Représentation paramétrique d`une droite
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Représentation paramétrique d`une droite
Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour y accéder directement) Exercice 1 : représentation paramétrique d’une droite connaissant un point et un vecteur directeur Exercice 2 : représentation paramétrique d’une droite connaissant deux points Exercice 3 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et parallèle à une droite Exercice 4 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et orthogonale à un plan Exercice 5 : utilisation de la représentation paramétrique d’une droite Exercice 6 : représentation paramétrique d’une droite et projection orthogonale Exercice 7 : intersection de droites (= position relative de deux droites) Exercice 8 : intersection de droites suivant un paramètre (= position relative de deux droites) Exercice 9 : intersection de droite et de plan (= position relative d’une droite et d’un plan) Exercice 10 : intersection de droite et de sphère Exercice 11 : droites coplanaires et détermination d’une équation cartésienne de plan Exercice 12 : représentation paramétrique d’un segment et d’une demi-droite Exercice 13 : intersection de deux plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection Accès direct au site www.sos-devoirs-corriges.com Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Exercice 1 (1 question) On munit l’espace d’un repère ( Niveau : facile ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). La droite ( ) passe par le point ( ) et admet ⃗⃗ ( ) comme vecteur directeur. Donner une représentation paramétrique de ( ). Correction de l’exercice 1 Retour au menu La droite ( ) passe par le point ( ( ) ) et admet ⃗⃗ ( ) comme vecteur directeur. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗ colinéaires ( ) ⏟ tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ tel que { ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ tel que { tel que { Une représentation paramétrique de la droite ( ) est { ( ). Remarque : On pouvait directement appliquer le résultat du cours ci-dessous. Rappel : Représentation paramétrique d’une droite On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soit ( ) la droite passant par le point ( ⃗⃗ le vecteur ⃗⃗ ( ⃗⃗ ) pour vecteur directeur. Dire qu’un point ( ) et admettant ) appartient à ( ) équivaut à dire qu’il ⃗⃗ existe un réel vérifiant le système d’équations paramétriques de paramètre suivant : { ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les ) et ( ). points ( Correction de l’exercice 2 Soient les points ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( Retour au menu ). Alors le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées ( ) et ( ), c’est-à-dire ). La droite ( ) passe par le point ( ) et admet ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) pour vecteur directeur donc une ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ représentation paramétrique de la droite ( ) est { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , c’est-à-dire { ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Finalement, une représentation paramétrique de la droite ( ) est { ( ) où . ). Remarque importante : Une représentation paramétrique de droite est obtenue à partir du choix d’un point et d’un vecteur directeur. C’est pourquoi il n’y a pas unicité de la représentation paramétrique d’une droite. En ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ l’occurrence, { ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), c’est-à-dire { ( ) est une autre représentation ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ paramétrique de la droite ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une représentation paramétrique de la droite ( ) passant ) et parallèle à la droite passant par les points ( ) et ( ). par le point ( Correction de l’exercice 3 Retour au menu Rappel : Parallélisme et colinéarité On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient ( ) et ( ) deux droites de vecteurs directeurs respectifs ⃗⃗ et ⃗. Ces droites sont parallèles (c’est-à-dire strictement parallèles ou confondues) si et seulement si ⃗⃗ et ⃗ sont colinéaires. Les droites ( ) et ( ) étant parallèles, un vecteur directeur de la droite ( ) est le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées ( ), c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ) passe par le point paramétrique de ( ) est { ). ) et admet ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ( ) ( ) pour vecteur directeur donc une représentation ), c’est-à-dire { ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 4 Exercice 4 (1 question) Niveau : facile On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une représentation paramétrique de la droite ( ) passant ) et orthogonale au plan d’équation par le point ( . Correction de l’exercice 4 Retour au menu Rappel : Vecteur normal à un plan Dire qu’un vecteur ⃗⃗ non nul est normal à un plan signifie que toute droite de vecteur directeur ⃗⃗ est orthogonale à ce plan. ( L’ensemble des points , , ) de l’espace qui vérifient l’équation cartésienne désignent des réels non tous nuls et (où un réel) est un plan de vecteur normal ⃗⃗ ( ). Réciproquement, si un plan a pour vecteur normal ⃗⃗ ( ), alors ce plan a une équation cartésienne de la forme (où , , désignent des réels non tous nuls et ( ) est une droite orthogonale au plan d’équation directeur un vecteur normal à ce plan. Or, un vecteur normal au plan d’équation ( ) passe par le point paramétrique de ( ) est { ( ( ( ) ( , donc ( ) admet pour vecteur ) ) et admet ⃗⃗ ( un réel). est le vecteur ⃗⃗ ( ). ) pour vecteur directeur donc une représentation ), c’est-à-dire { ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 5 Exercice 5 (7 questions) On munit l’espace d’un repère ( Niveau : facile ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soit la droite ( ) dont une représentation paramétrique est { 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) ( ). Donner les coordonnées de trois points appartenant à ( ). Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour abscisse. Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour ordonnée. Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour cote. ) appartient-il à ( ) ? Le point de coordonnées ( Donner un vecteur directeur de ( ). Donner le vecteur directeur de ( ) de cote . Correction de l’exercice 5 Retour au menu Soit la droite ( ) dont une représentation paramétrique est { ( ). 1) Donnons les coordonnées de trois points appartenant à ( ). Rappel : Représentation paramétrique de droite et critère d’appartenance Une représentation paramétrique d’une droite ( ) n’est pas un système à résoudre mais un critère d’appartenance d’un point à ( ). Pour obtenir un point de ( ), il suffit d’affecter une valeur au paramètre de la représentation paramétrique de ( ). Pour chaque valeur réelle de , on obtient un point de ( ). Prenons donc arbitrairement 3 valeurs de distinctes. Si , alors { Le point de coordonnées ( Si , alors { Le point de coordonnées ( , c’est-à-dire { . ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre , c’est-à-dire { . . ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre . Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 6 Si √ √ , c’est-à-dire { √ √ , alors { Le point de coordonnées ( √ √ √ . √ √ ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre √ √ . 2) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant pour abscisse. Pour ce faire, cherchons le point de coordonnées ( ). Ce point appartenant à ( ), ses coordonnées vérifient chacune des équations paramétriques de ( ). Résolvons donc le système { { { { ( ( { Le point de ( ) ayant paramètre est égal à ) ) { pour abscisse a pour coordonnées ( ). Ce point est obtenu lorsque le . 3) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant Cherchons donc le point de coordonnées ( pour ordonnée. ). Ce point appartenant à ( ), ses coordonnées vérifient le système d’équations paramétriques de ( ). Résolvons donc le système { { . . { { { Le point de ( ) ayant pour ordonnée a pour coordonnées ( ). Ce point est obtenu lorsque le paramètre est égal à . 4) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant Cherchons donc le point de coordonnées ( pour cote. ). Comme ce point appartient à ( ), ses coordonnées en vérifient le système d’équations paramétriques. Résolvons donc le système { { . ( ) { ( ) Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés { { © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 7 Le point de ( ) ayant pour cote a pour coordonnées ( paramètre est égal à . 5) Soit le point de coordonnées ( ). Ce point est obtenu lorsque le ). 1ère méthode : Ce point a pour abscisse . Or, lorsque coordonnées du point de ( ) lorsque Or, si ( , alors , c’est-à-dire , on a ) ( et Autrement dit, le point de coordonnées ( . Calculons les autres ) . ) n’appartient pas à ( ). Remarque : En revanche, le point de coordonnées ( paramètre . ) appartient à ( ). C’est le point de ( ), de 2e méthode : Vérifions si le système { { { admet une solution réelle unique. { Ce système n’admet pas de solution donc le point de coordonnées ( ) n’appartient pas à ( ). 6) Donnons un vecteur directeur de ( ). Une représentation paramétrique de ( ) est { conséquent, un vecteur directeur de ( ) est ( ( ( ) ( ( ) ), c’est-à-dire { ). Par ). 7) Donnons le vecteur directeur de ( ) de cote . 1ère méthode : On cherche le vecteur directeur ⃗ de ( ), de cote ⃗⃗ précédente, un vecteur directeur de ( ) est ⃗⃗ ( ), vecteur de cote directeur ⃗ recherché est donc colinéaire à ⃗⃗ tel que ⃗ Par conséquent, le vecteur directeur de ( ) ayant , c’est-à-dire le vecteur ⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ). . Ainsi, Or, d’après la question ⃗⃗ ⃗⃗ . Le vecteur ⃗⃗. pour cote est le vecteur de coordonnées ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 8 2ème méthode : On cherche le vecteur directeur ⃗ de ( ), de cote vecteur de cote ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , c’est-à-dire le vecteur ⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) colinéaire à ⃗⃗ ( ), . Comme ⃗ et ⃗⃗ sont colinéaires, leurs coordonnées sont proportionnelles. Ainsi, on a : . Il vient alors que ⃗⃗ ( ) Par conséquent, le vecteur directeur de ( ) ayant et ⃗⃗ . pour cote est le vecteur de coordonnées ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 9 Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de ( On munit l’espace d’un repère ( sur la droite ( ) dont une représentation paramétrique est { ( ) ). Correction de l’exercice 6 Retour au menu Rappel : Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace ⃗⃗ Dire qu’un vecteur ⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) et qu’un vecteur ⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) sont orthogonaux équivaut à dire que leur produit scalaire ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ est nul. Dans un repère orthonormal de l’espace, ⃗⃗ ( ⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ et ⃗ ( ⃗⃗ ) sont orthogonaux si et seulement si ⃗⃗ . ⃗⃗ ( Une représentation paramétrique de ( ) est { ) donc ( ) est dirigée par le vecteur ⃗⃗ ( ) le projeté orthogonal de sur ( ). Comme est le projeté orthogonal de vient que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗ sont orthogonaux, c’est-à-dire que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . Notons ( En utilisant la représentation paramétrique de ( ), il existe un réel tel que { ( que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( D’où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ( ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . Dès lors, il vient ⃗⃗ ) . Ainsi, les coordonnées de sont données par ) ( ). ( ) Finalement, le point sur ( ), il ). est donc le point de ( ), de paramètre ( { ), c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( Le point ) ). , projeté orthogonal de sur ( ), a pour coordonnées ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 10 Exercice 7 (2 questions) Niveau : facile On munit l’espace d’un repère ( ( respectives { ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques ) et { ( ). 1) Démontrer que les droites ( ) et ( ) sont sécantes. 2) Préciser les coordonnées de leur point d’intersection. Correction de l’exercice 7 Retour au menu 1) Démontrons que les droites ( ) et ( ) sont sécantes. Une représentation paramétrique de ( ) est { ( Une représentation paramétrique de ( ) est { ) donc ⃗⃗ ( ) est un vecteur directeur de ( ). ( ) donc ⃗ ( ) est un vecteur directeur de ( ). Or, comme il n’existe aucun réel non nul tel que ⃗⃗ ⃗, les vecteurs ⃗⃗ et ⃗ ne sont pas colinéaires. Il s’ensuit que les droites ( ) et ( ) sont soit coplanaires et sécantes soit non coplanaires et jamais sécantes. Remarque importante : Attention ! Dans l'espace, deux droites non parallèles ne sont pas nécessairement sécantes. Elles peuvent être non coplanaires et ne jamais être sécantes. ( ) { ( ( ) ) ( ) { { { { { Le système admet pour solution le couple ( ) ( { { { ) donc les droites ( ) et ( ) sont sécantes. 2) Précisons les coordonnées du point d’intersection des droites ( ) et ( ). Les coordonnées du point d’intersection de ( ) et ( ) sont donc obtenues, soit en remplaçant par dans la représentation paramétrique de ( ), soit en remplaçant par dans la représentation paramétrique de ( ). Une représentation paramétrique de ( ) est { ( ), de paramètre ( ) donc les coordonnées de l’unique point de , vérifient ce système d’équations paramétriques pour . ), c’est-à-dire Ainsi, le point d’intersection de ( ) et ( ) a pour coordonnées ( ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 11 Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen On munit l’espace d’un repère ( ( respectives { ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques ) et { ( ). Déterminer, suivant les valeurs du paramètre , l’intersection des deux droites. réel Correction de l’exercice 8 ( ) ( ) ( ) Retour au menu ( ) tels que { { ( ) tels que { ( ) tels que { ( ) tels que { ( ) tels que { ( ) tels que { ( ) tels que { Posons ( ) le discriminant du trinôme du second degré donc le trinôme admet deux racines réelles ( ) tels que { . Alors et ( ) . distinctes : ( √ ) √ Par conséquent, 3 cas de figure sont à envisager : , alors les droites ( ) et ( ) sont sécantes. si Leur point d’intersection a pour coordonnées ( On note ( ) si ( ) {( ), c’est-à-dire ( ). )}. , alors les droites ( ) et ( ) sont sécantes. Leur point d’intersection a pour coordonnées ( ), c’est-à-dire ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 12 On note ( ) ( ) {( }, alors les droites ( ) et ( ) ne sont pas sécantes. { si On note ( ) ( ) )}. . Remarque : Dans ce dernier cas, comme elles ne sont pas sécantes, les droites ( ) et ( ) sont soit coplanaires et confondues, soit coplanaires et parallèles, soit non coplanaires. Or, une représentation paramétrique de ( ) est { ⃗⃗ ( ( ) donc un vecteur directeur de ( ) est ). En outre, une représentation paramétrique de ( ) est { ( ) donc un vecteur directeur de ( ) est ⃗ ( ). Les cotes de ⃗⃗ et ⃗ sont égales mais par leurs ordonnées ; il n’existe donc aucun non nul tel que ⃗⃗ ⃗. Autrement dit, les vecteurs ⃗⃗ et ⃗ ne sont pas colinéaires et les droites ( ) et réel ( ) ne sont ni confondues ni parallèles. Finalement, si { }, alors les droites ( ) et ( ) ne sont pas coplanaires. Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 13 Exercice 9 (3 questions) Niveau : facile On munit l’espace d’un repère ( passant par ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Déterminer l’intersection de la droite ( ) dirigée par ⃗⃗ ( ) et ): 1) avec le plan ( ) 2) avec le plan ( ) 3) avec le plan ( Correction de l’exercice 9 Retour au menu 1) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan ( La droite ( ) est dirigée par ⃗⃗ ( ) et passe par ( ( { ) ). ) donc une représentation paramétrique de ( ) est ). De plus, une équation du plan ( ( ) ( ) ( ) ) est { . { { { ( ( ) ) ( ) { La droite ( ) et le plan ( ) ont pour intersection le point de coordonnées ( 2) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan ( Une équation du plan ( ( ) ( ) ( ) est ) { ). ). . { { { ( ) { La droite ( ) et le plan ( ) ont pour intersection le point de coordonnées ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 14 3) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan ( Une équation du plan ( ( ) ( ) ) est ( ) { ). . { { ( ( ) ) { { La droite ( ) et le plan ( ) ont pour intersection le point de coordonnées ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 15 Exercice 10 (1 question) Niveau : moyen ), ( L’espace est muni d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) dans lequel on place les points ( ( ) et ( ). Etudier l’intersection de la sphère de diamètre [ ] et de la droite ( ). Correction de l’exercice 10 Retour au menu 1) Dans un premier temps, déterminons une représentation paramétrique de ( ), droite passant par Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ), c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( appartient à ( ) donc une représentation paramétrique de ( ) est { ). De plus, ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ). Donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( . Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées ( ( )( ) ( Une équation cartésienne de la sphère ( ) de diamètre [ et . ) . 2) Dans un second temps, déterminons une équation de la sphère ( ) de diamètre [ ( ), )( ]. ) et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées ) ( )( ) ] est donc . 3) Déterminons désormais l’éventuelle intersection de ( ) et ( ). ( ) ( ) ( ) { { ( ) ( ) ( ) ( ) { Soit { le discriminant du trinôme du second degré donc le trinôme admet 2 racines réelles distinctes : ( ) ( . Alors ( √ ) ) . √ Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 16 Ainsi, on a : ( ) ( ) ( ) { { { { La sphère de diamètre [ ( { ) ( ] et la droite ( { ) ont deux points d’intersection et de coordonnées : ) Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 17 Exercice 11 (2 questions) Niveau : moyen On munit l’espace d’un repère ( ( respectives { ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques ) et { ( ). 1) Montrer que les droites ( ) et ( ) sont coplanaires. 2) Donner une équation cartésienne du plan qu’elles déterminent. Correction de l’exercice 11 Retour au menu 1) Montrons que les droites ( ) et ( ) sont coplanaires. Une représentation paramétrique de ( ) est { vecteur ⃗⃗ ( ( ). Par conséquent, ( ) est dirigée par le ( ). Par conséquent, ( ) est dirigée par le ). Une représentation paramétrique de ( ) est { vecteur ⃗ ( ). Or, ⃗ ⃗⃗. Autrement dit, les vecteurs ⃗⃗ et ⃗ sont colinéaires. Il s’ensuit que les droites ( ) et ( ) sont coplanaires. 2) Donnons une équation cartésienne du plan qu’elles déterminent. Les vecteurs ⃗⃗ et ⃗ étant colinéaires, les droites ( ) et ( ) sont soit parallèles soit confondues. Montrons qu’elles ne sont pas confondues. D’après la représentation paramétrique de ( ), on déduit que ( ( ) { { ) ( ). Vérifions que ( ). { { Ce système n’admet pas de solution donc ( ). Finalement, les droites ( ) et ( ) sont strictement parallèles. Cherchons désormais une équation du plan ( ) qu’elles déterminent. Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 18 D’après la représentation paramétrique de ( ), on déduit que ( ) ( ). Il vient alors ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Ainsi, n’étant pas colinéaires, les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗ forment un couple de vecteurs directeurs du plan ( ). Cherchons désormais un vecteur ⃗⃗ ( ) normal à ce plan, où , ( D’une part, ⃗⃗ ⃗⃗ ) ( D’autre part, ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Dès lors, ( ) ( ( Ainsi, en posant par exemple ) ) ) ( et ( ) ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ) ) ( ( ) ) . , on obtient que ⃗⃗ ( ) est un vecteur normal à ( ). Finalement, ( ) est le plan passant par ( ( et désignent des réels non tous nuls. ( ) et admettant ⃗⃗ ( ) comme vecteur normal. ) ( ) ( ) Une équation cartésienne du plan déterminé par les droites ( ) et ( ) est . Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 19 Exercice 12 (3 questions) Niveau : moyen L’espace est muni d’un repère ( ( ) et ( ). ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) dans lequel on place les points ( ), ( ), 1) Donner une représentation paramétrique du segment [ ]. 2) Donner une représentation paramétrique de la demi-droite [ ). 3) Montrer que [ ] et [ ) sont sécants et préciser les coordonnées de leur point d’intersection. Correction de l’exercice 12 Retour au menu 1) Donnons une représentation paramétrique du segment [ ]. Rappel : Représentation paramétrique d’un segment On munit l’espace d’un repère ( ( Dire qu’un point ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient ( ) appartient à [ ) et ( ) deux points distincts. ] équivaut à dire qu’il existe un réel [ ] vérifiant le ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ système d’équations paramétriques de paramètre suivant : { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] est dirigé par le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées ( Le segment [ ). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ainsi, ( ) [ ] { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( [ ]) ( { [ ]) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { ( [ ]) est une représentation paramétrique du segment [ 2) Donnons une représentation paramétrique de la demi-droite [ ]. ). Rappel : Représentation paramétrique d’une demi-droite On munit l’espace d’un repère ( Dire qu’un point ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient ( ) appartient à [ ) et ( ) deux points distincts. ) équivaut à dire qu’il existe un réel [ [ vérifiant le ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ système d’équations paramétriques de paramètre suivant : { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ La demi-droite [ ) est dirigée par le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées ( ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 20 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ainsi, ( ) [ ) { ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [) [ ( { [) [ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( { 3) Montrons que [ ( ) [ [) est une représentation paramétrique de la demi-droite [ [ ] ] et [ [ ) ) sont sécants et précisons les coordonnées de leur point d’intersection. ( { [ ]) ( { ( [ { ] [ [ { [ [ [ { [ [ [ { [ ] [ { [) [ ) ] ] [ ). [ ] [ [ { [ ] [ { ] { Le système admet pour solution le couple ( Le point du segment [ ], de paramètre ) ( ) donc [ ] et [ ) sont sécants. , a pour coordonnées . { Le point d’intersection de [ ] et [ ) a pour coordonnées ( { ). Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 21 Exercice 13 (1 question) Niveau : moyen On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). On désigne par ( ) et ( ) les plans d’équations cartésiennes respectives et . Caractériser l’intersection éventuelle de ( ) et ( ). Correction de l’exercice 13 ( ) { ( ) ( ( ) Retour au menu { ) { { { { { { { ( { ( { ) ) { Les plans ( ) et ( ) sont sécants suivant la droite dont une représentation paramétrique est ( { ( ). Cette droite est dirigée par le vecteur et passe par le point de coordonnées ( ) ). 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