Calculs dans un repère et vecteurs

SAVOIR-FAIRE ÉLÉMENTAIRES EN MATHÉMATIQUES
pour aborder la classe de première Lycée Bascan : séries S et STI2D
Thème 1 : Calculs dans un repère et vecteurs
Exercice 1 (résolu)
Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne les points A( − 2 ; 3), B  1 ; −1 et C(5; 1).
2

1) Calculer la distance AB.
2) Calculer les coordonnées du milieu E du segment [BC].
3) Calculer les coordonnées du point D symétrique de B par rapport à A.
Correction Exercice 1
1) On utilise la formule de la distance :
2
AB =
(xB − x A )2 + ( yB − y A )²
2
25
89
89
1

5
AB =  + 2  + (−1 − 3)² =   + (−4)² =
+ 16 =
=
4
4
2
2

 2
2) On utilise la formule des coordonnées du milieu d’un segment :
1
+5
x B + xC 2
11
y + yC − 1 + 1
=
=
et y E = B
=
= 0 Ainsi les coordonnées du point E sont :
xE =
2
2
4
2
2
3) D est le symétrique de B par rapport à A signifie que A est le milieu de [BD], donc
1
+ xD
− 1 + yD
xB + xD
yB + yD
et y A =
⇔ −2 = 2
et 3 =
xA =
2
2
2
2
1
⇔ − 4 = + x D et 6 = −1 + y D
2
9
⇔ xD = −
et y D = 7
2
Ainsi, les coordonnées du point D sont  − 9 ; 7  .
 2 
Exercice 2
Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne les points E(1; - 4), F(0; - 3) et G(- 7; - 8).
1) Calculer la distance EF.
2) Calculer les coordonnées du milieu A du segment [EG].
3) Calculer les coordonnées du point B symétrique de E par rapport à G.
Exercice 3
Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne les points M(- 2; 0), N  3 ; 6  et P(4; − 3 ).
2

1) Calculer la distance PN.
2) Calculer les coordonnées du milieu Q du segment [MN].
3) Calculer les coordonnées du point R symétrique de P par rapport à M.
Exercice 4
Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne les points D 1; 5  , E(3; 7) et F( − 8 ; − 4 ).
 2
1) Calculer la distance FE.
2) Calculer les coordonnées du milieu G du segment [DE].
3) Calculer les coordonnées du point H symétrique de F par rapport à D.
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 11 
 ; 0
4 
Thème 1 : Calculs dans un repère et vecteurs
Exercice 5 (résolu)
On considère un triangle ABC, construire les points D, E et F tels que :
1
3
1
AE = AB + 2AC ; BD = − AC et FB = AC − BC .
2
2
3
Correction Exercice 5
3
2
1
3
Pour construire F, on peut transformer la dernière égalité en l’égalité équivalente : BF = − AC + BC .
Exercice 6
On considère un parallélogramme EFGH, construire les points A et B tels que :
1
3
EA = −3FH et FB = EF − GH .
2
4
Exercice 7
On considère un triangle IJK, construire les points E et F tels que :
IE = IJ + KJ et FJ = 2IK − JK .
Exercice 8
On considère un parallélogramme ABCD, construire les points I et J tels que :
2
1
5
AI = AC et BJ = − BA + BD .
3
4
2
Exercice 9 (résolu) :
On considère les vecteurs u ( 2 ; 3 ) et v ( –2 ; 5 ) dans un repère ( O ; i , j ).
Déterminer les coordonnées des vecteurs u + v , − 3 u et − 3 u + 2 v .
Correction Exercice 9 :
u + v ( 2+(–2) ; 3+5) soit u + v (0 ; 8) ;
− 3 u ( − 3 × 2;−3 × 3 ) soit − 3 u ( − 6;−9 ) ;
− 3 u + 2 v ( − 6 + 2 × (− 2);−9 + 2 × 5 ) soit − 3 u + 2 v ( –10 ; 1)
Exercice 10 :
On considère les vecteurs u ( –1 ; 2 ) et v ( 2 ; –1 ) dans un repère ( O ; i , j ).
Déterminer les coordonnées du vecteur − u – 4 v .
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Thème 1 : Calculs dans un repère et vecteurs
Exercice 11 (résolu)
On considère les vecteurs u ( –6 ; 3 ) , v ( 2 ; –1 ) et w ( 4 ; 2 ) dans un repère ( O ; i , j ).
Étudier la colinéarité des vecteurs u et v , puis de v et w .
Correction Exercice 11 :
Première méthode :
 − 6 = −3 × 2
donc u = –3 v
3 = −3 × (− 1)
On a 
On en conclut que les vecteurs u et v sont colinéaires.
4 = 2 × 2
Donc v et w ne sont pas colinéaires.
2 ≠ 2 × (− 1)
On a 
Deuxième méthode :
(− 6)× (− 1) − 3 × 2 = 6 − 6 = 0 . Donc u et v sont colinéaires.
2 × 2 − (− 1) × 4 = 4 + 4 = 8 ≠ 0 . Donc v et w ne sont pas colinéaires.
Exercice 12 (résolu):
On considère un repère du plan ( O ; i , j ). Soit les points A( –1 ; 1), B( 3 ; 2), C(–2 ; –3) et D (6 ; –1).
1) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD .
2) Montrer que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
3) Que pouvez-vous en déduire pour les droites (AB) et (CD) ?
Correction Exercice 12 :
1) On a AB ( 3 – (–1) ; 2–1) soit AB (4 ; 1) et CD ( 6 – ( –2) ; –1 – (–3) soit CD (8 ;2).
2) On a CD = 2 AB donc les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
3) On en déduit donc que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Remarque : On pourrait calculer le coefficient directeur des droites (AB) et (CD) qui est
1
pour montrer
4
que les droites sont parallèles.
Exercice 13(résolu) :
On considère un repère du plan ( O ; i , j ). Soit les points B( 3 ; 2), D( 6 ; –1) et E (5; 0).
Montrer que les points B, D et E sont alignés.
Correction Exercice 13 :
On a BD (3; –3) et BE (2 ;– 2). On en déduit donc que BD =
3
BE . Les vecteurs BD et BE sont donc
2
colinéaires. Les points B, D et E sont donc alignés.
Exercice 14 :
Soit les points A( –1 ; –2), B( 9 ; –3), C(1 ; 2), D(7 ; 1) et E( 4 ; –5) dans un repère du plan.
1) Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
2) Les droites (AC) et (DE) sont-elles parallèles ?
Exercice 15 :
1) Soit les points A( –1 ; –2), B( 5 ; 1) et C(2 ; –1) dans un repère du plan.
Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier.
2) Même question avec les points A( –1 ; –4), B( 5 ; –3) et C(11 ; –2).
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Thème 1 : Calculs dans un repère et vecteurs
Exercice 16 (résolu) :
On considère un repère du plan ( O ; i , j ). Soit les points M( –3 ; –2), N( –1 ; 3) et R (4; 2).
Calculer les coordonnées du point S tel que MNRS soit un parallélogramme.
Correction Exercice 16 :
MNRS est un parallélogramme si et seulement si MN = SR .
2 = 4 − x
en prenant S de coordonnées (x ; y)
5 = 2 − y
Cette égalité vectorielle se traduit à l’aide des coordonnées : 
x = 2
. Le point S a donc pour coordonnées (2 ; − 3 ).
 y = −3
soit 
Exercice 17( résolu) :
On considère un repère du plan ( O ; i , j ). Soit les points A( 2 ; –1) et B (3; 1).
Calculer les coordonnées des points M, N et P tels que :
a) AM = 2AB
b) NB = −2AB
c) PA − 3PB = 0 .
Correction Exercice 17:
a) Posons M(x ; y).
 x − 2 = 2 ×1
AM = 2AB ssi 
soit
 y − (− 1) = 2 × 2
x = 4
. M a donc pour coordonnées (4 ; 3).

y = 3
b) Posons N(x ; y).
3 − x = −2 × 1
5 = x
NB = −2AB ssi 
soit 
. Le point N a donc pour coordonnées (5 ; 5).
1 − y = −2 × 2
5 = y
c) Posons P(x ; y).
7

(2 − x ) − 3(3 − x ) = 0
− 7 + 2 x = 0
x =
PA − 3PB = 0 ssi 
soit 
c’est-à-dire 
2 .
(− 1 − y ) − 3(1 − y ) = 0
− 4 + 2 x = 0
 y = 2
7 
Le point P a donc pour coordonnées  ;2  .
2 
Exercice 18 :
Soit les points A( –4 ; –3), B( –2 ; 5) et C(3 ; –1) dans un repère du plan.
Déterminer les coordonnées du point G tel que GA + GB + GC = 0 .
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Thème 1 : Calculs dans un repère et vecteurs
Réponses succinctes :
Exercice 2 : 1) EF = 2 ;
2) A ( − 3 ; - 6) ; 3) B ( − 15 ; - 12).
Exercice 3 : 1) PN = 349 ;
2) Q  − 1 ; 3  ; 3) R ( − 8 ; 3).


 4 
Exercice 4 : 1) FE =11 2 ; 2) G  2; 19  ; 3) H (10; 9).


 4
2
Exercice 6 :
Exercice 7 :
Exercice 8 :
Exercice 10 :
− u – 4 v a pour coordonnées (–7 ; 2).
Exercice 14 :
1) Les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
2) Les droites (AC) et (DE) sont parallèles.
Exercice 15 :
1) Les points A, B et C ne sont pas alignés.
2) Les points A, B et C sont alignés.
Exercice 18 :
Le point G a pour coordonnées
1

 − 1;  .
3

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