Télémétrie laser temps de vol

Transcription

Partie II :
Télémétrie laser temps de vol
Partie II : Télémétrie laser temps de vol
TABLE DES MATIÈRES
1. INTRODUCTION _______________________________________________________ 32
2. ÉMISSION _____________________________________________________________ 34
2.1 Avantages des microlasers ___________________________________________________ 34
2.1.1 Diodes laser _____________________________________________________________________ 34
2.1.2 Microlasers______________________________________________________________________ 34
2.2 Dimensions du faisceau _____________________________________________________ 36
2.3 Modélisation des microlasers Cr4+:Nd:YAG ____________________________________ 37
3. RÉCEPTION ___________________________________________________________ 38
3.1 Fonction de transfert du 1er ordre_____________________________________________ 39
3.2 Réponse impulsionnelle du 1er ordre et signal obtenu _____________________________ 40
3.3 Fonction de transfert du 2ème ordre____________________________________________ 41
3.4 Réponse impulsionnelle du 2ème ordre et signal obtenu ____________________________ 42
3.5 Application numérique______________________________________________________ 42
3.6 Influence de la bande passante sur l’amplitude du signal __________________________ 45
3.7 Influence de la bande passante sur la largeur du signal ___________________________ 46
4. PRÉCISION DES MESURES______________________________________________ 47
4.1 Formulation classique ______________________________________________________ 48
4.2 Origine de la formulation classique____________________________________________ 49
4.3 Cas particulier d’une impulsion gaussienne _____________________________________ 50
4.4 Mesure du temps de vol utilisant deux seuils de détection__________________________ 53
5. PORTÉE _______________________________________________________________ 55
5.1 Détection directe avec une photodiode PIN _____________________________________ 56
5.1.1 Signal reçu ______________________________________________________________________ 56
5.1.2 Sources de bruit __________________________________________________________________ 58
5.1.3 Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit ___________________________ 59
5.2 Détection directe avec une photodiode à avalanche _______________________________ 60
5.2.1 Signal reçu ______________________________________________________________________ 60
5.2.2 Sources de bruit __________________________________________________________________ 60
5.2.3 Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit ___________________________ 62
6. INFLUENCE DE LA BANDE PASSANTE ___________________________________ 63
6.1 Portée____________________________________________________________________ 63
6.2 Précision _________________________________________________________________ 64
30
7. DYNAMIQUE DU SIGNAL _______________________________________________ 65
7.1 Méthode générale __________________________________________________________ 66
7.1.1 Rappels de Photométrie [FD91] [GC97] _______________________________________________ 66
7.1.2 Système optique comportant une lentille _______________________________________________ 67
7.1.3 Application à la télémétrie __________________________________________________________ 68
7.2 Méthode approchée ________________________________________________________ 69
7.2.1 Aire d’intersection entre deux cercles [EEW96] _________________________________________ 71
7.2.2 Fonction fraction de flux incident sur le détecteur (cas général) _____________________________ 71
7.2.3 Aire effective ____________________________________________________________________ 72
7.2.4 Cas d’un télémètre biaxial et d’une tache gaussienne sur la cible ____________________________ 73
7.2.5 Application Numérique ____________________________________________________________ 74
8. CONCLUSION __________________________________________________________ 77
31
1. INTRODUCTION
Le télémètre temps de vol à été le premier système laser mesurant des distances supérieures à 10 m à
être mis au point après les premières démonstrations expérimentales de l’effet laser au début des
années 60. Les premières applications envisagées consistaient à mesurer la distance de la terre à la lune
de façon précise, et dans le cadre d’applications militaires, de mesurer la distance à une cible. L’intérêt
par rapport au radar étant la directivité du faisceau laser afin d’obtenir une meilleure résolution spatiale
de la mesure. Les signaux (impulsions) radars et télémétriques présentant de fortes similitudes, la
théorie sur l’évaluation de la précision des mesures de distance est conservée [MS80]. Dès 1963,
Goldstein du MIT Lincoln Laboratory publie une théorie inspirée des techniques de base des radars et
inclut dans ses équations les différentes sources de bruit venant perturber la mesure et limiter les
performances du télémètre [BSG63]. Ce sont ces équations quelque peu réactualisées
[PB95][HNB91][MSS93] que nous utiliserons par la suite pour calculer la portée d’un télémètre.
Voici un bref rappel (partie I) du principe de la télémétrie temps de vol. La figure 1-1 représente
schématiquement le télémètre dans son ensemble. La figure 1-2 donne l’allure des signaux ainsi que le
principe de la mesure du temps de vol à l’aide de seuils de détection. Les blocs d’émission et de
réception possèdent respectivement une photodiode PIN et une photodiode à avalanche. La photodiode
PIN fournit au bloc de traitement un signal START déclenchant le compteur rapide tandis que le signal
STOP arrêtant le compteur est fourni par la cellule de réception.
Milieu traversé
atténuation
Traitement
Analogique
START
EMISSION
STOP
RECEPTION
Mesure de distance
z
z
Figure 1-1 : Schéma de principe d’un télémètre temps de vol
32
cible
diffusante
seuil de détection du signal START
Emission laser
seuil de détection du signal STOP
Réception
t START
t STOP
temps de vol
Figure 1-2 : Signaux et principe de la mesure de temps de vol
La distance est alors donnée par :
z=
c
c
⋅ τ = ⋅ (t STOP − t START )
2
2
(1.1)
Pour la rédaction de cette partie, nous nous sommes bien évidemment inspirés des travaux réalisé par
l’équipe « Télémétrie » du Léti au sein de laquelle s’est déroulée cette thèse. C’est pourquoi les ordres
de grandeur utilisés dans les applications numériques seront choisis en liaison avec les télémètres déjà
développés au laboratoire. Le but de cette partie est d’évaluer l’influence des paramètres sur les
performances des télémètres temps de vol classiques afin de proposer une configuration optimisée.
Dans un premier temps nous décrirons les blocs d’émission puis de réception d’un télémètre à
microlaser. Nous nous intéresserons à la précision des mesures de distances effectuées à l’aide d’un
seuillage analogique sur des impulsions à profil temporel gaussien (profil approché généré par les
microlasers après photodétection). Dans un deuxième temps nous détaillerons les calculs du rapport
signal sur bruit et de la portée pour deux configurations : photodiode PIN et photodiode à avalanche.
Nous nous intéresserons à l’influence de la bande passante électronique sur la portée et la précision
d’un télémètre. Pour terminer, nous étudierons la dynamique du signal STOP en fonction de la distance
mesurée.
33
2. ÉMISSION
Dans ce paragraphe, après avoir rapidement présenté les deux principales sources utilisées en
télémétrie, nous rappellerons tout d’abord l’évolution des dimensions du faisceau issu d’un microlaser,
ces caractéristiques obtenues seront utiles dans le paragraphe sur l’étude de la dynamique du signal.
Nous nous intéresserons ensuite à la forme temporelle des impulsions produites par un microlaser
déclenché passivement Cr4+,Nd:YAG.
2.1 Avantages des microlasers
En considérant les relations donnant, la puissance optique incidente sur le photodétecteur et la précision
d’une mesure de distance, pour avoir un télémètre laser temps de vol performant pour une application
d’imagerie 3D par exemple, il faut disposer d’une source laser bien adaptée. Nous pouvons prendre en
compte les critères suivants [PB99] :
z La gamme de mesure est liée à la puissance de l’émetteur et au respect de la sécurité oculaire.
z La précision est définie comme nous l’avons vu par les caractéristiques temporelles de l’impulsion.
z La compacité et le coût du dispositif.
Ce sont pour ces raisons que deux types de laser sont principalement utilisés en télémétrie temps de vol
: les lasers à semi-conducteurs (diodes lasers) et les microlasers.
2.1.1 Diodes laser
Les diodes lasers impulsionnelles les plus communément employées aujourd’hui sont des doubles
hétérojonctions GaAlAs qui offrent un choix de longueur d’onde s’échelonnant entre 780 nm et 900
nm avec des puissances crêtes allant du Watt à quelques dizaines de Watts. D’autres structures à puits
quantiques InGaAs permettent d’obtenir des diodes lasers avec une gamme de fonctionnement en
longueur d’onde comprise entre 900 et 1600 nm. La qualité optique du faisceau des diodes lasers
présente des imperfections importantes dues à une forte divergence et à de l’astigmatisme, l’adaptation
peut être parfois contraignante pour obtenir une qualité de faisceau satisfaisante. Un autre inconvénient
est la forte valeur du courant d’injection impulsionnel pour commander la diode laser nécessaire à la
production des impulsions lumineuses de forte puissance avec de très courtes durées. Par exemple,
pour une diode de 100 W, il faut un courant d’injection de l’ordre de 40 A.
2.1.2 Microlasers
Les microlasers sont des lasers solides monolithiques et miniatures pompés par diode laser. Tout
comme les diodes laser, leur processus de fabrication est collectif. Les premiers dispositifs de ce type
ont été réalisés aux Etats-Unis à la fin des années 80 [JJZ89]. Au Laboratoire d’Electronique , de
Technologie et d’Instrumentation du CEA, les microlasers sont étudiés depuis le début des années 90
[NM91]. Nous nous intéresserons essentiellement au fonctionnement des microlasers déclenchés
34
passivement qui produisent des impulsions optiques. Il repose sur la présence à l’intérieur de la cavité
d’un composant optique passif : un absorbant saturable, qui va déclencher les pertes de la cavité. En
effet, sa transmission change en fonction de l’intensité du faisceau lumineux qui le traverse. Le
développement d’une impulsion laser n’est possible que lorsque l’absorbant est transparent, le milieu à
gain peut alors se vider de l’énergie emmagasinée sous forme d’une impulsion géante de courte durée.
L’apparition de cette impulsion se répétera de nouveau à chaque fois que l’énergie emmagasinée dans
la cavité du microlaser sera suffisante pour faire changer d’état l’absorbant saturable. Un autre avantage
est la très bonne qualité de faisceau obtenue, la mise en forme du faisceau est simplifiée puisque le
laser fonctionne sur un unique mode transverse TEM00. Pour assurer le fonctionnement du microlaser,
il faut alimenter en photons le matériau à gain avec une diode laser continue de pompe (figure 2-1).
milieu à gain
absorbant saturable
Nd:YAG
Cr
750 à 1500 µm
30 à 100 µm
4+
:YAG
Faisceau laser pulsé
Faisceau de pompe continu
808 nm
1064 nm
miroir d'entrée
miroir de sortie
Figure 2-1 : Microlaser Cr4+:Nd:YAG déclenché passivement
La figure 2-2 montre un boîtier où microlaser et diode laser de pompe sont assemblés. Dans le cas des
microlaser à miroirs plans, la puissance de pompe est de l’ordre du Watt, cette puissance induit une
augmentation de température de la diode laser. Afin de ne pas trop élever la température, un module à
effet Peltier est nécessaire. Une thermistance permet alors d’asservir la température souhaitée. Notons
que des microlasers à cavité stable sont à l’étude au Léti depuis quelques années déjà [VT96] : la
puissance de pompe de ces microlasers est inférieure et il n’est pas nécessaire d’utiliser un module à
effet Peltier pour le refroidissement. De nouveaux matériaux permettent également la fabrication de
microlasers déclenchés émettant à une longueur d’onde dite « à sécurité oculaire » de 1,55 µm [PT99] .
35
diode laser
thermistance
peltier
microlaser
Figure 2-2 : Microlaser et diode de pompe montés au Léti
En conservant les avantages des diodes laser (fabrication collective), les microlasers offrent des
caractéristiques supérieures en terme de puissance émise, largeur d’impulsion et qualité de faisceau.
C’est pourquoi ils sont utilisés au laboratoire et seront utilisés dans le cadre de cette thèse.
2.2 Dimensions du faisceau
Les microlasers que nous utilisons au laboratoire pour les télémètres possèdent un seul mode
transverse. En utilisant les propriétés des faisceaux gaussiens [MY93], nous allons calculer les
dimensions de la tache sur une cible à la distance z, après avoir calculé les nouvelles caractéristiques du
faisceau derrière une optique d’émission.
waist objet
lentille de focale fe
waist image
w0
wi
Dw0
Dwi
Figure 2-3 : Transformation d’un faisceau gaussien par une lentille
La distance du waist image par rapport à l’optique d’émission s’écrit :
Dω i = f e −
f e − Dω o
2
 Dω o   πω 02 
1 −
 +

fe   λ fe 

36
2
(1.2)
La taille du waist image s’écrit :
ω
ω i=
0
2
 Dω o   πω 02 
1 − f  +  f 
e 

 λ e 
(1.3)
2
L’évolution du rayon du faisceau en sortie d’optique et en fonction de la distance est définie par :
(
)
2
 z − Dω λ 
i
 = ω i2 + φ
ω ( z) = ω i⋅ 1 + 
2
 πω i



( ( z − D ))
2
i
ω
i
(1.4)
où :
φ i= φ
émission
=
λ
πω
(1.5)
i
est la demi divergence du faisceau laser à l’émission. Prenons, par exemple, pour une lentille de 100
mm de focale, un waist de 50 µm à la sortie du microlaser, le waist image sera alors de 680 µm et la
demi-divergence sera de 0,5 mrad : la tache laser aura un diamètre de 10 cm à 100 m.
2.3 Modélisation des microlasers Cr4+:Nd:YAG
De nombreuses études sur la modélisation de microlasers ou de laser solides pompé par diodes laser
sont disponibles dans la littérature [AS65] [WK96] [PT93] [XZ97]. Pour modéliser les impulsions produites
par les microlasers que nous avons utilisés, nous nous sommes inspiré de ces différents travaux.
Le fonctionnement des lasers est décrit en général de manière simple par le système classique des
équations du bilan des transitions électroniques dans le milieu à gain. Ce système comprend deux
équations différentielles non-linéaires couplées : l’une relative à l’évolution de l’inversion de
population dans le cristal amplificateur, l’autre relative au nombre de photons dans la cavité. Pour
modéliser le déclenchement par absorbant saturable, il est nécessaire d’introduire une troisième
équation relative à l’inversion de population de l’absorbant saturable. Le détail des calculs établissants
le système d’équations est disponible en Annexe 1.
Nous avons résolu numériquement ce système de trois équations différentielles non-linéaires en
choisissant les caractéristiques du microlaser que nous avons utilisé lors des expérimentations. Nous
obtenons une impulsion de largeur environ égale à 400 ps. Nous avons comparé cette impulsion
théorique (bleue à gauche) avec le résultat expérimental (points noirs à droite) correspondant
(figure 2-4) :
37
1
1
0.8
0.8
Amplitude relative
Amplitude relative
0.6
0.4
0.2
0.4
0.2
0
1 10-9
0.6
0
2 10-9
3 10-9
t en s
4 10-9
5 10-9
0
5
10
t en ns
15
20
Figure 2-4 : Comparaison des impulsions théoriques et expérimentales
Nous remarquons que l’impulsion expérimentale, de largeur 1,5 ns, est beaucoup plus large que
l’impulsion théorique. Une hypothèse, concernant cette différence entre la simulation et la réalité, a été
émise dans la littérature, cependant aucun autre modèle satisfaisant n’a encore vu le jour [LF98].
Toutefois l’allure générale de l’impulsion est identique dans les deux cas : le temps de montée est plus
rapide que le temps de descente. Le profil temporel obtenu expérimentalement sera approximmé
(régression non-linéaire) par un gaussienne asymétrique afin de simplifier les calculs ultérieurs, le
paramètre ω est différent de chaque coté du sommet de l’impulsion, ω1 = 1,1 ns et ω2 = 1,7 ns :
  t −τ
easym ( t ) = A ⋅ exp  − 
  ω
  1



2

  t − τ 2 
 pour t < τ et easym ( t ) = A ⋅ exp  − 
  pour t > τ
ω2  






(1.6)
3. RÉCEPTION
Il existe plusieurs façons de convertir un signal optique en un signal électrique en utilisant une
photodiode. En effet, le comportement de la photodiode dépend de la tension de polarisation et de la
valeur de la résistance de charge à ses bornes. Le mode photovoltaïque est obtenu en l’absence de
polarisation lorsque la résistance de charge est importante, avec ce mode de fonctionnement la tension
générée est une fonction logarithmique de la puissance optique incidente. Ce mode de fonctionnement
n’est donc pas linéaire, il faut également noter sa faible largeur de bande. Le mode photoampérique est
obtenu lorsque la photodiode n’est pas polarisée et lorsque la résistance de charge est très faible. La
réponse est alors linéaire mais la bande passante toujours aussi faible.
En télémétrie impulsionnelle, il est souhaitable d’avoir une réponse linéaire tout en ayant une bande
passante importante afin de détecter des impulsions étroites, c’est pourquoi le mode photoconductif est
utilisé. La photodiode est polarisée en inverse, cela permet d’augmenter sensiblement la bande passante
tout en conservant une réponse linéaire. De plus, les signaux détectés étant généralement faibles, il est
souhaitable d’avoir un gain élevé tout en conservant une bande passante importante. L’utilisation d’un
amplificateur opérationnel monté en détecteur de courant permet de résoudre ce problème, ce montage
est également nommé « transimpédance » en raison de la présence d’une résistance de contre-réaction.
Etant données les caractéristiques de bande passante des amplificateurs opérationnels, il est évident que
ce genre de circuit ne peut pas être utilisé pour des récepteurs grande vitesse, cependant, il existe dans
le commerce des transimpédances intégrés à transistor bipolaire ou à JFET avec des bandes passantes
38
de plusieurs centaines de MHz au GHz [JG96] . Ce sont ces circuits qui sont utilisés dans les télémètres
temps de vol et dans bien d’autres applications encore dont nous allons étudier les caractéristiques dans
ce paragraphe.
+E
Rc
Signal Optique
+
Signal Electrique
G
amplificateur
transimpédance
intégré
Figure 3-1 : Schéma de la détection et de l’amplification transimpédance du signal télémétrique
3.1 Fonction de transfert du 1er ordre
Le schéma équivalent d’une photodiode en inverse est le suivant :
Id
Rd
Cd
Figure 3-2 : schéma équivalent d’une photodiode polarisée en inverse
En appelant Zd l’impédance en parallèle avec le générateur de courant, nous avons :
1
1
=
+ 2π j ⋅ f ⋅ Cd
Z d Rd
(3.1)
Le schéma dynamique du montage peut alors être représenté par :
Zc
Zd
+
-
+
ZdId
G
amplificateur
transimpédance
intégré
Figure 3-3 : Schéma dynamique du montage transimpédance
39
La fonction de transfert s’écrit :
T( f ) = −
1
1 1 1
1 
+  +

Zc G  Zc Zd 
(3.2)
1 et Rd
En remplaçant Zd par sa valeur et Zc par Rc et en considérant que G
Rc nous obtenons une
fonction de transfert du premier ordre d’un filtre passe-bas :
T( f ) = −
Rc
1+ j
f
fc
(3.3)
et la bande passante ou fréquence de coupure1 est donnée par :
fc =
G
2π ⋅ Rc ⋅ Cd
(3.4)
Nous remarquons que la bande passante est multipliée par le gain de l’amplificateur que nous avons
supposé constant jusqu’ici. Une autre manière de voir les choses consiste à dire que Cd a été divisée par
G augmentant d’autant la bande passante.
3.2 Réponse impulsionnelle du 1er ordre et signal obtenu
La réponse impulsionnelle du filtre passe-bas du premier ordre est donnée par :
h(t ) =
Rc
1
1
 t
⋅ exp  −  avec α =
=
α
2π ⋅ f c 2π ⋅ B
 α
(3.5)
Si le signal à l’entrée du filtre est de forme gaussienne :
  t 2 
e(t ) = A ⋅ exp  −   
  ω  
(3.6)
nous avons à la sortie du filtre le signal :
∞
s(t ) = ∫ h(τ ) ⋅ e(t − τ ) ⋅ dτ
0
(3.7)
Le calcul de cette intégrale de convolution donne finalement :
s(t ) =
1
 −4α t + ω 2  
 −2α t + ω 2  
ARc
⋅ ω ⋅ π ⋅ exp 
⋅
−
1
erf



 
2

2
2αω
 4α
 


Pour un filtre passe-bas, la bande passante est égale à la fréquence de coupure à - 3dB.
40
(3.8)
1
Amplitude relative
B = 300 MHz
0.8
0.6
0.4
B = 50 MHz
0.2
0
-4
-2
0
2
4
6
t HnsL
Figure 3-4 : impulsions à la sortie de l’amplificateur transimpédance
Les courbes ci-dessus représentent les impulsions s(t) à la sortie du circuit de réception pour une bande
passante allant de 50 MHz à 300 MHz par pas de 50 MHz relativement au signal d’entrée, le paramètre
ω à l’entrée étant égal à 1 ns. Nous remarquons que les impulsions sont élargies et que leur amplitude
diminue lorsque la bande passante est réduite. Nous utiliserons ce modèle par la suite pour l’étude de
l’influence de la bande passante sur les performances du télémètre.
3.3 Fonction de transfert du 2ème ordre
La résistance de contre réaction est en général une résistance importante, la capacité parasite associée
n’est alors plus négligeable. Reprenons le calcul en considérant Zc comme Rc en parallèle avec la
capacité parasite Cc, soit :
1
1
=
+ 2π f Cc
Z c Rc
(3.9)
Par ailleurs, considérons l’amplificateur comme un système du premier ordre avec une fonction de
transfert de la forme :
G( f ) =
G0
(3.10)
f
1+ j
f0
En remplaçant Zd, Zc et G( f ) par leur valeur dans l’équation (3.2) et en considérant que Rd
Rc nous
obtenons une fonction de transfert du deuxième ordre d’un filtre passe-bas :
T( f ) =
K
f  f 
− 
1+ 2 j z
fc  fc 
2
(3.11)
Le gain est donné par K = - Rc, la bande passante ou fréquence de coupure et le coefficient de
surtension z sont respectivement donnés par :
41
f c2 =
z=
G0 ⋅ f 0
2π ⋅ Rc ⋅ Cd
(3.12)

1
C 
⋅ f c ⋅ Rc  Cc + d  (3.13)
2
G0 

3.4 Réponse impulsionnelle du 2ème ordre et signal obtenu
La réponse impulsionnelle du filtre passe-bas du deuxième ordre est donnée par :
h(t ) =
h(t ) =

 t 
 t 
1
⋅  exp  −  − exp  −   pour z > 1
τ1 − τ 2 
 τ1 
 τ 2 
2π f c
1− z
2
(
(3.14)
)
⋅ exp ( −2π z f c t ) sin 2π f c 1 − z 2 t pour z < 1 (3.15)
avec :
τ1 =
τ2 =
(
1
2π f c z − z 2 − 1
(
)
(3.16)
)
(3.17)
1
2π f c z + z 2 − 1
Si le signal à l’entrée du filtre est e(t), de forme gaussienne par exemple :
  t 2 
e(t ) = A ⋅ exp  −   
  ω  
(3.18)
nous avons à la sortie du filtre le signal :
∞
s(t ) = ∫ h(τ ) ⋅ e(t − τ ) ⋅ dτ
0
(3.19)
3.5 Application numérique
Lors de nos expérimentations, nous avons utilisé une photodiode à avalanche EG&G de type C30662E
et un amplificateur transimpédance intégré Analog Devices de type AD8015. Les caractéristiques
électriques du montage sont les suivantes : Cd = 2 pF, Rc = 10 kQ, Cc = 0,2 pF, fo =240 Mhz et G0 =
60. En utilisant les formules précédemment établies, nous obtenons la fréquence de coupure ou bande
passante fc = 338 Mhz et un coefficient de surtension z = 0,4.
Dans un premier temps, nous avons voulu comparer les signaux à la sortie de l’amplificateur :
42
avec une gaussienne à l’entrée (ω = 1 ns et z = 0.4) :
Amplitude relative
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
6
8
10
12
14
t en ns
16
18
20
Figure 3-5 : Forme de l’impulsion à la sortie de l’amplificateur (impulsion symétrique) - Surtension
avec une gaussienne asymétrique (forme approchée des impulsions produites par le laser) à l’entrée
(ω = 1 ns pour le front montant, 1.5 ns pour le front descendant et z = 0.4) :
Amplitude relative
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
6
8
10
12
14
t en ns
16
18
20
Figure 3-6 : Forme de l’impulsion à la sortie de l’amplificateur (impulsion asymétrique) - Surtension
Nous observons une oscillation à la suite de l’impulsion, cependant, dans les deux cas de profil
d’impulsion, la forme reste approximativement gaussienne symétrique, même dans le cas où
l’impulsion à l’entrée est asymétrique. Afin de supprimer l’oscillation parasite, nous rajoutons une
capacité de 0,2 pF en parallèle à Rc le coefficient de surtension obtenu est maintenant supérieur à
0,707 ( 1 2 ) : z = 0,71. La difficulté de cette opération est la suivante : étant donnée la faible valeur de
la capacité à rajouter, une mauvaise soudure peut à elle seule provoquer des oscillations à la sortie de
l’amplificateur transimpédance. En pratique, cette opération est donc très délicate et il est très difficile
d’obtenir exactement la valeur du coefficient de surtension désirée. Observons néanmoins les effets de
l’augmentation du coefficient de surtension :
43
avec une gaussienne à l’entrée (ω = 1 ns et z = 0.71) :
Amplitude relative
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
6
8
10
12
14
t en ns
16
18
20
Figure 3-7 : Forme de l’impulsion à la sortie de l’amplificateur (impulsion symétrique) - Sans surtension
avec une gaussienne asymétrique à l’entrée (ω = 1 ns pour le front montant, 1.5 ns pour le front
descendant et z = 0.71) :
Amplitude relative
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
6
8
10
12
14
t HnsL
16
18
20
Figure 3-8 : Forme de l’impulsion à la sortie de l’amplificateur (impulsion asymétrique) - Sans surtension
L’oscillation est pratiquement supprimée et la forme de l’impulsion reste gaussienne. De plus le fait
que l’impulsion soit asymétrique contribue à la diminution de l’amplitude de l’oscillation. En pratique,
le réglage du coefficient de surtension s’effectue au laboratoire « à la main », suivant la valeur de ce
dernier les impulsions ont donc des formes différentes :
44
Amplitude relative
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
-0.25
6
8
10
12
14
t en ns
16
18
20
Figure 3-9 : Forme des impulsions à la sortie de l’amplificateur (z variant de 0,1 à 2,1)
Le montage est définitif lorsque la forme de l’impulsion n’est pas trop dégradée : le coefficient de
surtension est proche de 0,707.
1
1
0.8
0.8
Amplitude relative
Amplitude relative
Le circuit électronique de mise en forme du signal a donc pour effet d’atténuer la dissymétrie entre les
front montant et descendant de l’impulsion optique. Mis à part une légère oscillation à la fin de
l’impulsion celle-ci est quasiment de forme gaussienne. L’impulsion laser, mesurée avec un détecteur
rapide et un oscilloscope rapide, a une largeur à mi-hauteur de 1,5 ns. Le signal expérimental que nous
avons obtenu a la sortie de l’amplificateur a une largeur de 2,5 ns et comporte une légère oscillation.
Les courbes ci-dessous, théorique à gauche et expérimentale à droite, donnent la forme de l’impulsion
finale utilisée lors des expérimentations :
0.6
0.4
0.6
0.4
0.2
0.2
0
0
5
10
15
t en ns
20
25
0
5
10
t en ns
15
20
Figure 3-10 : Comparaison de l’impulsion théorique et expérimentale
Le signal obtenu expérimentalement est proche d’une impulsion gaussienne (régression non-linéaire).
3.6 Influence de la bande passante sur l’amplitude du signal
Nous nous intéressons maintenant à la réduction de l’amplitude. En effet, comme nous le verrons
ultérieurement, la réduction de la bande passante a pour effet de réduire d’autant le bruit. Aussi, il sera
nécessaire de trouver un compromis entre les réductions du bruit et du signal pour l’optimisation du
rapport signal sur bruit. Les courbes ci-dessous, donnent la variation de l’amplitude de l’impulsion à la
sortie de l’amplificateur transimpédance en fonction de la bande passante, le paramètre ω à l’entrée
45
variant de 0,5 à 1,5 ns par pas de 250 ps1. Les points sont calculés en résolvant numériquement
l’équation :
ds(t )
=0
dt
(3.20)
où s(t) est donné par l’équation (3.8)2, et en réinjectant la solution dans l’expression de s(t).
1
Amplitude relative
ω = 1,5 ns
0.8
ω = 0,5 ns
0.6
0.4
0.2
0
0,2
0,4
0,6
Bande passante HGHzL
0,8
1
Figure 3-11 : Variation de l’amplitude de l’impulsion en fonction de la bande passante
Les courbes noires sont tracées en utilisant un algorithme de régression non-linéaire, où B représente la
bande passante ou fréquence de coupure, de type Levenberg-Marquard avec le modèle suivant :
ηB ( B ) = 1 −
1
a⋅B +b⋅B +c
2
(3.21)
Les coefficients a, b et c sont calculés pour une demi largeur à e-1 de l’impulsion donnée. Nous avons
ainsi défini un coefficient d’atténuation ηΒ du à la bande passante du circuit de réception que nous
utiliserons ultérieurement. Cette évaluation de l’atténuation est bien entendue approximative puisque
nous n’avons pas considéré ni la capacité parasite associée à la résistance de contre-réaction, ni la
fonction de transfert propre de l’amplificateur. Cependant, ce calcul donne une première idée des effets
dynamiques du circuit électronique de réception.
3.7 Influence de la bande passante sur la largeur du signal
Nous nous intéressons ici à l’augmentation de la largeur de l’impulsion avec la diminution de la bande
passante. Comme nous avons pu le constater sur la figure 3-4, les impulsions sont déformées et une
dissymétrie est introduite : le temps de montée est plus rapide que le temps de descente. Cette
simulation est approchée, de plus, lors d’une détection et d’une mesure de temps de vol par seuillage,
seul le front de montée de l’impulsion est considéré : nous évaluerons la largeur de l’impulsion obtenue
1
Afin d’alléger les calculs, le profil d’impulsion choisi à l’entrée est une fonction gaussienne,
2
nous utilisons les résultats obtenus au premier ordre dans le même but.
46
en calculant numériquement la demi largeur à mi hauteur sur le front de montée et en multipliant cette
valeur par deux. Le profil d’impulsion alors obtenu sera considéré comme gaussien. La figure cidessous donne la variation de la largeur de l’impulsion en fonction de la bande passante du circuit de
détection, le paramètre ω à l’entrée variant de 0,5 à 1,5 ns par pas de 250 ps :
Largeur HnsL
20
15
10
5
0
0,25
0,5
0,75
Bande passante HGHzL
1
Figure 3-12 : Variation de la largeur de l’impulsion en fonction de la bande passante
Les courbes noires sont tracées en utilisant un algorithme de régression non-linéaire de type LevenbergMarquard, où B représente la bande passante ou fréquence de coupure, avec le modèle suivant :
1


ω B ( B) = exp 
3
2

a⋅ B + b⋅ B + c⋅ B + d 
(3.22)
Les coefficients a, b, c, et d sont calculés pour une demi largeur ω à e-1 de l’impulsion, à l’entrée du
circuit, donnée. Comme dans le cas de l’évaluation de la variation de l’amplitude, nous rappelons que
ce calcul est approché.
4. PRÉCISION DES MESURES
Nous allons, dans cette partie, revenir sur l’évaluation de la précision d’une mesure de distance en
télémétrie temps de vol utilisant un seuil de détection. Nous allons montrer que l’hypothèse classique
pour l’élaboration de la formule classique (4.1) n’est pas valide. Nous inclurons, par la suite, l’influence
de la position du seuil sur le front de montée de l’impulsion détectée, sur les erreurs systématique et
aléatoire telles que nous les avons définies dans la première partie1.
O
1
Pour plus de clarté, nous négligerons dans cette partie les erreurs dues à la turbulence atmosphérique, la taille de
la tache sur la cible, la géométrie du système, celles ci étant très inférieures aux erreurs systématiques et celles
introduites par le bruit superposé au signal.
47
4.1 Formulation classique
Skolnik dans « Introduction to Radar Systems » [MS80] donne l’erreur moyenne (écart-type) sur une
mesure de distance en télémétrie temps de vol utilisant un seuil de détection sur le front montant de
l’impulsion laser provenant de la cible détectée :
σz =
t
σt
c avec σ t = m
2
RSB
(4.1)
où tm est le temps de montée de l’impulsion laser (temps mis pour passer de 10% à 90% de l’amplitude
de l’impulsion). RSB est le rapport signal sur bruit des puissances électriques. c représente la vitesse de
la lumière dans le vide. La courbe ci-dessous donne l’évolution de l’erreur moyenne de mesure de
distance (en mm) en fonction du rapport signal sur bruit pour une impulsion ayant un temps de montée
variant de tm = 500 ps à tm = 3 ns par pas de 500 ps :
sz (mm)
200
500
1000
2000
20
15
10
7
5
5000
10000
15
10
7
5
tm = 3 ns
3
2
1.5
1
3
2
1.5
1
tm = 500 ps
200
500
1000 2000
RSB
5000
1000
Figure 4-1 : variation de l’erreur moyenne de mesure de distance
On note que plus le temps de montée de l’impulsion est faible meilleure est la précision de la mesure.
En général, en télémétrie laser temps de vol, la mesure de distance s’effectue en mesurant le temps
écoulé entre deux impulsions : la première (START) émise au niveau du télémètre, la deuxième
(STOP) détectée après un aller retour télémètre cible. Il convient donc d’inclure dans le calcul de σz,
même si elle reste constante, l’erreur moyenne due à la première impulsion :
c
c
σ z = ⋅σ t = ⋅ σ
2
2
2
t START
+σ
2
tSTOP
(4.2)
La figure ci-dessous montre que les courbes de l’erreur moyenne sont translatées vers le haut, la
précision est limitée par le rapport signal sur bruit (10000 pour l’exemple sur la figure 4-2) de
l’impulsion START :
48
sz (mm)
200
500
1000
2000
20
15
10
7
5
5000
10000
15
10
7
5
tm = 3 ns
3
2
1.5
1
tm = 500 ps
200
500
1000 2000
RSB
5000
3
2
1.5
1
10000
Figure 4-2 : variation de l’erreur moyenne de mesure de distance avec un rapport signal sur bruit de 10000 pour
l’impulsion START
4.2 Origine de la formulation classique
Bertolini [GB68] détaille le calcul pour une impulsion générale s(t) de l’erreur moyenne sur la mesure
du temps de vol en utilisant le « théorème de la propagation des erreurs » [KP99] lorsque l’écart type du
bruit σb, considéré ici comme blanc et gaussien, est petit devant la puissance crête du signal smax :
σ t2 =
σ 2b
2
 ∂s( t ) 


 ∂t  t =tseuil
(4.3)
La racine du dénominateur représente la pente de l’impulsion à l’instant où elle est interceptée par le
seuil, et est approchée par :
∂s (t ) smax
≈
∂t
tm
(4.4)
pour finalement donner l’équation :
σt =
tm
RSB
avec RSB =
2
smax
σ b2
(4.5)
Remarque : L’équation de Skolnik donnant σz ne peut être appliquée si le bruit ajouté au signal de
référence n’est plus faible devant la puissance crête du signal. De plus, la position du seuil sur le front
de montée de l’impulsion n’est pas précisée. L’effet des variations parasites de l’amplitude du signal
dues par exemple, à des effets d’interférences sur la cible, à la propagation atmosphérique, n’est
également pas pris en compte : il faudrait introduire un terme de bruit multiplicatif (additionné à
l’amplitude) lentement variable dans le temps par rapport à la largeur du signal (impulsion) observé. Il
faut également noter que l’erreur systématique, consistant à choisir comme temps de référence un point
quelconque sur le front de monté de l’impulsion, dépendant de l’amplitude de celle-ci, n’est pas prise
en compte.
49
4.3 Cas particulier d’une impulsion gaussienne
Nous allons, dans ce paragraphe, en utilisant le « théorème de la propagation des erreurs » inclure les
effets de la position du seuil et du bruit multiplicatif dans le cas d’une impulsion détectée de forme
gaussienne (figure 4-3). Nous précisons une nouvelle fois que ce théorème s’applique uniquement dans
le cas de « petites erreurs ». Nous nous intéresserons ici uniquement à l’erreur introduite en réception,
l’erreur introduite à l’émission étant considérée comme constante. Le temps de vol mesuré est alors
simplement donné par τ.
0.05
A en V
0.04
0.03
0.02
0.01
0
9.6 × 10
- 8
9.8 × 10
- 8
1 × 10
- 7
1.02 × 10
- 7
1.04 × 10
- 7
t en s
Figure 4-3 : Impulsion gaussienne d’amplitude 50 mV et de demi largeur1 ns à e-1
L’impulsion entachée des deux bruits peut être modélisée de la façon suivante :
  t − τ 2 
s(t ) = ( A + bm (t ) ) ⋅ Exp  − 
  + ba (t )
  ω  
(4.6)
A est l’amplitude de l’impulsion. τ est la position du centre de l’impulsion. ω est la demi largeur à e-1
de l’impulsion. ba est un bruit additif de moyenne 0 et d’écart-type σa associé à l’électronique de
conditionnement du signal. Ici nous introduisons un bruit multiplicatif bm lentement variable par
rapport à ba, de moyenne 0 et d’écart-type σb, modélisant les variations parasites de l’amplitude d’une
mesure à l’autre.
Le temps ts au seuil ϕ illustré sur la figure 4-4 s’écrit :
 A + bm (t ) 
ts (ba , bm ) = ω ⋅ ln 
 +τ
 ϕ − ba (t ) 
50
(4.7)
4 × 10
ts -t en s
3 × 10
2 × 10
1 × 10
- 9
- 9
- 9
- 9
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a
Figure 4-4 : tracé de ts-τ en fonction du rapport
α = ϕA
Remarque : l’équation (4.8) donne par la même occasion l’erreur systématique ts(0,0) par rapport à la
position τ du sommet de l’impulsion. L’erreur systématique totale due aux deux impulsions peut alors
s’écrire :

A

A
 
δ τ = t START ( 0,0 ) − t STOP ( 0,0 ) = ω ⋅  ln  START  − ln  STOP   + τ START − τ STOP
 ϕ START 
 ϕ STOP  

(4.8)
La distance réelle est donc égale à la distance mesuré moins δτ. Si les amplitudes des impulsions ne
sont pas mesurées, il est alors impossible de corriger cette erreur systématique.
Revenons au calcul de l’erreur aléatoire due au bruits ba et bm. Connaissant les caractéristiques des
bruits ba et bm et en supposant qu’ils sont indépendants, nous allons déterminer l’erreur moyenne
reportée sur ts en utilisant la formule suivante [BE98], où V représente la variance et E l’espérance :
2
 ∂f 
⋅ V [ x ] (4.9)
V [ f ( x1...xn ) ] ≈ ∑ 

i =1  ∂xi  x = E [ x ]
i
i
n
Dans notre cas, ts dépend des variables aléatoires ba et bm, il vient :
2
2
 ∂t 
 ∂t 
σ ts =  s 
σ a2 +  s 
σ m2
 ∂ba ba ,bm =0
 ∂bm ba ,bm =0
(4.10)
avec :
 ∂t s 
=


 ∂ba ba ,bm =0
ω
 A
2ϕ ⋅ ln  
ϕ 
51
(4.11)
 ∂t s 
=


 ∂bm ba ,bm =0
ω
(4.12)
 A
2 A ⋅ ln  
ϕ 
L’équation (4.10) peut également s’écrire, dans le cas où σm est très faible :
σ ts =
ω
1
2α ln   ⋅ RSB
α 
où α =
 A
ϕ
et RSB =  
A
σa 
2
(4.13)
Traçons maintenant, à titre d’exemple, la variation de σ z = c / 2 ⋅ σ ts en fonction de la hauteur du seuil
pour :
A = 50 mV
ω = 1 ns
σ a = 1 mV
σ m varie de 0 à 5 mV par pas de 1 mV
20
s z mm
15
10
5
0
0.2
0.4
a
0.6
0.8
1
Figure 4-5 : Variation de l’écart-type sur la mesure de distance en fonction de
α = ϕA
Dans le cas où σm est nul, les deux calculs donnent quasiment le même résultat (pour un seuil placé à
peu près à mi hauteur), ce qui justifie la simple utilisation de la formule de Skolnik. Par contre en
introduisant un σm non nul nous remarquons que l’erreur moyenne sur la mesure de distance dépend, de
façon importante, de la position du seuil. De plus en calculant numériquement le seuil optimum αopt
(où l’erreur est la plus faible) en fonction de σm nous observons que celui-ci diminue lorsque σm
augmente ( figure 4-6). L’écart-type minimum sur la mesure de distance en fonction de σm est
également calculé numériquement (figure 4-7).
52
0.62
4.2
0.6
s z en mm
4
aopt
0.58
0.56
3.8
3.6
0.54
3.4
0
0.0002
0.0004
0.0006
s m en V
Figure 4-6 : Variation de
0.0008
0.001
0
α opt = ϕA en fonction de σm
0.0002
0.0004
0.0006
s m en V
0.0008
0.001
Figure 4-7 : Variation de l’écart-type optimum en fonction
de σm
Par contre lorsque σm est nul la valeur du seuil optimal αopt reste constante (environ 0.61) quelque soit
la valeur de σa :
20
17.5
s z en mm
15
12.5
10
7.5
5
2.5
0
0.2
0.4
a
0.6
0.8
1
Figure 4-8 : Variation de l’écart-type sur la mesure de distance en fonction de α (σa de 0,2 à 1 mV)
Afin de diminuer l’écart-type, il est possible d’accumuler les mesures. Si le nombre de mesures
moyennées est N, alors σz est amélioré par un facteur un sur racine de N. En utilisant un moyennage de
16 mesures, Biernat et Kompa obtiennent une précision de l’ordre de 300 µm avec une diode laser à
simple hétérostructure possédant une puissance crête de 128 W et une largeur d’impulsion de 32 ps
[AB97]. Cette technique permet aux auteurs, en balayant le faisceau laser, de réaliser des images en trois
dimensions d’objets peu distants du télémètre (quelques centimètres). Bien évidemment la précision
obtenue (300 µm) n’a de sens que si la taille de la tache laser sur la cible est du même ordre de
grandeur.
4.4 Mesure du temps de vol utilisant deux seuils de détection
Pikkel et al. [EVP89] proposent d’augmenter la précision sur la mesure de distance en utilisant un
deuxième seuil sur le front de montée de l’impulsion détectée. Le fait d’utiliser deux seuils permet de
s’affranchir des variations parasites de l’amplitude du signal pour une cible fixe donnée. Ces
53
instabilités sont dues au bruit multiplicatif de la photodiode à avalanche [FIK93] , aux inhomogénéités
de l’atmosphère traversée par le faisceau laser...
Considérons l’instabilité à l’instant où l’impulsion réfléchie est détectée par le seuil :
ϕ = s (t ) + b (t )
(4.14)
où ϕseuil est le seuil de déclenchement de la mesure, s(t) la valeur du signal à cet instant, b(t) la valeur
du bruit à cet instant. En prenant le signal s(t) comme le produit d’un bruit sbruit de moyenne A et d’une
gaussienne (forme d’impulsion « traditionnelle »), il vient :
  t - τ 2 
ϕ = sbruit ⋅ exp  - 
  + b (t )
  ω  
(4.15)
En utilisant deux seuils on obtient deux temps t1 et t2 via lesquels il est possible de calculer la position
du sommet de l’impulsion gaussienne τ en éliminant le terme de bruit multiplicatif sbruit :
τ=
 ϕ − b (t1 ) 
t2 + t1
t2
−
ln  1
 (4.16)
2
2 (t2 − t1 )  ϕ 2 − b (t2 ) 
Le fait d’utiliser le sommet de l’impulsion comme temps de référence permet également de s’affranchir
de l’erreur systématique δτ introduite précédemment dans le cas d’une détection à un seuil. Si b(t) est
un bruit normal de moyenne nulle, d’écart type σb et lentement variable par rapport au signal s(t), il est
alors possible de calculer la variance de τ, dans le cas où les deux seuils sont voisins, en utilisant « le
théorème de la propagation des erreurs » :
V [τ ] =

4⋅

2
ϕ −ϕ 2 
⋅ 1
 pour σ b << ϕ
2 
ϕ
⋅ϕ 2 

1

 A
 A 
ln 
 − ln  ϕ  
ϕ
 1
 2  
ω 2⋅ σ
2
b
(4.17)
Si l’on calcule de la même façon la variance de l’erreur totale, en considérant les bruits additifs et
multiplicatifs appliqués au signal, pour une détection à un seul seuil [YVP87], les auteurs annoncent que
la méthode de détection à deux seuils donne une variance jusqu'à cinq fois plus faible. Cette méthode
reste toutefois difficile à mettre en œuvre car il faudrait adapter la hauteur des seuils en fonction de
l’amplitude des impulsions. De plus il est toujours nécessaire d’effectuer un compromis entre la
précision et la portée.
O
Nous avons montré dans ce paragraphe les limites théoriques en terme de précision sur la mesure de
temps de vol classique. La précision dépend fortement de la position du seuil sur le front de monté de
l’impulsion. En général, le choix de la position du seuil est dicté par des considérations de détection : le
seuil est positionné de telle façon que pour une probabilité de fausse alarme donnée, la probabilité de
54
détection soit optimale (partie I). L’optimisation de la précision par l’ajustement du seuil est alors
impossible.
La sensibilité de la mesure dépend donc du choix du seuil. En général, le seuil de détection est choisi
en utilisant le critère de Neyman Pearson [JM91], pour un taux maximum de fausse alarme souhaité. Par
exemple si l’on souhaite avoir une probabilité maximale de fausse alarme de 10-9, le seuil sera de 6 σa
dans le cas d’un bruit gaussien. Le seuil est donc positionné juste au dessus du niveau de bruit dans une
zone où le temps référence déterminé par l’intersection du seuil avec le signal est assujetti à une
importante incertitude. En effet, prenons comme exemple une impulsion d’amplitude A = 50 mV
soumise à un unique bruit additif d’écart type σa = 1 mV (RSB = 2500 ou 34 dB), et un seuil
positionné à 6 σa = 6 mV. Dans ce cas l’écart type sur une mesure de distance est de l’ordre de 1 cm.
Dans le cas d’une détection par seuillage analogique il faut donc établir un compromis entre la
précision souhaitée et la sensibilité. Considérons maintenant, toujours avec les mêmes signaux, l’erreur
systématique donnée par la formule (4.8). Si le seuil, sur l’impulsion START, est positionné à 60%, de
façon a réduire l’écart-type (erreur aléatoire), la distance mesurée sera surestimée de 12 cm.
Finalement, la précision sur la mesure de distance est de l’ordre d’une dizaine de cm. Il faut toutefois
noter qu’une mesure de l’amplitude des impulsions et la connaissance de leur largeur permettrait de
corriger facilement cette erreur systématique importante, et permet d’atteindre une précision de
quelques cm.
L’utilisation de deux seuils sur le front de monté de l’impulsion montre que le fait de choisir le sommet
de l’impulsion comme temps référence permet de s’affranchir des variations parasites de l’amplitude et
de l’erreur systématique. Cependant, la variance théorique dépend encore du choix des seuils.
5. PORTÉE
La portée d’un télémètre est limitée par les différentes sources de bruit provenants du circuit de
détection transimpédance et de l’environnement, également par la puissance de l’émetteur laser ou
l’ouverture de l’optique de réception, et bien sur par la sensibilité et le gain du photodétecteur utilisé.
Malgré cela, les télémètres temps de vol restent performants dans des conditions industrielles difficiles,
par exemple, Määttä et al. utilisent un télémètre à diode laser pour contrôler le profil de surfaces à
haute température (1400°C) [KM93]. Dans ce paragraphe, nous allons établir les équations qui
permettent de calculer la portée d’un télémètre utilisant une détection directe avec une photodiode PIN
et une photodiode à avalanche.
Remarque : Nous considérerons par la suite, en première approximation, que la totalité de la tache sur
la cible est interceptée par l’optique de réception du télémètre, en effet, une source optique comme
celle utilisée dans le télémètres développés au Léti (microlaser déclenché), permet d’obtenir via une
simple optique de collimation de très faibles divergences de l’ordre de 0,1 mrad. Nous verrons plus
tard que cette hypothèse est remise en question dans le cas où les axes d’émission et de réception ne
sont pas parallèles et dans le cas de faibles distances.
O
55
5.1 Détection directe avec une photodiode PIN
Dans un premier temps nous écrirons les expressions des puissances du signal reçu et des différentes
sources de bruit, nous en déduirons par la suite l’expression du rapport signal sur bruit, le but de ce
calcul étant d’évaluer la portée pour une puissance laser crête donnée dans le cas d’une photodiode PIN
en atteignant un rapport signal sur bruit déterminé par les considérations de détection (voir Partie I).
5.1.1 Signal reçu
La puissance du signal électrique à la sortie du détecteur est donnée par :
Ps = (η B ( B) ⋅ Pr ℜ ) Rc
2
(5.1)
ℜ = η e / hυ est la réponse du détecteur, Rc est la résistance de contre réaction du montage
transimpédance et ηΒ(B) est un coefficient d’atténuation dépendant de la bande passante B, il sera
définit par la suite. La puissance optique du signal utile incident sur le détecteur est donnée par
l’équation des radars laser [AVJ92] dans le cas où la cible intercepte tout le faisceau laser :
Pr = ρ ⋅ Pé
a
⋅ Ta ⋅ Te ⋅ Tr
π z2
(5.2)
avec a l’aire d’ouverture de l’optique et z la distance cible-télémètre. Pé est la puissance optique émise
par la source laser, Te et Tr les transmissions des optiques en émission et réception. Ta représente la
transmission atmosphérique :
Ta = exp −
 2 ( β m + β a ) z 
(5.3)
où βm est le coefficient d’extinction moléculaire et βa est le coefficient d’extinction du aux aérosols
présents le long du chemin optique du faisceau laser. Ces deux coefficients dépendent de la longueur
d’onde.
Dans les cas des lasers Er:Verre et Nd:YAG (respectivement, ayant une longueur d’onde de 1,54 µm et
1,06 µm) ce coefficient d’extinction moléculaire est au maximum égal à 0,02 km-1 (pour une
température de 20°C et un taux d’humidité de 100%), cette valeur est particulièrement faible devant le
coefficient d’extinction dû aux aérosols, c’est pourquoi elle peut être négligée. Reste à déterminer βa.
L’extinction d’une impulsion laser due à la diffusion et à l’absorption d’aérosols dépend de la
concentration, de la distribution en taille et de la composition de ces aérosols. Toutefois, ces
informations sont généralement indisponibles. Par contre, comme βa est proportionnel à la
concentration en aérosols et varie peu avec la longueur d’onde, nous pouvons le relier au coefficient
d’extinction dans le visible βv. En effet cette valeur est donnée par la formule empirique de
Koschmieder :
βa =
3,91  0,55 


V  λ 
56
q
(5.4)
βa est le coefficient dit de « Mie », dans cette formule et pour les valeurs de q, V est exprimé en km et
λ en µm. q est donné par :
q = 0,58 ⋅ V 1/ 3 , pour une distance de visibilité inférieure à 7 km.
q = 1,3 , pour une distance de visibilité supérieure à 7 km.
1
V = 25 km
Ta
0.1
0.01
V = 10 km
0.001
V = 5 km
0
5
10
15
20
25
z HkmL
Figure 5-1 : Transmission atmosphérique en fonction de z par la formule de Koschmider
La formule de Koschmieder est encore donnée dans les ouvrages de référence comme « The infrared
handbook » [WLW93]. Cependant, avec le développement des algorithmes de simulation de l’extinction
atmosphérique, cette formulation est quelque peu dépassée. En effet, ces codes permettent de simuler
numériquement la transmission atmosphérique dans diverses conditions que ne prévoit pas la formule
de Koschmider : modèles urbain, rural, maritime ou encore brouillard et pluie [DLH94][JLM99]. Afin
d’obtenir facilement les ordres de grandeur nécessaires à la détermination de la portée, nous
conserverons toutefois cette formule.
La courbe ci-dessous représente la variation de la puissance optique Pr reçue en fonction de la distance
entre le télémètre et la cible z :
1000
Courbe tracée avec :
ρ = 0,3
Pé = 1 kW
Pr en µW
10
a = 700 mm 2
TeTr = 0,8
V = 20 km
0.1
0.001
λ = 1,064 mm
50
100
200
500
z en m
Figure 5-2 : Variation de la puissance optique
1000 2000
Pr reçue en fonction de la distance z
57
5.1.2 Sources de bruit
La puissance moyenne de bruit thermique du détecteur est donnée par :
Pth = 4kTB
(5.5)
La puissance moyenne de bruit de l’amplificateur électronique, où i est le courant de bruit donné par le
constructeur de l’amplificateur transimpédance, est donnée par :
2
⋅ BRc
Pamp = iamp
(5.6)
La puissance moyenne de bruit d’obscurité délivrée lorsque aucune énergie n’est incidente sur le
détecteur est donnée par :
Pobs = 2eI obs BRc
(5.7)
La puissance moyenne de bruit quantique dépendante du signal et produite lors du processus de
détection est donnée par :
Pq = 2ePr ℜBRc
(5.8)
La puissance moyenne de bruit parasite délivrée par le détecteur lorsque celui ci est illuminé
uniquement par la lumière ambiante due à l’éclairement solaire est donnée par :
Pp = 2ePps ℜBRc
(5.9)
Comme le signal reçu, la puissance parasite Pps, due à l’éclairage ambiant, en l’occurrence la lumière
solaire, est incidente sur le détecteur. Les données relatives à l’optique de réception sont :
Eo
E
Rd
q
f
cible
diffusante
(albédo : r)
Figure 5-3 : Données relatives à l’optique de réception
• l’aire d’ouverture de l’optique : a
• la focale de l’optique : f
• le rayon de la surface du détecteur : Rd
• Eλ est l’éclairement solaire à la longueur d’onde λ (W/m².nm)
• ∆λ est la bande passante du filtre optique en réception (nm)
L’éclairement solaire total résultant est donc :
58
Es = ∆λ Eλ
(5.10)
et la luminance est donnée par :
L=ρ
Es
π
(5.11)
L’éclairement sur l’optique de réception est donné par :

 θ 
Eo = L ⋅ Ω = 2 ρ ⋅ Es 1 − cos   
 2 

(5.12)
En considérant que θ = 2 Rd / f est petit devant l’unité et en utilisant le développement limité de la
fonction cosinus, l’équation ci-dessus peut s’écrire :
R 
Eo = ρ ⋅ Es  d 
 f 
2
(5.13)
La puissance parasite s’écrit finalement :
R 
Pps = aEo ⋅ Ta ⋅ Tr = ρ ⋅ a ⋅ Ta ⋅ Tr Es  d 
 f 
2
(5.14)
5.1.3 Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit
Le rapport signal sur bruit de la mesure est donné par :
RSBPIN =
Pth + Pamp
Ps
+ Pobs + Pq + Pp
(ηB ( B ) ⋅ Pr ℜ )
2
RSBPIN =
(5.15)
Rc
2
4kBT + 2eBRc ( Pr ℜ + Pps ℜ + I obs ) + iamp
⋅ BRc
(5.16)
soit :
RSBPIN =
α ⋅ Pr2
β ⋅ Pr + χ
(5.17)
avec :
(ηB ( B ) ⋅ ℜ )
2
α=
B
, β = 2eℜ et χ =
4kT
2
+ 2e( I obs + ℜPps ) + iamp
Rc
(5.18)
Le bruit est évidemment réduit lorsque la bande passante est réduite, cependant le rapport signal sur
bruit dépend de la bande passante B avec le terme α ci-dessus : nous verrons par la suite comment
choisir B afin d’obtenir le meilleur rapport signal sur bruit. En résolvant l’équation (5.17) pour la
59
puissance reçu Pr on obtient la puissance optique incidente sur le photodétecteur pour obtenir un
rapport signal sur bruit donné :
Pr,min =
β ⋅ RSBPIN
2α

4αχ
1 + 1 + 2
β ⋅ RSBPIN




(5.19)
C’est cette équation qui permet de calculer la puissance minimale à la limite du bruit, l’équation (5.18)
permet de calculer la puissance nécessaire émise par le laser pour un rapport signal sur bruit RBSPIN,
une distance de visibilité V et une distance cible télémètre z. Cette même équation, pour une puissance
émise donnée, permet de calculer la distance maximale atteinte où le signal, possédant un rapport
signal sur bruit RSBPIN, peut être détecté : autrement dit, nous pouvons ainsi calculer la portée d’un
télémètre temps de vol.
5.2 Détection directe avec une photodiode à avalanche
Dans un premier temps nous écrirons les expressions des puissances du signal reçu et des différentes
sources de bruit, nous en déduirons par la suite l’expression du rapport signal sur bruit dans le cas
d’une photodiode à avalanche comme photodétecteur.
5.2.1 Signal reçu
La puissance du signal électrique à la sortie du détecteur est donnée par :
Ps = (η B ( B) ⋅ MPr ℜ ) Rc (5.20)
2
M, le gain de la photodiode à avalanche varie avec la tension appliquée aux bornes de la structure de la
photodiode à avalanche. Cette variation n’est pas à priori linéaire, elle est mesuré expérimentalement
par le constructeur qui inclue alors une courbe dans la fiche technique du détecteur ; quelque fois une
formule empirique est donnée à titre indicatif pour des conditions particulières. La puissance optique Pr
du signal utile incidente sur le détecteur est donnée de la même manière que dans le calcul précédent
par l’équation (5.2).
5.2.2 Sources de bruit
La puissance moyenne de bruit thermique du détecteur est donnée par l’équation (5.5).
La puissance moyenne de bruit de l’amplificateur électronique est donnée par (5.6).
En théorie, la puissance moyenne de bruit quantique associée à une photodiode à avalanche est
proportionnelle au signal et au carré du gain M2 de la photodiode. En pratique, toutefois, la quantité de
bruit dépend du cas où se sont les électrons ou les trous qui sont responsables du processus
d’amplification. Le bruit quantique est approximativement proportionnel à Mn, où n est l’index d’excès
de bruit ( 2 ≤ n ≤ 3 ) [AY85]. Si le gain est produit soit par les trous soit par les électrons alors n = 2. Si
les deux types de porteurs sont responsables du gain alors n = 3. Il est donc possible d‘exprimer le
bruit supplémentaire à M2 par un facteur d’excès de bruit FPDA qui est approximativement égal à Mn-2.
60
Par exemple, Yakovlev utilise, pour une photodiode à avalanche en silicium, un index d’excès de bruit
de n = 2,3, M0,3 représente alors le facteur d’excès de bruit [VVY93]. McIntyre propose dans [RJM66] un
modèle de FPDA plus général et largement utilisé par les fabriquants de détecteurs, qui considère la
nature statistique du processus multiplicatif de l’avalanche. Il introduit la racine carrée de FPDA comme
un facteur par lequel le bruit statistique du courant délivré par la photodiode à avalanche excède celui
prévu pour un processus d’amplification à statistique Poissonienne, il donne :
FPDA = keff M + (1 − keff
)( 2 − )
1
M
(5.21)
où keff ≤ 1 est défini comme le rapport des probabilités d’ionisation des électrons et des trous. keff
dépend du matériau composant la structure de la photodiode, le tableau ci-dessous donne à titre
indicatif quelques valeurs de keff et FPDA [EGG] :
Type de détecteur
keff
X
M
FPDA
Silicium
0,02
0,2 à 0,5
150
4,9
Germanium
0,9
0,95
10
9,2
InGaAs
0,45
0,7 à 0,75
10
5,5
Lorsque keff est suffisamment grand, la formule (5.21) peut être approchée par :
FPDA = M X (5.22)
ce qui est suffisant pour les détecteurs en InGaAs ou Germanium. D’autres auteurs, comme Fyath et
O’Reilly [RSF89], ont également proposé des modèles de FPDA. Cependant, ceux-ci s’avèrent
difficilement exploitables pour un simple utilisateur de détecteur.
Finalement, la puissance moyenne de bruit quantique associée à une photodiode à avalanche est donnée
par :
Pq = 2ePr ℜM 2 FPDA BRc
(5.23)
La puissance moyenne de bruit d’obscurité délivrée par le détecteur lorsque aucune énergie n’est
incidente sur le détecteur est également affectée par le gain de la photodiode :
Pobs = 2eI obs , s + 2eI obs ,v M 2 FPDA BRc
(5.24)
Iobs,s et Iobs,v sont respectivement les courants d’obscurité de surface et de volume, seul le courant
d’obscurité de volume est affectée par le gain d’avalanche [EGG].
61
La puissance moyenne de bruit parasite délivrée par le détecteur lorsque celui ci est illuminé
uniquement par la lumière ambiante due à l’éclairement solaire est donnée par :
Pp = 2ePps ℜM 2 FPDA BRc (5.25)
La puissance optique parasite Pps, due à l’éclairage ambiant est donné par l’équation (5.14).
5.2.3 Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit
Le rapport signal sur bruit de la mesure est donné par :
RSBPDA =
Pth + Pamp
Ps
+ Pobs + Pq + Pp
(ηB ( B) ⋅ MPr ℜ )
2
RSBPDA =
(5.26)
Rc
2
4kBT + iamp
BRc + 2eM 2 FPDA BRc ( Pr ℜ + Pps ℜ + I obs ,v ) + 2eBRc I obs , s
(5.27)
soit :
RSBPDA =
α ⋅ Pr2
β ⋅ Pr + χ
(5.28)
avec :
(ηB ( B ) ⋅ M ℜ )
2
α=
B
, β = 2eℜM 2 FPDA et χ =
4kT
2
+ 2eI obs , s + 2eM 2 FPDA ( I obs ,v + ℜPps ) + iamp
Rc
(5.29)
En résolvant l’équation (5.28) pour la puissance reçu Pr on obtient la puissance nécessaire arrivant sur le
photodétecteur pour obtenir un rapport signal sur bruit donné :
Pr,min =
β ⋅ RSBPDA 
4αχ
 1 + 1 + 2
β ⋅ RSBPDA
2α




(5.30)
De la même façon que dans le paragraphe 5.1.3 il est ainsi possible de déterminer la portée d’un
télémètre temps de vol utilisant une photodiode à avalanche.
Remarque :
• Si on remplace FPDA par FPDA = keff M + (1 − keff ) ( 2 − M1 ) dans (5.30) et que l’on trace la courbe de la
puissance minimum détectable Pr pour RSBPDA = 1, par exemple, en fonction de M, il apparaît un M
optimum au delà duquel il n’est plus utile d’augmenter le gain du détecteur car celui-ci amplifie le bruit
de façon plus importante que le signal et la portée du dispositif est réduite :
62
40
Courbe tracée avec :
35
ℜ = 0,9
B = 320 MHz
Rc = 10 kW
Pr en nW
30
25
20
T = 293° K
Pps = 0,3 nW
15
10
I obs = 100 nA
5
4kTamp
0
20
40
60
80
100
Rc
M
= 36 pA2 ⋅ Hz
keff = 0,45
Figure 5-4 :Gain optimum de la photodiode à avalanche
• Si on remplace FPDA par FPDA = M X alors il existe une solution analytique pour la valeur du gain
optimum :
2
 I amp
+ 2eI obs , s + 4kT / Rc
Mo = 
 e ( I obs ,v + ℜPr + ℜPps )

1
 2+ X



(5.31)
Ce gain optimum dépend de la puissance optique reçue, en général, Mo est calculé pour une valeur de
Pr proche de Pr,min.
6. INFLUENCE DE LA BANDE PASSANTE
Nous allons dans ce paragraphe étudier l’influence de la bande passante du circuit électronique de
réception sur les performances du télémètre en terme de portée et de précision. Nous avions introduit
auparavant les effets de la bande passante sur l’amplitude et la largeur des impulsions à la sortie de
l’amplificateur transimpédance1 dans le paragraphe 2.
Maintenant que nous avons introduit le coefficient d’atténuation ηB(B) et la largeur de l’impulsion
ωB(B) en sortie de circuit de réception, ainsi que les calculs de la précision et du rapport signal sur
bruit, nous allons étudier l’influence de ces termes sur la portée et la précision. A titre d’exemple, nous
choisirons une impulsion de largeur à e-1 2 ns, un programme de simulation a été réalisé s’appliquant à
d’autres largeurs d’impulsions.
6.1 Portée
L’optimisation de la portée est ici effectuée en optimisant le rapport signal sur bruit. Nous avons vu
dans les paragraphes 5.1.3 et 5.2.3 que le rapport signal sur bruit était proportionnel à :
1
Afin de faciliter les calculs nous avons considéré le circuit comme un filtre passe bas du 1er ordre.
63
(ηB ( B) )
2
B
(6.1)
dans le terme α des équations (5.16) et (5.27). Nous allons tracer cette variation en fonction de la bande
passante (de 50 MHz à 1 GHz) en utilisant le modèle défini dans le paragraphe 3.6 et où les
coefficients a, b et c ont été calculés pour une largeur d’impulsion à e-1 de 2 ns.
1
0.9
RSB relatif
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0
0.2
0.4
0.6
B HGHz)
0.8
1
Figure 6-1 : Variation relative du rapport signal sur bruit en fonction de la bande passante
La figure 6-1 montre qu’il existe un rapport signal sur bruit maximum pour une bande passante
optimale. Cette bande passante est ici d’environ 110 Mhz. Nous notons que le fait de réduire la bande
passante de façon trop importante est plus pénalisant que le fait de l’augmenter contrairement à ce que
l’on aurait pu penser si le coefficient d’atténuation ηB(B) n’avait pas été introduit.
6.2 Précision
Nous avons vu dans le paragraphe 4 que l’écart type sur une mesure de distance (équation (4.13)) était
proportionnel à la largeur de l’impulsion ω et à l’inverse de la racine carrée du rapport signal sur bruit
pour une position de seuil donnée. Ce coefficient de proportionnalité, dépendant de la bande passante,
que nous allons tracer sur la figure 6-2 s’écrit :
ω B (B)
(ηB ( B ) )
(6.2)
2
B
64
2
Ecart- type relatif
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0
0.2
0.4
0.6
B HGHz)
0.8
1
Figure 6-2 : Variation relative de l’écart-type d’une mesure de distance en fonction de la bande passante
La bande passante optimale pour la précision est d’environ 360 MHz, en dessous de 100 MHz la
précision est rapidement dégradée : l’écart-type est quasiment multiplié par deux.
O
Nous avons mis en évidence ici l’importance de la bande passante électronique du circuit de réception
en télémétrie laser temps de vol. Le choix de cette bande passante dépend de la finalité du télémètre :
doit-il être capable d’effectuer des mesures sur des cibles lointaines au détriment de la précision ou au
contraire doit-il être capable de mesurer précisément une distance au détriment de la portée ? Si l’on
souhaite avoir un télémètre avec une bonne portée et une bonne précision, il est possible de choisir une
bande passante intermédiaire, vers les 235 MHz dans cet exemple, l’écart-type sur la mesure de
distance est alors multiplié par 1,05 et la portée par 0,85, ce qui semble raisonnable.
7. DYNAMIQUE DU SIGNAL
L’équation des radars laser [AVJ92], donnée dans le paragraphe 4, indique que le signal reçu par le
photodétecteur du télémètre décroît proportionnellement à l’inverse du carré de la distance à la cible :
Pr = ρ ⋅ Pé
a
π z2
(7.1)
Compte tenu de la géométrie, du positionnement et des caractéristiques des éléments optique du
système, cette loi n’est plus applicable en première approximation pour de faibles distances. Les axes
optiques des blocs d’émission et de réception étant distincts, la tache image issue de la cible éclairée
par le laser se déplace sur le plan du détecteur perpendiculairement à l’axe optique de réception et dans
la direction de l’axe optique d’émission. De plus, le détecteur est placé en général exactement au foyer
de la lentille de réception pour une mesure à « l’infini », dans le cas où la cible est proche, l’image de
celle-ci est défocalisée. L’énergie incidente sur la surface du photodétecteur est ainsi modifiée en
fonction de la distance par ces deux effets supplémentaires.
65
Ces effets s’avèrent très utiles lors de la conception d’un télémètre afin de réduire la dynamique du
signal incident sur le photodétecteur et ainsi éviter la saturation des photodétecteurs et amplificateurs
électroniques qui induit de fortes erreurs sur la mesure de distance, c’est pourquoi nous nous proposons
de les étudier dans ce paragraphe. Une première méthode générale, utilisant la théorie de la
photométrie, sera introduite et simulée. La deuxième méthode, approchée, nous permettra d’obtenir
facilement et rapidement une simulation numérique de la puissance optique reçue par le
photodétecteur. Nous montrerons que ces deux méthodes donnent des résultats semblables, justifiant
ainsi l’approximation effectuée lors de la deuxième méthode.
Hypothèses : nous ne prendrons pas en compte dans les prochains calculs les effets parasites dus à la
diffraction et aux aberrations optiques.
O
7.1 Méthode générale
Une première méthode de calcul de la puissance optique collectée par le détecteur consiste à calculer en
trois étapes, respectivement, la distribution de l’éclairement sur la cible, la distribution de l’éclairement
sur le plan du détecteur et pour finir la somme de la distribution d’éclairement sur la surface du
détecteur.
❂
7.1.1 Rappels de Photométrie [FD91] [GC97]
Luminance
x
rayon
a
y
dW2
q1
z
q2
dA1
dA2
dW1
b
R
Figure 7-1 : Définition de la luminance
La grandeur :
L=
d2F
d 2 F ⋅ R2
=
cos(θ1 ) dA1d Ω1 cos(θ1 )cos(θ 2 ) ⋅ dA1dA2
(7.2)
est la luminance dans le pinceau au départ de la source et au voisinage du rayon (de longueur R) défini
par le point (coordonnées x, y, z) et la direction (α, β). Cette grandeur représente la densité spatiale de
rayonnement émise par la source 1 dans la région de dA1 et dans la direction de dA2 (exprimée en
W/m².sr). d²F est le flux (exprimé en W) que dA1 envoi dans le pinceau sous-tendu par dA2, Le flux F
66
représente la valeur instantanée d’un débit de rayonnement. dΩ1 est l’angle solide sous-tendu par dA2
(sr), dΩ2 est l’angle solide sous-tendu par dA1 (sr).
Eclairement
L’éclairement est la valeur locale du rapport entre le flux reçu et l’aire réceptrice, il est exprimé en
W/m². L’équation ci-dessus peut être utilisée afin d’écrire l’éclairement de dA2 par la source dA1 :
d 2F
cos(θ1 ) cos(θ 2 ) ⋅ dA1
=L
dA2
R2
(7.3)
dF
cos(θ1 ) cos(θ 2 ) ⋅ dA1
=∫L
dA2 A1
R2
(7.4)
dE2 =
E2 =
7.1.2 Système optique comportant une lentille
Nous allons ici calculer la distribution d’éclairement d’un plan d’observation par une source lumineuse
de luminance quelconque à travers une lentille.
plan source
pupille
plan d'observation
xo yo
M(
ys
,
plan image
q1
)
R
xs
q0
(
zsp
xp yp
,
)
zpo
Ap
AS
Ao
Ai
Figure 7-2 : Géométrie du calcul d’éclairement de la cible
Dans un système optique tel que celui représenté ci-dessus, une source étendue est placée dans le plan
As avec une luminance Ls(xs,yS,αs,βs). Le plan AP représente la pupille de sortie de l’optique, laquelle
forme l’image de la source dans la plan Ai. L’éclairement au point M(xo,yo) sur la surface d’observation
définie par un plan Ao peut être exprimé par la définition de l’éclairement, les plans source et
observation étant parallèles, et avec le plan Ap comme surface sommable :
Eobs ( xo , yo ) = ∫∫
Lp ( x p , y p ,α p , β p ) ⋅ cos2 (θ1 )
Ap
R2
dx p dy p
(7.5)
où Lp(xp,yp,αp,βp) est la luminance atteignant le plan cible au point M(xo,yo) à travers la pupille. Dans le
cas où l’indice de réfraction des milieux de part et d’autre du plan pupille Ap sont identiques, les
formules de l’optique géométrique et la définition de la luminance donnent :
67
Lp ( x p , y p ,α p , β p ) ⋅ cos2 (θ1 ) = Ls ( xs , ys ,α s , β s ) ⋅ cos2 (θ 0 )
(7.6)
D’où l’éclairement sur le plan d’observation en fonction de la luminance du plan source :
Eobs ( xo , yo ) =
+ Rp
∫ ∫
− Rp
Ls ( xs , ys ,α s , β s ) ⋅ cos 2 (θ 0 )
dx p dy p
R2
+ R 2p − x 2p
− R 2p − x 2p
(7.7)
Les variables xs, yS, αs, βs, R et θo dépendent de xp, yp, xo, yo de la façon suivante :
R 2 = z 2po + ( x p − xo ) + ( y p − yo )
2
2
(7.8)

zsp 
zsp
xs = 1 +
 x p +
( xo − x p )

fp 
z po

(7.9)

zsp 
zsp
ys = 1 +
yp +

( yo − y p )

f p 
z po

(7.10)
 x − xs
α s = arctan  p

 zsp




(7.11)
 y − ys
β s = arctan  p
 zsp





(7.12)
cos2 (θ 0 ) =
1
 x − xs
1+  p

 zsp
2
  y p − ys
 + 
  zsp



2
(7.13)
Le calcul de l’intégrale (7-7) est alors effectué numériquement afin d’obtenir la distribution de
l’éclairement sur le plan d’observation.
7.1.3 Application à la télémétrie
La formule (7-7) peut être utilisée pour calculer la distribution de l’éclairement sur le plan de la cible Ec
(considérons que la surface de la cible est plane) quelque soit la source utilisée : laser, fibre optique ou
diode laser... Le calcul de l’expression générale de Ec est en fait assez complexe à résoudre du fait de la
luminance de la source. Wang et al. [JW94] ont effectué ce calcul dans le cas d’une source de type diode
laser fibrée où certaines approximations et symétries simplifient le calcul.
Dans notre cas, la source utilisée est un microlaser, la distribution de l’éclairement est gaussienne sur le
plan cible, et elle s’écrit immédiatement :
Ec ( xc , yc ) =
2Te Ta Pe

( xc − δ ) 2 + yc2 
2
−
⋅
Exp


π ⋅ ω 2 ( z)
ω 2 ( z)


68
(7.14)
où δ est la parallaxe, c’est à dire la distance entre les axes d’émission et de réception du télémètre. Le
waist ω2(z) a été définit précédemment. La luminance de la cible, dans le cas où elle est considérée
comme Lambertienne, est alors donnée par :
Lc ( xc , yc ) =
2ρ T T P

( x − δ ) 2 + yc2 
ρ
⋅ Ec ( xc , yc ) = 2 e 2 a e Exp  −2 ⋅ c 2

π
π ⋅ω ( z)
ω (z)


(7.15)
La cible éclairée devient alors une source lumineuse pour la cellule de réception du télémètre et la
formule (7-7) est utilisée pour calculer la distribution de l’éclairement sur le plan du détecteur :
Ed ( xd , yd ) = Tr Ta ⋅
+ Rp
∫ ∫
− Rp
+ R 2p − x 2p
− R 2p − x 2p
Lc ( xc , yc ) ⋅ cos 2 (θ 0 )
dx p dy p
R2
(7.16)
Lors du changement de variables, les indices « s » et « o » du paragraphe 7.1.2 sont respectivement
remplacés par les indices « c » et « d ». La distance zsp représente alors la distance z de la cible au
télémètre, la distance zpo représente quant à elle la distance séparant l’optique de réception (pupille de
rayon Rp) du photodétecteur.
Enfin, il reste à intégrer cette distribution d’éclairement sur la surface active du photodétecteur afin
d’obtenir la puissance optique reçue :
Pr ( z ) =
∫∫
surface
detecteur
Ed ( xd , yd ) ⋅ dxd dyd
(7.17)
Cette équation est également résolue numériquement. Un programme en C sous Unix a été écrit pour
simuler ces équations pour différentes configurations de télémètres.
Cette méthode qui n’utilise pas d’autres approximations que celles énoncées au début du paragraphe
(diffraction et aberrations) peut être utilisée dans de nombreux cas où la source d’émission est
quelconque. Cependant, les opérations à effectuer étant nombreuses, le temps de calcul relativement
long, nous allons introduire une deuxième méthode plus adaptée aux sources lasers à faisceau gaussien.
7.2 Méthode approchée
Nous allons calculer ici la surface effective de réception avant de l’introduire dans l’équation (4.1). La
puissance optique reçue par le télémètre étant directement proportionnelle à la surface de l’optique de
réception, nous mettrons en évidence les modifications apportées par la prise en compte des paramètres
optiques et géométriques du système.
En général, l’angle θ0 est proche de zéro [TH78] [JH78] [JH79] [SWD97] , il est alors possible de négliger
le terme cos(θ0) dans l’expression de la luminance et d’utiliser ainsi directement l’expression du flux
diffusé par une surface infinitésimale dAc = rc drc dϕc de la cible et entrant par l’ouverture de la lentille
de réception (pupille) [TH78] :
d 2 F = Lc ⋅ cos(θ 0 ) ⋅ dAc d Ω c = Lc ⋅ dAc d Ω c
69
(7.18)
φémission
ω (z)
fe
ωi
Emission
δ
A0 (z)
Réception
2Rd
Rp+φréception z
Rp
φréception
fp
z
Figure 7-3 : Caractéristiques du télémètre, le détecteur coïncide avec le plan focal
cible
pupille
détecteur
dAc
rc ,
W
j
c
Rd
Rdc
Rp
fp
z
dd
Figure 7-4 : Fraction de flux reçu par le détecteur
de plus en considérant l’angle solide Ωc constant pour une distance de cible donnée z :
Ωc =
π Rp2
(7.19)
z2
nous pouvons écrire :
dF = Lc ⋅ Ωc ⋅ dAc
(7.20)
avec, pour une cible lambertienne et en coordonnées polaires :
Lc (rc ,z)=
dF =
ρ
Ec ( rc , z )
π
(7.21)
π R p2 ρ
⋅ ⋅ Ec (rc , z ) ⋅ rc drc dϕ c
z2 π
70
(7.22)
rd
Cependant, seul une partie du flux incident sur la lentille de réception sera admis par la surface du
détecteur : ce flux est proportionnel à l’aire d’intersection entre le disque de confusion sur le plan du
détecteur et la surface du détecteur (figure 7-3). Dans les deux sous-paragraphes suivant, nous allons
déterminer la fonction fraction de flux incident sur le détecteur.
7.2.1 Aire d’intersection entre deux cercles [EEW96]
Il est tout d’abord nécessaire d’écrire l’aire d’intersection entre deux cercles :
d > r1+r2
r1
|r1-r2| > d > r1+r2
d < |r1-r2|
r2
Figure 7-5 : Les différents cas d’intersection de cercles
La fonction A donne l’aire d’intersection entre deux cercles :
A(r1 , r2 , δ ) = −
A( r1 , r2 , δ ) = 0 pour δ ≥ ( r1 + r2 )
(7.23)
A( r1 , r2 , δ ) = π ⋅ Min ( r12 , r22 ) pour δ ≤ r1 − r2
(7.24)
 r 2 − r22 + δ
1
-(r1 - r2 - δ ) (r1 + r2 - δ ) (r1 - r2 + δ ) (r1 + r2 + δ ) + r12 cos −1  1
2
2r1δ

pour
r1 − r2 > δ > (r1 + r2 )
2
2
2
 2
−1  − r1 + r2 + δ
 + r2 cos 
2r2δ


(7.25)
7.2.2 Fonction fraction de flux incident sur le détecteur (cas général)
Nous allons, dans un premier temps, donner le rayon et la position du centre du cercle de confusion sur
le plan du détecteur. Sur la figure il apparaît que l’élément de source dAc projette un cercle, à travers la
pupille de réception de rayon Rp, sur le plan du détecteur qui est à la distance dd de la focale fp de la
lentille de réception.
La position rd du centre du cercle vient immédiatement en considérant le rayon passant au centre de
l’optique :
rd =
f p + dd
z
rc
(7.26)
En utilisant la formule de Newton nous établissons le rayon du cercle Rdc :
71
2



Rdc =
 z − fp
− dd 

z
 zf p
fp

 ⋅ R p

(7.27)
Dans le cas où le détecteur est placé dans le plan focal dd=0 :
rd =
En introduisant les coefficients α = 1 +
rd =
fp
z
fp
rc , Rdc =
z
Rp
(7.28)
dd
z⋅d
et β = α − 2 d , il vient :
z
fp
f p ⋅ rc
z
α et Rdc =
f p ⋅ Rp
z
⋅β
(7.29)
La fraction de flux incidente sur le détecteur s’écrit finalement, en utilisant la fonction A( r1 , r2 , δ )
définie plus haut :
2
f p Rp
f r 


1  α   zRd β
Γ ( rc , z ) =
⋅ A  Rd ,
β, p c α  =
, Rp , rc 
 A
2
2 
z
z
 f R 


 π Rp  β   α f α
π p pα
 z

1
(7.30)
7.2.3 Aire effective
Nous pouvons maintenant, à partir de l’expression du flux, définir l’aire effective de réception du
télémètre S(z) :
π R 2p
S ( z) =
ρ Pé
∞ 2π
∫ ∫ E (r , z) ⋅ Γ(r , z) ⋅ r dr dϕ
c
c
c
c
c
c
(7.31)
0 0
L’aire effective S(z) introduite ici vient remplacer le terme a de l’équation des radars laser (7.1). La
puissance optique reçue étant directement proportionnelle à l’aire d’admission de la lentille de
réception, l’aire effective donne directement la modification obtenue par rapport à l’équation classique
(7.1).
72
7.2.4 Cas d’un télémètre biaxial et d’une tache gaussienne sur la cible
7.2.4.1 Eclairement de la cible en coordonnées polaires sur l’axe de réception
D(z)
Figure 7-6 : Eclairement de la cible en coordonnées polaires sur l’axe de réception
L’éclairement de la cible est donné par :
Ec ( rc , z ) = ρ
où ∆ ( z ) = δ − z ⋅ ∆φ

2 Pé
rc2 + ∆ 2 ( z ) − 2rc ∆( z ) cos(ϕ c ) 
⋅
−
⋅
exp
2


πω 2 ( z)
ω 2( z)


(7.32)
représente la distance entre les axes d’émission et de réception, lesquels
convergent d’un angle ∆φ :
∆φ
Emission
∆(z) = | δ - z ∆φ |
Réception
Figure 7-7 : Déviation des axes
7.2.4.2 Aire effective
Nous pouvons maintenant écrire l’aire effective de réception d’un télémètre à émission laser
gaussienne :
∞ 2π
S g ( z) = π R
2
p
∫∫
0 0

rc2 + ∆ 2 ( z) − 2rc ∆( z ) cos(ϕ c ) 
⋅
−
⋅
exp
2

 ⋅ Γ(rc , z ) ⋅ rc drc dϕ c
πω 2 ( z )
ω 2( z)


2
73
(7.33)
après simplification il vient :
φréception
S g ( z) =
4π R
α
2
p
ω 2( z)
S g ( z) =
α 
4
 
2
ω ( z)  β 
∫
β
Rp
α
0
φréception
2
z+
α
z+
∫
β
Rp
α
0

r 2 + ∆2 ( z)   4rc ∆( z) 
rc exp  −2 ⋅ c 2
 ⋅ I0 
 ⋅ Γ( rc , z ) drc
ω ( z)   ω 2( z ) 

(7.34)
φréception β

r 2 + ∆2 ( z)   4rc ∆( z) 
rc exp  −2 ⋅ c 2
z, R p , rc ) drc (7.35)
 ⋅ I0  2
 ⋅ A(
ω ( z)   ω ( z ) 
α
α

où I0(x) est la fonction de Bessel modifiée d’ordre 0 et :
φréception =
Rd
f
(7.36)
représente l’angle d’ouverture de l’optique de réception. La borne supérieur d’intégration est déterminé
par la fonction A (somme des rayons des deux cercles).
Cette intégrale ne possède pas de solution analytique connue, cependant elle est facilement évaluable
numériquement à l’aide d’une routine de type Simpson ou à l’aide d’un logiciel de calcul comme
Matlab® ou Mathematica®. Notons qu’une seule intégration est nécessaire.
L’équation (7.1) modifiée s’écrit alors :
Pr = ρ ⋅ Pé
S g ( z)
π z2
(7.37)
7.2.5 Application Numérique
Données numériques utilisées dans ce paragraphe :
paramètres d’émission :
paramètres de réception :
Dωo = 100 mm ( Dωi = 100 mm )
Rp = 25 mm
ω0 = 50 µm ( ωi = 677 µm )
Rd = 100 µm
fe = 100 mm
fp = 200 mm
λ = 1,064 µm
δ = 50 mm
φémission = 0.5 mrad
φréception = 0.5 mrad
74
1700
∆φ = 0,1 mrad
1600
∆φ = 0,2 mrad
S en mm2
1500
1400
∆φ = 0,3 mrad
1300
1200
∆φ = 0,4 mrad
1100
0
500000
1 × 106
z en mm
1.5 × 106
2 × 106
Figure 7-8 : Tracé de l’aire effective lorsque l’angle ∆φ entre les axes d’émission et de réception varie
1700
1600
dd = 0,2 mm
S en mm2
1500
dd = 0,4 mm
1400
dd = 0,6 mm
1300
1200
1100
dd = 0,8 mm
0
500000
1 × 106
z en mm
1.5 × 106
2 × 106
Figure 7-9 : Tracé de l’aire effective lorsque le détecteur s’éloigne du plan focal de la distance dd
1700
1600
δ + 5 mm
δ + 10 mm
S en mm2
1500
1400
δ + 15 mm
δ + 20 mm
1300
1200
1100
0
500000
1 × 106
z en mm
1.5 × 106
2 × 106
Figure 7-10 : tracé de l’aire effective lorsque l’entre-axe δ entre les axes d’émission est de réception varie
La simulation numérique de l’aire effective nous montre l’influence des paramètres :
l’angle ∆φ permet de privilégier l’énergie reçu pour les cibles proches, tandis que l’augmentation de
l’entre-axe δ permet de réduire l’énergie reçue pour ces mêmes cibles. Quant à la défocalisation, elle
permet de réduire l’énergie reçue pour les cibles lointaines.
La maîtrise de ces paramètres permet donc de concevoir au mieux un télémètre dont la plage de
distance à mesurer (étendue de mesure) est connue.
75
O
Nous avons proposé dans ce paragraphe deux méthodes de calcul de la puissance optique incidente sur
la surface active du photodétecteur. La simulation des équations (7.17) ou (7.37) permet d’obtenir avec
précision l’amplitude du signal optique reçu en fonction de la distance de la cible. L’ajustement des
caractéristiques optiques et géométriques du télémètre permet de réduire la dynamique du signal : cela
est très utile pour ne pas saturer le photodétecteur et l’amplificateur transimpédance et ainsi effectuer
les mesures de distance avec un fonctionnement linéaire de la cellule de réception. La figure 7-11
donne un exemple de simulation numérique des équations (7.17), (7.37) et (7.1). Nous remarquons que
les deux premières équations donnent des résultats identiques, ce qui justifie l’approximation effectuée
dans le paragraphe 7.2. Cette simulation montre également que l’équation classique des radars laser
n’est plus valide lorsque la cible est proche du télémètre.
équation (4.1)
équation (4.17)
10
1
Pr
en µW
équation (4.37)
0.1
0
500
1000
z
1500
2000
en m
Figure 7-11 : Comparaison des équations donnant la puissance incidente sur le photodétecteur
Nous donnerons une application pratique de ces calculs dans la partie expérimentale.
76
8. CONCLUSION
Cette partie nous a permis de mieux cerner les caractéristiques et performances d’un télémètre temps de
vol. Après avoir décrit les blocs d’émission et de réception d’un télémètre temps de vol à microlaser,
dans un premier temps nous avons montré l’importance de la position du seuil de détection sur le front
de monté de l’impulsion sur la précision de la mesure de distance. Cette position est calculée, comme
nous l’avons mentionné précédemment, pour un taux de fausse alarme maximum souhaité : l’obtention
d’une précision optimale est alors impossible. Dans un deuxième temps, nous avons évalué les
performances en terme de portée pour différentes configurations du circuit de réception. Nous avons
ensuite étudié l’influence de la bande passante électronique du circuit de réception, indépendamment
du système de photodétection choisi, sur l’amplitude et la largeur des impulsions. Il s’avère qu’il existe
une bande passante optimale pour la portée et pour la précision : un compromis doit être effectué. Pour
terminer, nous avons simulé la dynamique du signal afin de choisir la configuration, pour un télémètre,
la mieux adaptée à l’étendue de mesure désirée.
Pour une application de type imagerie en 3 dimensions, l’obtention d’une bonne précision absolue à
des distance importantes est un atout important. La technique de détection et mesure par seuillage ne
permettant pas d’optimiser correctement et indépendamment la précision et la portée, nous
envisagerons dans la partie suivante, la numérisation des signaux télémétriques afin d’utiliser des
traitements adaptés permettant de s’affranchir des erreurs systématiques et aléatoires dues au seuil, sans
dégrader pour autant la portée du système, voir même l’améliorer. Nous mentionnerons également une
méthode optique d’amélioration du rapport signal sur bruit proposée dans la littérature : l’amplification
optique.
77

Télémétrie laser temps de vol

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