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HLMA103
2014-2015
HLMA103 - BIOMATHS - 2014-2015
CONTRÔLE CONTINU 1
— Durée : 1h30. —
Seul document autorisé : le polycopié du cours. Calculatrice et téléphone mobile interdits.
Il sera tenu compte de la clarté et de la précision de la rédaction.
Le barème est donné à titre indicatif et pourrait être légèrement modifié.
Exercice 1. ( /11)
On suppose que la population mondiale de baleines bleues est donnée au cours du temps par :
f (t) = 500 ln (t + 1) + 10 000,
où t est exprimé en années.
(1) Donner le domaine de définition Df de la fonction t 7→ f (t).
Correction. La fonction x 7→ ln(x) est définie sur R∗+ . On veut donc que :
t+1>0
⇐⇒
t > −1.
Par conséquent, Df =] − 1, +∞[.
(2) Montrer que la fonction t 7→ f (t) est continue sur Df .
Correction. La fonction t 7→ ln(t + 1) est continue sur Df comme composée de :
– la fonction t 7→ t + 1 continue sur Df ⊆ R,
– et de la fonction u 7→ ln(u) continue sur R∗+ .
Or, pour tout x ∈ Df , on sait que t + 1 > 0. Donc t 7→ ln(t + 1) est continue sur
Df . Il s’ensuit que t 7→ f (t) est continue sur Df comme somme et multiplication
par une constante de fonctions continues sur Df .
(3) Donner l’allure du graphe de la fonction t 7→ f (t) et les coordonnées d’un point remarquable du graphe (on indiquera les calculs effectués).
Correction. Le graphe de t 7→ f (t) est :
10 000
−1
Il passe par le point (0, 10 000) car f (0) = 500 ln(1) + 10 000 = 10 000.
(4) Vers quelle valeur tend la population de baleines bleues lorsque t tend vers +∞ ?
Sans faire de calculs, en déduire qu’il existe un temps t1 pour lequel cette population a
augmenté de moitié par rapport au temps t0 = 0.
Date: Jeudi 16 Octobre.
Elsa Ibanez
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Correction. On sait que limt→+∞ (t + 1) = +∞. D’après les règles sur les composées de limites :
lim ln(t + 1) = lim ln(u) = +∞.
u→+∞
t→+∞
Donc limt→+∞ f (t) = +∞ d’après les règles sur les produits et sommes de limites.
Autrement dit, la population de baleines bleues f (t) tend vers +∞ lorsque t tend
vers +∞.
Notons N0 = f (t0 ) la population initiale de baleines bleues et N1 = 32 N0 cette
population augmentée de moitié. Comme limt→+∞ f (t) = +∞, il existe un temps
t2 ≥ t0 assez grand pour lequel f (t2 ) ≥ N1 . On applique le théorème des valeurs
intermédiaire sur [t0 , t2 ] car :
– la fonction f : t 7→ f (t) continue sur [t0 , t2 ] ⊆ Df ,
– N1 est compris entre f (t0 ) = N0 et f (t2 ).
Il existe donc t1 ∈ [t0 , t2 ] tel que f (t1 ) = N1 . D’où le résultat.
(5) Calculer t1 .
Correction. On a :
N0 = f (t0 ) = f (0) = 10 000,
3
N1 = 10 000 = 15 000.
2
Alors :
f (t1 ) = N1
⇐⇒
500 ln(t1 + 1) + 10 000 = 15 000
⇐⇒
500 ln(t1 + 1) = 5 000
⇐⇒
ln(t1 + 1) = 10
⇐⇒
t1 + 1 = e10
⇐⇒
t1 = e10 − 1.
Sans les décrets de protection, la population mondiale de baleines bleues serait donnée au cours
du temps par :
g(t) = 500 ln (t + 1) + 10 000 − 200(t + 1),
où t est exprimé en années.
(6) Dans ces conditions, vers quelle valeur tend la population de baleines bleues lorsque t
tend vers +∞ ?
Correction. Sous cette forme, on a une forme indéterminée en +∞. On factorise
l’expression par (t + 1). Pour tout t ∈ Df , on a :
ln(t + 1) 10 000 1
g(t) = (t + 1) 500
+
− 200 .
t+1
500 t + 1
On sait que limt→+∞ (t + 1) = +∞. D’après les règles sur les composées de limites
et les croissances comparées, on a :
ln(t + 1)
ln(u)
lim
= lim
= 0 (croissances comparées).
u→+∞ u
t→+∞ t + 1
1
De plus, limt→+∞ t+1
= 0 d’après les règles sur les quotients de limites. Il s’ensuit
que :
ln(t + 1) 10 000 1
lim 500
+
− 200 = −200,
t→+∞
t+1
500 t + 1
d’après les règles sur les produits et sommes de limites. Donc, après multiplication
par (t + 1), on a limt→+∞ g(t) = −∞ d’après les règles sur les produits de limites.
Autrement dit, la population de baleines bleues g(t) tend vers −∞ lorsque t tend
vers +∞.
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Exercice 2. ( /11)
M. Chanceux souhaite construire une piscine rectangulaire d’une surface de 12m2 dans son
jardin. Son terrain forme un demi-disque de 4m de rayon. Pour ce projet, il propose un plan
dans un repère orthonormé (O, I, J) et cherche à inscrire un rectangle ABCD au demi-cercle C
de centre O et de rayon 4m pour obtenir une surface de 12m2 . Voir la figure ci-après.
C
B
J
C
D
O
I
A
(1) On note x la distance OA exprimée en mètres. Déterminer l’intervalle I = [a, b], avec
a, b ∈ R, des valeurs possibles de x. Justifier.
Correction. Le point A varie entre O et le demi-cercle C de rayon 4 mètres. Donc
x ∈ I = [0, 4].
(2) Pour tout x ∈ I, on note
√ A(x) la surface obtenue pour la valeur de x. Montrer que, pour
tout x ∈ I, A(x) = 2x 16 − x2 .
Correction. L’aire A(x) du triangle ABCD est DA × AB. Or, on a :
DA = 2OA = 2x car O est le milieu de DA,
OB = 4 car B est un point du demi-cercle C,
OB 2 = OA2 + AB 2 d’après le théorème de Pythagore.
√
√
Donc AB = 16 − x2 et A(x) = 2x 16 − x2 .
(3) Montrer
entre 2 et 3 mètres, alors la surface A(x) est comprise
√
√ que, si x est compris
∼
∼
entre 4 7 = 10, 58 et 12 3 = 20, 78 mètres carrés.
Correction. On a : 2 ≤ x ≤ 3. On en déduit successivement que :
4 ≤ x2 ≤ 9
car x 7→ x2 est croissante sur [2, 3],
− 4 ≥ −x2 ≥ −9
car − 1 ≤ 0,
2
12 ≥ 16 − x ≥ 7,
p
√
√
√
2 3 ≥ 12 − x2 ≥ 7
car x 7→ x est croissante sur [7, 12],
p
√
√
4 3x ≥ 2x 12 − x2 ≥ 2 7x
car 2x ≥ 0 sur [2, 3].
√
√
Il reste à étudier 4 3x et 2 7x. On reprend l’inégalité vérifiée par x. D’une part,
on a :
√
√
√
√
8 3 ≤ 4 3x ≤ 12 3 car 4 3 ≥ 0.
D’autre part, on a :
√
√
√
√
4 7 ≤ 2 7x ≤ 6 7 car 2 7 ≥ 0.
√
√
√
Donc 12 3 ≥ 2x 12 − x2 ≥ 4 7. D’où le résultat.
(4) Montrer que la fonction x 7→ A(x) est continue sur I.
√
Correction. La fonction x 7→ 16 − x2 est continue sur I comme composée de
√
x 7→ 16 − x2 continue sur I ⊆ R et de y 7→ y continue sur R+ . De plus, x 7→ 2x
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est aussi continue sur I ⊆ R. Il s’ensuit que x 7→ A(x) est continue sur I comme
produit de fonctions continues sur I.
√
(5) Calculer la surface obtenue pour x0 = 2 2 mètres. Sans faire de calculs, montrer qu’il
existe deux valeurs de x possibles pour réaliser le projet de M. Chanceux.
Correction. On a :
√
√ √
√ √
√ √
A(x0 ) = A(2 2) = 4 2 16 − 8 = 4 2 8 = 8 2 2 = 16.
De plus, on remarque que A(0) = 0 = A(4). On applique le théorème des valeurs
intermédiaires sur [0, x0 ] et sur [x0 , 4] car :
– la fonction x 7→ A(x) est continue sur [0, x0 ] ⊆ I et sur [x0 , 4] ⊆ I,
– le nombre 12 est compris entre A(0) = 0 = A(4) et A(x0 ) = 16.
Il existe donc x1 ∈ [0, x0 ] et x2 ∈ [x0 , 4] tels que A(x1 ) = 12 = A(x2 ). De plus,
x1 6= x0 car A(x0 ) = 16 6= 12. De même, x2 6= x0 . Donc x1 6= x2 . D’où les deux
valeurs possibles de x pour réaliser le projet de M. Chanceux.
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