Chapitre 2.3 – Les miroirs sphériques

Chapitre 2.3 – Les miroirs sphériques
La forme d’un miroir sphérique
Un miroir sphérique est un miroir courbé tel que tout
élément de surface du miroir est à une distance R du
centre de courbure C. Le miroir sphérique correspondra
alors à une tranche provenant d’une coquille sphérique.
vue en coupe
du miroir
R
Concave :
Réflexion sur la courbure interne de la sphère.
C
miroir
concave
R
miroir
convexe
Convexe :
Réflexion sur la courbure externe de la sphère.
Les équations du miroir sphérique
La position d’une image q nette associée à la position d’un objet
p devant un miroir sphérique dépend uniquement du rayon de
courbure R lorsque l’on applique la contrainte des rayons
paraxiaux. On peut également définir un foyer f de convergence
des rayons sur un tel miroir :
1 1 1
 
p q f
où
,
yi
q

y0
p
f 
et
p
yo
R
2
C
yi
q
p : Distance entre l’objet et le miroir (m)
q : Distance entre l’image et le miroir (m)
f : Distance focal du miroir (m)
R : Rayon de courbure du miroir (m)
f
R
Convention :

f , R  0 : miroir convave
 p  0 : objet réel

f , R  0 : miroir convexe

 q  0 : image réelle
p  0 : objet virtuel
 q  0 : image virtuelle
Image illustrant la convention des signes
Image illustrant la convention des signes
en construction …
en construction …
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Preuve : (sur miroir concave)
Suivons la trajectoire de trois rayons issus d’un objet
réel qui effectue une réflexion sur un miroir concave
de rayon de courbure R. L’objet est situé à une
distance y o d’un axe optique (passant par le centre du
miroir) et à une distance p du miroir.
p
1
1 '
Objet
réel
Les trois rayons respectant la loi de la réflexion sont :
2
C
1) Parallèle à l’axe optique : 1 '  1
2 '
Image
réelle floue
2) Vise le centre du miroir :  2 '   2
3) Passe par le centre de courbure :  3 '   3  0
Puisque les trois rayons ne se croisent pas au même
endroit graphiquement, l’image finale est floue.
Afin de régler cette situation, nous allons introduire
l’approximation
des
rayons
paraxiaux
(approximation de Gauss). Cela consiste à considérer
que l’ensemble des rayons réfléchis par le miroir
formant l’image sont relativement parallèle à l’axe
optique.
R
3   3 '  0
p
1
1 '
Objet
réel
C
2 '
Image
réelle nette
Ainsi :
2
R
3   3 '  0
 Les angles en jeux sont donc beaucoup plus petit que 1 radian (   1 rad ).
 Tous les rayons parcourent une distance p parallèle à l’axe optique avant de réfléchir sur le
miroir.
À partir du 1ier rayon, nous pouvons établir la relation
géométrique suivante :
  1
et
  1  1 '
(angle alterne interne)
p
1
1 '
yo

En utilisant la loi de la réflexion (  '   ), nous
pouvons conclure que :
  1  1 '

  1  1  (loi : 1 '  1 )

  2
F
C

f
R
(avec    1 )
Utilisons la définition de la fonction tangente et l’application de l’approximation des rayons paraxiaux
( tan     car   1 ) afin d’obtenir :
tan   
yo
R
donc  
yo
R
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
tan   
yo
f
donc  
yo
f
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Relions nos deux approximations afin d’établir une relation entre f et R :
y
2   y o
 o

(Remplacer   2 )
f
f
y
y  y

2 o   o
(Remplacer   o )
R
f
 R
R

■ (1)
(Simplifier et isoler f)
f 
2
À partir du 2ième rayon, nous pouvons établir la
relation géométrique suivante :
y
tan  2   o
p
et
y
tan  2 '  i
q
p
q
yo
En utilisant la loi de la réflexion (  '   ), nous
pouvons conclure que :
tan  2   tan  2 ' 
yo yi

p
q
(Remplacer)

yi
q

yo
p
(Isoler)
2
yi
C
2 '
R
Il est important de remarquer que pour respecter la convention de signe, nous devons formuler la
dernière équation de la façon suivante :
yi
q

yo
p
■ (2)
(avec convention de signe, y i  0 implique une inversion de l’image)
À partir du 3ième rayon, nous pouvons établir la
relation géométrique suivante :
tan   
yo
pR
et
tan  ' 
yi
Rq
Puisque les deux angles  et  ' sont des angles
opposés par le sommet, nous pouvons conclure que :
tan    tan  ' 

yo
yi

pR Rq
(Remplacer)
yi
Rq

yo
pR
(Isoler)
p
q
yo

C
'
yi
R
3   3 '  0
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Regroupons les deux expressions y i / y o afin de former l’expression désirée :
q Rq


q  p  R   p R  q 
p pR

pq  qR  pR  pq

2 pq  pR  qR

2 pq  R  p  q 



2
p
q


R pq pq
2 1 1
 
R q p
1 1 1
 
■ (3)
p q f
(Remplacer f 
R
1 2

 )
2
f
R
Les rayons principaux d’un miroir sphérique
Voici les quatre rayons principaux d’un miroir sphérique en approximation des rayons paraxiaux :
1
objet
objet
objet
C
C
F
F
objet
C
2
F
C
3
4
objet
objet
F
2
objet
objet
3
1
F
Passe par le centre de
courbure et réfléchi sur luimême.
p f
C
F
C
C
Parallèle à l’axe, est réfléchi
en passant par le foyer.
pf
F
F
Passe par le foyer, et réfléchi
parallèlement à l’axe.
p
C
F
C
Lorsqu’un objet est situé sur le foyer (p = ± f) du miroir,
tous les rayons réfléchis seront parallèle à l’axe central et
l’image se formera à l’infini (q = ∞).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
C
F
4
C
Frappe le centre du miroir et
est réfléchi de façon
symétrique par rapport
à l’axe.
p  
F
F
C
Lorsqu’un objet est situé à une très grande distance (p = ∞)
du miroir, tous les rayons réfléchis passeront par le foyer et
y formera une image (q = ± f).
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Situation 2&3 : Le tracé des rayons principaux. Un miroir sphérique concave possède un rayon de
courbure de 8 cm. Un objet réel est situé à yo = 4 mm de l’axe optique, vis-à-vis d’un point situé à p =
12 cm du miroir. On désire tracer les rayons principaux et déterminer la position de l’image par les
équations.
En effectuant le tracer des rayons principaux, nous obtenons le résultat suivant :
Évaluons la position de l’image à partir de l’équation des miroirs sphériques :
1 1 1
 
p q f

1 1
1
 
p q R / 2 
(Remplacer f 

1 2 1
 
q R p
(Isoler

1
2
1


q 8 cm  12 cm 
(Objet réel : p  0 , Miroir concave : R  0 )

1
 0,1667 cm 1
q
(Calcul)

q  6 cm
(Inversion, image réelle car q  0 )
R
)
2
1
)
q
Évaluons la distance entre l’image et l’axe optique (taille de l’image) :
yi
q

yo
p

yi
6 cm 

4 mm  12 cm 
(Remplacer valeurs)

y i  2 mm
(Calcul, image inversée car y i  0 )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Situation 4 : Le tracé des rayons principaux pour un miroir convexe. Un miroir sphérique convexe
possède un rayon de courbure de 8 cm. Un objet réel est situé à
yo = 4 mm de l’axe optique, visà-vis d’un point situé à p = 4 cm du miroir. On désire tracer les rayons principaux et déterminer la
position de l’image par les équations.
En effectuant le tracer des rayons principaux, nous obtenons le résultat suivant :
Évaluons la position de l’image à partir de l’équation des miroirs sphériques :
1 1 1
 
p q f


1 1
1
 
p q R / 2 
(Remplacer f 

1 2 1
 
q R p
(Isoler

1
2
1


q  8 cm  4 cm 
(Objet réel : p  0 , Miroir convexe : R  0 )
1
 0,5 cm 1
q

R
)
2
1
)
q
(Calcul)
q  2 cm
(Inversion, image virtuelle car q  0 )
Évaluons la distance entre l’image et l’axe optique (taille de l’image) :
yi
q

yo
p

yi
 2 cm 

4 mm 
4 cm 
(Remplacer valeurs)

y i  2 mm
(Calcul, image non inversée car y i  0 )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Situation A : Le tracé des rayons principaux pour un miroir convexe avec objet imaginaire. Un
miroir sphérique convexe possède un rayon de courbure de 8 cm. La lumière provenant d’un objet
réel subit une déviation « inconnue » pour former une image réelle située à yo = 3 mm de l’axe
optique, vis-à-vis d’un point situé à 2 cm derrière le miroir. On désire tracer les rayons principaux et
déterminer la position de l’image par les équations.
Puisque l’image associée à la déviation « inconnue » génère une image réelle derrière le miroir, cette
image sera associée à un objet virtuel pour la réflexion du miroir. Le faisceau d’origine sera alors
convergent vers le miroir. En effectuant le tracer des rayons principaux, nous obtenons le
résultat suivant :
image
réelle
1 cm
1 mm
4
objet
virtuel
yi
yo
F
0
q
C
p
–4
Évaluons la position de l’image à partir de l’équation des miroirs sphériques :
1 1 1
 
p q f


1 1
1
 
p q R / 2 
(Remplacer f 

1 2 1
 
q R p
(Isoler

1
2
1


q  8 cm   2 cm 
(Objet virtuel : p  0 , Miroir convexe : R  0 )
1
 0,25 cm 1
q

R
)
2
1
)
q
(Calcul)
q  4 cm
(Inversion, image réelle car q  0 )
Évaluons la distance entre l’image et l’axe optique (taille de l’image) :
yi
q

yo
p

yi
4 cm 

3 mm   2 cm 
(Remplacer valeurs)

y i  6 mm
(Calcul, image non inversée car y i  0 )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
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