Masses et inerties d `un disque

Masses et inerties d ’un disque
Dans les 4 cas suivants, la pièce est un disque en acier de rayon R=60 mm et d’épaisseur e=4 mm.
Ses caractéristiques sont:
Densité = 0.0078 g/mm3
Masse = 355.13 g
Volume = 45238.93 mm3
Superficie = 24127.43 mm2
Le système de coordonnées de sortie est le repère d ’origine O représenté
en vert; repère (O,X,Y,Z)
Le repère qui a pour origine le centre de gravité G de la pièce est représenté
en rouge; repère G(x,y,z)
La position du centre de gravité est donnée dans le repère (O,X,Y,Z) vert.
L ’objectif de cette présentation est de montrer l ’influence de la position
du centre de gravité et des symétries éventuelles d ’une pièce sur l ’opérateur d ’inertie de la pièce
exprimé dans les repère G(x,y,z) et (O,X,Y,Z) .
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Cas n°1: Centre de gravité confondu avec le centre du repère
Centre de gravité: ( millimètres )
X = 0.0000
Y = 0.0000
Z = 0.0000
Axes d'inertie principaux et moments d'inertie principaux:
Pris au centre de gravité. en( g * mm2)
Ix = (1.0000, 0.0000, 0.0000)
Px = 320086.57
Iy = (0.0000, 1.0000, 0.0000)
Px = 320086.57
Iz = (0.0000, 0.0000, 1.0000)
Pz = 639226.14
Moments d'inertie: ( g * mm2)
Pris au centre de gravité et aligné avec le système de coordonnées de sortie.
Lxx = 320086.57
Lxy = 0.0000
Lxz = 0.0000
Lyx = 0.0000
Lyy = 320086.57
Lyz = 0.0000
Lzx = 0.0000
Lzy = 0.0000
Lzz = 639226.14
Moments d'inertie: ( g * mm2)
Pris au système de coordonnées de sortie.
Ixx = 320086.57
Ixy = 0.0000
Iyx = 0.0000
Iyy = 320086.57
Izx = 0.0000
Izy = 0.0000
Ixz = 0.0000
Iyz = 0.0000
Izz = 639226.14
Le solide présente 3 plans de symétrie dans le système de coordonnées de sortie
( repère en vert).
Les 3 produits d ’inerties sont nuls dans ce repère.
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Cas n°2:Centre de gravité non confondu avec le centre du repère
Centre de gravité: ( millimètres )
X = 0.00
Y = 10.00
Z = 0.00
Axes d'inertie principaux et moments d'inertie principaux:
Pris au centre de gravité.
Ix = (1.00, 0.00, 0.00)
Px = 19966.20
Iy = (0.00, 1.00, 0.00)
Py = 19966.20
Iz = (0.00, 0.00, 1.00)
Pz = 39697.16
Moments d'inertie:
Pris au centre de gravité et aligné avec le système de coordonnées de sortie.
Lxx = 320086.57
Lxy = 0.0000
Lxz = 0.0000
Lyx = 0.0000
Lyy = 320086.57
Lyz = 0.0000
Lzx = 0.0000
Lzy = 0.0000
Lzz = 639226.14
Moments d'inertie:
Pris au système de coordonnées de sortie.
Ixx = 355599.13
Ixy = 0.00
Iyx = 0.00
Iyy = 320086.57
Izx = 0.00
Izy = 0.00
Ixz = 0.00
Iyz = 0.00
Izz = 674738.70
Le solide présente 2 plans de symétrie dans le système de coordonnées de sortie ( repère en vert).
Le centre du repère appartient à ces 2 plans.
Les 3 produits d ’inerties sont nuls dans ce repère mais les moments Ixx et Izz sont supérieurs.
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Cas n°3: Centre de gravité non confondu avec le centre du repère
Centre de gravité: ( millimètres )
X = 5.0000
Y = 10.0000
Z = 0.0000
Axes d'inertie principaux et moments d'inertie principaux: ( grammes * mm2)
Pris au centre de gravité.
Ix = (1.0000, 0.0000, 0.0000)
Px = 19966.2036
Iy = (0.0000, 1.0000, 0.0000)
Py = 19966.2036
Iz = (0.0000, 0.0000, 1.0000)
Pz = 39697.1648
Moments d'inertie:
Pris au centre de gravité et aligné avec le système de coordonnées de sortie.
Lxx = 320086.57
Lxy = 0.0000
Lxz = 0.0000
Lyx = 0.0000
Lyy = 320086.57
Lyz = 0.0000
Lzx = 0.0000
Lzy = 0.0000
Lzz = 639226.14
Moments d'inertie: ( grammes * millimètres carrés )
Pris au système de coordonnées de sortie.
Ixx = 355599.13
Ixy = 17756.28
Iyx = 17756.28
Iyy = 328964.71
Izx = 0.0000
Izy = 0.0000
Ixz = 0.0000
Iyz = 0.0000
Izz = 683616.84
Le solide présente 1 seul plan de symétrie (0,X,Y) dans le système de coordonnées de sortie ( repère en vert).
Le centre du repère appartient à ce plan.
Les 2 produits d ’inerties Ixz et Iyz sont nuls dans ce repère. Ixy est non nul.
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Cas n°4:Centre de gravité non confondu avec le centre du repère
Centre de gravité: ( millimètres )
X = 5.0000
Y = 10.0000
Z = 2.0000
Axes d'inertie principaux et moments d'inertie principaux: ( g * mm2)
Pris au centre de gravité.
Ix = (1.0000, 0.0000, 0.0000)
Px = 19966.2036
Iy = (0.0000, 1.0000, 0.0000)
Py = 19966.2036
Iz = (0.0000, 0.0000, 1.0000)
Pz = 39697.1648
Moments d'inertie:
Pris au centre de gravité et aligné avec le système de coordonnées de sortie.
Lxx = 320086.57
Lxy = 0.0000
Lxz = 0.0000
Lyx = 0.0000
Lyy = 320086.57
Lyz = 0.0000
Lzx = 0.0000
Lzy = 0.0000
Lzz = 639226.14
Moments d'inertie: ( g * mm2)
Pris au système de coordonnées de sortie.
Ixx = 357019.64
Ixy = 17756.28
Iyx = 17756.28
Iyy = 330385.21
Izx = 3551.26
Izy = 7102.51
Ixz = 3551.26
Iyz = 7102.51
Izz = 683616.84
Le solide ne présente aucun plan de symétrie dans le système de coordonnées de sortie ( repère en vert).
Les 3 produits d ’inerties sont non nuls dans ce repère.
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Cas n°21:Centre de gravité non confondu avec le centre du repère
Système de coordonnées cylindriques
Système de coordonnées de sortie : (O, r, θ , Z)
Centre de gravité: ( mètres )
X = 0.01
Y=0
Z=0
θ
r
Axes d'inertie principaux et moments d'inertie principaux: ( kg * m²)
Pris au centre de gravité.
Ix = (0, -1, 0)
Px = 0.0003201
Iy = (1, 0, 0)
Py = 0.0003201
Iz = (0, 0, 1)
Pz = 0.0006392
Moments d'inertie: ( kg * m²)
Pris au centre de gravité et aligné avec le système de coordonnées de sortie.
Lxx = 0.0003201
Lxy = 0
Lxz = 0
Lyx = 0
Lyy = 0.0003201
Lyz = 0
Lzx = 0
Lzy = 0
Lzz = 0.0006392
Moments d'inertie: ( kg * m²)
Pris au système de coordonnées de sortie.
Irr = 0.0003201
Irθ
θ=0
Iθ
θx = 0
Iθθ
θθ = 0.0003556
Izr = 0
Izθ
θ=0
Irz = 0
Iθ
θz = 0
Izz = 0.0006747
Le solide présente 2 plans de symétrie dans le système de coordonnées de sortie ( repère en vert).
Le centre du repère appartient à ces 2 plans.
Les 3 produits d ’inerties sont nuls dans ce repère mais les moments Ixx et Izz sont supérieurs.
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Cas n°31:Centre de gravité non confondu avec le centre du repère
Système de coordonnées cylindriques
Système de coordonnées de sortie : (O, r, θ , Z)
θ
Centre de gravité: ( mètres )
X = 0.01118
Y=0
Z=0
r
Axes d'inertie principaux et moments d'inertie principaux: ( kg * m²)
Pris au centre de gravité.
Ix = (1, 0, 0)
Px = 0.0003201
Iy = (0, 1, 0)
Py = 0.0003201
Iz = (0, 0, 1)
Pz = 0.0006392
Moments d'inertie: ( kg * m²)
Pris au centre de gravité et aligné avec le système de coordonnées de sortie.
Lxx = 0.0003201
Lxy = 0
Lxz = 0
Lyx = 0
Lyy = 0.0003201
Lyz = 0
Lzx = 0
Lzy = 0
Lzz = 0.0006392
Moments d'inertie: ( kg * m²)
Pris au système de coordonnées de sortie.
Irr = 0.0003201
Irθ
θ=0
Iθ
θx = 0
Iθθ
θθ = 0.0003645
Izr = 0
Izθ
θ=0
Irz = 0
Iθ
θz = 0
Izz = 0.0006836
Le solide présente 2 plans de symétrie dans le système de coordonnées de sortie ( repère en vert).
Le centre du repère appartient à ces 2 plans.
Les 3 produits d ’inerties sont nuls dans ce repère mais les moments Ixx et Izz sont supérieurs.
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Cas n°41:Centre de gravité non confondu avec le centre du repère
Système de coordonnées cylindriques
Système de coordonnées de sortie : (O, r, θ , Z)
θ
Centre de gravité: ( mètres )
X = 0.01118
Y=0
Z = 0.002
r
Axes d'inertie principaux et moments d'inertie principaux: ( kg.m²)
Pris au centre de gravité.
Ix = (1, 0, 0)
Px = 0.0003201
Iy = (0, 1, 0)
Py = 0.0003201
Iz = (0, 0, 1)
Pz = 0.0006392
Moments d'inertie: ( kg * m²)
Pris au centre de gravité et aligné avec le système de coordonnées de sortie.
Lxx = 0.0003201
Lxy = 0
Lxz = 0
Lyx = 0
Lyy = 0.0003201
Lyz = 0
Lzx = 0
Lzy = 0
Lzz = 0.0006392
Moments d'inertie: ( kg * m²)
Pris au système de coordonnées de sortie.
Irr = 0.0003215
Irθ
θ=0
Iθ
θx = 0
Iθθ
θθ = 0.0003659
Izr = 7.941e-006
Izθ
θ=0
Irz = 7.941e-006
Iθ
θz = 0
Izz = 0.0006836
Le solide présente 1 seul plan de symétrie (0,r,Z) dans le système de coordonnées de sortie ( repère en jaune).
Le centre du repère appartient à ce plan.
Les 2 produits d ’inerties Iθ
θz et Irθ
θ sont nuls dans ce repère. Irz est non nul.
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