Excel : Mathématiques (TP3).

Université du littoral côte d’opal
GTE, FI1
Septembre 2013
Durée : 4 heures
Excel : Mathématiques (TP3).
L’objectif de ce TP est d’apprendre à utiliser Excel pour la résolution de problèmes “courants” de mathématiques.
1
Résolution d’un système d’équation


x + 5y + 3z = 6
Pour représenter un système d’équation, par exemple 2x + 8y + z = 5
Excel utilise la notation matri

3x + 4y + 5z = 3

   
1 5 3
x
6
cielle : 2 8 1 y  = 5
3 4 5
z
3


1 5 3
Le tableau A = 2 8 1 s’appelle une matrice. L’intérêt des matrices est qu’elles se comportent comme
3 4 5
 
 
   
6
6
x
x
des nombres. Ainsi le système A y  = 5 a pour solution y  = A−1 5. La matrice A−1 s’appelle la
3
3
z
z
matrice inverse de A.
L’exercice suivant montre comment Excel permet de calculer l’inverse d’une matrice et de là résoudre un
système.
Exercice.
a) Sur la plage A1 : C4, inscrire les éléments de la matrice A. En utilisant la zone de nom nommer A la plage
A1 : C4.
b) Grâce à la fonction INVERSEMAT (voir aide Excel), utiliser la plage A5 : C7 pour calculer A−1 , nommer
B cette plage.
 
6
c) Sur la zone E12 : E14 par exemple, inscrire le second membre 5. Nommer SM cette zone.
3
 
6
d) Grâce à la fonction PRODUITMAT (voir aide Excel) calculer le produit A−1 5. Vérifier que vous obtenez
3
bien les bonnes valeurs pour x, y et z.
Exercice.


5x + 2y + 3z + 5u + 2v = 17





2x − 3y + 6z − 3u + 12v = 49
Résoudre le système 6x + 4y + 18z − 5u − v = −15



3x + 8y + 6z + u − v = −14



7x − 3y + 2z − 4u + 6v = 13
2
Solveur d’excel
Le solveur d’excel est utilisé lorsqu’on recherche la valeur optimale d’une cellule donnée (cellule cible) par
ajustement des valeurs de plusieurs autres cellules (cellules variables).
Dans le cas où la commande Solveur n’apparaı̂t pas sous l’onglet Données, dans le groupe Analyse il faut
charger le Complément solveur. Pour cela :
1. Cliquez sur l ?onglet Fichier, sur Options, puis sur la catégorie Compléments.
2. Dans la zone Gérer, cliquez sur Compléments Excel, puis sur OK.
3. Dans la zone Compléments disponibles, activez la case à cocher Complément Solveur, puis cliquez
sur OK.
2.1
Résolution d’équations.
L’exercice suivant illustre l’utilisation du solveur pour la résolution de l’équation
√
1 − x2 = 0.25.
Exercice.
a) On commence par indiquer une valeur de départ pour x, par exemple sur la cellule A1 inscrire 0.25.
b) Sur la cellule A2, inscrire la formule = RACIN E(1 − A12 )
c) lancer le solveur :
– Dans Objéctif à définir inscrire $A$2. C’est la référence de la cellule cible, celle dont on souhaiterait
qu’elle atteigne la valeur 0.25.
– Dans Cellules variables inscrire $A$1. Le solveur va essayer différentes valeur pour la cellule A1 de
manière à ce que la cellule cible A2 s’approche le plus possible de 0.25.
d) Si on clique sur le bouton Résoudre, un message d’erreur apparaı̂t. Cela vient de ce qu’une valeur de la
cellule A1 a été tentée pour laquelle 1 − A12 < 0. Pour éviter cela, nous allons créer une contrainte :
e) Sur la celluel B2 par exemple, inscrire la formule = 1 − A12 .
f ) Relancer le solveur et ajouter la contrainte B2 >= 0
g) Vérifier l’exactitude de la solution trouvée.
Exercice. À l’aide d’Excel, trouver au moins une solution aux équations suivantes :
– ln x + x2 = 2x.
– ln(1 +√x2 ) = e−x
– ex = x + 2
– ln x − ex = 3x
2.2
Problèmes d’optimisation
On parle de problème d’optimisation, dès qu’il s’agit de trouver le maximum ou le minimum d’une fonction.
Du point de vue du solveur, rien ne change si ce n’est qu’il faut cocher M ax ou M in au lieu de V aleur.
L’exercice suivant fournit un exemple :
Exercice. Dans un repère orthonormal, on considère la parabole (P ) d’équation y = x2 . On considère le point
A de coordonnées (4, 0), ainsi que le point M (t) de coordonnées (t, t2 ).
a) Au brouillon, faire une figure.
b) Montrer que AM 2 = (t − 4)2 + t4
c) À l’aide du solveur d’Excel, indiquer la valeur du paramètre t qui minimise la distance AM .
L’exercice suivant montre comment il est possible de résoudre un système d’équations linéaire grâce au
solveur d’Excel.


2x + 3y + 2z = 14
Exercice. On souhaite résoudre le système suivant : x − 2y + z = 0


5x + 3y + 2z = 17
1. Insérer dans Excel une zone texte dans laquelle vous expliquerez brièvement pourquoi cela revient à minimiser la fonction
F (x, y, z) = (2x + 3y + 2z − 14)2 + (x − 2y + z)2 + (5x + 3y + 2z − 17)2
.
2. Résoudre le système grâce au solveur d’Excel.
Le problème suivant va se ramener à un système d’équations linéaire auquel vont se rajouter des contraintes
(sous la forme d’inégalités) :
Exercice. Un commerçant
vend des chaussettes sur la place du marché, il propose deux lots de chaussettes :
(
4 paires unies.
Le lot 1 comprend :
2 paires à fleurs
(
8 paires unies.
Le lot 2 comprend :
2 paires à fleurs
(
84 paires unies.
Le lot 1 lui laisse un bénéfice de 6 e ; le lot 2 un bénéfice de 8 e. Son stock de chaussettes contient
24 paires à fleurs
Il se demande combien de lot de type 1 et de lots de type 2 il doit préparer de façon à maximiser son bénéfice
sachant par expérience qu’il vendra tous ses lots.
a) Mettre le problème en équations.
b) Le résoudre à l’aide du solveur d’Excel.
Exercice. On dispose des points expérimentaux suivants :
(0.2; 1.010) (0.5; 1.222) (1.2; 1.568) (1.5; 1.665) (1.8; 1.961)
a) À L’aide d’Excel, vérifier que ces points expérimentaux sont à peu près alignés.
b) À l’aide du solveur d’Excel, trouver les paramètres p et q de manière à ce que la droite d’équation y = px + q
soit la plus proche possible des points expérimentaux.
c) Créer un graphique permettant de visualiser la droite trouvée ainsi que les points expérimentaux.
.