– 九章算術 Les neuf chapitres Les premiers textes chinois consacrés

九章算術 – Les neuf chapitres
Les premiers textes chinois consacrés aux mathématiques qui nous soient parvenus datent de la
dynastie Han (202 avant notre ère-220 après notre ère). Avec l’unification de l’Empire, la
consolidation de la bureaucratie, l’on assiste dans de nombreux domaines du savoir à un travail de
synthèse, de mise en ordre des acquis antérieurs.
C’est à un tel processus que l’on doit sans doute la compilation de l’ouvrage qui deviendra le
classique par excellence de la tradition mathématique chinoise : Les neuf chapitres sur les
procédures mathématiques [...]. Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques devinrent le
classique auquel reviendront nombre de mathématiciens chinois ultérieurs. Ce trait lui a valu de voir
son rôle comparé, pour les traditions mathématiques qui se sont exprimées en caractères chinois, à
celui joué par les Éléments de géométrie d’Euclide en Occident. [...] A la différence des Éléments
de géométrie d’Euclide, Les neuf chapitres présentent les connaissances mathématiques dans le
contexte de problèmes, sous forme de procédures de calcul, ou algorithmes, et non pas sous forme
de théorèmes.
Extrait de Aperçu sur l'histoire des mathématiques en Chine ancienne dans le contexte d'une
histoire internationale, Karine CHEMLA, Directrice de recherche - CNRS, Équipe REHSEIS,
Laboratoire de Philosophie et Histoire des Sciences
Un peu de théorie, par Liu Hui (IIIe siècle après
J.C.) : il démontre, dans un livre publié en 263, la
« procédure de la base et de la hauteur » décrite dans
l'un des neuf chapitres sur les procédures
mathématiques, et mieux connue dans les écoles
françaises sous le nom de théorème de Pythagore.
La procédure :
Base et hauteur étant chacune multipliée par ellemême, on somme (les résultats) et on divise ceci par
extraction de la racine carrée, ce qui donne
l'hypoténuse.
Vocabulaire : La base désigne ici le plus petit côté
dans un triangle rectangle. La hauteur désigne l'autre
côté de l'angle droit, et l'hypoténuse désigne le plus
grand côté, qui est opposé à l'angle droit.
Explication :
On applique donc l'algorithme suivant :
Base et hauteur étant chacune multipliée par elle-même : a 2 et
2
b
on somme (les résultats) : a 2b2
et on divise ceci par extraction de la racine carrée :  a 2b2
ce qui donne l'hypoténuse : c= a2 b2
Démonstration de Liu Hui :
...La base étant multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur multipliée par ellemême un carré bleu-vert, et l'on fait en sorte que ce qui sort et ce qui entre se compense l'un, l'autre,
que chacun se conforme à sa catégorie ; alors, sur la base du fait que l'on garde ceux [les morceaux]
qui restent sans bouger, on engendre par réunion l'aire du carré de côté l'hypoténuse. En divisant
ceci par l'extraction de la racine carrée, cela donne l'hypoténuse....
Explication :
La base étant multipliée par elle-même fait
un carré vermillon, la hauteur multipliée
par elle-même un carré bleu-vert
L'aire du carré vermillon est a 2 .
L'aire du carré bleu-vert est b 2 .
L'aire du domaine coloré est donc a 2b2
et l'on fait en sorte que ce qui sort et ce
qui entre se compense l'un, l'autre, que
chacun se conforme à sa catégorie ;
alors, sur la base du fait que l'on garde
ceux [les morceaux] qui restent sans
bouger, on engendre par réunion l'aire du
carré de côté l'hypoténuse.
Le carré obtenu a effectivement pour aire
2
c .
Et on a bien c 2=a 2b 2 .
Ou encore c= a2 b2 .
Petite précision avant toute chose :
Le chi est une unité de longueur qui vaut environ 23-24 cm.
1 zhang = 10 chi et 1 chi = 10 cun
Problème 1 :
Énoncé 1 : Supposons qu'on ait un rondin de bois de section circulaire de 2 chi 5 cun de diamètre et
qu'on veuille en faire une planche de section rectangulaire, de sorte qu'elle ait 7 cun d'épaisseur. On
demande combien vaut sa largeur.
Réponse : 2 chi 4 cun
Énoncé 2 : Supposons que l'on ait un étang carré de 1 zhang de côté, au centre duquel pousse un
roseau qui dépasse de 1 chi [le niveau] de l'eau. Quand on tire sur le roseau vers la rive, il arrive
juste au bord. On demande combien valent respectivement la profondeur de l'eau et la longueur du
roseau.
Réponse : La profondeur de l'eau vaut 1 zhang 2 chi et la longueur du roseau vaut 1 zhang 3 chi.
Énoncé 3 : Supposant qu'en ouvrant les battants d'une porte jusqu'à une distance de 1 chi du seuil
de la porte, on laisse une ouverture de 2 cun. On demande combien vaut la largeur de la porte.
Réponse : 1 zhang 1 cun.
Niveau collège : démontrer les résultats.
Problème 2 :
Énoncé : Supposons qu'on érige un bâton à l'extrémité duquel on attache une corde de laquelle 3
chi traînent sur le sol. Si on recule en tirant la corde, à une distance de 8 chi de la base du bâton, on
arrive au bout de la corde. On demande combien vaut la longueur de la corde.
Réponse : 10 zhang 2 chi 1/6 de chi
Procédure : La distance à la base étant multipliée par elle-même, on en effectue la division par la
quantité dont cela traîne. On ajoute ce qu'on obtient à la quantité dont cela traîne sur le sol, et on
prend la moitié de ceci, ce qui donne la longueur de la corde.
Niveau 6ème, 5ème : faire un schéma de la situation et mettre en œuvre la procédure pour retrouver
le résultat.
Niveau collège : démontrer le résultat.
Niveau lycée : la procédure proposée dans les neufs chapitres reste-t-elle valable pour des données
de départ différentes ?
Problème 3 :
Énoncé 1 : Une ville carrée de dimension inconnue comprend une porte au milieu de chaque côté.
A l’extérieur de la ville, vingt pas après la sortie Nord, se trouve un arbre. Si tu quittes la ville par la
porte Sud, marche quatorze pas vers le sud puis 1775 vers l’ouest et tu commenceras tout juste à
apercevoir l’arbre. On cherche les dimensions de la ville.
Énoncé 2 : Dans une ville circulaire, en sortant par la porte Est et en marchant 480 pas vers le nord,
il y a un arbre. En sortant par la porte Sud et en marchant 200 pas vers l'ouest, on aperçoit l'arbre.
Combien mesure le rayon de la ville ?
Niveau : 3ème, 2nde, 1ère
Problème 4 :
Énoncé 1 : Supposons que l'on a formé deux piles, l'une avec 9 pièces d'or et l'autre avec 11 pièces
d'argent. Les deux piles de pièces pèsent autant. On prélève maintenant une pièce sur chaque pile et
on la place sur l'autre pile. On constate que la pile contenant majoritairement des pièces en or pèse
alors 13 unités de moins que l'autre pile. Déterminer le poids d'une pièce en argent et celui d'une
pièce en or.
Énoncé 2 : Les poids de deux gerbes d'une récolte A, de trois gerbes d'une récolte B, et de 4 gerbes
d'une récolte C sont supérieurs à une unité de poids. Deux gerbes A valent, en sus de l'unité, une
gerbe B. Trois gerbes B valent, en sus de l'unité, une gerbe C, et quatre gerbes C valent, en sus de
l'unité, une gerbe A.
Quel est le poids d'une gerbe de chaque récolte ?
Énoncé 3 : Le rendement de 5 gerbes de céréales de qualité supérieure est le même que le
rendement de 7 gerbes de céréales de qualité inférieure auquel on ajoute 11 pintes de grain. Le
rendement de 7 gerbes de céréales de qualité supérieure est le même que le rendement de 5 gerbes
de céréales de qualité inférieure auquel on ajoute 25 pintes de grain. Quel est le rendement de
chaque type de céréales ?
Énoncé 4 : Le rendement de 1 gerbe de qualité supérieure, de 2 gerbes de qualité moyenne et de 3
gerbes de qualité inférieure est de 26 pintes de grain. Le rendement de 3 gerbes de qualité
supérieure, de 2 gerbes de qualité moyenne et de 1 gerbe de qualité inférieure est de 39 pintes de
grain. Le rendement de 2 gerbes de qualité supérieure, de 3 gerbes de qualité moyenne et de 1 gerbe
de qualité inférieure est de 34 pintes de grain.
Quel est le rendement de chaque type de céréales ?
Niveau : 4ème, 3ème, 2nde, 1ère
Problème 5 : (problème du Classique mathématique de Zhang Qiujian, datant de la moitié du Vème
siècle, que l'on retrouve ensuite sous d'autres formes en Inde et dans le monde musulman)
Le prix d'un coq est de 5 sapèques, celui d'une poule est de 3 sapèques et celui de 3 poussins est de
1 sapèque. Pour 100 sapèques, on achète 100 volailles.
Combien y a-t-il de coqs, de poules et de poussins ?
Niveau : 1ère, terminale
Problème 6 : (Ce problème n'a de chinois que le paravent...)
Un paravent chinois se compose de 3 panneaux rectangulaires de mêmes dimensions.
Les petits côtés, qui seront en contact avec le sol, mesurent 1 mètre.
Ce paravent découpe sur le sol un trapèze ABCD (on supposera que les angles 
ABC et 
DCB ont
même mesure), ce polygone est le polygone de "sustentation".
Comment choisir les angles 
ABC et 
DCB pour que le polygone de "sustentation" ABCD ait une
aire maximale ?
Niveau : 1ère, terminale