérives de champ magnétique.
46
7 – Dérives et confinement d’un plasma
Dérives magnétiques
Lorsque le centre guide suit une ligne de champ courbée ou lorsque le champ
magnétique possède un gradient transverse à sa direction, des dérives magnétiques
s’ajoutent au mouvement de la particule.
Dérive de courbure : La force d’inertie centrifuge Fic induite par la rotation
génère une vitesse de dérive de type (Fic x B) / B2qs
Fic =
VDC =
msV lls2
un
R
Vll2
⋅ u n ⊗ ut
Ωcs R
J.M. Rax 2005 Dunod
R : rayon de courbure de la
trajectoire
un : vecteur normal dans un
repère de Frenet
Cette dérive est de sens
contraire pour les électrons
et les ions et beaucoup plus
importante pour les ions
7 – Dérives et confinement d’un plasma – Dérives magnétiques
Dérive de gradient : Le passage d’une particule dans une zone de champ
variable induit une légère modification du rayon de Larmor,
non compensée et s’accumulant tout au long du mouvement.
Calcul de la vitesse de dérive pour un gradient de champ selon une direction Oy :
Expression du champ magnétique :
Hypothèse d’adiabaticité :
B = B ( y )u z
B ( y ) = B0 + y
∂B
∂y
y ≤ ρLs << B 0 (∂B ∂y ) ≈ L
Mise en équation du mouvement :
• 
•
 ••
1 ∂B 
ρ
 = Ωcs y − ΩcsV ⊥S Ls cos (ΩCS t ) sin (ΩCS t )
x = Ωcs y 1 + y
B 0 ∂y 
L



••
• 
•
y = −Ω x 1 + y 1 ∂B  = −Ω x − Ω V ρLs cos 2 (Ω t )
cs
cs
cs
cs ⊥ s


B 0 ∂y 
L


47
Les équations obtenues au premier ordre en ρLs/L mettent en évidence l’existence
d’une force moyenne selon la direction de variation de B, induisant une vitesse de
dérive :
••

V ⊥s = Vcs +VDG
< F x > = < ms x > = 0

••
ρLs
< F y > u y ⊗ B0
< F y > = < ms y >= −ms ΩcsV ⊥s
VDG = < V ⊥s > =

2L
q B2
s
V DG =
VDG
2
Ωcs ρLs
B ⊗ ∇ ⋅B
2
B2
La dérive de gradient est
aussi dépendante du signe
de la charge
∇ ⋅B
∇ ⋅B =
0
∂B
∂B
∂B
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
Les équations obtenues au premier ordre en ρLs/L mettent en évidence l’existence
d’une force moyenne selon la direction de variation de B, induisant une vitesse de
dérive :
La structure torique d’un plasma de fusion
de type Tokamak induit des dérives
magnétiques de gradient et de courbure
induisant un courant de particules dirigé
vers le bas (pour les particules positives).
Le « divertor » a pour but de contrôler ce
flux de particules
48
Les courants induits par les dérives de courbure et de gradient génèrent leur propre
champ magnétique et induisent des oscillations et des instabilités en régime basse
fréquence. Un bilan sur ces courants, incluant le courant d’aimantation déjà calculé,
donne le courant diamagnétique JDM total circulant dans un plasma confiné :
J DM = J DC + J DG + J M
J DC = ne q eVDCe + ni q iVDCi =
1
P
(n m V 2 + ni miVlli2 ) ⋅ u n ⊗ ut = BR
u n ⊗ ut
BR e e lle
J DG = ne q eVDGe + ni q iVDGi =
1
(n m V 2 + ni miV ⊥2i ) ⋅ ut ⊗B ∇2 ⋅ B = BP2 ⋅ ut ⊗ ∇ ⋅ B
2 e e ⊥e
 P 
ut 
 B 
J M = rot M = rot  −
(
J DM = −
)
grad P
⊗ ut
B
49

Master de physique fondamentale

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