Chapitre 6: Moment cinétique

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Chapitre 6: Moment cinétique
Chapitre 6: Moment cinétique
Introduction
http://www.youtube.com/watch?v=VefD0BLTGYA
conservation du moment cinétique 1 - angular momentum conservation 1 - Collège Mérici_(360p).mp4
http://www.youtube.com/watch?v=w6QaxdppJaE
Conservation du moment cinétique 2 - Angular momentum conservation 2 - Collège Mérici_(360p).mp4
En physique, le moment cinétique d'un point matériel M est le moment de la quantité de
mouvement par rapport à un point O. Cette grandeur physique joue dans le cas d'une rotation,
un rôle analogue à celui de la quantité de mouvement pour une translation :
‐) la variation de la quantité de mouvement est reliée aux forces exercées sur le point matériel
‐) la variation du moment cinétique est liée aux moments (couples) de ces forces.
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Chapitre 6: Moment cinétique
I Moment Cinétique
II Théorème du moment cinétique
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Chapitre 6: Moment cinétique
I MOMENT CINETIQUE
1) Moment d’une force
r
F
Soit une force agissant en un point M quelconque de l’espace. Le moment de la force r r
r
au point A est M A F = AM ∧ F
()
()
r r
MA F
Le moment de la force est
perpendiculaire au plan
r formé par les
deux vecteurs AM et F .
A
()
(
r r
r
r
M A F = AM F sin AM, F
AM
)
M
r
F
http://www.batsoutillage.net/pince‐multiprises‐a‐verrouillage‐cobra‐xxl‐560‐mm‐knipex.html
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Chapitre 6: Moment cinétique
I MOMENT CINETIQUE
1) Moment d’une force
()
r r
MA F
(
()
r r
r
r
M A F = AM F sin AM, F
A
)
r
Le moment est maximal siAM et F sont
AM
orthogonaux. Et, il est d’autant plus
M
grand
que
la
distance
AM
est
importante, c’est‐à‐dire que le bras de
levier est grand…
r
F
De même, pour une porte, la poignée se trouve le plus loin possible de l’axe… Elle est
alors plus facile à ouvrir !
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Chapitre 6: Moment cinétique
I MOMENT CINETIQUE
1) Moment d’une force
r
Soit une force agissant en un point M quelconque de l’espace. Le moment de la force F
()
r r
r
par rapport à l’axe Δ est où O est la projection de M sur l’axe Δ.
M Δ F = OM ∧ F
(Δ)
()
r r
MΔ F
O
OM
M
r
F
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Chapitre 6: Moment cinétique
I MOMENT CINETIQUE
2) Moment cinétique
Le moment cinétique au point O d’un point matériel M de masse m, animé d’une r
vitesse est :
v
r
r
r
L O = OM ∧ mv = OM ∧ p
Remarque : le moment cinétique dépend du référentiel choisi ainsi que du point O
http://www.youtube.com/watch?v=8H98BgRzpOM
MIT Physics Demo -- Bicycle Wheel Gyroscope_(360p).mp4
r
LO
O
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Chapitre 6: Moment cinétique
I MOMENT CINETIQUE
3) Moment cinétique pour un mouvement plan
On considère que la trajectoire du point matériel est contenu dans un plan (plan de la roue) . Le moment cinétique est normal à ce plan (propriété du produit vectoriel).
r
v
r
LO
M
O
Le plus judicieux est d’utiliser les coordonnées polaires dans ce plan (cylindriques dans r
r
r
2 &
l’espace). On obtient alors si L O = m r θ k OM = r u r
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Chapitre 6: Moment cinétique
II THEOREME DU MOMENT CINETIQUE
1) Théorème du moment cinétique
r
On considère un point O fixe et on note F la résultante des forces appliquées au point
matériel de masse m placé en M.
Théorème du moment cinétique :
Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique d’un
mobile ponctuel par rapport à un point fixe O est égale au moment en O de la résultante
des forces appliquées au mobile :
r
d LO r r
= MO F
dt
r
d LO r r r r
Si le référentiel n’est pas galiléen,
= M O F + M O f inertie
dt
()
()
(
)
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Chapitre 6: Moment cinétique
II THEOREME DU MOMENT CINETIQUE
2) Conservation du moment cinétique
r
F
On considère un point O fixe et on note la résultante des forces appliquées au point matériel de masse m placé en M. On considère le référentiel galiléen.
r
d LO r
Le moment cinétique est conservé (c’est‐à‐dire indépendant du temps) si :
=0
dt
Ceci se produit si : r r
‐) , c’est le cas d’un point matériel libre. On peut alors dire que, dans F=0
un référentiel galiléen, le moment cinétique en O d’un point mobile libre est une constante du mouvement.
r r
OM ∧ F = 0
‐) , ceci veut dire que, à tout instant, le vecteur position et la force sont colinéaires. Une force qui est colinéaire au vecteur position à tout instant est appelée force centrale. 9
Chapitre 6: Moment cinétique
II THEOREME DU MOMENT CINETIQUE
2) Conservation du moment cinétique
http://www.youtube.com/watch?v=tDa8rONMd7E
Solide en rotation autour d'un axe fixe _ conservation du moment cinétique_(360p).mp4
La personne porte des masses dans sa main, son poids est selon l’axe donc le moment du poids de la personne est nul : les seules forces sont le poids de chacune des masses et les forces pour maintenir les bras horizontaux, elles compensent donc le poids. Les seules forces qui restent sont les tensions horizontales qui pointent vers l’axe du corps donc leur moment est nul, le moment cinétique est conservé.
r
d LO r
=0
dt
r
r
r
2 &
ste
LO = m r θ k = C k
Bras étendus : distance l1 par rapport à l’axe; bras repliés, distance l2 par rapport à l’axe
r
r
r
2 &
2 &
L O = m l 1 θ1 k = m l 2 θ 2 k
2
⎛l ⎞
θ& 2 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ θ& 1 > θ& 1
⎝ l2 ⎠
La personne tourne plus vite les bras contre le corps. C’est ce qui est observé
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Chapitre 6: Moment cinétique
II THEOREME DU MOMENT CINETIQUE
2) Conservation du moment cinétique
On peut obtenir l’équation du mouvement du pendule de longueur l… en utilisant le théorème du moment cinétique.
O
r
LO
θ
r
T
r
uθ
M
()
rapport à O est nul…☺
r
ur
r
r
P=mg
r r
r
r
M O P = OM ∧ P = -m g l sinθ u z
r
r
r
L O = OM ∧ mv = m l 2 θ& u z
Le pendule est soumis à 2 forces :
‐) la tension du fil et ‐) le poids du pendule.
On va appliquer le théorème du moment cinétique. La tension du fil est centrale de centre O, donc son moment par m l &θ& = -m g l sin θ
2
&θ& + g sin θ = 0
l
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Chapitre 6: Moment cinétique
II THEOREME DU MOMENT CINETIQUE
3) Lois de conservation en mécanique
L’exemple du pendule nous montre qu’on peut obtenir l’équation du mouvement soit
par la RFD, le théorème de l’énergie cinétique ou encore le théorème du moment
cinétique. Finalement, que choisit‐on pour résoudre un exercice ?
Ce qui nous arrange et est le plus simple…
De manière grossière, pour une translation, on choisira plutôt la RFD ou le théorème
de l’énergie cinétique. Pour une rotation, on choisira plutôt en premier le théorème
du moment cinétique.
Utiliser un seul théorème est possible seulement si il n’y a qu’une variable (un angle,
une longueur…). Dans un mouvement plan, il y a deux paramètres inconnus, la
distance, r, à un point et un angle, θ. Il faut donc deux équations : le théorème du
moment cinétique et au choix, la RFD ou le théorème de l’énergie cinétique.
Rappel : le théorème de l’énergie cinétique (ou la conservation de l’énergie mécanique ) conduit
à l’intégrale première du mouvement dont la dérivée redonne la RFD donc ces deux méthodes
sont équivalentes, l’une étant la dérivée de l’autre.
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Chapitre 6: Moment cinétique
III RESUME
Le moment cinétique au point O d’un point matériel M de masse m, animé d’une vitesse est :
r
r
r
L O = OM ∧ mv = OM ∧ p
Théorème du moment cinétique : dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au
temps du moment cinétique d’un mobile ponctuel par rapport à un point fixe O est
égale au moment en O de la résultante des forces appliquées au mobile :
r
d LO r r
= MO F
dt
r r
Le moment cinétique est conservé si F = 0
()
ou bien que la résultante des forces est
colinéaire au vecteur position à tout instant . Une telle force est appelée force centrale.
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