THESE DOCTEUR Soufiane TAIBI - Laboratoire d`Electrotechnique

Transcription

N° d’ordre : 3149
Année 2002
UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
THESE
Spécialité
GENIE ELECTRIQUE
Présentée pour obtenir
le titre de
DOCTEUR
de l’Université des Sciences et Technologies de Lille
Par
Soufiane TAIBI
Ingénieur de l’Université des Sciences et Technologies Houari Boumedienne
(USTHB), Alger, Algérie
Contribution à l’étude, la conception, le dimensionnement et
l’optimisation de Machines à réluctance variable de type
Vernier
Soutenue le 12 Juillet devant le jury composé de :
Monsieur
Monsieur
Monsieur
Monsieur
Monsieur
Monsieur
Monsieur
G. SEGUIER
J. BIGEON
D. MATT
B. BOUALEM
C. MARCHAND
F. PIRIOU
A. TOUNZI
Président
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Directeur de thèse
Co-directeur de thèse
A mes parents , à toute ma famille,
à ma femme et ma fille.
Remerciements
Le travail présenté dans ce mémoire a été effectué au laboratoire d’électrotechnique et
d’électronique de puissance de Lille (L2EP), au sein de l’équipe « modélisation étude et
conception des systèmes électromagnétiques ». Cette équipe est dirigée par monsieur le
Professeur F. PIRIOU à qui j’adresse mes sincères remerciements pour la confiance qu’il
m’a témoignée en m’accueillant dans son équipe et pour avoir accepté de diriger le présent
travail.
Je tiens à remercier :
- Monsieur le Professeur J.P. HAUTIER, Directeur du laboratoire, pour son accueil.
- Monsieur le Professeur R. BAUSIERE de m’avoir accepté parmi les DEA de la promotion
1997.
Je remercie également monsieur G. SEGUIER Professeur émérite à l’USTL, de m’avoir fait
l’honneur d’examiner le présent travail et de présider le jury de ma thèse.
J’adresse mes sincères remerciements à :
-
Monsieur J. BIGEON – DR CNRS – INP de Grenoble.
Monsieur B. BOUALEM – Docteur Ingénieur – Radio Energie.
Monsieur C. MARCHAND – Professeur – Université de Paris XI.
Monsieur D. MATT – Maître de conférences HDR – Université de Montpellier II.
pour avoir accepté de faire partie du jury de la thèse.
J’adresse également mes plus grands remerciements à monsieur A. TOUNZI, maître de
conférence à l’IUT A de Lille, Co-directeur de thèse, avec qui j’ai travaillé de près en DEA et
pendant la thèse, de m’avoir proposé un sujet aussi intéressant et pour son aide permanente
tout au long de cette étude. Je le remercie également pour ses qualités d’ordre relationnel qui
m’ont permis de travailler dans une ambiance très agréable.
Je remercie également tous les enseignants chercheurs, permanents, du L2EP, en particulier
S. CLENET pour son aide, surtout au niveau du code de calcul, A. BOUSCAIROL, P.
DELARUE et N. IDIR pour leur sympathie.
Je n’oublie pas de remercier P. LEMOIGNE, P. BARTHOLOMEUS et F. GILLON pour la
confiance qu’ils m’ont témoignée en me permettant d’enseigner durant la période de
recherche.
Je remercie J.J. FRANCHAUD pour son aide à la mise en œuvre du banc d’essai et surtout
pour ses précieux conseils durant les manipulations. Je remercie également dans ce contexte
M. AMBERT.
Je remercie F. ZINET et mon frère Nacer-eddine pour leur aide précieuse.
Je n’oublie pas de remercier l’équipe de CROUS de Lille – service international – en
particulier D. FABIS et I. CASTELEIN pour leur disponibilité et sympathie.
Enfin je tiens aussi à remercier :
Madame Blandé, Madame Barato, O. Ferla et tous les thésards, pour l‘ambiance
sympathique, en particulier : I. Haouara, S. Brulé, F. Marmin, Y. LeMenach, C. Desombre,
O. Barre, J. Pierquin, G. Marques, A. Benabou, T. Henneron, S. Charlemagne, H. Sawezyn.
Y. Sofiane et B. Vulturescu.
Résumé
Résumé
Dans les centrales éoliennes, la conversion électromécanique est assurée par des structures
classiques fonctionnant à des vitesses standards ( ≥ 750 tr/min). La turbine de l’éolienne,
tourne, quant à elle, à de basses vitesses (25-100 tr/min). Le couplage entre la turbine et la
génératrice est réalisé par des multiplicateurs de vitesse mécaniques. Ces derniers représentent
un dispositif délicat dans la centrale. Dans ce travail, nous nous sommes intéressés, à la
conception d’une génératrice de moyenne puissance pouvant être entraînée directement par la
turbine. La structure étudiée est une machine à réluctance variable, de type Vernier, excitée.
Cette structure est connue pour avoir un fonctionnement à fort couple et faible vitesse. De
plus, le circuit d’excitation, constitué par un bobinage triphasé au stator alimenté en alternatif,
permet de doter la structure de deux degrés de liberté supplémentaires pouvant être utilisés
dans la commande.
Dans le premier chapitre, à partir d’un modèle énergétique, nous avons classifié les structures
à réluctance variable à actions hétéropolaires. Ensuite, une méthode analytique de prédimensionnement a été proposée.
Dans le second chapitre nous avons développé des modèles simplifiés : analytique, semianalytique et semi-analytique étendu. Nous les avons alors utilisés, ainsi que la modélisation
numérique basé sur la méthode des éléments finis, pour étudier les performances de
différentes structures. Nous avons ensuite différencié deux catégories de machines que nous
avons appelées symétriques et dissymétriques.
Dans le troisième chapitre, nous avons minimisé les ondulations de couple de la machine
retenue (symétrique) en optimisant les ouvertures dentaires statorique et rotorique. Ceci a été
effectué à l’aide d’un outil de calcul, basé sur l’algorithme génétique, que nous avons
développé.
Suite aux études théoriques, un prototype de puissance réduite a été fabriqué. Le chapitre
quatre est consacré à l’étude de ses performances et leur comparaison avec les calculs.
Mots clefs
Machine à réluctance variable
Machine Vernier
Entraînement direct
Dimensionnement
Modèles analytiques
Méthode des éléments finis
Energie éolienne
Algorithme génétique
Abstract
Abstract
In the wind power stations, the electromechanical conversion is ensured by classical structures
which rotate at standard speeds ( ≥ 750 tr/min) while the turbine of the wind mill rotates at low
speed (25-100 tr/min). The coupling between the turbine and the generator is achieved by
mechanical gear boxes. The latter represents a dodgy device in the power station. In this
work, we have been interested by the conception of an average power generator which can be
driven directly by the turbine. The studied structure is an excited Vernier variable reluctance
machine. This structure is well known for its operating at high torque and low speed.
Moreover, the excitation circuit, made up of a three-phase stator winding supplied by
alternative currents, makes it possible to give the structure two additional degrees of freedom
which can be used in the control.
In the first chapter, from an energetic model, we have classified the reluctance variable
structures with heteropolar actions. Then, an analytical method has been proposed for design.
In the second chapter, we have developed simplified models : analytical, semi-analytical and
extended semi-analytical models. Then, we have used them, as well as numerical modeling
based on the finite element method, to study the performances of different structures. This
yields to distinguish two kinds of machines which we called symmetrical and unsymmetrical.
In the third chapter, we have minimized the retained machine’s torque ripples (symmetrical)
by optimizing the stator and rotor teeth openings. This has been carried out using a
computational tool, based on the genetic algorithm, that we have developed.
Following the theoretical studies, a prototype of reduced power has been manufactured.
Chapter four is devoted to study its performances and to compare them with the calculation
ones.
Keywords
Variable reluctance machine
Vernier machine
Direct driven
Design
Analyticals modelings
Finites elements method
Wind power
Genetic algorithm
Sommaire
INTRODUCTION GENERALE.......................................................................................................................1
CHAPITRE I : CONVERTISSEURS ELECTROMECANIQUES D’ENERGIE A ENTREFER
VARIABLE........................................................................................................................................................4
INTRODUCTION .............................................................................................................................................4
I.1. MACHINE A RELUCTANCE VARIABLE ET EFFET VERNIER........................................................5
I.2. MODELE ENERGETIQUE DES MRV HETEROPOLAIRES ...............................................................9
I.2.1. EXPRESSION DE L’ENERGIE ....................................................................................................................10
I.2.2. PERMEANCE D’ENTREFER ......................................................................................................................14
I.2.3. DIFFERENCE DE POTENTIEL MAGNETIQUE D’ENTREFER...........................................................................15
I.3. ENERGIE ET CONDITIONS DE CONVERSION.................................................................................18
I.3.1. MACHINES NON EXCITEES ......................................................................................................................20
I.3.1.1. MRV à double denture ...................................................................................................................20
I.3.1.1.1. MRV à simple action ........................................................................................................................................ 23
I.3.1.1.2. MRV à double action ........................................................................................................................................ 24
I.3.1.2. MRV à stator lisse..........................................................................................................................25
I.3.2. TABLEAU RECAPITULATIF ......................................................................................................................26
I.3.3. MACHINES EXCITEES .............................................................................................................................28
I.3.3.1. Structures à double denture............................................................................................................28
I.3.3.1.1. Expression de l’énergie d’entrefer.................................................................................................................... 28
I.3.3.1.2. MRV à simple action ........................................................................................................................................ 30
I.3.3.1.3. MRV a plusieurs actions ................................................................................................................................... 32
I.3.3.2. Structures à simple denture ............................................................................................................36
I.3.3.2.1. Structures à simple action ................................................................................................................................. 36
I.3.3.2.2. Structures à plusieurs actions........................................................................................................................... 37
I.3.3.3. MRV à excitation continue .............................................................................................................39
I.4. QUELQUES EXEMPLES DE STRUCTURES DE MRV.......................................................................39
I.4.1. LES MACHINES A SIMPLE DENTURE OU A STATOR LISSE...........................................................................39
I.4.1.1. Machines non excitées....................................................................................................................39
I.4.1.2. Machines excitées ..........................................................................................................................41
I.4.1.2.1. Excitation au rotor............................................................................................................................................. 41
I.4.1.2.2. Excitation au stator............................................................................................................................................ 41
I.4.2. LES MACHINES A DOUBLE DENTURE .......................................................................................................42
I.4.2.1. Machines non excitées....................................................................................................................42
I.4.2.2. Machines excitées ..........................................................................................................................43
I.4.2.2.1. Excitation au rotor............................................................................................................................................. 43
I.4.2.2.2. Excitation au stator............................................................................................................................................ 44
I.4.3. CONCLUSION .........................................................................................................................................44
I.5. PRE-DIMENSIONNEMENT D’UN PROTOTYPE................................................................................45
I.5.1. CAHIER DES CHARGES ...........................................................................................................................45
I.5.2. MISE EN ŒUVRE DES CONDITIONS DE FONCTIONNEMENT ........................................................................46
I.5.3. CHOIX DES PARAMETRES .......................................................................................................................46
I.5.4. PROCEDURE DE DIMENSIONNEMENT .......................................................................................................47
I.5.4.1. Détermination de la grandeur D2L .................................................................................................48
I.5.4.2. Calcul du diamètre et de la longueur..............................................................................................49
I.5.5. DIMENSIONNEMENT DES ENCOCHES ET DES CULASSES ............................................................................50
I.5.6. DIMENSIONNEMENT DES ENROULEMENTS ..............................................................................................51
I.6. CONCLUSION..........................................................................................................................................53
CHAPITRE II : MODELISATION ET ETUDE DES PERFORMANCES..................................................54
INTRODUCTION ...........................................................................................................................................54
II.1. APPROCHE ANALYTIQUE..................................................................................................................55
Sommaire
II.1.1. PERMEANCE D’ENTREFER ET FORCE MAGNETOMOTRICE........................................................................55
II.1.2. EXPRESSION DU FLUX INDUIT A VIDE ....................................................................................................56
II.1.3. EXPRESSIONS DES INDUCTANCES PROPRES ET MUTUELLES. ...................................................................56
II.1.4. EXPRESSION DU COUPLE .......................................................................................................................58
II.1.5. CONCLUSION .......................................................................................................................................59
II.2. MODELE SEMI-ANALYTIQUE...........................................................................................................59
II.2.1. PERMEANCE D’ENTREFER .....................................................................................................................59
II.2.2. DISTRIBUTION DES F.M.M. ....................................................................................................................61
II.2.2.1. Structures à entrefer globalement constant ..................................................................................62
II.2.2.2. Structures à entrefer globalement variable...................................................................................63
II.2.3. GENERALISATION DE LA DISTRIBUTION DES D.D.P.M .............................................................................67
II.2.4. COUPLE ELECTROMAGNETIQUE ............................................................................................................69
II.2.5. CONCLUSION .......................................................................................................................................70
II.3. MODELISATION NUMERIQUE ..........................................................................................................71
II.3.1. FORMULATION ET MISE EN EQUATION ...................................................................................................71
II.3.2. CONDITIONS AUX LIMITES ....................................................................................................................74
II.3.3. DISCRETISATION PAR ELEMENTS FINIS ..................................................................................................75
II.3.4. COUPLAGE DES EQUATIONS DE CIRCUIT ................................................................................................76
II.3.5. PRISE EN COMPTE DU MOUVEMENT .......................................................................................................78
II.3.6. CALCUL DU COUPLE .............................................................................................................................78
II.3.7. CODE DE CALCUL EFL2EP ...................................................................................................................79
II.4. APPLICATION .......................................................................................................................................80
II.4.1. DONNEES DU CAHIER DES CHARGES ......................................................................................................80
II.4.2. QUANTIFICATION DES PARAMETRES DE FONCTIONNEMENT ...................................................................80
II.4.3. ETUDE PRELIMINAIRE DE DIFFERENTES STRUCTURES.............................................................................81
II.4.3.1. Particularités des structures étudiées............................................................................................82
II.4.3.2. Etude des structures dissymétriques..............................................................................................83
II.4.3.3. Structures symétriques ..................................................................................................................89
II.5. CONCLUSION ........................................................................................................................................95
CHAPITRE III : ETUDE SUR LA MINIMISATION DES ONDULATIONS DU COUPLE .....................96
INTRODUCTION ...........................................................................................................................................96
III.1. DEFINITIONS .......................................................................................................................................96
III.2. PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT .................................................................................................97
III.3. EVALUATION.......................................................................................................................................98
III.4. SELECTION ..........................................................................................................................................99
III.5. REPRODUCTION AVEC CROISEMENT ET MUTATION ...........................................................100
III.6. VALIDATION......................................................................................................................................105
III.6.1. EXEMPLE MATHEMATIQUE ................................................................................................................105
III.6.2. BOBINE A NOYAU DE FER ..................................................................................................................106
III.7. APPLICATION AU CAS DE LA MRV VERNIER ...........................................................................110
III.7.1. PRESENTATION DE LA STRUCTURE RETENUE POUR L’OPTIMISATION ...................................................110
III.7.2. CRITERES DE L’OPTIMISATION ET PARAMETRES A OPTIMISER .............................................................111
III.7.3. DEMARCHE DE L’OPTIMISATION ........................................................................................................112
III.7.3.1. Détermination du diamètre d’alésage ........................................................................................113
III.7.3.2. Détermination de la profondeur des encoches rotoriques ..........................................................113
III.7.3.3. Détermination des ouvertures dentaires optimales.....................................................................114
III.7.4. ETUDE EN SATURE ............................................................................................................................119
Sommaire
III.8. CONCLUSION.....................................................................................................................................121
CHAPITRE IV : ETUDE EXPERIMENTALE D’UN PROTOTYPE .......................................................123
INTRODUCTION .........................................................................................................................................123
IV.1. PRESENTATION DU BANC EXPERIMENTAL..............................................................................123
IV.1.1. PRESENTATION DU PROTOTYPE REALISE ............................................................................................123
IV.1.2. COMPOSANTS DU BANC EXPERIMENTAL ............................................................................................126
IV.2. MODELISATION DU PROTOTYPE REALISE...............................................................................128
IV.2.1. MODÈLE NUMÉRIQUE ........................................................................................................................128
IV.2.2. IDENTIFICATION DE LA CARACTERISTIQUE MAGNETIQUE DES TOLES ..................................................128
IV.3. DETERMINATION DES INDUCTANCES .......................................................................................130
IV.3.1. DETERMINATION DES INDUCTANCES PROPRES. ..................................................................................130
IV.3.2. DETERMINATION DES INDUCTANCES MUTUELLES INDUIT-INDUIT ET INDUCTEUR-INDUCTEUR .............131
IV.3.3. DETERMINATION DES INDUCTANCES MUTUELLES ENTRE LES CIRCUITS INDUCTEUR ET INDUIT ............132
IV.4. ESSAIS A VIDE ...................................................................................................................................134
IV.4.1. EXCITATION EN CONTINU ..................................................................................................................134
IV.4.1.1. Une seule phase alimentée.........................................................................................................134
IV.4.1.2. Les trois phases alimentées........................................................................................................137
IV.4.2. EXCITATION EN ALTERNATIF .............................................................................................................139
IV.5. ESSAI A ROTOR BLOQUE (TRANSFORMATEUR)......................................................................141
IV.6. ETUDE EN CHARGE .........................................................................................................................143
IV.6.1. ESSAI EN COURT CIRCUIT ..................................................................................................................143
IV.6.2. DEBIT SUR UNE CHARGE CAPACITIVE ................................................................................................144
IV.7. ETUDE DU FONCTIONNEMENT MOTEUR ..................................................................................145
IV.7.1. MOTEUR EXCITE EN CONTINU ...........................................................................................................145
IV.7.1.1. Essai à vide ...............................................................................................................................145
IV.7.1.2. Essai en charge .........................................................................................................................147
IV.7.2. MOTEUR EXCITE EN ALTERNATIF ......................................................................................................148
IV.7.2.1. Essai à vide ...............................................................................................................................148
IV.7.2.2. Essai en charge .........................................................................................................................148
IV.7.2.3. Calcul de la caractéristique en charge en fonctionnement moteur..............................................150
IV.8. CONCLUSION.....................................................................................................................................151
CONCLUSION GENERALE .......................................................................................................................152
ANNEXES......................................................................................................................................................155
NOMENCLATURE ......................................................................................................................................155
BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................................................155
INTRODUCTION GENERALE
Introduction générale
Pour des raisons « environnementales » les énergies renouvelables (eau, vent, soleil) sont
aujourd’hui de plus en plus utilisées dans la production de l’électricité [76-77]. Ces énergies
propres et gratuites représentent une bonne alternative aux ressources fossiles. Parmi les
sources renouvelables dénombrées, on compte l’énergie éolienne qui connaît, depuis quelques
décennies, un formidable développement.
La conversion de cette énergie en énergie électrique est assurée par des centrales éoliennes.
Des pales, de formes relativement différentes [78], sont utilisées pour capter la force du vent.
L’énergie mécanique ainsi obtenue au niveau du rotor de l’hélice est transformée en énergie
électrique par l’intermédiaire d’un convertisseur électromécanique.
Dans les centrales de production de l’énergie éolienne à moyenne puissance (< 50 kW) on
trouve essentiellement des aérogénérateurs de type machine asynchrone [4][81]. Ces dernières
sont généralement choisies pour leur robustesse et leur coût de fabrication très compétitif par
rapport aux autres machines. Par contre, pour les centrales à grande puissance, on adopte de
plus en plus des alternateurs synchrones [4]. Cependant, pour une meilleure rentabilité, ces
machines, quelles soient synchrones ou asynchrones, doivent tourner à des vitesses
relativement élevées ( > 750 tr/min ). Comme la vitesse moyenne de l’axe de la turbine
éolienne est de l’ordre de 50 tr/min [78], on ne peut coupler directement l’arbre de ces
machines au rotor de l’hélice. Pour cette raison, des multiplicateurs de vitesse sont utilisés.
Ces multiplicateurs, qui fonctionnent à partir d’engrenages mécaniques, sont sources de panne
et de bruit [4][78] et diminuent considérablement la puissance volumique de l’installation. De
plus, la maintenance de ce type de dispositif en haut d’un mât peut se révéler très coûteuse.
Ces raisons ont favorisé la recherche de génératrices pouvant tourner à des vitesses
relativement faibles afin qu’elles soient directement couplées à la turbine de l’éolienne.
Différentes structures ont alors été imaginées. Les plus courantes sont les machines
synchrones classiques à grand nombre de paires de pôles ou des machines synchrones
discoïdes [82-83]. Afin d’étudier la faisabilité de structures innovantes, d’autres recherches
ont été menées sur les machines dites à réluctance variable [6][79-80]. Dans ces structures, le
principe de la variation de la perméance d’entrefer est utilisé pour la modulation du champ
provenant de l’excitation. Ce champ peut être obtenu par des aimants permanents ou des
enroulements alimentés par des courants continus ou alternatifs. Cette modulation du champ
permet d’obtenir des f.e.m induites de même fréquence que celle du réseau.
1
Notre travail a consisté à étudier des structures de MRV Vernier pour concevoir une machine
permettant de répondre au mieux à la problématique posée : une faible vitesse de rotation (de
l’ordre de 50 tr/min), une fréquence des grandeurs induites de 50 Hz et une puissance de
10kW. Cette puissance permet de quantifier les performances d’un telle structure avec plus de
précision et de pouvoir éventuellement transposer les résultats à des puissances plus élevées.
Dans la première partie de notre travail (chapitre I), nous commencerons par introduire le
principe de la réluctance variable et définir l’effet Vernier. Ensuite, sur la base de ce principe,
nous effectuerons une étude énergétique sur l’ensemble des structures hétéropolaires qui
conjuguent la réluctance variable et l’effet Vernier. A partir de ce développement, nous
mettrons en évidence les différentes conditions, à savoir le nombre de dents au rotor et au
stator ainsi que les polarités des bobinages induit et inducteur, qu’il faut respecter pour assurer
un fonctionnement synchrone.
Quant à la deuxième partie de ce chapitre, elle sera consacrée à l’élaboration d’une procédure
de pré-dimensionnement permettant d’aboutir à un prototype d’une machine à réluctance
variable Vernier en fonction d’un cahier des charges.
Dans le deuxième chapitre, nous présenterons dans un premier temps les différents modèles
utilisés pour simuler le fonctionnement des MRV Vernier. Nous commencerons par introduire
un modèle analytique puis, un modèle semi-analytique et enfin un modèle semi-analytique
étendu. Ces différents modèles s’appuient sur le calcul de la perméance d’entrefer et de la
différence de potentiel magnétique (d.d.p.m). Ensuite, nous présenterons le modèle numérique
basé sur la méthode des éléments finis en 2D.
Dans un deuxième temps, nous comparerons les performances de plusieurs machines, qui
diffèrent au niveau de la combinaison donnant le nombre de dents et les polarités des
bobinages. Cette étude comparative permettra de fixer la combinaison la mieux adaptée pour
l’application envisagée « conversion de l’énergie éolienne à moyenne puissance ».
Dans le troisième chapitre, nous présenterons l’outil d’optimisation développé pour
l’amélioration des performances de la structure retenue. Il s’agit de l’algorithme génétique.
Sachant que les MRV Vernier sont connues pour les ondulations de couple qu’elles peuvent
générer, nous procéderons à la minimisation de ces ondulations en utilisant un outil basé sur
l’algorithme génétique. Pour ce faire, nous étudierons l’influence de plusieurs paramètres
géométriques, et plus particulièrement les ouvertures dentaires rotorique et statorique.
2
La dernière partie de notre travail (chapitre IV) sera consacrée à l’étude expérimentale, en
fonctionnement moteur et générateur, d’un prototype de MRV Vernier de puissance réduite.
Cette étude expérimentale permettra de comparer les performances réelles de la structure par
rapport aux résultats théoriques, tant sur le choix des combinaisons que sur la conception et
les performances.
3
CHAPITRE I
CONVERTISSEURS
ELECTROMECANIQUES D’ENERGIE
A ENTREFER VARIABLE
CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable
Introduction
Le présent chapitre est consacré à une étude énergétique et au développement d’une procédure
de pré-dimensionnement pour une machine à réluctance variable de type Vernier.
Dans un premier temps, nous introduirons le principe de la réluctance variable, puis nous
présenterons l’apport et l’intérêt de l’effet Vernier.
L’aboutissement à une structure remplissant un cahier des charges nécessite un choix de
plusieurs paramètres, d’ordre mécanique et électrique. Le choix de ces paramètres dépend
d’une part, des contraintes relatives au principe de fonctionnement, c’est à dire des celles
nécessaires à la conversion électromécanique de l’énergie; et d’autre part, des conditions
relatives au fonctionnement optimal de la structure.
La seconde partie de ce chapitre est alors dédiée à une étude énergétique des structures à
réluctance variable hétéropolaires. Dans la référence [6], quelques actions du couple ont été
démontrées. Dans cette partie, nous mènerons une étude systématique et montrerons que
plusieurs actions sont possibles dans ce genre de machine, ainsi cela permettra de dégager les
différentes possibilités de conversion électromagnétique. Le choix des paramètres
géométriques (nombres de dents des deux armatures) et électriques (polarité des bobinages
d’alimentation) sera alors tributaire du fonctionnement souhaité. Nous conclurons cette partie
par la présentation de différentes machines à réluctance variable étudiées dans des travaux
précédents.
La dernière partie de ce chapitre sera consacrée, quant à elle, à une procédure de prédimensionnement de structures à réluctance variable à double denture excitées. Contrairement
au cas des structures classiques, peu d’études ont été consacrées au dimensionnement des
machines à réluctance variable, de par leur caractère non conventionnel. Ces travaux sont
principalement basés sur le calcul des efforts surfaciques [83-84]. Dans notre étude, nous
adopterons une autre approche de pré-dimensionnement qui s’inspire des règles classiques
utilisées pour le dimensionnement des machines synchrones.
En résumé, ce chapitre a pour but de :
Etablir un modèle énergétique permettant de prédéterminer les performances des MRV
Vernier.
Classifier les structures à réluctance variable à action hétéropolaire.
Proposer une méthode de pré-dimensionnement permettant la réalisation d’un prototype.
4
I.1. Machine à Réluctance Variable et effet Vernier
La réluctance magnétique est une grandeur qui caractérise un élément de volume traversé par
un flux magnétique. Elle est fonction des dimensions géométriques de l’élément et de la
perméabilité magnétique du matériau.
s
S
a
b
f
dR
µm
dl
dl
Figure 1.1
Ainsi, la réluctance d’une zone de l’espace traversée par un champ magnétique figure (1.1),
s’exprime par la relation suivante:
b
=∫
a
dl
µs
(1.1)
Avec :
dl
: longueur élémentaire.
s
: surface radiale par rapport aux passages des lignes de champ.
µ
: perméabilité magnétique du matériau occupant la zone considérée.
Il est alors évident que, pour une géométrie donnée, une faible réluctance nécessite des
matériaux de grande perméabilité magnétique.
L’exemple, donné à la figure (1.2) permet d’illustrer cette affirmation à l’aide d’un dispositif
électrotechnique simple. Deux circuits magnétiques, excitées par les mêmes ampère-tours,
permettent de visualiser les lignes de champ dans les deux géométries, figures 1.2.a et 1.2.b.
fer
r
entrefer
bobine
air
i
Figure 1.2.a
Figure 1.2.b
5
La perméabilité magnétique du fer étant nettement plus élevée que celle de l’air, les lignes de
champ passent en priorité dans les zones qui présentent le moins d’entrefer, c’est à dire les
endroits les moins réluctants.
Dans le cas d’un système mobile, la variation de la réluctance d’entrefer est utilisée pour
moduler l’énergie d’entrefer, et par conséquent créer un couple. En effet, le rotor ayant un
degré de liberté, il va chercher, lors de l’excitation de l’armature fixe, à tendre vers un état
stable. Cet état est déterminé par la plus faible réluctance au vu des lignes de champ
magnétique et donc par le passage d’un maximum de flux entre les deux armatures.
L’alternance, dans le temps, des polarités d’un bobinage porté par l’armature fixe permet alors
d’assurer un mouvement.
Les structures, basées sur ce principe de conversion de l’énergie sont appelées Machines à
Réluctance Variable (MRV). Il est à noter que cette appellation est générique et englobe
plusieurs structures utilisant, d’une manière différente, la variation de la réluctance pour la
conversion de l’énergie (MRV pas à pas, MRV synchrone, MRV Vernier ...) [1-3].
Dans le cas de notre travail, nous nous intéresserons plus spécifiquement à cette dernière
catégorie.
Afin de montrer l’intérêt et l’apport de l’effet Vernier, nous allons, dans le paragraphe
suivant, utiliser un exemple simple basé sur la génération de l’énergie électrique.
fem
Figure 1.3.a : structure classique
Figure 1.3.b : structure à effet Vernier
Soit la structure « classique » composée d’une roue polaire à p paires de pôles et d’une
culasse ferromagnétique supportant un enroulement figure (1.3.a). Lorsque la roue est
entraînée à une vitesse de rotation constante Ω, une f.e.m, de pulsation ω, est
bobinage entourant la culasse. Cette pulsation est directement proportionnelle au produit p.Ω.
6
Dans le cas où la vitesse est faible, la pulsation, et donc la fréquence, l’est aussi. Par
conséquent, pour obtenir une f.e.m de fréquence ‘significative’ tout en ayant une vitesse de
rotation faible, il faut augmenter le nombre de paires de pôles.
Soit maintenant la structure donnée à la figure (1.3.b). Elle est constituée d’une culasse
ferromagnétique avec Ns dents et d’une roue à Nr dents. Par ailleurs, deux bobinages distincts
sont enroulés autour de la culasse. Le premier, qu’on appellera circuit d’excitation, est
parcouru par un courant i1, continu ou alternatif, et assure la magnétisation du circuit. Le
second recueillera la f.e.m induite.
Les deux extrémités du circuit magnétique de cette structure, ainsi que la roue interne,
présentent un nombre de dents important. Ces dernières peuvent prendre, dans le cas général,
une infinité de formes géométriques. Celles de l’exemple traité figure (1.3.b) seront supposées
droites afin de simplifier le raisonnement. Par ailleurs, en définissant θ comme étant la
position d’un axe de référence du rotor par rapport à celui du stator, la réluctance totale de
l’entrefer
(θ ) peut être constante ou variable. En effet, il est tout à fait possible d’obtenir
une réluctance d’entrefer « globale » constante même si localement on a une variation de la
distribution des lignes de champ. Il suffit pour cela de s’assurer que la surface totale radiale
par rapport aux lignes de champ, qui correspond à l’entrefer minimal, soit invariante par
rapport à la position du rotor. Cela enlèverait alors tout intérêt à la structure. Par conséquent,
nous nous placerons, dans toute la suite de ce travail, dans le cas général où la réluctance est
variable en fonction de la position rotorique.
Considérons maintenant le fonctionnement en générateur de la structure donnée à la figure
(1.3.b). Si i1 est continu, pour la même vitesse de rotation Ω , la f.e.m induite dans le bobinage
d’induit aura une fréquence qui peut être beaucoup plus élevée. Elle sera essentiellement
fonction de la périodicité de la réluctance d’entrefer.
Si, par contre, i1 est sinusoïdal de fréquence f1, alors la fréquence f2 de la f.e.m sera fonction de
Ω, de la périodicité de la réluctance d’entrefer et de f1. Il est donc possible, pour une vitesse
donnée et une fréquence f2 désirée, de faire circuler un courant i1 avec la fréquence f1
adéquate.
Cette possibilité de démultiplier la fréquence de la f.e.m induite est le résultat de la
conjugaison de la variation de la réluctance à l’effet Vernier.
Dans le tableau (1.1) nous récapitulons, pour la structure de la figure (1.3.b), les possibilités
en fonction de la réluctance totale d’entrefer et de la nature du courant d’excitation.
7
(θ )
constante
courant i1
variable
fem ≠ 0 avec une
fem = 0
continu
fréquence f2
alternatif à
fem ≠ 0 avec une
fem ≠ 0 avec une
fréquence f1
fréquence f1
fréquence f’2
Tableau 1.1
En utilisant une transformation géométrique au niveau du circuit magnétique de la figure
(1.3.b), on aboutit à une structure cylindrique plus réaliste, présentée sur la figure (1.4).
Y
as
Dq
ar
1
2
1'
2'
X
Z
W
Figure 1.4 : MRV à double denture
Cette structure générique va nous permettre d’introduire plus explicitement l’effet Vernier
dans le cas d’une machine cylindrique.
Définissons d’abord les pas dentaires statorique α s et rotorique α r :
αs =
2π
Ns
et
αr =
2π
Nr
A l’instant t, la position du rotor est donnée par la figure (1.4). Les deux dents statorique et
rotorique (1 et 1’) se font face –position de conjonction pour ces deux dents–. Dans cette
position, la perméance d’entrefer est plus élevée entre ces deux dents par rapport aux dents
avoisinantes. A l’instant t + ∆t , le rotor s’est déplacé d’un angle ∆θ . Le maximum de la
8
perméance s’est déplacée, suite à la direction de la rotation indiquée sur la figure (1.4), de la
dent statorique 1 à la dent 2, ce qui correspond à l’angle α s .
Pendant le même laps de temps ∆t , le rotor, lui, s’est déplacé d’un angle ∆θ = (α r − α s ) ,
nettement plus petit.
On peut alors introduire la notion de rapport Vernier [4-5] [83], qui est défini comme étant le
quotient de la vitesse de déplacement de l’onde de la perméance d’entrefer sur la vitesse Ω
du rotor. Il peut aussi se définir comme étant le quotient entre l’angle de déplacement du
maximum de la perméance sur l’angle de déplacement mécanique . Ce rapport s’exprime par :
kv =
αs
Nr
=
αr −α s Ns − Nr
(1.2)
Le type de structure utilisant ce principe est appelé machine à réluctance variable Vernier.
Leur grande particularité réside dans la possibilité de fonctionner à basse vitesse et fort couple
lorsqu’elles sont alimentées à des fréquences « classiques » [6-8]. Ceci convient donc aux
applications à basse, et très basse, vitesse pour éviter l’utilisation des réducteurs mécaniques.
I.2. Modèle énergétique des MRV hétéropolaires
Le principe de fonctionnement des machines conventionnelles à courant alternatif est bien
connu et leur conception est bien maîtrisée.
Dans le cas des machines à réluctance variable de type Vernier, assurer un bon
fonctionnement nécessite des considérations particulières. En effet, il est primordial de bien
choisir les nombres de dents rotoriques et statoriques ainsi que la polarité du bobinage
d’alimentation. Par ailleurs, dans le cas d’une structure excitée, il faut aussi déterminer la
fréquence d’excitation adéquate pour une vitesse de rotation donnée [6].
La conception d’une MRV de type Vernier repose donc sur un développement théorique plus
approfondi. Ce dernier, basé sur le calcul de l’énergie magnétique dans la structure [6-8],
permettra de déterminer les paramètres et les conditions qui assurent un fonctionnement
synchrone.
Dans ce paragraphe, nous allons exprimer l’énergie magnétique dans une structure de type
MRV. Cette expression, basée sur l’hypothèse d’une forte perméabilité du fer, fera appel aux
notions de perméance et de force magnétomotrice d’entrefer.
9
I.2.1. Expression de l’énergie
Soit un système électromagnétique, de volume v, contenant un ensemble de matériaux de
perméabilités différentes. Dans le cas de la présence d’une source de champ magnétique H,
l’énergie magnétique totale Wem dans ce volume v peut s’exprimer par la relation suivante :
Wem = ∫
v
∫ H ( B) dB dv
(1.3)
B
où B et H représentent respectivement l’induction et le champ magnétiques dans les divers
constituants du système. Ces deux grandeurs sont proportionnelles pour des matériaux dits
linéaires. Par contre, dans le cas d’un matériau saturable, comme pour les tôles magnétiques
dans la plupart des machines électriques, la fonction B(H) est non linéaire figure (1.5).
B
dB
W
m
W¢
m
H
dH
Figure 1.5 Courbe de saturation
Dans le volume v, il est également possible de définir une grandeur duale à l’énergie
magnétique appelée co-énergie magnétique Wem' . Cette dernière s’exprime par :
′ =∫
W em
v
∫ B( H ) dH dv
(1.4)
H
Ces deux quantités, énergie et co-énergie magnétiques, sont égales lorsque les matériaux,
définis dans le volume v, sont linéaires
Dans le cas d’une machine électrique, le volume v représente la globalité de la structure. On
peut alors calculer l’une des deux expressions (1.3) ou (1.4) et aboutir au couple
électromagnétique, généré par la machine, à partir de la dérivée de l’énergie ou de la coénergie par rapport à la position rotorique θ [9].
10
C em = −
∂Wem
∂θ
C em =
′
∂Wem
∂θ
(1.5)
à flux cons tan t
(1.6)
à courant cons tan t
Cependant, du fait de la valeur très élevée de la perméabilité des matériaux ferromagnétiques,
il est possible de la considérer comme infinie. Cette hypothèse implique que le champ
magnétique est nul dans les matériaux ferromagnétiques. Par conséquent, la totalité de
l’énergie du système est concentrée dans l’entrefer. De ce fait, les deux expressions (1.3) et
(1.4) sont identiques et s’expriment par :
Wem =
1
Be H e dv
2 ve∫
(1.7)
où dv et ve représentent respectivement un élément de volume et le volume total de l’entrefer.
H e et Be sont respectivement le champ et l’induction magnétiques dans l’entrefer.
Pour mieux illustrer l’expression de l’élément de volume dv, nous proposons le schéma de la
figure (1.6), qui représente une structure de MRV invariante suivant l’axe z.
y
Dr
les
lds
emin
qr
ler
emax
m
dv
Rs + p s
Rs
ldr
Ds
dq s
qs
pr
Rs -emin
q
x
Z
-
figure 1.6 : structure à double denture
Nous définissons alors :
Ds
l’axe de référence du stator au milieu d’une dent,
Dr
l’axe de référence du rotor au milieu d’une dent,
θs
la position d’un point m de l’entrefer par rapport à l’axe du stator,
11
θr
la position d’un point m de l’entrefer par rapport à l’axe du rotor,
θ
la position de D r par rapport à D s ,
p s , pr
profondeurs des dents statorique et rotorique,
l ds , l dr
largeurs des dents statorique et rotorique,
les , l er
largeurs des encoches statorique et rotorique,
Rs
rayon d’alésage,
L
longueur active de la machine,
e , emax
entrefers minimal et maximal.
Suite à ces définitions, les angles θ s , θ r et θ sont liés par la relation suivante :
θ = θs −θr
(1.8)
Ainsi, pour une position rotorique donnée, l’élément de volume dv, qui correspond à une unité
d’angle dθ s , peut être exprimé par :
dv = Rs L e (θ s ,θ r ) dθ s
(1.9)
La quantité e (θ s ,θ r ) représente la largeur d’entrefer au point m considéré, repéré par les
angles θ s et θ r par rapport respectivement à D s et D r . Cette quantité est comprise, quel que
soit le point m et la position du rotor θ , dans l’intervalle : emin ≤ e (θ s ,θ r ) ≤ emax .
Si on utilise la relation (1.8), la quantité e (θ s ,θ r ) peut également être définie en fonction de
θ s et θ , ce qui fait apparaître la position rotorique dans l’expression de l’entrefer. Dans la
suite de notre étude, nous utiliserons cette dernière écriture pour la fonction entrefer.
En remplaçant l’unité de volume dv par son expression (1.9) et en prenant en considération la
relation Be = µ 0 H e dans l’entrefer, nous aboutissons à l’écriture suivante de l’énergie
électromagnétique Wem :
Wem
1
=
2
2π
∫µ
0
H e2 (θ s , θ ) e (θ s , θ ) Rs L dθ s
(1.10)
0
A partir de cette relation, on peut faire apparaître une différence de potentiel magnétique
(d.d.p.m) ξ e (θ s , θ )
et une perméance d’entrefer, par unité d’angle,
P(θ s , θ ) qui
12
s’écrivent dans l’hypothèse d’une perméabilité infinie des circuits magnétiques, et donc de
lignes d’induction radiales [10-12]:
ξ e (θ s ,θ ) = H e (θ s ,θ ) e(θ s , θ )
(1.11)
µ 0 Rs L
e (θ s , θ )
(1.12)
P(θ s , θ ) =
En regroupant les deux formules (1.11) et (1.12) dans l’expression (1.10), nous pouvons écrire
l’expression de l’énergie Wem totale dans l'entrefer d’une structure de MRV par :
Wem
1
=
2
2π
∫ ξ e (θ ,θ ) P(θ
2
s
s
,θ )
dθ s
(1.13)
0
Remarque
En général, le niveau de saturation dans les MRV Vernier n’est pas négligeable [6]. Ceci
implique donc :
Qu’une énergie magnétique sera stockée dans les parties ferromagnétiques.
Que les ampère-tours de l’alimentation vont être utilisées pour la création des deux
énergies, celle dans le fer et celle dans l’entrefer.
Cependant, il a été démontré [6] que l’énergie magnétique dans les culasses est indépendante
de la position angulaire θ . Par conséquent, elle ne génère pas de couple électromagnétique.
Dans ce cas, notre étude sur les conditions de denture et de polarité, qui doivent être
respectée, basée uniquement sur l’énergie d’entrefer, reste fiable pour déterminer les
paramètres géométriques nécessaires au fonctionnement de la machine. Elle permettra
également de quantifier les performances de la structure. Cependant, la perméabilité des
matériaux ferromagnétiques étant finie et non constante, une partie des ampère-tours va servir
à créer l’énergie stockée dans les culasses. Par conséquent, le modèle énergétique surestimera
nécessairement les performances de la structure.
Pour poursuivre le développement analytique, nous allons exprimer, dans la formule de
l’énergie (1.13), la perméance d’entrefer par unité d’angle P (θ s , θ ) ainsi que la différence de
potentiel magnétique dans l’entrefer ξ e .
13
I.2.2. Perméance d’entrefer
De nombreux travaux ont été consacrés à l’expression de la perméance d’entrefer de
structures présentant une double saillance [6] [13-18]. Dans ces travaux, nous trouvons
différentes relations permettant de définir la largeur d’entrefer quel que soit le point considéré
et la position du rotor par rapport au stator.
La perméance d’entrefer, par unité d’angle, dépend essentiellement des paramètres
géométriques relatifs à la structure. Les développements de cette perméance sont abordés,
d’une manière approfondie, dans les références [6] et [13]. Les expressions finales de
P(θ s ,θ ) , auxquelles aboutissent les auteurs, sont similaires. Le résultat du calcul, avec la
prise en compte de tous les harmoniques d'espace, s’exprime par :
∞
∞
P( θ s ,θ ) = P 0 + ∑ Pjs cos ( j N s θ s ) + ∑ Pmr cos ( m N r ( θ s − θ ))
j =1
+
m=1
∞
∞
1
∑ ∑ Pjs−mr cos [( j N s + m N r )θ s − m N rθ ]
2 j =1 m =1
1 ∞ ∞
+ ∑ ∑ Pjs −mr cos [( j N s − m N r )θ s + m N rθ ]
2 j =1 m=1
(1.14.a)
= P0 + Ps ( θ s ) + Pr ( θ s ,θ ) + Ps1−r ( θ s ,θ ) + Ps2−r ( θ s ,θ )
Avec :
P0 = µ 0 L Rs E0
Pjs = µ 0 L Rs E s e j
Pmr = µ 0 L Rs Er em
(1.14.b)
Pjs −mr = µ 0 L Rs E s−r e j em
Les différents termes E0 , Es , Er , E s− r , e j et em sont explicités dans l’annexe 1.
L’expression (1.14.a) de la perméance d’entrefer, montre que cette dernière se décompose en
cinq termes :
P0 représente une perméance constante indépendante de la position du rotor et de la
position dans l’entrefer.
Ps (θ s ) est due uniquement à la saillance statorique.
Pr ( θ s ,θ ) est due uniquement à la saillance rotorique.
Ps1− r (θ s ,θ ) et Ps2− r (θ s ,θ ) sont dues à la double saillance des deux armatures.
14
I.2.3. Différence de potentiel magnétique d’entrefer
D’après les hypothèses simplificatrices, la perméabilité magnétique des culasses est supposée
infinie. Ceci implique que le champ magnétique est nul dans les armatures.
De plus, si on considère une voie d’enroulement traversée par n k i k ampère-tours dans une
encoche, on peut définir deux pôles de part et d’autre de cette encoche. Si les réluctances sous
chacun de ces deux pôles, appelées réluctances polaires, sont parfaitement identiques quelle
que soit la position rotorique θ, on a alors :
ξe =
n k ik
= εe
2
où εe représente la force magnétomotrice d’entrefer.
Dans notre approche, nous supposerons que les deux hypothèses (perméabilité infinie du fer
et égalité des réluctances polaires) sont vérifiées. Nous montrerons, par la suite (chapitre II),
qu’elles sont justifiées pour les machines que nous appellerons « symétrique ». La levée de la
seconde hypothèse, dans le cas des structures dont les réluctances polaires ne sont pas
identiques, implique l’introduction d’un modèle plus complexe. Nous aborderons cette
possibilité dans le prochain chapitre.
La force magnétomotrice dans l’entrefer peut résulter de différents bobinages (nombre et/ou
distribution) alimentés par des courants continus ou alternatifs.
Les machines à réluctance variable peuvent fonctionner, en moteur, sans circuit d’excitation.
Dans ce cas, un seul circuit est nécessaire. Il doit être polyphasé et logé au stator. Un choix
judicieux de l’alimentation des enroulements permet alors de créer un champ à la même
fréquence, pour une vitesse donnée, que celle de la perméance. Cela assure un fonctionnement
synchrone de la machine.
Les structures Vernier peuvent également être excitées. Dans ce cas, un second circuit est
ajouté pour servir d’excitation. Ce dernier peut être localisé au stator ou au rotor et être
alimenté en continu ou en alternatif. Lorsque l’excitation est en alternatif, le bobinage doit
être nécessairement polyphasé. Enfin, le champ d’excitation peut également être créé par des
aimants permanents.
Dans ce travail, nous étudierons le cas général où les bobinages de l’induit et de l’inducteur
sont polyphasés. Il est évident que les autres types d’excitation peuvent être déduits du cas
15
général.
Considérons le bobinage k figure (1.7), logé indifféremment au rotor ou au stator et alimenté
par un courant ik .
(a)
ek
n knik//2 2
k
q sr
(b)
ls
2 × pas polaire
Figure 1.7 : distribution de la f.m.m dans l’entrefer
En choisissant un axe de référence adéquat, ce bobinage crée une f.m.m
ε k dont l’expression
peut s’écrire sous la forme d’une série :
∞
2 nk ik
π
sin ((2i + 1) ) K Bi k cos((2i + 1) pk sr )
2
i = 0 π (2i + 1)
εk = ∑
(1.15)
où
ik
représente le courant traversant le bobinage k considéré.
i
le rang de l’harmonique de la f.m.m.
n k le nombre de spires par pôle et par phase.
p k le nombre de paires de pôles du bobinage.
i
K Bk
le coefficient de bobinage relatif à l’enroulement k et selon le rang de
l’harmonique i.
θ sr = θ s
si le bobinage est au stator
(1.16.a)
θ sr = θ r = θ s - θ
si le bobinage est au rotor
(1.16.b)
i
Le coefficient de bobinage K Bk
intervient dans l’expression de la f.m.m. dans les trois cas
particuliers :
Distribution de bobinage avec un pas diamétral ou raccourci.
i
Dans ce cas, le coefficient est appelé coefficient de raccourcissement K Rk
et il vaut l’unité
si le bobinage est distribué avec un pas diamétral.
16
Inclinaison des encoches par rapport à l’axe de la machine alors que les pièces polaires ne
représentent pas d’obliquité ou l’inverse. Ce coefficient est appelé coefficient
d’inclinaison K Ii k . Dans le cas où les encoches sont droites par rapport à l’axe de la
machine, ce facteur vaut l’unité.
Etalement du bobinage de la même phase sur plusieurs encoches, ce coefficient est appelé
i
coefficient d’étalement K Ek
et il vaut l’unité dans le cas où chaque bobine est distribuée
sur une paire d’encoches par paire de pôles et par phase.
Le coefficient de bobinage s'exprime donc par :
K Bi k = K Ei k K iR k K Ii k
Les MRV Vernier disposent généralement d’encoches droites. Par ailleurs, nous traitons
essentiellement des structures avec une distribution de bobinage à pas diamétral. Par
i
conséquent, le facteur de bobinage K Bk
, qui intervient comme correcteur dans l’expression de
i
la f. m.m, se résumera uniquement au coefficient d’étalement K Ek
. Nous avons alors :
K Bi k = K Ei k
(1.17)
Avec :
K Ei k =
αs =
sin [ ( 2i + 1) qekα s / 2 ]
qek sin[ (2i + 1) α s / 2 ]
(1.18)
2π
Ns
Un circuit à q phases, portées par la même armature, créé une f.m.m dont l’expression
résultante s’obtient par la somme algébrique de toutes les f.m.m relatives à chaque phase.
q
ε T = ∑ ε (θ sr )
k
(1.20)
k =1
Pour obtenir un champ tournant, chaque phase k du circuit doit être alimentée par un courant
ik ayant une expression de la forme :
ik = I max cos ( ω t − ( k − 1 )
2π
q
)
(1.21)
17
Dans le cas où :
Le nombre de phases q est supérieur à l’unité.
Les bobines sont distribuées de façon uniforme avec la même polarité p, le même nombre
de spires n et le même nombre d’encoches par pôle et par phase qe.
Le regroupement des relations (1.15), (1.20) et (1.21) permet d’exprimer la force
magnétomotrice totale ε
∞
ε T = ∑[
i =0
T
sous la forme suivante :
q 2 n I max
π
sin ((2i + 1) ) K Bi ] cos(ω t − (2i + 1) p θ sr )
2 π ( 2i + 1)
2
(1.22)
Le fondamental de cette force magnétomotrice résultante a alors pour expression :
εT =[
q
π
n I max K B ] cos(ω t − p θ sr )
(1.23)
Nous rappelons que l’angle θ sr est défini par (1.16).
I.3. Energie et conditions de conversion
Pour assurer une conversion électromécanique de l’énergie, il faut que la structure développe
un couple. Ceci implique que l’énergie magnétique dans l’entrefer doit être une fonction de la
position θ du rotor. L’expression de cette énergie (1.13) fait intervenir la perméance
d’entrefer qui est essentiellement fonction des nombres de dents des deux armatures Ns et Nr.
Elle fait intervenir également le terme qui exprime la f.m.m totale issue des différents
bobinages. L’expression de ce terme diffère selon que la structure comporte ou non un
système d’excitation et selon l’emplacement de ce dernier (stator ou rotor) et la nature du
courant qui le traverse. En résumé, l’expression de l’énergie magnétique dépend, en plus des
paramètres géométriques de l’entrefer, des conditions spécifiques suivantes :
présence ou non du circuit d’excitation
la position du circuit d’excitation s’il existe
la nature du courant d’excitation
Les conditions de conversion de l’énergie d’une structure à réluctance variable se déduiront
directement de l’expression de l’énergie magnétique dans l’entrefer qui devra être une
fonction de la position rotorique θ . Ces conditions porteront sur les nombres de dents des
deux armatures et la polarité du ou des circuits d’alimentation.
Il apparaît clairement, d’après les remarques explicitées ci dessus, que les conditions de
18
conversion différeront suivant la présence ou non d’un circuit d’excitation.
Par ailleurs, au vu des expressions de la perméance et de la f.m.m. résultante, l’énergie
d’entrefer peut être constituée de plusieurs termes fonctions de θ. Par conséquent, une
structure
donnée
peut
engendrer
un
ou
plusieurs
couples
électromagnétiques.
Malheureusement, pour une vitesse de synchronisme donnée, seul un des couples générés sera
constant. Les autres oscilleront à des fréquences différentes.
Il est alors primordial de déterminer les conditions qui permettent à la MRV considérée de
générer uniquement le couple électromagnétique principal.
Dans le cas d’une MRV non excitée, ce couple principal est issu de l’interaction de la f.m.m.
du circuit d’alimentation avec la perméance due aux dentures.
Lorsque la structure est excitée, l’interaction entre la f.m.m. du circuit d’excitation et celle du
circuit d’induit, au travers de la perméance d’entrefer, représente la source du couple
principal.
Dans chacun des cas, une seule vitesse de rotation, fonction de paramètres géométriques et
électriques, permet à la structure de générer un couple principal constant.
Dans ce paragraphe, nous allons déterminer les conditions de conversion de l’énergie pour les
structures à réluctance variable hétéropolaires. Afin d’être le plus complet possible, nous
allons traiter le cas des structures à double denture ainsi que celui des structures dites à
stator lisse, même si ces dernières ne sont pas spécialement des machines assurant des
fonctionnements à faible vitesse.
Ce paragraphe sera alors divisé en deux parties. La première traitera des MRV non excitées et
la seconde portera sur les conditions de conversion des MRV excitées. Dans chaque cas, nous
commencerons par déterminer, d’une manière détaillée, les conditions permettant de générer
le couple principal et spécifierons la vitesse de synchronisme relative à ce couple. Les
structures qui remplissent ces conditions seront appelées structures à simple action. Ensuite,
nous traiterons les différentes possibilités de génération de couples additionnels. Ces derniers
seront oscillants pour la vitesse de synchronisme relative au couple principal. Les structures
engendrant plusieurs couples seront appelées machines à plusieurs actions.
Il est évident que pour des applications électrotechniques classiques, qui requièrent
généralement des couples électromagnétiques à faible taux d’ondulation, les machines à
plusieurs actions sont à proscrire. Néanmoins, dans un souci de généralisation et de
systématisation, il nous paraît intéressant de les inclure dans cette étude et de spécifier
clairement les causes physiques de chacun des couples additionnels ainsi que les conditions
qui permettent de les engendrer. Conditions qu’il faut évidemment éviter pour avoir une
19
structure à simple action.
Dans la suite de cette étude, afin d’alléger les calculs, nous utiliserons uniquement le premier
harmonique des expressions de la f.m.m (1.22) et de la perméance (1.14) dans l’expression de
l’énergie magnétique. Les conditions de conversion, issues de ces approximations, peuvent
être généralisées aux différents harmoniques [6].
Enfin, avant de passer à une étude systématique des différentes conditions de conversion,
nous supposerons que toutes les structures sont à nombres de dents statorique et rotorique
différents :
Nr ≠ Ns
(1.24)
I.3.1. Machines non excitées
Ces machines sont dotées d’un unique circuit polyphasé constituant l’induit. Le champ
magnétique d’entrefer est donc dû au courant traversant ce bobinage.
I.3.1.1. MRV à double denture
Dans le cas des structures non excitées, le bobinage d’induit se trouve généralement au stator.
Par conséquent, dans les expressions (1.15) et (1.23) de la force magnétomotrice θ sr sera
égale à θ s . Nous rappelons ci-dessous l’expression du fondamental de la f.m.m totale d’induit,
issue de q bobines alimentées par une source à q phases (voir relation 1.23):
ε T = [ n I max K B ] cos ( ω t − p θ s )
q
π
(1.25)
q
n I max K B
π
(1.26)
En posant :
ε max =
cette f.m.m. totale s’écrit :
ε T = ε max cos( ω t − p θ s )
(1.27)
Quant à l’expression de la perméance d’entrefer, elle s’écrit, en ne considérant que les
premiers termes des séries, sous la forme suivante :
20
P(θ s ,θ ) = P0 + P1s cos ( N s θ s ) + P1r cos (N r (θ s − θ ) )
1
1
+ P1s _ 1r cos (( N s + N r )θ s − N rθ ) + P1s _ 1r cos (( N s − N r )θ s + N rθ )
2
2
(1.28)
Les différents coefficients P0 , P1s , P1r et P1s _ 1r ont été définis dans l’équation (1.14.b).
L’expression de l’énergie magnétique, à partir de son écriture sous forme intégrale (1.13) et
en utilisant les relations (1.25) et (1.28) pour la f.m.m et la perméance d’entrefer, aboutit à :
Wem =
1
2
2π
1 2

∫  2 ε ( 1+ cos(2ω t − 2 pθs )) [ P0 + Ps cos(Ns θs ) + Pr cos(Nr (θs −θ ))
max
1
1
0
1
1
+ P1s _1r cos(( Ns + Nr )θs − Nrθ ) + P1s _1r cos((Ns − Nr )θ s + Nrθ )
2
2
Wem = Wem0 + Wem2
]
(1.29)
dθs
Les développements de cette expression sont détaillés dans l’annexe 2. Il en résulte que
l’énergie dans l’entrefer se décompose en deux parties :
La première, notée :
Wem 0 =
π 2
ε max P0
2
(1.30)
est constante. Elle est due à l’interaction entre la perméance moyenne d’entrefer P0 et la
composante continue de l’expression du carré de la f.m.m ε T . Indépendante de la position
rotorique θ , elle ne participe pas à la création du couple. En fait, elle représente l’énergie de
magnétisation.
La deuxième, notée Wem 2 , est issue de l’interaction des termes variables, fonctions de θ s
et de θ , de la perméance avec le carré de la f.m.m résultante dans l’entrefer. Nous pouvons
l’exprimer d’une manière globale comme suit :
Wem 2 =
2π
∫∑
0
L'expression
∑
i
f i (θ s ) dθ s +
2π
∫∑
0
g j (θ s ,θ ) dθ s
(1.31)
j
f i (θ s ) représente un ensemble de fonctions circulaires qui dépendent
i
uniquement de la position dans l’entrefer θ s . Indépendantes de θ , les fonctions f i ne
21
participent pas à la conversion électromagnétique. Par conséquent, il apparaît judicieux
d’annuler ces termes afin de minimiser l’énergie de magnétisation. Cela passe par le choix de
combinaisons sur Nr, Ns et p qui permet de les garder dépendantes de l’angle θ s .
Nous appelons ce critère de choix, le critère de la minimisation de l’énergie emmagasinée.
j
∑
g j (θ s ,θ ) représente, par contre, un ensemble de fonctions sinusoïdales qui dépendent à la
m =1
fois de la position du rotor θ et de la position dans l’entrefer θ s .
Les termes g j peuvent donc potentiellement créer du couple. L’intégrale de l’énergie se
faisant sur dθ s , il est possible de choisir des paramètres N s , N r et p qui permettent d’éliminer
la variable θ s dans l’expression d’une ou plusieurs de ces fonctions circulaires g j . Le calcul
de l’intégrale (1.31) aboutira alors à un ou plusieurs termes dépendant de la position
rotorique θ , donc convertibles en couples électromagnétiques. Nous appellerons action de
couple chaque contribution d’une fonction g j . Par conséquent, le nombre d’actions de couple
sera égal au nombre de fonctions g j dont l’intégrale, en fonction de θ s , est non nulle.
Ce deuxième critère sera appelé critère de la production du couple.
Comme indiqué précédemment, la coexistence de plusieurs couples n’est pas un gage de
meilleures performances à cause des vitesses de synchronisme qui sont différentes pour les
différents termes.
En conclusion, il est donc souhaitable de poser des conditions sur le nombre de dents au stator
et au rotor ainsi que sur la polarité des bobinages, qui permettent de minimiser au maximum
l’énergie emmagasinée (non convertible en couple), et de sélectionner uniquement la
contribution énergétique qui permet de générer le couple principal. Ces deux critères (1 et 2),
permettent d’améliorer les performances de la structure, tant du point de vue du rendement
que de la qualité de fonctionnement.
Pour certaines fonctions, parmi les f i et g j (f1, f2, f4 et g1, g2, g3, g5, g7) issues de la relation
(1.29), il est physiquement impossible de trouver des combinaisons sur les dentures et les
polarités qui les rendent indépendantes de θ s . Dans ce cas, leur intégrale est automatiquement
nulle.
Ces termes étant éliminés, nous réécrivons l’expression (1.31) en faisant apparaître les f i et
g j qui subsistent:
22
Wem 2 =
1 2π 1 2
∫ [ ε max P1s cos(2ω t + θ s ( N s − 2 p ))
2 0 4
1 2
+ ε max
P1r cos(2ω t + θ s ( N r − 2 p ) − N rθ )
4
1 2
+ ε max
P1s _ 1r cos(2ω t + θ s ( N s + N r − 2 p ) − N rθ )
8
1 2
+ ε max
P1s _ 1r cos(2ω t + θ s ( N s − N r − 2 p ) + N rθ )
8
1 2
+ ε max
P1s _ 1r cos(2ω t + θ s ( N r − N s − 2 p ) − N rθ )
8
(1.32)
]
dθ s
Wem 2 = f 3 + g 4 + g 6 + g 8 + g 9
Sur la base du principe explicité ci-dessus, nous pouvons distinguer, parmi les MRV Vernier
non excitées, différentes structures selon le nombre d’actions des énergies qui participent à la
création du couple.
I.3.1.1.1 MRV à simple action
Les machines à simple action développent un unique couple issu de l’interaction de la f.m.m
avec la perméance d’entrefer.
Compte tenu de l’équation (1.32), pour obtenir une structure à simple action avec le minimum
d’énergie emmagasinée –non convertible en couple–, on doit imposer des conditions entre la
polarité du bobinage et les nombres de dents sur les deux armatures. Les conditions relatives à
chaque critère sont les suivantes :
a) critère 1, minimum d’énergie emmagasinée ( annulation du terme f3 )
Un minimum d’énergie emmagasinée peut être assuré dans ces structures en vérifiant la
condition :
Ns ≠ 2 p
(1.33)
Dans ce cas, à l’issue de l’intégration, le terme f3 s’annule et l’énergie emmagasinée Wem 0 est
minimale et s’exprime par la relation (1.30) donnée précédemment.
b) critère 2, production du couple ( favoriser un seul terme g j parmi ‘g6, g8 ou g9’)
Pour sélectionner uniquement l’action principale de couple, la structure doit vérifier une
23
combinaison supplémentaire, qui lie tous les paramètres (polarité et dentures). Cette action se
traduit, d’après le critère 2, en satisfaisant l’une des conditions données ci dessous :
± Ns ± Nr = 2 p
(1.34)
Enfin, pour éviter une action supplémentaire de couple, la contrainte suivante devra
également être assurée :
Nr ≠ 2 p
(1.35)
Le fonctionnement de cette machine est basée sur la modulation de la f.m.m par la perméance
d’entrefer. En choisissant donc la polarité et les nombres de dents qui vérifient simultanément
les relations (1.34) et (1.35), on aboutit, à l’issue de l’intégrale (1.32), à un seul terme
d’énergie dans l’entrefer qui est fonction de θ . Ce terme engendre un couple
électromagnétique qui présente un minimum d’ondulation. En effet, à partir de la relation
(1.5) ou (1.6), le calcul du couple électromagnétique développé donne une valeur maximale
qui s’exprime par :
Ce = N r
π 2
ε max P1s _ 1r
8
(1.36)
si la condition de synchronisme sur la vitesse de rotation Ω est vérifiée, soit :
Ω=
κ dn 2 ω
Nr
(1.37)
où κ dn est définit par :
 κ dn = −1 si

si
 κ dn = 1
Ns − Nr = 2 p
Nr ± Ns = 2 p
Il est à remarquer que dans le cas où Ns – Nr = 2p, le rotor et le champ créé par le bobinage
d’induit tournent dans les directions inverses. Ce phénomène ne se rencontre pas dans le
structures classiques de machines électriques.
I.3.1.1.2. MRV à double action
Dans le cas où la condition (1.34) est remplie avec N s − N r = 2 p (g8 favorisé), la MRV non
24
excitée peut, en plus de l’action principale, développer une deuxième action du couple issue
du critère 2. En effet, l'expression de l'énergie magnétique (1.32) montre qu’il est possible de
sélectionner une seconde fonction g j (g4 dans ce cas) qui peut être dépendante de la position
rotorique, donc convertible en couple électromagnétique. Cette fonction supplémentaire
s’obtient en modifiant la relation (1.35) qui devient :
Nr = 2 p
(1.38)
Le couple développé par cette action est dû à l’interaction entre la f.m.m et le terme de la
perméance issue de la saillance rotorique P1r . Nous verrons, par la suite, que cette condition
doit être remplie pour une structure à stator lisse. Une machine vérifiant les conditions
énoncées dans le paragraphe précédent et la condition (1.38), conduit tous calculs faits, et
pour la vitesse de rotation donnée par (1.37), à un terme supplémentaire de couple qui s’écrit :
Ce2 = N r
π 2
ε max P1r sin ( 4 ω t )
4
(1.39)
Il est à noter que ce couple supplémentaire est oscillant. Par conséquent, l’ajout d’une seconde
action atténue notablement l’intérêt de ces structures pour des applications électrotechniques
classiques.
I.3.1.2. MRV à stator lisse
On appelle MRV à stator lisse, les structures dont les isthmes des encoches statoriques sont
beaucoup plus étroites par rapport à celles des encoches rotoriques. Dans ce cas, on peut
considérer que le nombre de dents au stator N s est nul. Par conséquent, dans l’expression
(1.14.b), les termes P1s et P1s _ 1r , qui sont dus respectivement à la saillance du stator et la
double saillance stator et rotor, sont annulés. La perméance d’entrefer (1.28) est alors
constituée uniquement de deux termes : la perméance moyenne P0 et la perméance due à la
saillance rotorique P1r soit :
P(θ s ,θ ) = P0 + P1r cos ( N r (θ s − θ ) )
(1.40)
En éliminant les termes fi et gi dont l’intégrale est automatiquement nulle, l’énergie totale
dans l’entrefer Wem , s’écrit dans ce cas :
25
Wem =
1 2π 1 2
2
[ ε max P0 + 1 ε max
P1r (cos (2ω t − θ s ( 2 p − N r ) − N rθ ) ) ] dθ s
∫
2 0 2
4
(1.41)
Les développements de cette intégrale montrent que le terme constant de l’énergie dans
l’entrefer s’exprime de la même façon que pour les structures à double denture non excitées
relation (1.30).
Par ailleurs, un seul couple, à valeur moyenne non nulle, peut être généré. Cela est obtenu en
satisfaisant le critère 2, soit :
Nr = 2 p
(1.42)
La f.m.m du circuit d’alimentation est donc modulée par la denture rotorique, ce qui aboutit à
une énergie dans l’entrefer qui dépend de la position θ du rotor. Nous remarquons que cette
action, principale dans le cas des machines à stator lisse, constitue, comme nous l’avons
mentionné dans le paragraphe précédent, la seconde action possible dans les structures à
double saillance non excitées (1.38).
Dans le cas des machines à stator lisse, le couple électromagnétique maximal, obtenu à partir
de la relation (1.41), a pour expression :
Ce = N r
π 2
ε max P1r
4
(1.43)
pour une vitesse de rotation synchrone donnée par :
Ω=
2ω
Nr
(1.44)
I.3.2. Tableau récapitulatif
Dans le tableau ci dessous, nous résumons les conditions de fonctionnement pour les
machines à réluctance variable non excitées, alimentées par un système polyphasé.
26
MRV à double denture
MRV à stator lisse
Simple action
Double action
Ns ≠ Nr
Ns ≠ Nr
Conditions de
± Ns ± Nr = 2 p
Ns − Nr = 2 p
Ns = 0
fonctionnement
Nr ≠ 2 p
Nr = 2 p
Nr = 2 p
Ns ≠ 2 p
Ns ≠ 2 p
Condition sur la
Ω=
vitesse de rotation
± 2ω
± Nr
π 2
C e = N r ε max
P1s _ 1r
Couple développé
8
Ω=
Ce = N r
Nr
Energie
magnétisante
Wme 0 =
π 2
ε max P0
2
± 2ω
± Nr
π 2
ε max P1s _ 1r +
8
π 2
ε max P1r sin (4 ω t )
4
Wme 0 =
π 2
ε max P0
2
Ω=
2ω ω
=
Nr
p
Ce = N r
π 2
ε max P1r
4
Wme 0 =
π 2
ε max P0
2
Tableau 1.2 : Récapitulatif de la MRV non excitée
En conclusion, pour un fonctionnement à couple constant, les structures à double denture à
simple action peuvent être intéressantes dans le cas des applications à faible vitesse. En effet,
pour un nombre de pôles donnés, celui des dents rotoriques peut être élevé et donc, pour une
fréquence ‘classique’, la machine développera un fort couple à faible vitesse (voir le tableau
ci-dessus). Il est à noter que le nombre de dents rotoriques doit rester raisonnable afin de ne
pas atténuer l’effet de réluctance variable. Les MRV à stator lisse sont, quant à elles, des
structures intéressantes dans le cas de fonctionnements à grandes et très grandes vitesses de
part la simplicité de leur rotor qui peut être massif.
Différentes études ont été consacrées aux MRV non excitées et plus spécialement aux
performances des structures à stator lisse. Il en ressort que ces dernières, avec des géométries
rotoriques optimisées, peuvent avoir des fonctionnements très intéressants. Leurs rendements,
ainsi que leurs facteurs de puissance, peuvent atteindre des valeurs similaires, voir plus
élevées que celles des machines asynchrones [19-21]. Les MRV a double denture non
excitées souffrent, par contre, d’un faible, voir très faible, facteur de puissance [6]. Cela est
alors préjudiciable au dimensionnement de l’alimentation. L’une des possibilités
d’amélioration est de les doter d’une excitation. Nous allons, dans le paragraphe suivant,
établir les conditions de fonctionnements des MRV, à double et simple denture, lorsqu’elles
27
présentent, en plus du circuit d’induit, une seconde source de f.m.m. d’excitation.
I.3.3. Machines excitées
Dans ces machines, on trouve deux bobinages relatifs au circuit d’induit et d’inducteur. Ces
derniers sont indépendants électriquement et liés magnétiquement au travers des armatures.
Les machines excitées peuvent être à double denture ou à stator lisse. Dans ce qui suit, nous
allons traiter chaque cas en particulier.
I.3.3.1. Structures à double denture
Dans les MRV excitées, la f.m.m totale est issue des courants traversant les circuits induit et
inducteur. Le circuit polyphasé d’induit est, à priori, logé dans l’armature statorique. Par
contre, le circuit d’excitation peut être un bobinage fixe logé au stator ou un bobinage mobile
logé au rotor. Par ailleurs, ce circuit d’excitation peut être alimenté en continu ou en alternatif,
ou encore être constitué par des aimants permanents.
Dans cette partie, nous allons traiter, d’une manière détaillée, les conditions de
fonctionnements des machines dont le bobinage inducteur polyphasé est alimenté en
alternatif. En fonction de la position de l’inducteur (stator ou rotor), quelques différences
apparaissent quant à l’application des deux critères de choix exposés précédemment. Nous
allons donc, dans la mesure du possible, essayer de généraliser les conditions de conversion
tout en donnant les différences entre une excitation statorique et une excitation rotorique.
Enfin, le cas où le circuit d’excitation est alimenté en courant continu sera abordé comme un
cas particulier de l’alimentation alternative.
Comme dans l’étude des structures non excitées, nous allons déterminer les conditions de
création du couple principal, puis nous donnerons celles qui peuvent générer des actions
supplémentaires de couple.
I.3.3.1.1. Expression de l’énergie d’entrefer
L’expression de la f.m.m totale créée par le circuit de l’induit que l’on note ε T 1 , est donnée
par la relation (1.25). Par analogie, la f.m.m créée par le circuit inducteur, notée ε T 2 s’écrit :
28
′ K B′ ] cos( ω ′ t − p ′θ sr )
ε T2 = [ n′ I max
q'
π
(1.45.a)
q'
′ K B′
n′ I max
π
(1.45.b)
En posant :
′ =
ε max
la f.m.m. d’excitation, s’écrit d’une manière plus simple :
′ cos( ω ′ t − p ′ θ sr )
ε T2 = ε max
(1.45.c)
Les indices « prime » différencient les grandeurs relatives au circuit d’excitation par rapport à
celles de l’induit. D’autre part, suivant l’emplacement du circuit d’excitation, stator ou rotor,
l’angle θ sr sera égal à θ s ou à θ r = θ s − θ (voir relations (1.16.a) et (1.16.b)). Par conséquent,
afin de traiter les deux cas simultanément, nous écrirons la f.m.m. d’excitation sous la forme
suivante :
′ x cos( ω ′ t − p ′ (θ s − aθ ))
ε T2 = ε ma
(1.46)
où « a » représente un coefficient dont les deux valeurs possibles sont :
a=0
si le circuit d’excitation est logé au stator
a=1
si le circuit d’excitation est logé au rotor
Considérons maintenant l’expression de l’énergie magnétique (1.13). Le terme ε T2 s’exprime
alors par :
ε T2 = ( ε T 1 + ε T 2 ) 2
(1.47)
En développant la relation (1.47), et en utilisant l’expression de la perméance d’entrefer
donnée en (1.28), l’énergie totale dans l’entrefer, sous forme intégrale (1.13), s’exprime par :
[
1 2π
′ cos( ω ′t − p ′( θ s − aθ ))
Wem = ∫ ε max cos( ω t − pθ s ) + ε max
2 0
+ P1r cos (N r ( θ s − θ )) +
+
]
2
[
P0 + P1s cos ( N s θ s )
1
P1s _ 1r cos (( N s + N r )θ s − N rθ )
2
1
P1s _ 1r cos (( N s − N r )θ s + N rθ )
2
]
(1.48)
dθ s
29
Le développement complet de cette expression est présenté dans l’annexe 3. Il montre que,
suivant l’emplacement du circuit d’excitation, des termes indépendants de θ (donc non
potentiellement générateurs de couple) lors d’une excitation statorique, peuvent le devenir
dans le cas d’une excitation rotorique. Ceci impose quelques précautions à prendre dans
l’élaboration des conditions de conversion d’une structure à double denture excitée.
Néanmoins, en s’appuyant sur le même raisonnement que pour les machines non excitées, le
développement de l’énergie électromagnétique d’entrefer permet de distinguer plusieurs types
de structures. Ces dernières diffèrent selon les combinaisons liant le nombre de dents, au rotor
et au stator, aux polarités des bobinages induit et inducteur.
Pour les machines non excitées, nous avons introduit la notion de simple action et double
action. Pour les structures excitées, outre la simple action, on est amené à étudier des actions
d’ordre multiple. Dans ce mémoire, afin d’en faciliter la lecture nous utilisons le terme
d’action principale pour définir la simple action et le terme d’action d’ordre « i » pour les
actions supplémentaires. L’ordre que nous avons donné aux différentes actions est totalement
arbitraire.
I.3.3.1.2. MRV à simple action
Le fonctionnement des MRV excitées à simple action est basé sur l’interaction du champ
d’excitation avec le champ d’induit au travers de la perméance d’entrefer. Leur principe est
alors similaire à celui d’une machine synchrone à rotor lisse associée à un multiplicateur de
vitesse électromagnétique.
Comme précédemment, nous utilisons les deux critères (celui de la minimisation de l’énergie
emmagasinée non convertible et celui de la production du couple), afin de déterminer les
conditions nécessaires au fonctionnement de ces machines.
Reprenons l’équation (1.31), qui décompose l’énergie magnétique en terme f i et g j . Comme
nous l’avons indiqué, seuls les termes g j peuvent potentiellement créer un couple. On
trouvera, dans l’annexe 3, l’expression (1.31) développée dans le cas des machines excitées.
Compte tenu de ces développements, la simple action (action principale) peut être
sélectionnée en imposant les conditions suivantes à N s , N r , p et p ′ :
± N s ± N r = ± p ± p′
(1.49)
30
± Ns ± Nr ≠ 2 p
(1.49.a)
± N s ± N r ≠ 2 p′
(1.49.b)
 Nr ≠ 2 p

 N r ≠ 2 p′
(1.49.c)
N r ≠ ± p ± p′
(1.49.d)
A ces conditions de fonctionnement communes aux deux emplacements du circuit
d’excitation, il faut rajouter les contraintes supplémentaires dans le cas d’une excitation
rotorique :
Ns ≠ ± p ± p′
(1.50.a)
N s ≠ 2 p′
(1.50.b)
Par ailleurs, pour minimiser l’énergie emmagasinée (application du critère 1), la structure
devra respecter les conditions suivantes lorsque le circuit d’excitation est au stator:





N s ≠ ± p ± p′
p ≠ p′
(1.51.a)
N s ≠ 2 p ≠ 2 p′
ou celles données ci-dessous lorsque le bobinage de l’inducteur se situe au rotor :
 Ns ≠ 2 p

 p ≠ p'
(1.51.b)
Compte tenu de ces conditions, le développement de l’expression de l’énergie
électromagnétique (1.48) –annexe 3–, fait apparaître un terme, indépendant de θ , qui
représente l’énergie constante non convertible en couple. Ce terme a pour expression :
Wem 0 = π (
2
ε max
2
+
′2
ε max
2
) P0
(1.52)
Le couple électromagnétique maximal, généré par cette structure, s’exprime par :
31
C e = ( κ de1 N r + κ de 2 a p ′ )
π
′ P1s _ 1r
ε max ε max
4
(1.53)
pour une vitesse de rotation synchrone donnée par :
Ω=
ω − κ de 2 ω ′
κ de1 N r + κ de 2 ap ′
(1.54)
où les coefficients κ de1 et κ de 2 , qui peuvent prendre les valeurs ± 1 , dépendent de la
combinaison des nombres de dents et des polarités ( N s , N r , p et p ′ ). On trouvera dans le
tableau (1.3) les valeurs que prennent les coefficients κ de1 et κ de 2 en fonction de ces
paramètres.
κde2
κde1
1
-1
1
N s − N r = p′ − p
ou
N s + N r = p − p′
N r − N s = p + p′
ou
N s + N r = p + p′
-1
N s − N r = p − p′
ou
N s + N r = p′ − p
N s − N r = p + p′
Tableau 1.3 : Coefficients intervenants dans le calcul de la vitesse de synchronisme
I.3.3.1.3. MRV à plusieurs actions
En plus de l’action principale, les structures MRV excitées peuvent générer d’autres couples
additionnels. Ces derniers sont issus des autres fonctions g j –voir Annexe 3–.
Comme indiqué précédemment, nous allons, dans la suite, appeler action supplémentaire
d’ordre i, chaque couple additionnel, sachant que l’action d’ordre 1 représente l’action
principale.
Action d’ordre 2
Cette action est due à la modulation de la f.m.m, créée par le seul bobinage d’induit, par la
perméance d’entrefer. Elle correspond à la conversion mise en œuvre dans le cas des MRV à
double denture non excitées vues précédemment .
32
Cette action supplémentaire du couple s’obtient en modifiant la relation (1.49.a) qui devient :





Ns ± Nr = 2 p
ou
(1.55)
Nr − Ns = 2 p
Dans ces conditions, on fait apparaître un terme de couple additionnel, qui s’écrit :
C e 2 = κ de3 N r
π 2
ε max P1s _ 1r sin ( (2ω + κ de3 N r Ω) t )
8
)
(1.56)
Dans cette expression, le terme κ de3 peut prendre les valeurs ± 1 soit :
 κ de3 = −1

 κ de3 = 1
si
Nr ± Ns = 2 p
si
Ns − Nr = 2 p
Ce terme s’ajoute au couple principal donné par la relation (1.53), pour la vitesse de rotation
synchrone (1.54).
Action d’ordre 3
Le même phénomène d’interaction entre la f.m.m d’induit et la perméance d’entrefer, exposé
dans le cas d’une action d’ordre 2, peut être également vérifié entre la f.m.m créée par le
circuit d’excitation et la perméance d’entrefer. C’est ce que nous appellerons action d’ordre 3.
Transposées au cas de l’inducteur, les conditions (1.55) s’écrivent :





N s ± N r = 2 p′
ou
N r − N s = 2 p′
(1.57)
Pour la même vitesse de rotation synchrone (1.54), le couple relatif à cette action s’exprime
par :
Ce3 = ( κ de4 N r + 2ap ' )
π 2
′ P1s _ 1r sin ( ( 2ω ′ + (κ de4 N r + 2ap′) Ω ) t
ε max
8
)
(1.58)
avec
33
 κ de 4 = −1

 κ de 4 = 1
si
si
N r ± N s = 2 p′
N s − N r = 2 p′
Action d’ordre 4
En plus des deux actions potentielles précédemment décrites, comme dans le cas des
structures non excitées, la f.m.m de l’induit, ou de l’inducteur, peut également interagir avec la
denture rotorique. Ce principe est exploité comme action principale dans les machines non
excitées à stator lisse paragraphe (I.3.1.2). Dans le cas des structures à double denture
excitées, ce phénomène peut engendrer un nouveau couple additionnel que nous appellerons
action d’ordre quatre. Il est obtenu lorsque l’on vérifie l’une des deux conditions suivantes :





Nr = 2 p
ou
(1.59)
N r = 2 p′
Le couple électromagnétique, issu de cette action, est donné, pour N r = 2 p , par :
Ce4 = − N r
[
π
2
P1r ε max
sin ( ( 2ω − N r Ω )t )
4
et pour N r = 2 p ′ , par :
]
[
π
′2 sin( 2ω ′ − ( Nr − 2ap' )Ω )t )
Ce4 = ( − N r + 2ap' ) P1r ε max
4
(1.60.a)
]
(1.60.b)
Action d’ordre 5
La dernière action commune aux deux emplacements possibles du circuit d’excitation est
appelée action d’ordre 5. Elle est due à la modulation de la f.m.m. résultante des deux champs,
d’induit et d’inducteur, avec la denture rotorique. Nous verrons ultérieurement que cette
contribution constitue l’action principale d’une MRV à stator lisse excitée. Dans le cas des
structures à double denture, elle est obtenue en vérifiant l’une des conditions suivantes :
N r = ± p ± p′
(1.61)
Dans ce cas, un couple électromagnétique est développé. Il s’écrit, pour la vitesse de rotation
donnée par la relation (1.54), sous la forme suivante :
34
Ce5 = ( − κ de5 N r − κ de6 ap′)
π
′ P1r sin ( (ω − κ de6 ω ′− ( κ de5 N r + κ de6 ap' ) Ω ) t
ε max ε max
2
)
(1.62)
avec pour les coefficients κ de5 et κ de6 le tableau suivant:
κ de6
κ
κ de5
κ
1
-1
-1
1
N
r
= p − p′
N
r
= p + p'
N r = p′ − p
Tableau 1.4 : Coefficients intervenant dans l'action d'ordre 5
Les actions additionnelles, d’ordre 2 à 5, sont issues des mêmes modulations énergétiques que
l’excitation soit située au stator ou au rotor. Les deux actions suivantes que nous allons
présenter ne peuvent être assurées que dans le cas où le circuit d’excitation est situé au rotor.
En effet, elles résultent de la modification des conditions (1.50.a) et (1.50.b) que nous avons
introduites précédemment.
Action d’ordre 6
L’action d’ordre 6 est le résultat de l’interaction du champ magnétique résultant dans
l’entrefer avec la saillance statorique. Elle est définie lorsqu’on vérifie l’une des conditions
suivantes :
N s = ± p ± p′
(1.63)
le couple développé par cette action, s’exprime, pour la vitesse de rotation (1.54), par :
Ce 6 = ( κ de7 p ' )
π
′ P1s sin ( (ω + κ de7 ( ω ′ + p' Ω )) t
ε max ε max
2
)
(1.64)
avec, pour le coefficient κ de7 , les valeurs:
 κ de 7 = 1

 κ de 7 = −1
si
N s = p + p′
si
N s = ± ( p − p′)
Action d’ordre 7
Enfin, la dernière action possible dans les structures à réluctance variable à double denture
35
excitées au rotor, appelée action d’ordre 7, est due à la modulation de la f.m.m. d’inducteur
par la denture statorique. Elle est obtenue en vérifiant la condition suivante :
N s = 2 p′
(1.65)
Cette action génère, dans le cas de la vitesse de rotation synchrone (1.54), un couple
électromagnétique dont l’expression est :
Ce7 = ( 2 p' )
π 2
′ P1s sin ( ( 2 ω ′+ 2 p' Ω ) t
ε max
4
)
(1.66)
I.3.3.2. Structures à simple denture
Comme précisé dans le paragraphe (I.3.1.2), la perméance d’entrefer des MRV à stator lisse
est due uniquement à la denture rotorique. Son expression est donnée par la relation (1.40).
En présence d’une excitation assurée par un système polyphasé, l’expression de l'énergie
électromagnétique dans l'entrefer se déduit directement de la relation (1.48), en annulant les
termes de la perméance dus à la denture statorique et à la double denture. Par conséquent,
cette énergie s’exprime comme suit:
2
2π
∫ [ε
1
Wem =
2
max
′ cos(ω′t − p′θ s − aθ )
cos(ωt − pθ s ) + ε max
] [ P + P cos(N (θ −θ )) ]dθ
0
r
1
r
s
s
(1.67)
0
où le coefficient ‘a’ prend les mêmes valeurs que dans le cas d’une MRV à double denture, à
savoir :
a=0
si le circuit d’excitation est logé au stator
a=1
si le circuit d’excitation est logé au rotor.
Le développement de cette énergie d’entrefer est détaillé dans l’annexe 4. Il en ressort un
terme, indépendant de θ , qui représente l’énergie non convertible en couple:
Wem 0 = π (
2
ε max
2
+
′2
ε max
2
) P0
(1.68)
I.3.3.2.1. Structures à simple action
L’action principale du couple est engendrée par l’interaction du champ résultant avec la
36
denture rotorique. Cette interaction peut être obtenue, d’après le critère 2, en vérifiant
simultanément les conditions suivantes :





N r = ± ( p ± p′ )
Nr ≠ 2 p
(1.69)
N r ≠ 2 p′
Il faut également respecter la contrainte suivante sur les polarités des deux circuits :
p ≠ p′
(1.70)
Cette dernière condition relève du critère 1 (minimisation de l’énergie emmagasinée) dans le
cas d’une excitation statorique. Lorsque le circuit d’excitation est situé au rotor, cette
condition supplémentaire permet d’éviter de générer un couple additionnel. En respectant les
relation (1.69) et (1.70) la structure génère un couple dont la valeur maximale est :
π
′ P1r
Ce = (κ se1 N r + κ se 2 a p′) ε max ε max
2
(1.71)
pour une vitesse de rotation synchrone définie par :
Ω=
ω − κ se 2 ω ′
κ se1 N r + κ se 2 a p′
(1.72)
Les coefficients κ se1 et κ se 2 prennent les valeurs données dans le tableau (1.5) en fonction des
conditions imposées:
κse2
κ
1
-1
1
N r = p − p′
N r = p + p′
-1
N r = p′ − p
κse1
κ
Tableau 1.5 : Coefficients intervenants dans le calcul de la vitesse de synchronisme
I.3.3.2.2. Structures à plusieurs actions
Comme dans le cas des structures à double denture, les MRV à stator lisse peuvent
développer, en plus de l’action principale définie ci-dessus, d’autres actions de couple. Ces
dernières sont dues à des conditions supplémentaires issues du critère 2.
37
Action d’ordre 2
Quelque soit l’emplacement du circuit d’excitation, une seconde action relative au couple peut
être générée lorsque la f.m.m. d’induit, ou d’inducteur, est modulée par la perméance de la
denture rotorique. Cette contribution énergétique correspond à l’action principale quand la
MRV à stator lisse n’est pas excitée. Elle est obtenue en vérifiant l’une des deux relations
suivantes –voir annexe 4– :





Nr = 2 p
ou
N r = 2 p′
(1.73)
Dans ce cas, un terme de couple additionnel est créé. Il s’exprime, pour la vitesse de rotation
synchrone (1.72), pour Nr = 2p, par :
Ce2 = − N r
π 2
ε max P1r sin (( 2 ω − N r Ω ) t
4
)
(1.74.a)
et, pour Nr = 2p’, par :
Ce 2 = (− N r + 2a p′)
π 2
′ P1r sin ((2ω ′ −( N r − 2 a p′) Ω ) t )
ε max
4
(1.74.b)
Remarque
Il est à noter que les combinaisons de la relation (1.73) peuvent éventuellement être satisfaites
simultanément. Cela s’accompagne d’une augmentation de l’énergie non convertible, dans le
cas de la structure excitée au stator, ou de la création d’une autre action supplémentaire que
nous définissons ci-dessous, dans le cas d’une excitation au rotor.
Action d’ordre 3
Cette action, qui concerne uniquement les structures excitées au rotor, est due à l’interaction
des deux champs induit et inducteur au travers la perméance d’entrefer moyenne P0 . Elle est
assurée lorsque l'on vérifie la condition suivante:
p = p′
(1.75)
Le couple engendré par cette action, s’exprime, pour la vitesse de rotation (1.72), sous la
forme suivante :
′ p ′ P0 sin ( (ω − ω ′ − p ′Ω) t
C e3 = π ε max ε max
)
(1.76)
38
I.3.3.3. MRV à excitation continue
Dans toutes les structures étudiées précédemment, il est possible de remplacer le circuit
d’excitation alimenté en alternatif par un circuit alimenté en courant continu. Les conditions
de fonctionnement déterminées dans les paragraphes précédents demeurent identiques et les
actions possibles du couple et leurs expressions restent les mêmes. Il suffit uniquement de
remplacer la pulsation du circuit d’inducteur ω ′ par zéro et de modifier le terme ε ′ par celui
que donnerait une excitation continue, en l’occurrence :
ω′ = 0

2
 ′
′ K B′
ε max = π n ′ I max

(1.77)
Remarque
Il est à noter que quelle que soit la MRV, à simple ou double denture, excitée ou pas, seule
l’action principale est conséquente à des conditions mettant en œuvre la totalité des
caractéristiques de dentures et de polarités. Les autres actions supplémentaires ne font appel
qu’à des conditions restreintes qui peuvent être éventuellement remplies par des structures
moins complexes et donc à priori moins performantes. Il est donc inintéressant de favoriser un
couple additionnel, au détriment du couple principal, en choisissant la vitesse de rotation
synchrone relative au dit couple additionnel.
I.4. Quelques exemples de structures de MRV
Plusieurs structures à réluctance variable, avec ou sans circuit d’excitation, ont fait l’objet
d’études ou de réalisations. Nous donnons, dans la suite de ce paragraphe, quelques exemples,
de machines hétéropolaires, rencontrées dans la bibliographie.
I.4.1. Les machines à simple denture ou à stator lisse.
I.4.1.1. Machines non excitées
Dans ces structures, le stator est identique à celui d’une « machine alternative » classique. Le
champ magnétique est produit par le seul bobinage d’induit logé au stator (figure (1.8)). Le
39
rotor tourne à la vitesse du champ, en offrant, à tout instant, une réluctance d’entrefer
minimale au passage des lignes de champ.
Figure 1.8 : MRV à stator lisse non excitée [22]
Le fonctionnement synchrone est assuré par la condition (1.42). Dans ce cas, la vitesse de
synchronisme, liée à la fréquence d’alimentation du circuit d’induit, est donnée par la relation
(1.44) .
En régime permanent, les dents rotoriques sont traversées par un flux constant, ce qui
implique une absence des courants induits au rotor. Par conséquent, ce dernier peut être
réalisé en fer massif, ce qui rend ces structures particulièrement adaptées aux applications à
grande vitesse [6, 23-25]. D’autre part, la simplicité de leur commande les rendent attractives
pour des applications à vitesse variable [26].
Pour améliorer les performances de ce type de machines (facteur de puissance, rendement,
couple) plusieurs travaux ont été entrepris [27-29]. Les résultats ont montré que les
performances sont nettement meilleures en utilisant des structures à guides de flux figure
(1.9.a), ou encore à rotors axialement laminés figure (1.9.b). Néanmoins, ce type de structure
engendre un coût de fabrication plus élevé.
Figure 1.9.a : MRV à guide de flux [27]
Figure 1.9.b : MRV axialement laminés [29]
40
I.4.1.2. Machines excitées
En plus du circuit induit réalisé par un bobinage polyphasé au stator, ces machines sont dotées
d’un circuit d’excitation, alimenté en continu ou en alternatif et situé au rotor ou au stator.
I.4.1.2.1. Excitation au rotor
Le meilleur exemple d’une MRV à stator lisse à plusieurs actions est celui de la machine
synchrone à pôles saillants. Nr = 2p = 2p’, c’est une structure qui peut être assimilée à une
MRV à 3 actions. Excitée en continu au rotor, elle allie un fonctionnement basé sur
l’interaction entre champs induit et inducteur à celui dû à la modulation du champ résultant
par la denture rotorique. Ce dernier est appelé classiquement couple réluctant. La figure (1.10)
présente une machine synchrone à pôles saillants.
Figure 1.10 : Structure à pôles saillants excitée [22]
I.4.1.2.2. Excitation au stator
A priori, il est possible de concevoir une multitude de structures à stator lisse excitées en
continu ou en alternatif au stator. Il suffit de vérifier les conditions données par les relations
(1.69) et (1.70).
L’avantage d’une excitation statorique réside dans l’absence de tout contact mécanique pour
l’alimentation de l’inducteur figure (1.11). Par ailleurs, de par l’alimentation alternative du
circuit d’excitation, ce type de machines offre deux degrés de liberté supplémentaires,
l’amplitude et la fréquence du courant d’excitation, qui peuvent être utilisés dans l’élaboration
de la commande [30].
Depuis quelques décennies, ces machines ont fait l’objet d’un grand nombre d’études
concernant leur utilisation tant en moteur qu’en génératrice à vitesse variable [19, 31-32].
41
Figure 1.11 : MRV à stator lisse excitée au stator [31]
I.4.2. Les machines à double denture
Dans ces structures, les armatures rotorique et statorique sont dentées. De plus, comme nous
l’avons vu aux paragraphes (I.3.1.1) et (I.3.3.1) les conditions sur Ns, Nr, p et p’, qui assurent
un fonctionnement synchrone, différent suivant que ces machines soient excitées ou pas. Par
ailleurs, l’emplacement de l’éventuel circuit d’excitation joue un rôle important dans
l’établissement de ces conditions. Dans la suite de ce paragraphe, nous donnons quelques
exemples de MRV à double denture avec et sans circuit inducteur.
I.4.2.1. Machines non excitées
Dans ces structures, la vitesse est fonction de la fréquence d’alimentation et inversement
proportionnelle au nombre de dents rotoriques. Cela permet de réaliser des fonctionnements
synchrones à basse vitesse sans une augmentation excessive de la polarité du bobinage,
contrairement aux machines conventionnelles. Le couple électromagnétique généré par ces
machines est, quant à lui, proportionnel au produit entre le nombre de dents du rotor et le
coefficient de la perméance d’entrefer (1.36).
Enfin, pour assurer une conversion électromécanique de l’énergie, Ns, Nr et p doivent
correspondre aux conditions citées dans le paragraphe (I.3.1.1).
Ces machines ont fait l’objet des premières études consacrées aux MRV à double saillance [68, 33]. Ces études ont permis de démontrer les conditions de fonctionnement de ces structures
et de quantifier leurs performances en utilisant différentes approches analytiques. Il en ressort
que ces machines présentent des fonctionnements synchrones mais avec l’inconvénient d’un
facteur de puissance très faible (entre 0.1 et 0.3). Ceci est alors préjudiciable au
dimensionnement de l’alimentation.
42
Sur la figure (1.12) nous présentons une structure qui remplit les conditions d’une MRV à
simple action.
Figure 1.12 : MRV double denture non excitée [34]
I.4.2.2. Machines excitées
Pour améliorer le facteur de puissance des MRV à double saillance, il est possible de les doter
d’un circuit d’excitation [35]. Suivant la nature de ce dernier, ainsi que son emplacement, les
conditions de fonctionnement synchrone portent sur Ns, Nr, p et p’ -voir paragraphe (I.3.3.1)-
I.4.2.2.1. Excitation au rotor
Les études, concernant des structures excitées au rotor, ont essentiellement portées sur des
configurations utilisant des aimants permanents. Cela élimine les possibilités de réglage
qu’apporte une alimentation en courant, mais permet d’éviter l’utilisation d’un système
bagues-balais. Sur la figure (1.13), nous montrons une MRV Vernier à simple action, excitée
par des aimants permanents rotoriques disposés en position tangentielle [4][37].
.Figure 1.13 : MRV Vernier excitée par des aimants permanents au rotor,
disposition tangentielle des aimants [37]
43
I.4.2.2.2. Excitation au stator
Dans le cas d’une excitation statorique, les avantages et inconvénients sont inversés par
rapport au cas traité dans le paragraphe ci dessus. En effet, il est plus intéressant d’utiliser une
excitation en courant qui ne nécessite pas de système balais + bagues au lieu d’aimants
permanents qui compliquent la fabrication de la machine tout en augmentant le prix de
revient. Par ailleurs, comme spécifié précédemment, l’utilisation d’une excitation par un
courant peut être intéressante pour la commande de la machine.
Plusieurs structures de MRV à double denture excitées ont été conçues [38-40]. Nous
montrons, sur la figure (1.14) le cas d’une machine excitée par des aimants statoriques en
position tangentielle [40].
Figure 1.14 : MRV à excitation statorique [40]
I.4.3. Conclusion
Dans la première partie du présent chapitre, nous avons effectué une étude énergétique des
machines à réluctance variable hétéropolaires. Nous avons déterminé les conditions, en termes
de dentures et de polarités, nécessaires pour aboutir à un fonctionnement synchrone.
Dans l’application envisagée, à savoir la conversion électromécanique de l’énergie éolienne,
différentes structures de MRV peuvent être utilisées. Des études ont déjà été dédiées aux
structures à stator lisses excitées par un second bobinage triphasé au stator [31][41]. Elles ont
montré que l’utilisation de cette solution permettait une grande souplesse de commande et des
performances plus intéressantes que celles des machines asynchrones à rotor bobiné.
Cependant, l’utilisation d’une structure à stator lisse ne permet pas d’éliminer le
multiplicateur de vitesses. Une étude théorique, effectuée au laboratoire, a concerné une MRV
Vernier excitée par des aimants permanents situés au rotor [4]. Elle a montré qu’il était
possible, avec cette machine, de convertir l’énergie électromécanique dans une centrale
44
éolienne autonome avec des performances intéressantes. Toutefois, pour des puissances
élevées, l’utilisation des aimants permanents peut constituer un handicap quant au prix de
revient de la machine.
En utilisant les avantages de chacune des structures déjà étudiées pour l’application
envisagée, nous nous intéressons, dans la suite de ce mémoire, à la MRV Vernier excitée par
un second bobinage triphasé situé au stator. Cette solution permet, d’une part, d’éliminer le
multiplicateur de vitesse, et d’autre part, d’introduire deux degrés de liberté, à savoir
l’amplitude et la fréquence du courant d’excitation, qui peuvent constituer d’intéressantes
données dans la commande de l’ensemble. Enfin, dans le cas d’une utilisation dans une
centrale éolienne débitant sur le réseau, il est possible de connecter directement le circuit
induit au réseau et d’alimenter le circuit inducteur à partir du même réseau via un redresseur
et un onduleur commandé. Il est à noter que le courant d’excitation étant, a priori, plus faible
que celui de l’induit, une telle solution permettrait de substantielles économies, en termes de
dimensionnement des convertisseurs, par rapport à un système utilisant une machine
conventionnelle connectée directement au réseau et fonctionnant à vitesse variable.
Dans la suite de ce chapitre, nous allons donner la procédure de pré-dimensionnement d’une
structure Vernier excitée au stator.
I.5. Pré-dimensionnement d’un prototype
I.5.1. Cahier des charges
Le dimensionnement des machines électriques nécessite des données préliminaires. Ces
données, qui sont principalement les caractéristiques du régime de fonctionnement nominal,
représentent la base autour de laquelle sera conçue la machine. Elles se regroupent en :
La puissance utile et le facteur de puissance.
La tension et la fréquence d’alimentation.
La vitesse de rotation.
Nous pouvons ajouter d’autres contraintes, comme le rapport entre le courant du court-circuit
et le courant nominal, afin d’évaluer le surdimensionnement de la structure. D’autres
considérations peuvent éventuellement être prises en compte, telles que les contraintes de
l’environnement d’utilisation de la machine, notamment la température et les vibrations ou
encore les contraintes relatives à l’encombrement exigé et au prix de revient.
45
I.5.2. Mise en œuvre des conditions de fonctionnement
La conception d’une structure de MRV Vernier repose tout d’abord sur le choix des polarités
et du nombre de dents statoriques et rotoriques qui permettent de produire un couple
électromagnétique de valeur moyenne non nulle.
Par ailleurs, il est souhaitable d’engendrer un couple avec un minimum d’ondulation. Par
conséquent, la structure devra utiliser uniquement l’action principale de conversion. On
rappelle que notre choix s’est orienté vers une machine Vernier excitée au stator. Pour cette
structure l’action principale correspond à l’interaction entre les champs inducteur et induit par
le biais de la variation de la perméance d’entrefer. Les relations entre les dentures et les
polarités, pour la production de l’unique couple principal (critère 2, relatif à la production du
couple), sont résumées ci-dessous :









± N s ± N r = ± p ± p′
± Ns ± Nr ≠ 2 p
± N s ± N r ≠ 2 p′
(1.78.a)
Nr ≠ 2 p
N r ≠ 2 p′
N r ≠ ± p ± p′
et celles permettant de minimiser l’énergie non convertible emmagasinée (critère 1) sont :





N s ≠ p ± p′
p ≠ p′
(1.78.b)
N s ≠ 2 p ≠ 2 p′
I.5.3. Choix des paramètres
Le choix des différents paramètres N s , N r , p et p ′ repose sur plusieurs considérations :
Le nombre des encoches statoriques, et par conséquent celui des dents, doit permettre de
loger les bobinages des deux circuits. Avec qe et q'e encoches par pôle et par phase dans
chaque circuit et avec une utilisation totale des encoches du stator, le nombre de dents
N s doit vérifier la relation :
N s = 2 q p qe = 2 q' p′ q'e
(1.79)
46
Le couple développé dans une structure Vernier à simple action excitée au stator relation
(1.53) est proportionnel au produit entre le nombre de dents au rotor N r et le coefficient
de la perméance P1s _ 1r . Il serait donc avantageux de choisir ce produit relativement élevé
tout en respectant les relations (1.78.a) et (1.78.b).
De par le couple à développer, le diamètre d’alésage est important devant la longueur
utile. Cela nous amène à augmenter au maximum la polarité des bobinages afin d’éviter
les pertes dans les têtes de bobines.
La vitesse du synchronisme étant une combinaison des fréquences d’alimentation et
d’excitation, il serait intéressant de choisir des valeurs qui permettent de minimiser la
fréquence d’excitation afin de réduire les pertes fer qui peuvent en découler.
Afin de limiter les ondulations du couple dues aux harmoniques structurels, on choisit
généralement N r et N s relativement proches [6]. Ce choix de denture conduit également
à une perméance d’entrefer avec une forme sinusoïdale de grande amplitude.
I.5.4. Procédure de dimensionnement
Dans le cas des machines classiques (synchrones et asynchrones), il est facile de trouver des
travaux portant sur leur dimensionnement et donnant la procédure à suivre pour aboutir à un
prototype. Dans le cas des MRV Vernier, les procédures de pré-dimensionnement est peu
abondantes. La référence [4] propose une procédure de dimensionnement pour une machine
Vernier excitée au rotor par des aimants permanents. Dans la suite, nous nous inspirerons de
cette procédure pour proposer une méthode pour une MRV Vernier excitée au stator par des
courants triphasés.
Le dimensionnement d’une machine électrique repose sur deux considérations. La première
est relative au dimensionnement géométrique, autrement dit, les circuits magnétiques du stator
et du rotor ainsi que les encoches des deux armatures. La seconde est le dimensionnement du
circuit électrique, donc la distribution des bobinages sur les armatures et leur alimentation.
Ces deux parties sont imbriquées. D’une manière générale, les dimensions du circuit
électrique dépendent des ampère-tours nécessaires à la production du champ magnétique,
directement lié à la puissance désirée.
47
Les dimensions du circuit magnétique devront tenir compte de sa capacité à canaliser le
champ magnétique en limitant les chutes de la d.d.p. magnétique. Ce dimensionnement
dépendra donc directement de l’amplitude du champ qui devra être canalisé.
Le résultat définitif du dimensionnement est rarement atteint dès le premier prototype. En
effet, en fonction des résultats de simulation obtenus, des corrections sont généralement
apportées au dimensionnement préliminaire. L’écart entre ces résultats et les exigences du
cahier des charges est pris en compte, de manière à effectuer les modifications nécessaires,
jusqu'à l'obtention de la structure remplissant au mieux les contraintes du cahier des charges.
I.5.4.1. Détermination de la grandeur D2L
Le volume utile d’une structure est défini par la valeur de la grandeur D2L, où D représente le
diamètre d’alésage et L la longueur utile de la machine.
La valeur de ce volume est déterminée en fonction de la puissance apparente S de la machine
en prenant en considération des contraintes d’ordre mécanique, thermique et électrique. Son
expression est développée dans les références [4, 43, 44], et s’exprime à partir de la relation :
S=
π3
N ( K B / K f ) D 2 L Be Ac
120 2
(1.80)
où
Be : est l’induction magnétique au niveau de l’entrefer
Ac : est la densité linéique du courant
K f : est le coefficient de forme d’onde des flux
N : représente la vitesse de rotation de la machine en tr/min
Il est également possible de déterminer le volume utile D2L en fonction de la puissance
spécifique Ps . Cette quantité est considérée comme un critère qui donne les limites
d’utilisation de la matière active (cuivre et fer). Elle est déterminée à partir des résultats sur
des machines de même type déjà réalisées. Dans ce cas, le paramètre D2L s’exprime, en
fonction de la puissance spécifique, par :
D2L =
S
Ps N
(1.81)
48
La puissance spécifique Ps est calculée dans la pratique à partir de l’effort surfacique qu’on
note Fs . Cet effort permet de caractériser les machines d’une manière générale. Pour les
machines électriques, l’effort surfacique est situé dans l’intervalle [0.1 , 10] N / cm 2 [4].
Le calcul de D 2 L , à partir de l’expression (1.80), nécessite donc de connaître un certain
nombre de paramètres, notamment l’induction moyenne dans l’entrefer. Cette valeur est liée
directement à la nature des matériaux magnétiques utilisés. Elle dépasse rarement le Tesla
[45]. Une surestimation de l’induction moyenne peut aboutir à une structure fortement saturée.
En ce qui concerne la densité linéique du courant Ac , elle dépend du type de refroidissement
utilisé. A titre d’exemple, elle peut atteindre 6 ⋅10 4 A / m pour un bobinage en cuivre refroidi
par air.
I.5.4.2. Calcul du diamètre et de la longueur
Pour dissocier le diamètre d’alésage D de la longueur utile L , on choisit une des deux
grandeurs. Ce choix est effectué en fonction d'un certain nombre de contraintes. Ces
contraintes peuvent concerner l'encombrement, la vitesse périphérique ou une utilisation
optimale du cuivre [45].
Si aucun des deux paramètres n’est imposé, nous pouvons utiliser une relation d’optimisation
du choix de L et D définie dans [45] . Ce critère permet de limiter la longueur des têtes de
bobines et par conséquence réduire les pertes Joule. Le diamètre est alors lié à la longueur par
la relation suivante :
L
≥C
π D/2p
(1.82)
Dans le cas général, le coefficient C est compris dans l’intervalle [0.75 , 1.1] mais, pour les
machines ayant une faible vitesse, il peut être choisi supérieur à 1,1 [46].
Afin d’augmenter la perméance d’entrefer, et donc l’énergie électromagnétique, il est
avantageux de choisir un entrefer minimal e min le plus faible possible. Le choix de ce dernier
dépend de contraintes liées à la réalisation mécanique. Notons que plus le diamètre d’alésage
augmente, plus il est délicat de réaliser un faible entrefer. Pour les machines étudiées dans ce
mémoire, l’entrefer minimal e min est pris dans l’intervalle [0.2 , 0.3] mm. Ces grandeurs sont
aisément réalisables à l’heure actuelle, pour un diamètre d’alésage de l’ordre de 0.5m
49
I.5.5. Dimensionnement des encoches et des culasses
Après avoir déterminé la longueur et le diamètre de la machine et choisi son entrefer minimal,
il faut procéder au dimensionnement des encoches statoriques et rotoriques et déterminer
l’épaisseur des deux culasses. Pour ce faire, nous devons calculer les six paramètres
( ldr , ler , lds , les , pcs et pcr ) définis sur la figure (1.15).
p cs
Stator
ps
l es
l ds
l dr
ler
emin
pr
p cr
Rotor
Figure 1.15 : Paramètres géométriques à déterminer
La première étape, permettant le dimensionnement des encoches, est de choisir l'ouverture
dentaire l ds pour le stator et l dr pour le rotor par rapport au pas dentaire λ s = l ds + l es et
λ r = l dr + l er . L’ondulation du couple électromagnétique dans un structure de MRV Vernier
est très sensible à ces deux ouvertures dentaires [47]. Pour un premier dimensionnement, nous
allons choisir des ouvertures dentaires standards [48]. Ainsi, pour limiter les ondulations du
couple, les rapports rds et rdr –voir annexe 1 relations (A1.7) et (A1.8)– doivent être compris
dans l'intervalle [0.4 , 0.5].
Le calcul des ampère-tours dans une encoche statorique ( ATmax/ enc sta ), pour le régime de
fonctionnement maximal, permet de déterminer la profondeur des encoches du stator. Cette
profondeur notée p s est donnée par :
ps =
ATmax/ enc sta
Dc K rem l es
(1.83)
où Dc , qui représente la densité du courant, dépend de la nature des conducteurs utilisés.
K rem qui représente le coefficient de remplissage des encoches dépend du type d’isolant
utilisé et de la technique du foisonnement des fils [73].
50
Dans le cas où la structure ne possède pas de bobinage au rotor, il est intéressant de choisir
p r plus faible que p s . En effet, nous montrerons dans la suite, qu’à partir d’une certaine
valeur, la profondeur rotorique a peu d’influence sur les performances. Une limite inférieure
de la profondeur des encoches rotoriques par rapport au pas dentaire, est donnée par [48] telle
que :
λr
≥ 0.35
pr
(1.84)
Pour une structure de type Vernier, le cas le plus défavorable correspond au cas où toutes les
lignes de champ, créées par l'inducteur et l'induit, passent dans une même portion de culasse.
Dans ces conditions, afin d’atténuer les effets de la saturation, on choisit les épaisseurs des
culasses statorique p cs et rotorique p cr , supérieures ou égales à la largeur active des dents
relative au pôle le plus grand entre induit et inducteur. Ceci peut être transcrit par les relations
suivantes:



p cs ≥ q sup (q e , q e' ) l ds
p cr ≥ q sup (q e , q e' ) l dr
(1.85)
I.5.6. Dimensionnement des enroulements
Dans les structures étudiées, le circuit d'excitation est réalisé par un bobinage. Le calcul de ce
dernier s’effectue pour le point de fonctionnement nominal. Une prise en compte d’une marge
de surdimensionnement est conseillée afin de compenser la réaction magnétique de l’induit et
la chute de tension magnétique dans le fer [44].
Le calcul des ampère-tours nécessite la connaissance du courant nominal de l'induit et de
l'inducteur, ainsi que le nombre de spires dans chaque enroulement, tel que :
ATmax/ enc sta = 2
(
n
n′
I + ' I′
qe
qe
)
(1.86)
Le courant nominal du circuit induit I peut être facilement déduit à partir des données du
cahier des charges par la relation :
I=
S
qV
(1.87)
51
Les autres paramètres, qui sont le nombre de spires de l'induit et de l'inducteur sont obtenus à
partir de deux relations. La première est basée sur l’expression de la f.e.m et la seconde sur
l’égalité des ampère-tours entre induit et inducteur.
La f.e.m s’exprime en fonction du flux embrassé par une phase d’induit, de la f.m.m.
d’excitation et de la perméance d’entrefer par :
2π
φ k = ∫ ε T 2 Fk P(θ s ,θ ) dθ s
(1.88)
0
Dans cette expression, le terme Fk représente une fonction filtre qui permet d’isoler une phase
k du circuit induit. Cette fonction constitue la distribution des spires du bobinage k considéré.
Elle s’écrit, en choisissant l’axe de référence adéquat et en faisant l'hypothèse du premier
harmonique, sous la forme suivante (voir 1.15):
Fk =
2
2π 

K B n cos  p θ s − ( k − 1)

π
3 

(1.89)
où k =1, 2 ou 3 représente l’ordre de la phase considérée.
Il est à noter que, pour un bobinage donné, le produit de cette fonction filtre par le courant
traversant le bobinage aboutit à l’expression de la f.m.m ( ε k = Fk ik ).
Ainsi, en utilisant les relations (1.88) et (1.89), on aboutit à l’expression du flux dans une
phase d’induit, lorsque la machine tourne à la vitesse de synchronisme équation (1.54), soit :
φk =
3
π
2π 

K B K B′ n n ′ I ′ P1s _ 1r cos  ω t − ( k − 1)

3 
2

(1.90)
A partir de la valeur désirée de la f.e.m. à vide ek = dφ k / dt et du choix du courant
d’excitation I ′ , on obtient une valeur pour le produit n n′ .
Par ailleurs, il est recommandé, pour optimiser la conversion énergétique de la machine [6],
d’opter pour l'égalité des ampère-tours entre les circuits induit et inducteur, soit la deuxième
relation :
p K B n I = p ′K B′ n ′I ′
(1.91)
52
Cette dernière, combinée à la valeur du produit n n′ permet d’aboutir aux nombres de spires
de chacun des deux circuits statoriques.
I.6. Conclusion
Dans la première partie de ce chapitre, nous avons introduit un modèle énergétique, basé sur
la perméance et la f.m.m. d’entrefer, pour les machines à réluctance variable hétéropolaires.
Ce modèle nous a alors permis de déterminer les conditions, sur les dentures et les polarités
des bobinages, qui assurent un fonctionnement avec un ou plusieurs couples générés. Par
ailleurs, le modèle développé peut également être utilisé pour l’étude analytique des
performances des structures à réluctance variable. En effet, à partir de la perméance et de la
f.m.m. d’entrefer, il est possible d’aboutir, en plus de l’énergie dans l’entrefer et du couple
électromagnétique, à l’expression du flux de phase et donc aux forces électromotrices.
Dans une seconde partie, après avoir choisi la structure la plus intéressante pour notre
application, nous avons établi une stratégie de dimensionnement afin d'extraire un plan
détaillé. Ce plan sera nécessaire pour la réalisation d'un prototype « virtuel » dont nous
pourrons calculer les performances à l'aide d’une modélisation numérique (méthode des
éléments finis), nettement plus précise que l’approche analytique. En effet, avec cette
méthode, il est possible de prendre en compte des phénomènes négligés jusqu'à présent dans
l’étude analytique, telle que la géométrie réelle et la saturation du circuit magnétique.
Dans la suite de ce mémoire, nous allons étudier plusieurs structures de MRV excitées au
stator afin de dégager celle qui fera l’objet du prototype définitif.
53
CHAPITRE II
MODELISATION ET ETUDE DES
PERFORMANCES
CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances
Introduction
L’étude théorique, effectuée dans le chapitre précédent, était basée sur l’hypothèse d'un circuit
magnétique de perméabilité infinie. Cette hypothèse, qui présente l'avantage de limiter l’étude
de la structure sur l’entrefer, apporte une grande souplesse et une certaine simplicité dans
l’établissement du modèle analytique. Cependant, elle pénalise fortement la précision, du fait
de l’influence de la saturation du circuit magnétique qui est très importante dans le cas des
machines à réluctance variable [6].
Avant de définir la structure définitive, qui fera l’objet du prototype à réaliser, nous allons
comparer les performances de plusieurs machines de même puissance. Ces dernières diffèrent
principalement du point de vue du nombre de dents et des polarités des bobinages. Cette étude
comparative permettra alors de fixer la combinaison la mieux adaptée pour l’application
envisagée.
Dans un premier temps, nous allons étudier les performances des structures en utilisant le
modèle analytique développé au chapitre précédent. Dans un souci de simplicité, nous
prendrons en compte uniquement les termes fondamentaux de la perméance d’entrefer et des
forces magnétomotrices. Par la suite, en se basant toujours sur les développements analytiques
antérieurs, nous mettrons en œuvre une approche semi-analytique. Cette dernière permettra de
prendre en compte tous les harmoniques, géométriques et électriques, dus à la denture des
armatures et à la distribution des enroulements. Ces deux modèles supposent une réluctance
d’entrefer constante sous les différents pôles de la machine. Enfin, dans le cas où cette
hypothèse n’est pas vérifiée, nous développerons un troisième modèle appelé modèle semianalytique étendu. Les matériaux étant supposés parfaits ( µ = ∞) , les trois approches offrent
l’avantage de la rapidité des calculs au détriment de la précision. Toutefois, elles permettent
d’étudier un nombre important de prototypes « virtuels », et, par conséquent, d’aboutir à la
structure qui donne les meilleures performances, du moins au niveau des dentures et des
polarités.
Pour permettre de rendre l’analyse des données plus fiable et les résultats plus proches de
ceux que donnerait un prototype réel, une modélisation numérique, basée sur la méthode des
éléments finis, sera ensuite utilisée. En effet, cette approche tient compte de la non linéarité
des circuits magnétiques. La seconde partie du présent chapitre sera donc consacrée à cette
méthode de résolution dans le cas bidimensionnel.
Enfin pour quatre prototypes, nous présenterons les résultats obtenus avec la méthode des
54
éléments finis et nous les comparerons à ceux issus des modèles analytique et semianalytique.
II.1. Approche Analytique
L’approche analytique est basée sur les développements effectués au chapitre I. Elle nécessite
les expressions des différentes forces magnétomotrices et de la perméance d’entrefer.
II.1.1. Perméance d’entrefer et force magnétomotrice
L’expression du fondamental de la perméance d’entrefer -voir relation (1.14.a)- s’écrit :
P(θ s ,θ ) = P0 + P1s cos ( N s θ s ) + P1r cos (N r (θ s − θ ) )
+
(2.1)
1
1
P1s _ 1r cos (( N s + N r )θ s − N rθ ) + P1s _ 1r cos (( N s − N r )θ s + N rθ )
2
2
Par ailleurs, dans le cas des structures Vernier excitées que nous étudions, les circuits induit
comme inducteur sont triphasés. Ils sont parcourus par six courants dont les expressions sont
données ci dessous :





2π
3
2π
ik = 2 I ′ cos ( ω ′ t − (k − 4)
3
ik = 2 I cos ( ω t − (k − 1)
)
)
pour
k = (1, 2 ou 3)
(2.2)
pour
k = ( 4, 5 ou 6)
Les indices k=(1, 2 ou 3) sont relatifs aux enroulements de l’induit, et k=(4, 5 ou 6) sont
associés aux enroulements de l’inducteur. Par ailleurs, les deux pulsations ω et ω ′ , qui
correspondent respectivement à celles des alimentations des circuits induit et inducteur, sont
liées à la vitesse de synchronisme par (voir 1.54) :
Ω=
ω − κ de 2 ω ′
κ de1 N r + κ de 2 ap ′
(2.3)
Les valeurs des coefficients κ de1 et κ de 2 sont données au tableau (1.3) du chapitre I.
Enfin, nous rappelons les expressions des termes fondamentaux de la distribution des ampèretours dans l’entrefer, relatifs aux deux circuits induit et inducteur (ε



T1
et ε
T2
) (1.22 et 1.46) :
ε T1 = ε max cos( ω t − p θ s )
′ cos( ω ' t − p′θ sr )
ε T2 = ε max
(2.4)
55
où ε
max
et ε ′ correspondent aux expressions données par les relations (1.26) et (1.45.b).
max
II.1.2. Expression du flux induit à vide
Comme expliqué précédemment dans le chapitre I, le flux magnétique φ k traversant une phase
k de l'induit, k = ( 1, 2 ou 3), s’exprime par :
2π
φ k = ∫ ε T 2 Fk P (θ s ,θ ) dθ s
(2.5)
0
Fk , la fonction filtre qui permet d’isoler la phase k considérée, s’écrit ( voir 1.89) :
Fk =
2
2π 

K B n cos  p θ s − ( k − 1)

π
3 

(2.6)
Le développement de l’expression (2.5) permet donc de déterminer le terme fondamental du
flux dans les différentes phases de l'enroulement de l'induit. Compte tenu de la relation (2.3),
ces flux ont pour expressions :
φk =
3
π
2π 

K B K B′ n n ′ I ′ P1s _ 1r cos  ω t − ( k − 1)

3 
2

pour k = (1, 2 ou 3)
(2.7)
Les flux induits sont donc sinusoïdaux de pulsation ω . Par conséquent, pour une vitesse Ω
désirée, ω peut être choisie en imposant, d’après la relation (2.3), la pulsation adéquate ω ′
pour les courants d’excitation. La valeur précise de cette dernière ne peut être fixée sans la
connaissance exacte des paramètres de la structure qui sont : le nombre de dents et les
polarités des bobinages (voir relation (2.3) et tableau (1.3) donnant les coefficients
κ de1 et κ de 2 ).
II.1.3. Expressions des inductances propres et mutuelles.
En utilisant la procédure introduite pour le calcul du flux dans une phase de l’induit, il est
possible de déduire les expressions des inductances propres et mutuelles des circuits induit et
inducteur. En effet, l’inductance propre d’une phase k peut être obtenue en calculant le flux,
créé par cette phase, lorsqu’elle est parcourue par un courant continu unitaire. Les inductances
mutuelles sont déterminées, dans les mêmes conditions, en calculant le flux à travers les
autres phases.
56
Par conséquent, les inductances propres et mutuelles peuvent s’exprimer par :
2π
Ll m( m = l ) = ∫ ε l Fm P (θ s ,θ ) dθ s
0
(2.8)
2π
M l m(m ≠ l ) = ∫ ε l Fm P (θ s ,θ ) dθ s
0
où l représente l’indice de la phase dans laquelle on impose un courant unitaire. L’indice m est
relatif à la phase dans laquelle est calculé le flux. Dans le cas de notre structure, l et m
prennent des valeurs allant de un à six.
Les expressions de ε l , utilisées pour calculer les différentes inductances, sont obtenues à
partir de l’expression générale de la f.m.m. donnée par la relation (1.15). Ainsi, lorsque le
bobinage est parcouru par un courant continu unitaire, le terme fondamental de ε l s’écrit :
2π 
2

K B n cos  pθ s − ( l − 1 )

π
3 

εl
=
εl
=
si l ∈ { 1, 2, 3
}
(2.9)
2π 
2

K B′ n ′ cos p ′θ s − ( l − 4 )
 si l ∈ { 4 , 5, 6
π
3 

}
(2.10)
ou
D’une manière similaire, les expressions de la fonction filtre Fm sont données par :
Fm =
2
2π 

K B n cos pθ s − ( m − 1)

π
3 

si
m ∈ { 1, 2, 3
}
(2.11)
Fm =
2
2π 

K ′B n′ cos p ′θ s − ( m − 4)
 si
π
3 

m ∈ { 4, 5, 6
}
(2.12)
A partir du développement de (2.8), on obtient, pour les différentes inductances propres et
mutuelles, les expressions suivantes:
a ) Inductances propres induit et inducteur





4 K B2 n 2
L11 = L22 = L33 =
P0
π
4 K B′ 2 n ′ 2
L44 = L55 = L66 =
P0
π
(2.13)
57
b ) Mutuelles induit-induit et inducteur-inducteur





1
M 12 = M 13 = M 21 = M 31 = M 32 = M 23 = − L11
2
1
M 45 = M 46 = M 54 = M 64 = M 65 = M 56 = − L44
2
(2.14)
c ) Mutuelles induit-inducteur

K B K ′B n n′
P1s _ 1r cos(κ de1 Nrθ )
 M14 = M 41 = M 25 = M52 = M 36 = M 63 =
π



K B K ′B n n′
2π 


P1s _ 1r cosκ de1Nrθ −

 M 24 = M35 = M 42 = M 53 = M16 = M 61 =
π
3  (2.15)




4π 

 M = M = M = M = M = M = K B K ′B n n′ P
cosκ de1Nrθ −

26
62
15
51
34
43
1s _ 1r

π
3 

On rappelle que les valeurs du coefficient κ de1 sont données dans le tableau (1.3) au chapitre I.
II.1.4. Expression du couple
Le couple électromagnétique instantané s’exprime classiquement, en fonction de la co-énergie
magnétique dans l’entrefer [4][19], par :
Ce =
2π

∂ 1
2
 ∫ ε T P (θ s ,θ ) dθ s  i cons tan t
∂θ  2 0

(2.16)
Pour une MRV Vernier excitée à simple action, cette expression aboutit, pour la vitesse de
synchronisme (2.3), à une valeur moyenne qui s’écrit (voir § IV.3.1.1.1) :
Ce = N r
π
ε ε ′ P1s _ 1r
4 max max
(2.17)
Il est également possible d’exprimer le couple électromagnétique en fonction des courants et
de la matrice inductance [ M ]. Dans ce cas, il s’écrit sous la forme:
Ce =
[ ]
1
i
2
T
[ ] [ ]
 d

dθ M  ⋅ i


(2.18)
où [i] représente le vecteur des courants dans les différents bobinages de la machine.
58
II.1.5. Conclusion
Les expressions développées dans ce paragraphe montrent que, pour la vitesse de
synchronisme, une structure de type Vernier se comporte d’une manière similaire à celle
d’une machine synchrone classique (à entrefer constant). En effet, avec l’hypothèse du
premier harmonique, les inductances propres à chacun des deux circuits sont constantes et les
inductances mutuelles entre les circuits induit et inducteur sont sinusoïdales et fonction de la
position du rotor.
Cependant, on rappelle que ces résultats ont été obtenus en effectuant l’hypothèse d’une
machine idéalisée (perméabilité infinie, premier harmonique et répartition égale des f.m.m
dans l’entrefer). Cette hypothèse néglige des phénomènes dont les effets peuvent être mis en
évidence avec un modèle plus élaboré.
Dans la suite de notre étude nous allons présenter le modèle dit semi-analytique. Ce dernier,
basé également sur l’hypothèse d’une perméabilité infinie des matériaux magnétiques, permet
par contre, d’introduire les harmoniques d’espace.
II.2. Modèle semi-analytique
Le modèle semi-analytique néglige la saturation du circuit magnétique. Son intérêt, par
rapport à l'approche dite analytique classique, réside dans la possibilité de tenir compte de
toutes les formes d’harmoniques d’espace existantes dans la structure. Ces dernières sont
structurelles, liées à la géométrie de l’entrefer et à la distribution des enroulements dans les
encoches. Par ailleurs, ce modèle permet également de déterminer localement la distribution
de l'induction dans l’entrefer. Il est basé sur une résolution numérique des équations
analytiques et repose sur la prise en compte, des harmoniques des f.m.m. et de la perméance
de l’entrefer.
II.2.1. Perméance d’entrefer
La prise en compte de tous les harmoniques de la perméance d’entrefer est relativement
délicate. En effet, si on considère un point « m » dans l'entrefer, référencé par θ s relativement
à l’axe statorique figure (2.1.a), la largeur de l'entrefer en ce point est fonction de la position θ
du rotor par rapport au stator. Lorsque le rotor est en mouvement, la perméance en ce point va
varier suivant la denture rotorique.
Pour effectuer une étude statique (induction dans l’entrefer) ou dynamique (performances de
59
la structure), il faut pouvoir déterminer, pour une position rotorique θ , la perméance
d’entrefer en tout point de ce dernier.
Afin d’illustrer l’introduction de la perméance d’entrefer dans notre approche semianalytique, nous traitons l’exemple d’une structure fictive avec Ns=11 et Nr=13. Par ailleurs,
pour des raisons de simplification, la géométrie cylindrique, est transposée en un dessin
linéaire. La figure (2.1.a) montre la configuration géométrique pour une position donnée et la
figure (2.1.b) la variation de la largeur de l’entrefer en fonction de θ s . Cette variation est
bornée par les valeurs extrêmes emin et emax avec emax = ( emin + Pr + Ps).
D 1s
Stator
qS
q
D 1r
Rotor
Figure 2.1.a
e (q s )
emin + pr + ps
emin + p s
emin + pr
emin
Figure 2.1.b
1 / e(q s )
1 / emin
(emin + p r ) -1
(emin + p s ) -1
(emin + p s + p r ) -1
qS
Figure 2.1.c
1 / emin
1 / e (q s )
qS
Figure 2.1.d
60
La perméance d'entrefer étant inversement proportionnelle à l'épaisseur d’entrefer e(θ s ,θ ) ,
nous montrons, sur la figure (2.1.c), l'évolution 1 / e(θ s ,θ ) pour la même position.
Comme emin est très faible par rapport à emax , les allures de 1 / e(θ s ,θ ) , réelle -figure (2.1.c)et celle utilisant uniquement le terme en 1 / emin -figure (2.1.d)-, sont très proches. Par
conséquent, dans notre modèle semi-analytique, nous ne tiendrons compte que de emin pour
l’élaboration de la perméance d’entrefer.
Dans notre approche semi-analytique, pour chaque position du rotor, on détermine la variation
de la fonction 1 / e(θ s ,θ ) sur le périmètre total de l’entrefer. Par la suite, nous aboutissons à la
perméance d’entrefer P(θ s ,θ ) en utilisant l’expression (2.19), développée au paragraphe
I.2.2.
P(θ s , θ ) =
µ 0 Rs L
e (θ s , θ )
(2.19)
où Rs et L représentent respectivement le rayon d’alésage et la longueur utile de la machine.
II.2.2. Distribution des f.m.m.
Comme nous l’avons spécifié dans le chapitre précédent, le terme de f.m.m. est utilisé, par
abus de langage, pour désigner la différence de potentiel magnétique (d.d.p.m.) entre les
armatures statoriques et rotoriques. Cette appellation est très utilisée dans le cas des structures
classiques pour lesquelles l’entrefer est invariant.
Dans le cas des MRV, de par les dentures des deux armatures, la largeur d’entrefer est
variable. Par conséquent, la différence de potentiel magnétique peut ne plus s’obtenir d’une
manière aisée à partir de la répartition des f.m.m.
Lors des développements analytiques effectués dans le chapitre I, la réluctance, vue des deux
côtés d’une source de f.m.m. était supposée identique. Cette hypothèse permet d’effectuer une
étude théorique [6][19] en se basant sur une approche analytique. Nous montrerons d’ailleurs
qu’elle est vérifiée pour un grand nombre de structures que nous appelons « symétriques ».
En utilisant le modèle semi-analytique étendu, il est possible de s’affranchir de cette
hypothèse restrictive. Nous allons donc, dans ce paragraphe, traiter les deux cas : celui
correspondant à l’hypothèse émise précédemment et celui, plus général, qui permet de
distinguer les réluctances vues des deux côtés d’une source de f.m.m.. Cette approche nous
permettra alors de distinguer, ultérieurement, les structures à entrefer globalement constant
61
(« symétriques ») et celles qui n’assurent pas cette hypothèse. Par ailleurs, nous n’utiliserons
plus, dans ce dernier cas, le terme f.m.m. pour désigner la d.d.p.m.
II.2.2.1. Structures à entrefer globalement constant
Comme dans le cas de la perméance d’entrefer, l’approche semi-analytique repose également
sur une introduction précise de la distribution de la f.m.m. dans l’entrefer. Nous allons, là
aussi, illustrer la méthode adoptée en traitant un exemple. Ce dernier est constitué de deux
circuits triphasés (induit noté « A,B,C » et inducteur noté « a,b,c ») disposés sur la même
armature figure (2.2.a). Dans le cas traité, les réluctances d’entrefer, vues des deux côtés
d’une source de f .m .m. sont supposées identiques.
Les figures (2.2.b) et (2.2.d) montrent les distributions des bobinages relatives respectivement
à l’induit et à l’inducteur. Il est à noter que les fonctions filtres F1,2,3 correspondent aux phases
A,B et C et les fonctions F4,5,6 aux phases a, b et c.
La force magnétomotrice totale notée ε T 1 , issue des enroulements de l’induit, est calculée à
tout moment comme étant la somme algébrique des ampère-tours de chaque phase. Cette
f.m.m. est donnée alors par :
ε T 1 = F1 i1 + F2 i2 + F3 i3
(2.20)
De la même façon, on peut déterminer la f.m.m. résultante due au circuit inducteur ε T 2 par:
ε T 2 = F4 i4 + F5 i5 + F6 i6
(2.21)
A titre d’exemple, dans le cas où les courants qui traversent les enroulements sont constants et
identiques, les f.m.m. totales induit et inducteur ( ε T 1 et ε T 2 ) dans l’entrefer sont représentées
sur les figures (2.2.c) et (2.2.e). Avec des alimentations alternatives, l’allure de ces ondes
change à chaque instant, et dépend de la valeur de l’intensité et de la fréquence du courant
dans chaque phase.
62
A
a
A
A
-C
-C
-C
B
B
a
-c
-c
b
b
-a
-a
B
-A
-A
-A
Figure 2.2.a
Fi
F1
n/2
F3
F1
F2
F2
F3
qs
Figure 2.2.b
e T1
ni / 2
Figure 2.2.c
F4
Fi
n¢ / 2
F6
F4
F5
F5
F6
qs
Figure 2.2.d
eT 2
n ¢i ¢ / 2
qs
Figure 2.2.e
II.2.2.2. Structures à entrefer globalement variable.
En général, dans les structures à entrefer variable, exemple figure (2.3.a), deux pôles
successifs ne voient pas forcément la même épaisseur d’entrefer. Dans ce cas, les répartitions
des d.d.p.m., d’un côté et de l’autre d’une encoche contenant un bobinage ne sont plus égales
figure (2.3.b).
Afin de prendre en compte ce phénomène, nous avons développé un modèle semi-analytique
étendu qui permet de déterminer la distribution des d.d.p.m. lorsque la réluctance sous les
pôles est différente.
63
pôle Nord
pôle Sud
e1
e2
Figure 2.3.a
n i e2
e1 + e 2
eξ
θs
-
n i e1
e1 + e 2
Figure 2.3.b
Considérons un motif élémentaire, d’une structure complexe, représentée par la figure (2.4.a).
1
2
1’
2’
Figure 2.4.a
Ce motif peut être décomposé en un nombre de structures égal au nombre d’encoches par
pôle. Dans ce cas, on obtient pour les encoches 1 − 1′ et 2 − 2′ , les deux structures
élémentaires représentées par les figures (2.4.b) et (2.4.c).
1
1’
Figure 2.4.b : Distribution pour les encoches 1 et 1’
2
2’
Figure 2.4.c : Distribution pour les encoches 2 et 2’
64
En utilisant des schémas magnétiques équivalents pour modéliser ces deux structures
élémentaires, on aboutit aux deux figures (2.5.a) et (2.5.b).
RN1
ξe NN11
nncec ii1
RN 2
ξeNN 22
RS 2
e SS2 2
nncecii2
RS 1
eξSS1 1
Figure 2.5.a
ξ
Figure 2.5.b
Ces deux circuits permettent alors de déterminer, pour chaque structure élémentaire, la
distribution de la d.d.p.m. dans l'entrefer. Ces distributions sont données sur les figures (2.6.a)
et (2.6.b). Pour ce faire, il faut calculer les réluctances polaires d’entrefer vues des deux côtés
de la source de f.m.m. Ce calcul est effectué en considérant la surface active, c’est à dire la
surface des dents en vis à vis, sous chaque pôle notée Sa.
La relation (1.1) du chapitre I donne l'expression de la réluctance sous sa forme intégrale.
Dans l'hypothèse de champ radial, qui stipule que toutes les lignes de champ passent
uniquement par l'entrefer minimal, la réluctance polaire d’entrefer s'écrit :
=
emin
µ 0 sa
(2.21)
On note ξ1N et ξ 2 N les valeurs de la d.d.p.m.. du côté du pôle nord des deux structures
élémentaires figures (2.6.a) et (2.6.b) et réciproquement ξ1S et ξ 2 S du côté du pôle sud. Ces
différentes d.d.p.m. s’expriment par :













ξ N 1 = nce i1
ξ S 1 = −nce i1
ξ N 2 = nce i 2
ξ S 2 = −nce i2
RN1
R N 1 + RS 1
RS1
R N 1 + RS1
RN 2
(2.22)
R N 2 + RS 2
RS 2
R N 2 + RS 2
65
où R N 1 et R N 2 représentent les réluctances d’entrefer vues par les pôles nord des deux
structures élémentaires figures (2.6.a) et (2.6.b) et RS1 et RS 2 celles vues par les pôles sud.
nce est le nombre de conducteurs par encoche.
1
1’
2
eξ1
1
ξeNN22
ξeN 1
N1
2’
e
ξ 22
θs
θs
ξeS 2
eξ SS11
S2
Figure 2.6.a : d.d.p.m. due au bobinage dans 1 et 1’
Figure 2.6.b : d.d.p.m. due au bobinage dans 2 et 2’
La superposition des distributions des d.d.p.m., issues des différents shémas équivalents,
permet alors d’aboutir à la d.d.p.m. totale ξ T .
Dans le modèle semi-analytique étendu, la distribution de la d.d.p.m. totale, sur la globalité du
périmètre de l’entrefer, est calculée pour chaque position θ du rotor. En effet, pour chaque
nouvelle position, on obtient de nouvelles valeurs de réluctances sous les pôles et par
conséquent une nouvelle distribution de la d.d.p.m. La différence de potentiel magnétique
totale de la structure initiale figure (2.4.a), est alors calculée pour chaque position du rotor
par :
ξT (θ ) = ξ1 (θ ) + ξ 2 (θ )
(2.23)
ξ1 (θ ) étant la fonction montrée sur la figure (2.6.a) et ξ 2 (θ ) est celle représentée sur la figure
(2.6.b).En appliquant cette procédure, nous obtenons la répartition de la d.d.p.m. de cette
66
structure initiale qui est donnée sur la figure (2.6.c).
ξ N 1 +eξ N+2e
N1
N2
eξT= =e 1ξ1+ e+ 2ξ 2
θs
ξ S 1 +eξ S+2 e
S1
S2
Figure 2.6.c
II.2.3. Généralisation de la distribution des d.d.p.m
Afin de généraliser l’expression donnant la distribution de la d.d.p.m. dans l’entrefer, nous
présentons sur la figure (2.7) un élément d’une machine à réluctance variable. Cette structure
possède donc un bobinage distribué à p paires de pôles et avec qe encoches par pôle et par
phase.
67
Dj
Dj
D j +1
D j +1
pi
p ( i -1)
p ( i -1)
p ( i +1)
p ( i +1)
pi
j+1
j
R(i-1) j
j
R(i+1) j
Ri j
R(i-1) (j+1)
j+1
Ri (j+1)
R(i+1) (j+1)
figure 2.7
La réluctance d’entrefer globale sous un pôle p i , figure (2.7), peut être constante ou variable
(fonction la position du rotor θ ). Dans tous les cas, pour une position donnée du rotor, on
peut exprimer cette réluctance par la relation (2.24.a) qui fait intervenir la longueur active
sous le pôle considéré.
R i j (θ s , θ ) =
e min
µ 0 l i j (θ s , θ ) L
(2.24.a)
le paramètre l i j représente la longueur active sous un pôle i. Cette longueur est calculée, pour
chaque position du rotor, par la sommation :
li j ( θ s ,θ ) =
∫ Rs h ( θ s ) dθ s
pole i
(2.24.b)
où



h (θ s ) = 0
si
e(θ s , θ ) ≠ emin
h (θ s ) = 1 si
e(θ s , θ ) = e min
On note ξ i j la différence du potentiel magnétique moyenne sous un pôle. Cette d.d.p.m est
68
localisée sous le pôle noté p i figure (2.7). Ce dernier, qui est repéré par l'indice i ( i ≤ 2 p ), se
trouve entre les deux encoches successives repérées par l'indice j ( j ≤ qe ) regroupant les
mêmes spires. En effet, le pôle p i est répété autant de fois que le nombre d’encoches par pôle
et par phase q e .
En utilisant le réseau des réluctances, et en adoptant le théorème de superposition, on peut
calculer pour chaque position du rotor la quantité ξ i j par la relation :
ξ i j (θ s ,θ ) = ±
ni/2
Ri j (θ s ,θ )
qe


1
1


+
 Ri j (θ s ,θ ) + R(i −1) j (θ s ,θ ) R(i +1) j (θ s ,θ ) + Ri j (θ s ,θ ) 


(2.25)
On affecte les signes plus ou moins suivant s’il s’agit d’un pôle Nord ou d’un pôle Sud. La
figure (2.7) ci-dessus, explicite les positions des différentes réluctances dans une structure.
L’élément R i j donnée par la relation (2.24.a) représente la réluctance d’entrefer vue par le
pôle i (qui peut être un pôle nord ou sud), aux bornes de laquelle se trouve la d.d.p.m.
ξ i j . Cette réluctance globale est localisée entre les deux encoches regroupant les mêmes
spires. Ces deux encoches sont repérées par les deux axes successifs notés D j figure (2.7),
délimitant le pôle repéré par l'indice i.
La d.d.p.m. totale dans l’entrefer peut alors être déterminée, pour chaque position du rotor, par
l’expression :
2p
ξ T (θ s ,θ ) = ∑
i =1
qe
∑ξ
i j
(θ s , θ )
(2.26)
j =1
II.2.4. Couple électromagnétique
Le calcul du couple électromagnétique repose sur la dérivée de la matrice des inductances,
comme le montre la relation (2.18). Sa valeur à un instant t peut alors être calculée sous la
forme suivante :
C e (θ ) =
[
1
i (t )
2
]T
 M l m (θ ) − M l m (θ − ∆θ ) 

 i (t )
∆θ


[
]
(2.27)
On peut également utiliser la discrétisation de la dérivée de l’énergie magnétique dans
69
l’entrefer, à courant constant, pour calculer le couple électromagnétique. Dans ce cas, ce
dernier s’exprime par :
C e (θ ) =
1
4 ∆θ
2π 2
 2π 2
 
(
,
)
,
(
)
(
)
P
ξ
θ
θ
θ
θ
−
∆
θ
∆
θ
 ∫ T s
s
s  −  ∫ ξ T (θ s , θ ) P (θ s , (θ + ∆θ ) ) ∆θ s  
 0
 0
 
(2.28)
En utilisant les expressions analytiques (2.5) et (2.8) développées précédemment, et en
introduisant les formes d’ondes de la d.d.p.m. et de la perméance, on peut calculer, par le
modèle semi-analytique et semi-analytique étendu, toutes les grandeurs relatives au
fonctionnement de la structure. Parmi ces grandeurs on cite : les flux à vide, les inductances
propres et mutuelles, l’induction magnétique dans l’entrefer, l’énergie magnétique et le couple
électromagnétique instantané.
II.2.5. Conclusion
Dans la première partie de ce chapitre, nous avons d’abord élaboré ce que nous avons appelé
l'approche analytique. Cette dernière est basée sur la prise en compte des seuls termes
fondamentaux pour la perméance d'entrefer et les f.m.m.
Dans un deuxième temps, un modèle semi-analytique a été introduit. Il permet de prendre en
compte une distribution plus précise des f.m.m. et de la perméance d’entrefer. Par ce modèle
nous avons pu introduire les différents harmoniques négligés dans l'approche analytique.
Ces deux modèles (analytique et semi-analytique) supposent que la perméance d'entrefer et
les forces magnétomotrices sont connues.
L'introduction des f.m.m. comme nous l’avons fait dans ces deux modèles est valable à
condition que les réluctances d’entrefer que voit chaque pôle de bobinage soient égales quelle
que soit la position du rotor (condition vraie pour les machines classiques).
Vu la complexité de l’entrefer dans les machines que nous allons étudier, on ne peut s’assurer
que cette condition soit toujours vérifiée.
Pour plus de rigueur, nous avons amélioré le modèle semi-analytique qui devient semianalytique étendu en prenant en compte les réluctances sous les différents pôles. Cela signifie
que la distribution des d.d.p.m. n'est plus introduite directement. Elle est déduite pour chaque
position θ du rotor en fonction de la valeur des réluctances sous les pôles.
Dans ce qui suit, nous allons aborder le modèle numérique, basé sur la méthode des éléments
finis, qui permet de prendre en compte, par rapport aux modèles précédents, la non linéarité
des matériaux magnétiques.
70
II.3. Modélisation Numérique
Les trois modèles analytique,
semi-analytique
et
semi-analytique
étendu décrits
précédemment, supposent que le circuit magnétique est infiniment perméable. Ceci permet
d’étudier un nombre important de prototypes virtuels vue la rapidité de la simulation mais
pose des difficultés pour déterminer les performances réelles d’une machine. Palier ce
problème nécessite la prise en compte de la non linéarité du circuit magnétique.
La résolution des équations de Maxwell, en tenant compte des lois de comportement non
linéaire, peut être effectuée avec une méthode d’analyse numérique. La plus utilisée, et la
mieux adaptée aux problèmes d’électromagnétisme rencontrés en génie électrique, est la
méthode des éléments finis [49]. Dans la suite, nous allons présenter les équations à résoudre,
la technique pour prendre en compte les non linéarités et les développements relatifs à la
méthode des éléments finis.
II.3.1. Formulation et mise en équation
Dans le cas des régimes quasi stationnaires, les équations de Maxwell, pour l’étude des
systèmes magnéto-dynamiques, s’écrivent sous la forme [50] :
Rot E = −
∂B
∂t
(2.29.a)
Rot H = J
(2.29.b)
Div B = 0
(2.29.c)
où E représente le champ électrique, H le champ magnétique, B l’induction magnétique et J
la densité du courant.
La résolution de ces équations ne peut être effectuée sans l’introduction des relations
supplémentaires, qui font intervenir des grandeurs caractéristiques des différents milieux.
Pour des milieux isotropes, la relation entre les différents vecteurs du champ s’écrit :
B=µH
(2.30)
J = σ E + J0
(2.31)
Les paramètres µ et σ sont des scalaires qui représentent respectivement la perméabilité et
71
la conductivité du milieu.
La relation (2.31) est composée de deux termes qui n’apparaissent pas en même temps pour
un point donné du domaine étudié. Le terme J 0 représente la densité de courant provenant
des enroulements d’alimentation pour lesquels la distribution de J 0 est homogène. Cette
densité peut être une donnée ou une inconnue dépendante du circuit extérieur d’alimentation.
Lorsque la valeur de J 0 n’est pas donnée, la tension d’alimentation doit être nécessairement
connue. La détermination de J 0 pourra être effectuée par la prise en compte du couplage des
enroulements avec le circuit extérieur d’alimentation.
A partir de la relation (1.29.c) on montre que l’induction magnétique B , peut être exprimée à
partir d’un potentiel vecteur magnétique A tel que :
B = Rot A
(2.32)
On peut donc calculer aisément l’induction magnétique B si le potentiel vecteur magnétique A
est connu. Le théorème de Helmoltz démontre qu’un vecteur ne peut être défini que si son
rotationnel et sa divergence sont à la fois donnés [51]. Dans ce cas, la relation (2.32) ne suffit
pas pour définir le vecteur A, il faut donc en plus définir sa divergence. Pour palier ce
problème, on utilise généralement la jauge de Coulomb, qui s’écrit :
Div A = 0
(2.33)
Le potentiel vecteur magnétique A est un paramètre purement mathématique. Il est défini à un
gradient d’une fonction scalaire, noté ϕ [52]. On peut donc écrire:
Rot ( A + grad ϕ ) = Rot A
(2.34)
A partir des équations (2.27) et (2.32), on arrive à la relation :
Rot ( E +
∂A
)=0
∂t
(2.35)
En regroupant (2.34) et (2.35) on arrive à la relation :
E=−
∂A
+ grad ϕ
∂t
(2.36)
72
qui permet de définir le potentiel scalaire électrique ϕ .
En substituant (2.37) dans (2.31), on déduit :
J = −σ (
∂A
+ grad ϕ ) + J 0
∂t
(2.37)
A partir de la combinaison des équations notées (2.30), (2.31), (2.32) et (2.36), on obtient la
formulation suivante en potentiel vecteur magnétique A qui a pour expression:
Rot υ ( RotA) = −σ (
∂A
+ grad ϕ ) + J 0
∂t
(2.38)
où υ représente la réluctivité magnétique, tel que υ = 1 / µ .
La combinaison des trois équations notées (2.29.b), (2.33) et (2.37) permet d’écrire :
Div (σ grad ϕ ) = 0
(2.39)
Le résultat de l’expression (2.38) montre que les quatre grandeurs inconnues de départ (B,H,
E et J) sont réduites à deux potentiels inconnus qui sont le potentiel vecteur A et le potentiel
scalaire ϕ . Par la méthode des éléments finis, on va donc résoudre ces deux dernières
équations. Connaissant le potentiel vecteur A, on peut déterminer, via la relation (2.32),
l’induction magnétique B et par la suite le champ magnétique H, en utilisant la loi de
comportement H = υ B .
Dans une structure invariante suivant une direction, où les effets des extrémités (têtes de
bobines) peuvent être négligés, il résulte que la disposition des conducteurs dans la direction
de l’invariance favorise l’établissement du champ dans le plan transversal. Dans ce cas, le
potentiel vecteur est dirigé suivant la direction d’invariance. L’étude se limite donc à la
résolution des équations magnétiques en 2D.
Si on suppose que le système est invariant suivant l’axe OZ, la solution des équations (2.38) et
(2.39) se limite au plan XOY, et s’écrit donc :
A = Az ( x, y, t ) k
(2.40)
ϕ = ϕ ( x, y , t )
(2.41)
où k est le vecteur unitaire suivant l’axe OZ.
73
Dans un système bidimensionnel, la jauge de coulomb (2.33) est vérifiée implicitement. Le
vecteur donnant la densité de courant J est parallèle au potentiel vecteur A. Le choix du
potentiel scalaire ϕ invariant suivant OZ indique implicitement que les éléments conducteurs
sont
court-circuités à
l’infini [53][54]. On peut montrer, à partir de (2.38),
que grad ϕ = 0 [55]. Ce potentiel scalaire n’intervient que dans les régions conductrices où
sont induits les courants de Foucault [56]. Sans nuire à la généralité du système, on peut
choisir ϕ = 0 .
Dans ces conditions, l’équation (2.38) à résoudre se ramène à l’équation suivante :
divυ grad AZ = σ
∂AZ
− J 0Z
∂t
(2.42)
L’équation en termes scalaires, de l’expression précédente s’écrit en cordonnées cartésiennes :
∂
∂A
∂
∂A
∂A
(υ z ) + (υ z ) = σ z − J 0 Z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂t
(2.43)
II.3.2. Conditions aux limites
Dans un domaine d’étude noté Ω D , la résolution de l’équation (2.43) nécessite d’imposer des
conditions aux limites. Ce sont des conditions qui se posent sur les frontières Γ du domaine
d’étude. Selon la nature du problème étudié, ces conditions peuvent être de deux types :
-
Condition de type Dirichlet
On impose ici :
A
Γb
= A0
(2.44)
Cette condition représente une induction normale égale à zéro. Elle est posée sur les parties de
la frontière qui délimitent le domaine d’étude là où le vecteur de l’induction magnétique est
purement tangentiel (Bn = 0).
-
Condition de type Neumann
On impose ici :
υ
∂A
∂t
Γh
=0
(2.45)
74
Cette condition représente un champ magnétique tangentiel égal à zéro. Elle est posée sur les
parties de la frontière délimitant le domaine d’étude là où le vecteur de l’induction
magnétique est purement normal, (généralement dans les zones présentant une symétrie ou
anti-symétrie du système).
Afin de réduire le domaine d’étude, on utilise les propriétés de
périodicité ou d’anti-
périodicité sur la structure. La condition de périodicité est définie par :
A( x + X ) = A( x)
(2.46)
La condition d’anti-périodicité est définie par :
A( x + X ) = − A( x )
(2.47)
où X représente la périodicité géométrique du système à étudier.
II.3.3. Discrétisation par éléments finis
L’utilisation des méthodes analytiques pour la résolution des équations aux dérivées partielles
est impossible dans le cas des géométries complexes et sur tout lorsque les matériaux sont non
linéaires. Les méthodes de résolution numériques, en particulier la méthode des éléments finis
(MEF), représentent les outils de résolution de ce type d’équation. Dans ce cas, au lieu de
résoudre l’équation de façon continue, on discrétise l’inconnue à déterminer en un nombre
fini de points dans le domaine d’étude.
Dans le cas de la MEF, la résolution de l’équation (2.43) passe par une première étape qui
transforme une équation aux dérivées partielles en une équation intégrale. Ce résultat peut être
obtenu par l’utilisation de la méthode des résidus pondérés qui fait intervenir une fonction test
[55-59].
La forme intégrale ainsi obtenue est discrétisée à l'aide d'éléments finis. Les termes inconnus
sont discrétisés aux nœuds du maillage et exprimés en utilisant des fonctions d'approximation.
La méthode de Galerkine, qui consiste à prendre comme fonction test les fonctions
d'approximation des inconnues, conduit à un système d'équations algébriques. On obtient
alors la forme matricielle suivante –voir détail en annexe 5–.
[S ][A] + [T ] d [A] = [F je ]
dt
(2.48)
75
où
[S ]
représente la matrice de raideur, elle dépend des propriétés magnétiques des
[ ]
matériaux, [T ] est la matrice de conduction (diffusion) et F je
densités du courant. Les deux matrices
[S ]
le terme source dû aux
et [T ] sont symétriques, définies positives et
creuses.
Le système d’équation à résoudre (2.48) est non linéaire en raison de la caractéristique des
matériaux magnétiques. Pour tenir compte de ce phénomène, on utilise l’algorithme de
Newton-Raphson. Il consiste à linéariser le système à chaque itération. La résolution du
système algébrique ainsi obtenu peut être effectuée par deux méthodes :
une méthode dite directe (de décomposition ou Cholesky) avec un stockage de type profil,
dans ce cas, la résolution passe par deux étapes :
-
la décomposition de la matrice [S ] en matrices triangulaires.
-
la résolution des systèmes triangulaires associés.
Une méthode dite indirecte (du gradient conjugué) avec un stockage de type morse [59],
dans ce cas, la résolution est effectuée par une méthode itérative. C’est cette méthode qui
est utilisée dans le code de calcul du laboratoire (EFL2EP).
Pour la discrétisation temporelle, on a recours à l’algorithme d’Euler implicite.
II.3.4. Couplage des équations de circuit
Dans la plupart des problèmes d'électrotechnique la tension est imposée. Dans ce cas,
l'intensité du courant, et par conséquent la densité du courant dans le système (2.48) à
résoudre, sont inconnues. Afin de palier cette difficulté, on effectue un couplage entre les
équations magnétiques et électriques.
Pour l'équation électrique, l'application de la loi de Faraday conduit au système matriciel
suivant :
[v(t )] = [R][i (t )] + d [φ (t )]
dt
(2.49)
avec v , i et φ qui représentent respectivement les vecteurs des tensions, des courants et des
flux. La matrice [R ] représente les résistances statoriques.
Le couplage des équations magnétiques et électriques est obtenu en exprimant la densité du
76
courant J (t ) en fonction du courant i (t ) et le flux φ à partir du potentiel vecteur A [60].
Outre l'intensité du courant, la densité J est exprimée à partir du nombre de conducteurs par
encoche nce et de la surface des encoches S en par :
J (t ) =
nce i (t )
S en
(2.50)
Le flux, quant à lui, peut être exprimé [55][57][59] par :
φ a = nce p L ( 〈 A1 〉 − 〈 A2 〉 )
(2.51)
où 〈 A1 〉 et 〈 A2 〉 représentent les valeurs moyennes du potentiel vecteur sur les éléments
correspondant respectivement aux encoches d’entrée et de sortie de la phase considérée. Dans
ce cas, on peut écrire pour le terme [FJ ] :
[FJ ] = [D][i ]
(2.52)
et pour le vecteur [φ ] :
[φ ] = [G ][A]
(2.53)
où [D ] et [G ] sont des matrices dont les termes dépendent des coordonnées des nœuds, du
nombre de conducteurs par encoches et de la surface d’encoche. Ces deux matrices sont liées
par la relation [54] suivante :
[D ] =
1
[G ]T
pL
(2.54)
L’association des expressions (2.48), (2.49), (2.52) et (2.53) conduit à un système d’équations
différentielles,
permettant
la
modélisation
de
l’ensemble
du
système
(structure
électromagnétique et circuit électrique). On obtient alors le système matriciel suivant :
[S ] − [D ]  [A]   [0] [T ] d  [A]   [0] 
+
=
 [0]
[R] [i (t )] [G ] [0] dt [i (t )] [v (t )]

(2.55)
77
II.3.5. Prise en compte du mouvement
Ils existe plusieurs méthodes qui permettent la prise en compte du mouvement dans la
structure électromécanique. La différence entre ces méthodes réside dans le nombre de
référentiels considérés d’une part et la technique de la discrétisation de l’entrefer d’autre part.
Dans les structures qui présentent une partie mobile simple et invariante, l’introduction du
mouvement peut être effectuée en prenant un seul référentiel et en utilisant la
relation : E = V ∧ B , où V représente la vitesse.
Lorsque la géométrie du rotor est complexe, et la disposition des parties conductrices n’est
pas invariante, deux référentiels sont utilisés ; l’un est lié à la partie fixe et l’autre à la partie
mobile, de façon à ce que le potentiel vecteur dans chaque référentiel vérifie l’équation (2.43).
La nature de la discrétisation de l’entrefer, permet de distinguer trois méthodes. La première
est le macro-élément [61]. Avec cette technique, une bonne précision demande un temps de
calcul élevé.
Les deux autres méthodes sont la technique de la ligne de glissement qui impose un pas de
déplacement multiple du pas de maillage [62] et la technique de la bande du mouvement [57]
[59] qui tolère n’importe quel déplacement. Dans ces deux cas, la rotation est simulée par une
permutation circulaire des nœuds de la ligne sur laquelle est considéré le mouvement.
C'est la bande de mouvement qui est utilisée dans le code de calcul du L2EP.
II.3.6. Calcul du couple
Pour le calcul du couple avec la méthode des éléments finis, deux approches peuvent être
envisagées. Il s’agit de la méthode des travaux virtuels et le tenseur de Maxwell.
Pour les travaux virtuels, le couple s’obtient à partir du calcul de la co-énergie magnétique
dans le domaine d’étude.
Pour le tenseur de Maxwell, le couple électromagnétique est donné en fonction de l’induction
par :
Ce =
1
Br Bt dΓ
µ 0 ∫Γ
(2.56)
tel que Br et Bt représentent respectivement l’induction radiale et tangentielle sur les
éléments se trouvant dans la bande de mouvement et Γ est une surface située dans l’entrefer.
78
II.3.7. Code de calcul EFL2EP
Le code de calcul du laboratoire, EFL2EP, est un code basé sur la résolution du système
d’équation (2.55), avec la prise en compte de la non linéarité des matériaux. Il permet
également de prendre en compte le système d’alimentation extérieur grâce au couplage avec
les équations du circuit électrique.
Le mouvement du rotor est pris en compte par la technique de la bande de mouvement, et le
couple électromagnétique est calculé par la méthode du tenseur de Maxwell.
Ce code de calcul permet donc la modélisation de toute structure électromagnétique à deux
dimensions. Dans notre cas, outre l’étude des machines, il a permis la validation des modèles
analytique et semi-analytiques développés et définir la limite de leur utilisation.
Récapitulation
Dans le tableau (2.1) qui suit, on récapitule les différents modèles présentés précédemment et
leur limite d’application dans le cas des machines tournantes.
Modèles
Cas traités
. MRV avec réluctance constante sous les pôles
Modèle Analytique (MA)
. Sans prise en compte des harmoniques
. µ fer
=∞
. MRV avec réluctance constante sous les pôles
Modèle Semi-analytique (MSA)
. Avec prise en compte des harmoniques
.
µ fer = ∞
. MRV avec réluctance variable sous les pôles
Modèle Semi-Analytique Etendu
(MSAE)
. µ fer = ∞
.Toutes les structures
Modèle Eléments Finis (MEF)
. Avec ou sans prise en compte de la saturation des matériaux
Tableau (2.1) : Récapitulation des modèles introduits
79
II.4. Application
II.4.1 Données du cahier des charges
Après avoir choisi, dans le premier chapitre, le type de structure à étudier, et avoir développé
ci dessus différents modèles pour la simulation de ces machines, nous allons procéder à
l’étude de plusieurs prototypes. Leur dimensionnement, comme nous l’avons vu dans le
paragraphe I.5, est basé sur les données du cahier des charges. Ce dernier représente les
caractéristiques du régime de fonctionnement nominal. Nous nous sommes fixés, pour ce
cahier des charges, les grandeurs suivantes :
Puissance active P = 10 Kw
Vitesse de rotation N = 50 tr / min
Tension simple par phase V = 230 V
Fréquence d’alimentation f = 50 Hz
Facteur de puissance cos ϕ = 0.8
On rappelle que nous nous intéressons exclusivement aux structures à simple action (action
principale).
II.4.2. Quantification des paramètres de fonctionnement
Les principaux paramètres qui définissent le fonctionnement de la machine (Paragraphe
I.3.3.1.2) sont N r , N s , p et p ′. Un fonctionnement synchrone peut être obtenu en vérifiant les
conditions citées dans le paragraphe I.5.2. En plus de ces conditions, on doit ajouter une
contrainte supplémentaire relative à la possibilité de distribuer uniformément le bobinage de
l'induit et de l'inducteur sur l'armature statorique. Cette contrainte s'écrit, dans le cas des
structures étudiées, avec une occupation totale des encoches, par la relation :
N s = 6 p qe = 6 p′ q'e
(2.57)
On rappelle que les termes qe et q’e représentent respectivement le nombre d'encoches par
pôle et par phase de l'induit et de l'inducteur.
La prise en compte des diverses possibilités conduit à un nombre très important de
combinaisons. En délimitant l’espace de recherche par les contraintes suivantes :
80
Nombre maximal de dents au rotor N r = 100
Nombre maximal de dents au stator N s = 100
Nombre maximal de paires de pôles induit p = 15
Nombre maximal de paires de pôles inducteur p ′ = 15
Nombre maximal d’encoches par pôle et par phase induit q e ≤ 5
Nombre maximal d’encoches par pôle et par phase inducteur q e′ ≤ 5
on arrive à un nombre de structures égal à 93. Les paramètres de ces structures sont données
en annexe 6.
II.4.3. Etude préliminaire de différentes structures
Afin de classer les structures qui donnent les meilleures performances, nous avons étudié, à
l'aide des modèles analytique et semi-analytique, l'ensemble des machines qui sont
représentées par les combinaisons citées dans l'annexe 6. Dans cette étude, nous nous sommes
intéressés à la distribution de l'induction magnétique dans l'entrefer, aux inductances propres
et mutuelles, au couple électromagnétique et à son ondulation. En fonction des résultats
obtenus, nous avons défini deux catégories de machines.
La première est constituée de structures, que nous appellerons symétriques, dont les mutuelles
entre l’induit et l’inducteur sont variables et de forme sinusoïdale. Les autres inductances sont
constantes. Ces caractéristiques permettent d’obtenir un couple ayant une ondulation
acceptable par rapport à la valeur moyenne.
La seconde catégorie est constituée de machines que nous appellerons dissymétriques. Dans
ces structures, outre les inductances mutuelles induit-inducteur, les autres inductances sont
également variables par rapport à la position du rotor. Par conséquent, le couple
électromagnétique généré par ces machines présente de fortes ondulations.
A titre d'illustration, nous avons retenu sur l’ensemble des machines étudiées, quatre
machines, qui représentent les particularités observées. Ces quatre machines sont
dimensionnées pour le cahier des charges établi au paragraphe II.4.1. La principale différence,
se situe au niveau de la combinaison de fonctionnement liant le nombre de dents aux polarités
des enroulements.
Dans ce qui suit, nous allons définir l'origine de ces particularités et donner les combinaisons
entre les dentures et les polarités qui permettent de les différencier. Puis, nous donnerons les
81
caractéristiques des structures étudiées et les résultats de simulation obtenus pour les
différentes grandeurs (induction, inductance et couple). On rappelle que les résultats de
simulation sont obtenus en utilisant les différents modèles proposés (analytique, semianalytiques et éléments finis). Dans un premier temps, on abordera les structures
dissymétriques puis les structures symétriques.
II.4.3.1. Particularités des structures étudiées
Dans le modèle analytique établi, les réluctances vues par chaque source de f.m.m. sont
supposées constantes. Or, dans le cas des MRV Vernier, il est possible que les différents pôles
de la structure ne voient pas la même valeur de la réluctance d’entrefer. Par conséquent, la
distribution des d.d.p.m n’a pas la même amplitude sous les différents pôles. La prise en
compte de cette possibilité a été développée lors l’élaboration du modèle semi-analytique
étendu.
Quelles soient symétriques ou dissymétriques, les structures que nous étudions répondent aux
critères des machines à simple action (Paragraphe I.5.2). Il est donc difficile, à partir du
modèle analytique développé, de les différencier.
Une possibilité consiste à utiliser un raisonnement basé sur le calcul du flux total dans
l’entrefer. Ce dernier est impérativement nul.
En utilisant le modèle analytique, développé avec l’hypothèse d’un entrefer globalement
constant (Paragraphe II.1), deux cas de figure peuvent être rencontrés :
Si le flux est effectivement nul, cela veut dire que la combinaison retenue, entre les dentures
et les polarités, est celle d’une structure symétrique.
Si le flux est non nul, cela implique que la combinaison est celle d’une structure
dissymétrique.
Dans l’hypothèse d’une perméabilité infinie du fer, l’expression du flux total dans l’entrefer
d’une structure cylindrique bidimensionnelle s’écrit :
φTe =
2π
∫ εT P(θ ,θ s ) dθ s
(2.58)
0
ε T peut représenter indifféremment les ampère-tours totaux du circuit induit ou inducteur ou
tout simplement les ampère-tours que donne un enroulement parcouru par un courant i.
Étant donné que l’hypothèse de l’invariance globale de l’entrefer est supposée vérifiée,
82
l’expression du ε T peut être donnée, s’il s’agit du circuit d’induit, par la relation (1.27) ou par
la relation (1.46) dans le cas où il s’agit du circuit d’inducteur.
En effectuant le développement basé sur le calcul de la relation (2.58), il est alors possible de
différencier les structures symétriques et dissymétriques.
Les premières vérifient, en plus des conditions citées précédemment conduisant à une
structure à simple action (paragraphe I.5.2), la relation suivante :





Nr − Ns ≠ p
et
(2.59)
N r − N s ≠ p'
Par opposition à la condition (2.59), les machines dissymétriques vérifient la relation :





Nr − Ns = p
ou
(2.60)
N r − N s = p'
En conclusion, les structures MRV Vernier excitées au stator, qui vérifient la condition (2.59),
en plus des conditions de la simple action (1.78.a) et (1.78.b), permettent d’assurer un
fonctionnement dit symétrique. Cette symétrie est interprétée par le fait que seules les
inductances mutuelles entre les circuits induit et inducteur varient en fonction de θ. Par
ailleurs, elles constituent un système triphasé équilibré. Pour simuler ces machines, on peut
utiliser les modèles analytique et semi-analytique.
Si la condition (2.59) n’est pas assurée, la machine est dissymétrique. Par conséquent, il faut
calculer pour chaque position du rotor, la distribution des d.d.p.m. (voir paragraphe II.2.2.2).
On a alors recours au modèle semi-analytique étendu.
II.4.3.2. Etude des structures dissymétriques
Parmi les combinaisons données dans l’annexe 6, nous allons choisir deux structures
dissymétriques qui feront l’objet de notre étude.
Afin de vérifier les différents modèles, nous présentons quelques résultats de simulation. Ces
résultats sont comparés à chaque fois à ceux obtenus par la méthode des éléments finis. Il est
bien entendu que le modèle numérique tient lieu de référence.
83
La méthode des éléments finis, présentée dans le paragraphe II.3, repose sur le maillage de la
géométrie. Pour avoir des résultats précis, il est recommandé de mailler finement l’entrefer
ainsi que les zones qui peuvent être fortement saturées telles que les dents. Des études
préalables [4] [64] ont démontré que la valeur moyenne du couple est très sensible à la finesse
du maillage et à la qualité de la discrétisation des domaines. Dans toutes les structures
étudiées, le maillage et la qualité des éléments sont bien pris en compte. Ceci dans le but de
limiter au maximum les erreurs que peut provoquer la discrétisation.
Structure 1
La première machine dissymétrique que nous avons étudiée, appelée M-DS1, possède les
caractéristiques indiquées dans la tableau (2.2) qui suit :
M-DS1
N r = 52
q =2
e
'
q =1
e
p cr = 7 10
−2
n = 56
m
L = 1.3 10
−1
n ′ = 98
N s = 48
p s = 3.5 10
m
D = 6.2 10
−2
m
−1
m
I = 18 A
p′ = 8
p=4
p r = 2.4 10
−2
m
p cs = 6.8 10
f x = 93.28 Hz
I′ = 5 A
−2
m
f =50 Hz
e
min
=0.3 mm
Tableau (2.2) : Caractéristiques de la machine dissymétrique 1 (M-DS1)
Les périodicités géométrique et électrique de la M-DS1 permettent de ramener le domaine
d’étude au quart de la structure.
Le maillage réalisé est représenté sur la figure (2.8.a). Il comporte 51821 éléments et 25985
nœuds au total. Sur la figure (2.8.b), nous présentons la distribution des lignes de champ
correspondant à un point de fonctionnement à vide, lorsque les trois phases d’excitation sont
alimentées, en considérant une perméabilité infinie des matériaux magnétiques.
84
A
A
-C
-C
B
B
-A
-A
C
C
-B
-B
Figure 2.8.b : Distribution du champ de M-DS1
Figure 2.8.a : Maillage de la machine M-DS1
µ fer = ∞
Les modèles semi-analytique et semi-analytique étendu permettent de déterminer la
distribution de l’induction magnétique dans l’entrefer, en prenant en compte les différents
harmoniques géométriques et cela quelle que soit la position du rotor. Par contre, ils
supposent une perméabilité infinie du circuit magnétique.
Dans le cas de la structure dissymétrique étudiée, nous montrons, sur les figures (2.9) et (2.10)
la distribution de l’induction magnétique obtenue à partir de ces deux modèles, lorsqu’on
alimente la première phase de l’induit -noté A sur la figure (2.8.b)- avec un courant continu de
1A. Enfin la figure (2.11) montre, pour le même point de fonctionnement et en supposant une
perméabilité infinie des matériaux magnétiques, l’induction obtenue par un calcul éléments
finis.
0.25
0.25
B (T)
0.15
0.15
θs
0.05
-0.05 0
B (T)
20
40
60
80
θs
0.05
-0.05 0
-0.15
-0.15
-0.25
-0.25
20
40
60
80
Figure 2.9 : Induction dans l’entrefer calculée avec le
Figure 2.10 : Induction dans l’entrefer calculée avec le
Modèle Semi-analytique (MSA)
Modèle Semi-analytique Etendu (MSAE)
85
0.25
B (T)
0.15
0.05
-0.05
θs
0
20
40
60
80
-0.15
-0.25
Figure 2.11 : Induction dans l’entrefer calculée avec la Méthode des Eléments Finis (MEF)
µ fer = ∞
Comme la structure est dissymétrique, on constate que le modèle semi-analytique, développé
avec l’hypothèse de l’invariance globale de l’entrefer, donne des résultats erronés. Par contre,
en comparant les figures (2.10) et (2.11), on constate que l’allure de l’induction est
sensiblement équivalente. Ceci montre la limite du modèle semi-analytique qui ne permet pas
d’étudier d’une manière précise le comportement d’une MRV quelconque.
Par la suite, différents calculs ont été effectués avec le modèle semi-analytique étendu et la
méthode des éléments finis en considérant toujours µ
fer
= ∞ . Nous présentons, sur les figures
(2.12) et (2.13) les inductances propres et les mutuelles inductance relatives à la première
phase de l’induit noté par « A » sur la figure (2.8.b).
Nous avons choisi la représentation des inductances relatives au circuit de l’induit, car ce
circuit en particulier ne satisfait pas la condition donnée par (2.59) contrairement au circuit
inducteur.
0.2
Inductance (H)
0.1
0.1
θteta
0
0
-0.1
Inductance (H)
0.2
5
10
15
L11
L12
L13
L14
L15
teta
θ
0
0
5
10
15
-0.1
L15
L16
L16
-0.2
Figure 2.12 : Inductances calculées avec le MSAE
L11
L12
L13
L14
-0.2
Figure 2.13 : Inductances calculées avec la MEF
µ fer = ∞
L’observation de ces résultats montre que les inductances propres varient par rapport à la
position du rotor. Par ailleurs, les inductances mutuelles ne représentent pas un système
triphasé équilibré. Ces disfonctionnements sont dus à la variation de la valeur de la réluctance
d’entrefer sous les différents pôles de la structure. Ce phénomène, issu de la relation
86
( N r − N s = p ) qui représente la condition à remplir pour des MRV homopolaires [6], définit la
dissymétrie.
Le fonctionnement à vide, à la vitesse de synchronisme, pour le régime de courant
d’excitation nominal (5A), a également été étudié. Nous représentons, sur les figures (2.14) et
(2.15) suivantes, l’allure du couple électromagnétique donnée par les deux modèles:
550
Ce(Nm)
250
450
Ce (Nm)
200
350
150
250
100
150
θ
50
50
-50 0
50
0
-50 0
100
-150
-250
-100
-350
-150
-450
-200
-550
-250
50
100
θ
teta
Figure 2.15 : Couple à vide calculé avec la MEF
Figure 2.14 : Couple à vide calculé avec le MSAE
µfer = ∞
On constate que les valeurs moyennes des deux couples sont nulles. Néanmoins, leur
ondulation présente des valeurs assez importantes. Cette ondulation est provoquée par le
déséquilibre constaté sur les inductances mutuelles.
L’étude en charge, en fonctionnement moteur, est simulée par l’alimentation des différents
circuits. Cette alimentation est effectuée pour un point de fonctionnement nominal. Les
courants dans les enroulements sont supposés parfaitement sinusoïdaux. Leurs valeurs sont
données dans le tableau (2.2) où sont définies les caractéristiques de la machine. L’angle de
charge qui donne le déphasage entre la f.e.m à vide et la tension d’alimentation est choisi de
telle sorte que la structure développe le couple maximal. Les résultats obtenus par les deux
modèles, semi-analytique étendu et éléments finis, sont illustrés par les figures (2.16) et
(2.17).
Ce (Nm)
Ce (Nm)
6500
6500
4500
4500
2500
2500
θ
500
0
10
20
30
θ
500
40
-1500
Figure 2.16 : Couple en charge calculé avec le MSAE
0
10
20
30
40
-1500
Figure 2.17 : Couple en charge calculé avec la MEF
µfer = ∞
87
Les allures du couple électromagnétique développé en charge, issues des deux modèles sont
sensiblement similaires. La forte ondulation que nous constatons sur ces couples est
provoquée principalement par l’oscillation des inductances propres du circuit de l’induit.
Structure 2
Afin de confirmer la généralisation du phénomène sur l’ensemble des structures
dissymétriques, on présente, dans ce qui suit, une seconde machine, notée M-DS2. Les
caractéristiques géométriques et électriques de cette machine sont regroupées dans le tableau
(2.3) suivant :
M-DS2
N r = 78
q =2
e
'
q =1
e
p cr = 4.7 10
n = 56
−2
m
L = 1.3 10
−1
N s = 72
p s = 3.6 10
m
D = 6.2 10
n ′ = 98
p ′ = 12
p=6
−2
−1
p r = 3.6 10
m
m
I
−2
m
f x = 115 Hz
I′ = 5 A
I = 18 A
p cs = 5.1 10
−2
m
f =50 Hz
e
min
=0.2 mm
Tableau (2.3) : Caractéristiques de la machine M-DS2
Le maillage utilisé pour cette structure et la carte de champ, obtenue pour un point de
fonctionnement à vide, sont donnés respectivement sur les figures (2.18.a) et (2.18.b). Ce
maillage possède 64321 éléments et 32267 nœuds au total.
-A
-A
A
A
Figure 2.18.a : Maillage de la machine M-DS2
Figure 2.18.b : Distribution du champ de M-DS2
µ fer = ∞
Nous représentons quelques résultats issus du calcul éléments finis en considérant une
perméabilité infinie des matériaux magnétiques. En premier lieu, figure (2.19), nous
présentons la distribution de l’induction dans l’entrefer. Cette induction est obtenue pour la
position angulaire donnée à la figure (2.18.a), lorsque la première phase de l’induit notée
88
« A » est parcourue par un courant continu unitaire.
La deuxième courbe, figure (2.20), présente les allures des inductances propres et mutuelles
relatives à la première phase du circuit de l’induit notée « A » sur la figure (2.18.b).
Les deux dernières courbes figures (2.21) et (2.22) correspondent respectivement au couple à
vide et en charge. Ces courbes sont obtenues à partir d’une alimentation en courant sinusoïdal
avec les valeurs nominales données dans le tableau (2.3).
0.3
Induction (T)
Inductances (H)
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
θs
0
0
50
100
θ
0
0
1
2
3
4
L11
L12
L13
L14
L15
L16
5
-0.1
150
-0.1
-0.2
-0.3
-0.2
Figure 2.19 : Distribution de l’induction dans
Figure 2.20 : Evolution des inductances propres et
l’entrefer obtenue avec la MEF avec µfer = ∞
mutuelles obtenues avec la MEF avec µfer = ∞
250
Ce (Nm)
Ce (Nm)
9000
150
50
-50 0
6000
θ
10
20
30
3000
-150
θ
0
0
-250
5
10
15
20
25
30
Figure 2.22 :Couple en charge calculé avec la MEF avec
avec µfer = ∞
µfer = ∞
II.4.3.3. Structures symétriques
Les MRV Vernier excitées au stator, dites symétriques, vérifient, en plus des conditions de
conversion continue de l’énergie données par les conditions (1.78.a) et (1.78.b), la condition
supplémentaire exprimée par la relation (2.59). Dans ces machines, malgré le fait que ces
structures présentent un entrefer variable, les différentes réluctances vues des deux côtés
d’une source de f.m.m. ont les mêmes valeurs. Par conséquent, la distribution des d.d.p.m est
identique et l’utilisation du modèle semi-analytique est alors possible.
89
Structure 1
La première structure étudiée, machine M-S1, est définie par les caractéristiques électriques et
géométriques regroupées dans le tableau (2.4).
M-S1
N r = 74
q =2
e
'
q =3
e
p cr = 4. 10
n = 36
−2
m
L = 18.39 10
N s = 72
p s = 2.1 10
−2
m
−2
m
−1
m
D = 4.68 10
n ′ = 333
I = 18 A
p′ = 4
p=6
p r = 1.5 10
−2
m
p cs = 5.5 10
f x = 11.67 Hz
I′ = 3 A
−2
m
f =50 Hz
e
min
= 0.3 mm
Tableau (2.4) : Caractéristiques de la machine M-S1
Le maillage de la structure ainsi que la distribution des lignes de champ pour le point de
fonctionnement nominal à vide sont représentés respectivement par les figures (2.23.a) et
(2.23.b). Pour ce maillage on compte 23427 éléments et 11775 nœuds.
Figure 2.23.a : Maillage de la structure M-S1
Figure 2.23.b : Distribution des lignes de champ de
M-S1 avec µfer = ∞
Dans le but de comparer les caractéristiques des structures symétriques par rapport aux
dissymétriques, nous allons présenter les mêmes grandeurs caractéristiques à savoir, la
distribution de l’induction magnétique dans l’entrefer, les inductances propres et les mutuelles
inductances, le couple à vide et le couple en charge.
90
0.1
0,1
B(T)
B (T)
0,05
0.05
θs
0
0
30
60
90
120
150
t(s )
0
0
180
-0.05
-0,05
-0.1
-0,1
30
60
90
120
150
180
Figure 2.24 : Distribution de l’induction dans l’entrefer
Figure 2.25 : Distribution de l’induction dans
obtenue avec le MSA
l’entrefer obtenue avec la MEF, µfer = ∞
Contrairement aux structures dissymétriques, on constate que la distribution de l’induction
dans l’entrefer, figures (2.24) et (2.25), présente la même amplitude sous les différents pôles.
Cela implique que la distribution des ampère-tours au niveau des pôles est identique.
Par ailleurs, sur les figures (2.26) et (2.27), les inductances propres et mutuelles entre les
différentes phases de l’induit sont constantes et les mutuelles entre l’induit et l’inducteur sont
de formes pratiquement sinusoïdales.
0.3
Inductance (H)
Inductance (H)
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
θ
0
0
2
4
6
8
-0.1
-0.2
10
L11
L12
L13
L14
L15
L16
θ
0
-0.1
0
2
4
6
8
L11
L12
L13
L14
L15
L16
10
-0.2
-0.3
-0.3
mutuelles obtenues avec le MSA
Ces caractéristiques confirment que les MRV Vernier symétriques ont un comportement
équivalent à celui des machines synchrones à pôles lisses.
Quant au couple électromagnétique à vide, obtenu pour le courant d’excitation nominal, défini
dans le tableau (2.4), il a des harmoniques de plus faible amplitude par rapport aux structures
dissymétriques.
91
400
400 Ce (Nm)
Ce (Nm)
200
200
θ
0
0
10
20
30
40
50
θ
0
60
0
-200
-200
-400
-400
10
20
30
40
50
60
Figure 2.28 : Couple à vide calculé avec le MSA
µfer = ∞
On constate que la valeur moyenne du couple à vide issu du calcul élément finis est
légèrement différente de zéro. Comme nous l’avions précisé, ceci est du à la discrétisation du
maillage dans la bande de mouvement (entrefer). En effet, des travaux antérieures [4] [64] ont
démontré que la valeur du couple est très sensible à la qualité du maillage.
Le fonctionnement en charge est représenté au travers des allures des couples que montrent
les figures (2.28) et (2.29). Ces caractéristiques sont obtenues avec une alimentation des deux
enroulements induit et inducteur par des courants alternatifs sinusoïdaux. Les valeurs des
courants imposés dans les enroulements, ainsi que leurs fréquences, sont données dans le
tableau (2.4). L’angle de charge est choisi de telle sorte que la machine développe son couple
maximal.
Ce (Nm)
Ce (Nm)
4500
4500
3000
3000
1500
1500
θ
0
10
20
30
40
50
θ
0
0
60
Figure 2.30 : Couple en charge calculé avec le MSA
0
10
20
30
40
50
60
Figure 2.31 : Couple en charge calculé avec la MEF
µfer = ∞
Les allures du couple (figures 2.30 et 2.31), et plus particulièrement son ondulation, mettent
en évidence la différence par rapport aux machines dissymétriques vues précédemment. La
forme du couple est plus lisse et son ondulation est acceptable par rapport à la valeur
moyenne développée.
92
Structure 2
Dans la même optique que pour les structures dissymétriques, on présente dans la suite une
deuxième structure symétrique, notée M-S2, définie par les caractéristiques données dans le
tableau (2.5) suivant :
q
e
'
q =3
e
=5
p cr = 11 10
N s = 90
N r = 88
M-S2
−2
L = 1.3 10
m
−1
p s = 1.75 10
m
D = 6.2 10
n ′ = 111
n = 50
−2
−1
I = 18 A
p′ = 5
p=3
m
m
p r = 1.65 10
−2
m
p cs = 10. 10
f x = 23.33 Hz
I′ = 5 A
−2
m
f =50 Hz
e
min
= 0.2 mm
Tableau (2.5) : Caractéristiques de la machine symétrique 2 (M-S2)
Le maillage réalisé est représenté par la figure (2.32.a). Il est constitué de 25668 éléments au
total et 1980 éléments dans la bande de mouvement. Le nombre total de nœuds vaut 12877.
Figure 2.32.a : Maillage de la structure M-S2
Figure 2.32.b : Distribution du champ de M-S2
La carte de champ obtenue pour un point de fonctionnement à vide est représentée sur la
figure (2.32.b).
Comme dans le cas de la structure symétrique précédente, la valeur maximale de l’induction
sous un pôle de la machine M-S2 est constante quel que soit le pôle considéré (figure 2.33).
Par ailleurs, les inductances propres et les mutuelles relatives à la première phase de l’induit
figure (2.34) sont constantes. Les mutuelles induit-inducteur sont équilibrées et proches des
formes sinusoïdales.
93
0.2
B (T)
Inductance (H)
0.2
0.1
0.1
θθs s
0
θ
0
0
72
144
216
288
360
0
-0.1
-0.1
-0.2
-0.2
2
4
6
8
L11
L12
L13
L14
L15
L16
10
Figure 2.33 : Distribution de l’induction dans l’entrefer
obtenue avec la MEF, µfer = ∞
Les deux couples, à vide figure (2.35) et en charge figure (2.36) sont également très proches
des formes d’ondes observées pour la structure M-S1, avec, malgré tout, une ondulation plus
élevée.
200
Ce (Nm )
Ce (Nm)
6000
100
θ
0
0
10
20
30
40
50
60
3000
-100
θ
0
-200
0
Figure 2.35 : Couple à vide, MEF µfer = ∞
10
20
30
40
50
60
Figure 2.36 : Couple en charge, MEF µfer = ∞
Suite à cette analyse comparative entre les structures dites dissymétriques et symétriques, on
peut confirmer l’amélioration qu’apporte la condition supplémentaire donnée par la relation
(2.59) sur les performances d’une structure à réluctance variable Vernier.
On rappelle que toutes les structures étudiées sont de type à simple action. La seule différence
entre les machines définies comme symétriques et dissymétriques, réside dans la vérification,
ou pas, de la relation (2.59). Cette condition, qui assure la symétrie, engendre des structures
dont la réluctance sous les différents pôles est constante.
Synthèse
Les machines dites dissymétriques conduisent à des couples électromagnétiques avec de
fortes ondulations. Ces dernières sont liées au choix de la denture ( N r et N s ) et de la polarité
(p et p’).
94
Les conditions par lesquelles on aboutit à une possibilité de conversion électromécanique de
l’énergie, citées dans le paragraphe I.5.2 sont nécessaires mais non suffisantes à la conception
d’une bonne machine.
La condition de « symétrie » donnée par la relation (2.59) doit être prise en compte. Elle
permet d’améliorer notablement les performances de la structure choisie notamment la
symétrie qui peut être interprétée comme étant une réluctance d’entrefer inchangée sous les
différents pôles de l’induit et de l’inducteur.
II.5. Conclusion
Nous avons développé dans ce chapitre les modèles nécessaires à la simulation des machines
à réluctance variable de type Vernier. Le premier modèle appelé modèle analytique a permis,
en ne considérant que les termes fondamentaux, d’exprimer les différentes grandeurs
caractéristiques notamment les inductances propres, les mutuelles inductances, les flux, les
couples… Les résultats obtenus ont montré que les MRV Vernier se comportent comme les
machines synchrones classiques.
Afin d’étudier d’une manière plus approfondie les structures MRV Vernier, nous avons
développé un deuxième modèle que nous avons appelé « modèle semi-analytique ». Dans ce
dernier, les harmoniques structurels liés à la géométrie de l’entrefer et à la distribution des
enroulements sont pris en compte. Ce modèle suppose par contre une perméabilité infinie des
circuits magnétiques et une invariance au niveau des réluctances d’entrefer sous les pôles.
Nous avons démontré, via l’étude de deux types de structures, que ce modèle convient aux
machines classées comme étant symétriques. Cette symétrie est définie du fait que la
réluctance sous un pôle est invariante.
Le troisième modèle développé est appelé « modèle semi-analytique étendu ». Dans ce
dernier, la variation des réluctances dans l’entrefer est prise en compte. La perméabilité du
circuit magnétique est toujours supposée infinie. Ce modèle convient aux structures dites
dissymétriques.
95
CHAPITRE III
ETUDE SUR LA MINIMISATION
DES
ONDULATIONS DU COUPLE
CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple
Introduction
Généralement, les dispositifs électromécaniques sont dimensionnés à partir d’équations
analytiques classiques avec des hypothèses simplificatrices. Ces équations ont été améliorées
dans le temps par retour d’expériences sur les différents dispositifs construits. Cependant, de
par son caractère limité et la diversité de plus en plus grande des applications projetées, cette
connaissance pratique ne permet pas toujours d’optimiser toutes les caractéristiques
géométriques.
Depuis quelques années, les recherches s’orientent vers l’optimisation de dispositifs
électromagnétiques par le biais de différentes approches. Ces dernières sont plus ou moins
contraignantes et précises. En effet, les paramètres à optimiser sont souvent interdépendants et
il est difficile de trouver la solution optimale prenant en compte les différentes interactions.
En fait, trouver la solution optimale d’un problème dans un espace complexe implique un
compromis entre deux objectifs : l’exploitation des meilleures solutions et l’exploration
robuste de l’espace de recherche. Les méthodes de type grimpeur procèdent itérativement en
tentant, à chaque pas, de trouver localement une solution intermédiaire meilleure que la
solution courante ; ce genre de méthode est pénalisé par son incapacité à traiter des problèmes
représentant des reliefs de solutions multimodales (système possédant plusieurs optimas
locaux).
Parmi les différentes méthodes probabilistes d’optimisation (méthode des plans d’expérience,
méthode de Monte-Carlo….), les algorithmes génétiques (AG) représentent une stratégie de
recherche réalisant un compromis équilibré entre l’exploration de l’espace de recherche et
l’exploitation des meilleures solutions. Des analyses théoriques ont montré que les
algorithmes génétiques gèrent ce compromis de façon optimale [65]. C’est principalement ce
critère qui nous a amené à adopter cette méthode pour l’optimisation de notre machine à
réluctance variable. Avant d’aborder les grandeurs à optimiser, nous présenterons quelques
définitions ainsi que le principe de l’optimisation par algorithme génétique.
III.1. Définitions
L’optimisation par algorithme génétique prend son origine dans les mécanismes de la
sélection naturelle et la génétique de l’évolution. Cette méthode a été mise en œuvre par J.H.
Holland dans les années 70 [66]. Comme son nom l’indique, elle est basée sur la traduction
96
mathématique des phénomènes naturels qui sont la reproduction des espèces, la survie et
l’adaptation des individus. Cette traduction est exploitée pour la résolution de problèmes
nécessitant l’optimisation d’une fonction ou d’un système dépendant de plusieurs paramètres
et qui ont besoin d’être calculés pour un critère bien défini (maximisation, minimisation, …).
Les principales caractéristiques relatives à cette technique se concentrent autour des quatre
points suivants [65,67]:
le parallélisme : l’algorithme génétique travaille en parallèle sur un certain nombre de
candidats et non pas sur un candidat unique. La méthode de recherche est globale et
couvre tout l’espace de recherche .
l’algorithme génétique peut manipuler des entités qui ne sont pas forcément numériques
(un exemple est traité plus loin), à condition que les points de cet espace soient toujours
constitués d’un ensemble d’entités élémentaires.
L’utilisation minimale d’informations : il n’a besoin que de la mesure d’adéquation (la
qualité d’une solution), il ne repose sur aucune autre information, par exemple des dérivés
ou hypothèses telles que la continuité et la différentiabilité. Il ne requiert qu’une capacité à
classer les solutions entre elles.
L’utilisation de règles probabilistes plutôt que déterministes dans l’exploration de l’espace
de recherche. L’introduction du hasard est très bénéfique pour l’optimisation de fonctions
présentant plusieurs optima et aussi en cas de fonction non permanente (déplacement ou
changement des optima au cours du temps).
Ces caractéristiques donnent à la technique d’optimisation par algorithme génétique, une
grande capacité pour localiser la niche de l’optimum global [67].
III.2. Principe de fonctionnement
L’algorithme génétique constitue une méthode d’optimisation robuste. Il peut résoudre, avec
fiabilité, des fonctions représentant des reliefs de solution réputés très difficiles pour les
méthodes d’optimisation classiques (Simplex, le plus fort gradient … ). Les fonctions
réputées difficiles sont des fonctions qui présentent plusieurs optima locaux, des fonctions
discontinues ou des fonctions à plusieurs dimensions où les méthodes ordinaires ne peuvent
pas prendre en compte l’effet d’interaction entre tous les paramètres. Cette méthode de
recherche globale est une méthode itérative dont le but est d’optimiser une fonction définie
par l’utilisateur appelée fonction objectif ou fonction d’adéquation. Pour atteindre cet objectif,
97
l’algorithme travaille en parallèle sur une population de points candidats appelés individus ou
chromosomes qu’on note I, chaque individu est constitué d’un ensemble d’éléments appelés
gènes notés xn figure (3.1.a). Dans l’algorithme génétique de base, tel qu’il a été fondé par
Holland, les gènes sont formés de 1 et 0. Dans ce cas, chaque valeur réelle xn est codée par
son équivalent en binaire et l’individu obtenu est représenté par une chaîne codée de plusieurs
gènes représentant une solution particulière pour la fonction objectif figure (3.1.b).
I:
I:
X1
X2
X3
1011 0001 1100
…
…
Xn
(3.a)
1001
(3.b)
Figure 3.1 : Représentation d’un individu; codage réel (3.1.a), codage binaire (3.1.b)
De nouvelles versions d’algorithme génétique sont apparues. Elles ne se basent plus sur le
codage binaire mais elles travaillent directement sur les paramètres réels.
Ces versions, appelées algorithmes génétiques codés réels, offrent d’une part l’avantage
d’accélérer la recherche et d’autre part de rendre plus facile le couplage avec d’autres
méthodes d’optimisation. Ce codage est de plus en plus répandu [65][68] et c’est la solution
que nous avons retenue pour notre application.
Le but de l’algorithme génétique est de chercher la combinaison optimale des gènes
constituant l’individu, qui donne lieu à la meilleure adéquation. A chaque itération, appelée
génération, est généré une nouvelle population avec le même nombre d’individus. Cette
population est mieux adaptée à l’environnement tel qu’il est représenté par la fonction objectif
et les critères de l’optimisation (maximisation, minimisation, …). Plus on progresse dans les
générations, plus les individus vont devoir tendre vers l’optimum de la fonction objectif.
Le passage d’une génération à l’autre s’effectue en trois étapes, évaluation puis sélection et
enfin reproduction avec des opérateurs de croisement puis de mutation. Dans la suite, nous
allons développer ces trois étapes.
III.3. Evaluation
L’algorithme génétique évalue une population d’individus qui forme la génération courante
qu’on appelle ( Gt ). Les individus les plus forts, au sens des critères de la fonction objectif,
98
auront théoriquement plus de descendants, que les autres individus, dans la génération qui
suit, donc ( Gt +1 ). Si l’on transpose dans un sens mathématique, l’algorithme génétique évalue
la fonction d’adéquation que nous notons (F) pour chaque individu (I) de la population
courante P(Gt ) . Suivant les critères de l’optimisation, un classement entre individus sera
effectué et les meilleurs, qui répondent le mieux aux critères de la fonction objectif, auront
une probabilité de reproduction (clonage) plus importante que les autres. C’est cette
information qui guidera l’algorithme génétique vers les meilleurs individus.
On doit faire attention aux probabilités de reproduction attribuées aux différents individus,
dans le sens où, si un individu est très supérieur à la moyenne, il constituera presque
exclusivement la population suivante et on perdra toute diversité d’où un risque de
convergence prématurée. S’il y a très peu de différence entre les qualités d’adéquation des
individus, la recherche stagnera et se comportera comme une «promenade aléatoire ». Si le
critère est une maximisation, pour éviter ces deux éventualités (convergence prématurée ou
promenade aléatoire) une solution consiste à ranger les individus par ordre décroissant de leur
fonction d’adéquation. Dans le cas contraire, les individus sont rangés par ordre croissant.
Une probabilité de sélection pi est attribuée à chaque individu selon son rang par la relation
suivante [65]:
pi =
Psel (n p − 1) − (ri − 1)(2 Psel − 2 )
n p (n p − 1)
(3.1)
la quantité ri représente le rang de l’individu i, np le nombre d’individus et Psel la pression de
sélection. Psel appartient à l’intervalle [1 , 2] et représente le nombre moyen d’enfants du
meilleur individu. La quantité n p i donne le nombre moyen d’enfants pour chaque individu
du rang i.
Cette stratégie de sélection, appelée sélection par rangement, permet d’assurer un changement
d’échelle dynamique non linéaire. C’est cette méthode que nous avons utilisée, dans notre
outil de calcul AG, pour sa robustesse et sa simplicité.
III.4. Sélection
Suivant les probabilités de reproduction données aux individus, au moment de l’évaluation,
99
on fera la sélection stochastique des individus pour construire une population intermédiaire,
notée P ′(Gt ) , toujours constituée de np individus. On procèdera suivant le principe de « la
roue de la fortune », la roue est lancée autant de fois qu’il y a d’individus (np fois).
Autrement dit, les meilleurs individus, qui répondent au mieux à la fonction d’adéquation,
vont construire théoriquement la plus grande partie de la population intermédiaire P ′(Gt ) .
III.5. Reproduction avec croisement et mutation
Une fois l’étape de sélection achevée, l’algorithme génétique poursuit sa recherche par
l’application des opérateurs de croisement et de mutation. L’opérateur de croisement joue le
rôle de recombinaison et d’échange entre certains individus. Quant à l’opérateur de mutation,
il modifie « localement » un individu en changeant sa composition.
Un pourcentage de la population intermédiaire sélectionnée P ′(Gt ) sera soumis au
croisement. Ainsi, l’opérateur de croisement choisit au hasard, et avec une probabilité fixée
qu’on note p c , deux individus (deux parents) parmi cette population intermédiaire. Il
construit alors deux enfants en faisant l’échange de certains gènes choisis aléatoirement d’un
parent avec ceux de l’autre. Les deux enfants issus de ce croisement sont injectés dans la
population que l’on note P ′′(Gt ) . Cette dernière sera alors constituée d’un pourcentage
d’enfants issus du croisement. Le reste est issu directement de la population P ′(Gt ) sans
aucune modification. Le nombre total d’individus dans P ′′(Gt ) est toujours égal à np
individus.
Il existe plusieurs types d’opérateurs de croisement. Nous donnons dans ce qui suit, ceux qui
sont utilisés dans notre outil de calcul AG développé.
Le croisement un point ou discret : Pour ce type de croisement, on choisit au hasard "un
site de coupe" entre les deux parents qui permet de définir les gènes à croiser figure (3.2).
Un site de coupe
I 1:
X11 X12 X13
X14 X15 X16
I'1:
X11 X12 X23 X24
X25 X26
I 2:
X21 X22 X23
X24 X25 X26
I'2:
X21 X22 X13 X14
X15 X16
Figure 3.2: Croisement un point (exemple d’un individu à six gènes)
100
Croisement deux points : dans ce croisement deux sites de coupe sont introduits au hasard
entre les deux parents. Les gènes se trouvant entre les deux sites de coupe sont échangés
respectivement entre les deux individus (parents) pour former les deux enfants.
Croisement continu ou uniforme : Ce croisement effectue une opération de type moyenne
sur certains gènes des parents. Chaque gène a une chance sur deux d’être moyenné avec
son homologue chez l’autre parent, voir figure (3.3).
Position aléatoire du croisement continu
I 1:
X11 X12 X13 X14
X15 X16
I'1:
(X11+ X21)/2 X12 X13
X14 (X15+ X25)/2 X16
I 2:
X21 X22 X23 X24
X25 X26
I'2:
(X11+ X21)/2 X22 X23
X24 (X15+ X25)/2 X26
Figure 3.3: Croisement continu (uniforme)
Croisement arithmétique : Ce type de croisement est proche du croisement continu. On
choisit aléatoirement des positions d'échange puis on effectue une moyenne arithmétique
pondérée par un coefficient a [67]. Soient, pour la figure (3.3), les deux nouveaux gènes :
Y11 = a X 11 + (1 − a ) X 21 et Y21 = (1 − a ) X 11 + a X 21
(3.2)
qui remplacent X 11 et X 21 . La valeur de a est générée aléatoirement dans l’intervalle [0 , 1] .
On note que si a = 0.5 , on retrouve le croisement continu.
On peut aussi, d’après [69], appliquer une autre loi de croisement. Les gènes qui se trouvent
par exemple dans les sites de croisement X 11 et X 21 , sont remplacés respectivement par :
X 11 + a ( X 21 − X 11 ) et X 21 + a ( X 11 − X 21 )
(3.3)
Une fois l’étape de croisement achevée, on applique la procédure de mutation. Chaque gène
des individus de la population P ′′(Gt ) peut subir une mutation avec une probabilité fixe notée
p m . L’opérateur de mutation agit donc en modifiant aléatoirement un ou plusieurs gènes d’un
individu. La valeur du gène muté est remplacée par une autre appartenant au même domaine
de variation. Pour ce faire, on considère les individus choisis aléatoirement, parmi les
101
individus de la population P ′′(Gt ) , qui sont soumis à l’opérateur de mutation. Pour chacun
de ces individus, on choisit également aléatoirement des gènes qui vont subir une
modification. Les gènes qui mutes subissent, dans le cas de notre outil de calcul AG, l’un des
opérateurs de mutation ci dessous.
Mutation uniforme : Pour chaque gène qui mute, on prend deux nombres s et r. Le
premier « s » peut prendre les valeurs +1 ou –1 pour un changement positif (resp. négatif).
Le second « r » détermine l’amplitude du changement. C’est un nombre généré
aléatoirement dans l’intervalle [0 1]. Dans ces conditions, le gène X ′j qui remplace le
gène qui mute X j est calculé à partir de l’une des deux relations suivantes [65] :
G
(1− t ) 5 

GF


− X j ) 1− r




si
s =1
(3.4)
G
(1− t ) 5 

G
X ′j = X j − (X j − X min ) 1 − r F 




si
s = −1
(3.5)
X ′j = X j + (X max
où X min et X max désignent respectivement les limites inférieure et supérieure de la valeur du
paramètre X j et G F ≤ GT représente la génération pour laquelle l’amplitude de la mutation
s’annule. A partir de cette génération, les individus ne subissent plus de mutation et
l’exploration du reste de l’espace de recherche est assurée uniquement par l’action de
croisement.
Mutation non uniforme : on peut remplacer directement la valeur du gène qui mute, par
exemple x j , par une autre valeur prise aléatoirement dans l’intervalle [ X min
X max
] . Il
j
j
existe un autre type de mutation non uniforme : Dans ce cas, la valeur mutée X ′j du gène
X j est donnée par la formule [67] :
 X j + ∆ (t , y )

X ′j = 
ou
 X − ∆ (t , y )
 j

G
∆ (t , y ) = y r 1 − t
 GF
(3.6)



b
(3.7)
102
Dans cette expression, y peut prendre les valeurs ( X max
− X j ) ou ( X j − X min
) à condition
j
j
que le résultat de l’opération ne sorte pas de l’intervalle [ X min
j
X max
]. Comme dans
j
l’expression (3.4), le paramètre r représente un nombre aléatoire avec 0 < r < 1 . b est un
paramètre qui définit le degré de non uniformité. La fonction ∆ (t , y ) renvoie, d’une façon
aléatoire, un nombre dans l’intervalle [0 y ]. Elle permet de réaliser une recherche uniforme
dans les premières générations, et plus pointue au fur et à mesure que l’on avance.
D’autres lois peuvent être utilisées pour calculer l’évolution des gènes en mutation. Dans
la référence [69], le gène X j est remplacé par X ′j par la relation suivante :
X ′j = X j ± ∆ X j
(3.8)
Avec :
∆ X j = ( X max − X min ) . 2 − k r
la quantité k est une constante souvent prise égale à 16 [69].
Après la mutation, les individus constitueront la nouvelle population P(Gt +1 ) de np individus
qui donne naissance à la nouvelle génération. Le cycle continue : évaluation, sélection,
reproduction (croisement et mutation), évaluation, etc. jusqu'à la dernière génération fixée.
Il y a donc quatre paramètres de base qui doivent être fixés pour assurer le fonctionnement
d’un AG : le nombre d’individus dans la population np, la génération maximale GT , les taux
de croisement p c et de mutation p m . Trouver de bonnes valeurs à ces paramètres est un
problème souvent délicat [65]. Les valeurs de np et GT dépendent fortement du problème à
optimiser (en particulier le nombre de gènes de chaque individu).
Nous résumerons, par l’organigramme de la figure (3.4), l’ensemble des étapes permettant
d’effectuer une optimisation avec l’algorithme génétique.
103
(1)
Transformation de l’espace de
recherche en un ensemble
d ’individus
(2)
Initialisation aléatoire d ’une
population P(Gt) de np individus
(3)
Calcul de la fonction objectif
(fonction à optimiser) pour chaque
individu de la population P
(4)
Evaluation des individus suivant
les critères de l’optimisation.
(mesure de l’adaptation)
(5)
Génération d’une nouvelle
individus formée des
P’(Gt) de np population
copies des individus appelés à se
reproduire.
(6)
Application des opérateurs de
croisement sur X% de la
population P’(Gt) choisie
aléatoirement
(7)
Application des opérateurs de
mutation sur Y% de la population
P’(Gt) choisie aléatoirement
(8)
Nouvelle population P’(Gt+1) de np
individus
On est à la dernière
génération
Non
Oui
Fin
Figure 3.4 :Les différentes étapes de l’algorithme génétique
Dans l’outil de calcul AG que nous avons développé, nous avons appliqué [65-69] quatre
types d’opérateurs de croisement, qui sont appelés : un point ou discret, deux points, continu
ou uniforme et arithmétique, et trois types d’opérateurs de mutation appelés : uniforme et non
104
uniforme. Chaque type d’opérateur, qu’il soit de croisement ou de mutation, intervient selon
une probabilité que l’on fixe.
Il est à noter que nous avons procédé au maintien intégral du meilleur individu de chaque
génération dans la génération qui suit.
III.6. Validation
Dans le but de tester l’efficacité de l’algorithme génétique développé, nous avons pris deux
exemples d’application. Le premier concerne une fonction mathématique de k dimensions
dont on cherche le maximum pour k = 10 . Cette fonction a fait l'objet d'une étude détaillée
dans la référence [65], à savoir que cet optimum a été déjà calculé dans la même référence.
Dans le second exemple, l’algorithme génétique a été couplé avec la méthode des éléments
finis pour étudier un système électromagnétique.
III.6.1. Exemple mathématique
Le premier exemple traité, indépendamment du domaine de l’électrotechnique, représente la
famille de fonctions mathématiques introduites par Michalewicz [65] définie par :
2
n
f (x ) = ∑ sin ( xi ) sin
i =1
2m
ix
( i )
π
(3.9)
Avec :
xi ∈ [0 π ]
Cette famille de fonctions possède de nombreux maxima locaux, le nombre total des optima
locaux est proportionnel à n et vaut n !, par exemple pour n = 10 , on trouvera 3628800
optima locaux.
Plus la valeur de m est grande, plus la recherche devient difficile, pour m = 10 les valeurs de
la fonction pour les points en dehors des pics étroits donnent peu d’informations sur la
position du maximum global. La fonction (3.9) a été optimisée pour n = 10 et pour trois
valeurs du paramètre m = 1,10,100 qui représentent des valeurs donnant des caractéristiques
fonctionnelles très différentes .
105
Les valeurs trouvées par notre outil de calcul AG sont comparées aux résultats données par
[65] dans le tableau (3.1). Sachant que ces résultats ont été obtenus à partir de 50 exécutions
de l’outil de calcul AG avec des points initiaux choisis aléatoirement.
Suite à la nature délicate de cette fonction test, nous avons choisi, pour l’exécution de l’outil
AG développé, un nombre très élevé de génération GT . Ce paramètre a été fixé à 1000. En ce
qui concerne le nombre d’individus n p , nous avons testé d’une manière progressive plusieurs
valeurs. Les meilleurs résultats ont été obtenus pour n p = 100. Dans le but d’accélérer la
recherche, tout en gardant une diversité des individus dans chaque génération, nous avons
choisi pour la pression de sélection Psel , la valeur de 1.5. Quant aux probabilités de
croisement pc et de la mutation p m , nous les avons fixées respectivement à : 0.9 et 0.13. Ces
valeurs impliquent que l’exploration du domaine de recherche est basée plus sur le croisement
entre les individus que sur leur mutation. Un choix de pc >> p m est largement conseillé dans
la bibliographie de l’algorithme génétique [65-69].
m=1
m=10
m=100
Référence
9.704
9.660
9.655
f( x )
9.704
9.515
9.508
Tableau (3.1): résultats de l'optimum issus à partir de l'évaluation de la fonction f.
III.6.2. Bobine à noyau de fer
Dans le second exemple, nous avons couplé l’outil AG développé à la méthode des éléments
finis précédemment décrite. Ce couplage a permis de traiter un exemple d’électrotechnique à
savoir une structure statique qui représente une bobine à noyau de fer avec deux entrefers,
comme indiqué sur la figure (3.5). On place au milieu des deux entrefers fixés ( e = 5 mm )
une pièce ferromagnétique. Le matériau constituant la culasse de la bobine ainsi que la pièce
située dans l’entrefer sont supposés avoir une caractéristique magnétique linéaire.
L’objectif de l’optimisation est de rendre maximale et uniforme l’induction, au niveau des
entrefers notés A et B sur la figure (3.5), avec un minimum de volume pour la pièce
ferromagnétique. Dans cette étude, on suppose la structure invariante suivant l’axe « z », ce
qui conduit à un modèle 2D.
106
y
a1
A
Domaine de la pièce
ferromagnétique
B
a5
a2
a3
a4
a6
x
a1 =68 mm, a2 =400 mm , a3 =400 mm, a4 =230 mm, a5 =198 mm, a6 =60 mm
Figure 3.5 : Bobine à noyau de fer (structure à optimiser)
Un des points délicats de l’optimisation est de regrouper tous les paramètres à optimiser sous
forme d’une fonction objectif noté F. Sur l’exemple défini, nous avons imposé deux
contraintes : maximisation de l’induction et minimisation du volume de la pièce
ferromagnétique. Pour cet exemple, la fonction objectif s’obtient relativement facilement. Elle
peut s’écrire :
F = B moy ( 1 −
S
)
ST
(3.10)
où Bmoy représente l’induction moyenne dans les entrefers (A et B), S la section de la pièce
ferromagnétique dans le plan (x,y) et S T la section de l’entrefer ( 0 ≤ S ≤ S T ).
Il est à noter que l’écriture de la fonction objectif devient beaucoup plus délicate en présence
de plusieurs critères.
On rappelle ici que la solution pour cet exemple est évidente, on n’a guère besoin d’utiliser
une méthode d’optimisation pour répondre à un tel problème, mais le but est de montrer, par
un exemple électrotechnique simple et facilement analysable, l’efficacité de l’optimisation par
l’algorithme génétique et ses limites d’utilisation.
Dans un premier temps, nous avons décomposé la pièce ferromagnétique en 15 zones de
tailles égales, qui peuvent être considérées indépendamment comme du fer ou de l’air.
L’algorithme génétique va donc manipuler des chaînes constituées de 15 entités (gènes). On
107
associe à chaque entité un paramètre pouvant prendre la valeur ± 1 suivant qu’il s’agisse de fer
ou d’air. Du fait du couplage de l’AG avec la MEF , les temps de calculs sont très élevés.
Pour les limiter, nous avons choisi un nombre d’individus np plus faible par rapport à
l’exemple précédent (np = 25). Dans la même optique, le nombre de génération GT a été
limité à 500. Pour les probabilités, plusieurs tests ont été effectués. Nous avons choisi une
probabilité de 0.9 pour le croisement et une probabilité de 0.4 pour la mutation. La pression
de sélection Psel , quant à elle, a été fixée à 1.3.
Le maillage de la structure est constitué de 2486 éléments et 1209 inconnues. Le calcul a été
effectué en prenant 500 spires parcourues par un courant continu de 10 A et une perméabilité
µ r = 100 µ 0 .
Le résultat du calcul a donné une valeur moyenne de l’induction égale à 0.2353 Tesla et pour
la pièce ferromagnétique une section de 21.16 10-3 m2 .
Sur la figure (3.6), nous avons représenté la forme de la pièce. La distribution de l’induction
est donnée sur la figure (3.7).
Figure 3.6 : Géométrie optimale de la pièce
Figure 3.7 : Distribution de l’induction
ferromagnétique
magnétique
Dans cet exemple, nous constatons que l’algorithme génétique a convergé vers l’optimum
global. Ce résultat était prévisible étant donné que le système ne présente pas une grande
difficulté pour l’algorithme génétique. En effet, la longueur des chaînes manipulées (15
gènes) est relativement faible.
Afin de tester l’efficacité de notre outil de calcul AG, nous avons effectué un deuxième test en
décomposant la pièce ferromagnétique en 90 entités. Dans ce cas, chaque individu sera
108
constitué d’une chaîne comprenant 90 gènes (soit 6 fois plus que pour le test précédent). Pour
ce deuxième calcul, les différentes probabilités ont été gardées constantes par rapport au
calcul précédent ( p c = 0.9, p m = 0.4 et Psel = 1.3). Par contre, de par le nombre de gènes à
manipuler, nous avons augmenté les valeurs de np et de GT ( n p = 30 et GT = 1500).
Avec ce second calcul, les résultats obtenus pour l’induction moyenne et la section de la pièce
ferromagnétique sont respectivement 0.2085 T et 14.62 10-1 m2. A titre d’information, ce
résultat a été obtenu pour la dernière génération fixée. Le temps du calcul, sur une station
Digital 300 MHz, est de l’ordre de 5 jours.
La figure (3.8) représente la forme de la pièce obtenue et la distribution de l’induction
magnétique figure (3.9).
Figure 3.8 : Géométrie optimale
Figure 3.9 : Distribution de l’induction
Sur la figure (3.8), on constate que la pièce proposée n’est pas d’un seul tenant. Cela est dû au
fait qu’aucune contrainte, relative à cette possibilité, n’est imposée dans la fonction objectif.
Néanmoins, cette solution s’approche de la solution à laquelle on peut s’attendre, à savoir une
section droite étroite, allant directement d’un entrefer à l’autre, qui permet de maximiser la
fonction objectif F.
Afin d’améliorer la structure, il est possible d’ajouter une seconde boucle avec un
« grimpeur » [65] qui se lance à la fin de l’exécution de l’algorithme génétique. Ce grimpeur
permet d’améliorer la solution obtenue. Cependant, pour notre étude, nous n’avons pas eu
recours à cette possibilité.
109
III.7. Application au cas de la MRV Vernier
III.7.1. Présentation de la structure retenue pour l’optimisation
Dans le chapitre II, nous avons étudié 4 MRV de type Vernier dimensionnées pour une
puissance de 10 kW. Parmi ces machines, deux étaient dissymétriques et les deux autres
symétriques.
Dans l’optique de la réalisation d’un prototype d’essais, permettant l’étude des performances
réelles, nous allons, dans la suite du mémoire, étudier une nouvelle structure différente de
celles présentées au chapitre II et dont la puissance active serait de 1,2 kW. Les autres
grandeurs du cahier des charges (grandeurs électriques et vitesse de rotation), définies dans le
paragraphe II.4.1, sont maintenues.
Cette structure retenue, notée machine finale (M-F), est une MRV à simple action
symétrique. Elle répond donc aux conditions citées dans les paragraphes I.3.3.1.2 (conditions
de la simple action) et II.4.3.1 (conditions de la symétrie).
Comme nous l’avons défini dans le paragraphe I.5.2, il serait judicieux de choisir des
structures qui sont excitées avec des fréquences faibles à la vitesse de fonctionnement désirée.
Cela permet de limiter les pertes fer.
Pour la vitesse de rotation fixée par le cahier des charges (50 tr/min), on ne retient en fin de
compte que 71 sur 93 structures qui présentent la symétrie et qui nécessitent une fréquence
d’excitation inférieure à 100 Hz. Ces structures sont représentées en grisé dans l’annexe 6.
Dans la suite, nous allons introduire deux prototypes virtuels. Le premier, appelé M-F de base
(M-FB), est issu des règles de dimensionnement données au chapitre I. Il aura donc les
caractéristiques de la machine avant l’optimisation. Le second prototype, appelé M-F optimisé
(M-FO), est déduit du premier après optimisation par l’algorithme génétique.
En se basant sur la méthode de dimensionnement proposée dans le paragraphe I.5, et en tenant
compte des recommandations citées dans le paragraphe I.5.2, on aboutit au prototype de base.
Ses caractéristiques géométriques et électriques sont définies dans le tableau (3.2) :
110
Prototype de base
M-FB
N r = 70
qe = 3
q'e = 2
pcr = 8.7 10
−2
n = 186
m
L = 1.15 10
−1
p=4
N s = 72
p s = 2.27 10
m
D = 29.48 10
−2
m
−2
m
I = 3.6 A / 50 Hz
n ′ = 450
p r = 2.18 10
e
min
=3.10
−4
p′ = 6
−2
m
p cs = 6.1 10
m
I ′ = 1 A / 8.33 Hz
−2
m
rdr = 0.42
rds = 0.42
Tableau (3.2) : Caractéristiques de la machine finale de base (MF-B)
III.7.2. Critères de l’optimisation et paramètres à optimiser
Dans la conception des machines électriques, on cherche souvent à maximiser la valeur
moyenne de la puissance massique en ayant un minimum d’ondulations au niveau du couple
électromagnétique développé. Généralement, pour optimiser ces deux critères, on agit sur des
paramètres purement géométriques [70] liés aux deux culasses rotorique et statorique.
Les MRV Vernier sont connues par leur niveau de saturation très élevé par rapport aux autres
machines classiques. Cette saturation concerne les parties ferromagnétiques qui présentent des
sections faibles par rapport à l’amplitude du champ. Dans la machine étudiée, les éléments
susceptibles d’être saturés sont les dentures du rotor et du stator. Il serait préférable, dans
l’absolu, d’avoir les largeurs des dents ( lds et ldr , figure (3.10)) les plus élevées possibles.
Cependant, pour un diamètre donné, cette solution diminuerait l’amplitude de la perméance
d’entrefer et donc l’effet réluctant de la machine. Pour maintenir le même effet réluctant, il est
possible d’augmenter le diamètre mais ceci aboutirait, pour un volume fixe, à une machine
dont les effets tridimensionnels seraient trop importants.
Stator
ls
p
Pss
l ds
l es
l dr
ler
Pprr
lr
Rotor
Figure 3.10 : Paramètre géométrique à optimiser
111
Le rapport entre le diamètre d’alésage et la longueur utile est généralement lié à la vitesse
périphérique de la machine [45-46]. Pour de faibles vitesses, comme dans le cas de la
structure étudiée, la contrainte de la vitesse périphérique ne constitue pas un problème et
donc, pour un volume donné, il est possible de choisir un diamètre très élevé. Cependant, ce
dernier doit être limité afin d’éviter des pertes considérables au niveau des têtes de bobines.
Dans notre cas, nous avons toléré jusqu’à 50% de conducteur dans les têtes de bobines. Ce
critère permet de limiter le diamètre d’alésage.
Le deuxième paramètre à optimiser est la profondeur des encoches du rotor pr -voir figure
(3.10). Le rotor ne possédant pas de bobinage, il est préférable d’avoir pour cette profondeur
la valeur la plus faible possible tout en ayant la variation de la perméance d’entrefer la plus
élevée. Cela a pour conséquence de réduire le volume des dents rotoriques et donc les zones
susceptibles d’être fortement saturées. Quant à la profondeur des encoches statoriques ps, elle
est déterminée à partir du calcul des ampère-tours. Ces derniers déterminent la section de
l’encoche et par conséquent la grandeur ps. Le calcul de cette grandeur est explicitée dans le
paragraphe I.5.5 relatif au dimensionnement de la structure.
Les deux derniers paramètres à optimiser sont les ouvertures dentaires au rotor rdr = l dr / λ r et
au stator rds = l ds / λ s . Des études [47,71,84] ont démontré que l’ondulation du couple
électromagnétique est très sensible à ces ouvertures. Nous allons donc les optimiser à l’aide
de l’algorithme génétique.
III.7.3. Démarche de l’optimisation
Malgré la fiabilité de la méthode des éléments finis comme outil de calcul, son utilisation
dans l’optimisation de la structure présente un certain nombre de difficultés. En effet, à
chaque fois qu’un paramètre géométrique varie, il faut reconstruire une nouvelle géométrie et
la remailler de nouveau. Ceci nécessite, pour l’instant, des temps de calculs prohibitifs.
Par conséquent, même si on effectue des hypothèses simplificatrices, nous utiliserons le
modèle semi-analytique dans notre démarche d’optimisation pour calculer les ouvertures
dentaires rds et rdr et la profondeur pr. Les performances du prototype optimisé obtenu
seront comparées à celles du prototype de base en utilisant les modèles semi-analytique et
éléments finis.
112
III.7.3.1. Détermination du diamètre d’alésage
A la vitesse de rotation fixée par le cahier des charges, la vitesse périphérique n’est plus une
contrainte majeure pour fixer le rapport D / L par rapport à un volume D²L donné. Pour notre
structure, la vitesse de rotation est de l’ordre de 50 tr/min. Pour déterminer le diamètre
d’alésage nous nous sommes fixés un pourcentage maximal de 50% entre les têtes de bobine
et la longueur totale du conducteur (cuivre) déployée. Par conséquent, nous avons abouti,
pour la structure étudiée à un diamètre de 29.4 cm.
III.7.3.2. Détermination de la profondeur des encoches rotoriques
Dans le cas de l’hypothèse d’une perméabilité infinie du fer, nous avons constaté, pour
différentes ouvertures dentaires rds et rdr , que la profondeur des dents rotoriques p r n’influe
pas sur l’ondulation du couple électromagnétique. Cela confirme que cette grandeur n’a pas
d’effet sur l’ondulation du couple. Par contre, nous avons constaté que la valeur moyenne du
couple peut être affectée par ce paramètre. Nous avons donc calculé, en utilisant le modèle
semi-analytique, la valeur moyenne du couple en fonction de la profondeur rotorique. Le
résultat obtenu est présenté sur la figure (3.11).
1.05
Ce (pu)
0.9
0.75
0.6
p r (m)
0.45
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Figure 3.11 : évolution du couple moyen en fonction de la profondeur des encoches rotoriques
On constate qu’au delà d’une certaine valeur de la profondeur rotorique, le couple moyen tend
vers une limite. Nous avons donc pris pour la grandeur pr, la valeur indiquée en pointillés et
qui vaut 21 mm.
113
III.7.3.3. Détermination des ouvertures dentaires optimales
Pour trouver les grandeurs optimales des ouvertures dentaires ( rdr et rds ), permettant d’avoir
la plus faible ondulation du couple, nous avons couplé le modèle semi-analytique avec notre
outil de calcul AG.
Dans cette application, les ouvertures dentaires rotoriques rdr et statorique rds représentent les
deux paramètres (gènes) à optimiser. Pour chaque paire de ces valeurs ( rdr et rds ), on
dimensionne, pour le même cahier des charges, une nouvelle structure qui représente un
individu pour l’algorithme génétique. La fonction objectif représente donc la résolution d’un
système qui passe par deux étapes. La première est le dimensionnement d’une structure sur la
base des paramètres (les gènes) que donne l’algorithme génétique. La 2ème étape est le calcul
en instantané du couple électromagnétique maximal développé par cette structure. Le couple
maximal est déterminé en choisissant l’angle de charge adéquat. L’ondulation du couple
électromagnétique est calculée en faisant la différence entre les points maximal et minimal du
couple obtenu. L’algorithme génétique va manipuler pour chaque génération autant de
structures que le nombre fixé d’individus. Nous pouvons illustrer le couplage entre la
méthode d’optimisation et le modèle de simulation par le schéma de la figure (3.12). Les
parties grisées représentent la fonction objectif.
Une procédure permettant la construction de la géométrie sur le mailleur IDEAS est
développée. Elle exploite les résultats issus de la partie dimensionnement pour construire la
structure virtuelle. Sur la base de cette structure, un maillage est construit pour une étude en
éléments finis.
114
Cahier des charges
:
P, V, Ω , cos ( ϕ )
N r , Ns , p, p’
DIMENSIONNEMENT
Fonction
objectif
Une structure de machine
à réluctance variable
Étude en
semi-analytique
Construction de
la géométrie
OPTIMISATION
AG
Maillage et
étude en EF
Figure 3.12 : couplage entre l’AG et le modèle semi-analytique
Les paramètres fixés pour l’algorithme génétique sont regroupés dans le tableau (3.3) :
Individus
Génération
n p = 50
GT = 20
Probabilité de
Probabilité de
Pression
croisement
mutation
de sélection
p c = 0.7
p m = 0.13
Psel = 1.6
Tableau (3.3) : Paramètre fixé pour l’AG
Le domaine de recherche des gènes (ouvertures dentaires) a été fixé entre 20% et 80 % par
rapport au pas dentaire λ r pour les dents rotoriques et λ s pour les dents statoriques. Le pas de
recherche quant à lui, a été fixé à 1%.
Comme pour les exemples traités précédemment (fonction mathématique et bobine à noyau
de fer), on maintient dans la génération en cours le meilleur individu de la génération
précédante tel qu’il est, sans aucune modification. Cette technique permet d’une part, la
115
conservation de la meilleure solution et d’autre part, l’augmentation des chances d’échanger
les paramètres (de ce meilleur individu) avec d’autres individus de la génération en cours.
Pour un fonctionnement moteur de la machine en régime nominal (voir les valeurs des
courants induit et inducteur dans le tableau (3.4), les résultats obtenus après 20 évaluations
d’une population de 50 individus (machines) sont : 40% d’ouverture pour la denture
statorique et 50% d’ouverture pour la denture rotorique.
Nous représentons dans le tableau qui suit les résultats des paramètres optimisés ( rdr , rds ) de
la MRV finale optimisé (M-FO). Les autres grandeurs géométriques (L, D et pr) sont celles
données dans les paragraphes précédents. Ces résultats sont comparés à ceux de la MRV
finale de base (M-FB).
Avant
optimisation
Après
optimisation
rds
rdr
∆C e /C e − moy (%)
0.42
0.42
30
0.4
0.5
9.8
Tableau (3.4) : Ouverture dentaire et ondulation du couple
La rubrique ∆Ce Ce− moy donne, en pourcentage, l’ondulation du couple ∆Ce =Ce− max −Ce −min par
rapport au couple moyen Ce− moy . Avec Ce− max et Ce− min qui représentent respectivement les
valeurs maximale et minimale du couple électromagnétique développé. Le rapport ∆Ce Ce− moy
est comparé entre les deux prototypes optimisé et de base. Les résultats obtenus montrent que
l’ondulation du couple est 3 fois plus faible dans le prototype optimisé.
Les allures du couple maximal, relatif aux deux prototypes (optimisé et de base), sont
représentées respectivement sur les figures (3.13) et (3.14).
Ce(Nm)
Ce(Nm)
750
750
500
0
10
20
30
40
θ
θ
500
50
0
10
20
30
40
50
Figure 3.13 : Couple maximal « avant optimisation »
Figure 3.14 : Couple maximal « après optimisation »
modèle semi-analytique
modèle semi-analytique
116
On observe sur ce résultat que la valeur moyenne du couple est sensiblement la même, par
contre l’ondulation est nettement plus faible pour le prototype optimisé.
Dans les mêmes conditions de calcul effectué par le modèle semi-analytique (fonctionnement
en régime nominal et perméabilité du circuit magnétique infinie), nous avons calculé le
couple électromagnétique avec la méthode des éléments finis.
Les maillages effectués pour les deux prototypes (M-FB et M-FO) ainsi que leurs cartes de
champ obtenues pour un point de fonctionnement à vide sont représentés sur les figures
(3.15), (3.16), (3.17) et (3.18).
Figure 3.15 : Maillage du prototype de base
Nbr d’éléments :22076
Nbr de nœuds : 11112
Figure 3.16 : Distribution des lignes de champ à vide
pour le prototype de base
Figure 3.17 : Maillage du prototype optimisé
Nbr d’éléments : 15642
Nbr de nœuds : 7892
Figure 3.18 : Distribution des lignes de champ à vide
pour le prototype optimisé
L’ondulation du couple obtenue par la MEF est comparée à celle donnée par le calcul semianalytique dans le tableau (3.5) .
Avant
optimisation
Après
optimisation
∆C e /C e − moy (%)
∆C e /C e − moy (%)
Semi-analytique
MEF linéaire
30
46
9.8
10.5
Tableau (3.5) : Ondulation du couple
117
Il est évident que les performances au niveau de l’ondulation du couple électromagnétique
sont nettement meilleures pour le prototype optimisé.
Toujours pour le point de fonctionnement défini précédemment, on présente, sur les figures
(3.19) et (3.20), le couple instantané calculé avec la MEF pour respectivement la machine
finale optimisée (M-FO) et la machine finale de base (M-FB).
Ce(Nm)
Ce(Nm)
750
750
500
500
250
250
θ
0
10
20
30
40
50
Figure 3.19 : Couple électromagnétique pour I=In,
obtenu par la MEF
θ
0
0
µ fer = ∞ « Avant optimisation »
0
10
20
30
40
50
Figure 3.20 : Couple électromagnétique pour I=In,
obtenu par la MEF
µ fer = ∞ « Après optimisation »
Les mêmes constatations sont à noter. En effet, l’ondulation du couple pour le prototype
optimisé est plus faible, et la valeur moyenne entre les deux prototypes est pratiquement
inchangée.
A titre indicatif nous avons représenté sur la figure (3.21) l’évolution de l’ondulation du
couple en fonction de l’ouverture dentaire rotorique rdr et statorique rds . Les calculs ont été
effectués avec le modèle semi-analytique.
On constate qu’il y a bien des zones particulières où l’ondulation ∆C e du couple donne des
valeurs faibles. Ces zones sont situées, comme le présente la figure, au voisinage des valeurs
d’ouverture dentaire qui sont de l’ordre de (0.4 , 0.6 et 0.8 %).
118
∆ Ce (Nm)
rdr
rds
Figure 3.21 : évolution de l’ondulation du couple en fonction des ouvertures dentaires
III.7.4. Etude en saturé
Pour prendre en compte la non linéarité du circuit magnétique nous avons utilisé la méthode
des éléments finis. A partir des différentes études, nous avons constaté que l’ondulation du
couple est très sensible au niveau de la saturation.
Dans un premier temps, on alimente en fonctionnement moteur l’induit avec la moitié du
courant nominal ( I n / 2 =1.8 A), donné précédemment dans le tableau caractéristique (3.2).
L’angle de charge est choisi de telle sorte que la structure développe son couple maximal. On
appelle ce point de fonctionnement « le premier niveau de saturation ». Ensuite, on alimente
l’induit avec la valeur du courant nominal. Ce point de fonctionnement sera appelé « 2ème
niveau de saturation ».
Les résultats obtenus ainsi que ceux calculés précédemment, dans le cas linéaire, sont
regroupés dans le tableau (3.6).
119
∆C e /C e − moy (%)
Eléments finis
Semi-analytique
Avant
optimisation
Après
optimisation
Eléments finis
linéaire
Eléments finis
non linéaire (I=In/2) non linéaire (I=In)
30
46
29
35
9.8
10.5
14.7
35
Tableau (3.6) : Effet de la saturation sur l’ ondulation du couple
On constate que l’ondulation du couple augmente avec le niveau de saturation.
Les allures du couple obtenues pour ces deux points de fonctionnement (1er et 2ème niveaux de
saturation) sont présentées par les figures (3.22), (3.23), (3.24) et (3.25).
250
250
Ce(Nm )
200
200
150
150
100
100
50
50
Ce(Nm )
0
0
0
10
20
30
40
0
50
10
20
30
40
50
Figure 3.22 : Couple électromagnétique pour I=In/2,
Figure 3.23 : Couple électromagnétique pour I=In/2,
MEF non Linéaire « Avant optimisation »
MEF non Linéaire « Après optimisation »
300
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50
θ
0
0
Ce(Nm )
300
Ce(Nm )
10
20
30
40
θ
0
50
0
10
20
30
40
50
Figure 3.24 : Couple électromagnétique pour I =In,
Figure 3.25 : Couple électromagnétique pour I =In,
MEF non Linéaire « Avant optimisation »
MEF non Linéaire « Après optimisation »
120
Le relevé de la courbe donnant la variation de l’ondulation du couple ∆Ce Ce− moy en fonction
du niveau de saturation est représentée sur la figure (3.26). A partir de cette figure, on
constate qu’au voisinage de I n l’ondulation du couple est sensiblement équivalente pour les
deux structures. Au delà l’écart augmente légèrement. Par contre, pour un courant
relativement faible, qui équivaut à un faible niveau de saturation, la machine optimisée (MFO) donne des résultats bien meilleurs.
∆ C e 100
C e _ moy
60
Avant optimisation
50
40
30
20
après optimisation
10
I /In
0
0
0.5
1
1.5
Figure 3.26 : évolution de l’ondulation du couple en fonction du niveau de saturation
III.8. Conclusion
Après avoir développé une méthode d’optimisation basée sur l’algorithme génétique et l’avoir
validée par deux cas tests (fonction mathématique et bobine à noyau de fer), nous avons posé
les critères de l’optimisation et repéré les paramètres à optimiser pour la structure étudiée. Ces
paramètres sont au nombre de quatre (diamètre d’alésage, profondeur de l’encoche rotorique
et les deux ouvertures dentaires rotorique et statorique). En ce qui concerne le diamètre
d’alésage et de la profondeur des dents rotoriques, il est possible de trouver les valeurs
optimales de ces deux grandeurs sans avoir recours à un algorithme d’optimisation. Nous
avons alors utilisé des expressions analytiques pour déterminer ces valeurs.
Quant aux deux autres paramètres (ouvertures dentaires), il est plus délicat d’obtenir les
valeurs optimales sans l’aide d’une approche numérique. Dans notre cas, nous avons utilisé
une optimisation basée sur les algorithmes génétiques.
A cause des difficultés liées à la reconstitution du maillage et aux temps de calcul très élevés
qu’entraîne le couplage de la méthode des éléments finis avec l’algorithme génétique, nous
avons opté pour une optimisation utilisant le modèle semi-analytique. Ce couplage a permis
121
de déterminer les ouvertures dentaires optimales pour avoir une ondulation du couple la plus
faible possible.
Afin de valider, dans le cas non linéaire, les résultats obtenus par la procédure d’optimisation,
nous avons étudié les deux prototypes, de base et optimisé, en utilisant la méthode des
éléments finis. Les résultats ont montré que les ouvertures optimales permettent bien
d’atténuer les ondulations de couple pour les régimes peu saturés. Par contre, lorsque les
matériaux magnétiques sont fortement saturés, l’effet de l’optimisation s’estompe.
Dans la suite de ce mémoire, nous allons présenter le prototype réalisé ainsi que les différents
résultats expérimentaux obtenus. Ces résultats seront comparés à ceux issus du calcul
éléments finis.
122
CHAPITRE IV
ETUDE EXPERIMENTALE
CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype
Introduction
L’étude théorique effectuée dans le chapitre II nous a permis de déterminer les conditions
nécessaires pour aboutir à une structure à réluctance Vernier excitée, par un système triphasé
au stator, à simple action. Dans le chapitre III, nous nous sommes intéressés à l’optimisation
des ouvertures de dentures statorique et rotorique qui permettent d’atténuer les ondulations de
couple. Dans le présent chapitre, nous allons, à partir d’un prototype réel, comparer les
résultats expérimentaux à ceux issus de la modélisation numérique MEF-2D, et ce, pour
différents points de fonctionnement.
Le prototype fabriqué est issu de la structure de base (M-FB) étudiée au chapitre précédent et
pour des raisons évidentes de coût, le dimensionnement a été effectué pour une puissance
réduite (1.2kW). Enfin, suite aux délais de fabrication et à la mise en œuvre de la totalité du
banc expérimental, les résultats d’optimisation du chapitre III n’ont pas été pris en compte
dans l’élaboration des plans du prototype.
Dans la suite de ce chapitre, nous allons présenter, dans une première partie, le prototype
réalisé ainsi que les modifications géométriques qui ont été imposées par le constructeur puis
nous donnerons les caractéristiques des différents composants du banc de mesure
expérimental.
Dans une seconde partie, nous introduirons la mise en place du modèle numérique et de la
prise en compte de la non linéarité des matériaux utilisés. L’identification de la courbe B(H) a
été effectuée sur des échantillons de tôles du prototype. Un banc d’essais [72] a permis
d’effectuer la caractérisation et de déterminer la courbe anhystérétique .
Enfin, la dernière partie du présent chapitre est consacrée à la comparaison des résultats
expérimentaux à ceux du modèle numérique. Différents points de fonctionnement seront
examinés. Dans un premier temps, nous identifierons les différentes inductances des
bobinages puis nous étudierons le fonctionnement à vide (caractéristique à vide, effet de la
saturation….) pour divers modes d’excitation (continu et alternatif triphasé).
Nous étudierons ensuite le fonctionnement en générateur ainsi que le fonctionnement en
moteur.
IV.1. Présentation du banc expérimental
IV.1.1. Présentation du prototype réalisé
Comme indiqué dans l’introduction, le prototype réalisé est issu de la structure finale de base
123
non optimisée (MF-B) étudiée au chapitre III. Ses caractéristiques électriques sont P=1.2kW,
N=50tr/mn. Le prototype a été dimensionné en utilisant la procédure développée au premier
chapitre. Quelques contraintes, relatives aux conditions de fabrication, ont par ailleurs été
imposées par le constructeur. Elles se résument de la façon suivante :
forme circulaire des fonds d’encoches statoriques
forme et épaisseur de la cale d’encoche statorique.
et des considérations sur le facteur de remplissage utilisé par le constructeur ( Krem = 0,42) au
lieu de 0,75, valeur que nous avons utilisée dans le pré-dimensionnement.
Suite à ces modifications, les données géométriques ont subi des variations par rapport à
celles données dans le tableau (3.2) du chapitre III. On trouvera, dans le tableau (4.1), les
différentes caractéristiques du prototype réalisé :
Prototype réalisé
'
q =2
e
q =3
e
pcr = 30 10
N s = 72
N r = 70
−3
n = 186
m
L = 115 10
−3
n ′ = 486
p s = 40.61
m
−3
m
−3
m
D = 304 10
e
min
p′ = 6
p=4
= 0.3 mm
p r = 20 10
−3
m
I = 3.6 A / 50 Hz
pcs = 30 10
−3
m
I ′ = 1 A / 8.33 Hz
Masse du fer actif = 100 kg
Tableau (4.1) : Caractéristiques du prototype réalisé
Afin d’étudier d’une manière fine l’état magnétique de la structure, nous avons fait installer
des capteurs de flux dentaires. Ils nous permettront de distinguer, pour un point de
fonctionnement donné, les différents niveaux de saturation des dents.
Sur la figure (4.1), nous avons représenté une surface de coupe transversale du prototype ainsi
que les emplacements des différents capteurs de flux, constitués par des bobines (10 spires par
capteur) autour des dents :
124
C
-B
-B
-B
A
A
A
-C
C
a
a
-A
-A
B
-c
-b
-b
ca c
p_
3
c
B
-a
B
-C
4
cap_
C
-A
ca -a
p_
2
b
-C
b
-C
-c
A
A
-c
a
cap_1
A
a
Figure 4.1 : Géométrie de la structure (prototype réalisé)
On rappelle que les trois phases notées (A, B et C) sont relatives au circuit d’induit. Les lettres
(a, b et c) correspondent au circuit inducteur.
Suite aux exigences du fabriquant, le choix de la forme des isthmes d’encoches, pour loger la
cale des enroulements, a fait l’objet d’une modification par rapport à la forme des encoches
classique que nous avions adoptée jusqu'à présent. Une forme finale a été choisie et nous
montrons, sur la figure (4.2) un zoom des encoches statoriques avec la forme des isthmes
d’encoches. La machine réalisée est présentée sur les figures (4.3.a), (4.3.b) et (4.3.c).
Cale
1
1
1
20
1
18.22
14.64
4.7
5
0.3
Figure 4.2 : Encoches du prototype réalisé
125
Figure 4.3.a : Stator du prototype
Figure 4.3.b : Rotor du prototype
Figure 4.3.c : Prototype d’essais
Le dimensionnement mécanique ainsi que les différentes cotations fournies au constructeur
sont données dans l’annexe 7.
IV.1.2. Composants du banc expérimental
Le banc expérimental figure (4.4.a) est constitué du prototype réalisé, d’une machine à
courant continu et de deux réducteurs de vitesse (se trouvant entre les deux machines). Les
caractéristiques de chaque composant sont donnés ci dessous :
Machine à courant continu (BREQUET - SAUTER HARLE type 12 B 12)
P = 2kW
N = 1500 tr/mn
Induit 120 V / 16.7 A
Inducteur 120 V / 0.5 A
126
Multiplicateur de vitesse : ( Réducteurs à engrenages IS 75)
Rapport de réduction 5.4
Sur la figure 4, nous avons représenté le banc expérimental figure (4.4.a) ainsi que
l’ensemble du banc d’essais avec les dispositifs d’alimentation et de contrôle (figure 4.4.b).
MRV
Réducteur de
Vitesse
MCC
Figure 4.4.a : Banc expérimental
Figure 4.4.b : Banc d’essais
127
IV.2. Modélisation du prototype réalisé
IV.2.1. Modèle numérique
Afin de pouvoir comparer les résultats expérimentaux à ceux issus du modèle numérique,
nous avons fait un nouveau maillage du prototype en prenant en compte les modifications
géométriques qui ont été apportées par le constructeur. Sur la figure (4.5), nous montrons le
maillage de la structure qui est composé de 8679 nœuds et de 17253 éléments. La figure (4.6)
montre, quant à elle, la distribution des lignes de champ à vide suivant la coupe transversale
modélisée.
Figure 4.5 : Maillage de la structure
Figure 4.6 : Distribution des lignes de champ
–excitation AC à vide–
IV.2.2. Identification de la caractéristique magnétique des tôles
La précision des calculs numériques est tributaire, entre autre, de la prise en compte de la non
linéarité des matériaux magnétiques. Par conséquent, nous avons tenu à approximer, le plus
fidèlement possible, la courbe B(H) des matériaux utilisés dans la fabrication de la machine.
Le constructeur du prototype, Radio Energie [73], nous a fourni des échantillons des tôles
utilisées (Fe-Si) de type (FeV40050HA - Ugine) et d’une épaisseur de 0.5 mm. Un dispositif
torique a alors été construit (figure 4.7) puis, dans le cadre de ses travaux de recherche,
Abdelkader Benabou a mené une campagne d’essais afin d’identifier les cycles d’hystérésis
du matériau pour différentes fréquences.
128
Echantillon
du tore
Tore bobiné
Figure 4.7 : Dispositif de caractérisation des matériaux
Nous avons représenté, sur la figure (4.8) les relevés de deux cycles B (H ) effectués pour 5
et 50 Hz. Ces deux fréquences correspondent pratiquement à celles des alimentations des
circuits inducteur et induit.
1.5
B(T)
1
0.5
H(Am)
0
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-0.5
-1
Tôles Fe-Si
5 Hz
50 Hz
-1.5
Figure 4.8 : Caractéristique magnétique du circuit magnétique tôles Fe-Si
Pour des raisons évidentes de temps de calcul, le phénomène d’hystérésis n’est pas introduit
dans le code de calcul. Dans ces conditions, la non linéarité des matériaux est prise en compte
en introduisant la caractéristique anhystérétique du matériau. Cette dernière est obtenue en
faisant la moyenne des courbes ascendante et descendante. Une fois cette courbe obtenue
expérimentalement, il est nécessaire de l’approximer par une fonction analytique afin de
pouvoir l’introduire dans le code de calcul. Dans notre cas, cette approximation a été
effectuée en utilisant la fonction de Marrocco. Cette dernière permet d’exprimer la
perméabilité magnétique du matériau en fonction de l’induction magnétique. L’expression de
cette fonction est donnée ci dessous et elle fait appel à l’identification de 4 paramètres (α, τ, ε
et c).
129
η=
H
1
=
B µ0
[
B 2α
(c − α ) + ε
B 2α + τ
]
(4.1)
Une identification, par la méthode des moindres carrés, nous a permis de déterminer les
valeurs de ces paramètres :
α = 7.2 ,
= 1.85 10 −4 , τ = 3310 4 , c = 2.5
Nous montrons, sur la figure (4.9), la superposition de la courbe anhystérétique expérimentale
et de celle obtenue à partir de la fonction de Marocco avec les paramètres identifiés.
1.6
B(T)
1.2
0.8
Marrocco
0.4
Expérience
H(Am )
0
0
500
1000
1500
2000
Figure 4.9 : Comparaison de la courbe anhystérétique de Marocco avec la courbe expérimentale
IV.3. Détermination des inductances
Les premières comparaisons des résultats ont concerné les valeurs des différentes inductances
des bobinages.
IV.3.1. Détermination des inductances propres.
Les inductances propres, relatives aux deux circuits induit et inducteur, sont déterminées à
partir de l’impédance complexe du bobinage considéré. Une première mesure en courant
continu a permis d’identifier les valeurs des résistances des bobinages. Les résultats
expérimentaux sont consignés dans le tableau (4.2).
R inducteur (Ω)
R induit (Ω)
75
7,5
Tableau (4.2) : Valeurs mesurées des résistances des circuits inducteur et induit
130
Ensuite, à rotor bloqué, chaque phase a été alimentée avec une tension alternative sinusoïdale
d’une amplitude telle que le matériau ne soit pas saturé. A partir de la valeur du courant qui
s’instaure dans le bobinage, et connaissant la résistance, on a pu déterminer l’inductance
propre de l’enroulement considéré. Les essais ont été effectués pour différentes positions du
rotor et nous avons ainsi vérifié que les inductances propres étaient bien indépendantes de la
position rotorique.
Parallèlement, des calculs par éléments finis ont été effectués pour déterminer ces mêmes
inductances. Deux procédures ont été utilisées. La première consiste à imposer un courant
continu unitaire dans la phase considérée et calculer le flux à travers cette phase. Ce dernier
donne directement la valeur de l’inductance propre. L’autre méthode consiste à utiliser le
couplage circuit et appliquer la même procédure que celle usitée expérimentalement. Dans les
deux cas, le calcul a été effectué pour plusieurs positions du rotor pour vérifier l’indépendance
de l’inductance propre par rapport à θ.
Dans le tableau (4.3), nous présentons les valeurs obtenues par le modèle numérique et celles
issues des essais :
L11 (H)
L44 (H)
Expérience
1,09
6,14
Eléments finis
1,06
6,33
Erreur
2.75%
3.09%
Tableau (4.3) : Comparaison entre les valeurs des inductances propres mesurées et calculées
IV.3.2. Détermination des inductances mutuelles induit-induit et
inducteur-inducteur
Une procédure similaire à celle décrite dans le paragraphe précédent a été utilisée pour
identifier les inductances mutuelles entre les différentes phases de l’induit et de l’inducteur.
Ainsi, on a alimenté à chaque fois une des phases du circuit induit par une tension alternative
sinusoïdale et on a mesuré les f.e.m. induites dans les autres phases de l’induit.
A partir de ces tensions et du courant dans la phase alimentée, et en supposant que les
inductances mutuelles sont constantes, il est possible de déduire la valeur de l’inductance en
l’identifiant à partir de la relation suivante :
131
e1 (t ) = L12
di1
dt
(4.1)
La même approche a été utilisée pour déterminer les valeurs des inductances mutuelles du
circuit inducteur et comme dans le cas des inductances propres, nous avons vérifié qu’elles
étaient indépendantes de θ. D’autre part, nous avons travaillé à un faible niveau de saturation
pour les considérer constantes en fonction du courant.
Les mêmes conditions ont été utilisées avec le modèle numérique. Les résultats obtenus
expérimentalement et par le calcul sont présentés dans le tableau (4.4).
L12 = L13 = L23
L45 = L46 = L56
Expérience
-0,45
-2,46
Eléments finis
-0,412
-2,475
Erreur
8.44%
0.61%
Tableau (4.4) : Comparaison entre les valeurs des inductances mutuelles mesurées et calculées
IV.3.3. Détermination des inductances mutuelles entre les circuits
inducteur et induit
Dans le cas des inductances mutuelles entre les circuits induit et inducteur, la procédure
d’identification est différente. Elle consiste à entraîner le rotor à sa vitesse de synchronisme
(50 tr/min) par l’intermédiaire de la MCC et à alimenter une phase de l’enroulement de
l’induit par un courant continu unitaire. Une f.e.m. est alors induite dans les différentes phases
de l’inducteur. L’acquisition de ces f.e.m induites donne l’image des mutuelles inductances
entre les deux circuits. En effet, il est possible, à partir de ces f.e.m, de retrouver l’allure de
l’inductance mutuelle :
M ij = ∫ eij (t ) dt
(4.2)
Une procédure similaire est utilisée dans le cas de la modélisation numérique pour déterminer
ces mêmes inductances mutuelles.
Sur la figure (4.10), on compare M 14 relevée expérimentalement à celle calculée par éléments
finis.
132
0.8
M 14 ( H )
Expérience
MEF
0.6
0.4
0.2
θ°
0
-0.2
0
5
10
15
20
-0.4
-0.6
-0.8
Figure 4.10 : Inductance mutuelle entre les circuits Induit et Inducteur.
Comme prévu, cette comparaison montre que cette mutuelle a une allure très proche de la
sinusoïde et une période angulaire de 5.14 degrés qui correspond bien à (360/Nr).
Par contre, les amplitudes, issues des essais et du modèle numérique (avec prise en compte de
la courbe B(H) approximée), sont sensiblement différentes avec une surestimation du modèle
numérique. Connaissant la fiabilité du modèle éléments finis utilisé qui a donné pour d’autres
applications une assez bonne précision [74-75], nous pensons que cette différence est, a
priori, due au flux de fuites en 3D. En effet, la structure que nous étudions présente un
diamètre d’alésage plus important par rapport à la longueur utile. Par conséquent, les effets
tridimensionnels ne sont apparemment pas négligeables.
Il serait donc plus intéressant d’utiliser une modélisation tridimensionnelle de la structure.
Cependant, de par la complexité de la géométrie, notamment la représentation des têtes des
bobines, et les temps de calculs qui deviennent énormes, nous n’avons pas eu recours à cette
modélisation pour vérifier l’hypothèse émise.
Enfin, sur la figure (4.11), nous montrons les trois inductances mutuelles entre induit et
inducteur qui constituent bien un système triphasé.
0.8
M14 , M15 , M16 (H)
0.6
0.4
0.2
θ°
0
-0.2 0
5
10
15
20
-0.4
-0.6
-0.8
Figure 4.11 : Inductances mutuelles mesurées entre induit et inducteur
133
IV.4. Essais à vide
Dans ce paragraphe, nous allons caractériser le prototype à vide. Nous déterminons donc les
différentes forces électromotrices lorsque le rotor tourne à sa vitesse nominale et que
l’enroulement inducteur est alimenté en courant continu puis, en courant alternatif. Dans ce
qui suit, nous allons présenter chaque cas en particulier.
IV.4.1. Excitation en continu
IV.4.1.1. Une seule phase alimentée
Dans un premier temps, nous avons commencé par alimenter une seule phase du circuit
inducteur, phase « a » figure (4.1), avec un courant continu. Le but de ces essais est de
pouvoir appréhender l’état magnétique de la machine.
La vitesse de rotation a été fixée de telle sorte que l’excitation étant en continu, la f.e.m
induite ait une fréquence de 50Hz. La relation (4.3), qui lie la vitesse de rotation de la
machine aux fréquences de l’induit et de l’inducteur, permet de déterminer cette vitesse, soit :
Ω=
ω −ω ′
Nr
(4.3)
Dans le cas où le circuit d’excitation est alimenté en continu, ω’ est nulle. Par conséquent,
pour une fréquence d’induit de 50 Hz et un nombre de dents rotoriques Nr = 70, la vitesse de
rotation doit être de 42,8 tr/mn.
Nous avons donc imposé au rotor de la MRV, via la MCC et les réducteurs, cette vitesse de
rotation. Nous présentons, sur la figure (4.12) l’évolution de la f.e.m. induite dans une phase,
obtenue à partir des essais et du calcul numérique pour un courant d’excitation I’DC = 0,6A.
120
Ev (v )
MEF
Expérience
60
t (s)
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
-60
-120
′ =0,6A DC)
Figure 4.12 : f.e.m. induite dans une phase (N=42.8tr/mn, I DC
134
Comme nous l’avons mentionné dans le cas de l’identification des inductances mutuelles
entre circuits induit et inducteur, les formes d’ondes ont une allure sinusoïdale à une
fréquence de 50Hz. La légère différence de période est due à la précision de l’acquisition de la
vitesse de rotation.
L’écart entre les amplitudes des f.e.m., calculées et mesurées, est équivalent à celui observé
précédemment sur les mutuelles.
Par la suite, nous avons fait varier l’amplitude du courant d’excitation et établi la
caractéristique à vide. Nous avons alors, par calcul et expérimentalement, relevé les flux
dentaires pour différentes valeurs du courant d’excitation. Ces relevés permettent d’avoir une
meilleure connaissance de la distribution de l’induction magnétique. Par ailleurs, ils
permettent de confirmer l’hypothèse avancée quant aux écarts constatés sur les f.e.m. induites.
Nous montrons, sur les figures (4.13) à (4.16), la distribution de la partie alternative de
l’induction magnétique, relevée sur les capteurs notés Cap_2 et Cap_3 sur la figure (4.1), pour
deux valeurs du courant d’excitation. De par l’emplacement de ces deux capteurs et la phase
alimentée « a », les distributions d’induction visualisées concernent différents niveaux de
saturation. Nous donnons, sur les mêmes figures, l’évolution de la partie alternative de
l’induction obtenue par le calcul éléments finis.
Remarque
Les allures expérimentales des différentes inductions dentaires, que nous montrerons ci
dessous, ont été déterminées à partir de l’acquisition de la f.e.m induite dans les capteurs
concernés. En effet, avec ces capteurs (bobine autour des dents), la composante continue de
l’induction magnétique n’est pas mesurable. Nous allons donc comparer dans ce qui suit,
uniquement la partie alternative de l’induction dentaire. Dans le cas des calculs issus de la
méthode des éléments finis, nous ne garderons que la partie alternative pour la comparaison.
0.5
0.5
Bcap 2 (T )
Expérience
0.3
θ°
2
4
6
8
Expérience
MEF
0.3
MEF
0.1
-0.1 0
B cap 2 (T )
10
12
0.1
-0.1 0
-0.3
-0.3
-0.5
-0.5
θ°
2
4
6
8
10
12
Figure 4.13 : Partie alternative de l’induction dentaire Figure 4.14 : Partie alternative de l’induction dentaire
′ =0.6 A
Cap_2 I DC
′ =1A
Cap_2 I DC
135
0.5
0.5
B cap 3 (T )
MEF
Expérience
0.3
0.1
-0.3
0.3
θ
-0.1 0
2
B cap 3 (T )
4
6
8
10
°
0.1
12
-0.1 0
θ°
2
4
6
8
10
12
MEF
-0.3
-0.5
Expérience
-0.5
Figure 4.15 : Partie alternative de l’induction dentaire
Figure 4.16 : Partie alternative de l’induction dentaire
′ =0.6 A
Cap_3 I DC
′ =1A
Cap_3 I DC
Pour montrer l’influence du courant d’excitation sur la variation de l’induction dentaire, nous
avons calculé l’évolution de la valeur efficace de la partie alternative de l’induction du
capteur 2 (dent la plus saturée) en fonction de l’amplitude du courant d’excitation de la phase
« a ». Nous représentons, sur la figure (4.17) cette caractéristique avec une comparaison entre
l’expérience et le calcul.
0.3
B eff _ Cap2 (T )
Expérience
0.25
0.2
0.15
MEF
0.1
0.05
IDC’ ( A )
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Figure 4.17 : Valeur efficace de la partie alternative de l’induction dentaire relative au capteur 2
Nous remarquons que l’induction expérimentale est plus élevée, que celle calculée, dans la
partie linéaire et que le phénomène s’inverse dans la partie saturée. Ceci laisse à penser que la
caractéristique magnétique B(H) que nous avons caractérisée à partir des échantillons de tôles
ne correspond pas exactement à celle du matériau de la structure. Cela peut être dû aux
sollicitations mécaniques qu’ont subi les tôles durant l’usinage.
Enfin, nous présentons la comparaison entre mesures et calculs de la caractéristique à vide du
prototype.
136
160
E eff (v)
MEF
120
Expérience
80
40
IDC’
(A)
0
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
Figure 4.18 : f.e.m à vide excitation continue (une seule phase excitée)
On constate, d’après les résultats obtenus, qu’il y a un écart entre l’expérience et le calcul. Cet
écart, comme nous le remarquons sur la figure (4.18), augmente d’une manière non linéaire.
Contrairement à l’évolution de la valeur efficace de l’induction en fonction du courant
d’excitation. La f.e.m. calculée à vide est surestimée par rapport à celle mesurée et ceci sur
toute la plage du courant d’excitation.
IV.4.1.2. Les trois phases alimentées
Dans ce paragraphe, nous allons étudier la caractéristique à vide du prototype lorsque les trois
phases du circuit inducteur sont alimentées en continu. La même procédure que
précédemment a été effectuée sur le prototype avec les trois phases du circuit inducteur
connectées en série afin de garder le même nombre de paires de pôles p ′ .
L’excitation est donc en courant continu et comme dans le cas d’une seule phase alimentée, la
vitesse de rotation de la MRV est ajustée à 42,8 tr/min. Les résultats obtenus, relatifs à la
partie alternative de l’induction dentaire (dans la dent entourée par le capteur Cap_2), à la
valeur efficace de la partie alternative de l’induction en fonction du courant d’excitation, aux
'
formes d’ondes de la f.e.m et à la caractéristique à vide E = f ( I DC
) sont représentés sur les
figures (4.19) à (4.22).
0.5
B cap 2 ( T )
0.3
MEF
Beff
Expérience
_ cap 2 ( v)
0.3
0.2
0.1
-0.1 0
MEF
θ°
2
4
6
8
10
12
0.1
Expérience
IDC’(A)
-0.3
0
0
-0.5
0.5
1
1.5
Figure 4.19 : Partie alternative de l’induction
Figure 4.20: Valeur efficace de la partie alternative de
dentaire, Capteur 2, IDC’=0.6 A
l’induction dentaire relative au capteur 2
137
E v (v)
200
E eff (v )
140
MEF
Expérience
150
120
100
MEF
100
50
0
Expérience
80
t (s)
60
-50 0
0.01
0.02
0.03
0.04
40
-100
20
-150
0
-200
IDC’(A)
0
Figure 4.21 : f.e.m induite pour IDC’=0.6 A
0.5
1
1.5
Figure 4.22: f.e.m à vide les trois phases alimentées
Dans ce cas d’excitation, les flux dentaires sont légèrement déformés. Les f.e.m. induites ont,
quant à elles, une forme sinusoïdale de fréquence 50 Hz. Par ailleurs, que ce soit l’induction
dentaire ou la f.e.m. induite, les calculs surestiment les amplitudes par rapport aux essais.
Enfin, nous observons une caractéristique à vide atypique par rapport à celles des machines
′ ) atteint un maximum entre 0,7 et 0,8A puis
synchrones classiques. En effet, la courbe E( I DC
commence à décroître. Ce phénomène est plus marqué sur la courbe calculée mais il est tout
aussi visible sur la courbe mesurée. Des résultats similaires avaient été constatés dans la
référence [12] sur une structure excitée par du courant continu au stator.
Ce phénomène peut être expliqué par le fait qu’à partir d’un certain seuil de saturation des
dents, l’entrefer résultant augmente (la perméabilité d’une partie des dents se rapproche de
celle de l’air). Par conséquent, pour une même source de f.m.m., le flux est atténué, ce qui
diminue la valeur de la f.e.m.
A titre d’illustration, nous montrerons sur la figure (4.23) l’évolution de l’induction dentaire
relative au capteur Cap_2, obtenue par le calcul éléments finis, lorsque les trois phases de
circuit inducteur sont mises en série et alimentées avec un courant continu de 0.6 A. Sur la
figure (4.24) nous présenterons l’évolution de maximum d’induction en fonction du courant
d’excitation. On constate que la dent concernée sature pour une induction de l’ordre de 1.4 T.
Bcap2 (T)
2
1.6
Bmax_cap2 (T)
1.6
1.2
1.2
0.8
0.8
0.4
θ°
0
0
2
4
6
8
10
12
0.4
IDC ’ (A)
0
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
Figure 4.23 : L’évolution de l’induction dentaire
Figure 4.24 : L’évolution de maximum d’induction en
relative au capteur Cap_2, IDC’=0.6 A - MEF
fonction du courant d’excitation - MEF
138
IV.4.2. Excitation en alternatif
Dans cette dernière caractérisation à vide, le circuit d’excitation est alimentée en alternatif
triphasé à la fréquence précédemment déterminée, soit : f’ =8,33 Hz. Les trois phases du
circuit inducteur sont alors connectées en étoile et alimentées par l’intermédiaire d’un
onduleur à MLI. Le rotor de la MRV est quant à lui entraîné à la vitesse nominale (50 tr/mn)
afin d’induire des f.e.m d’une fréquence de 50 Hz dans les bobinages du circuit induit.
La figure (4.25) montre l’évolution de la f.e.m induite dans la phase « A » pour un courant
d’excitation de 1.2A d’amplitude. Sur cette figure, la courbe calculée est comparée à celle
issue de l’expérience.
250
Ev (v)
MEF
Expérience
150
50
t (s)
0
-50
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
-150
-250
Figure 4.25 : f.e.m induite pour I ′ =1.2 A max/8.33Hz
Les premières constations font remarquer que les f.e.m. sont sinusoïdales de fréquence 50 Hz,
aux incertitudes près sur la vitesse de rotation du banc d’essais. Les harmoniques de haute
fréquence qui entachent la f.e.m expérimentale sont dus à la fréquence de découpage de
l’onduleur à MLI comme le montre la forme d’onde du courant relevé expérimentalement. On
ne les retrouve évidemment pas sur la courbe calculée où les courants inducteurs sont
supposés parfaitement sinusoïdaux. Enfin, comme dans les deux cas d’excitation étudiés
précédemment, les calculs surestiment l’amplitude de la f.e.m. induite.
Par contre, nous avons simulé et relevé la f.e.m. induite sur un grand nombre de périodes. La
figure (4.26) donne l’allure expérimentale obtenue pour un courant d’excitation de 0.5 A eff.
Nous remarquons alors que la f.e.m. est entachée d’un harmonique basse fréquence. Celui-ci
est nettement plus visible sur la courbe expérimentale que sur celle issue des calculs figure
(4.27).
139
200
200
E v (v)
150
150
100
100
50
t (s)
50
t (s)
0
0
-50 0
E v (v )
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-50 0
-100
-100
-150
-150
-200
-200
Figure 4.26 : f.e.m induite Expérience
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figure 4.27 : f.e.m induite MEF avec alim tension
Cet harmonique étant plus prépondérant sur les relevés expérimentaux, nous avons alors
effectué une étude harmonique sur le courant d’excitation délivré par l’onduleur à MLI ainsi
que sur la f.e.m. induite. Les spectres harmoniques de ces courbes, obtenus par un l’analyseur
de spectre, sont donnés sur les figures (4.28) et (4.29).
[Courant d'excitation/20 ] A eff
10 m
5m
1m
500
m
100
m
50
m
10
m
f réquence (Hz)
Figure 4.28 : Spectre harmonique du courant d’excitation délivré par l’onduleur à MLI sur un bobinage
.
inducteur
1
[f e m à vide/200 ] v eff
500 m
100 m
50 m
10 m
5m
1m
500
m
f réquence (Hz)
Figure 4.29 : Spectre harmonique de la f.e.m. induite relative au courant d’excitation ci dessus
140
Le spectre du courant d’excitation montre que la raie à 8,33 Hz est prépondérante et que les
autres harmoniques ont des amplitudes tout à fait négligeables. Par contre, sur celui de la
f.e.m., nous remarquons, qu’en plus du fondamental à 50 Hz, un harmonique d’une fréquence
de 8,33Hz, d’une amplitude non négligeable, est également présent sur le signal.
Le courant d’excitation délivré étant à la bonne fréquence et dénué d’harmoniques, ceci
implique que l’harmonique de fréquence 8,33Hz de la f.e.m. induite est, a priori, dû à des
causes structurelles. En fait, de par l’emplacement des circuits induit et inducteur qui sont
tous les deux localisés au stator, le circuit magnétique de la machine, en plus de l’effet
réluctant, joue également le rôle de circuit magnétique d’un transformateur. Par conséquent, le
signal basse fréquence du circuit inducteur se retrouve au niveau du circuit de l’induit qui joue
le rôle du secondaire du transformateur. Un calcul élémentaire entre l’amplitude de
l’harmonique basse fréquence d’induit et le fondamental de la tension du circuit inducteur a
montré qu’il y avait un rapport se rapprochant de celui des nombres de spires entre les deux
bobinages.
Enfin, la caractéristique à vide a été tracée en faisant varier l’amplitude du courant
d’excitation. La figure (4.30) montre la comparaison entre la caractéristique calculée par le
modèle numérique et celle issue des mesures. Comme dans le cas des autres modes
d’excitation par courant continu, les calculs surestiment les amplitudes des f.e.m induites. De
plus, la caractéristique à vide décrit la même allure que précédemment, à savoir un passage
par un maximum puis une décroissance en fonction du courant d’excitation.
250
E v _ max(v )
MEF
200
150
Expérience
100
50
I’(A)
0
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
Figure 4.30 : f.e.m à vide
IV.5. Essai à rotor bloqué (transformateur)
Suite aux résultats du dernier paragraphe, cet essai consiste à observer l’effet transformateur
de la machine et ce en étudiant son comportement lorsqu’on alimente un des deux circuits à
rotor bloqué.
141
L’inductance propre du circuit inducteur étant approximativement six fois plus élevée que
celle du circuit induit -voir tableau (4.3)-, nous avons choisi d’alimenter l’induit afin
d’atteindre des courants élevés dans ‘le primaire’ du transformateur. La première phase de
l’enroulement de l’induit, notée « A », est considérée comme le primaire figure (4.1) et la
première phase de l’enroulement de l’inducteur notée « a » comme le secondaire.
La position du rotor a été choisie pour obtenir dans le secondaire la f.e.m la plus élevée
possible.
La caractéristique donnant la tension secondaire en fonction du courant primaire est relevée.
Le résultat obtenu est comparé à celui du calcul numérique (MEF) sur la figure (4.31).
500
Emax(v)
400
Expérience
MEF
300
200
100
I(A)
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Figure 4.31 : Essai à rotor bloqué (f.e.m induite)
Sur la figure (4.32), on a représenté l’allure de la f.e.m induite pour un courant I=1.4 A eff.
Pour la même valeur du courant, la figure (4.33) montre l’évolution de l’induction dans la
dent entourée par le capteur noté Cap_2 figure (4.1). Sur les mêmes figures, on compare les
résultats expérimentaux à ceux obtenus par la simulation basée sur les éléments finis.
400
0.8
MEF
Expérience
E (v)
300
0.6
200
0.4
100
0.2
t (s)
0
-100 0
EMF et Expérience se
confondent
B_cap2 (T)
0.02
0.04
0.06
0.08
-0.2 0
-200
-0.4
-300
-0.6
-400
-0.8
Figure 4.32 : f.e.m à vide I=1.4 A /50Hz
t (s)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Figure 4.33 : Induction dentaire Cap2 I=1.4 A /50Hz
142
IV.6. Etude en charge
IV.6.1. Essai en court circuit
Après avoir effectué l’étude à vide, nous allons, dans ce paragraphe, nous intéresser au
fonctionnement en générateur.
Le premier essai que nous avons effectué est celui classique du court circuit de l’induit. Nous
avons alors procédé à deux expériences. La première a consisté à alimenter le circuit
d’excitation en continu, le rotor étant entraîné à 42,8 tr/mn puis nous avons court-circuité les
phases d’induit montés en étoile. Les courbes obtenues à partir de l’expérience et des calculs
par éléments finis dans les mêmes conditions sont données sur la figure (4.34). Nous
constatons que les courants, dans les deux cas, sont sinusoïdaux, de fréquence 50 Hz. Par
contre, comme on pouvait le prévoir, les amplitudes sont faibles avec une nette surestimation
du courant par le modèle numérique. Les faibles amplitudes sont dues essentiellement à la
faible amplitude de la f.e.m. induite conjuguée aux valeurs élevées des inductances du circuit
d’induit.
Le même essai a été effectué avec le circuit inducteur alimenté en triphasé à la fréquence de
8,33 Hz et le rotor entraîné à 50 tr/mn. Les résultats issus du banc d’essais et du modèle sont
donnés à la figure (4.35). Les amplitudes des courants sont encore plus faibles que dans le cas
de l’excitation en continu. Par ailleurs, si les courants obtenus par le calcul sont pratiquement
sinusoïdaux à la bonne fréquence (50 Hz), ceux obtenus de l’expérience admettent un
harmonique basse fréquence d’une grande amplitude. Ceci s’explique par la présence de
l’harmonique de fréquence 8,33 Hz dans la f.e.m. induite. Une fois les phases d’induit courtcircuitées, l’impédance, vue par l’harmonique basse fréquence de la f.e.m. induite est
nettement plus faible que celle vue par le fondamental de cette même f.e.m. Ceci a pour
conséquence l’instauration d’un harmonique de courant de fréquence 8,33 Hz avec une forte
amplitude.
143
0.6
Icc (A)
0.6
Expérience
0.4
Icc (A)
Expérience
MEF
MEF
0.4
0.2
0.2
t (s)
0
t (s)
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Figure 4.34 : Excitation continue IDC’=0.75A, courant
Figure 4.35 : Excitation I’=0.7A/8.33Hz, courant de
de CC dans une phase d’induit - N=42.8 tr/min
CC dans une phase d’induit - N=50 tr/min
Afin de vérifier cette hypothèse, nous avons effectué une analyse harmonique sur le courant
de court-circuit expérimental représenté sur la figure (4.36). Nous remarquons, qu’en plus du
fondamental, l’amplitude de l’harmonique à 8,33 Hz a une amplitude non négligeable. Un
calcul trivial montre que l’amplitude de cet harmonique est égal au rapport entre l’harmonique
de tension et la valeur de la réactance à 8,33 Hz.
[courant de court-circuit/20 ] A eff
10 m
5m
1m
500 m
100 m
50 m
10 m
f réquence (Hz)
Figure 4.36 : Spectre harmonique du courant de court-circuit
dans une phase d’induit N=50 tr/min
IV.6.2. Débit sur une charge capacitive
Pour pouvoir compenser la réactance synchrone, nous avons fait débiter la génératrice sur une
charge capacitive. Le montage réalisé est présenté sur la figure (4.37). L’impédance
correspondant au condensateur C est choisie égale à l’impédance relative à l’inductance
144
propre d’un enroulement de l’induit. Ceci conduit à la résonance du circuit, ce qui permet
d’augmenter le courant débité et par conséquent la puissance active fournie.
Excitation
Ω
Ω
MCC
C
R
Génératrice
VERNIER
Figure 4.37 : Débit sur une charge capacitive
Les résultats obtenus, avec les deux natures d’excitation, sont présentés sur la figure (4.38).
250
P (W)
200
I’=1.2A (AC)
150
100
I’DC=0.8A (DC)
50
I efficace (A)
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Figure 4.38 : Puissance active débitée sur la charge
Avec une excitation continue, le maximum de puissance active débitée est de 130 W (pour les
3 phases) et le courant dans un enroulement de l’induit est de 1.2 A. Avec une excitation
alternative la puissance active maximale atteinte est de 215 W sous un courant de 1.4 A.
IV.7. Etude du fonctionnement moteur
Le fonctionnement en moteur de la structure a été étudié pour les deux types d’excitation
(continue et alternative).
IV.7.1. Moteur excité en continu
IV.7.1.1. Essai à vide
Dans cet essai, la MRV est désaccouplée de la machine à courant continu. Les trois phases du
145
circuit d’excitation sont connectées en série en respectant toujours le même nombre de pôles
d’inducteur p ′ . Elles sont alimentées par une source de tension continue qui délivre un
courant de 0,8A. Les trois phases de l’induit sont, quant à elles, alimentées par une source
variable de tension triphasée à la fréquence de 50Hz.
Pour une tension simple de 433 volt efficace, la machine s’accroche au réseau et le rotor
tourne au synchronisme à une vitesse de 42,8 tr/mn. Les formes d’onde relatives à la tension
et au courant dans l’induit ont été relevées. Elles sont données sur la figure (4.39).
700
700
V(v), I (A)
V
500
V
500
300
300
100
-100 0
-300
V(v),I (A)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t (s)
100
0.06
-100 0.
t (s)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
-300
200*I
-500
-500
-700
-700
200*I
Figure 4.39 : Fonctionnement à vide en moteur
Figure 4.40 : Fonctionnement à vide en moteur
Excitation continue, V et I expérimentales
Excitation continue, V et I calculées
En relevant, via un capteur de position, le déphasage entre la f.e.m à vide et la tension
d’alimentation, nous avons pu configurer l’alimentation dans le code éléments finis en prenant
en considération le couplage circuit. Cette configuration permet de représenter le même point
de fonctionnement que l’expérience. Le résultat obtenu par le calcul, qui donne le courant
instantané dans les enroulements de l’induit, est représenté sur la figure (4.40).
La puissance consommée à vide ainsi que le facteur de puissance, obtenus expérimentalement
et par calcul, sont regroupés dans le tableau (4.5).
Expérience
83.45
Calcul (MEF)
112.22
Facteur de puissance
0.15
0.079
Courant efficace (A)
0.92
1.1
Puissance active (W)
Tableau (4.5) : Comparaison des résultats entre mesures et calculs.
Fonctionnement moteur à vide, excitation DC.
146
IV.7.1.2. Essai en charge
Dans un premier temps, la MRV et la machine à courant continu étant couplée
mécaniquement, nous avons effectué un essai pour déterminer les pertes mécaniques du banc.
Dans cet essai, la MCC n’est pas excitée. La MRV est, quant à elle, alimentée et accrochée au
réseau. Le rotor a donc une vitesse de 42,8tr/mn. La puissance consommée par la machine à
réluctance variable équivaut aux pertes totales du banc, c’est-à-dire la puissance que doit
fournir la MRV pour assurer l’unique rotation du banc.
Expérience
320.15
0.25
0.99
Tableau (4.6) : Comparaison des résultats entre mesures et calculs.
Fonctionnement moteur en charge, excitation DC.
Dans un deuxième temps, la machine à courant continu a été excitée et son induit connecté à
une charge résistive. La puissance maximale débitée dans la résistance avant que la MRV ne
décroche est de 100 W. Le relevé du courant et de la tension consommés par l’induit pour le
point de décrochage est donné sur la figure (4.41).
700
V(v),I (A)
V
500
300
100
-100 0
t (s)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
-300
-500
200*I
-700
Figure 4.41 : Fonctionnement en charge en moteur
Excitation continue, V et I expérimentales
Par conséquent, la puissance maximale fournie par la MRV est de l’ordre de 337 W
(Puissance débitée sur la résistance + puissance nécessaire à la rotation du banc – pertes
relatives à la seule MRV), avec un facteur de puissance qui vaut 0.39.
147
IV.7.2. Moteur excité en alternatif
IV.7.2.1. Essai à vide
La MRV étant désaccouplée du reste du banc, nous l’avons accrochée sur le réseau. Le circuit
inducteur a été d’abord alimenté en triphasé, à une fréquence de 8,33Hz et un courant de ligne
maximal I’max = 0,6A. Ensuite, nous avons alimenté l’induit à partir du réseau avec une
tension simple de 430 V efficace, 50Hz. A cette fréquence, la vitesse de synchronisme est de
50 tr/min.
Les formes d’onde expérimentales du courant et de la tension de phase sont représentées sur
la figure (4.42).
700
V(v),I (A)
V
500
300
t (s)
100
-100 0
-300
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
200*I
-500
-700
Figure 4.42 : Fonctionnement à vide en moteur.
Excitation alternative, V et I expérimentales
Dans le tableau (4.7), on regroupe les valeurs mesurées de la puissance active, du facteur de
puissance et du courant efficace consommé par le bobinage de l’induit.
Expérience
90
0.14
0.8
Tableau (4.7) : Résultats expérimentaux. Fonctionnement
moteur à vide, excitation triphasée.
IV.7.2.2. Essai en charge
Dans cet essai, la MRV est accouplée au multiplicateurs de vitesse et à la MCC. Cette
dernière entraîne le banc à la vitesse de synchronisme. Ensuite, une fois l’inducteur de la
148
MRV alimenté à la bonne fréquence, on accroche cette dernière au réseau sous une tension de
phase de 430 volt efficace.
Par la suite, la MCC est déconnectée de son alimentation et la MRV entraîne le banc au
synchronisme. Pour ce point de fonctionnement, la puissance débitée par la MRV représente
la puissance nécessaire à l’entraînement du banc qui est de l’ordre de 210 W.
L’évolution de la tension d’une phase et du courant correspondant, obtenues
expérimentalement sont montrées sur figure (4.43).
700
V(v),I (A)
V
500
300
100
-100
-300
t (s)
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
200*I
-500
-700
Figure 4.43 : Fonctionnement en charge en moteur.
Excitation alternative, V et I expérimentales
Le facteur de puissance ainsi que la puissance mesurée et le courant absorbé sont donnés dans
le tableau (4.8).
Expérience
300
0.28
0.88
Tableau (4.8) : Résultats expérimentaux. Fonctionnement moteur
en charge, excitation triphasée
Sur la figure (4.44) ci-dessous, nous avons représenté la forme d’onde du courant de phase, en
régime permanent, lors du fonctionnement en moteur. Nous pouvons constater la présence
d’un harmonique à la fréquence de 8,33 Hz.
149
1.5
I (A)
1
0.5
t (s)
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-0.5
-1
-1.5
Figure 4.44 : Courant d’une phase d’induit, Moteur à en charge,
excitation alternative (Expérience)
IV.7.2.3. Calcul de la caractéristique en charge en fonctionnement moteur
Les essais, en fonctionnement moteur, ont été effectués en boucle ouverte. L’angle de charge
entre la f.e.m à vide et le courant d’induit n’est pas contrôlé. Dans le cas de la MRV étudiée, il
est relativement délicat de pouvoir contrôler cet angle. En effet, la passage par un maximum
de la f.e.m. induite est tributaire de deux paramètres, la position angulaire et le passage par
zéro de la tension et du courant inducteur.
Nous avons mené une étude, qualitative, sur la puissance que pourrait délivrer la MRV
étudiée en fonctionnement moteur lorsque l’angle entre la f.e.m. à vide et la tension
d’alimentation des phases est imposée.
Cette étude a été effectuée en utilisant le modèle numérique dans les conditions suivantes. Le
circuit d’excitation est alimenté par des tensions triphasées, de fréquence 8,33 Hz et d’une
valeur efficace de 380 V. Le circuit induit est alimenté également par des tensions triphasées
de fréquence 50 Hz et d’amplitude 380 V. La vitesse de rotation est constante et égale à la
vitesse de synchronisme (50 tr/min). Pour chaque point de fonctionnement, nous imposons
l’angle δ entre la tension appliquée au circuit induit et la f.e.m. à vide.
Nous montrons, sur la figure (4.45), l’allure du courant d’induit lorsque l’angle δ est de 135 °.
4.5
160
I (A)
Ce (Nm)
120
3
1.5
80
t (s)
0
-1.5 0
40
0.05
0.1
0.15
0.2
δ
0
-3
-40
-4.5
-80
0
50
100
150
200
250
Figure 4.45 : Courant dans une phase de l’induit
Figure 4.46 : Evolution du couple en fonction de
obtenue par la MEF
l’angle de charge MEF
150
La figure (4.46) donne, quant à elle, l’évolution du couple électromagnétique de la machine
en fonction de l’angle δ. Nous constatons que cette caractéristique est similaire à celle d’une
machine synchrone et elle passe par un maximum pour une valeur de 135 degrés. Par ailleurs,
le couple maximal généré est de l’ordre de 128 Nm, ce qui correspond à une puissance
mécanique de 670 W. Il est évident que, de par les différentes surestimations des grandeurs
électriques déjà constatées sur les résultats de calcul, les performances du prototype réel
seraient moindres. Cependant, cette caractéristique donne un ordre de grandeur de la
puissance que pourrait délivrer la structure dans le cas où l’angle de charge serait contrôlé.
IV.8. Conclusion
Cette dernière partie de notre travail a consisté en l’étude d’un prototype à puissance réduite
d’une machine à réluctance variable de type Vernier. Ce prototype a été conçu avec une
combinaison sur N r , N s , p et p ′ qui aboutisse à une structure à une seule action du couple
(simple action, paragraphe I.3.3.1.2) et symétrique (paragraphe II.4.3.1).
Les résultats obtenus par l’étude expérimentale ont montré que la MRV Vernier, qu’elle soit
excitée en continu ou en alternatif, se comporte comme une machine synchrone classique. En
effet, nous avons pu l’accrocher au réseau sous la vitesse de synchronisme et pour les deux
types d’excitation.
La présence d’un harmonique, de même fréquence que le courant inducteur, dans les
grandeurs du circuit d’induit constitue l’un des problèmes que nous avons rencontrés sur ce
prototype. Ceci est d’autant plus curieux du fait que cet harmonique est nettement plus accru
dans le cas des grandeurs expérimentales. Des travaux plus approfondis devraient être menés
à la suite de ce mémoire pour expliquer la présence de cet harmonique qui constitue, pour
l’instant, le principal inconvénient de la structure.
Un autre inconvénient est lié à la puissance débitée. En effet, vu la puissance réduite de la
machine fabriquée, les inductances propres des différents enroulements, et particulièrement
celle de l’inducteur, sont importantes. Cette contrainte a empêché de mettre en valeur le
fonctionnement génératrice de la structure par un débit conséquent de puissance. Pour cette
raison la construction d’un prototype d’une puissance de 10kW, comme l’a fixé le cahier des
charges (paragraphe II.4.1), est envisagée par notre laboratoire.
151
CONCLUSION GENERALE
Conclusion Générale
Conclusion générale
Notre travail de recherche a consisté à concevoir, modéliser et étudier une machine électrique
pour des applications à fort couple et faible vitesse (de l’ordre de 50 tr/min). L’application
visée étant l’utilisation dans une centrale éolienne à moyenne puissance et à attaque directe.
Cette solution permet d’éliminer d’une part le multiplicateur de vitesse, qui représente une
source de pannes assez fréquentes, et d’autre part d’augmenter la puissance volumique de
l’installation.
Nous avons retenu, pour notre étude, une machine à réluctance variable (MRV) de type
Vernier excitée. En effet, de par son principe, cette structure peut fonctionner à de faibles
vitesses et forts couples avec un nombre de paires de pôles réduit. Par ailleurs, l’adjonction
d’un système d’excitation permet d’améliorer son facteur de puissance. Enfin, elle a un
fonctionnement synchrone similaire à celui d’une machine synchrone à pôles lisses associée à
un multiplicateur électromagnétique de vitesse.
Le circuit d’excitation d’une MRV Vernier peut se situer indifféremment au stator ou au rotor
et être alimenté de différentes manières. Dans notre cas, nous avons opté pour un circuit
d’excitation constitué d’un second bobinage triphasé au stator. Cette configuration permet,
d’une part, d’éviter les contacts glissants, et d’autre part, de doter la machine de deux degrés
de liberté supplémentaires, courant et fréquence d’excitation, pouvant être utilisés dans la
commande.
Le fonctionnement synchrone des MRV Vernier excitées repose sur un choix particulier de la
denture et de la polarité des bobinages. Ce choix ne peut se faire sans des considérations
théoriques, qui permettent de trouver la bonne combinaison relative à la conversion
électromécanique.
Le premier chapitre de ce mémoire a été consacré à une étude énergétique et une classification
des MRV hétéropolaires. Sous des hypothèses simplificatrices, perméabilité infinie du circuit
magnétique réluctance constante sous les différents pôles, un modèle énergétique a été établi.
Ce modèle analytique, basé sur l’énergie magnétique dans l’entrefer exprimée en fonction de
la perméance d’entrefer et la différence de potentiel nous a permis de déterminer les
conditions nécessaires au fonctionnement synchrone des MRV Vernier.
152
Après le choix d’une structure remplissant les caractéristiques de fonctionnement désirées,
nous avons, dans la deuxième partie du premier chapitre, proposé une méthodologie de prédimensionnement d’une MRV Vernier excitée par des courants alternatifs au stator. Cette
méthodologie, s’inspire des règles de dimensionnement utilisées pour les machines
synchrones. Dans notre travail, nous avons adapté ces règles au cas des MRV et nous avons
élaboré un programme informatique de dimensionnement.
Afin de pouvoir tester les performances de plusieurs structures Vernier, nous avons introduit,
dans le chapitre II, divers modèles d’étude. Les deux premiers, analytique et semi-analytique
sont identiques hormis pour les différents harmoniques structurels (liés à la géométrie de
l’entrefer et de la distribution des enroulements) qui sont pris en compte dans le modèle semianalytique. Un troisième modèle, semi-analytique étendu a également été développé. Il
permet de prendre en compte, en plus des différents harmoniques de géométrie et de
bobinages, l’éventuelle variation des réluctances sous les pôles.
Ces trois modèles répondent à l’hypothèse d’une perméabilité infinie du circuit magnétique.
Leur précision est donc limitée mais ils permettent de réaliser des pré-études rapides des
performances d’une MRV Vernier.
Un dernier modèle, numérique basé sur la méthode des éléments finis en 2D couplé aux
équations du circuit électrique, a également été utilisé pour étudier les caractéristiques des
MRV. Ce modèle, qui prend en considération la non linéarité des matériaux magnétiques,
permet de quantifier l’effet de la saturation sur les performances des machines. De ce fait, il
aboutit à des résultats nettement plus précis que les approches analytiques avec néanmoins
des temps de calculs beaucoup plus élevés.
Ces différents modèles ont été mis en œuvre pour étudier différentes structures de MRV
Vernier excitées. Ils nous ont permis de valider des conditions supplémentaires sur le
fonctionnement des MRV et de dissocier deux catégories de machines que nous avons
appelées : structures symétriques et dissymétriques.
Suite à ces études, nous avons retenu une machine symétrique. Elle contient 70 dents au rotor,
72 dents au stator, 6 paires de pôles d’induit et 4 paires de pôles d’inducteur. Les
alimentations des deux circuits se font à des fréquences de 50Hz et 8.33Hz pour une vitesse de
rotation synchrone de 50 tr/min.
Afin d’optimiser la structure choisie, nous avons développé une méthode d’optimisation basée
153
sur l’algorithme génétique. Dans le troisième chapitre, cette méthode a été testée puis
appliquée à la structure avec le modèle semi-analytique. Ce modèle a été choisi pour limiter
les temps de calculs qui auraient été trop longs avec la méthode des éléments finis.
Le comportement du couple électromagnétique en fonction des ouvertures dentaires a été
étudié. Bien que dans la littérature de ces machines on trouve un ordre d’ouverture conseillé,
nous avons constaté que ces ouvertures peuvent être pour certaines structures une cause
importante d’ondulation du couple. L’optimisation, par l’algorithme génétique, a été effectuée
et a donné des résultats qui se trouvent dans l’intervalle préconisé. Par contre, les ouvertures
issues de l’optimisation sont différentes entre les deux armatures.
Dans le but de comparer l’étude théorique, un prototype de la structure retenu à puissance
réduite a été réalisé. Ce prototype a confirmé l’étude théorique du point de vue
fonctionnement synchrone de la MRV Vernier et son comportement semblable à une machine
synchrone classique. Cependant, le fonctionnement en génératrice n’a pas montré des
résultats intéressants en termes de puissance fournie. En effet, le prototype étant de puissance
réduite, les réactances synchrones sont très élevées, ce qui constitue un handicap pour le
fonctionnement en génératrice.
En perspective à nos travaux, nous pensons qu’il serait intéressant, dans les
dimensionnements futurs, de prendre en compte l’effet de la saturation de la machine par un
coefficient multiplicateur tant au niveau des ampère-tours que dans celui des dimensions
géométriques. Il serait tout aussi intéressant de doter le prototype construit d’une commande
afin de quantifier ses performances en fonctionnement moteur autopiloté. Enfin, suite à notre
étude, nous pensons qu’il serait bénéfique de choisir une fréquence pour l’excitation plus
élevée que celle que nous avons adoptée.
154
ANNEXES
Annexe 1
Annexe 1
Coefficients permettant le calcul de la perméance d’entrefer, voir référence [13].
E0 =
Es =
Er =
emin
(


1
ps
pr
p . p ( p + pr + 2emin )
rds +
rdr + r s s
rds rdr 
1 +
+ pr + ps  emin + pr
(emin + ps )(emin + pr )emin
emin + ps

emin
(e
min
Es _ r =
(e
ps
+ pr + ps
pr
+ pr + ps
min
 pr ( ps + pr + 2emin ) 
rdr 
1 + (e
ps )emin
min +


)(e
min
2
+ pr ) π
)(e
min
2  ps ( ps + pr + 2emin ) 
1+
r
(emin + pr ) emin ds 
+ ps ) π 
4
pr . ps ( ps + pr + 2emin )
+ pr + ps )(emin + ps )(emin + pr ) emin π ²
(A1.1)
(A1.2)
(A1.3)
(A1.4)
ej =
1
sin ( j rds π )
j
(A1.5)
em =
1
sin (m rdr π )
m
(A1.6)
rds =
l ds
l
= ds
l ds + l es λ s
(A1.7)
rdr =
l dr
l
= dr
l dr + l er λ r
(A1.8)
Annexe 2,3 et 4
Annexe 2
MRV double denture non excitée
Expression de l’énergie dans l’entrefer
Le développement de l’expression de l’énergie magnétique dans l’entrefer, pour une MRV à
double denture non excitée (voir paragraphe I.3.1) donne :
Wem =
1
=
2
2π
∫{
0
2π
1
ε T2 P(θ s ,θ ) dθ s
∫
2 0
1 2
1 2
1 2
ε max P0 + ε max
Ps cos N sθ s + ε max
Pr cos( N r (θ s − θ ))
2
2
2
11
2
P1s _ 1r ε max
cos[( N s + N r )θ s − N rθ ]
22
11
2
P1s _ 1r ε max
cos[( N s − N r )θ s + N rθ ]
+
22
1 2
P0 cos( 2ωt − 2 pθ s )
+ ε max
2
1 2
1
+ ε max
P1s [cos(2ωt + θ s ( −2 p + N s )) + cos(2ωt + θ s (−2 p − N s ))]
2
2
1 2
1
P1r [cos(2ωt + θ s ( −2 p + N r ) − N rθ ) + cos( 2ωt + θ s ( −2 p − N r ) + N rθ ]
+ ε max
2
2
1 2 1
1
P1s _ 1r cos(2ωt + θ s ( −2 p + N s + N r ) − N rθ )
+ ε max
2
2
2
1 2 1
1
P1s _ 1r cos(2ωt + θ s ( −2 p − N s − N r ) + N rθ )
+ ε max
2
2
2
1 2 1
1
P1s _ 1r cos(2ωt + θ s ( −2 p + N s − N r ) + N rθ )
+ ε max
2
2
2
1 2 1
1
P1s _ 1r cos(2ωt + θ s ( −2 p − N s + N r ) − N rθ ) }dθ s
+ ε max
2
2
2
+
= Wme 0 + f 1 + g 1 + g 2 + g 3 + f 2 + f 3 + f 4 + g 4 + g 5 + g 6 + g 7 + g 8 + g 9
Annexe 2,3 et 4
Annexe 3
MRV double denture excitée
On pose :
2
ε max
δ =
2
+
'2
ε max
2
l = ω + ω'
j = Ns + Nr
m= p+ p
k = Ns − Nr
n = ω −ω'
q = p − p'
L’énergie magnétique s’exprime par :
Wem =
2π
1
1
ε T2 P(θ s ,θ )dθ s = {δ P0
∫
20
2
+ δ P1s cos N sθ s
+ δ P1r cos( N r (θ s − θ ))
+
+
+
δ P1s _ 1r
2
δ P1s _ 1r
2
ε2
max
2
cos( Jθ s − N rθ )
cos(Kθ s + N rθ )
P0 cos(2ω t − 2 pθ s )
1 ε max
P1s [cos(2ω t − θ s ( 2 p − N s )) + cos(2ω t − θ s (2 p + N s ))]
+
2 2
2
1 ε max
P1r [cos(2ω t − θ s (2 p − N r ) − N rθ ) + cos( 2ω t − θ s ( 2 p + N r ) + N rθ )]
+
2 2
2
1 ε max 1
P1s _1r [cos(2ω t − θ s ( 2 p − J ) − N rθ ) + cos(2ω t − θ s (2 p + J ) + N rθ )]
+
2 2 2
2
1 ε max 1
P1s _1r [cos(2ω t − θ s ( 2 p − K ) + N rθ ) + cos(2ω t − θ s (2 p + K ) − N rθ )]
+
2 2 2
2
Annexe 2,3 et 4
+
ε '2
P0 cos(2ω ′t − 2 p′θ s + 2ap'θ )
max
2
1ε
+ max P1s [cos(2ω ′t − θ s (2 p′ − N s ) + 2ap'θ ) + cos(2ω ′t − θ s (2 p′ + N s ) + 2ap'θ )]
2 2
'2
1ε
+ max P1r [cos(2ω ′t − θ s (2 p′ − N r ) − N rθ + 2ap'θ ) + cos(2ω ′t − θ s (2 p′ + N r ) + N rθ + 2ap'θ )]
2 2
'2
1ε 1
+ max P1s _1r [cos(2ω ′t − θ s (2 p′ − J ) − N rθ + 2ap'θ ) + cos(2ω ′t − θ s (2 p′ + J ) + N rθ + 2ap'θ )]
2 2 2
'2
1ε 1
+ max P1s _1r [cos(2ω ′t − θ s (2 p′ − K ) + N rθ + 2ap'θ ) + cos(2ω ′t − θ s (2 p′ + K ) − N rθ + 2ap'θ )]
2 2 2
'2
+ε
max
ε ' P0 cos(l t − mθ s + ap 'θ )
max
1
+ ε ε ' P1s [cos(l t − θ s ( m − N s ) + ap 'θ ) + cos(l t − θ s (m + N s ) + ap 'θ )]
2 m m
1
+ ε ε ' P1r [cos(l t − θ s ( m − N r ) − N rθ + ap 'θ ) + cos(l t − θ s ( m + N s ) + N rθ + ap 'θ )]
2 m m
'
1 ε max ε max
P1s _ 1r [cos(l t − θ s (m − J ) − N rθ + ap 'θ ) + cos(l t − θ s (m + J ) + N rθ + ap'θ )]
+
2
2
'
1 ε max ε max
P1s _ 1r [cos(l t − θ s (m − K ) + N rθ + ap 'θ ) + cos(l t − θ s (m + K ) − N rθ + ap 'θ )]
+
2
2
+ε
max
ε ' P0 cos(nt − qθ s − ap 'θ )
max
1
+ ε ε ' P1s [cos(nt − θ s (q − N s ) − ap 'θ ) + cos(nt − θ s ( q + N s ) − ap'θ )]
2 max max
1
+ ε ε ' P1r [cos(nt − θ s (q − N r ) − N rθ − ap 'θ ) + cos(nt − θ s (q + N s ) + N rθ − ap 'θ )]
2 max max
'
1 ε max ε max
P1s _ 1r [cos(nt − θ s (q − J ) − N rθ − ap 'θ ) + cos( nt − θ s (q + J ) + N rθ − ap 'θ )]
+
2
2
'
1 ε max ε max
P1s _ 1r [cos(nt − θ s (q − K ) + N rθ − ap 'θ ) + cos(nt − θ s ( q + K ) − N rθ − ap 'θ )]}dθ s
+
2
2
Annexe 2,3 et 4
Annexe 4
MRV simple denture excitée
Le développement de l’énergie magnétique dans l’entrefer, relatif au paragraphe 1.3.3.2,
aboutit à l’expression suivante :
Wem =
1
2
2π
∫
0
ε T2 P(θ s ,θ )dθ s =
1
2
2π
∫
0
2
'2
 ε max

ε max

 P0
+

2 
 2
ε2
ε '2 
+  max + max  P1r cos(N r (θ s − θ ))
2 
 2
2
ε max
P0 cos(2ωt − 2 pθ s )
+
2
2
1 ε max
P1r cos(2ωt − θ s (2 p − N r ) − N rθ )
+
2 2
2
1 ε max
P1r cos(2ωt − θ s (2 p + N r ) + N rθ )
+
2 2
ε '2
+ max P0 cos(2ω ' t − 2 p'θ s + 2ap'θ )
2
'2
1 ε max
P1r cos(2ω ' t − θ s (2 p'− N r ) − N rθ + 2ap'θ )
+
2 2
'2
1 ε max
P1r cos(2ω ' t − θ s (2 p'+ N r ) + N rθ + 2ap'θ )
+
2 2
'
P0 cos((ω + ω ' )t − ( p + p' )θ s + ap'θ )
+ ε maxε max
1
'
P1r cos((ω + ω ' )t −θ s( p + p'− N r ) − N rθ + ap'θ )
+ ε maxε max
2
1
'
P1r cos((ω + ω ' )t −θ s( p + p'+ N r ) + N rθ + ap'θ )
+ ε maxε max
2
'
P0 cos((ω − ω ' )t − ( p − p' )θ s − ap'θ )
+ ε maxε max
1
'
P1r cos((ω − ω ' )t −θ s( p − p'− N r ) − N rθ − ap'θ )
+ ε maxε max
2
1
'
P1r cos((ω − ω ' )t −θ s( p − p'+ N r ) + N rθ − ap'θ )
+ ε maxε max
2
}
dθ s
Annexe 5
Annexe 5
Discrétisation par éléments finis
Dans le cas de la MEF, la résolution de l’équation (2.43), du chapitre II, passe par une
première étape qui la transforme d’une équation aux dérivées partielles à une équation sous
forme intégrale. Ce résultat pourra être obtenu par l’utilisation de la méthode des résidus
pondérés. La forme intégrale obtenue s’écrit :
W =
 ∂A

− J 0 Z  dΩ
∂t

∫∫υ ( grad ψ .grad A) dΩ + ∫∫ψ  σ
ΩD
ΩD
(A5.1)
+ ∫∫υ ( grad ψ ∧ Br ).k dΩ = 0
ΩD
Avec W , Ω D et ψ représentent respectivement le résidu, le domaine d’étude et une fonction
test (fonction de pondération).
La discrétisation de la formule obtenue (A5.1), nécessite une subdivision du domaine d’étude
Ω D en éléments finis.
On note We la valeur que donne l’intégration de l’expression (A5.1) sur un élément e, on
obtient alors sur tout le domaine d’étude et pour ne éléments:
ne
ne 
W = ∑ We = ∑ 

e =1
e =1 
 ∂A

− J 0 Z  dΩ
υ ( grad ψ . grad A) dΩ + ∫∫ψ  σ
∫∫
 ∂t

Ωe
Ωe

=0


(A5.2)
En 2D, en exprime le potentiel vecteur dans chaque élément en fonction des valeurs nodales
Aie et de la fonction d’interpolation wni par :
3
A ( x, y, t ) = ∑ wni Aie (t )
e
(A5.3)
i =1
Pour la fonction test, on utilise la méthode de Galerkine. Dans cette méthode, la fonction de
pondération (fonction test) ψ est prise égale à la fonction d'interpolation wni . Cette dernière
vérifie les propriétés définies par le symbole de Kronecker δ (i, j ) , tel que :
Annexe 5
wn j ( x j , y j ) = δ (i, j )
(A5.4)
on obtient dans ce cas :
ne
∑
e =1
(
)
3
3


∂Aek
i

 ∫∫ ∑ υ ( grad wni grad wn j Ae dΩ + ∑  wni wn j dΩ
∂t
 Ωe i =1
k =1 

− wn J 0 Z dΩ = 0
j
 ∫∫
Ωe
et cela
∀







(A5.5)
j ∈ ne
L’assemblage sur tous les éléments du domaine d’étude, conduit à un système à ne équations
algébriques, dont l’inconnue est le potentiel aux nœuds du maillage [55,57,59]. Ce système
d’équation s’écrit sous la forme (2.55) donnée au chapitre II.
Annexe 6
Annexe 6
Combinaisons de fonctionnement ( Nr ,Ns , p et p ′ )
Dans les tableaux ci-dessous on présente les combinaisons répondants aux conditions des
structures à simple action. Ces combinaisons sont obtenues on posant les contraintes
suivantes :
Nombre maximal de dents au rotor N r = 100
Nombre maximal de dents au stator N s = 100
Nombre maximal de paire de pôles induit p = 15
Nombre maximal de paire de pôles inducteur p ′ = 15
Nombre maximal d’encoches par pôle et par phase qe et q′e ≤ 5
Remarque :
Les combinaisons en grisé, représentent les structures symétrique dont la fréquence
d’excitation est ≤ 100 Hz .
p p′ N r N s q e q′e
1
2
9
12
2
1
2
3
41
36
3
2
6
12
66
72
2
1
1
2
11
12
2
1
2
4
42
48
4
2
2
5
67
60
5
2
1
2
13
12
2
1
2
8
42
48
4
1
2
10
68
60
5
1
1
3
14
18
3
1
3
9
42
54
3
1
3
6
69
72
4
2
1
2
15
12
2
1
2
6
44
36
3
1
4
6
70
72
3
2
2
4
18
24
2
1
4
8
44
48
2
1
5
15
70
90
3
1
1
4
19
24
4
1
3
6
45
36
2
1
3
4
71
72
4
3
4
1
21
24
1
4
5
10
45
60
2
1
2
10
72
60
5
1
1
2
21
24
4
2
2
4
46
48
4
2
3
15
72
90
5
1
1
3
22
18
3
1
2
10
48
60
5
1
3
4
73
72
4
3
2
4
22
24
2
1
2
4
50
48
4
2
4
6
74
72
3
2
1
2
23
24
4
2
4
8
52
48
2
1
5
10
75
60
2
1
1
5
24
30
5
1
2
10
52
60
5
1
3
6
75
72
4
2
1
2
25
24
4
2
2
5
53
60
5
2
7
14
77
84
2
1
2
4
26
24
2
1
2
4
54
48
4
2
6
12
78
72
2
1
1
5
26
30
5
1
2
8
54
48
4
1
3
15
78
90
5
1
4
1
27
24
1
4
6
12
54
72
2
1
3
4
79
72
4
3
1
2
27
24
4
2
5
10
55
60
2
1
3
12
81
72
4
1
3
6
27
36
2
1
4
12
56
72
3
1
3
6
81
72
4
2
2
6
28
36
3
1
2
5
57
60
5
2
4
6
82
72
3
2
1
4
29
24
4
1
3
12
57
72
4
1
3
5
82
90
5
3
2
4
30
24
2
1
2
8
58
48
4
1
4
8
84
96
4
2
2
3
31
36
3
2
4
8
60
48
2
1
3
12
87
72
4
1
3
6
33
36
2
1
4
6
62
72
3
2
4
12
88
72
3
1
1
5
34
30
5
1
2
5
63
60
5
2
3
5
88
90
5
3
2
3
35
36
3
2
3
6
63
72
4
2
6
12
90
72
2
1
1
5
36
30
5
1
3
12
63
72
4
1
7
14
91
84
2
1
4
8
36
48
2
1
7
14
63
84
2
1
3
5
92
90
5
3
2
3
37
36
3
2
5
10
65
60
2
1
4
8
92
96
4
2
2
8
38
48
4
1
3
4
65
72
4
3
3
5
98
90
5
3
3
6
39
36
2
1
3
9
66
54
3
1
4
8
100
96
4
2
Annexe 7
Annexe 7
Le dimensionnement mécanique ainsi que les différentes cotations données au constructeur
sont présentés par les figures ci dessous.
C
-B
-B
-B
A
A
A
-C
C
a
-A
a
-A
-A
B
-c
-b
-b
ca c
p_
3
c
B
-a
B
-C
4
cap_
C
ca -a
p_
2
b
-C
b
-C
-c
A
A
30
-c
30
a
cap_1
A
a
120.92
101.7
Cale
1
1
1
20
1
5°
°
2.9
8°
2.9
4°
5.1
18.22
0.3
14.64
4.7
5
Nomenclature
AC
Densité linéique du courant
ATmax/ enc sta Ampère-tours maximaux dans une encoche statorique
A
Az
B
Be
Potentiel vecteur magnétique
Potentiel vecteur magnétique suivant l’axe z
Induction magnétique
Induction magnétique dans l’entrefer
C em
Couple électromagnétique
Ce
Couple électromagnétique dans l’entrefer
Ce2
Action d’ordre 2 du couple
C e3
Ce4
C e5
Ce6
Ce7
Dc
E
e
La valeur efficace de la densité du courant
Champ électrique
Largeur de l’entrefer
emin
emax
Entrefer minimal
Entrefer maximal
FK
Gt
H
He
Fonction filtre représente la distribution des spires du bobinage k
Génération à l’instant t
ik
Courant d’alimentation relatif au bobinage k
Champ magnétique
Champ magnétique dans l’entrefer
I max
′
I max
Courant maximal de l’alimentation
I
Courant efficace de l’alimentation
Courant maximal de l’excitation
I′
J0
J0Z
K Bi k
Courant efficace de l’excitation
KB
Coefficient de bobinage du premier harmonique relatif à l’enroulement de l’induit
K B′
Coefficient de bobinage du premier harmonique relatif à l’enroulement de l’inducteur
Kf
Coefficient de forme d’onde du flux
K rem
Coefficient de remplissage des encoches
kv
L
l ds
Densité de courant
Densité de courant suivant l’axe z
Coefficient de bobinage relatif à l’enroulement k pour l’harmonique du rang i
Rapport Vernier
Longueur active de la machine
Largeur de la dent statorique
Nomenclature
l dr
Largeur de la dent rotorique
l es
Largeur de l’encoche statorique
l er
Largeur de l’encoche rotorique
Lii
Inductance propre d’une phase de l’induit
L jj
Inductance propre d’une phase de l’inducteur
Ml m
Mutuelle inductance entre la phase notée l et la phase notée m
Ns
Nr
N
n
n′
nce
Nombre de dents au stator
Nombre de dents au rotor
Vitesse de rotation (tr/min)
Nombre de spires de l’enroulement de l’induit
Nombre de spires de l’enroulement de l’inducteur
Nombre de conducteurs par encoche
np
Nombre d’individus de la population P
P
p′
ps
Nombre de paires de pôles du bobinage de l’induit
Nombre de paires de pôles du bobinage de l’inducteur
Profondeur de la dent statorique
pr
p cs
Profondeur de la dent rotorique
Epaisseur de la culasse statorique
p cr
Epaisseur de la culasse rotorique
P (θ s ,θ )
Perméance d’entrefer par unité d’angle
P0
Coefficient de la perméance moyenne
P1s
Coefficient de le perméance relative à la denture statorique
P1r
P1s _ 1r
Coefficient de le perméance relative à la denture rotorique
Coefficient de le perméance relative à la double denture stator rotor
Ps
P
P (G t )
Puissance spécifique
pi
Puissance active
Population relative à la génération Gt
Probabilité de sélection de l’individu noté i
Psel
Pression de sélection
pc
Probabilité de croisement des individus
pm
q
q′
qe
q e′
Probabilité de mutation des individus
Rs
S
V
Wem
Nombre de phases de l’enroulement de l’induit
Nombre de phases de l’enroulement de l’inducteur
Nombre d’encoches par pôle et par phase du circuit de l’induit
Nombre d’encoches par pôle et par phase du circuit de l’inducteur
Rayon d’alésage
Puissance apparente
Tension d’alimentation
Energie magnétique
Nomenclature
′
Wem
Co-énergie magnétique
Wem 0
L’énergie constante « indépendante de la position du rotor »
αs
Pas dentaire statorique
αr
Pas dentaire rotorique
Force magnétomotrice (f.m.m)
εe
εk
ε k′
εT
ε T1
Force magnétomotrice relative au bobinage k du circuit de l’induit
Force magnétomotrice relative au bobinage k du circuit de l’inducteur
Force magnétomotrice totale
Force magnétomotrice totale relative au bobinage de l’induit
εT 2
ε max
′
ε max
Force magnétomotrice totale relative au bobinage de l’inducteur
φk
ϕ
κ dn
Flux dans la phase k
κ de1
κ de 2
Coefficient qui prend les valeurs ± 1
κ de3
κ de 4
κ de5
κ de6
κ de7
λr
µ
µ0
θ
θs
θr
σ
υ
ω
ω′
ξe
Ω
Force magnétomotrice maximale relative au bobinage de l’induit
Force magnétomotrice maximale relative au bobinage de l’inducteur
Potentiel scalaire électrique
Pas dentaire rotorique
Perméabilité magnétique du matériau
Perméabilité magnétique de l’air
Position du rotor par rapport à l’axe du stator
Position d’un point dans l’entrefer par rapport à l’axe du stator
Position d’un point dans l’entrefer par rapport à l’axe du rotor
Conductivité du milieu
Réluctivité magnétique
Pulsation des courants de l’induit
Pulsation des courants de l’inducteur
Différence de potentiel magnétique (d.d.p.m)
Vitesse de rotation
Bibliographie
[1]
T.J.E. Miller
Brushless permanent magnet and reluctance motor drives.
Oxford Science Publication, 1989
[2]
A. Fratta, A. Vagati
A reluctance motor drive for high dynamic performance applications
Conference Record of the 1987 I.E.E.E. Industry applications Society. Annual Meetig, pp. 295-302
[3]
A. Mailfert
Machines à réluctance variable.
Techniques de l’ingénieur D550
[4]
I. Haouara
Contribution à l’étude de la modélisation et l’optimisation d’une structure par des aimants permanents.
Thèse de Doctorat, Lille 1, Juillet 1998
[5]
I. Haouara, A. Tounzi, F. Piriou
Design and optimisation of an excited reluctance generator using field computation.
IEEE Trans. Mag., Septembre 1998, pp. 3494-3497
[6]
F.M. Sargos
Etude théorique des performances des machines à réluctance variable.
Thèse de Doctorat, I.N.P.L, Mars 1981
[7]
K.C. Mukherji, A.Tustin
Vernier reluctance motor.
Proc. IEE, Vol. 121, n°9, September 1974
[8]
D.J. Rhodes
Assessment of Vernier motor design using generalised machine concepts.
IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-96, n°4, July/August 1977
[9]
J. Lesenne, F. Notelet, G. Seguier
Introduction à l’électrotechnique approfondie.
Ed. Technique & Documentation, Paris, 1981
[10]
J. Faucher
Contribution à l’étude des machines à réluctance variable à commutation électronique.
Thèse de Doctorat d’état, I.N.P.T, Toulouse, Juin 1981
[11]
G. Drouet
Contribution à l’étude des machines à réluctance à commutation électronique excitées par courants
statoriques.
Thèse de Doctorat, I.N.P.T, Toulouse, Mars 1984
[12]
A. Ishizaki, T. Tanaka, T. Takasaki, S. Nishikata
Theory and optimum design of PM Vernier motor.
Electrical Machines and Drives, 11-13 September 1995, Conference Publication n°412, pp. 208-212
[13]
J.F. Brudny
Etude quantitative des harmoniques du couple du moteur asynchrone triphasé d’induction.
Habilitation à diriger des recherches, USTL, Octobre 1991
[14]
K.C. Mukherji, S. Neville
Magnetic permeance of identical double slotting.
Proc. IEE, Vol. 118, n°9, September 1971
[15]
P. A. Ward, PJ. Lawrenson
Magnetic permeance of doubly-salient airgaps
Proc. IEE, Vol. 124, n°6, June 1977
Bibliographie
[16]
H. Hesse
Air gap permeance in doubly-slotted asynchronous machines.
IEEE Transactions on Energy Conversion,Vol. 7, n°3, September 1992
[17]
M. Johr, K. Kluszczynski
Simplified representation of doubly-slotted varying air-gap of electrical machine.
Technical University of Silesia, Gliwice, Institute of Electrical Machines & Devices, Poland
[18]
C.H. Lee
Vernier motor and its design.
IEEE Trans. PAS-82, Juin 1963, pp. 343-349
[19]
D. Platt
Reluctance motor with strong rotor anisotropy.
IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 28, n°3, May/June 1992
[20]
T. Matsuo, T.A. Lipo
Rotor design optimization of synchronous reluctance machine.
IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 9, n°2, June 1994
[21]
F.N. Isaac, A.A. Arkadan
Characterization of axially laminated anisotropic-rotor synchronous reluctance motors.
IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 14, n°3, September 1999
[22]
T.F. Chan, L.T. Yan
Performance analysis of a brushless and exciterless A.C generator.
IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 12, n°1, March 1997
[23]
D.A. Staton, T.J.E. Miller, S.E. Wood
Maximising the saliency ratio of the synchronous reluctance motor.
IEE PROCEEDINGS-B, Vol. 140, N°4, July 1993
[24]
F. Meibody-Tabar
Etude d’une machine synchrone à réluctance variable pour des applications à grande vitesse.
Thèse de Docotrat, I.N.P.L, Nancy,1986
[25]
A. Tounzi
Contribution à la commande vectorielle de machines à réluctance variable. Prise en compte de la
saturation et de l'amortissement.
Thèse de Doctorat de l'INPL, ENSEM NANCY Février 1993
[26]
M.S. Arefeen, M. Ehsani, T.A. Lipo
Sensorless position measurement in synchronousreluctance motor.
IEEE Transactions on Power Electrnics, Vol. 9, n°6, November 1994
[27]
A. Vagati, M. Pastorelli, F. Scapino, G. Franceschini
Impact of cross saturation in synchronous reluctance motors of the transverse-laminated type.
IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 36, n°4, July/August 2000
[28]
J. Chalmers, L. Msaba
Design and field-weakening performance of a synchronous reluctance motor with axially laminated
rotor.
IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 34, n°5, September/October 1998
[29]
R.E. Betz, R. Lagerquist, M. Jovanovic, T.J.E. Miller, R.H. Middleton
Control of synchronous reluctance machines.
IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 29, n°6, November/December 1993
Bibliographie
[30]
B.V. Gorti, G.C. Alexander, R. Spée
Power balance considerations for brushless doubly-fed machines.
IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 11, n°4, December 1996
[31]
R.E. Betz, M.G. Jovanovié
The brushless doubly fed reluctance machine and the synchronous reluctance machine. A comparison.
IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 36, n°4, July/August 2000
[32]
B. Multon, J.P. Caron
Moteur synchrone monophasé à excitation par aimants permanents à alimentation électronique. Etude
électromagnétique du moteur.
La Revue 3EI n°22, Septembre 2000
[33]
J. Lawrenson, L.A. Agu
Theory and performance of polyphase reluctance machines.
Proc. IEE, Vol. 111, n°8, August 1964
[34]
J. Faucher, G. Escude, M. Aziz-Ghannadi
Alimentation en courant pour machine à réluctance autopilotée.
EAI 263, Février 1979
[35]
F.M. Sargos
Machines à réluctance à plots non excitées : optimisation des structures.
RGE Juillet 1989n°7, pp. 33-37
[36]
A. Toba, T.A. Lippo
Generic torque-maximizing design methodology of surface permanent-magnet Vernier machine.
IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 36, n°6, November/December 2000
[37]
I. Haouara, A. Tounzi, F. Piriou
Etude d’une génératrice non conventionnelle pour une application en éolienne .
Proc. International Conferance of the IEEA, Batna, Algérie, December 1997, pp. 70-74
[38]
S. Charbonnier
Etude d’un moteur à réluctance hybride à aimants statoriques multiples.
Thèse de Doctorat, I.N.P.L, Nancy, Octobre 1981
[39]
A. Rabih
Calcul et optimisation des machines hybrides à double excitation axiale. Dimensionnement et choix des
aimants permanents.
Thèse de Doctorat, I.N.P.L, Nancy, Février 1991
[40]
A. Mailfert, S. Charbonnier, G. Hombourger
Etude d’un type de moteur hybride utilisable en fonctionnement pas à pas.
RGE 3/81, Mars 1981
[41]
L. Xu, F. Liang, T.A Lipo
Transient model of a doubly excited reluctance motor.
IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 6, n°1, March 1991
[42]
D. Matt, J.F. libre
Performances comparées des machines à aimants et à réluctance variable. Maximisation du couple
massique ou volumique.
J. Phys.III France 5, Octobre 1995, pp. 1621-1641
[43]
M. Liwschitz
Calcul des machines électriques. Volume II.
SPES Lausana 1967
Bibliographie
[44]
J. F. Heuillard
Machines synchrones dimensionnement électromagnétique.
Techniques de l’ingénieur
[45]
G. Merouge
Les règles générales de dimensionnement des machines électriques tournantes.
Journée Electrotechnique Club EEA 25 et 26 Mars 1993, Belfort
[46]
B. Nogarede
Etude de moteur sans encoches à aimants permanents de forte puissance à basse vitesse
Thèse de Doctorat, INPT, Toulouse, Juin 1990
[47]
A. Ishizaki, Y. Shibata, K. Watanabe, K. Saitoh
Low-speed high-torque drive system applyingVernier motor torque.
Electrical Engineering in Japan, Vol. 112, n°8, 1992.
[48]
L. Banon
Contribution à l’optimisation des MRV de type vernier en commutation électronique.
Thèse de Doctorat, I.N.P.T, Toulouse, Novembre 1981
[49]
O. C. Zienkiewicz
La méthode des éléments finis appliquée à l’art de l’ingénieur.
Ediscience, 1973
[50]
G. Fournet
Electromagnétisme à partir des équations locales
Masson, éditeur, 2e édition 1985
[51]
P.M. Morse, H. Feshbach
Methods of theorical physics.
Mc graw-Hill, 1955
[52]
A. M. Omekanda
Analyse du comportement électromagnétique d’un moteur à réluctance à commutation. Utilisation d’une
méthode hybride : Eléments finis-équations intégrales de frontère
Thèse de Doctorat en Science appliquées, Faculté polytechnique de Mons, 1993.
[53]
J. M. Biedinger
Contribution à la modélisation numérique des machines électriques mobiles.
Thèse de Docteur Ingénieur, Compiègne, 1981
[54]
B. Davat
Modélisation des dispositifs électromagnétiques.
Thèse de Docteur es-Sciences Physiques, Toulouse, 1984
[55]
W. Long
Contribution à la modélisation de systèmes électromagnétiques à l’aide du couplage des équations des
circuits magnétique et électrique.
Thèse de Doctorat, Paris VI, Octobre 1990
[56]
A. Bossavit
Electromagnétisme en vue de la modélisation.
Mathématiques et applications, Springer-Verlag, 1993
[57]
Z. Ren
Contribution à la modélisation des machines électriques par résolution simultanée des équations du
champ et des équations du circuit d’alimentation.
Thèse de Doctorat, I.N.P.T, Toulouse, Décembre 1985
Bibliographie
[58]
M.V.K. Chari, P. Silvester
Finite elements in electrical and magnetic field problems.
John Wiley & Sons, New York, 1980
[59]
N. Sadowski
Modélisation des machines électriques à partir de la résolution des équations du champ en tenant compte
du mouvement et du circuit d’alimentation (Logiciel EFCAD).
Thèse de Doctorat, I.N.P.T, Toulouse, Janvier 1993
[60]
F. Piriou, A. Razek
Coupling of saturated electromagnetic systems to non linear power electronic devices.
IEEE Trans. vol. Mag-24, pp. 274-277, 1988
[61]
M. Feliachi
Contribution au calcul du champ électromagnétique par la méthode des éléments finis en vue d’une
modélisation dynamique de machines électriques.
Thèse de Doctorat, Paris VI, Janvier 1981
[62]
T.W. Preston et all
Induction motor analysis by time-stepping technique.
IEEE Trans Mag. 24, pp. 471-474, 1988
[63]
S. Taïbi
Etude d’une machine à réluctance variable vernier excitée par des courants alternatifs au stator.
Mémoire de DEA Génie Electrique, L2EP, USTL, 1998
[64]
F. Marmin
Contribution à l’étude des erreurs numériques dues à la méthode des éléments finis : application aux
problèmes statiques d’électromagnétisme.
Thèse de Doctorat, USTL, Mai 1998
[65]
J.M. Renders
Algorithmes génétiques et réseaux de neurones.
Editions Hermes, Paris.
[66]
J.H. Holland
Adaptation in natural and artificial systems.
Ann Arbor, University ofMichigan Press, 1975, ISBN 0-472-08460-7
[67]
L. Saludjian, J.L. Coulomb, A. Izabelle
Algorithme génétique et développement de Taylor de la solution éléments finis pour l’optimisation d’un
dispositif électromagnétique.
J. Physique III Novembre 1997, pp. 2189-2200
[68]
F. Zaoui
Méthodes d’optimisation associées à la modélisation numérique : application à la conception et au
diagnostic des systèmes électromagnétiques.
Thèse de Doctorat, LGEP, Paris XI, Octobre 1999
[69]
B. Sareni, L. Krähenbühl, A. Nicolas
Efficient genetic algorithms for solving hard constrained optimization problems.
IEEE Transactions on magnetics, Vol. 36, n°4, July 2000
[70]
J. Lucidarme, C. Rioux, J. Pouillange
Moteurs discoïdes à réluctance variable et à aimants permanents : des couples spécifiques élevés à faible
vitesse.
RGE n°3, Mars 1987, pp. 48-52
Bibliographie
[71]
D.P. Tormey, D.A. Torrey
A comprehensive design procedure for low torque-ripple variable-reluctance motor drives.
IEEE Industry Applications Soc. Ann. Meeting, 1991
[72]
A. Benabou
Identification et optimisation des paramètres du modèle de Jiles-Atherton pour la modélisation de
l’hystérésis magnétique.
JCGE’01 Nancy (France), 13-14 Novembre, pp. 229-234, 2001.
[73]
Radio Energie
L’entreprise qui a fabriqué le prototype étudié
www.radio-energie.fr Paris
[74]
P.M. Leplat, A. Tounzi, S. Clénet, F. Piriou
Study of an induction machine using Park's model and Finite Element Method.
International Conference on Electrical Machines (ICEM 96)
Septembre 1996, Vigo, Espagne, vol 2, pp. 24-29
[75]
P.M. Leplat, S. Clénet, M. Tounzi, F. Piriou
Numerical modelling of an induction generator connected to aP.W.M. voltage source inverter.
XIV Symposium on electromagnetic phenomena in nonlinear circuits, May 1996
[76]
B. Multon
L’énergie sur la terre : analyse des ressources et de la consommation. La place de l’énergie électrique.
Revue 3EI, 1998
[77]
B. Gardiner, L. Morzac
Les besoins énergétiques. Défis écologiques.
Editions Gamma - Editions du Trécarré, 1991.
[78]
M. Budinger, D. Leray, Y. Deblezer
Eoliennes et vitesse variable.
Revue 3EI n°21, Juin 2000
[79]
P. Lampola, J. Väänäen
Analysis of a law speed permanent-magnet wind generator connected to a frequency converted..
I.C.E.M. 96 vol.II, pp. 393-398, Vigo 1996
[80]
L. Söderlund, T.T. Eriksson, J. Salonen, H. Vihriälä, R. Perälä
A permanent-magnet generator forwin power applications.
IEEE Trans. on Magnetics, vol. 32, n°4, July 1996
[81]
M. Moullé, C. Petit
Génératrices asynchrones.
Techniques de l’ingénieur, 1995, Vol. D 3 II, pp. D 452
[82]
R. Michaux, P. Letellier
Machines discoïdales à champ axial dans les systèmes de propulsions électriques.
REE Mars 1997, pp. 37-42
[83]
D. Matt
Etude de deux structures originales de machine à réluctance variable polyentrefer.
Thèse de Doctorat, Paris XI, Avril 1987.
[84]
R. Goyet
Contribution à l’étude des machines à réluctance variable à disques imbriqués.
Thèse de Doctorat d’état , Paris XI, Juin 1981.
Bibliographie
[85]
S. Taïbi, A. Tounzi, F. Piriou
The use of Genetic Algorithm to reduce the torque ripples of a Vernier Reluctance Machine.
Version acceptée pour paraître dans la revue « Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics »
ISEF 2001, Cracovie, Pologne, Septembre 2001, pp. 217-222.
[86]
S. Taïbi, A. Tounzi, S. Clénet, F. Piriou
Design and study of a double air gap Excited Vernier Reluctance Machine.
Version acceptée pour paraître dans la revue « Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics »
ISEF 2001, Cracovie, Pologne, Septembre 2001, pp. 107-112
[87]
S. Taïbi, A. Tounzi, F. Piriou
Design and study of a variable reluctance machine excited by a three phase current in the stator.
ICEM 2000, Août, Helsinki, vol 3, pp.1394-1398
[88]
S. Elaimani, S. Taïbi, A. Tounzi
Diphase modeling of a current excited Vernier reluctance machine.
ICEM 2002, Août, Bruge à paraître
[89]
S. Taïbi, I. Haouara, A. Tounzi, F. Piriou
Etude de MRV excitées pour des applications en entraînement direct.
CEMD'99, S E E, Février 1999, Cachan, pp. 83-88

THESE DOCTEUR Soufiane TAIBI - Laboratoire d`Electrotechnique

Transcription

Documents pareils

Cours d`électricité de puissance - Département de physique

Calage d`un allumage à rotor interne

LES MACHINES SYNCHRONES

billetteries 2016

tp 250 mobile tourelle

Bon de commande cinéma adhérent

Electrotechnique

Mécanique, Mécanique des fluides

Pointage et suivi automatiques - Observatoire astronomique de la