Le pendule simple (correction)

Terminale S – TP de Physique n°12c
Mécanique
Le pendule simple (correction)
Galilée (1564-1642) a longuement étudié ce dispositif extrêmement simple mais d’une importance
scientifique considérable. Voici un extrait des « Dialogues sur les deux systèmes du monde » (1632),
entre Sagredo (le sceptique) et Salviati (le copernicien convaincu qui représente les idées de Galilée).
(...) Quant aux temps d'oscillation de mobiles suspendus à des fils de différentes longueurs, ils ont entre
eux même proportion que les racines carrées des temps ; si bien que pour obtenir un pendule dont le
temps d'oscillation soit double de celui d'un autre pendule, il convient de donner au premier une longueur
quadruple de celle du second ; de la même manière si un pendule a une longueur neuf fois supérieure à
celle d'un autre pendule, celui-ci effectuera trois oscillations pendant que celui-là en accomplira une
seule ; d'où il résulte que les longueurs des cordes sont inversement proportionnelles aux carrés du
nombre des oscillations accomplies dans le même temps.
Sagredo : Si j'ai bien compris, je pourrai donc aisément connaître la longueur d'une corde attachée à une
hauteur quelconque, quand bien même son point de suspension serait invisible et que l'on apercevrait
seulement son extrémité inférieure. Si en effet j'attache en cette partie de la corde un poids fort lourd,
auquel je communique un mouvement de va et vient, et si un ami compte le nombre de ces oscillations
pendant que moi-même je compte les oscillations effectuées par un autre pendule suspendu à un fil
mesurant exactement une coudée, alors grâce au nombre des oscillations de ces deux pendules durant un
même temps, je trouverai la longueur de la corde ; supposons par exemple que mon ami ait compté vingt
oscillations de la grande corde, dans le même temps où j'en comptais deux cent quarante pour mon fil
long d'une coudée ; prenant les carrés des deux nombres vingt et deux cent quarante, c’est-à-dire 400 et
57 600, je dirai que la grande corde contient 57 600 des unités dont mon petit pendule contient 400, mais
celui-ci mesure une seule coudée : je diviserai donc 57 600 par 400, ce qui donne 144, et je dirai que ma
corde a une longueur de 144 coudées.
Salviati : Vous ne vous tromperiez même pas d'une palme surtout si vous prenez un grand nombre
d'oscillations.
Sagredo : Vous me donnez à bien des reprises l'occasion d'admirer la richesse et aussi l'extrême libéralité
de la nature, quand de choses si communes, et je dirais même d'une certaine façon triviales, vous faites
surgir des connaissances aussi étonnantes que nouvelles, et souvent imprévues pour l'imagination. Il m'est
bien arrivé mille fois de prêter attention à des oscillations, et notamment à celles de ces lampes d'église,
suspendues à de longues cordes, et que quelqu'un par inadvertance avait mises en mouvement ; mais le
plus que j'aie su tirer de telles observations est l'improbabilité de l'opinion selon laquelle semblables
mouvements seraient entretenus par le milieu, c'est-à-dire par l'air, qui vraiment devrait avoir une grande
sagacité, et en même temps peu de choses à faire, pour passer ainsi des heures et des heures à maintenir
avec une telle régularité le balancement d'un poids. Quant à conclure que ce même mobile, suspendu à
une corde de cent coudées, puis écarté de son point le plus bas tantôt de quatre vingt dix degrés, tantôt
d'un degré ou d'un demi-degré seulement, ait besoin du même temps pour franchir le plus petit et le plus
grand de ces arcs, cela, je crois, ne me serait jamais venu à l'esprit, et maintenant encore me semble tenir
de l'impossible.
(...) En fin de compte j'ai pris deux boules, l'une en plomb et l'autre en liège, celle-là au moins cent fois
plus lourde que celle-ci, puis j'ai attaché chacune d'elles à deux fils très fins, longs tous deux de quatre ou
cinq coudées ; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchai en même temps et celle-ci,
suivant les circonférences des cercles ayant les fils égaux pour rayons, dépassaient la perpendiculaire pour
remonter de l'autre côté, par la même voie ; une bonne centaine d'allées et venues, accomplies par les
boules elles-mêmes, m'ont clairement montré qu'entre la période du corps pesant et celle du corps léger,
la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n'acquiert sur le second
aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement
identique. On observe également l'action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage
2
les vibrations du liège que celles du plomb, sans toutefois modifier leur fréquence ; même si les arcs
décrits par le liège n'ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont
en effet traversés en des temps égaux.
En italiques sont indiquées les lois du pendule selon Galilée. Notez qu'il s'est trompé sur la deuxième n'ayant pas la précision
voulue dans ses mesures pour observer la dépendance de la période en fonction de l'amplitude.
1 – Le pendule pesant simple
O
Un pendule simple est constitué d’un solide de masse m, de petites
dimensions1, et d’un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable
devant m.
Ecarté de sa position initiale d’un angle θ et lâché sans vitesse initiale, le
pendule simple effectue des oscillations périodiques autour de sa position
d’équilibre définie par θ = 0°.
La période To du pendule est la durée qui sépare deux passages consécutifs
du pendule, dans le même sens, par la position d’équilibre.
θ
L
m
verticale
1.1 – Etude expérimentale
On utilise le matériel suivant : un fil de longueur réglable relié à une masse m ; un chronomètre ; une
règle graduée métallique ; un rapporteur fixé sur un support.
On règle le rapporteur de sorte que le fil passe par θ = 0° à l’équilibre.
On fixe tout d’abord la longueur L = 50,0 cm du fil (entre le point d’attache et le centre de masse).
1. Montrer que le pendule étudié peut être assimilé à un pendule simple.
2. Comment peut-on gagner en précision sur la mesure de To ?
L (m)
0,200
0,400
0,500
0,600
0,800
Δt = 5 To (s)
4,395
6,145
6,945
7,630
8,800
To (s)
0,879
1,229
1,389
1,526
1,760
To² (s²)
0,773
1,510
1,929
2,329
3,098
3. Que vaudrait To pour L = 0 ?
4. To est-il proportionnel à L ?
L (m)
0,200
0,400
0,500
0,600
0,800
To (s)
0,879
1,229
1,389
1,526
1,760
To / L (s/m)
4,40
3,07
2,78
2,54
2,20
5. Tracer sur papier la courbe représentative de To² = f(L). Quelle est l’allure de ce graphe ?
Conclure.
6. Modéliser la courbe précédente en expliquant votre démarche.
1
On considère généralement que le pendule est simple si son diamètre moyen D vérifie 10 D < L.
3
On montre par la théorie que le coefficient de modélisation, a, dépend de
4 2
.
g
Les points semblent s’aligner sur une droite passant par l’origine : les variations de To2(L) pourraient
donc être représentées par une fonction affine de coefficient directeur
To 2
a
 3, 68 s 2 .m 1
L
2
On écrira ainsi To  3, 68  L
4 2
7. Expliciter cette dépendance : quelle relation y a-t-il entre a et
?
g
4 2
4 2
Calculons
 4,02 s 2 .m 1 . On peut remarquer que a et
ont la même dimension (l’inverse d’une
g
g
accélération) et des valeurs voisines.
8. En déduire l’expression de To en fonction de L et g, puis vérifier l’homogénéité de l’expression
obtenue.
4 2
To 2 
L
g
To  2
 L    L 
On vérifie bien que 
  

 g   g 
1/ 2
1.2 – Etude théorique
1/ 2
 L 
  2 
 L.s 
L
g
 s  To 
4
On étudie le système {pendule de masse m} dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Faire le bilan des forces exercées sur le système. Nous négligerons les frottements dus à l’air et ceux liés
à l’attache en O.
Exprimer l’énergie cinétique Ec du pendule en fonction de l’écart angulaire θ et de sa dérivée temporelle.
Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur Epp du pendule par rapport à la position d’équilibre en
fonction de cos θ.
Les frottements étant négligeables, l’énergie totale du système se conserve : en écrivant ce principe de
conservation, montrer que l’écart angulaire θ est régi par l’équation différentielle
g
  sin   0
L
2
d
où   2 désigne la dérivée seconde de θ par rapport au temps.
dt
Cette équation différentielle est plus complexe qu’à l’accoutumée (présence du sinus) : elle correspond à
des oscillations non harmoniques (la solution exacte n’est pas purement sinusoïdale). Toutefois, dans la
limite des petites oscillations, on pourra écrire que sin    et ainsi
g
g
  sin   0 
     0
L
L
On retrouve alors une équation différentielle homogène du 2nd ordre ; les solutions en sont des fonctions
sinusoïdales dont la période propre To apparaît dans l’équation sous la forme
2
g  2 
L
o     
 To  2
L  To 
g
La résolution exacte de l’équation du pendule simple passe par la résolution d’intégrales (fonctions
elliptiques de Jacobi) ; on obtient effectivement en réalité
o
L
d

T 4
2 g 0 cos    cos o 
2
En première approximation, on peut se contenter
 o 2 
T  To 1 

 16 
qu’on appelle formule de Borda en l’honneur de Jean-Charles de Borda (1733–1799) qui travailla, de
manière empirique, sur la question de la période du pendule.
Question : A l’aide de la formule de Borda, estimer T en fonction de To pour θ variant de 5 à 85° par pas
de 5°. Conclure.
θ (°)
T
5
1,000
10
1,002
15
1,004
20
1,008
25
1,012
30
1,017
35
1,023
40
1,030
θ (°)
T
50
1,048
55
1,058
60
1,069
65
1,080
70
1,093
75
1,107
80
1,122
85
1,138
45
1,039
Attention : la formule de Borda suppose un angle pris en radians : θ(rad) = θ(°) × π / 180.
On remarque que pour les faibles amplitudes, T ~ To . Au-delà d’une vingtaine de degrés d’amplitude, il
faut tenir compte de la formule de Borda pour calculer T.
1.3 – Importance du problème du pendule simple
La mesure du temps a toujours été importante pour l’Homme. Il s’est débrouillé des phénomènes
astronomiques dans un premier temps, puis s’est appliqué à fabriquer des systèmes simples (clepsydre,
sablier) permettant une mesure du temps qui s’écoule…
5
Avec les progrès scientifiques et, surtout, celui des grandes explorations, la précision devait s’accroître :
comment repérer sa position en pleine mer sans horloge ? Le problème suscita l’intérêt des plus grands
savants que le monde a porté.
La première définition de la seconde fut la demi-période d’un pendule de longueur LS donnée. Donner la
longueur LS de ce pendule.
Entre 1658 et 1659, Huygens travaille à la théorie du pendule oscillant. Il a en effet l'idée de réguler des
horloges au moyen d'un pendule, afin de rendre la mesure du temps plus précise. Il découvre la formule
de l'isochronisme rigoureux en décembre 1659 : lorsque le pendule parcourt un arc de cycloïde, la période
d'oscillation est constante quelle que soit l'amplitude (voir aussi pendule cycloïdal). Contrairement à ce
que Galilée avait cru démontrer dans les Discours et démonstrations mathématiques de 1638, l'oscillation
circulaire du pendule n'est pas parfaitement isochrone si l'on excède une amplitude de 5 degrés par
rapport au point le plus bas.
Pour appliquer cette découverte aux horloges, il faut placer près du point de suspension du pendule deux
« joues » cycloïdales qui contraignent la tige semi-rigide à parcourir elle-même une cycloïde.
Les horloges franc-comtoises (aussi appelées pendules, au féminin cette fois) utilisent un balancier qui est
un pendule pesant. On règle la période d’oscillation en ajustant une masse le long du balancier. Toutefois,
ces systèmes ont une précision assez faible et nécessitent un entretien permanent.
Aujourd’hui, la seconde ne se définit plus mécaniquement, mais en ayant recours à la physique
quantique : elle se définit comme un nombre bien défini de périodes d’une transition dans l’atome de
césium (horloges atomiques).
Une application insolite : peser la Terre !
Eh oui ! Avec un simple pendule dont on évalue la période au moyen d’une montre, on peut remonter à la
valeur de l’intensité du champ de pesanteur g puis à celle de la masse de la Terre, connaissant la constante
de gravitation universelle, G = 6,674 28 × 10–11 m3.kg–1.s–2, et le rayon terrestre, RT = 6 380 km en
France.
Question : Le pendule qui bat la seconde (To = 1,00 s) à Paris a une longueur L = 24,8 cm. En déduire la
masse de la Terre, en expliquant votre démarche.
L
g
L
g  4 2 2
To
To  2
Par ailleurs, g 
G MT
, ce qui conduit à
RT 2
G MT
L
 4 2 2
2
RT
To
A.N. : M T  4 2 
24,8.102   6,380.106 
6,67.10
11
 1, 00 
2
et
M T  4 2
L RT 2
G To 2
2
 5,97.1024 kg
2 – Influence des frottements
Les phénomènes de frottements ne sont pas faciles à modéliser, comme l’a montré l’étude menée sur la
chute d’un objet dans un fluide visqueux (méthode d’Euler). En général, on distingue deux types de
frottements : les frottements visqueux ou fluides (dus à l’air, par exemple) et les frottements solides (qui
nous permettent de marcher, notamment).
On dispose de deux enregistrements : « pendule_frott_fluide.avi » et « pendule_frott_solide.avi », réalisés
avec un dispositif expérimental de pendule simple où l’on peut obtenir l’un ou l’autre type de frottements.
Ces enregistrements ont conduit aux deux fichiers Latis Pro correspondants que vous trouverez dans vos
dossiers personnels.
6
A l’aide du logiciel Latis Pro, le but est de réaliser une étude dynamique puis une étude énergétique des
deux situations mécaniques.
absx
O
θ
Quelques relations remarquables
l
v(t )  l   (t )  l  (t )
m
ordz
ordz (t )  l  l cos   l 1  cos  
l
verticale
Travail à effectuer
Le pointage des vidéos a déjà été réalisé et a donné naissance aux variables « absx » et « ordz ».
1. A partir de ces variables, définir l’écart angulaire θ (s’aider du schéma et d’un peu de
trigonométrie) puis, à l’aide de Latis Pro, définir les énergies cinétique « Ec », potentielle de
pesanteur « Epp » et mécanique « Em » en vous aidant des formules ci-dessus.
2. Commenter l’évolution de θ(t) dans les deux cas (en donner l’allure). Quelles différences
observez-vous ?
3. Commenter les évolutions temporelles des énergies (en donner l’allure). En particulier, vous
essaierez de comparer les deux types de frottements.
Voici les instructions de la feuille de calcul :
theta=ArcTan(absx/ordz)
m=0.500
l=0.30
g=9.8
Ec=(1/2)*m*(l*Deriv(theta))^2
Epp=m*g*l*(1-Cos(theta))
Em=Epp+Ec
Les courbes obtenues sont les suivantes.
Frottement fluide : absx, ordz = f(t)
Frottement solide : absx, ordz = f(t)
7
Frottement fluide : theta = f(t)
Frottement solide : theta = f(t)
Frottement fluide : Ec, Epp, Em = f(t)
Frottement solide : Ec, Epp, Em = f(t)
On constate tout d’abord que l’amortissement dû aux frottements est beaucoup plus rapide dans le cas des
frottements solides. On peut supposer que les raisons en sont d’origine microscopiques, puisque les
liaisons moléculaires au sein d’un solide sont plus étroites qu’au sein d’un liquide.
Dans les deux cas, l’énergie mécanique n’est pas conservée au cours du temps : l’élongation maximale du
pendule décroît, et avec elle la vitesse et l’altitude maximales. Dans le cas des frottements fluides,
l’enveloppe des maxima (tracée en pointillés) de la courbe représentative de l’élongation θ(t) semble
exponentielle, alors qu’elle semble affine dans le cas des frottements solides. Cette caractéristique
généralisable permet de distinguer expérimentalement les deux types de frottements.