Ti 82 prise en main

Transcription

Ti 82 prise en main

Introduction
L’équipe des formateurs T³ a conçu ce document dans le but de vous aider à utiliser et
manipuler les calculatrices graphiques numériques de Texas Instruments sur les grands
thèmes des programmes de BEP et Bac Pro.
Les programmes et référentiels des formations en lycée professionnel insistent
particulièrement sur le développement des lectures et recherches graphiques pour
explorer de nombreux concepts scientifiques, tant dans l’environnement industriel que
tertiaire. Le développement des nouvelles technologies ne peut ignorer l’importance
d’outils qui donnent aux élèves la possibilité de chercher, d’expérimenter, de découvrir et
donc de construire leurs connaissances autrement que dans l’imitation des actions de leur
professeur.
Ce sont quelques uns de ces aspects qui nous ont conduit à élaborer ce cahier, en
souhaitant rester suffisamment généraliste pour répondre au maximum à la diversité des
formations de LP.
Ainsi l’ensemble des activités proposées doit permettre aux élèves et professeurs
d’utiliser les calculatrices graphiques comme un outil privilégié d’investigations et de
découvertes scientifiques ou encore de traitement de données expérimentales en sciences
physiques.
Sommaire
1. Premières approches…………………………………………………………….…
2. Les calculs de base……………………………………………………………......
3. Exploration graphique……………………………………………………………..
4. Gestion de listes……………………………………………………………….......
5. Résolution d’équations et systèmes d’équations…………………………………..
6. Etude d’une fonction………………………………………………………............
7. Les suites………………………………………………………………………….
8. Etude d’une série de données……………………………………………………...
9. Spécialités de l’Industrie et de l’Agriculture………………………………………
10. Spécialités des Services……………………………………………………………
© 2005 Texas Instruments / T3 Photocopie autorisée
p 2
p 4
p 6
p 8
p 10
p 15
p 18
p 22
p 26
p 34
1
1. PREMIÈRES APPROCHES
La Découverte de la TI-82 STATS.FR
Les Essentiels
La TI-82 Stats.fr reprend toutes les fonctions de la TI-83. Autant au niveau
Statistique qu’au niveau graphique. Elle possède également un module de calculs
financiers.
Sa capacité mémoire est de 32 Ko (dont 27 Ko de disponibles pour l’utilisateur).
Son écran, très contrasté et très lisible, possède 8 lignes de 16 caractères.
Soit 96 × 64 pixels.
Elle possède une prise permettant une liaison « Calculatrice – Calculatrice » (le câble
est fourni) pour des échanges de données. Il est également possible de la relier à un Mac
ou à un PC via un câble « TI-Graph-Link » et les logiciels « TI-Graph-Link » ou « TIConnect ».
La liaison avec des interfaces de type CBL/CBL2 ou CBR est possible en installant
les programmes « ChimBio » ou « Physique » en software.
Zone 1
Touches réservées à la
partie graphique de la
machine.
Zone 2
Touches permettant
d’utiliser les fonctions
« seconde » ou
« alphabétique » des
touches.
Zone 3
Touches numériques qui
permettent d’entrer des
nombres.
Attention : on remarquera
que le séparateur décimal
est un point « . » et qu’il
existe un signe négatif
pour les nombres « (–) » à
ne pas confondre avec le
« – » de soustraction.
Zone 4
Touches de déplacement
utiles dans les menus pour
un déplacement vertical.
Elles sont également utiles
dans la partie graphique
pour un déplacement dans
la fenêtre ou pour passer
d’une courbe à l’autre.
Zone 5
Touches d’opérations.
Attention : le signe « – »
placé ici ne s’utilise que
pour la soustraction.
Zone restante
Cette zone correspond aux
différentes fonctions de la
machine. C’est la partie
scientifique.
2
Touche mz
Touche permettant
de paramétrer la
calculatrice (pour sa
fonction première) et de
sortir d’une boîte de
dialogue ou d’un menu
pour revenir à l’écran de
calcul grâce à sa fonction
y 5.
Touche …
Touche permettant d’aller
dans les fonctions
statistiques Stats
ou dans les listes de
données en fonction 2nde
[listes].
Touche v
Cette touche permet de
stocker des données (dans
des listes, des variables ou
des chaînes de caractères).
Sa fonction 2nde [rappel]
permet de récupérer une
« Variable », « Liste »,
« Image », « Chaine » ou
tout autre donnée
sauvegardée (ou stockée).
Zone 6
Touches permettant
d’obtenir des menus
déroulant. Aussi bien en
fonction 1re que 2nd.
Zone 7
Dans cette zone nous
regarderons les fonctions
2nd de notre partie
numérique. Nous trouvons
les six listes par défaut de
la machine, les variables
pour les suites numériques
ainsi que le catalogue de
toutes les fonctions de la
machine (c’est très utile
lorsqu’on ne sait pas où
trouver une fonction peu
usitée).
Touche [mém]
vérifier la place restante
dans la machine, de gérer
la mémoire (effacer des
programmes, des listes,
des données, …) ou
d’effectuer un « Efface ».
Touche [entrer]
récupérer la ligne de
calcul précédente. Ceci
évite de devoir retaper une
longue séquence de
touches. Cette touche
donne aussi accès au
« resol » de la machine.
3
2. LES CALCULS DE BASE
Les Essentiels : Calculs numériques
Nombre de chiffres affichés : z
Fractions :
Puissances : y D ¢ ›
Notation scientifique, ingénieur : z
1) Étudions l’affichage des
nombres
Calculons le quotient de
2 par 3.
L’affichage peut se faire
avec un nombre fixe de
décimales, ici 2.
Les décimales non affichées
ne sont pas perdues.
Le retour au mode Float
permet de les retrouver.
z
y 5
Pour revenir à l’écran de calcul.
Á¥ Â Í
z
y 5 Í
2) Calculons avec des
fractions
a) Transformons 9,235
en une fraction.
La fraction affichée est
irréductible.
®ËÁÂ·
ÍÍ
b) Simplifions la fraction :
306
.
90
c) Donnons l’écriture
décimale de :
17
.
5
d) Calculs mixtes
Donnons sous forme
fractionnaire le résultat de :
⎛
⎞
⎜
3 ⎜ 1 2 1 ⎟⎟
.
×
− +
17 ⎜ 3 5 7 ⎟
⎜
⎟
8⎠
⎝
Â Ê ¸ ¥ ® Ê
Í Í
À ¬ ¥ ·
† Í Í
Â
À
·
¥
¥ À
¥ Â
Ã À
− ¤
Í
¬ ¯ £
¹ Á ¥
¥ £ ¬
¤
Í
4
3) Calculons avec des
puissances :
35
2– 3
On peut obtenir l’écriture
fractionnaire du dernier
résultat.
Travaillons avec des
puissances de 10.
Calculons :
5 × 1012
5 × 106
5 × 10– 3 × 8 × 109
Tant que la calculatrice peut
afficher le résultat du calcul
elle abandonne l’écriture
utilisant les puissances
de 10.
4) Calculons en mode
scientifique :
4 587,695
0,01392
Tous les résultats, même de
calculs très simples, seront
donnés sous forme
scientifique :
2×3
457,78 × 10-5
5) Calculons en mode
ingénieur :
345678,2
5,47 × 1011 × 32 × 10– 5
Les exposants seront
toujours multiples de 3.
On peut revenir à l’écriture
scientifique ou à la notation
normale en changeant
le mode.
Â › · Í
Á › Ì Â Í
Í Í
· y D À Á
Í
· y D ¸
Í
· y D k Â
¯ − y D ®
z
¶ · − ¬ ¢ ¸
® · Í
Ê Ë Ê À Â ®
Á Í
Á ¯ Â Í
¶ · ¬ Ë ¬ −
y D k ·
Í
Â ¶ · ¸ ¬ −
Ë Á Í
· Ë ¶ ¬ y D
À ¯ Â Á y
D k ·
5
3. EXPLORATION GRAPHIQUE
Les Essentiels
Savoir représenter une fonction : choisir la fenêtre : p
Utiliser les zooms : q
Savoir faire des résolutions graphiques sur un intervalle : équations, inéquations, recherche
d’extremums.
Voici un exemple traité à partir d’une partie du sujet de Baccalauréat Professionnel Maintenance des
matériels (A, B et C), Session 2004.
Partie B : Modélisation mathématique
Soit f la fonction définie pour tout x de l’intervalle [2 ; 8] par :
f(x) = 4 x3 − 120 x2 + 900 x.
1 ) Tracer dans le plan rapporté à un repère (Ox, Oy) :
a) la courbe Cf représentative de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 8] ;
b) la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x = 2.
2 ) Résoudre l’équation : f(x) = 0 pour x appartenant à l’intervalle [2 ; 8].
3 ) Déterminer les coordonnées de l’extremum de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 8].
1) Entrons la fonction.
On règle la fenêtre pour les
abscisses.
Pour les ordonnées, il faut
regarder dans la table de
valeurs le maximum et le
minimum de la fonction
sur l’intervalle [2 ; 8].
o
p
q }
Í
Mais il est plus rapide
d’utiliser le ZMinMax pour
ajuster automatiquement les
ordonnées.
6
Pour obtenir les axes du
repères, on change la fenêtre.
p
2) Traçons la tangente à la
courbe au point d’abscisse 2
Il faut utiliser le menu
[dessin].
y
· Tangente £
Á Ligne £
Í
La TI-82 STATS.fr donne en
plus l’équation de la tangente.
3) Résolution de l’équation
f(x) = 0
Le graphique montre
clairement que l’équation
f(x) = 0 n’a pas de solution sur
l’intervalle [2 ; 8].
On vérifie avec la TI-82
STATS.fr. On utilise le menu
[calculs].
On choisit l’intervalle borne
inférieure et borne supérieure.
y r
Á zéro Í
− Í
Í
TI-82 STATS.fr confirme
l’absence de solution sur
l’intervalle [2 ; 8].
Par la même méthode on
détermine le maximum de la
fonction sur l’intervalle [2 ; 8].
y r
¶ Í
7
4. GESTION DE LISTES
Les Essentiels
Éditer une liste : … 1 :Edite
Effacer le contenu d’une liste : … 4 : EffListe
1) Qu’est-ce qu’une liste ?
C’est un tableau numérique à
une colonne.
Il existe dans la calculatrice 6
listes nommées L1, L2,…,L6.
On peut créer ses propres listes
en les nommant avec un nom
d’au plus 5 caractères
alphanumériques.
Pour entrer dans le
menu liste :
…
1 :Edite
2) Comment remplir une
liste ?
On place le curseur sur le
premier élément.
On écrit la valeur.
On valide.
La valeur s’inscrit dans la
colonne. Le curseur descend
d’un cran.
On écrit la deuxième valeur.
On valide.
À Á Í
À Â Í
Pour insérer un élément, (par
exemple le nombre 17 entre les
nombres 15 et 19 placer le
curseur sur l’élément suivant. © 2007 Texas Instruments / T3 Photocopie autorisée
8
Taper : y 6
Un 0 s’inscrit dans la colonne.
On écrit la valeur à insérer.
En validant elle s’inscrit dans la
colonne.
y6
y6
Pour effacer une valeur on
utilise la touche : {
3) Comment créer une liste à
partir d’autres listes ?
On place le curseur sur le nom
de la liste à créer. En validant,
le curseur descend en bas à
gauche. On écrit la relation de la
liste avec les autres listes.
y d Ã y
e Í
En validant cette expression les
valeurs calculées s’affichent
automatiquement.
Si on écrit la relation entre
guillemets la nouvelle liste
dépendra des autres listes.
t ã y d
Ã y e
t ã Í
La calculatrice affiche un
cadenas à côté du nom de la
liste.
9
En modifiant un des éléments
des listes apparaissant dans la
relation, l’élément résultant de
la liste est automatiquement
modifié.
4) Comment effacer le
contenu d’une liste ?
Exemple : EffListe L1, L2.
…
4 : EffListe
10
5. RESOLUTIONS D’EQUATIONS
&
SYSTÈMES D’EQUATIONS
5.1 Résolutions d’équations : Méthode numérique
Les Essentiels : Résolution numérique d’une équation à une inconnue
Utilisation de la fonction résol : y [catalog] r † ...†
Soit à résoudre l’équation suivante : x + x = 7
4 2
1) Utilisons la fonction
« résol »
La calculatrice étant allumée
avec l’écran de calcul affiché,
aller chercher la fonction résol
dans le catalogue des fonctions
de la machine.
y [catalog]
r † ...†
2) Complétons les arguments
de la fonction résol
La fonction résol demande
trois arguments au minimum :
– l’expression, qui doit être
égale à zéro (on transforme
l’équation en l’expression :
x+ x=7);
4 2
– la lettre de l’inconnue
(ici x) ;
– une valeur numérique 1
(ici 0).
£ ¯ Ã ¯ ¥ ¶
¹
¬ ¥ Á Ë − ¯
Ë Ê
¤ Í
1
La valeur numérique attendue est une estimation de la solution cherchée. Cela peut dans certains cas accélérer la vitesse de
calcul. Si on n’a aucun ordre d’idée concernant cette solution, on peut indiquer une valeur numérique quelconque.
10
Rechercher les zéros de la fonction définie sur R+ par y = 4ln(x) – x
3) Fonction « résol » avec un
intervalle de recherche
L’étude des variations a permis
de montrer que 4 ln(x) – x
s’annule pour x1 compris entre
0 et 4 et pour x2 compris entre
4 et 10.
\
On calcule successivement une
valeur approchée de x1 et de
x2.
Noter la syntaxe : L’intervalle
de recherche est écrit entre
accolades {0,4}.
11
&
SYSTÈMES D’EQUATIONS
5.2 Résolutions d’équations : Méthode graphique
Les Essentiels : Résolution graphique d’une équation à une inconnue
Représenter la fonction correspondant à l’expression : o puis s
Utiliser les fonctions de calcul de l’écran graphique : y / zéro
Résoudre l’équation : x2 – x – 1 = 0
1) Définir une fonction
Définir une des fonctions ο par
x2 – x – 1 (si vous avez défini
des fonctions précédemment, il
peut être nécessaire de les
supprimer).
2) Obtenir le tracé
Basculer dans l’écran graphique,
régler éventuellement le cadrage
(6 donne le cadrage standard).
3) Chercher la solution
négative
L’équation proposée a 2
solutions. Pour chercher la
solution voulue, on utilise la
commande zéro du menu /
On entrera successivement les
bornes de l’intervalle de travail
(borneinf, bornesup)
puis une valeur numérique
estimée (Valeur Init : on
peut se contenter de valider par
Í).
o„¡¹
„¹ÀÍ
s
q¸
y / zéro
| .. | Í
~ .. ~ Í
Í
4) Chercher la solution positive
On utilise la même méthode
en
choisissant
comme
intervalle de recherche [1 ; 3]
par exemple.
12
&
SYSTÈMES D’ÉQUATIONS
5.3 Systèmes d’équations : Méthode numérique
Les Essentiels : Résolution numérique d’un système de deux équations du premier degré à deux
inconnues
Utilisation de la fonction matrice :
⎧ 2x − 3y = 4
⎩− x + 4 y = 1
Résoudre le système : ⎨
1) Entrer les coefficients du
système dans 2 matrices [A] et
[B]
~~À
Éditer la matrice [A] à 2 lignes et
2 colonnes et lui affecter les
⎡ 2 − 3⎤
coefficients ⎢
⎥ du
⎣− 1 4 ⎦
système.
Faire de même pour la matrice
[B] à 2 lignes et une colonne qui
⎡ 4⎤
sera définie par : ⎢ ⎥ .
⎣1 ⎦
2) Effectuer le produit
[A]-1 × [B]
Se replacer dans l’écran de
calcul.
Effectuer le produit de matrices
suivant : [A]-1 × [B].
3) Obtenir un résultat
rationnel
Si les coefficients sont
rationnels, le résultat l’est
également.
On peut donc demander son
affichage sous forme d’une
fraction :
x=19 et y= 6 .
5
5
~~Á
…
y5
À—¯
ÁÍ
ÀÍ
13
&
SYSTÈMES D’ÉQUATIONS
5.4 Systèmes d’équations : Méthode graphique
Les Essentiels : Résolution graphique d’un système de deux équations du premier degré à deux
inconnues, recherche de l’intersection de deux courbes
Utilisation de l’écran graphique : s et menu /
2
⎧
⎪ D1 : y = x − 1
3
⎪D2 : y = − x + 5
⎩
Trouver les coordonnées du point d’intersection des droites D1 et D2 ⎨
1) Entrons les équations des
droites dans l’éditeur
Si vous avez défini des
fonctions précédemment,
il peut être nécessaire de les
supprimer.
2) Affichons
l’écran graphique
Régler éventuellement le
cadrage de la fenêtre (q ¸
pour un cadrage standard).
3) Utilisation du menu
[CALC] pour rechercher
l’intersection
Ouvrir le menu /. et
choisir 5 : intersect.
On désigne successivement les
deux courbes et une valeur
numérique estimée (valeur
estimée, particulièrement utile
pour des courbes ayant
plusieurs points
d’intersection).
Il suffit ici de valider 3 fois
pour accepter les valeurs
par défaut.
o
Á¥Â„jÀ
Í
Ì„ÃÂÍ
s
y / ·
Í Í Í
Remarque : Cette méthode peut
être utilisée pour rechercher
l’intersection de deux courbes
quelconques, ici un logarithme et
une parabole.
14
6. ÉTUDE D’UNE FONCTION
Les Essentiels : Fonction numérique à variable réelle définie par y= f(x).
Calcul des valeurs de f(x) pour x donné : o y - y 0 y /
Représentation graphique : p s r q
Étude de la fonction définie par f(x) = x3 – x² – 2x + 2 ; résolution graphique de l'équation f(x) = 0
1) Configurons la calculatrice
Il s’agit de régler la calculatrice en
mode Fonction (Fct) et points reliés
(Relié) conformément à l’écran cicontre.
z
Valider chaque
choix par Í
2) Entrons la fonction
Il faut saisir l'expression de f(x).
o „ ›
Â
j „ ¡ j
Á „ Ã Á
3) Procédons au calcul de quelques
valeurs de f(x)
Définissons les paramètres de la table.
Utilisons pour lire quelques valeurs :
nous observons en particulier que
f(1) = 0, que f(0) = 2.
y -
y 0
À l’aide de la table de valeurs,
résolvons le problème : « trouver un
encadrement de largeur 0,1 de la
solution négative à l'équation f(x) = 0 ».
(L'écran précédent montre qu'il existe
une solution entre – 1,5 et – 1).
y -
15
La lecture de ce tableau permet
d'affirmer qu'il existe une solution dans
l’intervalle] – 1,5 ; –1,4[.
Calcul direct de f(x) pour une valeur
quelconque de x, par exemple :
f(– 1,45), f(– 1,4), f(– 1,41) pour
trouver un encadrement plus précis de
la solution au problème précédent.
Remarque : le premier calcul fait, il suffit
d'utiliser y Í pour rappeler
l'expression et changer la valeur de x.
4) Représentons graphiquement la
fonction
Définissons une fenêtre d’affichage
adéquate pour la fonction f, pour x
allant de – 3 à 3.
puis
y 0
y 5 pour
revenir à l’écran
initial, puis :
~ À
Í
£ Ì À Ë
¶ · ¤ Í
p
Visualisons la représentation graphique
de la fonction f.
r
Remarque : r et s donnent la
même figure ; r présente l'avantage
d'afficher la fonction et les coordonnées
du point courant.
L’étude graphique précédente permet
d’envisager une étude intéressante aux
alentours de x = 1 ; il est possible, en
particulier, de se demander s'il existe
des valeurs positives de x rendant f(x)
négatif.
~
jusque vers x = 1
(une quinzaine de
fois) puis
qÁÍ
r
Nous pouvons donc conclure que f(x)
prend des valeurs négatives, même
lorsque x est positif.
5) Résolvons l'équation f(x) = 0
L’observation du graphique précédent
permet de conjecturer que l’équation
f(x) = 0 admet deux solutions positives
dont les valeurs approchées peuvent être
obtenues en utilisant l’option zéro du
y/Á
puis
~…….~
menu /.
16
Conclusion : f(x) = 0 admet deux
solutions positives dont les valeurs
approchées sont 1 et 1,414.
Remarque : il est facile de vérifier
qu’effectivement 1 est solution.
La deuxième solution semble être √ 2; il
est possible de le vérifier :y / 1
y/Á
puis
~…….~
y C ¤ y y C Á ¤ affiche
0.
Nous venons donc de trouver deux
solutions à l’équation f(x) = 0.
Le premier graphique nous avait montré
qu’il existait une autre solution,
négative. Pour l’obtenir avec la même
méthode il nous faut revenir à une
fenêtre d’affichage plus grande que la
dernière ; nous allons pour cela utiliser
l’option 3 (Zoom -) du menu q
qÂÍ
et
r
suivi de |
(autant de fois que
nécessaire).
Il ne reste plus alors qu’à déterminer la
troisième solution : y / Á avec
un intervalle correct donne une valeur
approchée qui permet de penser à – √ 2
ce qu’il est facile de vérifier par y
y/Á
/À
En conclusion, l’équation f(x) = 0 a
trois solutions : 1, √ 2 et – √ 2 ; ce qu’il
reste à vérifier en développant
(x – 1)(x² – 2).
17
7. LES SUITES
7.1 Suites arithmétiques
Les Essentiels : Suite définie par son premier terme et sa raison
Calcul du terme de rang n : o „ y - y 0
Représentation graphique des termes : p s r
Calcul de la somme des n premiers termes : y 9
Étude de la suite définie par u1 = – 15 et un = un –1 + 4
1) Configurons la calculatrice
Il s’agit de régler la calculatrice
en mode Suite conformément à
l’écran ci-contre.
2) Entrons la suite
Il faut saisir la formule
de récurrence et le premier terme
définissant la suite dans l’éditeur
de fonction.
u s’écrit avec la touche :
n s’écrit avec la touche :
3) Procédons au calcul des
valeurs de u0, u1,..., un
Définissons les paramètres
de la table.
À l’aide de la table de valeurs,
résolvons le problème :
« déterminer le plus petit rang n
tel que un > 25 ». On lit n = 12.
z
Valider chaque choix
Par Í
o
y õ
„
y -
y 0
y 5
pour revenir à l’écran
initial
Lecture directe de un pour
une valeur quelconque de n,
par exemple u100, u457.
y’£ÀÊ
Ê¤
y’£¶·
¬¤
18
4) Représentons graphiquement
la suite
Définissons une fenêtre
d’affichage adéquate pour la suite
(un) pour n allant de 1 à 10.
Visualisons la représentation
graphique de la suite :
un = un – 1 + 4.
Visualisons les valeurs
successives des termes
de cette suite.
p
Les paramètres à
intégrer :
(1, 10, 1, 1, 0, 10, 1,
– 15, 21, 4).
s
r
Utiliser les flèches
droite – gauche du pavé
directionnel.
5) Calculons la somme
des termes de la suite
Soit à calculer :
S10 = u1 + u2 + …+ u10.
… À
Se positionner sur L1
Í
On crée dans L1 la liste des
entiers naturels de 1 à 10.
y 9 ~ ·
Dans L2 on crée u(L1) pour
calculer les 10 premiers termes
de la suite.
y ’ £ y
¤ d
Í
On calcule dans L3 à chaque fois
la somme cumulée des termes de
la liste L2.
On vérifie que pour n = 10 la
somme demandée est S10 = 30.
y 9 ~ ¸
y e ¤
| | t †
t †
19
7. LES SUITES
7.2 Suites géométriques
Les Essentiels : Suite définie par son premier terme et sa raison
Calcul du terme de rang n : o „ y - y 0
Représentation graphique des termes : p s r
Suite définie par le terme général : y 9
Calcul de la somme des n premiers termes : y 9
Étude de la suite définie par u1 = 3 et un = 2 un – 1
1) Configurons la
calculatrice et entrons la
suite
Le réglage de la calculatrice
et la saisie de la formule de
récurrence se font comme
pour les suites
arithmétiques.
2) Établissons la table
Le calcul des valeurs
successives de u1, u2, …un
se fait comme pour les
suites arithmétiques.
À l’aide de la table de
valeurs, résolvons le
problème : « déterminer le
plus petit rang n tel que
un > 100 ». On lit n = 7.
3) Représentons
graphiquement la suite
Définissons une fenêtre
d’affichage adéquate pour
la suite (un) pour n allant de
1 à 10.
z
Valider chaque choix par
Ío
y’„
y y 0
y 5 pour
revenir à l’écran initial.
p
Les paramètres à
intégrer sont donnés par
les écrans.
20
Visualisons la
représentation graphique de
la suite un = 2 un - 1
Visualisons les valeurs
successives des termes de
cette suite.
À l’aide d’un écran partagé
verticalement, on visualise
simultanément la table de
valeurs et la représentation
graphique.
Le mode TRACE permet de
déplacer le curseur sur la
représentation et sur la
table.
À l’aide d’un écran partagé
horizontalement, on
visualise la représentation
graphique et on a la
possibilité de calculer une
valeur particulière dans la
partie « écran de calcul ».
s
r
Utiliser les flèches droite
– gauche du pavé
directionnel.
z
s r
z
s r
… À
4) Calculons la somme des
termes de la suite
Soit à calculer :
S10 = u1 + u2 + …+u10
entiers naturels de 1 à 10
puis on procède comme
expliqué dans la fiche
« Suites arithmétiques ».
5) Utilisons la formule
générale : u1 qn – 1.
Dans L2 on crée u1qL1–1
pour calculer les 10
premiers termes de la suite.
On calcule dans L3 à
chaque fois la somme
cumulée des termes de la
liste L2.
Se positionner sur L1
Í
yNµ
et descendre pour
obtenir suite(
Â ¯ Á › £
y d ¹ À ¤
Í
y 9 ~ ¸
Í
y e Í
On vérifie que la somme S10
demandée est 3069.
21
8. ÉTUDE D’UNE SÉRIE DE DONNÉES
8.1 Série statistique à une variable
Les Essentiels : Calculs des paramètres d’une série statistique et représentations
graphiques
Saisie des données : …
Représentation graphique de la série : y , p q s
Calculs des paramètres : … y 9
Les résultats d’une enquête concernant l’âge des salariés d’une entreprise a fourni les
résultats suivants.
Âge
[ 20 ; 25[
[ 25 ; 30[
[ 30 ; 35[
[ 35 ; 40[
[ 40 ; 45[
[ 45 ; 50[
[ 50 ; 55[
Effectif
12
18
28
22
33
25
22
1°) On veut représenter cette série à l’aide d’un histogramme.
2°) On demande de calculer l’âge moyen, l’âge médian des salariés.
3°) On veut enfin l’écart type des âges des salariés de l’entreprise.
Préliminaire
Si on a déjà utilisé le
tableau statistique il peut
être nécessaire de
« nettoyer » les listes.
Soit toutes les listes, soit
certaines listes seulement.
1) Entrer dans le tableau
statistiques
yL¶
Ou
…¶
suivi des noms des listes
à nettoyer.
yd¢ye
…À
ou
…Í
22
2) Entrer les données
Il faut entrer les centres des
intervalles des âges dans la
liste L1 et les effectifs dans
la liste L2.
3) Histogramme
Pour représenter la série
Avec un histogramme il
faut tout d’abord :
Configurer le graphique
statistiques.
Régler la fenêtre.
Afficher le graphique
(écran de gauche).
Á Á Ë ·
Í jusqu’à
· Á Ë ·
Í puis ~
À Á jusqu’à
Á Á
y - Í
Valider les choix de
l’écran de droite cicontre.
p
Remarque : Xscl
représente l’amplitude
des classes.
s
r
et
~
On peut ensuite parcourir
l’histogramme
(écran de droite).
3) Calcul des paramètres
Pour afficher la moyenne, la
médiane, et l’écart type de
cette série.
 est la moyenne
σx est l’écart type
Med est la médiane.
… ~
Pour avoir le menu
[CALC]
Í ou À
Puis
yd¢ye
L1 contenant les valeurs
et L2 les effectifs.
23
8. ÉTUDE D’UNE SÉRIE DE DONNÉES
8.2 Série statistique à deux variables – Ajustement affine
Les Essentiels : Représentation d’un nuage de points et ajustement affine d’une série
statistique double
Saisie des données : …
Représentation graphique de la série :y , p q s
Ajustement affine : o s
On a relevé dans un snack l’évolution du nombre de clients suivant le montant de
l’addition (en euros). L’enquête a fourni les résultats suivants.
Prix en €
Nombre de clients
2,5
24
5
22
5,5
20
6
19
6,5
18
8,5
16
9
14
10
13
1°) On veut représenter cette série à l’aide d’un nuage de points.
2°) On veut calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.
3°) On veut calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 (des quatre premiers
points et des quatre derniers points).
4°) On veut déterminer une équation de la droite (G1 G2).
1) Entrer dans le tableau
statistiques
Nettoyer si nécessaire les
listes auparavant (voir au
chapitre 4).
2) Entrer les données
Les montants des additions
dans la liste L1 et le nombre
de clients dans la liste L2.
3) Nuage de points
Pour représenter la série
avec un nuage de points il
faut tout d’abord :
– configurer le graphique
statistiques ;
…À
ou
…Í
ÁË·Í
puis
~Á¶Í
y , Í
Valider les choix de
l’écran de droite
ci-contre.
24
– régler la fenêtre ;
p
Valider les choix cicontre ou utiliser.
q®
– afficher le nuage de
points.
4) Calcul des coordonnées
de G
Les coordonnées de G sont :
(6,625 ; 18,25).
s
…~
pour avoir le menu
CALC puis Á
ou † Í
Puis
yd¢ye
L1 contenant les
montants et L2 le
nombre de clients.
5) Calcul des coordonnées
de G1 et G2
On recopie dans L3 et L4
les 4 premiers termes de L1
et L2 et on répète l’étape 4.
On obtient :
G1 : x 1 = 4,75 ; y1 = 21,25.
Puis on recopie dans L5 et
L6 les 4 derniers termes de
L1 et L2 et on répète l’étape
4. On obtient :
G2 : x 2 = 8,5 ; y2 = 15,25.
6) Droite de Mayer
(ajustement affine)
Cette équation a pour
coefficient directeur :
y –y1
24
a= 2
=–
et
17
x2–x1
pour équation :
y = a ( x – x1 ) + y1
… ~
¢ g
… ~
¢ i
Á f
Í
Á h
Í
o
Entrer l’équation puis
s
25
9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE
9.1 Le théorème de Thalès
Les Essentiels : Pratiquer la propriété de Thalès
Utiliser la TI-82 STATS.FR pour réaliser les calculs en utilisant les mémoires de la
calculatrice.
Tourniquette sur un triangle
A
Soit ABC un triangle et M1 un point de [AB]
On effectue la construction suivante :
– M2 point de [AC] tel que (M1M2) // (BC)
– M3 point de [BC] tel que (M2M3) // (AB)
– M4 point de [AB] tel que (M3M4) // (AC)
– M5 sur [AC] ...
– M6 sur [BC] ...
On entre les longueurs des trois côtés
du triangle et AM1.
BC = a, AC = b, AB = c.
On choisi ici AM1 = 2.
En route pour un premier tour
Calcul de AM2
On utilise la propriété de Thalès pour le
triangle ABC avec la droite ( M1M 2 )
parallèle à BC.
M1
M2
M4
B
M3
C
¸¿tA
−¿tB
ÁÊ¿tC
ÁÍ
¯tB¥tC
AM 2 AM1
donc AM2 = AM1 b .
=
c
AC
AB
Calcul de BM3
triangle ABC avec la droite ( M 2 M 3 )
parallèle à AB.
¯tA¥tB
BM 3 BC
=
donc BM3 = AM2 a .
b
AM 2 AC
26
Calcul de AM4
triangle ABC avec la droite ( M 3 M 4 )
parallèle à AC
£tA¹yZ¤
¯tC¥tA
AM 4 AB
c
=
donc AM 4 =(a-BM 3 )
CM 3 BC
a
En route pour un second tour
On rappelle les frappes
précédentes avec y Í
On réitère le procédé.
La ligne se ferme au second tour.
Il est possible de faire la ligne
complète en séparant les
opérations successives
par :ƒ :
Recommençons avec un autre point M1
par exemple avec AM1 = 3,5.
La ligne se ferme encore au second tour.
Pour aller encore plus vite, taper les trois
formules séparées par « : ».
La frappe Í relance le dernier calcul.
La ligne se ferme encore au second tour.
Essayer en changeant de triangle.
Que concluez-vous ?
Í
Reprendre le même exercice avec un
quadrilatère, avec un pentagone, etc.
27
9.2 Le théorème de Pythagore
Les Essentiels : Pratique à l’aide de la TI-82 STATS.FR du théorème de Pythagore et de sa
réciproque
Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2.
Si le triangle ABC vérifie BC2 = AB2 + AC2 alors le triangle est rectangle en A.
Reconnaître un triangle rectangle
AB
3
7
1.25
108
1.5
AC
4
12
2.25
40
2
On utilise les listes de la calculatrice
pour automatiser les calculs.
On entre dans la liste L1 la longueur
du plus grand côté.
On entre dans L2 et L3 les longueurs
des deux autres côtés.
BC
5
8
4
62
2.5
ABC est rectangle ?
…Í
On entre dans L4 la relation
de Pythagore :
L12 – (L22 + L32).
Le triangle est rectangle sur les lignes
où la cellule de la liste L4 vaut zéro.
28
Une autre solution consiste à utiliser
la possibilité de rentrer plusieurs
instructions à la suite en les séparant
par « : ».
On entre les longueurs des côtés, puis
la relation de Pythagore.
Le triangle est rectangle.
On rappelle la ligne et l’on recommence
en modifiant les données.
Le triangle n’est pas rectangle.
Une troisième solution consiste à réaliser
un programme : PYTHA.
On entre en premier la longueur du plus
grand côté.
~~Í
Taper le programme suivant :
EffEcr
Prompt A,B,C
If A^2=B^2+C^2
Then
Disp "RECTANGLE"
Else
Disp "NON RECTANGLE"
choisir PYTHA
et valider par Í
Í
relance le programme.
29
9.3 Les relations métriques dans un triangle
Les Essentiels : Les relations métriques dans un triangle ABC
Notations (a = BC, b = AC, c = AB, S est la surface du triangle et R le rayon du cercle
circonscrit).
La formule d’Al Kashi : a 2 = b2 + c 2 − 2bcc cos( A)
1
La loi des aires ou formule de Carnot : S = bc sin( A)
2
a
b
c
=
=
= 2R
La loi des sinus :
) sin(C
)
sin( A) sin( B
A
c
b
R
B
a
C
Dans un triangle il y a six données : trois côtés et trois angles.
Compléter si possible le tableau suivant en utilisant la TI-82 STATS.FR.
Il faut trouver la formule à appliquer puis la rentrer dans le Solveur et lancer le calcul.
Données
TI-82 STATS.FR
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
a
A
2
6
b
B
4
3
8
c
C
5
A
D
45°
B
E
C
F
25°
10
7
20°
25°
50
70
30
On règle l’unité angulaire.
z
Exercice 1 : calcul de A
On utilise Al Kashi pour trouver a.
On ouvre le Solveur et on entre la
formule.
On entre les données.
On lance le calcul de a.
}Í
ƒÍ
Exercice 2 : calcul de B
On utilise Al Kashi pour trouver la
mesure de l’angle B, (E sur la TI-82
STATS.FR).
On ouvre le Solveur et on modifie
la formule.
}Í
Les données sont encore dans
la machine !
On lance le calcul de E.
Placer le curseur sur la ligne E.
ƒÍ
Exercice 3 : calcul de C
Le calcul de la mesure de l’angle
en C est immédiat 180 – (D + E).
yz
pour revenir
sur l’écran
principal
À vous de jouer !
Solution des exercices
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Formule utilisée
Al kashi
Al kashi
Al kashi
Loi des sinus
Somme des angles
a
3.5
2
6
5.7
?
b
4
3
8
7
?
c
5
2.3
10
7
?
A
45°
21.2
36.9
20°
60
B
52.5
133.9
53.1
25°
50
C
82.5
25°
90
145
70
Il n’est pas possible de déterminer un triangle par la seule donnée des trois angles.
31
9.4 Surfaces et volumes
Les Essentiels : Manipuler les formules de calculs de surfaces et de volume
Aire d’un trapèze : 1 (B + b)h.
2
Aire d’un disque : πR2.
Volume d’un cylindre de révolution ou d’un prisme droit d'aire de base B et de hauteur h : Bh.
Aire d’une sphère de rayon R : 4πR 2 ; volume de la sphère : 4 πR3
3
Volume d’un cône de révolution ou pyramide de base B et de hauteur h : 1 Bh.
3
Mettre en œuvre les calculs sur la TI-82 STATS.FR.
1) Utilisation en mode direct
Calculer le volume d’un cône de
révolution de hauteur 5 de rayon 4.
On utilise la formule :
V = 1 πR2 h.
3
·¿ƒH
¶¿ƒR
À¥Â¯y
BƒR›Á
¯ƒH
2) Calcul interactif en utilisant le
Solveur
Une pyramide à base carrée a pour
hauteur 5 m et pour volume 5 m3.
Quelle est la longueur a du côté ?
}Í
On utilise la formule :
V = 1 a2 h.
3
On entre les données.
On lance le calcul de a.
Ít
Í
32
Calcul automatisé à l’aide d’un
programme
Réalisation d’un formulaire interactif
sur les volumes
il suffit d’utiliser le programme suivant :
Í
Lbl M
Menu("CALCUL DE
VOLUMES","CUBE",1,"PAVE",2,"SP
HERE",
3,"CONE",4,"FIN",5
Lbl 1
EffEcr
Disp "COTE:"
Prompt A
Disp "VOLUME DU CUBE:",A›Â
Pause
Goto M
Lbl 2
EffEcr
Disp "LONGUEUR:"
Prompt L
Disp "LARGUEUR:"
Prompt T
Disp "HAUTEUR:"
Prompt H
Disp "VOLUME:",L*T*H
Pause
Goto M
Lbl 3
EffEcr
Disp "RAYON:
Prompt R
Disp "VOLUME:",¶¥Â¯P¯R›Â
Pause
Goto M
Lbl 4
EffEcr
Disp "RAYON:
Prompt R
Disp "HAUTEUR:
Prompt H
Disp
"VOLUME:",À¥Â¯P¯R›Á¯H
Pause
Goto M
Lbl 5
ClrHome
Stop
33
10. SPÉCIALITÉ DES SERVICES
10.1 Série chronologique
Les Essentiels : Étude d’une série chronologique – Tendance générale – Coefficient de
variations saisonnières – Donnée corrigée, donnée brute
Saisie des données et calculs : …
Représentation graphique de la série : y - p q s
Calculs des indices : … y 9
Une entreprise de jouets étudie les ventes de poupées sur les douze derniers trimestres.
Le directeur commercial dispose du tableau suivant (représentant le nombre de poupées
vendues chaque trimestre des trois dernières années).
1er trimestre
2e trimestre
3e trimestre
4e trimestre
2002
170
160
185
200
2003
195
185
215
230
2004
225
195
235
250
On vous demande de :
1°) représenter graphiquement cette série en reliant les points ;
2°) déterminer l’équation de la droite de Mayer en fractionnant la série en deux et tracer
cette droite ;
3°) calculer les Coefficients de Variations Saisonnières (C.V.S.) pour chacun des quatre
trimestres ;
4°) le nombre de poupées que l’on peut prévoir de vendre au 3e trimestre 2005 (donnée
corrigée des variations saisonnières) et la donnée brute de ce nombre.
1) Saisie des données
Procéder comme au
chapitre 4.
On inscrit le numéro du
trimestre (de 1 à 12) dans
L1 et la production dans L2.
2) Représentation
graphique
Configurer le graphique
avec des points reliés.
… À
Ou
… Í
y ,
Í
Valider les choix de l’écran
ci-contre.
34
Régler la fenêtre.
p
En validant les choix de
l’écran de gauche ou en
utilisant :
q ®
Afficher le graphique.
3) Droite de Mayer
On coupe la série en deux,
on obtient :
G1 (3,5 ; 182,5) ;
G2 (9,5 ; 225) ;
a ≈ 7 et l’équation
y = 7x + 157,7.
4) Coefficients de
variations saisonnières
Il faut calculer la moyenne
des ventes d’un trimestre et
diviser par la moyenne
globale des ventes.
Donc :
C.V.S.1 ≈ 0.965
C.V.S.2 ≈ 0.883
C.V.S.3 ≈ 1.039
C.V.S.4 ≈ 1.112
5) Donnée corrigée,
donnée brute
La donnée corrigée du 3e
trimestre 2005 correspond à
la valeur obtenue pour y
dans l’équation de la droite
de Mayer lorsque :
x = 15 (15 e trimestre).
donnée brute =
donnée corrigée × C.V.S.
o
Y1 = ¬ „ Ã
À · ¬ Ë ¬
s
Pour calculer la moyenne
globale :
y9~~Â
y e ¤ Í
Puis pour calculer les
coefficients trimestriels :
£À¬ÊÃÀ®
·ÃÁÁ·¤¥
ÂÍ
yÍ¥ÁÊÂ
Ë¬·
~ À À
ou
~ Í Í
Si l’équation du 3) est dans
Y1 puis faire
£ À · ¤ Í
ensuite y Í
ou directement
¯ À Ë Ê Â ®
Í
35
10.2 Intérêts simples
Les Essentiels : Intérêts simples et valeur acquise
Calculs de valeurs acquises : o „ y - y 0
Un capital de 6 000 € est placé à intérêts simples au taux mensuel de 0,25 % pendant 10 mois.
Calculer la valeur de ce capital chaque mois, ainsi que les intérêts acquis chaque mois.
Les calculs avec des intérêts
simples sont des calculs de
suite arithmétique.
Il convient donc de configurer
la machine comme expliqué
dans le chapitre 7.1.
Les intérêts sont chaque
mois :
I = 6000 × 0,25 ÷ 100
= 15 €.
La valeur acquise est chaque
mois :
V = 6000 + I.
On saisit donc les deux
suites : (après avoir choisi
le bon mode)
Dans o se placer
devant :u(n)=
À · ¯ „
représentant les
intérêts et devant
v(n)=
¸ Ê Ê
Ê Ã
À · „
représentant la valeur
acquise.
y On valide le réglage de la
table comme indiqué sur
l’écran de gauche.
On affiche la table
y0
10.3 Intérêts composés
Les Essentiels : Intérêts composés et valeur acquises
Calculs de valeurs acquises :o „ y - y 0
Un capital de 3 000 € est placé à intérêts composés au taux semestriel de 2,1 % pendant 12
semestres. La capitalisation est semestrielle.
Calculer la valeur de ce capital chaque semestre, ainsi que les intérêts acquis chaque semestre.
36
Les calculs avec des intérêts
composés sont des calculs
de suite géométrique.
Il convient donc de
configurer la machine
comme expliqué dans le
chapitre 7.2.
Chaque semestre le
capital acquis est :
2,1 n
C n = 3000 x (1 +
) .
100
et les intérêts acquis sont :
I n = Cn – C0.
On saisit donc les deux
suites :
Indiquées dans
l’Ecran de droite
avec u(n)
représentant le
capital acquis et
v(n)
représentant les intérêts
acquis.
yOn valide le réglage de
la table comme indiqué
sur l’écran de gauche.
On affiche la table
y 0
10.4 Annuités
Les Essentiels : Capital acquis après des versements réguliers ou remboursement d’emprunts
Calculs : Ã ¹ ¯ ¥ £ ¤ « ›
1 ) On verse 1 000 € chaque année pendant 8 ans. Calculer la valeur acquise au moment du
huitième versement. Capitalisation annuelle au taux de 5 %.
2 ) Combien de versements semestriels de 1 060,79 € une personne doit-elle effectuer pour
rembourser un emprunt de 5 000 € à capitalisation semestriel au taux semestriel de 2 % ?
Si a est le montant du
versement périodique,
t le taux périodique et n le
nombre de versement, la
valeur acquise Vn est :
(1 + t )n – 1
Vn = a
t
et la valeur actuelle est :
1 – ( 1 + t ) –n
V0 = a
t
1)À Ê Ê Ê ¯
££ÀËÊ·
›−¤¹À¤
¥ÊË Ê·
2) Ì « Ê Ë
®Ê·¬Â
¥«ÀË
ÊÁ¤
37
10.5 Indices simples et composés
Les Essentiels : Connaître et calculer les indices simples – Connaître et calculer les
indices composés
Calcul des indices : …
Représentation graphique de la série d’indices : y,
p q s
Le gérant d’une grande surface a mené une enquête sur l’évolution du nombre de clients
dans son magasin (en milliers de personnes) au cours des six dernières années.
Année
Nombre de clients
1999
454
2000
572
2001
603
2002
684
2003
703
2004
778
On vous demande de :
1°) calculer les indices de fréquentation de cette grande surface en prenant comme base 100
l’année 1999 ;
2°) représenter par un diagramme cartésien les indices obtenus.
1) Saisie des données
On inscrit le numéro de
l’année (de 1 à 6) dans L1
et la fréquentation dans L2.
2) Calcul des indices
Rappel :
V
L’indice I1/0 = 1 × 100.
V0
indices.
Ainsi par exemple :
I 00/99 = 125,99.
… À
ou
… Í
Monter avec } sur
le bandeau f et
inscrire
e¯ÀÊÊ¥
e£À¤Í
y,
3) Graphique
On obtient :
G1 (3,5 ; 182,5)
G2 (9,5 ; 225)
a ≈ 7 et l’équation
y = 7x + 157,7.
En validant les choix de
l’écran de gauche et en
faisant
q®
on obtient
38
On donne le tableau suivant.
Produits
A
B
C
Année 2001
Prix unitaire P0
Quantité Q0
5€
7
3,5 €
2
2,7 €
10
Année 2004
Quantité Q 1 Prix Unitaire P 1
9,8 €
5
4,2 €
4
2,3 €
13
Calculer à 0,1 près, l’indice composé des prix I 04/01.
1°) Par la méthode de Lapeyres.
2°) Par la méthode de Paasche.
1) Méthode de Lapeyres
Σ Q0 x P1
× 100
Σ Q0 x P0
On saisit le tableau dans les
listes L1, L2, L3 et L4.
On calcule les produits dans
L5 et L6.
I04/01 =
On calcule les sommes de
L5 et L6.
… À
ou
… Í
Monter avec } sur les
bandeaux h et i
et inscrire
L5 = y d ¯
y g
Ainsi I04/01 ≈ 144,9,
avec la méthode de
Lapeyres.
L6 = y d ¯
y e
y5y9
~ ~ · et continuer
comme sur l’écran de
droite
2) Méthode de Paasche
Σ Q1 x P1
× 100
I 04/01 =
Σ Q1 x P0
On procède de la même
façon avec des listes L5 et
L6 modifiées.
L5 = y f ¯
y g
L6 = y f ¯
y e
Ainsi I 04/01 ≈ 129,1,
avec la méthode de
Paasche.
39

Ti 82 prise en main

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