4-3_2006_corrige ( PDF

S2
2006
« Le principe fondamentalement créateur se trouve dans la mathématique. »
Albert Einstein (1879-1955)
CONCOURS INTEGRAλ
1er concours scolaire solidaire en France
Lundi 30 janvier 2006 – Durée : 45 min
CORRIGE 4ème - 3ème - CAP - BEP1
De drôles de maths
Au profit de l’opération
« AIDER 10 000 ENFANTS EN MONGOLIE ! »
Une seule bonne réponse par question.
BAREME
Réponse correcte :
Réponse erronée :
Réponse absente ou ambiguë :
Crédit :
+ 5 pts
-1,25 pts
0 pt
25 pts
EPREUVE SANS CALCULATRICE : avec un peu
d’astuce, les calculs peuvent toujours s’effectuer de
manière simple.
CHAQUE PARTICIPANT au Concours Integraλ
reçoit le Livret Scientifique Integraλ, ainsi qu’un
abonnement découverte de 5 numéros à Mon
Quotidien ou l’Actu.
ACTION SCOLI’DAIRE – Association Loi de 1901 – Préfecture du Rhône n° 0691049381 – SIRET n°450 069 141 000 23
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ème
4
λ
ème
–3
– CAP – BEP1
1
Gueule d’ange est né d’un croisement entre un Pitbull et un requin marteau. Gueule d’ange
possède 252 dents réparties équitablement sur 3 paires de mâchoires.
Combien cela faitfait-il de dents par mâchoire ?
A) 42
B) 64
C) 84
D) 126
E) 252
3 paires de mâchoires, cela fait 6 mâchoires. Comme les dents sont réparties uniformément
sur les mâchoires, chaque mâchoire possède un sixième du nombre total de dents.
252 2/ × 126 3/ × 42
On a :
=
=
= 42
6
2/ x3
3/
Gueule d’ange possède 42 dents par mâchoire.
La réponse correcte est la réponse A.
λ
2
3,8% gaz
0,5% autres renouvelables
7,6% hydraulique renouvelable
En 2004, quelle était
était en France la part d’électricité
produite par des énergies non renouvelables ?
A) 7,6% B) 8,1% C) 83,4% D) 91,9% E) 92,4%
3,1% charbon
1,3% pétrole
0,3% autres
83,4% nucléaire
Sources d’énergie pour la fabrication
de l’électricité - 2004 - France
Les énergies renouvelables représentent 7,6+0,5 = 8,1% de la production d’électricité.
Les énergies non renouvelables - gaz, charbon, pétrole, nucléaire et autres énergies –
représentent donc 100-8,1 = 91,9%.
La part d’électricité produite en France en 2004 provenait à 91,9% d’énergies non
renouvelables !
La réponse correcte est la réponse D.
Où l’on voit que la France et les français ont encore des progrès à faire !
λ
3
Quel autre nom pourraitpourrait-on logiquement donner
donner à un millemille-pattes ?
A) Un millipatte B) un hectopatte C) un kilopatte D) un megapatte
E) un psychopathe
Déca est la racine grecque utilisée en science pour exprimer un facteur 10, hecto pour
exprimer un facteur 100, kilo un facteur 1 000, mega un facteur 1 000 000.
Rien à voir avec un psychopathe !
Le millemille-pattes pourrait donc être renommer le kilopatte !
La réponse correcte est la réponse C.
C.
λ
4
Je suis le plus petit nombre pair, multiple de 3, comportant 3 chiffres.
Qui suissuis-je ?
A) 100
B) 101
C) 102
D) 103
E) 333
101, 103 et 333 ne sont pas pairs.
100 n’est pas un multiple de 3 car la somme de ses chiffres 1+0+0=1 n’est pas un multiple de
3.
Le nombre recherché est donc :
102
La réponse correcte est la réponse C.
C.
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ème
4
λ
ème
–3
– CAP – BEP1
5
Ce trimestre, le chef d’établissement a noté sur le bulletin de Justine : « A passé 20% de
son temps en classe à mâcher sa tétine ». On sait par ailleurs que Justine a 30 heures de
cours par semaine et que ce trimestre a comporté 12 semaines de cours.
Ce trimestre, pendant combien de temps Justine aa-t-elle mâché sa tétine ?
A) 42,20h
B) 57h
C) 72h
D) 360,20h
E) 720h
Le nombre d’heures de cours du trimestre est :
20% de cette durée, c’est :
12x30h
20/
× 12 × 30/ = 2 × 36 = 72h
10/ 0/
Ce trimestre, Justine a mâché sa tétine pendant 72h.
La réponse correcte est la réponse C.
λ
6
Ce symbole sur un vêtement ne signifie pas dire qu’il est radioactif !
Cela signifie qu’on peut le sécher dans un sèche-linge.
Combien ce symbole comportecomporte-t-il d’axes de symétrie ?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 4
E) 12
Une droite est axe de symétrie d’une figure si lorsque l’on plie la figure le
long de la droite, les deux parties de la figure se superposent parfaitement.
Comme l’indique la figure cici-contre, le symbole possède 4 axes de symétrie.
La réponse correcte est la réponse D.
λ
7
La timidité de Miko mesure 15 «timidations» (unité de timidité), mais quand il croise Mika, il
perd tous ses moyens et sa timidité devient les
11ème
de sa timidité initiale.
5
Dans ce cas là, combien mesure sa nouvelle timidité, en «timidations» ?
A) 11,6
B) 33
C) 45
D) 55
E) 1 511,5
La timidité de Mika devient :
11
× 15 timidations
5
On a :
11
11× 15
× 15 =
= 33
5
5
Lorsque Miko rencontre Mika, sa timidité grimpe de 15 timidations à 33 timidations.
La réponse correcte est la réponse B.
λ
8
Je m’appelle Alicette et je joue au tennis à Sète. Tous les jours à sept heures, je joue un set
en chaussettes tout en dégustant une sucette. L’autre jour, un fou me demande la règle des
9. Caaaasseette !
Par quel chiffre se termine le nombre : 9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
9x9x9x9x9x9x9x9x9x9 ?
A) 0
B) 1
C) 6
D) 7
E) 9
Procédant par étape.
9x9 se termine par un 1 car 9x9 = 81.
Puis 9x9x9 = 9x81 se termine par un 9 car 9x1 = 9.
Puis 9x9x9x9 se termine par un 1 car 9x9 = 81.
Et on recommence.
On constate que le produit d’un nombre pair de 9 se termine par 1, et que le produit d’un
nombre impair de 9 se termine par 9.
Ici, on a dix facteurs égaux à 9. Le résultat du produit se terminera donc par un 1, puisque dix
est pair.
Le nombre 9x9x9x9x9x9x9x9x9x9 se termine par le chiffre 1.
La réponse correcte est la réponse B.
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ème
4
λ
ème
–3
– CAP – BEP1
9
Une souris a creusé des galeries qui traversent un cube géant de nougat.
Les galeries sont rectilignes et parallèles aux faces du cube.
Combien de petits cubes sont nécessaires pour reconstituer le cube plein ?
A) 4
B) 7
C) 14
D) 16
E) Autre
On a 4 galeries. Donc, à première vue, on a 4x4=16 cubes manquants.
Mais certaines galeries se croisent. Un examen attentif permet de repérer 1 croisement de 3
galeries
Pour ce croisement, il ne faut compter qu’un cube manquant pour les trois galeries
concernées, alors que dans le calcul ci-dessus, on a compté trois cubes manquants.
On a : 16-2 = 14
Le nombre total de cubes nécessaire pour reconstituer le cube plein est donc : 14
La réponse correcte est la réponse C.
λ
10
Sur une piste d’athlétisme de 400m, un champion effectue 2 tours en
1min42s (=102s) pendant qu’un athlète handicapé effectue dans le même
temps 3 tours (en fauteuil roulant).
En supposant que la vitesse de l’athlète handicapé est constante, quel est
son temps de passage au 800m ?
A) 8s
B) 1min
C) 68s
D) 1min 12s
E) 102s
L’athlète handicapé parcourt 3 tours à vitesse constante en 1min42s, soit 102s puisque 1min
vaut 60s. Pour parcourir 1 tour, il lui faut 3 fois moins de temps, c’est-à-dire 102/3=34s. Et
pour parcourir 2 tours, il lui faudra donc le double, soit 68s.
Le temps de passage de l’athlète handicapé au 800m est de 68s (ou 1min 8s).
La réponse correcte est la réponse C.
C.
λ
11
Les vers de terre représentent 80% de la masse globale des animaux terrestres ! En
France, on en compte environ 150 millions de tonnes.
En supposant qu’un français a une masse moyenne de 50kg (on compte les enfants) et que
la France est peuplée d’environ 60 millions d’habitants, combien aa-t-on de kg de vers de terre
pour chaque kg de français ?
A) 0,5
B) 1,5
C) 5
D) 6,5
E) 50
60 millions d’habitants à 50kg, cela fait une masse de : 60 000 000 x 50 = 3 000 000 000kg
soit 3 000 000 tonnes (1 tonne = 1 000kg).
La masse des vers en tonnes est de : 150 000 000 = 3 000 000 x 50
Soir 50 fois la masse des habitants.
En France, la masse des vers est environ 50 fois plus importante que la masse des français,
soit 50kg de vers de terre pour 1kg de français !
La réponse correcte est la réponse E.
λ
12
Un neuneu taille XXL décide d’envoyer un email à 20 neuneus taille M, leur demandant de
faire suivre cet email à 20 nouveaux neuneus taille M. On suppose qu’un neuneu ne reçoit
jamais deux fois l’email parasite.
Combien d’emails auront encombré inutilement le web au bout de 7 étapes, si chaque
neuneu le transmet comme demandé ?
A) 27
B) 128 000
C) 140 000
D) 64 000 000
E) 1 280 000 000
A la première étape :
20 emails
2
A la deuxième :
20x20 = 20 emails
3
A la troisième :
20x20x20 = 20 emails
…
7
A la septième :
20 emails
Soit :
7
7
7
20 = 20x20x…x20 = 2x2x…x2 x 10x10x…x10 = 2 x10 = 128x10 000 000 = 1 280 000 000
Le nombre d’emails encombrant inutilement le web sera 1 milliard 280 millions. C’est
neuneu, non ?
La réponse correcte est la réponse E.
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ème
4
λ
ème
–3
– CAP – BEP1
13
Quelques mois après le dernier incident nucléaire, les mouches se mettent à
gober les crapauds. Elle ont très gros appétit !
Si 3 mouches gobent 3 crapauds en 3 secondes, combien fautfaut-il de mouches pour gober 300
crapauds en 300 secondes ?
A) 3
B) 10
C) 30
D) 100
E) 300
Si 3 mouches gobent 3 crapauds en 3s, c’est que chaque mouche gobe en moyenne 1
crapaud en 3s.
Donc, en 300s, une mouche gobera 100 crapauds.
Il suffira alors de 3 mouches pour gober les 300 crapauds en 300s.
La réponse correcte est la réponse A.
λ
14
Année 2080. Teragooglor, maître du monde, ordonne que l’on rassemble
tout l’or extrait des entrailles de la Terre depuis l’origine de l’homme, soit
160 000 tonnes. Un entrepôt doit être aménagé à l’intérieur d’un grain de
maïs transgénique de forme cubique !
3
Sachant que la masse de l’or est d’environ 20 tonnes par m , quelle est la taille minimale
d’un côté
côté du grain de maïs ?
A) 20m
B) 160m
C) 200m
D) 2km
E) 3 200m
3
Le nombre de m nécessaire est égal à :
160 000/20 = 8 000
Le volume d’un cube est obtenu par la formule :
côté x côté x côté
On remarque que :
8 000 = 2x2x2x10x10x10 = (2x10) x (2x10) x (2x10) = 20x20x20.
Le côté du grain de maïs devra donc mesurer au moins 20m.
La réponse correcte est la réponse A.
λ
15
30m
Un moucheron s’est écrabouillé sur l’extrémité d’une pale d’éolienne. La
pale mesure r=30m de long et tourne au rythme uniforme de 20 tours/min. (on
donne V=d/t et π≈3,1)
Quelle est, en km/h,
km/h, la vitesse de déplacement du cadavre ?
A) 139,5km/h
B) 155km/h
C) 170,5km/h
D) 186km/h
E) 223,2km/h
Le moucheron parcourt un cercle de rayon r, dont la longueur P (périmètre) est :
P = 2πr = 60π m
Le rotor effectuant 20 tours par minute, il lui faut 60s/20 = 3s pour effectuer un tour.
Finalement, la vitesse V du moucheron est donnée par le quotient de la longueur de sa
trajectoire par le temps écoulé, soit :V = 60π /3 = 20π m/s
On convertit en km/ h :
V = 20π x 3600/1000 = 72π km/h
Soit :
V ≈ 72x3,1 ≈ 72x3 + 72x0,1 ≈ 216+7,2 ≈ 223,2km/h
La vitesse du moucheron sera de 223,2km/h. Ca décoiffe !
La réponse correcte est la réponse E.
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4
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–3
– CAP – BEP1
16
Sur une île déserte, Pamela a besoin d’un portemanteau de forme triangulaire pour faire
sécher son tee-shirt en saumon fumé. Pour fabriquer ce portemanteau, elle découpe un
bâton rectiligne mesurant AB=1m et le coupe en 3 morceaux AC, CD et DB, avec AC=CD.
Quelle est la condition sur la longueur AC (en cm) pour que cela soit possible ?
A) 20<AC<30
B) 20<AC<33,33
C) 20<AC<50
D) 25<AC<50
E) AC>40
A D
On choisit comme unité de travail le centimètre : 1m=100cm.
Les données de l’énoncé s’écrivent :
B
C
CD=AC
Et
AC+CD+DB = 100 d’où DB = 100-(AC+CD) = 100-2AC
Pour « fermer » le triangle, la somme des longueurs de 2 côtés quelconques doit être
ème
inférieure à celle du 3
côté (inégalité triangulaire). On doit donc avoir :
AC<CD+DB
CD<AC+DB
DB<AC+CD
d’où
AC<AC+100-2AC
AC<AC+100-2AC
100-2AC<AC+AC
d’où
2AC<100
2AC<100
4AC>100
d’où
AC<50
AC<50
AC>25
Pour faire sécher son teetee-shirt en saumon fumé, Pamela doit couper son bâton de manière à
ce que : 25<AC<50 (valeurs en cm).
La réponse correcte est la réponse D.
λ
17
André mangeait déjà des vélos et des cachalots. Désormais, il est devenu entomophage, il
mange des insectes ! Devant lui, 12 sacs contiennent chacun 200 grillons de 5g, sauf un sac
er
qui contient des criquets de Tanzanie de 6,5 grammes. André croque 1 insecte dans le 1
ème
sac, 2 dans le 2 , etc. Il a pesé les insectes avant de les croquer et a trouvé un total 405g.
Quel est le numéro du sac contenant les criquets ?
A) n°4
B) n°5
C) n°8
D) n°10
E) n°12
Si la masse de chaque insecte était de 5g, la masse totale prélevée serait :
12×13
(1+2+…+12) x 5 =
x 5 = 6x5x13 = 30x13 = 390g
2
soit une différence de 405-390 = 15g avec la masse mesurée.
Or, la masse de chaque criquet de Tanzanie dépasse la masse d’un grillon de 6,5-5 = 1,5g.
15g représentent donc le remplacement de 10 grillons par 10 criquets, ces 10 criquets
provenant forcément du sac n°10.
Le sac contenant les criquets porte le numéro 10.
La réponse correcte
correcte est la réponse D.
λ
18
On dispose de 7 hélicoptères mâles et de 11 hélicoptères femelles. On
voudrait arriver à égaliser le nombre de mâles et de femelles. Pour cela on
peut effectuer deux types de manipulations : rajouter 2 mâles en enlevant
3 femelles ou enlever 3 mâles en rajoutant 1 femelle.
Quel est le nombre minimal de manipulations à effectuer pour arriver à avoir autant de mâles
que de femelles ?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
er
Après a opérations du 1 type et b opérations du second type, le nombre de mâles sera
7+2a–3b et le nombre de femelles 11-3a+b.
Il y aura égalité si :
7+2a–3b = 11-3a+b
donc
si 5a = 4b+4. = 4(b+1)
On remarque que 5a est un multiple de 5. 4(b+1) doit donc l’être aussi. La plus petite valeur
de b qui permet d’obtenir ce résultat est b=4.
On a alors :
5a = 4(4+1) = 20 d’où a=4
a=4 et b=4 sont les plus petites valeurs possibles.
Le nombre totale de manipulations est alors :
a+b = 8.
Le nombre minimal de manipulations pour avoir autant de mâles que de femelles est 8.
La réponse correcte est la réponse C.
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ème
4
λ
ème
–3
– CAP – BEP1
19
Dans un tournoi de gros balaises, chaque concurrent fait une partie avec chacun des
autres concurrents. Chaque partie gagnée rapporte une heure de masque hydratant au
gagnant et une partie nulle rapporte une demi-heure de masque hydratant à chacun des
joueurs concernés.
Sachant que 780 heures de masque hydratant ont été attribuées au cours du tournoi, on peut
affirmer que le nombre de concurrents est un multiple de ?
A) 3
B) 7
C) 8
D) 9
E) 15
Appelons c le nombre de concurrents.
Chacun des c concurrents rencontre les c-1 autres concurrents, ce qui fait c(c-1) rencontres.
Mais en raisonnant comme cela, on compte deux fois la même rencontre : lorsque A
rencontre B et lorsque B rencontre A.
Le nombre de rencontres p est finalement : p = c(c-1)/2
A chaque partie, on offre une heure de masque hydratant (1 heure de masque hydratant au
vainqueur ou 1/2 heure de masque hydratant à chacun des 2 concurrents), soit au total 780h.
Le nombre de rencontres p s’écrit donc également :
p = 780
d’où
c(c-1)/2 = 780
d’où
c(c-1) = 1 560
On cherche donc deux nombres consécutifs dont le produit est égal à 1 560. On remarque
que :
1 560 = 1 600-40 = 40x40-40x1 = 40x(40-1) = 40x39
Bingo ! Comme il n’y a qu’une seule bonne proposition, le nombre de concurrents est donc
c=40. C’est un multiple de 8.
Le nombre de concurrents est un multiple de 8.
La réponse correcte est la réponse C.
λ
20
Une bactérie baveuse remplit une bassine vide en 3h, une autre la remplit en 4h. Un
enzyme glouton vide la bassine pleine en 12h. La bassine étant vide au départ, tous trois
agissent de manière simultanée et continue.
Au bout de combien de temps la
la bassine serasera-t-elle pleine ?
A) 2h00
B) 3h00
C) 4h00
D) 5h00
E) Jamais
Soit V le volume de la bassine, V1, V2 les volumes de bave produits par les bactéries et V3 le
volume de bave éliminé par l’enzyme.
A l’instant t (en heures), on a, par proportionnalité :
V1 V
=
t
3
d' où
V1 =
Vt
3
De même :
V2 =
Vt
4
Lorsque la bassine est pleine, on a :
V1+V2-V3 = V
d’où
Vt/3 + Vt/4 – Vt/12 = V
d’où
V(t/3 + t/4 - t/12) = Vx1
d’où
t/3 + t/4 - t/12 = 1
d’où
(4t + 3t -t)/12 = 1
d’où
6t = 12
d’où
t=2
La bassine sera pleine au bout de 2 heures.
La réponse correcte est la réponse
réponse A.
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et
V3 =
Vt
12