Sujet de l`examen de 2014-2015

GEA1 – MATHÉMATIQUES POUR LA GESTION ET STATISTIQUES (M1205)
EXAMEN PARTIEL (STATISTIQUES)
Mercredi 10 décembre 2014
Durée de l’épreuve : 2 heures
La clarté, la rigueur et le soin apportés à la rédaction des réponses tiendront une part importante dans l’appréciation des copies.
Sauf indication contraire, chaque réponse doit être accompagnée d’une justification.
EXERCICE 1. Une entreprise spécialisée dans les études de marché a réalisé une enquête au profit d’un constructeur
automobile. Pour ce faire, elle a interrogé 200 personnes sur l’usage qu’elles ont de leur voiture (lorsqu’elles en ont une), en
leur posant deux questions :
A. Comptez-vous faire l’acquisition d’un véhicule neuf en 2014 ?
B.
Combien de kilomètres avez-vous parcourus en 2013 avec votre véhicule ?
x et y désigneront les variables statistiques qui, à chaque individu sondé, associent respectivement sa réponse à la question A
et sa réponse à la question B.
Les résultats de cette enquête ont été rassemblés dans le tableau ci-dessous.
NB. Pour la question A, la modalité « NSPP » signifie « ne se prononce pas ».
réponse y
[0 ; 100]
]100 ; 1 000]
oui
1
0
2
2
7
4
non
35
4
34
41
30
6
NSPP
10
1
4
12
5
2
réponse x
]1 000 ; 5 000] ]5 000 ; 10 000] ]10 000 ; 20 000] ]20 000 ; 30 000]
1. Quelle est la nature des caractères x et y ? (qualitatifs ou quantitatifs ? discrets ou continus ?)
2. Compléter les tableaux A1 et A2 de l’annexe A avec les effectifs marginaux de cette série double ( x ; y ), ainsi que (pour
la série y uniquement) les effectifs marginaux cumulés croissants.
3. On s’intéresse, dans cette question, au nombre de kilomètres parcourus en 2013 par les personnes interrogées (tableau A2). Pour cette série marginale :
a) déterminer l’étendue et la (les) classe(s) modale(s) (justifier les résultats) ;
b) donner (sans justification) la moyenne et l’écart type (le cas échéant, arrondir les résultats au mètre près) ;
c) construire, sur le graphique A3 (annexe A), le polygone des effectifs cumulés croissants ;
d) à partir de ce graphique, donner une approximation de la médiane et des quartiles ;
e) déterminer avec précision la médiane (le cas échéant, arrondir le résultat au mètre le plus proche). Détailler tous
les calculs nécessaires sur la copie.
4. Calculer le pourcentage d’individus interrogés qui ont parcouru, en 2013, plus de 10 000 km.
5. Calculer le pourcentage d’individus interrogés qui ont l’intention d’acheter un nouveau véhicule en 2014.
Examen partiel (Statistiques)
IUT du Littoral Côte d’Opale/CUEEP Littoral
6. Pour les questions suivantes, on exprimera les résultats sous forme de pourcentages et, si besoin est, on les arrondira au dixième
de pourcent.
a) Calculer la fréquence conditionnelle des personnes interrogées qui comptent acheter un véhicule neuf en 2014
parmi celles qui ont parcouru, en 2013, une distance comprise entre 10 000 km et 20 000 km. Indiquer l’opération
effectuée sur la copie.
b) Calculer la fréquence conditionnelle des personnes interrogées qui ont parcouru, en 2013, une distance comprise
entre 5 000 km et 10 000 km, parmi celles qui n’ont pas l’intention d’acheter de véhicule neuf en 2014. Indiquer
l’opération effectuée sur la copie.
EXERCICE 2. On a relevé les notes obtenues par un groupe de 21 étudiants en GEA à un examen de mathématiques.
note xi
5
7
8
9
10
11
12
14
15
17
18
19
effectif ni
1
2
2
3
1
2
2
2
1
3
1
1
Sur la copie, reproduire le tableau précédent en indiquant, sur une troisième ligne, les effectifs cumulés croissants.
Donner (sans justification) le(s) mode(s), l’étendue, la moyenne, l’écart type, la médiane et les quartiles. (Le cas échéant, on
arrondira les résultats au centième.)
Indiquer sur la copie le calcul complet aboutissant à la variance de la série.
EXERCICE 3. La plateforme AppStore d’Apple permet le téléchargement d’applications pour téléphones portables. On
s’intéresse à la progression du nombre de téléchargements sur l’AppStore depuis sa création en juillet 2008. Le tableau cidessous indique le nombre cumulé y (exprimé en milliards) de téléchargements jusqu’au dernier jour du mois de rang x.
Les mois sont numérotés à partir de la création de l’AppStore en juillet 2008, de telle sorte que le mois de rang x = 1 est juillet
2008, celui de rang x = 2 est août 2008, celui de rang x = 13 est juillet 2009, etc.
rang xi du mois
13
24
36
48
59
72
nombre cumulé de téléchargements (en milliards)
1,5
5
14
30
50
75
source : statista.com
1. Quel mois (de quelle année) a pour rang x = 72 ? Justifier brièvement.
2.
a) Sur l’annexe B, représenter le nuage de points correspondant.
b) Donner (sans justification) le coefficient de corrélation linéaire r x,y de la série ( xi ; yi )1¶i ¶6 , arrondi au millième.
c) Pour la série ( xi ; yi )1¶i ¶6 , un ajustement affine semble-t-il approprié ? Justifier.
Dans ce qui suit, on considère les nombres ti = ln( xi ) et zi = ln(yi ), pour 1 ¶ i ¶ 6, et on applique la méthode des moindres
carrés à la série ( ti ; zi )1¶i ¶6 .
3. Donner (sans justification) le coefficient de corrélation linéaire r t ,z de la série ( ti ; zi )1¶i ¶6 , arrondi au millième.
4. Donner (sans justification) une équation de la droite de régression D de z en t . (On arrondira à 5 décimales les coefficients de cette équation.)
5. Déduire de ce qui précède une équation de la courbe réalisant l’ajustement de y en x ainsi obtenu.
6. En supposant que y peut être approché par la formule établie à la question 5, déterminer :
a) le nombre d’applications téléchargées au cours de l’année 2014 ;
b) le mois au cours duquel aura lieu le cent milliardième (100 000 000 000e) téléchargement.
Justifier les réponses.
–2–
Examen partiel (Statistiques)
IUT du Littoral Côte d’Opale/CUEEP Littoral
EXERCICE 4. Dans le tableau ci-dessous, on a indiqué le chiffre d’affaires trimestriel (exprimé en milliers d’euros) d’une
entreprise spécialisée dans la vente en ligne de jouets en bois.
trimestre 1
trimestre 2
trimestre 3
trimestre 4
2011
371
322
396
545
2012
407
384
460
601
2013
463
406
492
651
Les trimestres sont numérotés de 1 à 12 ; y t désigne le chiffre d’affaires (en milliers d’euros) réalisé par l’entreprise au cours
du trimestre t .
Dans cet exercice, on cherche à établir la décomposition additive de la série chronologique ( t ; y t )1¶t ¶12 .
Tous les montants seront, au besoin, arrondis à l’euro près.
1. Pour déterminer la tendance générale, on calcule les moyennes mobiles d’ordre 4 (notées g t ) de la série ; certains des
calculs ont déja été effectués et les résultats reportés dans le tableau ci-dessous.
t
1
gt
2
3
4
5
425,25
441
6
7
470
8
9
10
11
12
486,5
Compléter le tableau C1 (annexe C) avec les valeurs manquantes.
Sur la copie, préciser le détail de l’opération aboutissant à la valeur obtenue pour g6 .
2. Compléter le tableau C2 (annexe C) avec les valeurs des coefficients saisonniers non corrigés s t et des coefficients
saisonniers corrigés s t∗ .
Sur la copie, donner le détail (complet) des opérations aboutissant aux valeurs obtenues pour s4 et s3∗ .
3. Compléter le tableau C3 (annexe C) avec la série corrigée des variations saisonnières.
4. Représenter cette série désaisonnalisée dans le repère fourni à l’annexe D.
–3–
Examen partiel (Statistiques)
IUT du Littoral Côte d’Opale/CUEEP Littoral
ANNEXE A (Exercice 1)
Document à rendre avec la copie
Numéro d’anonymat :
Tableau A1 (question 2)
modalité
oui
non
NSPP
effectif
Tableau A2 (question 2)
classe
[0 ; 100]
]100 ; 1 000] ]1 000 ; 5 000] ]5 000 ; 10 000] ]10 000 ; 20 000] ]20 000 ; 30 000]
effectif
effectif cumulé croissant
Graphique A3 (question 3c)
effectif cumulé croissant
200
150
100
50
0
5 000
10 000
15 000
20 000
–4–
25 000
kilométrage en 2013
Examen partiel (Statistiques)
IUT du Littoral Côte d’Opale/CUEEP Littoral
ANNEXE B (Exercice 3)
Document à rendre avec la copie
Numéro d’anonymat :
y
70
60
50
40
30
20
10
x
0
10
20
30
40
–5–
50
60
70
Examen partiel (Statistiques)
IUT du Littoral Côte d’Opale/CUEEP Littoral
ANNEXE C (Exercice 4)
Document à rendre avec la copie
Numéro d’anonymat :
Tableau C1 (question 1)
t
1
2
3
4
5
6
yt
371
322
396
545
407
384
425,25
441
gt
t
7
8
9
10
11
12
yt
460
601
463
406
492
651
gt
470
486,5
Tableau C2 (question 2)
trimestre 1
coefficient saisonnier non corrigé s t
coefficient saisonnier corrigé s t∗
trimestre 2
trimestre 3
−81,375
−13,5
121,281
−27,969
Tableau C3 (question 3)
trimestre 1
trimestre 4
trimestre 2
2011
2012
2013
–6–
trimestre 3
trimestre 4
Examen partiel (Statistiques)
IUT du Littoral Côte d’Opale/CUEEP Littoral
ANNEXE D (Exercice 4)
Document à rendre avec la copie
Numéro d’anonymat :
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
chiffre d’affaires trimestriel (en k€)
–7–
0
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
520
540
560
580
600
620
640
660
20
4
r.
T
/
13
.3
Tr
/
13
.2
Tr
/
13
.1
Tr
/
13
.4
Tr
/
12
.3
Tr
/
12
.2
Tr
/
12
.1
Tr
/
12
.4
Tr
/
11
3
r.
/T
1
1
.2
Tr
/
11
1
r.
/T
1
1