ÉLECTRONIQUE DU SIGNAL

Spé y 2010-2011
Devoir n°3
ÉLECTRONIQUE DU SIGNAL
Le dispositif électronique utilisé dans un analyseur de monoxyde de carbone est représenté
ci-après (voir figure 1). Tous les amplificateurs opérationnels intervenant dans ce montage sont
supposés idéaux. Nous allons étudier les fonctions assurées par les différentes parties du dispositif.
DÉTECTEUR
INFRAROUGE
R2
+
–
C4
C5
C6
AO1
D6
R3
R1
P
C3
C7
13,5 V
C8
C9
R4
+
–
R5
AO2
R6
R8
R7
C11
C10
C14
C12
R10
–
+
AO3
C16
figure 1
R9
A. On s’intéresse au premier bloc reproduit ci-contre (figure 2) L’amplificateur opérationnel
fonctionne en régime saturé.
R2
On donne : R1 = 19,6 kW, R2 = 40,2 kW, R3 = 100 kW,
C3 = 471 pF, VSAT = 13,5 V.
+
e
AO1
On note e = V+ – V– la tension différentielle à l’entrée de
–
l’AO1.
R3
On suppose qu’à t = 0 , le condensateur C3 est déchargé et
vS1
e > 0 . On pose a = R1 / ( R1 + R2 ) et t = R3C3 .
R
1
t = 0.
A.1-a) Exprimer vC3(t) pour t immédiatement supérieur à
vC3
C3
b) En déduire qu’il existe t1 tel que l’AO bascule en
figure 2
saturation basse. Déterminer t1 en fonction de t et a.
c) Montrer qu’il existe t2 >t1 tel que l’AO bascule en
saturation haute. Déterminer t2 – t1 en fonction de t et a.
d) Montrer que vS1(t) et vC3(t) sont des signaux périodiques (leur période est notée T).
e) Tracer l’allure des variations de vS1(t) en fonction de vC3(t). Indiquer sur le graphe
le sens de parcours du point (vC3, vS1) lors de l’écoulement du temps.
æ 1+ a ö
A.2-a) Vérifier que la période T peut s’écrire T = 2t ln ç
÷.
è 1- a ø
b) Faire l’application numérique et calculer la fréquence correspondante.
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B. Nous étudions ici le bloc représenté ci-dessous (voir figure 3) qui a pour fonctions
d’amplifier le signal d’une part et de filtrer les signaux parasites à haute fréquence d’autre part. Les
amplificateurs opérationnels fonctionnent en régime linéaire.
On
donne
C14 = 4,7 nF ; C16 = 2,2 nF ;
C14
R5 = R6 = 10 kW,
–
AO3
R7 = 25 MW, R8 = 100 kW,
+
R6
+
R5
AO2
R9 = 5,0 kW.
–
B.1-a)
Déterminer v
E
vS’
R8
C16
l’expression
du
rapport
R7
R9
vS’/vE.
b) Quelle est
la fonction assurée par ce
figure 3
premier étage
B.2-a) Montrer que, en régime sinusoïdal, le rapport VS/VS’ peut s’écrire
: V S / V S ' = 1/ 1 + 2miw / w0 - w2 / w0 2 . Exprimer m et w0 en fonction des données du problème.
(
vS
)
b) Calculer m , w0 et f0 la fréquence correspondante.
c) Quelle est la fonction assurée par ce deuxième étage
B.3-a) Tracer le diagramme de Bode asymptotique du bloc entier, c’est-à-dire le diagramme
de Bode associé à la fonction de transfert H(iw) = VS/VE (la représentation de la phase n’est pas demandée).
b) Le bloc étudié est-il de nature à remplir sa fonction ?
On donne la décomposition en série de Fourier du signal d’entrée :
vE ( t ) =
80 ì
1
1
1
ü
ísin (100 p t ) + sin ( 300 p t ) + sin ( 500 p t ) + ... + sin (100 n p t ) ý
p î
3
5
n
þ
Combien d’harmoniques sont transmis par le bloc ?
C6
C4 A C5
N
C.Multiplicateur de Schenkle
Nous étudions à présent le bloc représenté ci-contre (voir figure
D3
D5
4) appelé multiplicateur de Schenkle. Il est constitué d’une association
D1
D6
D2
de cellules élémentaires (voir schéma 8). Le fonctionnement des dioD4
des est le suivant :
B
P
Ÿ diode bloquée : i = 0 et u < 0 ;
C7 F C8
C9
vPM
Ÿ diode passante : i > 0 et u > 0 avec i fonction croissante de u..
E = 13,5 V
L’intensité i (sens conventionnel donné par le symbole de la
diode) et la tension u aux bornes de la diode sont prises en convention
figure 4
vC4
récepteur. Pour (i = 0 , u = 0 ) une diode est à la limite de devenir pasN I
A
sante ou de se bloquer.
C4
uNM
On donne C4 = C5 = C6 = C7 = C8 = C9 = C = 0,1 mF.
D1
D2
On commence par étudier une cellule élémentaire du multiplicateur repréC7
B
sentée ci-contre (voir figure 4bis). On considère qu’en sortie de l’amplificateur
F
opérationnel AO1 ,on obtient un courant constant I = 15 mA dont le sens varie
v
C7
périodiquement.
uFM
E
C.1) Phase 1.
On considère qu’à t = 0 , les condensateurs C4 et C7 sont déchargés et
figure 4bis : cellule
UNM = –E = –13,5 V.
élémentaire
a) Déterminer à t = 0 l’état des diodes D1 et D2 .
*b) En déduire, en s’aidant d’un schéma équivalent, le fonctionnement de la cellule
jusqu’à l’instant t1 , au bout duquel vC4 atteint sa valeur limite. Exprimer et calculer t1.
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C.2) Phase 2. On considère qu’à t’ > t1 , UNM bascule à la valeur +E = +13,5 V. On choisit t’
comme nouvelle origine du temps.
*a) Déterminer à la date t’ l’état des diodes D1 et D2 .
*b) En déduire, en s’aidant d’un schéma équivalent, le fonctionnement de la cellule
jusqu’à l’instant t2 où la diode D2 se bloque. Exprimer et calculer t2.
Les phases suivantes ne sont pas étudiées.
C.3) On montre que vC7 tend vers +2E.
a) Quelle est la valeur limite de vFM ?
b) On cherche la valeur limite de vPM . Rechercher la valeur commune de la tension
aux bornes des condensateurs pour laquelle le multiplicateur de Schenkle n’évolue plus quelle que
soit la valeur de UNM (– E ou +E ). En déduire la valeur limite de vPM . Justifier le nom de multiplicateur attribué au montage.
D.Commutation capacitive
iAB
On considère le dispositif de la figure 5 :
2
1
Un commutateur électronique K, commandé au moyen d’un siK
gnal d’horloge rectangulaire de fréquence réglable fH, et de rapport uA(t)
uB(t)
C0
cyclique 1/2 permet de connecter le condensateur de capacité C0 alternativement aux tensions uA(t) et uB(t). La fréquence fH est choisie suffisamment élevée pour que les variations des tensions uA(t) et uB(t)
figure 5
puissent être négligées entre deux instants de commutation de K.
On suppose de plus que la résistance r du commutateur est suffisamment faible pour que l’on puisse poser TH = 1/fH >> r C0 : c’est à dire que la charge ou décharge de C0 est quasi instantanée.
D.1-a) De t = 0 à t = TH/2, K est en position (1) et de t = TH/2 à t = TH, K est en position (2).
En étudiant la tension uC0 aux bornes du condensateur C0 et la charge Q0 stockée par C0 dans chaque phase, déterminer la quantité d’électricité QAB qui passe de A vers B pendant une période TH ?
b) On note iAB
la valeur moyenne du courant iAB entre 0 et TH. Relier iAB
et
QAB.
c) Montrer que l’on peut écrire, sur une période TH, une relation du type
uAB = RH iAB , où RH désigne la valeur d’une résistance dont on donnera l’expression en fonction
de C0 et de la fréquence de commutation fH. À quoi le dipôle AB ainsi
C
constitué est-il équivalent et quel peut en être l’intérêt.
D.2) Le principe de la commutation capacitive peut être utilisé
R
–
pour réaliser un circuit intégrateur.
+
a) En supposant l’AO idéal, rappeler l’expression de la
u1
u
transmittance opérationnelle TI1(p) = U2(p)/U1(p) du circuit ci-contre
(figure 6).
figure 6
b) La résistance R du montage précédent est remplacée par
le dispositif à commutation capacitive où K est commandé à la fréquence
fH (figure 7). Exprimer la nouvelle transmittance TI2(p) = U2(p)/U1(p).
C
2
1
u1
C
1
–
+
K
u2
C0
1’
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–
+
K
K’
figure 7
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u1
2
u2
C0
2’
figure 8
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c) Dans la pratique, on a recours au système de la figure 8 ci-dessus, dans lequel les
deux commutateurs K et K’ sont commandés de façon synchrone, par le même signal d’horloge.
Exprimer la nouvelle transmittance TI3(p) = U2(p)/U1(p). On pose TI3(p) = w0/p où w0 est la pulsation propre de l’intégrateur. Exprimer w0 en fonction de C0, C et fH. Calculer la valeur de w0 pour
fH = 1,0 MHz et C = 16 C0.
E. Filtre passe-bas à capacités
R1
commutées
R3
Le schéma du montage est
donné figure 9 ci-contre. On suppose
R2
l’AO idéal et fonctionnant en régime
linéaire. Les deux intégrateurs sont à
R1
–
INTÉGRATEUR
INTÉGRATEUR
capacité commutée et sont caractérisés
+
uE
u’
u
par la même pulsation propre w0.
a) Montrer que la fonction
de
transfert
de
l’étage
figure 9
T1(p) = US1(p)/UE(p) peut s’écrire
(
)
U S1 / U E = 1/ 1 + 2m1 iw / w01 - w2 / w012 .
Exprimer m1 et w01 en fonction des différentes résistances et de la pulsation propre w0 commune aux deux intégrateurs.
b) Le diagramme de Bode (module et argument) d’un filtre est fourni ci-dessous (on
a posé x = w/w0). Le gain maximum du filtre est pris égale à 1. Les différents relevés ont été faits
pour les valeurs suivantes du facteur de qualité Q :
Q 0,1 0,5 1
2
5 10 20
Quelle est la nature et l’ordre du filtre ? Repérer la courbe correspondant à Q = 0,1 et donner
dans ce cas la bande passante réduite Dx du filtre. On se place dans le cas Q = 1. Le filtre est attaqué
par le signal vE(t) = X1cos(w0t) + X3cos(3w0t) + X5cos(5w0t). Exprimer la tension de sortie sous la
forme y(t) = Y1cos(w0t + j1) + Y3cos(3w0t+ j1) + Y5cos(5w0t+ j1).
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