Etude expérimentale et numérique de la conductivité thermique d`un

Etude expérimentale et numérique de la
conductivité thermique d’un composite
chaux–chanvre
Thanh Hung Pham, Julien Férec, Vincent Picandet, Pierre
Tronet, Jean Costa, Philippe Pilvin
Laboratoire d’Ingénierie des MATériaux de Bretagne (LIMATB), Université de
Bretagne-Sud, Université Européenne de Bretagne, Centre de Recherche Christiaan
Huygens, BP 92116, 56321 LORIENT Cedex
RÉSUMÉ. Le béton de chanvre constitue un matériau de construction prometteur puisqu’il
présente les avantages d’être performant sur le plan thermique lors de son utilisation, et sur
le plan environnemental dans la globalité de son cycle de vie. L’objectif de cette étude est de
présenter l’effet des inclusions végétales sur la conductivité thermique du matériau composite
expérimentalement, et par des approches théoriques et numériques. Différentes pâtes de
chaux ont été confectionnées avec de faibles concentrations volumiques de chènevotte,
inférieures à 30%. Les résultats numériques de la conductivité thermique concernent une
simulation par éléments finis en 2D d’une matrice comportant des inclusions ellipsoïdales
d'élancement constant et avec des orientations prédéfinies. Enfin quelques résultats
théoriques sont déduits des méthodes d’homogénéisation telles que Mori-Tanaka, auto
cohérente et Halpin-Tsaï. La cohérence des résultats entre eux valide l’application des
théories utilisées aux composites chaux–chanvre étudiés.
ABSTRACT. Lime and hemp concrete is an attractive building material since it provides
efficient thermal insulation in service and it has a low ecological footprint over his whole life
cycle. The objective of this study is to present the effect of hemp shiv inclusions on thermal
conductivity of material using experimental, theoretical and numerical investigations. Many
pastes were cast with low shiv volume fraction, lower than 30%. The numerical results come
from 2D finite elements simulations of matrix containing ellipsoidal inclusions with a
constant aspect ratio and preset orientations. Moreover some theoretical results are derived
from homogenization methods such as Mori-Tanaka, self-consistent and Halpin-Tsai. The
agreement of results shows the validity of the methods used in case of the studied lime and
hemp composites.
MOTS-CLÉS
: Conductivité thermique, Chanvre, Chaux, Modélisation, Homogénéisation,
Eléments finis
KEY WORDS: Thermal conductivity, Hemp, Lime, Modeling, Homogenization, Finite
Element Methods.
XXXe Rencontres AUGC-IBPSA
1.
Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012
2
Introduction
Obtenu en mélangeant de la chènevotte avec un liant à base de chaux et d'eau, le
béton de chanvre est un matériau qui suscite actuellement de nombreux
développements en raison de son faible impact environnemental et de ses forts
pouvoirs isolants, acoustiques et thermiques. Ses granulats végétaux renouvelables
et sa faible quantité de liant font que le béton de chanvre est également un matériau
léger et attrayant malgré ses faibles propriétés mécaniques.
Possédant les avantages d'un matériau de construction prometteur, le béton de
chanvre suscite des attentions particulières, notamment sur sa conductivité
thermique dont cette étude fait l'objet.
Au travers de ce document, des approches expérimentales, théoriques et
numériques sont utilisées pour investiguer l'effet des inclusions végétales sur la
conductivité thermique du matériau. Ainsi, différentes pâtes de chaux ont été
confectionnées avec de faibles concentrations de chènevotte afin de répondre aux
conditions satisfaisant les approches théoriques. L'orientation des granulats sur la
conductivité thermique est également étudiée.
2.
Expériences
Pour tous les échantillons de béton de chanvre testés, le rapport eau sur chaux est
constant et vaut E/C = 0,5. Seules les fractions volumiques de chènevotte vf varient
entre 0 et 30 % par incréments de 5 %.
2.1. Préparation des échantillons
Pour la préparation des échantillons, la pâte de chaux et l’eau sont d’abord
mélangées à l’aide d’un malaxeur à axe vertical. Au préalable, les chènevottes sont
immergées dans l’eau pendant 2 minutes afin de les saturer en eau. Ce temps suffit à
atteindre 90% de leur saturation en eau [NGU 10a] et permet par la suite de limiter
l’absorption de l’eau de gâchage nécessaire à l’hydratation de la chaux par la
chènevotte et d'obtenir une meilleure homogénéité du mélange. Un mélange
homogène permet un meilleur contact entre la pâte et les granulats, une distribution
uniforme et un enrobage satisfaisant des particules de chènevotte.
Pour chaque concentration de chènevotte, trois éprouvettes prismatiques de
dimensions 13×13×5 cm3 sont élaborées. Avant d'effectuer les mesures thermiques,
28 jours de maturation puis environ deux semaines de séchage à 60°C sont
nécessaires pour atteindre une masse constante.
2.2. Caractérisation thermique
La conductivité thermique est mesurée en régime stationnaire à une température
proche de 20°C selon la technique de la plaque gardée chaude [DEP 02]. Le
dispositif utilisé a été développé au sein du laboratoire LIMatB [CAR 90] et a déjà
Etude expérimentale et numérique de la conductivité thermique d’un composite chaux-chanvre.
3
été testé sur différents bétons de chanvre [NGU 10b]. Il est illustré sur la Figure 1.
La cellule de mesure est constituée d’une plaque froide (F), d’un élément chauffant
(C) et d’une garde arrière (G). Celle-ci permet de s’assurer que l’intégralité de la
puissance dissipée dans l’élément chauffant pénètre dans l’échantillon.
Afin de garantir une bonne homogénéité des températures, les éléments (F) et
(G) sont usinés dans du cuivre massif. L’élément chauffant (C) est constitué d’une
plaque de cuivre de 2 mm d’épaisseur sur laquelle est collé un film chauffant qui est
isolé de la garde arrière par 8 mm d’isolant (I).
b)
a)
Figure 1. a) Schéma de la cellule de mesure par la méthode de plaque gardée
chaude ; b) Dispositif de mesure de la conductivité thermique.
Ce dispositif expérimental accepte des échantillons parallélépipédiques de 13 cm
de coté et d’épaisseur variable. Le flux traversant l’échantillon est mesuré au niveau
de l’élément chauffant central de 100×100 mm2. Des dimensions latérales
d'échantillons supérieures à celles de l’élément chauffant permettent de limiter
l’influence des effets tridimensionnels sur la zone de mesure, la partie externe de
l’échantillon jouant le rôle de garde latérale. Dans le cas contraire, une garde latérale
est disposée autour de l’échantillon.
Une modélisation tridimensionnelle des champs de température dans les
échantillons permet de définir les conditions de température à respecter pour que
l’erreur induite par l’approximation du modèle monodimensionnel soit négligeable.
De plus les températures des plaques, chaude et froide, (G et F) encadrent la
température ambiante avec une différence de ± 5°C respectivement, afin de limiter
au maximum les échanges avec l’extérieur, c’est-à-dire d'environ 25°C pour
l’élément chauffant et de 15°C pour la plaque froide. Dix thermocouples sont
disposés à la surface de la plaque froide (F) et de l’élément chauffant (C), et
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permettent de suivre l’évolution de la température en fonction du temps. La
conductivité thermique λ est déduite selon l’expression suivante :
λ=
Φ/S
∆T/∆x
[1]
où Φ est le flux de chaleur, S est la surface de l’échantillon (0,1×0,1 m2), ∆T
représente la différence de température entre les plaques chaude et froide
(∆T = 10°C) et ∆x est l'épaisseur de l'échantillon (environ 50 mm).
Les mesures obtenues sont représentées sur la Figure 2.
-1
-1
Conductivité thermique effective λ (W.m .K )
0,45
0,40
y= -0,506x + 0,3892
R2 = 0,904
0,35
0,30
0,25
0,20
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
Fraction volumique de chènevotte vf
Figure 2. Influence de la fraction volumique de chènevotte sur la conductivité
thermique mesurée des composites chaux/chanvre étudiés.
Il est à noter que la répétabilité des mesures est très convenable ce qui permet de
justifier que la conductivité thermique du béton de chanvre varie quasi linéairement
avec la fraction volumique de chènevotte, et ce jusqu'à une fraction volumique de
30 %.
3.
Approches usuelles en homogénéisation
Plusieurs approches d'homogénéisation peuvent être utilisées pour estimer les
propriétés thermiques effectives du béton de chanvre. Dans cette étude, les
approches de Mori-Tanaka (MT), auto-cohérentes (AC) et de Halpin-Tsaï (HT) ont
été testées.
3.1. Modèle d’Eshelby
Etude expérimentale et numérique de la conductivité thermique d’un composite chaux-chanvre.
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En considérant un matériau hétérogène biphasé dont la conductivité thermique
de chaque phase est homogène et connue, il est possible d'estimer la conductivité
thermique globale du composite λ via l'expression :
λ = vm λ m ⋅ A m + vf λ f ⋅ A f
[2]
où vf et vm correspondent respectivement à la fraction volumique de chènevotte et de
la matrice. Les tenseurs des conductivités thermiques des particules de chènevotte et
de la matrice sont représentés par λf et λm. Ai désigne le tenseur de concentration de
la phase i (i étant soit la matrice, soit les particules). Il a été démontré que, dans le
cas d'une inclusion ellipsoïdale dans un milieu isotrope, le tenseur de concentration
d'une inclusion s'écrit [DO 08] :
A f =  I + λ f - λ m ⋅ Pf 


(
)
-1
[3]
I est le tenseur unitaire et Pf est le tenseur de Hill qui dépend du rapport de
forme de l'inclusion (r = l/d) et de la conductivité thermique de la matrice. Une
solution analytique du tenseur de Hill dans le cas où l’inclusion est alignée dans un
milieu isotrope transverse est donnée par Do [DO 08].
Le tenseur des conductivités thermiques d'un milieu isotrope transverse peut être
exprimé sous la forme :
λm
λ m =  0
 0
0 
0 
ν 2 λ m 
0
ν2λm
0
[4]
où ν2 est le rapport entre les conductivités thermiques longitudinales et transverse
(dans le cas d'un milieu isotrope, ν2 = 1). Les composantes non nulles du tenseur Pf
de Hill sont :
P11 = ∫
z2
1
0
λ m  r 2 ν 2 - r 2 ν 2 -1 z 2 


(
P22 = P33 = ∫
(
r 2 1- z 2
1
0
)
dz
[5]
)
2λ m  r 2 ν 2 - r 2 ν 2 -1 z 2 


(
)
dz
Il s’en déduit ainsi le tenseur de concentration de la matrice :
{
}
-1
1
I - v f  I + λ f - λ m ⋅ Pf 


vm
et finalement celui de la conductivité thermique à l'échelle macroscopique :
Am =
(
)
(
)
λ = vm λ m ⋅ A m + vf λ f ⋅ A f = λ m + vf λ f - λ m ⋅ A f
3.2. Approche de Mori-Tanaka
[6]
[7]
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6
Le principe de ce modèle est de considérer un ellipsoïde immergé dans une
matrice solide et soumis à un gradient thermique fictif. La solution du problème
permet d’écrire le tenseur de concentration de la chènevotte :
-1
[8]
A fMT = A f ⋅ (1- vf ) ⋅ I + vf A f 
L’estimation du tenseur des conductivités thermiques homogénéisées du
composite par l’approche de Mori-Tanaka s'exprime par :
(
)
λ MT = λ m + vf λ f - λ m ⋅ A MT
[9]
3.3. Approche auto-cohérente
L'approche auto-cohérente a également été développée pour un matériau
comportant des inclusions elliptiques [HIL 65]. L’hypothèse forte de ce modèle
consiste à supposer que chaque inclusion est entourée par un milieu continu
équivalent dont la conductivité est égale à la conductivité thermique effective λAC
inconnue. L’estimation de la conductivité thermique effective est donc :
(
)
λ AC = λ m + vf λ f - λ m ⋅ A fAC
[10]
où le tenseur de concentration A fAC est donné par :
A fAC =  I + λ f - λ AC ⋅ PfAC 


(
)
-1
[11]
Le tenseur des conductivités thermiques λ AC de la matrice entourant les
particules de chènevotte n’est pas connu, mais la résolution se fait par itérations, en
prenant comme première estimation de λ, le résultat obtenu par l’approche
d’Eshelby. La convergence de ce processus donne la solution A fAC . Il est à noter que
le tenseur de Hill PfAC doit être recalculé à chaque itération, sauf dans le cas où la
matrice a un comportement isotrope transverse.
3.4. Approche de Halpin-Tsaï
L'approche de Halpin-Tsaï [HAL 76] a longtemps été populaire pour prédire
l’ensemble des constantes élastiques pour des composites à fibres courtes alignées.
Le module effectif du composite est déterminé par l’expression suivante :
1 + ζηvf
p
=
pm
1 - ηvf
avec η =
pf / p m -1
pf / p m + ζ
[12]
où p représente l'un des modules du composite. pf et pm sont les modules
correspondants aux particules de chènevotte et à la matrice. ζ est un paramètre qui
est fonction de la géométrie des particules et des conditions de chargement. Pour un
composite constitué de fibres courtes, les valeurs de ces paramètres sont données
dans le Tableau 1 pour un problème de mécanique. Dans notre cas, il s’agit d’un
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problème thermique et en première hypothèse, il y a une analogie thermique–
mécanique qui permet d'utiliser les mêmes paramètres.
Tableau 1. Paramètres ζ de Halpin-Tsaï pour un composite à fibres courtes.
Module
p
pf
pm
ζ
Longitudinal
λ11
λf
λm
2r
Transverse
λ22
λf
λm
2
Pour prédire les propriétés effectives d'un composite, celles du composite
unidirectionnel sont d'abord évaluées et ensuite une opération dite de
« moyennage » [ADV 87] est appliquée suivant toutes les directions d'orientation.
Cette approche est appliquée à l'étude du béton de chanvre. Ainsi le tenseur des
conductivités thermiques d’un composite λeff s'écrit en fonction de l’orientation
moyenne des particules de chènevotte par :
(
)
[13]
λ eff = λ11 - λ 22 a 2 + λ 22 I
où a2 est le tenseur définissant l'orientation moyenne des particules [ADV 87]. Les
Figure 3(a) et (b) illustrent deux orientations possibles pour les particules de
chènevotte.
a)
b)
Figure 3. Orientation d'une population de fibres : (a) orientation isotrope en
3D ; (b) orientation unidirectionnelle suivant la direction 1.
3.5. Approche numérique
Le tenseur des conductivités thermiques a également été estimé par une méthode
éléments finis en utilisant le logiciel ABAQUS®. Les deux maillages adoptés pour
cette étude sont présentés sur la Figure 4: l'un représente le cas où l'orientation des
particules de chènevotte est selon une direction donnée Figure 4 a) et l'autre
matérialise une orientation aléatoire en 2D Figure 4 b). Pour une orientation
parfaitement alignée Figure 4 a), la conductivité longitudinale, selon la direction
principale des particules, et la conductivité transverse, selon la direction orthogonale
à la précédente, sont calculées. Pour toutes ces configurations, la matrice est
composée de 400 inclusions.
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a)
b)
Figure 4. Maillages utilisés pour les résolutions par éléments finis : (a)
orientation unidirectionnelle alignée ; (b) orientation aléatoire en 2D.
4.
Prédiction du comportement thermique des bétons de chanvre
Les valeurs expérimentales sont utilisées dans cette partie pour confronter et
valider les différentes approches de calcul. L'élancement moyen des particules de
chènevottes ainsi que les conductivités thermiques du chanvre et du liant sont listés
dans le Tableau 2.
Tableau 2. Paramètres utilisés pour estimer les propriétés thermiques.
Paramètres
Symbole
Valeur (unité)
Rapport de forme des particules
r
5
Conductivité thermique du chanvre
λf
0,1 (W.m-1.K-1)
Conductivité thermique du liant
λm
0,39 (W.m-1.K-1)
Sur la Figure 5, les résultats obtenus avec la méthode des éléments finis pour des
bétons de chanvre sont confrontés aux résultats expérimentaux et aux estimations du
comportement obtenues par les approches de Mori-Tanaka, auto-cohérente, de
Halpin-Tsaï, ainsi que les bornes de Voigt et Reuss.
Nous observons que les données expérimentales sont bien comprises entre les
bornes de Voigt et Reuss. Dans son ensemble, les méthodes d'homogénéisation
surestiment les conductivités thermiques du béton de chanvre mesurées. Les
simulations réalisées par éléments finis sont davantage en accord avec les
observations expérimentales et ceci pour des orientations alignées Figure 4 a) en
appliquant un flux de chaleur transverse, et aléatoire 2D Figure 4 b). Néanmoins, ces
simulations n'ont pas été réalisées pour des fractions volumiques de particules au
delà de 14 %.
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9
-1 -1
Conductivité thermique effective λ (W.m .K )
0,45
Résultats expérimentaux
Orientation uniaxiale, direction longitudinale, EF2D
Orientation uniaxiale, direction transversale, EF2D
Orientation aléatoire 2D, EF2D
0,40
Reuss
Voigt
Isotrope - HT
Isotrope - MT
Isotrope - AC
0,35
0,30
0,25
0,20
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
Fraction volumique de chènevotte vf
Figure 5. Prédictions des conductivités thermiques du béton de chanvre en
fonction de la fraction volumique de chènevotte.
5.
Conclusions et perspectives
Cette étude présente des mesures expérimentales de conductivités thermiques
effectuées sur des composites chaux-chanvre avec des concentrations volumiques de
chènevotte comprises entre 0 et 30 %. La diminution de la conductivité thermique
avec l’augmentation de la concentration volumique de chènevotte peut être
correctement approchée par ces méthodes dans la plage de concentration volumique
considérée.
Les différentes méthodes d’homogénéisation utilisées, Mori-Tanaka, autocohérente et Halpin-Tsai, surestiment les valeurs de conductivité thermique du béton
de chanvre. L'approche auto-cohérente avec une orientation isotrope des particules
est la moins éloignée des mesures expérimentales. La méthode des éléments finis
pour des orientations alignées avec un flux de chaleur appliqué transversalement
donne de meilleures prédictions de la conductivité thermique du composite.
Ces observations ouvrent la voie au développement d’approches
micromécaniques dédiées afin de prédire au mieux, dans un premier temps, les
conductivités thermiques des bétons de chanvre puis, dans un second temps, leurs
propriétés mécaniques.
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