GPS et localisation par satellites Aspects pratiques

GPS et localisation par
satellites
Thierry Dudok de Wit
Licence de Chimie-Physique 1ère année
1
Aspects pratiques
Organisation de ce cours
4 séances de cours-TD
groupe A : le cours du mardi 24/10 aura lieu le mardi 7/11 à 8h00
1 séance de TP avec récepteur GPS
groupe A1 : mercredi 6/12 à 15h45 (pas d’électricité)
groupe A2 : lundi 4/12 à 13h00 (pas d’électricité)
groupe B3 : lundi 4/12 à 9h (à confirmer)
groupe B4 : lundi 4/12 à 15h45 (pas d’électricité)
groupe C5 : jeudi 7/12 à 15h45 (pas d’électricité)
groupe C6 : mercredi 6/12 à 9h00 (pas d’électricité)
groupe D7 : vendredi 8/12 à 13h00 (pas d’électricité)
groupe D8 : jeudi 7/12 à 13h00 (pas d’électricité)
contrôle écrit final (date à confirmer)
Aspects pratiques
Objectif
comprendre la physique associée à la localisation par satellites (divers
phénomènes de nature très différente)
évaluer des ordres de grandeur
! apprendre une liste de formules par coeur
pour me contacter
Thierry Dudok de Wit
Laboratoire de Physique et Chimie de l’Environnement (campus CNRS)
courriel [email protected]
! site web http://lpce.cnrs-orleans.fr/~ddwit/gps/
4
Le GPS permet de réaliser un vieux rêve : se repérer
exactement dans le temps et dans l’espace
Coordonnées géographiques
Les coordonnées géographiques d'un point M de la surface de la
Terre sont"
La longitude ! : angle orienté entre le
plan méridien origine et le plan méridien
contenant le point M.
Le méridien d’origine est celui de Greenwich.
La latitude " : angle orienté entre le
plan de l'équateur et la normale à
l'ellipsoïde passant par le point M.
La hauteur h : distance algébrique entre
le point M et l'ellipsoïde."
Un peu d’histoire
La détermination de la position absolue sur le globe a de tout temps
été une préoccupation majeure des navigateurs
La quantité la plus facile à mesurer est la latitude
Dès le XIIIème siècle, les navigateurs se sont servis d’astrolabes pour
se situer par rapport à l’étoile polaire
étoile
polaire
#
La latitude
étoile
polaire
Problèmes
l’étoile polaire n’est visible que dans
l’hémisphère nord (croix du sud)
plus on se rapproche de l’équateur,
plus la mesure est délicate
il faut le faire de nuit, avec un ciel dégagé...
La longitude
La longitude est une quantité plus difficile à estimer
Au début, on pensa pouvoir la déduire du champ magnétique
(XIVème)
On réalisa ensuite qu’elle pouvait s’obtenir à partir de la hauteur
du Soleil (d’astres) sur l’horizon, à condition de connaître l’heure
locale exacte
développement d’horloges précises (dès le XVIIème)
développement du sextant
sextants
chronomètre
du XVIIè siècle
La précision
Aujourd’hui, avec ces outils, dans le meilleur des cas les erreurs
de positionnement sont
mesure de l’angle : un écart de
1/60 sur l’angle mesuré avec le
sextant = 1 mile nautique (1852
m) en longitude
mesure du temps : un écart
de 1 minute sur le temps =
1 mile nautique (1852 m)
en longitude
ces erreurs finissent par
s’accumuler et peuvent donner
une vision déformée du monde
Le système LORAN C
Le système LORAN C,
initialement développé par les
USA vers 1950, est constitué
d’un réseau d’émetteurs radio
synchronisés qui émettent des
impulsions
La mesure de l’écart entre le
temps d’arrivée des impulsions
permet de se localiser avec
une précision < 400 m.
Ce dispositif cessera de
fonctionner en Europe en
janvier 2006
Le système LORAN C
Principe de fonctionnement : la connaissance du retard entre le
temps d’arrivée des différents signaux définit des hyperboles
L’intersection de ces hyperboles définit la position du navire.
Il faut au minimum 3 émetteurs pour cela.
Le GPS
Le GPS (Global Positioning System) est
un système de positionnement par
satellites conçu par et pour le
département de la défense des
Etats-Unis (DoD).
il a été mis en service à partir
de 1986
il est constitué de 24 satellites et
utilise la triangulation pour se
localiser
Le GPS permet de déterminer en tout point du globe
la position avec une précision < 5 m
l’heure exacte avec une précision < 1 #s
11
Positionnement : les utilisateurs
revenus générés par
la vente de
récepteurs (2000)
transport
maritime
transport
aérien
positionnement & suivi
5%2%
16%
7%
défense
logistique/transport
loisirs
agriculture/pêche
positionnement
navigation aérienne
navigation maritime
défense
pêche & agriculture
13%
loisir
s
35%
22%
logistique
& transport
Exemple : navigation maritime
exemples d’écrans
Exemple : tectonique des plaques
le GPS permet
de mesurer avec
précision la
dérive des
plaques
Exemple : agriculture
La connaissance exacte des caractéristiques en tout lieu d’une
parcelle permet de mieux doser les engrais
Positionnement : le marché
Le marché européen de navigation par satellite possède un fort
potentiel
produits : revenus liés à la vente d’infrastructures (récepteurs, systèmes
de navigation, composants, ...)
services : revenus liés à la vente de produits dérivés & services (cartes,
gestion de trafic, téléphonie mobile, ...)
le GPS répond à un besoin,
mais a aussi crée des besoins
nouveaux
Positionnement : le futur
Il existe actuellement trois services mondiaux de positionnement par
satellite
GPS
dispositif militaire américain
opérationnel depuis 1980
graduellement amélioré
GLONASS
dispositif militaire russe
n’est plus entretenu
GALILEO
dispositif civil européen
mise en service prévue en 2008,
100% opérationnel dès 2011
coût : 3 G$
Qu’est-ce que le GPS ?
19
La constellation GPS est constituée de 24 satellites NAVSTAR
placés sur 6 orbites circulaires
l’altitude de ces satellites : 20184 km. Ils font ainsi un tour
d’orbite en 12 h.
la position de chaque satellite
est connue avec une
précision < 1 m
Satellites NAVSTAR
Quelques chiffres
masse d’un satellite : 1150 kg
puissance consommée : 1140 W
durée de vie : environ 10 ans
coût d’un satellite : env. 200 M$
coût annuel du système GPS (entretien, R&D) : 750 M$
Le choix des orbites répond à des raisons pratiques et à des
impératifs stratégiques
20
Qu’est-ce que le GPS ?
21
Sur le sol, des stations des contrôle suivent en tout instant le
mouvement des satellites, dont l’orbite est périodiquement
corrigée
La station de commande se situe dans le Colorado
Qu’est-ce que le GPS ?
Enfin, les utilisateurs captent avec des récepteurs les signaux émis
par les satellites.
Les récepteurs ne font que capter les signaux. Ils n’émettent pas.
C’est le récepteur qui calcule la position à partir des données que
fournissent les satellites.
22
Principe de fonctionnement
23
Fonctionnement du GPS
Le GPS calcule la position par triangulation :
le satellite émet une onde électromagnétique de vitesse connue
le récepteur calcule le temps mis par cette onde pour l’atteindre
le récepteur sait alors qu’il se trouve sur une sphère centrée sur le
satellite
distance = temps x vitesse
24
Fonctionnement du GPS
25
En recoupant les informations de 2 satellites, le lieu géométrique
du récepteur devient un cercle
Fonctionnement du GPS
Avec 3 satellites, l’intersection se réduit à un (ou 2) points
26
Fonctionnement du GPS
Avec 3 satellites, l’intersection se réduit à un (ou 2) points
Fonctionnement du GPS
Les signaux se propagent à la vitesse de la lumière
distance = durée x 2.9979 . 108 m/s
1 #s de retard = 300 m de distance ! il faut une précision de
1 ns pour atteindre une résolution de l’ordre du mètre
27
Fonctionnement du GPS
Le récepteur n’a pas l’heure exacte et ne connaît donc que
l’écart relatif par rapport aux 3 satellites
! il faut un 4e satellite pour figer la position exacte :
4 équations pour 4 inconnues : x0 , y0 , z0 , t0

(x0 − x1 )2 + (y0 − y1 )2 + (z0 − z1 )2



(x0 − x2 )2 + (y0 − y2 )2 + (z0 − z2 )2
(x0 − x3 )2 + (y0 − y3 )2 + (z0 − z3 )2



(x0 − x4 )2 + (y0 − y4 )2 + (z0 − z4 )2
(+ plusieurs corrections)
=
=
=
=
c2 (t0 − t1 )2
c2 (t0 − t2 )2
c2 (t0 − t3 )2
c2 (t0 − t4 )2
Fonctionnement du GPS
Dans la pratique, le détecteur
utilise entre 4 et 12 satellites pour
calculer sa position. Plus il y en a,
mieux sa position est contrainte
! c’est un problème
d’optimisation complexe
Ecran de récepteur
montrant que les satellites
utilisés sont les nos 1, 4, 5 et
18. Le signal du satellite 15
est en cours de
synchronisation.
Fonctionnement du GPS
Chaque satellite NAVSTAR possède plusieurs horloges atomiques, ce
qui lui garantit une heure précise.
Il émet sur deux fréquences : 1575.42 MHz et 1227.60 MHz
Ce correspond à la gamme des microondes
Chaque satellite émet trois types de données
un almanach : permet de calculer sa position exacte
un code C/A (code approximatif) : pour un calcul approximatif du retard
un code P (précis) : pour un calcul plus précis du retard
Fonctionnement du GPS
31
Fonctionnement du GPS
33
L’almanach contient toutes les données sur
le type de satellite
son état de fonctionnement
le calcul précis de son orbite (précision < 1 m)
******** Week 267 almanac
ID:
Health:
Eccentricity:
Time of Applicability(s):
Orbital Inclination(rad):
Rate of Right Ascen(r/s):
SQRT(A) (m 1/2):
Right Ascen at Week(rad):
Argument of Perigee(rad):
Mean Anom(rad):
Af0(s):
Af1(s/s):
week:
for PRN-01 ********
01
000
0.5360126495E-002
61440.0000
0.9810490239
-0.7577458489E-008
5152.597656
0.6406025110E+000
-1.689387348
-0.2325692391E+001
0.3662109375E-003
0.3637978807E-011
267
Limites du GPS
34
Fonctionnement du GPS
35
Animation: impact de la géométrie des satellites sur la précision
Animation: code pseudo-aléatoire
Fonctionnement du GPS
Le GPS ne fonctionne qu’en des lieux découverts.
Endroits à éviter :
l’intérieur de bâtiments
rues encaissées
forêts avec feuillage dense
vitre recouvertes d’un dépôt métallisé
36
Le GPS peut être perturbé
37
Le GPS ne fonctionne pas toujours : il arrive parfois que les
signaux soient trop perturbés lors de la traversée de l’ionosphère
Ionosphère = couche ionisée (ou plasma) qui entoure l’atmosphère
Origine solaire des perturbations
Le système Soleil-Terre est un système dynamique qui est en
permanence soumis aux variations d’activité solaire
38
Le Soleil vu en ultra-violet
39
L’imagerie ultra-violette révèle mieux l’activité solaire et les
zones susceptibles de générer des éruptions
Perturbation du GPS
Ces éruptions solaires vont perturber l’ionosphère pendant
quelques heures, pouvant interrompre totalement les
communications radio
40
Scintillations
41
Les scintillations de l’ionosphère peuvent fortement perturber la
réception
Données en temps réel :http://scintillations.cls.fr
Peut-on améliorer la précision du
GPS ?
42
GPS différentiel
43
Principe du GPS différentiel: on mesure sa position par rapport à
un récepteur fixe, dont la position est connue et permet
d’appliquer des corrections
Ce service (payant) se développe à proximité des aéroports et des
côtes
Erreur sur la position
44
Il existe d’autres types de corrections (WAAS en Amérique du
Nord, EGNOS en Europe)
Précision moyenne du GPS :
type de mesure
précision moyenne
GPS (usage civil)
3-8m
GPS (usage militaire)
1-3m
GPS différentiel
GPS différentiel avec post-traitement
<1m
quelques cm
Se localiser avec le GPS
45
Géodésie
Une fois que le récepteur a calculé sa position par rapport aux
satellites, il reste à calculer sa position par rapport à la Terre
Il reste à calculer la position absolue (latitude, longitude, altitude)
dans le référentiel terrestre
Pour cela il faut un modèle de la forme du globe : géodésie
46
Forme du géoïde
47
La Terre n’est pas ronde =
il faut une description de
la forme du géoïde
Cette allure est liée aux
variations de gravité
roches denses = gravité
forte = creux
roches peu denses =
gravité moins forte =
bosse
Ces variations peuvent
atteindre > 80 m
(IPGP, Paris)
Ellipsoïde et géoïde
48
La forme du géoïde est trop complexe pour être formulée
mathématiquement. On l’approxime donc par un ellipsoïde
ellipsoïde global :
approxime le globe
entier. Exemple :
WGS84
géoïde
ellipsoïde local :
approxime une région
du globe. Exemple :
Clarke 1880
Ellipsoïde et géoïde
49
Pour se positionner, il faut un datum constitué de :
un ellipsoïde local (chaque pays a le sien)
la position de cet ellipsoïde par rapport à l’ellipsoïde de référence
(WGS84)
ellipsoïde local
ellipsoïde global
Projection
Pour ensuite se repérer sur une carte géographique, il faut projeter
une surface sphérique sur un plan... c’est impossible
Chaque pays possède sa propre référence géodésique, qui permet de
passer du système WGS84 au système de cartographie local.
Projection de
Mercator
Projection de
Mercator oblique
Projection Lambert (conique)
utilisée en France
Mensurations
Exemple : la France d’après le
relevés de Cassini (1720) et
d’après les des relevés
récents
Carte topographique
Les repères sur les cartes
topographiques
permettent enfin de se
localiser avec précision
Coordonnées (système de
Lambert)
Coordonnées classiques
(degrés)
Système de coordonnées
UTM (le plus pratique car
maillage kilométrique)
52
Orbitographie
53
Orbitographie
54
Grâce aux éphémérides de chaque satellite, la position peut être
déterminée avec précision (1-10 m) des mois à l’avance
******** Week 267 almanac
ID:
Health:
Eccentricity:
Time of Applicability(s):
Orbital Inclination(rad):
Rate of Right Ascen(r/s):
SQRT(A) (m 1/2):
Right Ascen at Week(rad):
Argument of Perigee(rad):
Mean Anom(rad):
Af0(s):
Af1(s/s):
week:
for PRN-01 ********
01
000
0.5360126495E-002
61440.0000
0.9810490239
-0.7577458489E-008
5152.597656
0.6406025110E+000
-1.689387348
-0.2325692391E+001
0.3662109375E-003
0.3637978807E-011
267
Ephémérides du
satellite
NAVSTAR 01
Cela suppose que l’on ait un excellent modèle pour décrire le
mouvement des satellites
Orbites
Le mouvement des satellites GPS obéit aux équations de Newton
O
Satellite et Terre s’attirent avec la même force
Orbites
Le mouvement des satellites GPS répond aux équations de Newton
O
Les forces qui s’exercent sur le satellite (sur la Terre) valent
respectivement avec (
)
équations a priori
difficiles à résoudre
Orbites
Calculons
F!t + F!s = 0
d2!rt
d2!rs
!
!
Ft + Fs = mt 2 + ms 2 = 0
dt
dt
Or le barycentre du système Terre-satellite vaut
!rB =
mt!rt + ms!rs
mt + ms
On en conclut que le barycentre n’est pas accéléré, puisque
d2!rB
=0
dt2
L’ensemble Terre-satellite subit donc un mouvement rectiligne
uniforme ! on peut dissocier le mouvement de l’ensemble Terresatellite de celui du satellite autour de la Terre
Orbites
Au lieu d’étudier cette trajectoire-ci
On pourra se contenter d’étudier celle-là (beaucoup plus simple)
barycentre
Orbites
Calculons
F!s − F!t
d2!rs
d2!rt
!
!
Fs − Ft = ms 2 − mt 2
dt
dt
O
on trouve
d2!r
GµM !r
µ 2 =− 2
dt
r r
M = mt + ms
µ=
mt ms
mt + ms
masse totale
masse réduite
séparation Terre-satellite
!r = !rs − !rt
Orbites
Dans notre cas, nous avons
ms ! mt ⇒ M ≈ mt ,
µ ≈ ms
! On peut approximer l’ensemble Terre-satellite par un satellite
de masse ms qui tourne autour d’une Terre immobile
Terre et satellite tournent
autour du barycentre
Terre immobile autour de laquelle
tourne le satellite
le déplacement de la Terre causé par le satellite vaut environ
Orbites
Une étude plus détaillée de l’équation
montre que
le mouvement du satellite se situe dans un plan et conserve l’énergie (pas
de dissipation)
les solutions sont des coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole)
Au début du XVIIème siècle, Johannes Kepler proposa une série de
lois (empiriques) qui décrivent relativement bien les orbites des
satellites
il trouva ces lois sans connaître la solution analytique de l’équation
ces lois s’avèrent être en bon accord avec les équations de Newton
une loi générale est souvent plus utile qu’une solution analytique détaillée
Lois de Kepler
Première loi de Kepler (loi des orbites) : l’orbite du satellite est une
ellipse dont un des foyers est occupé par la Terre. L’orbite des
satellites NAVSTAR sont en réalité des cercles.
a
ellipse de demi-grand axe a
a
cercle de rayon a
Quelques orbites courantes
orbite polaire : bonne
couverture de la Terre
(satellites d’imagerie
terrestre)
orbite géostationnaire :
reste toujours au-dessus
du même lieu
(satellites de
télécommunication)
orbite Molnya : (satellites
de télécommunication)
chaque point = un
satellite (vivant ou
mort) en rotation
autour de la terre
Lois de Kepler
Troisième loi de Kepler (loi des périodes): pour tous les satellites de
la Terre, le rapport entre demi-grand axe et période orbitale est le
même
demi-grand axe
(ellipse) ou rayon
(cercle)
a
période
masse de
la Terre
Exemple
pour un cercle
a = rayon
station spatiale (altitude 390 km) ! période de 1h30
satellite astra (altitude 36’000 km) ! période de 24h
Rayon d’orbite vs période orbitale
65
Vitesse orbitale vs rayon d’orbite
66
La mesure du temps
67
Mesure du temps
La mesure précise du temps est un élément essentiel du
positionnement par satellite
! 10 ns d’écart = 3 m d’erreur !
Ancienne définition de la seconde (avant 1968) :
La seconde est égale à 1/86400 d’un jour
solaire moyen
Définition actuelle de la seconde
La seconde est la durée de 9’192’631’770
périodes de la radiation correspondant à la
transition entre les deux niveaux hyperfins
F=3 et F=4 de l'état fondamental 6S1/2 de
l'atome de césium 133.
Horloge atomique
Le noyau du Cesium 133 ne peut
pas avoir n’importe quelle
énergie
! l’énergie du noyau est
quantifiée
Le passage d’un niveau
d’énergie à un autre
s’accompagne la libération ou
de l’absorption d’un photon
dont l’énergie (la longueur
d’onde) est bien déterminée
Mesure du temps
Les horloges atomiques sont parmi les plus précises : elles se
synchronisent sur la résonance d’une transition atomique (Cesium
ou Rubidium)
Il en existe actuellement plusieurs dizaines dans le monde - elles
sont synchronisées entre elles par des satellites GPS
Leur précision relative : 10-12 = 1 seconde d’écart en 32’000 ans
Les futures horloges seront basées sur des fontaines d’atomes
froids (précision relative de 10-15) et sur des résonateurs à
fréquences optiques (précision relative de 10-18).
Précision de la mesure
71
Toutes les horloges utilisent le principe de la résonance
Circuit RLC
R
i
L
largeur =
1 / facteur de qualité Q
C
Bonne précision = facteur de qualité Q élevé
Les meilleures horloges ont aujourd’hui Q = 1017
Horloge atomique
Effet Doppler
73
Effet Doppler
Effet Doppler-Fizeau : la fréquence d’une onde n’est pas la même
suivant que l’émetteur s’approche ou s’éloigne de l’observateur
la source s’approche :
la fréquence f semble
plus élevée
la source s’éloigne :
la fréquence f
semble plus basse
Si v est la vitesse de la source par rapport à l’observateur (v>0 si
la source s’éloigne) et c la vitesse de l’onde (c=330 m/s pour le
!
son), alors
fobs
fsource
=
c0 − v
c0 + v
Effet Doppler
Les applications de l’effet Doppler-Fizeau sont nombreuses :
mesure de la vitesse des véhicules sur la route
mesure de la vitesse des étoiles par rapport à la Terre
galaxie s’approchant
de la Terre
galaxie immobile par
rapport à la Terre
galaxie s’éloignant
de la Terre
Effets relativistes
76
La relativité
Toute la physique classique repose sur le principe de relativité
Les lois de la physique dans un
référentiel inertiel (qui subit
un mouvement rectiligne
uniforme) restent les mêmes,
quelle que soit la vitesse de
ce référentiel
Exemple : la tasse de café qui se renverse alors que vous êtes
dans l’avion produira le même effet, que l’avion vole ou soit à
l’arrêt
La relativité
Dès les années 1880, les découvertes en électrodynamique
(équations de Maxwell) viennent tout bouleverser.
La vitesse de la lumière dans le
vide devrait être toujours la même,
que le référentiel se déplace ou non
78
La relativité
Cette contradiction est résolue en 1905 par Albert
Einstein (+ d’autres), qui formule sa théorie de la
relativité restreinte
La vitesse de la lumière dans le
vide est la même pour tous les
observateurs
Théorie de la relativité
La vitesse de la lumière est donc la même pour tout observateur :
il n’y a plus de référentiel absolu !
extrait de physics2000.com
L’expérimentateur qui mesure la vitesse de la
lumière obtient toujours le même résultat
79
Théorie de la relativité
Conséquences :
1) la vitesse de la lumière ne me dit rien sur la vitesse à laquelle je
me déplace !
2) le temps n’est plus absolu : il peut se dilater
3) les dimensions de l’espace ne sont plus absolues : l’espace peut se
déformer
Nous vivons dans un monde à 4 dimensions : x, y, z et t
Exemple : le temps de vie des muons
Les muons sont des particules élémentaires 200 plus lourdes
que les électrons
Les muons sont instables : ils se désintègrent spontanément
en d’autres particules. Leur demi-vie vaut 2.2 #s
nombre de muons
100
N (t) = N0 e−λt
75
50
25
0
0
2.2
4.4
6.6
8.8
temps [#s]
11
13.2
Exemple : le temps de vie des muons
83
Les muons sont produits dans la haute
atmosphère par des réactions nucléaires
avec des particules extra-galactiques de
très haute énergie
Vitesse des muons
= 0.994 c0
= 2.97991 x 108 m/s
Ces muons furent étudiés en 1930 par
deux observatoires voisins, situés à 100 et
à 1900 m d’altitude
! le temps mis par un muon pour
parcourir cette distance est
t=
1800 m
= 6.04 µs
2.9799 × 108 m/s
Exemple : le temps de vie des muons
nombre de muons
On s’attend à ce que sur 100 muons
observés à 1900 m d’altitude, il n’en reste
plus que 15 % à 100 m d’altitude
100
75
50
25
0
0
2.2
4.4
6.6
8.8
11
13.2
temps [#s]
Or les observations montrèrent qu’il en
restait près de 80 % !
84
Les muons : explication
85
Du point de vue de l’observateur terrestre
Le muon se déplace à une vitesse proche de la lumière
! le temps se dilate pour lui
tobs
tmuon = !
= 9.1 tobs
1 − v 2 /c20
Le temps de demi-vie du muon était de 2.2 #s
il devient 2.2 #s x 9.1 = 20.1 !s
Il est donc normal que davantage de muons survivent au trajet.
Les muons : explication
Du point de vue du muon
Le muon voit la Terre s’approcher de lui à vitesse élevée
! l’espace semble se contracter pour lui
xmuon
!
xobs
= xobs 1 − v 2 /c20 =
9.1
La distance à parcourir est de 1800 m
elle devient 1800 m x 9.1 = 198 m
Il est donc normal que davantage de muons survivent au trajet.
86
Relativité
Relativité : deux explications différentes pour une même réalité
réalité
Pour l’observateur: le
temps se dilate
Pour les muons:
l’espace se contracte
Théorie de la relativité
= il n’y a plus de temps absolu
= il n’y a plus de référentiel absolu
Relativité et GPS
La relativité joue un rôle important dans le positionnement GPS :
Chaque satellite se déplace par rapport au sol à une vitesse de
v = 3870 m/s = 0.000013 c0
Pour un observateur terrestre, le temps à bord du satellite se
dilate
tobs
tsat = !
= 1.00000000008 tobs
1 − v 2 /c20
Après 24h, cela équivaut à un décalage temporel de
tsat − tobs = 6.9 µs = 2070 m d’erreur sur la position
87
Relativité et GPS
89
Mais par rapport à quel référentiel faut-il mesurer la
vitesse du satellite NAVSTAR ?
Autres effets
90
La queue des comètes
A quoi la double queue des comètes est-elle due ?
Hale-Bopp, Jamie Perry, April 1997
La queue des comètes
La queue est due à la très faible pression exercée par :
• le rayonnement du Soleil
• le vent solaire
Ces mêmes mécanismes exercent une pression sur les satellites
Passage d’une comète devant le Soleil
(masqué par un disque)
La queue des comètes
Exemple : des comètes qui frôlent
le Soleil (caché par un occulteur)
La pression photonique
Le rayonnement lumineux peut se décrire à la fois :
comme des ondes électromagnétiques
comme un flux de particules de masse nulle, les photons
Chaque photon, même si sa masse est nulle, possède une quantité
de mouvement et exerce donc une pression (très faible)
Calcul de la pression photonique
puissance
incidente [W]
pression [Pa]
photon
vitesse de la
lumière [m/s]
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La pression photonique
Pour un satellite en orbite autour de la Terre, la puissance reçue
par le Soleil vaut
La surface d’un satellite vaut env. 10 m2
Environ 85% de ce rayonnement est réfléchi (réflexion spéculaire),
le rendement est donc de
La pression maximale vaut
Ce qui équivaut à une force de
Cette force est très faible, mais à long terme son
impact peut devenir significatif
Les voiles solaires
La pression photonique est aujourd’hui exploitée pour réaliser des
voiles solaires
Les futures missions interplanétaires seront équipées de voiles
géantes (milliers de m2), ce qui leur permettra d’être emportées
par le rayonnement solaire
Pour avoir une force de 1 N, il faut une voile d’environ 10 ha
première voile solaire
déployée dans l’espace
par une fusée japonaise
(9 août 2004)
projet américain
Gérer les erreurs du GPS
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Calculer les erreurs
Dans un système opérationnel comme le GPS il est essentiel de
connaître sa position mais aussi l’incertitude (ou erreur) sur la
position
Exemple : si le GPS n’est toujours
pas homologué pour l’aviation
civile, c’est en partie parce que
les erreurs de position ne sont pas
toujours connues avec exactitude
Un résultat du genre x = 102’456.56 m n’a aucun sens si on n’a
pas une idée de sa qualité !
Or, le calcul de l’incertitude est délicat car il fait intervenir de
nombreux facteurs qu’on ne maîtrise pas
! l’incertitude est toujours approximative (ordre de grandeur)
Quelle précision ?
De nombreux facteurs peuvent affecter la précision de la position.
Cette dernière fluctue au cours du temps.
Pour un récepteur à usage civil, et dans de bonnes conditions,
l’erreur est de l’ordre de 5 m en position horizontale, et 10 m en
vertical
Dérive de la position au cours de 5h
de mesures (position en mètres)
lieu géométrique
du récepteur
Sources d’erreur
Les sources d’erreur
sont multiples.
source d’erreur
ionosphère perturbée
erreur
typique
4m
troposphère
0.7 m
réflexions parasites
1.4 m
horloge et précision des satellites
3.0 m
bruit du récepteur
0.5 m
erreur globale
~ 5.5 m
Sources d’erreur
L’erreur réelle dépasse souvent les 5 m
dans 95% des cas, l’erreur sur l’altitude est < 50 m
dans 95% des cas, l’erreur sur la position horizontale est < 25 m
Cela tient en partie au nombre et à la configuration des satellites
vus par le récepteur (facteur géométrique ou GDOP)
incertitude
erreur géométrique
importante
faible erreur
géométrique
Propagation des erreurs
Que signifie «"erreur = 5.5 m ?!»
On ne sait pas prédire les écarts par rapport à la position exacte.
En revanche on sait qu’elles restent regroupées autour d’une valeur
moyenne. La distribution (histogramme) des valeurs suit une loi
bien reproductible.
évolution de l’erreur au cours du temps
distribution (histogramme) des
valeurs de l’erreur
Propagation des erreurs
Grâce à cette distribution, on peut déterminer la probabilité avec laquelle la
position s’écartera de la valeur exacte.
En général, on approxime la distribution par une loi de Gauss (ou loi normale),
où $ est l’"“erreur” (écart-type)
et la p(x) dx est la probabilité d’être dans [x, x+dx]
dans ce cas on sait qu’en moyenne
! 67% des mesures ont un écart < $
! 95% des mesures ont un écart < 2 $
! 99% des mesures ont un écart < 3 $
Réduire des erreurs
Comment réduire l’erreur de mesure ?
L’erreur comprend généralement deux parties
position
mesurée
par GPS
position
exacte
erreur systématique
elle est très difficile à corriger,
et demande un bonne
connaissance du phénomène
erreur aléatoire
son impact peut être réduit en
moyennant les données
Réduire les erreurs
L’erreur due aux fluctuations aléatoires du signal peut être
réduite en moyennant la position sur plusieurs observations
(pendant laquelle les conditions de mesure ne doivent pas
changer)
Si on fait n mesures indépendantes de la position, alors
si $ est l’erreur sur une seule mesure xi
1!
l’erreur sur la moyenne x̄ =
xi est
n i=1
n
dans ce
!
!
!
σx
σx̄ = √
n
cas
en moyennant sur 4 mesures, on réduit l’erreur de 2
en moyennant sur 10 mesures, on réduit l’erreur de 3.2
en moyennant sur 100 mesures, on réduit l’erreur de 10