Cinématique

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Cinématique

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TOULOUSE
Biomécanique et Analyse du mouvement
Master 1 – Sc2
Cinématique
Cinématique : définition
C’est l’étude du(des) mouvement(s) indépendamment
des causes qui le(s) produise(nt).
Les 3 variables cinématiques fondamentales :
•La position d’un objet (ou d’un point matériel) correspond à
sa localisation dans l’espace à un instant t donné.
•La vitesse d’un objet (ou d’un point matériel) représente la
variation de la position par unité de temps.
•L’accélération d’un objet (ou d’un point matériel) représente la
variation de la vitesse par unité de temps.
Cinématique : notion de mouvement
Les notions de mouvement et d’immobilité
sont relatives !
Nécessité de définir un référentiel
Terminologie …
• Cinématique du solide :
On parle du mouvement d’un objet S par rapport à un
repère R.
• Cinématique du point :
On parle du mouvement d’un point P, appartenant à un
objet, S par rapport à un repère R.
Exemple …
Le point O1 appartenant au buste est en mouvement par rapport au
repère R0 mais immobile par rapport au repère R1 (lié au buste).
Mouvement dans le plan sagittal (2D)
Mouvement 3D
r
x1
ry
ry
O
ry
1
O1
r
x
1
1
O1
r
x
1
0
r
x
r
r
z z1
Temps (% du cycle de marche)
r
x0
O1
r
y1
r
y0
Définitions …
• Un point matériel est considéré au repos ou immobile par
rapport à un repère R si sa position ne change pas dans ce
repère au cours du temps.
• A l’inverse, un point matériel est en mouvement par
rapport à un repère R, s’il change de position dans ce
repère au cours du temps.
• Autrement dit, être en mouvement c’est changer de position
avec le temps par rapport à un repère considéré comme fixe
Cinématique : translation, rotation
Translation : Mouvements linéaires
Tous les points de l’objet se déplacent entre t1 et t2 en effectuant
la même distance dans la même direction.
Translation en ligne droite
Remarque : la translation conserve les angles.
Translation en ligne courbe
Rotation : Mouvements angulaires
Tous les points de l’objet tournent entre t1 et t2 autour d’un point
fixe, ce dernier pouvant être extérieur à l’objet.
Remarque :
• L’axe de rotation est une ligne imaginaire et infinie, toujours perpendiculaire
au plan dans lequel s’effectue le mouvement de rotation.
• Les segments en rotation conservent une distance constante à cet axe.
En général : les mouvements étudiés en biomécanique
résultent de la combinaison de de translation(s) et de
rotation(s)
B’
B
r
u
A’
A
α
Ex : Rotation d’angle α
et translation de vecteur
r
u
Plans, axes et mouvements :
Termes d’orientation anatomique :
Permettent de décrire la position d’un segment ou d’un repère anatomique par
rapport à un référentiel (autre repère anatomique).
Proximal
Supérieur
Postérieur
Distal
Inférieur
Antérieur
Médial
Latéral
Médial
Latéral
Axes du corps :
Supérieur
Axe vertical (longitudinal)
Parcours le corps de bas en haut,
i.e. en direction inféro-supérieure.
Axe transverse (médio-latéral)
Parcours le corps de gauche à
droite, i.e. en direction médiolatérale.
Axe sagittal (antéro-postérieur)
Parcours le corps de l’arrière vers
l’avant, i.e. en direction postéroantérieure.
Inférieur
Axe vertical
Plans et axes du corps :
• Axe longitudinal (vertical)
• Axe médio-latéral (transverse)
• Axe antéro-postérieur (sagittal)
Plan frontal
Axe M/L + Axe vertical
Plan horizontal
Axe A/P + Axe M/L
Plan sagittal
Axe A/P + Axe vertical
Mouvements articulaires :
Flexion / Extension
• Plan sagittal
• Axe transverse
Rotation
• Plan horizontal
• Axe vertical
Abduction / Adduction
• Plan frontal
• Axe sagittal
Cinématique : mouvement - orientation anatomique
Analyse de coordinations complexes …
Horizontal – Dessus
Exemples :
• Swing de golf
• Lancers (baseball)
Décomposition du
mouvement dans
chacun des plans.
Frontal – Dos
Sagittal – Droite
Position : enregistrement par système optoélectronique
Intérêt clinique …
Suivi pré & post-opératoire
• Patient enfant de 14 ans
• Lésion cérébrale / infirmité
motrice cérébrale (IMC)
• Chirurgie des tendons
Position : enregistrement par système optoélectronique
Application clinique
Pré-op
Post-op 6 mois
Post-op 12 mois
Cinématique :
Position dans le cas de mouvements circulaires
Application clinique
Cinématique : position
Expérimentalement, les positions du corps humain au
cours du temps sont analysées à l’aide de caméras vidéo.
Cinématique : position
Pour situer le point mobile M dans le repère R à un instant t
quelconque, il est nécessaire de connaître les coordonnées
x(t), y(t) et z(t) de M dans le repère R.
Dans l’espace
Dans le plan
Y
Z
z
M
B(y)
r r
k j
r
i
r
j
r
O i
Position :
A(x)
OM
x
X
M( x (t) , y (t) )
OM
Vecteur position :
M
OA OB
r
r
x t .i y t .i
y
Y
m
X
M( x (t) , y (t) , z (t) )
OM Om mM
r
r
r
OM x t .i y t . j z t .k
Cinématique : trajectoire
La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions
successives du point pendant son mouvement.
Rq. C’est également une notion relative
Cinématique : vitesse moyenne
Définitions …
• Au cours de son mouvement par rapport au repère R, le point
matériel M se déplace du point M1 au point M2 dans un certain laps
de temps
• La vitesse moyenne est le taux de changement de la position, et est
représentée par un vecteur.
r
z
M1(t1)
M2(t2)
R
r
x
r
y
r
v
moyen
r
x
t
r
x
r
x
f
i
t
Définitions …
La vitesse algébrique moyenne de M est le rapport entre la distance
parcourue et le temps mis pour la parcourir :
| Distance parcourue |
(m/s)
Temps mis à la parcourir
Vmoy
r
z
M1(t1)
M2(t2)
R
r
x
r
y
Vmoy (M / R)
M1M2
t 2 t1
r
r
40mm
rvr
xx
40
moyAD
vaverage
average
t 33..00ss
t
r
r40
r xr
x13
40
m
m
13
m
s
m
s
r vaverage
x
40m
moyAD
rage
vaveraget
t0 s 3.0 s
3
.
t
3.0 s
13 m 13
s13mms s
Position (m)
Interprétation graphique …
Temps (s)
La vitesse moyenne sur un intervalle de temps [t1 t2] est la pente
de la sécante joignant les positions x(t1) et x(t2).
Rappel : pente d’une courbe
• Définition : La pente est le scalaire qui décrit l’inclinaison
d’une ligne, généralement par rapport à l’horizontale.
• Détermination : la pente est égale au rapport entre
l’élévation verticale (B) et le déplacement horizontal (A)
séparant deux points de la ligne.
• Remarque : la définition de la pente est identique à celle
de la tangente : tan(θ) = B / A
Cinématique : vitesse instantanée
Définition …
La vitesse instantanée représente le taux de changement instantanée
de la position. Contrairement à la vitesse moyenne, la vitesse
instantanée permet de décrire le comportement à chaque instant t,.
r
v
inst
r
v
r
x
lim
t
t
0
r
dx
dt
Propriétés …
• Le vecteur vitesse instantanée est toujours tangent à la trajectoire.
• La vitesse instantanée en un point est égale à la vitesse moyenne entre
un l’instant d’avant et l’instant d’après.
Cinématique : vitesse(s)
Mouvements angulaires …
• Définition : un point M est animé d’un mouvement circulaire par rapport à un
repère si sa trajectoire dans ce repère est un cercle.
• Convention :
– Pour donner la position du point M sur sa trajectoire, on définit l’angle (t) (x, OM)
– Le radian (rad) est l’unité de mesure naturelle et universelle des angles.
r
z
Degrés
(C)
r
y
r
x
(t)
M(t)
Radians
Cinématique :
Mouvements angulaires: calcul d’un angle
• Méthode trigonométrique : tangente
tan( 1) =
1
2
1
yG - yH
xG - xH
= atan
)
yG - yH
xG - xH
)
Cinématique :
Mouvements angulaires: calcul d’un angle
• Méthode vectorielle : produit scalaire
GH · GC = GH
GC
cos( 2)
= (xGH × xGC) + (yGH × yGC) + (zGH × zGC)
Où, par ex. :
1
2
xGH = xH - xG
(xGH × xGC) + (yGH × yGC) + (zGH × zGC)
2 = acos
GH GC
)
)
• Définition : Par analogie avec les mouvements linéaires, la
vitesse angulaire est le taux de changement de la position angulaire
• Déplacement angulaire :
S
f
i
r
• Vitesse angulaire moyenne :
t
f
i
tf
ti
f
i
t tf ti
S
• Convention : se mesure en rad/s et est généralement considéré
f
i
positif dans le sens
r anti-horaire.
• Vitesse angulaire instantanée :
– Comme précédemment, la
vitesse moyenne n’est pas
représentative du comportement
à chaque instant t.
– On définit :

lim
t
0
t
R2
P2
P1
d
dt
v i=
i
Ri
r
• Rappel :
vt ( m / s )
( rad / s )
r ( m)
P3
ω
θ
A
B
vt
i
= 10 rad/s
Interprétation graphique de la vitesse instantanée
r
vB
vB
r
x
t
40 m
1,2 s
Position (m)
tangente
33m/ s
Temps (s)
La vitesse instantanée à un instant t est la pente de la tangente à la
courbe position-temps à l’instant t.
Méthodes de calcul par différences finies …
Remarque : les données d’entrée de ces calculs sont l’évolution des positions
des marqueurs enregistrés au cours du mouvement (en fonction du temps) à
l’aide des systèmes de mesure cinématique (vidéo, optoélectronique …).
• Différence pas à pas :
– Mouvement linéaire :
v ti ti 1 2
x t i t i 1 2
x ti
x ti 1
ti ti 1
– Mouvement angulaire :
ti ti 1 2
 ti ti 1 2
ti
ti 1
ti ti 1
• Différence centrale :
– Mouvement linéaire :
vt
x t
x ti 1
x ti 1
2 t
t
ti 1
ti 1
– Mouvement angulaire :
t
2 t
• Avantage : facile à mettre en œuvre
• Inconvénient : précision (amplification du bruit de mesure)
• Alternative : interpolation et dérivation analytique (splines …)
Exemple de mouvement linéaire
Vit. (m/s)
Image
Temps(s)
Pos. (m)
1
0.00
0.00
0.10
0.20
0.30
0.95
0.40
1.00
0.50
0.00
-0.50
0.95
-2.05
-3.60
0.45
6
2.05
0.50
0.35
5
4.75
3.60
0.25
4
-
0.59
0.15
3
Centrale
5.90
0.05
2
Pas à pas
0.59
-
0.4
Position (m)
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.15
0.2
-0.2
Tem ps (s)
10
Vitesse (m/s)
5
0
-5
0
0.05
0.1
-10
-15
-20
Temps (s)
Pas à pas
Centrale
Cinématique : vitesse moyenne vs. instantanée
Exemple … 1991 Championnats du monde - Tokyo
14
12
speed (m/s)
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
time (s)
Lewis
Burrell
Mitchell
Lewis Avg
Burrell Avg
Mitchell Avg
Cinématique : accélération moyenne
• Un changement de vitesse s’effectue dans un certain laps de
temps
• L’accélération moyenne représente le taux de changement de la
vitesse (instantanée)
• C’est un vecteur
r
a
moy
r
v
t
r
v
r
v
f
i
t
Cinématique : accélération instantanée
• L’accélération instantanée représente le taux de changement
instantanée de la vitesse
• Remarque : c’est un vecteur, sa direction sera toujours la même que
celle de la force nette subie par l’objet.
r
a
inst
r
a
r
v
lim
t
t
0
r
dv
dt
Cinématique : accélération(s)
• L’accélération moyenne
est la pente de la sécante
joignant les vitesses
finales et initiales sur un
graphique vitesse-temps.
Accélération moyenne
• L’accélération
instantanée est la pente
de la tangente à la
courbe sur un graphique
vitesse-temps.
Accélération instantanée à ti
Cinématique : accélération instantanée
temps (s) position (m)
vitesse (m/s)
accélération (m/s2)
0
0.2
(-0.1-0.2)/(0.02-0)=-15m/s
0.01
(-2.5+15)/(0.03-0.01)=625m/s2
0.02
-0.1
(-0.15+0.1)/(0.04-0.02)=-2.5m/s
0.03
(2.5+2.5)/(0.05-0.03)=250m/s2
0.04
-0.15
(-0.1+0.15)/(0.06-0.02)=2.5m/s
0.05
(5-2.5)/(0.07-0.05)=125m/s2
0.06
-0.1
(0+0.1)/(0.08-0.06)=5m/s
0.07
(7.5-5)/(0.09-0.07)=125m/s2
0.08
0
(0.15-0)/(0.1-0.08)=7.5m/s
0.09
(5-7.5)/(0,11-0.09)=-125m/s2
0.1
0.15
(0.25-0.15)/(0.12-0.1)=5m/s
0.11
(2.5-5)/(0.13-0.11)=-125m/s2
0.12
0.25
(0.3-0.25)/(0.14-0.12)=2.5m/s
0.13
(2.5-2.5)/(0.15-0.13)=0m/s2
0.14
0.3
(0.35-0.3)/(0.16-0.14)=2.5m/s
0.15
(-2.5-2.5)/(0.17-0.15)=250m/s2
0.16
0.35
(0.3-0.35)/(0.18-0.16)=-2.5m/s
0.17
(-5+2.5)/(0.19-0.17)=-125m/s2
0.18
0.3
(0.2-0.3)/(0.2-0.18)=-5m/s
0.19
0.2
0.2

Si la vitesse augmente : V2 > V1 et l’accélération est
positive (on parle d’accélération)
Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire
alors que l’accélération ne l’est pas nécessairement
Lorsque les vecteurs vitesse et accélération pointent dans la même
direction la grandeur de la vitesse augmente.

Si la vitesse diminue : V2 < V1 et l’accélération est
négative (on parle de décélération)
Lorsque les vecteurs vitesse et accélération pointent dans des
directions opposées la grandeur de la vitesse diminue.
Cinématique : accélération angulaire
• Accélération angulaire moyenne


f
t
tf
i
ti
• Accélération angulaire instantanée


lim
t
0
t
d
dt
Cinématique : relations …
Position-temps
Pente tangente
(donne v)
Vitesse instantanée-temps
Pente tangente
(donne a)
Aire sous la courbe
(donne Dx)
Accélération instantanée-temps
Aire sous la courbe
(donne DV)
ufrstaps
TOULOUSE
Biomécanique et Analyse du mouvement
Master 1 – Sc2
Cinématique
Trajectoires et équations horaires
Cinématique : équations horaires
Projectiles (balistique) …
• Applications en STAPS
Déterminants de la performance
– Lancers (analyse de la trajectoire de l’objet)
– Sauts (analyse de la trajectoire de l’athlète (CG))
– Tests de performance physique (détente verticale)
• Généralement on néglige les résistances au mouvement
Le projectile n’est soumis qu’au poids
• On considère le déplacement horizontal du projectile
indépendant du déplacement vertical
On analyse séparément les trajectoires x(t) et y(t)
Projectiles … trajectoires balistiques
• En négligeant les frottements, la trajectoire est une parabole.
• La vitesse verticale diminue, avec un taux de variation constant
→ Mouvement uniformément accéléré.
• La vitesse horizontale reste constante
→ Mouvement uniforme.
Vitesse verticale nulle
Vitesse verticale positive
Vitesse verticale négative
r
v0
α
y0
r
y
r x
x 0
O
r
r
Sur l’axe x :
aaxx tt
00
vvxx tt
vv00xx
aaxxx tt
vv00ttcos
cos
Sur l’axe y :
vv00 cos
cos
xx00
aayy tt
gg
vvyy tt
gt vv00yy
gt
aayyy ttt
11 22
gt vv00ttsin
sin
gt
22
gt vv00 sin
sin
gt
yy00
Rappel … composition des vitesses
r
Ex. 1
Rappel :
vy
r
v
θ
Comp verticale
Hypoténuse
Comp verticale sin θ
Hypoténuse
Comp horizontale
Hypoténuse
Comp horizontale cos θ
Hypoténuse
sin
r
vx
cos
Ex. 2
r
vy
θ
r
v
r
vx
r
v
r
vx
r
vy
Vx = V cosθ
Vy = V sinθ
• Les paramètres principaux :
– la portée (dmax)
– la hauteur (hmax)
Portée
portée
• Ces paramètres dépendent :
– de la vitesse d’envol (V0)
– de l’angle d’envol ( )
– de la hauteur initiale (h0)
Projectiles … expressions mathématiques
• Portée :
distance horizontale parcourue
par le projectile
2
d max
v 0 sin 2
g
• Temps d'ascension :
temps nécessaire à un projectile pour
atteindre le point le plus haut
t montée
v 0 sin
g
• Temps d'envol :
le double du temps d'ascension
t envol
2 v 0 sin
g
h max
v 0 sin
2g
• Hauteur maximale :
calculé à partir du mouvement en y
2
Influence de l’angle d’envol sur la trajectoire …
… pour une vitesse d’envol de même amplitude
10 degrés
30 degrés
40 degrés
45 degrés
60 degrés
75 degrés
– La hauteur maximale est atteinte pour 90
– La portée maximale est atteinte pour 45
Ces angles optimaux changent si la hauteur initiale est non nulle
Sur le terrain on observe :
– Javelot : entre 41 et 44 ,
– Saut en longueur : entre 18 et 21
Influence de la hauteur initiale sur la trajectoire …
… pour une vitesse d’envol de même amplitude
Exemple : α = 45 , situations où dmax est identique
Perf
h0 > hf
Perf
h0 >> hf
Perf
>
>
h0 = hf
Influences de la hauteur initiale et de l’angle d’envol …
–– α = 45
–– α = 40
–– α = 30
Influences de la hauteur initiale et de l’angle d’envol …
h0 = hf
h0 > hf
h0 >> hf
Exemple : le saut en longueur
Théoriquement :
Hauteur initiale > 0
quel angle optimal ?
Angle optimal autour de 42-43 degrés
Sur le terrain :
Angle d’envol autour de 17-23 degrés
Athlete
Mike Powell (USA)
Bob Beamon (USA)
Carl Lewis (USA)
Ralph Boston (USA)
Igor Ter-Ovanesian (USSR)
Jesse Owens (USA)
Distance of
Jump Analyzed
(m)
8.95
8.90
8.79
8.28
8.19
8.13
Speed of
Takeoff
(m/s)
9.8
9.6
10.0
9.5
9.3
9.2
Optimum
Angle of Takeoff
for Given Speed
(deg)
43.3
43.3
43.4
43.2
43.2
43.1
Elena Belevskaya (USSR)
Heike Dreschler (GDR)
Jackie Joyner-Kersee (USA)
Anisoara Stanciu (Rom)
Vali Ionescu (Rom)
Sue Hearnshaw (GB)
7.14
7.13
7.12
6.96
6.81
6.75
8.9
9.4
8.5
8.6
8.9
8.6
43.0
43.2
42.8
42.9
43.0
42.9
Actual
Angle of
Takeoff
(deg)
23.2
24.0
18.7
19.8
21.2
22.0
19.6
15.6
22.1
20.6
18.9
18.9
Influence de la vitesse initiale sur la trajectoire …
… pour un même angle d’envol
40
Lorsque la vitesse augmente, portée et hauteur augmentent
30
20
10 m/s à 45 degrés
dmax ~ 10 m
hmax ~ 3 m
20 m/s à 45 degrés
dmax ~ 40 m
hmax ~ 10 m
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

Cinématique

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